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Física I
Aula 03: Movimento em um Plano
Tópico 02: Movimento Circular Uniforme; Aceleração Centrípeta
Caro aluno, olá!
Neste tópico, você vai aprender sobre um tipo particular de movimento plano, o
movimento circular uniforme.
Dizemos que um corpo está realizando um movimento circular quando sua trajetória é uma
circunferência.
Parada Obrigatória
No movimento circular uniforme o módulo da velocidade permanece constante. Sua
direção está mudando todo o tempo, ao longo do movimento.
Como já vimos, a velocidade é um vetor.
Observe a seta que representa a velocidade: Seu tamanho é constante, significando que o
módulo da velocidade não varia, mas a orientação da seta é sempre tangente à trajetória circular.
Esta é uma característica do movimento circular:O vetor velocidade é sempre tangente à
trajetória, o que significa que o vetor velocidade está sempre mudando de direção, portanto está sempre
variando.
Características do movimento circular uniforme (MCU)
Característica 1
A trajetória é uma circunferência.
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Característica 2
A velocidade vetorial é constante em módulo e variável em direção e sentido.
Característica 3
A aceleração tangencial é nula.
Característica 4
A aceleração centrípeta é constante em módulo e variável em direção e sentido.
Aceleração no movimento circular uniforme
Veja a figura abaixo. O objeto move-se em uma trajetória circular. Embora o valor numérico
da velocidade seja sempre o mesmo, ela não é constante, porque sua direção e sentido variam de ponto a
ponto. Essa variação da direção da velocidade acusa a existência de uma ACELERAÇÃO.
Fonte1
Lembre-se, a aceleração é uma grandeza vetorial.
A aceleração centrípeta, ou aceleração radial é dirigida para o centro da trajetória e é
decorrência da variação da direção do vetor velocidade tangencial.
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Fonte: -- http://www.colegioweb.com.br/fisica/movimento-circular-uniforme-mcu
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Aceleração Centrípeta
Considere a figura acima, onde analisamos a variação do vetor velocidade entre os dois
pontos a e b.
Seguindo a regra da adição de vetores, podemos ver que a variação da velocidade nesses dois
pontos é:
Como as direções dos vetores em a e b são diferentes existe um vetor decorrente dessa
variação.
Esse vetor é a aceleração desse movimento.
Como você já sabe, no movimento circular há uma variação do vetor velocidade, mesmo que
seu módulo permaneça constante. Essa variação na direção da velocidade é causada por uma aceleração
que aponta sempre para o centro da circunferência por isso é chamada ACELERAÇÃO CENTRÍPETA.
Vamos determinar o módulo da aceleração centrípeta. Para isso observe esta outra figura que
mostra duas posições em um movimento circular uniforme.
A Figura 1 mostra uma partícula que se move com velocidade de módulo constante, em uma
trajetória circular de raio R.
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Na figura 2, vemos o diagrama da soma vetorial entre os vetores velocidade nas duas posições
a e b.
O triângulo mostrado na Figura 2 é semelhante ao triângulo OAB da Figura 1 pois o ângulo
entre os vetores
é o mesmo ângulo que o objeto gira ao ir de a para b. Vamos, então escrever a
proporção entre os lados correspondentes dos dois triângulos:
A aceleração é a variação da velocidade no tempo, então:
Veja que na figura 1 o segmento ab é a linha pontilhada que representa o deslocamento do
objeto de a até b.
Sabemos que a variação da velocidade no tempo é a a aceleração, então substituindo a
equação (3) na equação (2) teremos:
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Também podemos expressar a aceleração centrípeta em termos da velocidade angular.
Substituindo na equação (4) teremos:
Dica
O termo centrípeta vem do grego (Κεντρομόλου) e significa “ que se dirige para o
centro”.
Vetor velocidade angular
A velocidade angular descreve a rotação em torno de um eixo.
Parada Obrigatória
A velocidade angular média é um vetor com uma quantidade física que representa o
processo de rotação (mudança de orientação) que ocorre em um instante de tempo. A
linha de direção da velocidade angular é dada pelo eixo de rotação
Na figura acima, em que o objeto move-se no sentido anti-horário, no plano x-z, o vetor
velocidade angular é vertical e aponta para cima.
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Dica
A regra da mão direita indica a direção positiva, da seguinte forma: Se você enrolar os
dedos de sua mão direita seguindo a direção da rotação, então a direção da velocidade
angular é indicada pelo seu polegar direito.
Desafio
Se o objeto se movesse no sentido horário, você saberia dizer qual o sentido do vetor
velocidade angular?
O movimento circular uniforme é um movimento periódico. Seu período (T)2 é o intervalo de
tempo de uma volta completa. O número de voltas na unidade de tempo é a sua freqüência f.
Equação horário no Movimento Circular
No movimento retilíneo uniforme, a função horária, como você já viu na Aula 02, é
Se dividirmos a equação acima pelo raio R, teremos:
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O comprimento de arco s, como já vimos é (em radianos)
Esta é a função horária angular do MCU
Transmissão de movimento circular uniforme
Você anda de bicicleta? Já observou a coroa e a catraca de uma bicicleta? Sabe como elas
funcionam?
Dúvida
Você já ouviu falar de sistema de transmissão?
