Medidas de Tendência Central

ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Medidas de Tendência Central
3 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
3.1 Média Aritmética
Uma das mais importantes medidas estatísticas utilizadas é
a média. Ela é, por exemplo, utilizada no cálculo de nossa média
escolar.
A média caracteriza o centro da distribuição de freqüências;
ela
é
considerada o ponto de equilíbrio de uma distribuição.
5
Cálculo da média aritmética para dados isolados
A média aritmética representada por x , é dada pela soma
x1 + x2 + ... + xn , dividida por n (número total da amostra), ou
x
seja: x =
10
∑ xi
i=1
n
.
Veja o exemplo a seguir:
Um administrador deseja calcular o tempo médio de espera do
lanche “X TUDO” em sua lanchonete. Para isso, analisa uma amostra
de 10 pedidos, cujo tempo de espera está listado a seguir:
Tabela 1.
Tempo, em minutos, de espera do lanche “X
tudo” na Lanchonete.
20
16
15
20
25
15
19
10
18
12
29
Medidas de Tendência Central
A média é calculada da seguinte maneira:
x=
20 + 15 + 25 + 19 + 18 + 16 + 20 + 15 + 10 + 12
= 17 min
10
Cálculo da média aritmética para o caso de distribuição de
freqüências.
5
Exemplo: Em uma amostra de 40 parafusos produzidos por
uma metalúrgica, foram medidos os diâmetros, em milímetros,
conforme a tabela abaixo. Qual é a medida média do diâmetro?
Tabela 2. Freqüências.
Diâmetro do parafuso, em
milímetros.
xi
Nº de parafusos (fi)
1,1
5
1,2
10
1,3
15
1,4
4
1,5
6
Total
∑ fi = 40
x
Neste caso utilizamos a fórmula: x =
∑ xi .fi
i=1
n
, pois a tabela
10 mostra que existem 5 parafusos com diâmetro igual a 1,1mm,
10 parafusos com diâmetro 1,2 mm e assim por diante.
Tabela 3.
30
Diâmetro do parafuso, em
milímetros.
xi
nº de parafusos
(fi)
xi.fi
1,1
5
5,5
1,2
10
12
1,3
15
19,5
1,4
4
5,6
1,5
6
9
Total
∑ fi = 40
∑xi.fi = 51,6
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
516
,
= 129
, mm
40
x=
Veja o outro exemplo a seguir:
x
∑ xi .fi
i=1
x=
n
classe.
5
, onde xi é representado pelo ponto médio da
Tabela 4. Classes de salários.
Classes de
salários
(em reais)
Ponto
Médio
fi
xi.fi
500 |— 1000
750
8
6000
1000|— 1500
1250
4
5000
1500 |— 2000
1750
9
15750
2000 |— 2500
2250
7
15750
2500 |— 3000
2750
10
27500
3000 |— 3500
3250
5
16250
3500 |— 4000
3750
7
26250
∑fi = 50
∑xi.fi = 112.500
x=
112.500
= 2250 reais.
50
3.2 Mediana (Me)
A mediana é uma medida de tendência central. Ela divide um
conjunto ordenado de dados em duas partes com igual número
de elementos.
10
No caso de dados isolados temos:
Se a amostra é constituída por um número ímpar de
elementos, a mediana é o valor que fica no centro dos dados
ordenados.
31
Medidas de Tendência Central
Exemplo: 20, 20, 24, 25, 30.
A mediana é 24.
Se a amostra é constituída por um número par de elementos,
a mediana é a média aritmética dos dois valores centrais dos
5 dados ordenados.
Exemplo: 20, 20, 24, 26, 30 e 36
A mediana é 24 + 26 = 25 .
2
Curiosidade: Para os dados agrupados, a mediana é
n

 2 − ( ∑ fai) 
calculada através da fórmula: Me = Li + 
 .c ,
fme


onde:


Li: limite inferior da classe que contém a mediana.
n: freqüência total.
∑ fai: soma de todas as freqüências das classes anteriores
à mediana.
fme: freqüência da classe que contém a mediana.
c: amplitude do intervalo da classe da mediana.
