colégio cenecista pedro antônio fayal clube de matemática bruna

COLÉGIO CENECISTA PEDRO ANTÔNIO FAYAL
CLUBE DE MATEMÁTICA
BRUNA ANDRADE
ARTHUR LEÃO
PEDRO PAULO DO NASCIMENTO
PROFESSOR THIAGO MORETI
RESOLUÇÃO COMENTADA DA PROVA DE MATEMÁTICA DO ENEC 2014
ITAJAI
2015
Com a proximidade da edição de 2015 da prova do ENEC, nós do Clube de Matemática do
Fayal percebemos que uma importante maneira de se estudar para a prova é resolvendo questões
anteriores. Para tanto, decidimos dividir com nossos colegas terceiranistas a resolução das
questões de Matemática da prova do ano de 2014, com comentários que podem facilitar os estudos
de quem deseja um bom aproveitamento na prova deste ano.
Então, preparados para gabaritar a Matemática do ENEC 2015? Vamos aos estudos.
Resolução: Como vimos em Geometria Analítica, a equação da circunferência é dada por:
(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 2
(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 2
a e b definem as coordenadas do centro, portanto, (a. b) = (0,0)
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2
𝑥 2 + 𝑦 2 = 92
Então, a equação dessa circunferência se define como x² + y² = 81.
Como a questão pede a área de abrangência do hospital, esta será dento do círculo, ou seja, todos
os valores de x e y tais que 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 81, portanto, letra E
Resolução.
Essa questão é teórica. Basta lembrar o conceito de bissetriz, que é a reta que divide um ângulo
ao meio. Portanto, a bissetriz dos quadrantes pares define uma reta na qual suas coordenadas são:
x = -y
Como a reta que a questão pede é perpendicular, então ela define analogamente a bissetriz dos
quadrantes ímpares, ou seja, a reta de coordenadas x = y. Lembrando que, em Função, chamamos
essa reta de “Função Identidade”. Trazendo o y para a esquerda, temos que x – y = 0, ou seja,
alternativa “D”
Resolução.
Nesta questão podemos definir um triângulo CPH, retângulo em P, conforme a figura abaixo:
Daí, por trigonometria,
cos 45° =
𝑐𝑎
𝑃𝐻
=
ℎ𝑖𝑝 𝐶𝐻
√2 9
=
2
𝑥
Então chegamos no valo de 𝑥 = 9√2. Podemos aproximar a √2 = 1,41, totalizando x = 9.1,41 =
12,69 km, aproximadamente 13 km, alternativa D
Resolução.
A área do Círculo é dada por:
𝐴 = 𝜋. 𝑟 2
𝐴 = 𝜋. 92
𝐴 = 3.81 = 243𝑘𝑚2
Assim, por regra de três:
1𝑘𝑚2 ──── 60 habitantes
243𝑘𝑚2 ──── x habitantes
X =14580 habitantes ≈14,6mil habitantes
50 leitos em 14,6 mil, quantos leitos para cada 1 mil desse total?
50𝑙𝑒𝑖𝑡𝑜𝑠──── 14,6mil
𝑥 𝑙𝑒𝑖𝑡𝑜𝑠──── 1mil
Alternativa “A”
50
= 3,4𝑙𝑒𝑖𝑡𝑜𝑠/1000ℎ𝑎𝑏𝑖𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
14,6
Resolução.
Como as taxas são lineares percebemos que a cada três anos o percentual do gasto brasileiro é
de 0,11.
Pois 1,65 – 1,76 = 0,11
Com isso sabemos que em 2014 o percentual será de 1,87
Pois 1,76+0,11 = 1,87
Consequentemente em 2017 será 1,87+0,11 = 1,98.
Resposta: B
Resolução.
𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 = 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑥 𝑙𝑎𝑑𝑜 = 60 𝑥 60 = 3600𝑚2
20% 𝑑𝑒 3600 = 720𝑚2
3600 − 720 = 2880𝑚2
Pelo enunciado,
5𝑝𝑒𝑠𝑠𝑜𝑎𝑠 ────1m2
𝑥 𝑝𝑒𝑠𝑠𝑜𝑎𝑠──── 2880m2
𝑥 = 14,4 𝑚𝑖𝑙 𝑝𝑒𝑠𝑠𝑜𝑎𝑠
Portanto, alternativa correta: “E”
Resolução.
Mais uma vez resolvemos com uma simples regra de três:
60%──── 331mil
100%──── xmil
𝑥 = 551,667 ≈ 552𝑚𝑖𝑙
Resposta certa: B
Resolução:
A moda, em Estatística, é o valor que mais aparece. No caso do gráfico, a quantidade que mais se
repete é a quantidade 1. Alternativa correta: “A”
RESOLUÇÃO.