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É possível efetuar a transmissão de movimento circular entre duas rodas, dois discos ou duas
polias. No caso da bicicleta, entre a catraca e a coroa em que ocorre na transmissão por corrente.
As velocidades lineares das duas rodas, em pontos periféricos, têm o mesmo módulo. Já
pensou se as rodas da bicicleta tivessem velocidades diferentes?
Isto significa que a catraca por ser menor, gira mais rápido do que a coroa.
Multimídia
Neste site http://www.e-escola.pt/site/topico.asp?id=20#player2, você pode ver os
vetores característicos do movimento circular uniforme.
Exemplos Resolvidos
Para você ir treinando na resolução dos exercícios, comece tentando resolver estes
exemplos a seguir. Tente antes de ver a solução do problema. Caso não entenda alguma
passagem de algum dos problemas, consulte o seu professor.
Exemplo 1
Considere duas pessoas, ambas na superfície da Terra, uma na linha do Equador e a outra
sobre o Trópico de Capricórnio. Considere, ainda, somente o movimento de rotação da Terra em torno de
seu eixo. Com base nessas informações, compare para as duas pessoas:
a)
b)
c)
d)
as velocidades angulares;
as freqüências;
os módulos das velocidades lineares;
os módulos das acelerações centrípetas.
Solução
a) As velocidades angulares serão iguais, pois só dependem do período de rotação da terra, o
mesmo para os dois.
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b) Os módulos das velocidades lineares serão diferentes, pois os raios são diferentes. A
velocidade linear é dada por:
Para a pessoa que está na linha do equador a velocidade linear será maior, pois o raio é maior.
Para a pessoa que está no trópico de Capricórnio o inverso.
c) A aceleração centrípeta é dada por:
Logo, terão acelerações diferentes, pois os raios são diferentes.
Para a pessoa que está na linha do equador a aceleração centrípeta será maior, pois o raio é
maior. Para a pessoa que está no trópico de Capricórnio o inverso.
Exemplo 2
Os ponteiros do relógio realizam um movimento circular uniforme. Qual a velocidade angular
dos ponteiros (a) das horas, (b) dos minutos (c) e dos segundos?
Solução
Os ponteiros do relógio realizam um movimento circular uniforme. Qual a velocidade angular
dos ponteiros (a) das horas, (b) dos minutos (c) e dos segundos?
(a) o ponteiro das horas completa uma volta (2π) em 24 horas (86.400s)
(b) O ponteiro dos minutos completa um volta (2π) em uma hora (3.600s)
(c) O ponteiro dos segundos completa uma volta (2π) em um minuto (60s)
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Exemplo 3
Considere o relógio do exercício anterior, com ponteiro das horas de 10cm, dos minutos de
15cm e dos segundos de 20cm. Qual será a aceleração centrípeta de cada um dos ponteiros?
Solução
Considere o relógio do exercício anterior, com ponteiro das horas de 10cm, dos minutos de
15cm e dos segundos de 20cm. Qual será a aceleração centrípeta de cada um dos ponteiros?
O primeiro passo para a resolução é transformar a velocidade linear pedida em velocidade
angular.
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Exemplo 4
Uma BMW Z3 pode ter uma “aceleração lateral” de 0,87g ( g é a aceleração da gravidade).
Isso representa a aceleração centrípeta máxima sem que o carro deslize para fora de uma trajetória
circular. Se o carro se desloca a uma velocidade constante de 40 m/s, qual é o raio máximo da curva
plana, que ele pode aceitar?
Resposta: 190 m
Solução
Este é um problema muito simples, uma vez que conhecemos a aceleração centrípeta e a
velocidade tangencial.
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Exemplo 5
Um satélite artificial completa 6 voltas em torno da Terra, durante 24 h. Qual é, em horas, o
período do movimento do satélite, suposto periódico?
Resposta: 4 h
Solução
Resposta: 4 h
O período do movimento corresponde ao intervalo de tempo que o satélite gasta para
completar 1 volta. Se o satélite completa 6 voltas em 24 h, 1 volta será completada em 4 h.
Assim T = 4 h.
Exemplo 6
Um ponto material descreve uma circunferência horizontal com velocidade constante em
módulo. O raio da circunferência é de 15 cm e o ponto completa uma volta a cada 10 s. Calcule:
a) o período e a freqüência;
b) a velocidade angular;
c) a velocidade escalar linear;
d) o módulo da aceleração centrípeta.
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Solução
a) o período e a freqüência;
b) a velocidade angular;
c) a velocidade escalar linear;
d) o módulo da aceleração centrípeta.
Exemplo 7
Duas polias A e B, ligadas por uma correia têm 10 cm e 20 cm de raio, respectivamente. A
primeira efetua 40 rpm. Calcule:
a) a freqüência da segunda polia;
b) a velocidade linear dos pontos da correia.
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Solução
b) todos os pontos da correia tem a mesma velocidade linear v. Considerando a polia A,
temos:
Fórum
Com base nos conhecimentos adquiridos nesta aula, discuta com os seus colegas e seu
professor as seguintes questões:
É possível estar acelerando se você viaja com velocidade escalar constante?
É possível fazer uma curva com aceleração nula? E com aceleração constante?
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