Qual é a diferença entre média e mediana?
Embora sejam duas medidas de tendência central, a média
10 e a mediana possuem conceitos diferentes. Observe o conjunto
de dados abaixo:
2, 3, 4, 5, 9, 15, 35, 98.
Calculando a média obtemos:
x=
32
2 + 3 + 4 + 5 + 9 + 15 + 35 + 98
= 21, 375
8
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Calculando a mediana obtemos:
me =
5+9
= 7.
2
O que podemos perceber nesse caso é que o cálculo da média
levou em consideração todos os valores do conjunto de dados
5 numéricos, sendo assim influenciada pelos maiores valores. A
mediana levou apenas em consideração os seus dois valores
centrais.
Embora a média aritmética seja bastante utilizada, há
casos em que a mediana descreve melhor a situação. Cabe ao
10 pesquisador procurar a medida mais conveniente.
3.3 Moda
A moda de um conjunto de dados é o valor que ocorre com
maior freqüência.
Exemplo.
Para o conjunto de dados: 10, 12, 12, 23, 12, 25, 20, a moda
15 é 12.
Curiosidade: Para os dados agrupados, a moda é

d1 
 .c , onde:
 d1 + d2 
calculada através da fórmula: Mo = Li + 
Li: limite inferior da classe modal.
d1: diferença entre a freqüência classe modal e a classe
imediatamente anterior.
d2: diferença entre a freqüência classe modal e a classe
imediatamente seguinte.
c: amplitude do intervalo da classe modal.
33
Medidas de Tendência Central
Um conjunto de dados pode ser:
Amodal: quando nenhum dado se repete.
Exemplo. 2, 3, 5, 9, 10 e 12.
Modal: quando um valor se repete.
5
Exemplo: 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7 e 9.
Moda: 4.
Bimodal: quando dois valores se repetem.
Exemplo. 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7 e 10.
Moda: 4 e 6.
10
Trimodal: quando três valores se repetem.
Exemplo. 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 6 e 8.
Moda: 2, 4 e 6.
Polimodal: mais do que três valores se repetem.
15
Exemplo. 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 10.
Moda: 1, 3, 5 e 7.
3.4 Medidas de Posição (Quartis, decis e
percentis)
Para o conjunto de dados ordenados temos que os valores que
dividem o conjunto em quatro partes iguais são denominados
quartis. Esses valores que podem ser representados por Q1, Q2
e Q3 denominam-se primeiro, segundo e terceiros quartis,
20 respectivamente.
Os valores que dividem o conjunto ordenado em dez partes
iguais denominam-se decis e os valores que dividem os dados
em cem partes iguais percentis.
34
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
3.5 Exercícios Resolvidos
1. Uma amostra com dez preços de álcool foi extraída em
diversos postos no dia 02/01/2007. Os preços em reais são:
1,00
1,25
1,35
1,09
1,19
1,25
1,12
1,45
1,39
1,19
Para a tabela acima determine:
a) a mediana.
5
Para o calculo da mediana devemos necessariamente colocar
os dados em ordem. (Rol)
1,00
1,09
1,12
1,19
1,19
1,25
1,25
1,35
1,39
1,45
Temos aqui um conjunto com uma quantidade par de
elementos (10 elementos).
Devemos então fazer a média aritmética dos dois elementos
10 centrais:
Me =
119
, + 125
,
= 122
, reais.
2
b) a moda.
Para o cálculo da moda não há necessidade de colocar
os dados em ordem, porém a visualização dos valores que se
15 repetem fica mais clara.
O conjunto de dados é bimodal, pois há no conjunto dois
valores que se repetem: 1,19 e 1,25.
c) a média.
1, 00 + 1, 09 + 112
, + 119
, + 119
, + 125
, + 125
, + 135
, + 139
, + 145
,
=
10
12,228
= 1228
, .
20 =
10
x=
35
Medidas de Tendência Central
O preço médio do álcool é de R$1,23 (arredondamento de
duas casas decimais).
2. O peso em quilogramas de 50 alunos de uma academia
está listado na tabela abaixo.
5
Tabela 5. Freqüências.
