Aula Magna

Aula-11
Oscilações eletromagnéticas
e corrente alternada
Curso de Física Geral F-328
1o semestre, 2013
F328 – 1S2013
1
Oscilações LC
Introdução
Nos dois tipos de circuito estudados até agora (RC e RL),
vimos que a carga, a corrente e a diferença de potencial crescem
ou decrescem exponencialmente com o tempo.
Agora vamos estudar o circuito formado pela terceira
combinação destes elementos, ou seja, o circuito LC . Veremos que,
neste caso, estas grandezas não variam exponencialmente com o
tempo, mas sim senoidalmente (com um determinado período T e
uma frequência angular ω0). As oscilações de carga e corrente
resultam em oscilações do campo elétrico do capacitor e do campo
magnético do indutor, a que chamamos oscilações eletromagnéticas.
Na figura abaixo estão representados oito estágios em um único
ciclo de oscilação de um circuito LC sem resistência. Supomos que
inicialmente a carga q do capacitor tem o seu valor máximo Q e a
corrente i que atravessa o indutor é nula.
ω
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2
Oscilações LC
energia
totalmente
magnética
energia
totalmente
elétrica
energia
totalmente
elétrica
energia
totalmente
magnética
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3
Oscilações eletromagnéticas (LC)
Simulação dos estágios
http://www.walter-fendt.de/ph14br/osccirc_br.htm
Analogia Eletromecânica
Do ponto de vista formal, um circuito LC é análogo a um oscilador
harmônico simples, que pode se representado por um sistema massamola:
Circuito LC
Sistema massa-mola
r
E
L
1 q2
(do capacitor )
UE =
2C
1
U B = Li 2 (do indutor )
2
UB ⇔ UE
Total : U E + U B = cte
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1 2
U p = k x (da mola )
2
1 2
U c = m v (do bloco )
2
Uc ⇔ U p
Total : U p + U c = cte
5
Analogia Eletromecânica (massa-mola)
No sistema massa-mola , a energia total U é, em qualquer instante:
U = Uc +U p
Se não houver atrito, U permanece constante, isto é:
dU d 1 2 1 2
= ( mv + kx ) = 0
dt dt 2
2
cuja solução é:
Movimento
oscilatório
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d 2x k
+ x=0
2
dt
m
 dx 
v= 
dt 

x = X m cos(ω0 t +ϕ )
k
ω0=
: frequência angular natural
m
Xm : amplitude
ϕ : constante de fase
6
Analogia Eletromecânica (oscilador LC)
2
1
1
q
Energia total oscilante : U = U B + U E = Li 2 +
2
2C
Como não há resistência no circuito, temos:
2
2
2
d
q 1


dU d Li
q
 = 0
+
q=0
= 
+
2
dt dt  2 2C 
dt
LC
Fazendo as seguintes correspondências :
1 ,
v → i,
m → L,
k→
x → q,
 dq 
i =

