Lista 1 - Introduç˜ao `a Teoria dos Números

Lista 1 - Introdução à Teoria dos Números - 2012/02
Polinômios
1. Determine os valores de a, b e c para os quais os polinômios f (x) = (a − 1)x2 + (b + 2)x + 4 e
g(x) = (c + 3)x3 + 5x2 + cx + 4 se tornam idênticos.
2. Mostre que o polinômio f (x) = (x − 1)2 + (x − 3)2 − 2(x − 2)2 − 2 é igual ao polinômio nulo.
3. Encontre os valores de a e b para os quais o polinômio f (x) = −6x2 + 36x − 56 pode ser escrito como
f (x) = (x − a)3 − (x − b)3 .
4. Sejam f (x) = x2 + ax + b e g(x) = (x − a)(x − b). Determine os valores de a e b para os quais f = g.
5. Calcule o valor numérico do polinômio p(x) = x3 − 7x2 + 3x − 4 para x = −1, x = 0 e x = 2.
6. Encontre os valores de a, b e c para os quais o polinômio f (x) = x3 + 6x2 + ax + b pode ser escrito
como (x − c)3 .
7. Se p(x) é um polinômio tal que 2p(x) + x2 p(x − 1) é idêntico a g(x) = x3 + 2x + 2, determine o valor
numérico de p em 1.
8. Determinar todos os polinômios f de grau menor ou igual a 3 e tal que f (x) = f (−x) para todo
x ∈ R.
9. Determine o polinômio f do terceiro grau que satisfaça a relação f (x − 1) = f (x) + 4x2 para todos
os valores reais de x.
10. Determine os valores de a e b para os quais o polinômio A(x) = 2x3 +ax2 − 7x +b seja divisı́vel por
B(x) = x − 2 e por C(x) = x + 1.
11. Considere o polinômio A(x) = x3 + x2 + ax + b. Calcule a e b sabendo que os restos das divisões de
A(x) por B(x) = (x − 1) e por C(x) = (x − 2) são iguais a 5 e −3, respectivamente.
12. Numa divisão de polinômios, em que o divisor tem grau 4, o quociente tem grau 2 e o resto tem
grau 1, qual será o grau do dividendo? E se o grau do resto fosse 2?
13. Efetue a divisão de f (x) = x3 + ax − b por g(x) = 2x2 + 2x − 6. Qual a condição entre a e b para
que essa divisão seja exata?
14. Encontre o quociente e o resto da divisão de:
(a) f (x) = 4x4 − 5x3 − 8x2 + 2 por g(x) = (x − 3)(x + 4), usando o algoritmo de Briot-Rufini.
(b) f (x) = 8x6 + 6x5 + 7x4 + 6x3 − 3x + 5 por g(x) = 2x4 + x3 + x, usando o método dos coeficientes
a determinar.
15. Considere os polinômios f (x) = x4 + ax2 + b, g(x) = x2 + 2x + 4, p(x) = x3 + cx2 + dx − 3 e
q(x) = x2 − x + 2. Determine os valores de a e b para que a divisão de f por g seja exata e os valores
de c e d para que a divisão de p por q tenha resto igual a 7.
16. Sejam a, b, c, d constantes reais. Sabendo que a divisão de f (x) = x4 +ax2 +b por g(x) = x2 +2x+4
é exata e que a divisão de p(x) = x3 + cx2 + dx − 3 por q(x) = x2 − x + 2 tem resto igual a −5,
determine o valor de a + b + c + d.
17. Determine os valores de m, n, p para os quais o quociente entre f (x) = (2 − m)x3 + (m − 1)x2 +
(n − 1)x + (p − 3) e g(x) = x2 − 6x + 1 seja independente de x e o resto dessa divisão seja nulo.
18. Determine um polinômio de terceiro grau que se anula para x = 1 e que, quando dividido por x +
1, x − 2 e x + 2 deixa sempre resto igual a 6.
19. Encontre as raı́zes do quociente da divisão de f (x) = x4 −10x3 +24x2 +10x−24 por g(x) = x2 −6x+5.
20. Determine:
(a) o valor de a para o qual o polinômio f (x) = ax3 + (2a − 1)x2 + (3a − 2)x + 4a seja divisı́vel por
1
g(x) = x − 1. Usando o valor de a obtido, encontre também o quociente desta divisão.