Pesos, em kg.
nº de alunos (fi)
54
2
58
4
62
12
66
5
70
7
74
16
78
4
Total
∑fi=50
Determine a média.
Devemos lembrar que essa tabela mostra que existem 2
alunos com peso igual a 54 kg, 4 alunos com 58 kg e assim por
diante. O número total de alunos é igual a 50.
10
Neste caso, para o cálculo da média utilizamos a fórmula:
∑ xi.fi .
x=
n
Vamos fazer este cálculo utilizando a tabela.
Tabela 5. Cálculo da Média.
Pesos, em kg.
Xi
nº de alunos
(fi)
xi.fi
54
2
54.2=108
58
4
58.4=232
62
12
62.12=744
66
5
66.5=330
70
7
70.7=490
74
16
74.16=1184
78
4
78.4=312
Total
∑fi=50
∑xi.fi=3400*
* ∑ xi.fi = 128 + 232 + 744 + 330 + 490 + 1184 + 312 = 3400 .
36
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
x=
3400
= 68 kg.
50
O peso médio dos alunos da academia é de 68 kg.
b) Moda.
A moda é 74 (16 alunos pesam 74 kg).
5
3. A seguir estão listadas as mensalidades, em reais, do curso
de línguas (2 horas semanais) em diversas escolas de um bairro.
240
350
250
300
320
285
450
600
198
Determine:
a) Mediana.
Para o calculo da mediana devemos necessariamente colocar
10 os dados em ordem. (Rol)
198
240
250
285
300
320
350
450
600
Temos aqui um conjunto com uma quantidade ímpar de
elementos (9 elementos).
A mediana é o termo central.
Me=300.
15
Podemos dizer que 50% dos preços são maiores ou iguais a
R$ 300,00 e 50% dos preços são menores ou iguais a R$ 300,00.
b) Moda.
O conjunto de dados é amodal (nenhum valor se repete).
c) Média.
20
198 + 240 + 250 + 285 + 300 + 320 + 350 + 450 + 600
=
9
2993
=
= 332, 56.
9
x=
O valor médio é de R$332,56.
37
Medidas de Tendência Central
4. Um nutricionista indicou dietas diferentes para três
grupos de pacientes. A tabela indica a perda de peso (em kg) por
paciente.
Tabela 7. Perda de Peso.
5
Grupo 1
Grupo 2
Grupo 3
2
3
4
4
5
6
8
10
2
2
2
3
3
5
8
9
3
4
4
4
5
6
6
6
Calcule a média, a mediana e a moda para cada um dos
grupos.
Grupo 1.
Média: x =
2 + 3 + 4 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 42
= = 5, 25 kg.
8
8
A moda é igual a 4 kg.
10
Mediana: Me =
4 +5
= 4, 5 kg.
2
Grupo 2.
Média: x =
2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 5 + 8 + 9 34
=
= 4, 25 kg.
8
8
A moda é igual a 2 kg.
Mediana: Me =
15
Grupo 3.
Média: x =
38
3+3
= 3 kg.
2
3 + 4 + 4 + 4 + 5 + 6 + 6 + 6 38
= = 4, 75 kg.
8
8
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Bimodal: 4kg e 6 kg.
Mediana: Me =
4 +5
= 4, 5 kg.
2
Os resultados estão na tabela a seguir:
Tabela 8. Resumo.
5
Grupo 1
Grupo 2
Grupo 3
2
3
4
4
5
6
8
10
2
2
2
3
3
5
8
9
3
4
4
4
5
6
6
6
∑xi = 42
∑xi = 34
∑xi = 38
x 1 = 5,25 kg
x2 = 4,25kg
x 3 = 4,75kg
Me(1)=4,5kg
Me(2)=3kg
Me(3)=4,5kg
Levando em consideração a média, podemos dizer que a
dieta do grupo 1 foi a que teve mais efeito.
A mediana para os grupos 1 e 3 foi a mesma, significando
que 50% do peso perdido é maior ou igual a 4,5 kg e 50% menor
ou igual a 4,5 kg.
10
5. Considere o histograma abaixo, para calcular a idade
média dos alunos em um curso de Inglês.
Gráfico 1. Histograma.