dt 

C
a solução da equação acima é:
q (t ) = Q cos(ω0t + ϕ )
1
éa
LC
onde Q é a amplitude das oscilações da carga, ω 0 =
frequência angular natural das oscilações eletromagnéticas e ϕ é uma
constante de fase, como no caso mecânico. A corrente no circuito LC é:
dq
i = = −ω0Q sen (ω0 t +ϕ ) = − I sen (ω0 t +ϕ )
dt
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Analogia Eletromecânica
Circuito LC
Sistema massa-mola
1
ω0=
LC
k
ω0=
m
Amplitude:
Q
Xm
Constante de fase:
ϕ
ϕ
Frequência angular:
Correspondências
entre os dois sistemas
x→q
m→ L
v →i
k→
1
C
No circuito LC, a amplitude e a constante de fase são determinadas
pelas condições iniciais i(0) e q(0).
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Energias elétrica e magnética
A energia elétrica armazenada no capacitor em qualquer instante t é:
q2 Q 2
UE =
=
cos2 (ω0 t + ϕ )
2C 2C
A energia magnética armazenada no indutor é, por sua vez:
2
1
Q
1 2 1
2 2
2
2
sen (ω0 t +ϕ ) , pois ω 0 =
U B = Li = Lω0 Q sen (ω0 t + ϕ ) =
LC
2C
2
2
2
Q
UE + UB =
2C
Então, a soma (energia total
eletromagnética) permanece
constante.
Oscilações amortecidas (circuito RLC)
Com um resistor R no circuito, a energia
eletromagnética total U do sistema ( U B +U E )
não é mais constante, pois diminui com o
tempo na medida em que é transformada em
energia térmica no resistor ( dU < 0) .
dt
Energia
eletromagnética
1 2 q2
U = Li +
2
2C
dU
= − Ri 2
Potência dissipada
dt
Como i =
dq
dt
di q dq
Li +
= − Ri 2
dt C dt
d 2 q R dq 1
+
+
q=0
2
dt
L dt LC
Oscilações Amortecidas (circuito RLC )
A solução desta equação para o caso de amortecimento
2
1
 R 
<
)
  LC
fraco ( 2 L 
q (t ) = Qmax e
é:
2
R
onde ω ′ = ω0 −   .
 2L 
2
−
R
t
2L
2
cos(ω ′t + ϕ )
R
1
Quando   <<
LC
 2L 
⇒
ω′ ≅ ω 0=
1
LC
ou seja, ω′ aproxima-se da frequência angular natural do sistema.
Agora as oscilações são amortecidas, pois a amplitude de q (t )
decai exponencialmente com o tempo:
q
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Exemplo 1
Um circuito RLC série possui indutância L = 12 mH, capacitância
C = 1,6 µF, e resistência R = 1,5 Ω.
a) em que instante t a amplitude das oscilações da carga no circuito
será 50% do seu valor original?
−
R
t
2L
Rt
Queremos que: Qmax e
= 0,5 Qmax ⇒ −
= ln 0,5
2L
2L
daí: t = − ln 0,5 ⇒ t = 0,011 s
R
b) quantas oscilações são completadas neste intervalo de tempo?
2π
O tempo para uma oscilação completa é o período T =
.
ω′
2
Neste caso, como  R  << ω0 2, ω ′≅ ω0 . Ou seja:
 2L 
nT = t ⇒ n =
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t
2π LC
ou
n=
0,011
(
2π 12.10 −3 ×1,6.10
)
1
−6 2
≅ 13
12
Oscilações forçadas – Corrente alternada
As oscilações de um circuito RLC não serão totalmente
amortecidas se um dispositivo de fem externo fornecer energia
suficiente para compensar a energia térmica dissipada no resistor.
Normalmente este dispositivo é um gerador de corrente alternada
com fem do tipo: ε = ε m sen (ω t ) , onde ω é a chamada frequência
angular propulsora. Quando uma fem como esta é ligada a um circuito
RLC, dizemos que as oscilações da carga, da tensão e da corrente são
oscilações forçadas. Veremos que, qualquer que seja
a frequência angular natural ω0 de um circuito, estas
oscilações ocorrem sempre na frequência angular
ε
propulsora.
Mostramos aqui a solução para a corrente: i (t ) = I sen (ω t − ϕ ),
onde I é a amplitude da corrente no circuito e ϕ é a diferença de fase
entre a tensão da fonte e a corrente. Voltaremos a isso mais adiante.
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Um Circuito Resistivo
Um resistor ligado ao gerador de fem alternada.
Temos: ε = vR = ε m sen (ω t ) = VR sen (ω t )
Corrente iR no resistor:
vR VR
iR = = sen (ω t )
R R
Se escrevermos a corrente na forma
iR = I R sen (ω t − ϕ )
V
então temos: I R = R e ϕ = 0 .
R
Portanto, a corrente e a tensão (ddp) estão
em fase no resistor. A relação entre as amplitudes
da corrente e da tensão no resistor é:
VR = I R R
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Um Circuito Capacitivo
Um capacitor ligado ao gerador de fem alternada.
Temos: vC = ε m sen (ω t ) = VC sen (ω t )
dqC
Mas: qC = C vC = C VC sen(ω t ) e como iC =
dt
π
iC = ω CVC cos (ω t ) = ω CVC sen (ω t + )
2
1
Introduzindo a reatância capacitiva X C =
:
ωC
VC
π
π
iC =
sen (ω t + ) = I C sen (ω t + )
XC
2
2
Então ϕ = −
π
e as amplitudes da tensão e da
2
corrente estão relacionadas por: VC = I C X C
(vemos que a corrente está adiantada de π
2
em relação à tensão).
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Um Circuito Indutivo
Um indutor ligado à fonte de fem alternada.
diL
Temos: vL = ε m sen (ω t ) = VL sen (ω t ) = L
dt
VL
ou di L = sen (ω t ) dt ∴
L
VL
VL
iL = ∫ sen (ω t )dt = −
cos(ω t )
ωL
L
Introduzindo a reatância indutiva X L = ωL :
VL
π
π
iL =
sen (ω t − ) = I L sen (ω t − )
XL
2
2
π
Então ϕ = e as amplitudes da tensão e da
2
corrente estão relacionadas por: VL = I L X L
(vemos que a corrente no indutor está atrasada de
π
em relação à tensão).
2
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Simulações dos três circuitos simples
http://www.walter-fendt.de/ph14br/accircuit_br.htm
(Simulação dos três circuitos simples)
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O Circuito RLC Série
A fem aplicada é: ε = ε m sen (ω t )
A corrente transiente é nula; a corrente
permanente é dada por: i (t ) = I sen (ω t − ϕ )
Objetivo: determinar I e ϕ em função
das grandezas R, L, C, ε m e ω.
A corrente i tem o mesmo valor em todos os
elementos e é representada por um único fasor
(vetor girante) no diagrama. Para qualquer t :
ε = vR + vL + vC
r r r
r
Segue que: ε m = VR + VL + VC
VL > VC
Do diagrama, supondo que VL > VC :
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ε m 2 = VR 2 + (VL − VC )2 ou
ε m 2 = (IR )2 + (IX L − IX C )2
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O Circuito RLC Série
,
Daí achamos o valor de I :
εm
εm
I=
1 2
R + (ω L −
)
ωC
2
onde Z = R 2 + (ω L −
=
Z
,
1 2
) é a impedância do
ωC
circuito para a frequência de excitação ω .
Também a constante de fase ϕ pode
ser encontrada do diagrama dos fasores:
1
ω L−
VL −VC X L − X C
ωC
tgϕ =
=
=
VR
R
R
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Circuito RLC série
Corrente: I =
εm
1 2
R + (ω L −
)
ωC
2
Impedância: Z = ε m = R 2 + (ω L − 1 ) 2
I
ωC
Constante de fase:
1
ω L−
VL −VC X L − X C
ωC
=
=
tgϕ =
VR
R
R
Ressonância
Como maximizar a amplitude I da corrente?
Minimizando a impedância Z para facilitar a passagem da corrente
Z = R 2 + (ω L −
1 2
)
ωC
A amplitude I da corrente é máxima (condição de ressonância)
1
1
= ω0
quando ω L =
ou ω =
LC
ωC
isto é, quando a frequência propulsora
coincide com a frequência angular
natural do circuito:
ω = ω0
http://ngsir.netfirms.com/englishhtm/RLC.htm
Impedâncias e ângulos de fase
TABELA:
Componente
Impedância e ângulos de fase para várias
combinações de componentes em série no circuito
Impedância Z
Fase ϕ
Negativa, entre -90º e 0o
º o
Positiva,
entre
e 90
Positiva,
entre
0º 0eo 90
Negativa, se XC >XL
Positiva, se XC < XL
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Potência em Circuitos CA
• Potência instantânea: P = ε i = ε m sen (ω t ) I sen (ω t − ϕ )
= ε m I sen 2 (ω t ) cos ϕ − ε m I sen (ω t ) cos(ω t ) senϕ
• Potência média num ciclo (de período T ):
Pmed
1
= ε m I cos ϕ
T
T
1
∫0 sen (ω t )dt = 2 ε m I cos ϕ
2
• Valores rms: valores constantes dando a mesma potência que a
média no tempo de i(t): ε = ε m
I
I rms =
rms
2
2
Então: Pmed = ε rms I rms cos ϕ
Para a máxima transferência de potência: cos ϕ = 1 (ou ϕ = 0 ).
Nestas condições, ω L = 1 , que é a condição de ressonância.
ωC
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Potência em Circuitos CA (resistor)
Potência dissipada somente no resistor:
• Potência instantânea: P = i 2 R = I 2 R sen 2 (ω t − ϕ )
• Potência média num ciclo (de período T ):
R
2
R