Neste problema identificamos juros composto com o uso do logaritmo. Para calcular em quanto
tempo o montante chegará a 12,6 bilhões tendo o capital de 4,2 bilhões e um aumento de 20% ao
ano a partir de 2014, aplicando a fórmula temos:
𝑀 = 𝑐. (𝑖 + 1)𝑡
12,6 = 4,2. (1,2)𝑡
12,6
= (1,2)𝑡
4,2
3 = 1,2𝑡
Neste momento, inserimos log dos dois lados da igualdade:
𝐿𝑜𝑔3 = 𝐿𝑜𝑔1,2𝑡
Tendo Log3 como 0,48 substituímos na equação:
0,48 = 𝑙𝑜𝑔1,2𝑡
Passamos o 1,2 para fração para facilitar o cálculo. Também, pela propriedade do expoente no
logaritimando, ele passa multiplicando o log. Agora é só resolvermos aplicando algumas
propriedades do logaritmo:
0,48 = 𝑡. 𝑙𝑜𝑔
12
10
𝑎
Quando o Log é de uma fração temos: 𝑙𝑜𝑔 𝑏 = log 𝑎 − log 𝑏
0,48 = 𝑡. (𝑙𝑜𝑔12 − 𝑙𝑜𝑔10)
0.48 = 𝑡. (𝑙𝑜𝑔22 . 3 − 1)
Aqui se percebe um log de uma multiplicação onde log 𝑎. 𝑏 = log 𝑎 + log 𝑎
0,48 = 𝑡. [(2. log 2 + log 3) − 1]
0,48 = 𝑡. [(2.0,3 + 0,48) − 1]
0,48 = 𝑡. (1,08 − 1)
0,48 = 𝑡. 0,08
𝑡=6
Concluindo que o tempo é de 6 anos, somamos com 2013 obtendo o ano de 2019. Letra A
RESOLUÇÃO.
Essa questão é típica com lógica de regra de 3 composta, com uma Grandeza Inversamente
proporcional.
O enunciado afirma que 45 guardas são necessários para fazer a vigia 8 horas por dia em 25 dias,
pedindo quantos guardas seriam necessários para uma ronda de 6 horas por dia em um total de
20 dias.
Temos essa relação:
HORAS
8
6
GUARDAS
45
X
DIAS
25
20
Tomando o X < 45, nota-se que as horas estão inversamente proporcionais à quantidade de
guardas, sendo que quanto mais guardas, menor a quantidade de horas; e os dias também, pois
quanto mais guardas menor a quantidade de dias necessário. Temos:
45 20 6
=
.
𝑥
25 8
45 120
=
𝑥
200
9000 = 120𝑥
9000
=𝑥
120
𝑥 = 75
Concluímos então que são necessários 75 guardas. Letra E
RESOLUÇÃO: nessa questão, temos três pontos, marcados como A, B (20, 15) e C (8, 6), e
precisamos descobrir a distância entre os pontos A e C, tendo que o ângulo 𝐴𝐵̂ 𝐶 e 𝐵𝐶̂ 𝐴 equivalem
𝜋
rad.
6
Essa é uma questão de geometria analítica que envolve o conhecimento de distância entre dois
pontos com trigonometria. Aplicando a fórmula de distância entre dois pontos:
𝑑𝑎𝑏 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2
Podemos calcular a distância entre B e C:
𝑑𝐵𝐶 = √(8 − 20)2 + (6 − 15)2
𝑑𝐵𝐶 = √(12)2 + (9)2
𝑑𝐵𝐶 = √144 + 81
𝑑𝐵𝐶 = √225
𝑑𝐵𝐶 = 15
𝜋
Sabendo agora que um dos lados mede 15, convertemos o rad para graus:
6
𝜋 180
=
= 30°
6
6
A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, tendo dois ângulos de 30°, conclui-se que o
terceiro ângulo C𝐴̂B tem o valor de 120°. Agora é só aplicarmos a lei dos senos:
1
2
𝑠𝑒𝑛 120° = (180° − 120°)
𝑠𝑒𝑛 120° = 𝑠𝑒𝑛 60°
√3
𝑠𝑒𝑛 60° =
2
𝑥
15
=
𝑠𝑒𝑛30° 𝑠𝑒𝑛60°
𝑠𝑒𝑛 30° =
𝑥
15
=
1
√3
2
2
Simplificando o dois e multiplicando os divisores com denominadores temos:
√3𝑥 = 15
15
𝑥=
√3
Tiramos agora a √3 do denominador:
15 √3
𝑥=
.