39
Medidas de Tendência Central
Para calcular a média, primeiramente vamos transportar os
dados do gráfico para uma tabela.
Tabela 9. Freqüências.
Classes de Idades
nº de alunos
10 |–12
30
12 |–14
20
14 |–16
25
16 |–18
15
18 |–20
10
Total:
100
Agora vamos calcular a média:
5
Tabela 10. Cálculo da Média.
Classes de
Idades
Ponto Médio
xi
xi nº de alunos
fi
xi.fi
10 |–12
11
30
11.30=330
12 |–14
13
20
13.20=260
14 |–16
15
25
15.25=375
16 |–18
17
15
17.15=255
18 |–20
19
10
19.10=190
100
∑xi.fi = 1410
Total:
x=
1410
= 14,10 anos
100
A idade média é 14,10 anos.
4 MEDIDAS DE DISPERSÃO.
Quando descrevemos nossos dados através das medidas de
tendência central, necessitamos muitas vezes de complementos,
10 denominados medidas de dispersão. As medidas de dispersão
utilizadas são a amplitude, a variância, o desvio-padrão e o
coeficiente de variação.
40
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
As medidas de dispersão indicam o quanto os dados variam
em torno da região central.
4.1 Amplitude
A amplitude é a diferença entre o maior e o menor dado
observado.
5
Por utilizar apenas os extremos, a amplitude não é uma boa
medida de dispersão.
No exemplo 2 (capítulo 1) a amplitude é: 39000 - 520 - 3380.
4.2 Variância (s2)
A variância é definida como a soma dos quadrados dos
desvios dividida pelo tamanho da amostra menos 1.
10
s
2
( xi − x )2
∑
=
n −1
O desvio em relação à média é a diferença entre cada dado
(xi) e a média do conjunto ( x ).
Exemplo: Calcular a variância para o caso abaixo.
Tabela 1. Tempo, em minutos.
Tempo, em minutos, de espera do lanche “X
tudo” na Lanchonete.
20
16
15
15
20
25
15
19
10
18
12
x = 17 min
(20 − 17)2 + (15 − 17)2 + (25 − 17)2 + ... + (12 − 17)2
s =
=
10 − 1
170
=
= 18, 89 min2
9
2
41
Medidas de Tendência Central
No caso de uma distribuição de freqüências usamos a
fórmula:
s
2
( xi − x )2 .fi
∑
, onde xi é o ponto médio do intervalo de
=
n −1
classe e fi é a freqüência de cada classe.
5
Tabela 2. Classes de salários.
Classes de
salários
(em reais)
Ponto
Médio
fi
(xi - x)2.fi
500 |— 1000
750
8
18.000.000
1000|— 1500
1250
4
4.000.000
1500 |— 2000
1750
9
2.250.000
2000 |— 2500
2250
7
0
2500 |— 3000
2750
10
2.500.000
3000 |— 3500
3250
5
5.000.000
3500 |— 4000
3750
7
15.750.000
∑ fi = 50
∑ (xi - x)2.fi = 47.500.000
x = 2.250 reais.
s2 =
47500000
= 969.387, 76 reais2.
49
4.3 Desvio-padrão (s)
O desvio-padrão é a raiz quadrada positiva da variância.
Para dados isolados: s =
10
∑ (xi − x)2 .
Para dados agrupados: s =
n −1
∑ (xi − x)2 .fi .
n −1
O desvio-padrão é uma das medidas de dispersão de maior
interesse nas pesquisas em geral, pois ela é expressa na mesma
unidade da variável em estudo.
42
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Verifique o exemplo abaixo:
Vamos considerar as alturas, em centímetros, de 2 grupos de
alunos de uma universidade.
Tabela 3. Alturas.
5
Grupo 1
Grupo 2
150
150
151
151
151
152
152
152
153
153
148
150
155
160
165
170
180
190
195
200
Total: 1515
Total: 1713
x1 = 151,5 cm
x2 = 171,3 cm
s1 = 1,08 cm
s2 = 18,98 cm
Devemos observar que, quanto maior o desvio-padrão, maior
será a variação entre os dados analisados, e, quanto menor for o
desvio-padrão, menor é a variação entre os dados analisados.