Pmed = ε rms I rms cos ϕ = ε rms I rms = RI rms
 pois cosϕ = 
Z
Z

• Fator de potência (cosϕ ):
• cosϕ = 1: circuito resistivo (transferência máxima
ressonância)
de potência
• cosϕ = 0: circuito indutivo ou capacitivo (não há
transferência de potência)
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Transformadores
Geração (La Grande-2)
Tensão baixa (110 V)
para segurança
Transmissão (1000 km)
Tensão alta (735 kV)
para minimizar perdas
Québec
Consumo (Montréal)
Tensão baixa (110 V)
para segurança
Sistema de distribuição
Requer mudança de tensão
Transformadores
A taxa média de dissipação numa carga resistiva é: P = Vrms I rms
Por razões de segurança, tanto na estação geradora quanto na
extremidade receptora, é conveniente lidar com baixas voltagens. Já
na transmissão, é conveniente lidar com baixas correntes ( para
minimizar perdas ôhmicas).
Solução?
Transformador: um dispositivo usado para aumentar ou
diminuir a ddp em um cicuito CA, de modo a manter constante o
produto V x I .
Primário
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Secundário
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Transformadores
Transformador ideal
a) S aberta: O enrolamento primário é um indutor puro; como
cosϕ = 0 , não há transferência de potência do gerador para o
transformador. O fluxo φB atravessa os dois enrolamentos e a fem
induzida por espira é a mesma nos dois:
dφB VP VS
N
ε esp =
=
=
VS = S VP (relação entre as tensões)
dt
NP
NS
NP
Controlando-se N S e N P , pode-se elevar ou baixar a tensão do
secundário.
primário
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secundário
27
Transformadores
b) Fechando-se S, há transferência de potência do gerador para a carga
(representada aqui apenas por uma carga resistiva R). Para um transformador
ideal com carga resistiva o fator de potência é igual a 1; a taxa com que o
gerador fornece energia ao enrolamento primário é VPIP e, analogamente, a
energia é transferida do enrolamento primário ao secundário com taxa VSIS.
Por conservação de energia:
VP N P
I P VP = I S VS
IS = IP
=
IP
VS N S
que é a relação de transformação de correntes.
Finalmente, lembrando que I S =
2
VS
, vem:
R
N S VS N S N S VP
VP
IP = IS
=
=
=
2
N P R N P N P R  N 2
 P  R
 NS 
Primário
2
o que mostra que, do ponto de vista do primário,
 NP 
a resistência equivalente da carga não é R e sim Req = 
 R
 NS 
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Secundário
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Exemplo 2
Num circuito RLC série, R = 200 Ω, C = 15 µF, L = 230 mH, f = 60 Hz e εm = 36 V.
a) Determine a impedância do circuito
X L =ω L = 2π f L =86,7Ω
2
2
Z = R 2 + ( X L − X C ) 2 = (200 ) + (86,7 − 177 ) ≅ 219 Ω X = 1 = 1 =177Ω
C
ω C 2π fC
b) Determine a amplitude e a fase da corrente
εm
XL −XC
I = = 0,164 A; ϕ = arc tg
≅ −0,42 rad
Z
R
c) Calcule o fator de potência
cos ϕ = cos ( −0,42) ≅ 0,91
ou
R 200
cos ϕ = =
≅ 0,91
Z 219
d) Determine a potência média dissipada no resistor
Pmed = I R = (0,116) x 200 ≅ 2,69 W
Pmed =ε rms I rms cosϕ = 25,5 x 0,116 x 0,91≅ 2,69 W
2
rms
ou
2
e) O circuito é predominantemente capacitivo ou indutivo ?
Como XC > XL (ϕ < 0) o circuito é predominantemente capacitivo.
Resumo
Amortecimento
ZR = R
ω′
ω
Fornecimento
1
XC =
ωC
ω0
X L = ωL
Ressonância:
ω = ω0
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Oscilações eletromagnéticas
(movimento harmônico simples)
30
Lista de exercícios do Capítulo 31
Os exercícios sobre Oscilações Eletromagnéticas estão na página da disciplina :
(http://www.ifi.unicamp.br).
Consultar: Graduação Disciplinas
F 328-Física Geral III
Aulas gravadas:
http://lampiao.ic.unicamp.br/weblectures (Prof. Roversi)
ou
UnivespTV e Youtube (Prof. Luiz Marco Brescansin)
F328 – 1S20123
31