(b) o valor de a ∈ R para o qual o polinômio f (x) = ax3 + 2ax2 − 3x + (6 − 4a) é divisı́vel por
x − 1. A seguir, utilizando o valor de a obtido, decomponha f como um produto de fatores do
primeiro grau.
(c) os valores de p e q para que o polinômio f (x) = x3 − 2px2 + (p + 3)x + (2p + q) seja divisı́vel
por g(x) = x e por h(x) = x − 2.
(d) o valor de K para que o polinômio p(x) = 6x5 + 11x4 + 4x3 + Kx2 + 2x + 8 seja divisı́vel por
g(x) = 3x + 4.
(e) os valores de m e n para que o polinômio p(x) = 2x4 + 3x3 + mx2 − nx − 3 seja divisı́vel por
g(x) = x2 − 2x − 3.
21. Sejam −1 e 2 , respectivamente,os restos das divisões de um polinômio f por x −1 e x − 2. Determine
o resto da divisão de f por g(x) = (x − 1)(x − 2).
22. Um polinômio p(x) dividido por g(x) = x + 1 deixa resto −1, dividido por h(x) = x − 1 deixa
resto 1 e dividido por l(x) = x + 2 deixa resto 10. Qual o resto da divisão do polinômio p por
g(x) = (x + 1)(x − 1)(x + 2).
23. Os restos das divisões de um certo polinômio desconhecido pelos polinômios (x + 1), (x − 1), (x −
2), (x + 3) são, respectivamente, iguais a 5, −1, −1, 2. Determine o resto da divisão deste polinômio
por g(x) = (x + 1)(x − 1)(x − 2) (x + 3) .
24. Determine:
(a) o(s) valor(es) de k ∈ R para os quais f (x) = 2x4 + kx3 + x2 + 12k3 x − 36 seja divisı́vel por x + 2k.
(b) os valores de a, b, c ∈ R para os quais f (x) = x3 + ax2 + bx + c admite −1 e −2 como raı́zes de
multiplicidades iguais a 2 e 1, respectivamente.
(c) os valores de c, d ∈ R para os quais f (x) = x3 + cx2 + dx − 3 deixe resto r(x) = 9x + 11 quando
dividido por g(x) = x2 − x + 2.
25. Enucie e demonstre novamente o Teorema do Resto.
26. Utilize o teorema do resto para obter o valor de k para o qual a divisão de f (x) = x4 − 4x3 − kx − 75
por x − 5 seja igual a 10.
27. Encontre os valores de m e n para os quais o polinômio:
(a) p(x) = 2x4 − x3 + mx2 − nx + 2 seja divisı́vel por g(x) = x2 − x − 2.
(b) p(x) = x4 − 12x3 + 47x2 + mx + n seja divisı́vel por g(x) = x2 − 7x + 6
28. Prove novamente que um polinômio f (x) é divisı́vel por x − a se, e somente se, a é raiz de f (x).
29. Demonstre novamente que se f e g são polinômios divisı́veis por h, então o resto da divisão de f
por g também é divisı́vel por h.
30. Demostre novamente que, se f (x) é divisı́vel separadamente por x − a e por x − b, com a 6= b,
então f (x) também é divisı́vel por g(x) = (x − a)(x − b). A seguir, dê um exemplo que ilustre essa
propriedade.
31. Mostre que, se f e g são divisı́veis pelo polinômio h, então o mesmo ocorre com os polinõmios
f + g, f − g e f g.
32. O polinômio P (x) = x5 − x4 − 13x3 + 13x2 + 36x − 36 é tal que P (1) = 0. Quais os outros valores
de x que o anulam?
33. Os restos das divisões de um certo polinômio desconhecido pelos polinômios (x + 1), (x − 2) e
(x − 3) são, respectivamente, iguais a 10, 7 e −2. Determine o resto da divisão deste polinômio por
g(x) = (x + 1)(x − 2)(x − 3).
34. Decomponha o polinômio f (x) = −x3 + 4x2 + 7x − 10 em produto de fatores do primeiro grau.
35. Encontre todas as raı́zes de f (x) = x4 − 10x3 + 32x2 − 38x + 15 e a seguir, decomponha f em um
produto de fatores do primeiro grau.
2
36. Um polinômio desconhecido deixa resto 7 quando dividido por x − 1 e resto 4 quando dividido por
x + 2. Seja r(x) o resto da divisão deste polinômio por g(x) = (x − 1)(x + 2). Determine:
(a) o polinômio r(x)
(b) as raı́zes do polinômio f (x) = x3 − 4x2 + r(x), sabendo que uma de suas raı́zes é igual à soma
das outras duas.
