CEFET-Pr - CPGEI

CEFET-Pr – CPGEI - Tópicos de Dinâmica Não-Linear e Caos
Prof. Mário Sérgio (DAFIS)
Instrumento de Avaliação Av07 (Peso = 4)
CAP4 – Equações Diferenciais Unidimensionais
texto-base: D.Kaplan, L.Glass (1995) Understanding Nonlinear Dynamics (Springer, N.Y)
Objetivos:
a) Aplicar a linguagem e os procedimentos da Dinâmica Não-Linear a uma equação diferencial
unidimensional, que se refere ao método de datação radiocarbônica para amostras arqueológicas;
b) Firmar os conceitos envolvidos na análise geométrica de equações diferenciais não-lineares,
quanto à pesquisa de pontos fixos e sua estabilidade;
c) Exercitar a distinção entre os comportamentos dinâmicos transientes em um sistema linear e um
não-linear, tomando como exemplo um processo caseiro de produção de iogurte.
Enunciados:
1. O conhecido método de datação radiocarbônica, usado para determinação da idade de fósseis, é
fundamentado numa equação diferencial unidimensional. O princípio é simples: enquanto um
organismo está vivo, a proporção do isótopo radioativo C14 em relação ao isótopo estável C12 (essa
proporção será nossa variável x) se mantém em equilíbrio, e é igual à da atmosfera terrestre. Com a
morte do organismo, x passa a diminuir com o tempo (t). Portanto, quanto mais alto for o valor de x
medido em laboratório, mais recente é o fóssil. Mas x vai diminuindo ao longo dos séculos com uma
taxa que também diminui gradualmente, pois ela é diretamente proporcional ao valor de x para a
mesma época. A constante de proporcionalidade (k) pode ser facilmente determinada, tendo por base
experimentos que fornecem uma propriedade do isótopo C14 , chamada meia-vida.
a) Tendo em vista a proporcionalidade entre dx/dt e x, escreva a equação diferencial em termos
literais, na forma dx/dt = f(x). Responda: essa equação diferencial é linear ou não-linear?
b) Consultando o modelo apresentado em aula, escreva agora, ainda em termos literais, a solução da
equação diferencial, na forma x = x (t). Responda: essa função representa crescimento ou
decaimento? É uma função linear ou não-linear? Admite um ponto fixo? Ele é estável ou instável? O
transiente mostra comportamento monotônico ou alternado?
c) Agora o valor numérico da constante k deverá ser determinado. Sabe-se que uma amostra,
inicialmente com proporção x0 , tem sua proporção de C14 reduzida para x0 / 2 num período típico de
5568 anos [W.A. Neves e M. Hubbe, Scientific American/Brasil, agosto de 2003, pp. 24-31]. Aplique
estes dados na solução literal obtida no ítem anterior e calcule k (unidade: ano - 1 ) . Responda: esse
valor depende da proporção inicial de C14 na amostra? Qualquer valor da proporção de C14 (para
organismos mortos) é reduzido à metade do seu valor no período médio de 5568 anos?
d) Conhecendo k, a solução da equação diferencial pode ser usada para obter t, sendo dado x(t),
desde que se conheça o valor de x para t=0 . Esse é o valor de x quando o organismo ainda estava
vivo, e corresponde à proporção entre o C14 e o C12 na atmosfera para a época da morte do
organismo. Mas para fins de um modelo aproximado, a variação dessa proporção na atmosfera para
os últimos períodos geológicos pode ser desconsiderada; portanto, para qualquer fóssil, pode ser
adotado o mesmo valor da atmosfera na época atual, que vale x0 = 1,6.10 – 12. Suponha então que um
resultado de laboratório forneça x=1,85.10 – 15 , e determine a idade da amostra.
e) Suponha ainda que a concentração do ítem d foi medida por um processo que envolve a incerteza
de 1,0% para mais e para menos. Qual é então a incerteza na idade da amostra, em anos?
f) Esboce grosseiramente, num gráfico (x, t), as curvas de decaimento do C14 , desde a época da
morte do organismo até a época atual, para três fósseis de diferentes idades: 20, 15 e 5 milênios.
Você concorda que o que se determina nesse método é a etapa do transiente na qual se encontra a
evolução temporal do sistema dinâmico?
e) O artigo científico citado no ítem c menciona um sítio arqueológico em Minas Gerais, cujas
amostras datam de 11500 a 11000 anos atrás (um famoso esqueleto humano foi encontrado no local,
e batizado de “Luzia”; essa descoberta contesta uma hipótese, vigente até o final dos anos 90, sobre
a ocupação do continente americano pelos primeiros humanos). Use a solução da equação
diferencial para obter as concentrações máxima e mínima do C14 em relação ao C12 correspondentes
às idades estimadas para essas amostras.
