CEFET-Pr - CPGEI

UTFPR – PPGFCET – Sistemas Complexos – 2013 / 2o semestre - Prof. Mário Sérgio (DAFIS)
Instrumento de Avaliação Av08 (Peso = 5)
Prazo para entrega: 18/10/13
CAP4 – Equações Diferenciais Unidimensionais
texto-base: D.Kaplan, L.Glass (1995) Understanding Nonlinear Dynamics (Springer, N.Y)
Objetivos:
a) Aplicar a linguagem e os procedimentos da Dinâmica Não-Linear a uma equação diferencial
unidimensional, que se refere ao método de datação radiocarbônica para amostras arqueológicas;
b) Firmar os conceitos envolvidos na análise geométrica de equações diferenciais não-lineares, quanto à
pesquisa de pontos fixos e sua estabilidade;
c) Exercitar a distinção entre os comportamentos dinâmicos transientes num sistema linear e num
não-linear, tomando como exemplo um processo caseiro de produção de iogurte.
Enunciados:
1. O conhecido método de datação radiocarbônica, usado para determinação da idade de fósseis,
é fundamentado numa equação diferencial unidimensional. O princípio é simples: enquanto um
organismo está vivo, a proporção do isótopo radioativo C14 em relação ao isótopo estável C12
(essa proporção será nossa variável x) se mantém em equilíbrio, e é igual à da atmosfera
terrestre. Com a morte do organismo, x passa a diminuir com o tempo (t). Portanto, quanto mais
alto for o valor de x medido em laboratório, mais recente é o fóssil. Mas x vai diminuindo ao longo
dos séculos com uma taxa que também diminui gradualmente, pois ela é diretamente proporcional
ao valor de x para a mesma época. A constante de proporcionalidade (k) pode ser facilmente
determinada, tendo por base experimentos que fornecem uma propriedade do isótopo C14 ,
chamada meia-vida.
1a) Tendo em vista a proporcionalidade entre dx/dt e x, escreva a equação diferencial em termos literais,
na forma dx/dt = f(x). Responda: essa equação diferencial é linear ou não-linear?
1b) Consultando o modelo apresentado em aula, escreva agora, ainda em termos literais, a solução da
equação diferencial, na forma x = x (t). Responda: essa solução representa crescimento ou decaimento? É
uma solução linear ou não-linear? Admite um ponto fixo? Ele é estável ou instável? O transiente mostra
comportamento monotônico ou alternado?
1c) Agora o valor numérico da constante k deverá ser determinado. Sabe-se que uma amostra, inicialmente
com proporção x0 , tem sua proporção de C14 reduzida para x0 / 2 num período típico de 5568 anos [W.A.
Neves e M. Hubbe, Scientific American Brasil, agosto de 2003, pp. 24-31]. Aplique estes dados na solução
literal obtida no item anterior e calcule k (unidade: ano - 1 ) . Responda: esse valor depende da proporção
inicial de C14 na amostra? Qualquer valor da proporção de C14 (para organismos mortos) é reduzido à sua
metade do seu valor no período médio de 5568 anos?
1d) Conhecendo k, a solução da equação diferencial pode ser usada para obter t, sendo dado x(t), desde
que se conheça o valor de x para t=0 . Esse é o valor de x quando o organismo ainda estava vivo, e
corresponde à proporção entre o C14 e o C12 na atmosfera para a época da morte do organismo. Mas para
fins de um modelo aproximado, a variação dessa proporção na atmosfera para os últimos períodos
geológicos pode ser desconsiderada; portanto, para qualquer fóssil, pode ser adotado o mesmo valor da
atmosfera na época atual, que vale x0 = 1,6.10 – 12. Suponha então que um resultado de laboratório forneça
x=1,85.10 – 15 para a amostra, e determine a sua idade.
1e) Suponha ainda que a concentração do item 1d foi medida por um processo que envolve a incerteza de
1,0% para mais e para menos. Qual é então a incerteza na idade da amostra, em anos?
1f) Esboce grosseiramente, num gráfico (x, t), as curvas de decaimento do C14 , desde a época da morte do
organismo até a época atual, para três fósseis de diferentes idades: 20, 15 e 5 milênios. Você concorda
que o que se determina nesse método é a etapa do transiente na qual se encontra a evolução temporal do
sistema dinâmico?