No grupo 2, a variação entre as alturas é maior (desviopadrão 18,98 cm), e no grupo 1 (desvio-padrão 1,08 cm), a
10 variação é menor.
4.4 Coeficiente de Variação (CV)
O coeficiente de variação é o quociente entre o desvio-padrão
e a média.
CV =
s
.
x
Podemos expressar o coeficiente de variação na forma de
15 porcentagem.
s
CV = .100% .
x
No exemplo acima temos: Grupo 1, com CV=0,71%, e Grupo
2, com CV=11,08%.
43
Medidas de Tendência Central
4.5 Exercícios Resolvidos
1. A variação do preço, em reais, da lata de óleo de soja em
diversos mercados. Preços referentes a 03/01/2008.
2,50
2,70
2,30
2,45
2,60
2,10
2,65
2,15
2,35
2,70
Para os dados acima encontre:
a) a média.
5
2, 50 + 2, 70 + 2, 30 + 2, 45 + 2, 60 + 2,10 + 2, 65 + 2,15 + 2, 35 + 2, 70
=
10
24,55
=
= 2, 45
10
x=
O preço médio é de R$2,45.
b) desvio-padrão.
Para facilitar os cálculos, vamos construir uma tabela; veja
a
seguir:
10
Preços (em reais)
s=
(xi - x)2
2,10
(2,10 - 2,45)2 = 0,1225
2,15
(2,15 - 2,45)2 = 0,09
2,30
(2,30 - 2,45)2 = 0,0225
2,35
(2,35 - 2,45)2 = 0,01
2,45
(2,45 - 2,45)2 = 0
2,50
(2,50 - 2,45)2 = 0,0025
2,60
(2,60 - 2,45)2 = 0,0225
2,65
(2,65 - 2,45)2 = 0,04
2,70
(2,70 - 2,45)2 = 0,0625
2,70
(2,70 - 2,45)2 = 0,0625
∑ xi = 2,45
∑ (xi - x)2 = 0,435
0,1225 + 0, 09 + 0, 0225 + 0, 01 + 0 + 0, 0025 + 0, 0255 + 0, 04 + 0, 0625 + 0, 0625
0, 435
=
= 0, 22 *
10 − 1
9
* arredondamento para duas casas decimais.
c) CV =
44
0, 22
.100% = 8, 98%.
2, 45
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
2. Para a tabela a seguir, determine:
Tabela 4. Produção de Biodiesel.
Produção de Biodiesel no estado de São Paulo – Biodiesel
Puro por produtor – 2006 – 2007 (m³).
2006
2007
Janeiro
-
1063
Fevereiro
-
1683
Março
-
1743
Abril
-
1916
Maio
-
2336
Junho
3761
959
Julho
35
3871
Agosto
2354
5793
Setembro
4007
4473
Outubro
4895
7287
Novembro
4863
-
Dezembro
1236
-
Fonte: ANP/SRP, conforme a portaria ANP nº 54/01.
Determine:
a) a média e o desvio-padrão da produção de Biodiesel de
5 junho a dezembro de 2006.
3761 + 35 + 2354 + 4007 + 4895 + 4863 + 1236
=
7
21151
=
= 3021, 57 m3
7
x=
Mês
Xi
(xi - x)2
Junho
3761
(3761 - 3021,57)2 = 546756,72
Julho
35
(35 - 3021,57)2 = 8919600,36
Agosto
2354
(2354 - 3021,57)2 = 445649,70
Setembro
4007
(4007 - 3021,57)2 = 971072,28
Outubro
4895
(4895 - 3021,57)2 = 3509739,96
Novembro
4863
(4863 - 3021,57)2 = 3390864,44
Dezembro
1236
(1236 - 3021,57)2 = 3188260,22
∑ xi = 21151
∑ (xi - x)2 = 20971943,68
s=
20971943, 68
= 1869, 58
6
45
Medidas de Tendência Central
b) a média e o desvio-padrão da produção de Biodiesel de
janeiro a outubro de 2007.