37. (ENADE 2008) Determine os valores de k e m para os quais o polinômio p(x) = x3 − 3x2 + kx + m
se torna múltiplo de q(x) = x2 − 4.
38. Seja f um polinômio do quinto grau com coeficientes inteiros, sendo o coeficiente do termo de maior
grau unitário. Sabe-se que as cinco raı́zes de f são números naturais, sendo quatro delas números
pares e a outra, um número ı́mpar. Quantos coeficientes de f são pares? Quantos são ı́mpares?
39. Dividindo-se P (x) = x2 + bx + c por x − 1 e por x − 2, obtém-se o mesmo resto 3. Determine a soma
e o produto das raı́zes do polinômio f (x) = p(x) − 3.
40. Utilizando as relações de Girard, determine:
(a) todas as raı́zes do polinômio p(x) = x3 − 4x2 + x + 6, sabendo que uma raiz é igual a soma das
outras duas.
1 1 1
(b) o valor de + + , sabendo que a, b e c são as raı́zes do polinômio p(x) = x3 − 2x2 + 3x − 4.
a b c
(c) todas as raı́zes do polinômio f (x) = x3 − 5x2 + 2x + 8, sabendo que uma das raiz é o quádruplo
da soma das outras duas.
(d) a soma dos inversos das raı́zes de p(x) = 2x3 − 4x2 + 6x − 8.
41. Determine todas as raı́zes do polinômio f (x) = x3 − 9x2 + 23x − 15, sabendo que suas raı́zes estão
em progressão aritmética.
42. Determine todas as raı́zes do polinômio f (x) = x3 − 6x2 + 11x − 6 sabendo que uma raiz é igual a
soma das outras duas.
43. Determine todas as raı́zes do polinômio f (x) = x4 − 4x3 − x2 + 16x − 12 sabendo que existem duas
raı́zes simétricas.
44. Sabendo que a soma de duas raı́zes do polinômio f (x) = x3 − x2 + mx + 21 é igual a 4, determine o
valor de m.
45. Se 6 é a soma dos quadrados das raı́zes do polinômio f (x) = x3 − (k + 1)x2 − x + (k + 1), com k > 0
e se p é a maior raiz de f, determine o valor de k + p.
3
r1
= .
46. Determine as raı́zes r1 , r2 , r3 do polinômio p(x) = x3 + 7x2 − 6x − 72, sabendo que
r2
2
47. Determine a soma dos quadrados das raı́zes do polinômio f (x) = x4 − 5x3 + 9x2 − 8.
48. As raı́zes do polinômio f (x) = x3 + ax2 + bx + c são inteiros positivos consecutivos. A soma dos
quadrados dessas raı́zes é igual a 14. Determine o valor de a2 + b2 + c2 .
49. Seja x a solução da equação x2 + x + 1 = 0. Então x 6= 0 e por isso, podemos dividir ambos os
membros dessa equação por x, obtendo x + 1 + x1 = 0. Da equação inicial temos x + 1 = −x2 , que
substituı́da na equação anterior fornece −x2 + x1 = 0, isto é, x2 = x1 ou ainda x3 = 1 e portanto
x = 1. Porém, se substituirmos esse valor na equação x2 + x + 1 = 0, obtemos 3 = 0!!!!! Onde está o
erro???
50. (OLIMPÍADAS BRASILEIRAS DE MATEMÁTICA -2005) Briot (matemático francês que viveu de
1817 a 1882) e Ruffini (matemático italiano que viveu de 1765 a 1822) desenvolveram métodos para
achar soluções para as chamadas equações recı́procas. Nessa questão você vai desenvolver, passo a
passo, a essência desses métodos. Os itens a e b são uma preparação para os itens c e d :
1
1
1
(a) Se y = x + então calcule, em função de y, as expressões x2 + 2 e x3 + 3 .
x
x
x
1
5
(b) Determine todas as raı́zes reais da equação não polinomial x2 − 5x + 8 − + 2 = 0.
x x
3
(c) Determine todas as raı́zes reais do polinômio f (x) = x4 − 5x3 + 8x2 − 5x + 1.
(d) Determine todas as raı́zes reais do polinômio g(x) = x6 − 2x5 − 5x4 + 12x3 − 5x2 − 2x + 1. (dica :
use o que você aprendeu nos itens anteriores!).
4