1g) O artigo de divulgação científica citado no item 1c menciona um sítio arqueológico em Minas Gerais,
cujas amostras datam de 11500 a 11000 anos atrás (um famoso esqueleto humano foi encontrado no local,
e batizado de “Luzia”; essa descoberta contesta uma hipótese, vigente até o final dos anos 90, sobre a
ocupação do continente americano pelos primeiros humanos). Use a solução da equação diferencial para
obter as concentrações máxima e mínima do C14 em relação ao C12 , correspondentes aos limites da idade
estimada para essas amostras.
2. Sistemas de retroalimentação negativa são comuns em quase todas as áreas da ciência e da tecnologia.
Estão geralmente envolvidos em processos de regulagem automática, como um termostato: a tendência do
sistema para se dirigir ao ponto fixo será mais forte quanto mais afastado seu estado estiver do ponto fixo
(e os modelos costumam ser não-lineares). Neste exercício, é pedido que seja feita apenas a análise
geométrica da seguinte equação diferencial (nenhum passo algébrico será necessário):
dx/dt = f(x) = [ P Q2 / ( Q2 + x2 ) ] – R x , sendo sempre x  0, e P, Q e R constantes positivas.
2a) Tome P = 1, Q = 1, e R = 0,3. Construa uma tabela de valores ( f(x) ; x ), no intervalo 0<x<3, a
intervalos de 0,25. Lance os valores da tabela num gráfico (a interpretação está nos itens seguintes).
2b) Qual o valor obtido para dx/dt no estado x=0,5? Isso significa que, quando assume este valor, a
variável x está aumentando com o tempo, ou diminuindo? E no estado x=2,0? Pelo gráfico, existe um
estado para o qual a variável x não aumenta, nem diminui com o tempo? Aproximadamente, qual é o valor
de x*, correspondente a este estado? Você percebe que a configuração desse seu gráfico não tem nada a
ver com uma série temporal? Por exemplo, se o sistema for inicializado no valor x(0)=3 , o gráfico indica
que para t   a variável tende para -?
2c) Observe o gráfico obtido, concentrando sua atenção na região imediatamente à esquerda de x*. O que
tende a ocorrer com a variável x nesse trecho? E no trecho à direita?
2d) Pense: quando o sistema é inicializado nas vizinhanças de x*, a variável x chega a atingir exatamente o
valor de x*, ou apenas tende assintoticamente para ele? O transiente tem comportamento monotônico, ou
alternado? Você diria que x* é um ponto fixo estável, ou instável?
3. Num processo caseiro usado para produzir iogurte, 125mL de cultura (contendo 106 bacilos) são
misturados a 2.000mL de leite aquecido. Com o passar das horas os bacilos se reproduzem, fazendo com
que a concentração aumente. Ao final de 12 horas, a concentração nos 2125mL de leite se iguala à
concentração inicial da cultura (esse exemplo é útil para distinguir o efeito da não-linearidade no
comportamento transiente de um sistema dinâmico). Suponha que a contagem total de bacilos respeite um
modelo de crescimento conforme dx/dt = k e -  t x (equação de Gompertz). A solução obtida
analiticamente tem a forma x(t)=x(0) exp[ (k/) (1 - e -  t)].
3a) Calcule o número de bacilos por grama na cultura inicial, e a contagem total de bacilos no leite ao final
das 12 horas. Com esses dados, e sabendo que =0,0275 para esse caso, determine k.
3b) Com o valor de k já calculado, determine a contagem na metade do tempo (6 horas), e o tempo em que
a contagem x atingiu a metade do valor correspondente às 12 horas.
3c) Experimente agora fazer t   na solução, com os valores numéricos de k e , e determine o tipo de
estado assintótico x* desse sistema dinâmico. Qual o valor de x*? No modelo adotado, esse valor depende
da contagem de células na cultura inicial? Calcule a contagem para 1 semana fora da geladeira (724
horas), e dê uma opinião pessoal: comparando a ordem de grandeza da contagem final com a da cultura,
com quais características de qualidade você imagina que ficaria esse iogurte, para consumo humano?
3d) Experimente agora assumir um modelo linear para o crescimento, conforme a equação dx/dt = k’ x.
Escreva, em termos literais, a solução dessa equação diferencial na forma x = x(t). Com base nas
contagens para t=0 e t=12 horas, determine o valor de k’. Faça então, com esse novo modelo, a previsão
da contagem de bacilos para 1 semana. Observe a ordem de grandeza do resultado: esse valor faria
sentido? Que volume seria ocupado por esses bacilos, considerando cada um como se fosse um pequeno
cubo com 1m de aresta?
3e) Finalmente, esboce grosseiramente num gráfico ( ln(x) ; t ) a distinção entre os dois modelos adotados,
em termos do comportamento transiente e do assintótico.
FIM