Média:1063 + 1683 + 1743 + 1916 + 2336 + 959 + 3871 + 5793 + 4473 + 7287 31124
x=
=
= 3112, 4 m3
10
10
Desvio-Padrão:
5
Mês
Xi
(xi - x)2
Janeiro
1063
(1063 - 3112,4)2 = 4200040,36
Fevereiro
1683
(1683 - 3112,4)2 = 2043184,36
Março
1743
(1743 - 3112,4)2 = 1875256,36
Abril
1916
(1916 - 3112,4)2 = 1431372,96
Maio
2336
(2336 - 3112,4)2 = 602796,96
Junho
959
(959 - 3112,4)2 = 4637131,56
Julho
3871
(3871 - 3112,4)2 = 575473,96
Agosto
5793
(5793 - 3112,4)2 = 7185616,36
Setembro
4473
(4473 - 3112,4)2 = 1851232,36
Outubro
7287
(7287 - 3112,4)2 = 17427285,16
∑ xi = 31124
∑ (xi - x)2 = 41829390,4
s=
41829390, 4
= 2155, 85 m3
9
O valor médio da produção de biodiesel, em 2006, foi de
3021,57 m³ e, em 2007, foi de 3112,4 m³. A variação da produção
foi maior em 2007.
46
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
3. A tabela a seguir mostra os preços de venda no mercado
atacadista de 3 produtos.
Preços mensais de venda no mercado atacadista – janeiro a outubro de
2007.
Feijão
Carioquinha tipo
1
Preço em reais
por saca de 60
kg.
Feijão
Carioquinha tipo
2
Preço em reais
por saca de 60
kg.
Feijão Preto
tipo 1
Preço em reais
por saca de 60
kg.
Janeiro
74,64
67,05
62,31
Fevereiro
78,56
68,62
62,09
Março
72,80
66,02
59,61
Abril
75,29
66,66
59,84
Maio
89,86
76,66
61,55
Junho
93,61
82,16
67,29
Julho
93,29
82,93
66,93
Agosto
100,26
93,70
70,13
Setembro
112,84
108,58
77,05
Outubro
146,50
141,34
86,66
Fonte: IAE – Instituto de Economia Agrícola.
a) calcule o preço médio de cada produto nos meses de
janeiro a outubro de 2007.
5
b) calcule o desvio-padrão e o coeficiente de variação de
cada produto nos meses de janeiro a outubro de 2007.
c) analise os resultados do item b.
47
Medidas de Tendência Central
Feijão Carioquinha – Tipo 1
x1 =
74, 64 + 78, 56 + 72, 80 + 75, 29 + 89, 86 + 93, 61+ 93, 29 + 100, 26 + 112, 84 + 146, 50 937, 65
=
= 93, 765 reais
10
10
Feijão Carioquinha tipo 1
Preço em reais por saca de 60 kg.
(xi)
74,64
(74,64 - 93,765)2 = 365,765625
78,56
(78,56 - 93,765)2 = 231,192025
72,80
(72,80 - 93,765)2 = 439,531225
75,29
(75,29 - 93,765)2 = 341,325625
89,86
(89,86 - 93,765)2 = 15,249025
93,61
(93,61 - 93,765)2 = 0,024025
93,29
(93,29 - 93,765)2 = 0,225625
100,26
(100,26 - 93,765)2 = 42,185025
112,84
(112,84 - 93,765)2 = 363,855625
146,50
(146,50 - 93,765)2 = 2780,980225
∑ xi = 937,65
s1 =
(xi - x)2
∑ (xi - x)2 = 4580,33405
4580, 33405
= 22, 56 reais.
9
Feijão Carioquinha – Tipo 2
5
x2 =
67, 05 + 68, 62 + 66, 66 + 76, 66 + 82,16 + 82, 93 + 93, 70 + 108, 58 + 14134
,
853, 72
=
= 85, 372 reais.
10
10
Feijão Carioquinha tipo 2
Preço em reais por saca de 60 kg.