√3 √3
15√3
𝑥=
3
𝑥 = 5√3
Aproximamos √3 para 1,7 ficamos com:
𝑥 = 5.1,7 = 8,5
A distância de AB é 8,5. Letra D
RESOLUÇÃO: sabendo que a lata de lixo tem o formato de um cilindro, para saber a quantidade
de material basta calcular a soma da área da base (uma circunferência) e a área do retângulo, que
podemos obter ao planificar um cilindro.
Obs: como a questão pede a resposta em dm², já convertemos as medidadas de cm para dm.
40𝑐𝑚 = 4𝑑𝑚 120𝑐𝑚 = 12𝑑𝑚
Nota-se que a base do retângulo equivale a circunferência da base, dada por:
𝐶 = 2. 𝜋. 𝑟
𝐶 = 2.3.2
𝐶 = 12
Tendo a base, podemos agora calcular a sua área:
𝐴 = 𝑏. ℎ
𝐴 = 12.12
𝐴 = 144𝑑𝑚2
Agora, precisamos calcular apenas a área de uma circunferência, pois o enunciado afirma que a
lata não tem tampa.
𝐴 = 𝜋. 𝑟²
𝐴 = 3.22
𝐴 = 12𝑑𝑚2
Basta agora somar as duas áreas, obtendo assim a quantidade de material usada.
𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 144 + 12
𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 156𝑑𝑚2
Letra D
RESOLUÇÃO: essa questão pede o volume do cilindro, dada pela fórmula:
𝑉 = 𝐴𝑏 . ℎ
Tendo a base como uma circunferência, sua área será:
𝐴 = 𝜋. 𝑟 2
𝐴 = 3.22
𝐴 = 12𝑑𝑚2
Logo:
𝑉 = 12.12
𝑉 = 144𝑑𝑚2
Letra A
RESOLUÇÃO: podemos obter a quantidade de dias pegando a quantidade de lixo produzida por
dia pelas capitais e aplicando em uma função da seguinte maneira:
𝐹𝑙𝑜𝑟𝑖𝑎𝑛ó𝑝𝑜𝑙𝑖𝑠 = 347,4 + 2𝑥
𝑁𝑎𝑡𝑎𝑙 = 1443 − 𝑋
O x expressa uma função da quantidade de lixo vezes determinado tempo, sendo 2 a mais por dia
para Florianópolis e 1 a menos por dia para Natal. Colocando isso em uma inequação para obter a
menor quantidade de dias em que Natal produzirá menos lixo que Florianópolis, teremos:
1443 − 𝑥 < 347,4 + 2𝑥
−3𝑥 < −1095,6
𝑥 > 365,2
Sabendo que x precisa ser maior que 365 dias, a quantidade necessária para que Florianópolis
produza mais lixo que Natal é de 366. Letra B
RESOLUÇÃO: dando dois pontos e uma equação de circunferência do ponto 𝐶2 = (𝑥 − 40)2 +
(𝑦 − 30)2 ≤ 30² ele pede um ponto para se instalar a antena em que a distância entre ela e o ponto
𝐶1 𝑒 𝐶2 sejam iguais.
Para isso, precisamos analisar a equação dada. Sendo uma equação de circunferência, podemos
retirar que as coordenadas do ponto 𝐶2 é (40, 30).
Agora, sabendo que a antena a ser instalada se situa na margem do rio, sendo esse dado pelo eixo
x, as coordenadas da nova antena será (x, 0).
Sendo 𝐶1 situado no centro do plano cartesiano, suas coodernadas automaticamente são (0, 0).
Com essas informações, basta apenas usarmos a fórmula de distância entre os pontos entre cada
uma das antenas anteriores e, então, igualá-las.
𝑑𝑎𝑏 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2
√(𝑥 − 0)2 + (0 − 0)2 = √(𝑥 − 40)2 + (0 − 30)2
𝑥 2 = 𝑥 2 − 80𝑥 + 1600 + 900
80𝑥 = 2500
𝑥 = 31,25
Concluímos que a antena precisa ser instalada, no eixo x, próxima de 31km. Letra E
RESOLUÇÃO: essa questão é mais fácil e, com conhecimentos básicos de trigonometria, pode ser
facilmente deduzida. Sendo a árvore de 8,0m e a distância entre sua base e o lugar onde o topo
tocou o solo de 4,0 m, podemos perceber que a figura que se forma é a de um Triângulo Retângulo.