2. Sistemas de retroalimentação negativa são comuns em quase todas as áreas da ciência e da
tecnologia. Estão geralmente envolvidos em processos de regulagem automática, como um
termostato: a tendência do sistema para se dirigir ao ponto fixo será mais forte quanto mais afastado
seu estado estiver do ponto fixo (e os modelos costumam ser não-lineares). Neste exercício, é pedido
que seja feita apenas a análise geométrica da seguinte equação diferencial (nenhum passo algébrico
será necessário) : dx/dt = f(x) = [ P Q2 / ( Q2 + x2 ) ] – R x , sendo sempre x  0, e P, Q e R constantes
positivas.
a) Tome P = 1, Q = 1, e R = 0,3. Construa uma tabela de valores ( f(x) ; x ), no intervalo 0<x<3, a
intervalos de 0,25. Lance os valores da tabela num gráfico (a interpretação está nos ítens seguintes).
b) Qual o valor obtido para dx/dt no estado x=0,5? Isso significa que, quando assume este valor, a
variável x está aumentando com o tempo, ou diminuindo? E no estado x=2,0? Pelo gráfico, existe um
estado para o qual a variável x não aumenta, nem diminui com o tempo? Aproximadamente, qual é o
valor de x*, correspondente a este estado? Você percebe que a configuração desse seu gráfico não
tem nada a ver com uma série temporal? Por exemplo, se o sistema for inicializado no valor x(0)=3 , o
gráfico indica que para t a variável tende para -?
c) Observe o gráfico obtido, concentrando sua atenção na região imediatamente à esquerda de x*. O
que tende a ocorrer com a variável x nesse trecho? E no trecho à direita?
d) Pense: quando o sistema é inicializado nas vizinhanças de x*, a variável x chega a atingir
exatamente o valor de x*, ou apenas tende assintoticamente para ele? O transiente tem
comportamento monotônico, ou alternado? Você diria que x* é um ponto fixo estável, ou instável?
3. Num processo caseiro usado para produzir iogurte, 125mL de cultura (contendo 106 bacilos) são
misturadas a 2.000mL de leite aquecido. Com o passar das horas os bacilos se reproduzem, fazendo
com que a concentração aumente. Ao final de 12 horas, a concentração nos 2125mL de leite se
iguala à concentração inicial da cultura (esse exemplo é útil para distinguir o efeito da não-linearidade
no comportamento transiente de um sistema dinâmico). Suponha que a contagem total de bacilos
respeite um modelo de crescimento conforme dx/dt = k e -  x x (equação de Gompertz). A solução
obtida analiticamente tem a forma x(t)=x(0) exp[ (k/) e -  t ].
a) Calcule o número de bacilos por grama na cultura inicial, e a contagem total de bacilos no leite ao
final das 12 horas. Com esses dados, e sabendo que =0,0275 para esse caso, determine k.
b) Com o valor de k já calculado, determine a contagem na metade do tempo (6 horas), e o tempo em
que a contagem x atingiu a metade do valor correspondente às 12 horas.
c) Experimente agora fazer t na solução, com os valores numéricos de k e , e determine o tipo
de estado assintótico x* desse sistema dinâmico. Qual o valor de x*? No modelo adotado, esse valor
depende da contagem de células na cultura inicial? Calcule a contagem para 1 semana (724 horas),
e dê uma opinião pessoal: com base na ordem de grandeza da contagem final, com quais
características de qualidade você imagina que ficaria esse iogurte?
d) Experimente agora assumir um modelo linear para o crescimento, conforme a equação dx/dt = k’ x.
Escreva, em termos literais, a solução dessa equação diferencial na forma x=x(t). Com base nas
contagens para t=0 e t=12 horas, determine o valor de k’. Faça então, com esse novo modelo, a
previsão da contagem de bacilos para uma semana. Observe a ordem de grandeza do resultado:
esse valor faria sentido? Que volume seria ocupado por esses bacilos, considerando cada um como
se fosse um pequeno cubo com 1m de aresta?
e) Finalmente, esboce grosseiramente num gráfico ( ln(x) ; t ) a distinção entre os dois modelos
adotados, em termos do comportamento transiente e do assintótico.
FIM