(xi)
67,05
(67,05 - 85,372)2 = 335,6957
68,62
(68,62 - 85,372)2 = 280,6295
66,02
(66,02 - 85,372)2 = 374,4999
66,66
(66,66 - 85,372)2 = 350,1389
76,66
(76,66 - 85,372)2 = 75,8989
82,16
(82,16 - 85,372)2 = 10,3169
82,93
(82,93 - 85,372)2 = 5,9634
93,70
(93,70 - 85,372)2 = 69,3556
108,58
(108,58 - 85,372)2 = 538,6113
141,34
(141,34 - 85,372)2 = 3132,4170
∑ xi = 853,72
s2 =
48
(xi - x)2
∑ (xi - x)2 = 5173,5271
5173, 5271
= 23, 98 reais.
9
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Feijão Preto – Tipo 1.
x3 =
62, 31 + 62, 09 + 59, 61 + 59, 84 + 6155
, + 67, 29 + 66, 93 + 70,13 + 77, 05 + 86, 66 673, 46
=
= 67, 346 reais
10
10
Feijão Preto tipo 1
Preço em reais por saca de 60 kg.
(xi)
(xi - x)2
62,31
(62,31 - 67,346)2 = 25,361296
62,09
(62,09 - 67,346)2 = 27,625536
59,61
(59,61 - 67,346)2 = 59,845696
59,84
(59,84 - 67,346)2 = 56,340036
61,55
(61,55 - 67,346)2 = 33,593616
67,29
(67,29 - 67,346)2 = 0,003136
66,93
(66,93 - 67,346)2 = 0,173056
70,13
(70,13 - 67,346)2 = 7,750656
77,05
(77,05 - 67,346)2 = 94,167616
86,66
(86,66 - 67,346)2 = 373,030596
∑ xi = 673,46
∑ (xi - x)2 = 677,89124
s2 =
677, 89124
= 8, 68 reais.
9
Resumindo os nossos dados temos:
5
Feijão
Carioquinha
– Tipo 1
Feijão
Carioquinha
– Tipo 2
Feijão Preto
– Tipo 1
Média
R$ 93,765
R$ 85,372
R$ 67,346
Desvio-padrão
R$ 22,56
R$ 23,98
R$ 8,68
Após a análise, podemos concluir que o feijão preto tipo
1 possui menor preço médio e também a menor variação de
preço.
Entre o feijão carioquinha tipos 1 e 2, o menor preço médio
é o do tipo 2; a variação do tipo 1 é de aproximadamente 3% e
10 a do tipo 2 é de 2,8%.
49
Medidas de Tendência Central
4. A tabela de freqüências abaixo mostra o número
de professores agrupados por classes; de idade de uma
Universidade.
Classes de idades
(em anos)
nº de professores
(fi)
20 |— 30
5
30 |— 40
10
40 |— 50
15
50 |— 60
12
60 |— 70
3
∑ fi = 45
Calcule a média, a variância e o coeficiente de variação.
5
Para o cálculo da média devemos primeiramente encontrar
os pontos médios dos intervalos de classe; veja a seguir:
Classes de idades
(em anos)
nº de professores
(fi)
Ponto Médio
20|— 30
5
20 + 30
= 25
2
30|— 40
10
30 + 40
= 35
2
40 |— 50
15
40 + 50
= 45
2
50 |— 60
12
50 + 60
= 55
2
60 |— 70
3
60 + 70
= 65
2
∑ fi = 45
50
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Para o cálculo da média, fazemos:
Classes de
idades
(em anos)
nº de
professores
(fi)
20|— 30
5
20 + 30
= 25
2
25.5=125
30|— 40
10
30 + 40
= 35
2
35.10=350
40 |— 50
15
40 + 50
= 45
2
45.15=675
50 |— 60
12
50 + 60
= 55
2
55.12=660
60 |— 70
3
60 + 70
= 65
2
65.3=195
Ponto Médio
(xi)
∑ fi = 45
x=
xi.fi
∑ xi.fi = 2005
2005
= 44, 56 * anos
45
*aproximação de duas casas decimais.