Esses triângulos seguem uma proporção de 3, 4 e 5, sendo 5 sua hipotenusa. Se a distância entre
o ponto que o topo tocou no chão e a base da árvore é de 4, podemos concluir que a figura tem a
proporção 3, 4 e 5. Sendo 3, a base que sobrou no chão e 5 o pedaço de árvore que caiu.
Fonte da imagem: www.osfantasticosnumerosprimos.com.br
RESOLUÇÃO: sabendo que a reta passa no ponto A e que sua equação é dada por 𝑥 + 5𝑦 + 50 =
0, para saber o valor de x, que é o diâmetro da circunferencia citada, basta apenas substituir o y
por 0.
𝑥 + 5.0 + 50 = 0
𝑥 = −50
Como a questão pede apenas o raio, basta dividir o resultado por 2, obtendo 25 como resposta.
Letra D
Resolução: sabemos que, para calcularmos o volume de um cilindro, usamos a expressão:
𝑉 = 𝜋. 𝑅 2 . ℎ
Assim,
𝑉 = 3.42 . 2 = 96 𝑚3
Agora, precisamos lembrar que 1m³ = 1000 l, portanto, o volume da cisterna é de 96 000 l, letra “C”
Resolução:
Um volume muito adotado pelo ENEC é o da Esfera. Neste caso, temos:
4
4
𝑉 = . 𝜋. 𝑅 3 = . 3. (0,3)3 = 4.0,027 = 0,1134 𝑚𝑚3
3
3
Como o volume de Água é igual a 10 000 vezes esse volume, então este é igual a 1134 mm³. Para
produzirmos 1000 desses componentes, então V = 1134000 mm³. Pra transformar em litros, temos
que 1m³ = 1000 litros. Por sua vez, 1 litro = 1 milhão de mm³, daí, dividimos o valor acima por 1
milhão, totalizando V = 1,134 litros. Letra B
Resolução:
(tarifa b)
100.1 𝑡𝑎𝑟𝑖𝑓𝑎 = 22,419
{100.2 𝑡𝑎𝑟𝑖𝑓𝑎 = 32,629
100.3 𝑡𝑎𝑟𝑖𝑓𝑎 = 51,792
2 casas décimas após virgula
300. 0,28 = 84. 1,25(25%) = 105
Portanto, ficamos com a letra D
Resolução
Precisamos calcular quanto é 45% de 49%, ou seja:
45
100
49
x 100 = 0,45 . 0,49 = 22,05%
Resposta: D
Resolução:
Pelo enunciado, temos que P(-2) = -4. O coeficiente a=1 e os zeros são 0 e -1.
Ainda, como o Polinômio é do 3º grau, sua forma genérica é:
P(x) = ax³+bx²+cx+d
Como uma das raízes é o zero, daí temos que o valor do coeficiente “d” é nulo.
Ainda, como P(-1) = 0, temos:
então: (-1)³+b(-1)²+c(-1)=0
𝑏 − 𝑐 = 1 . (−1)
{
2𝑏 − 𝑐 = 2
−𝑏 + 𝑐 = −1
{
2𝑏 − 𝑐 = 2
Logo, b=1. Analogamente,
b-c = 1
-c= 1-1
C=0
Como P(-2) = -4, temos que (-2)³+b(-2)²+c(-2)= -4
4b – 2c = 4 (/2)
2b – c = 2
Logo, P(x) = x³ + x²
Com isso voltamos a formula inicial para colocar os resultados obtidos:
ax³+bx²+cx+d
Só que d já era zero (dados da questão) e agora c também, ou seja,
P(x) = 1x³ + 1x²
RESPOSTA: c) p(x)= x³ + x²
Resolução: Faz-se necessário multiplicar o número de crianças da índia por 2 já que ela tem peso
2 por ter entrevistado o dobro de pessoas comparando com os outros 6 países, consequentemente
o divisor para com a média aritmética deve ser somado +1 juntamente aos outros 6 países, ou seja:
9 + 12.5 + 14.2
= 12,125
8
Resposta: D
Resolução:
160 = diâmetro
80 = raio
1 bisnaga = 1 m²
𝜋. 𝑟² = 𝑎𝑟𝑒𝑎
2,0096
3,14 . 0,8² = 2 = 1,0048
Resposta : A) uma bisnaga
A questão 50 da prova foi anulada, portanto, não há necessidade de resolução.
Assim, finalizamos aqui a resolução comentada da prova de Matemática do ENEC de 2014,
esperamos que sirva como norte de estudos para nossos colegas cenecistas e também para
demais alunos que precisem de um auxílio em seus estudos para os diversos vestibulares, ENEM
e concursos que irão fazer.