Para o cálculo da variância temos:
Classes de
idades
(em anos)
Ponto
Médio
(xi)
nº de
professores
(fi)
(xi - x)2..fi
20|— 30
25
5
(25 - 44,56)2. 5 = 1912,968
30|— 40
35
10
(35 - 44,56)2. 10 = 913,936
40 |— 50
45
15
(45 - 44,56)2. 15 = 2,904
50 |— 60
55
12
(55 - 44,56)2. 12 = 1307,9232
60 |— 70
65
3
(65 - 44,56)2. 3 = 1253,3808
∑ fi = 45
∑ (xi - x)2 .fi = 5391,112
1912,968 + 913,936 + 2,904 + 1307,9232 + 1253,3808
=
45 − 1
5391112
,
= 122, 53 anos2 .
44
2
5 s =
51
Medidas de Tendência Central
Para o cálculo do coeficiente de variação temos:
s = 122, 53 = 11, 07 anos.
CV =
11, 07
.100% = 24, 84% .
44, 56
5. Considere a tabela abaixo.
Salários recebidos pelos funcionários da Empresa “X”.
5
Salários
nº de funcionários
800
5
900
6
1000
12
1100
4
1200
8
1300
10
1400
15
Total:
60
Calcule a média, o desvio-padrão e o coeficiente de
variação.
Para o cálculo da média, temos:
Salários
xi
nº de funcionários
fi
xi.fi
800
5
800.5=4000
900
6
900.6=5400
1000
12
1000.12=12000
1100
4
1100.4=4400
1200
8
1200.8=9600
1300
10
1300.10=13000
1400
15
1400.15=21000
Total:
x=
52
69400
= 1156, 67 reais.
60
∑ xi.fi = 69400
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Para o desvio-padrão temos:
Salários
xi
nº de funcionários
fi
xi.fi
800
5
(800 - 1156,56)2 .5 = 636067,4445
900
6
(900 - 1156,56)2 .6 = 395276,9334
1000
12
(1000 - 1156,56)2 .12 = 294545,8668
1100
4
(1100 - 1156,56)2 .4 = 12845,9556
1200
8
(1200 - 1156,56)2 .8 = 15019,9112
1300
10
(1300 - 1156,56)2 .10 = 205434,889
1400
15
(1400 - 1156,56)2 . 15 = 888142,3335
∑ fi = 60
∑ (xi - x)2 .fi= 2447333,334
s=
2447333, 334
= 203, 67 reais.
59
Para o coeficiente de variação temos:
CV =
5
203, 67
.100% = 17, 6%
1156, 67
A média dos salários é de R$1156,67 com um coeficiente de
variação de 17,6%.
6. Considere o histograma abaixo e calcule a variância e o
coeficiente de variação.
53
Medidas de Tendência Central
A idade média dos alunos já foi calculada no capítulo anterior,
basta agora calcularmos o desvio-padrão e o coeficiente de
variação.
x=
1410
= 14,10 anos.
100
Classes de
idades
Ponto
Médio
xi
nº de alunos
fi
(xi - x)2..fi
10|— 12
11
30
(11 - 14,10)2. 30 = 288,3
12|— 14
13
20
(13 - 14,10)2. 20 = 24,2
14 |— 16
15
25
(15 - 14,10)2. 25 = 20,25
16 |— 18
17
15
(17 - 14,10)2. 15 = 126,15
18 |— 20
19
10
(19 - 14,10)2. 10 = 240,1
100
∑ (xi - x)2 .fi = 699
Total:
5
s=
699
= 2, 66 anos.
99
CV =
2, 66
.100% = 18, 87%
14,10
A variação das idades dos alunos do curso de Inglês é de
18,87%.
Referências Bibliográficas
LARSON e FARBER. Estatística Aplicada. São Paulo: Prentice
Hall, 2004.
LEVIN, J. e FOX, J.A. Estatística para ciências humanas. São
Paulo: Prentice Hall, 2004.
MOORE, D. A Estatística Básica e sua prática. Rio d Janeiro: LTC,
2000.
NEUFELD, J. L. Estatística aplicada à Administração usando
excel. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2003.
PEREIRA, P. H. Noções de Estatística. São Paulo: Papirus, 2004.
SPIEGEL, M. R. Estatística. São Paulo: Makron Books, 1993.
VIEIRA, S. Introdução a Bioestatística. Rio de Janeiro: Campus,
1980.
54