V V ZZ V

CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA - lista de exercícios sobre transformadores
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1ª. Questão
Considere as seguintes impedâncias e tensões de um transformador cuja potência nominal é SN.
ZAT : impedância de dispersão, referida à alta tensão, em ohms;
ZBT : impedância de dispersão, referida à baixa tensão, em ohms;
VAT : tensão nominal da alta tensão;
VBT : tensão nominal da baixa tensão.
Sejam zAT e zBT os valores em por unidade das impedâncias de dispersão acima. Verifique qual a relação
entre zAT e zBT e tire suas conclusões.
Sugestão: para facilitar o equacionamento lembre-se de que
 V BT 

Z = Z 
 V AT 
BT
2
AT
2ª. Questão
No estudo de um dado sistema, definimos os seguintes valores-base:
V b = 10kV
S b = 1 MVA
Desejamos exprimir em valores por unidade as seguintes tensões, correntes, potências, impedâncias e
admitâncias:
1. V = 12,0 kV
2. V = 13,3 + j6,0 kV
3. I = 513 + j 203 A
4. S = 200 + j 300 kW e KVAr
5. S= 9,3 MVA
6. Z = 80 + j40 Ω
7. Y = 0,1 - j0,3 Siemens
Respostas: 1,2 pu;1,33 + j 0,6 pu;5,13 + j 2,03 pu;0,2 + j 0,3 pu;9,3 pu;0,8 + j 0,4 pu;10,0 - j 30,0 pu
3ª. Questão
Um transformador de 48 kVA, 2400:240 V, 60 Hertz pode ser ligado como autotransformador, com o objetivo de se
conseguir um aumento na potência aparente. Mostre como, a partir de um transformador de dois enrolamentos,
isso pode ser conseguido.
4ª. Questão
Os valores rateados ou nominais de um transformador são 25 kVA, 1200:120 volts. A amplitude da componente
fundamental da corrente de excitação, medida no lado de baixa tensão, é 2.0 ampères. A impedância equivalente
referida ao lado de alta é 1,5 + j 2,0 ohms. Use os valores nominais do transformador como bases.
i) Expresse a aproximação que se dispõe para a corrente de excitação em valores p.u., nos lados de baixa e alta
tensão;
ii) Expresse a impedância de dispersão em p.u., nos lados de baixa e alta tensão.
5ª. Questão
Um transformador de distribuição de 20 kVA, 1200:120 V, 60 Hertz, possui os seguintes parâmetros:
ZBT(Ω)=0,0030+j0,0060 Ω
ZAT(Ω) =0,4+j0,9 Ω
-2
A admitância de excitação é (0,3-j2,0)x10 siemens no lado de baixa tensão.
Adote os valores nominais do transformador como bases.
•
•
•
Desenhar o circuito equivalente referido ao lado de alta tensão;
Desenhar o circuito equivalente referido ao lado de baixa tensão;
O valor eficaz verdadeiro (true rms) da corrente de excitação, medida no lado de baixa tensão, é 5,41 amperes.
Expresse essa corrente em p.u.
•
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Calcule a corrente de excitação referida ao lado de alta tensão em ampères. Em seguida, calcule seu valor em
p.u. Comente os resultados obtidos.
6ª Questão
Um transformador monofásico de 5 kVA, 60 Hz, 440:110 V e que pode ser considerado ideal está consumindo uma
corrente primária de 10 A com fator de potência de 0,9 em avanço. Determine a impedância do circuito de carga
conectado aos terminais de baixa tensão.
Dica: calcule a impedância vista pelo primário
7ª Questão
Seja um transformador monofásico de 2 enrolamentos. Sua potência nominal é de 100 kVA e suas tensões
nominais de 1000:200 V.
• Calcule as correntes nominais dos enrolamentos de alta e baixa tensão;
• Seria possível esse transformador alimentar, sem sobrecarregar seu isolamento uma carga de 200 kVA ?
• Considere a conexão como autotransformador com tensão de saída de 1000 V alimentando uma carga de 590
kVA. Quais as correntes que fluem nos enrolamentos de alta e baixa tensão, respectivamente ?
• Ainda com a conexão como autotransformador com saída no enrolamento de 1000 V, considere que ocorre um
curto-circuito no secundário de 1000 V. Qual será, agora, a tensão sobre os enrolamentos de alta e baixa
tensão, respectivamente ?
8ª Questão (adaptada do problema 3.4 do Slemon)
Em solda elétrica, uma tensão na faixa de 50 a 70 volts geralmente se faz necessária para estabelecer um arco
elétrico. Depois que esse arco é estabelecido, deseja-se uma fonte de corrente essencialmente constante, o que
pode ser conseguido através de uma indutância elevada no circuito que alimenta a carga. A figura acima mostra um
transformador de dois enrolamentos projetado para uso em um soldador elétrico. Para limitar a corrente de carga, o
núcleo magnético inclui uma trajetória de baixa relutância (pequeno entreferro) para os fluxos dispersos de
primário e secundário.
•
Apresente o circuito equivalente do transformador com valores referidos ao circuito da fonte;
•
Determine a relutância do entreferro e, a partir da relação L=N2/R, os valores da indutância L1g e reatância
indutiva X1g referidos ao circuito primário;
• Para uma tensão de 60 volts eficazes no enrolamento secundário, determine a tensão da fonte;
• Para uma tensão da fonte de 100 volts eficazes, 60 hertz, determine a corrente secundária de curto-circuito;
9ª Questão
Um transformador de dois enrolamentos cuja potência nominal é SN e cuja relação de espiras é N1/N2=a, quando
usado na configuração de autotransformado tem sua potência aumentada para (a+1)*SN ou [(a+1)/a]*SN..
Considere um transformador de dois enrolamentos, 200 kVA, 220:110 Volts e que precisa ser utilizado para
alimentar cargas cujos valores ultrapassam os kVA nominais do mesmo. Deve-se usar a configuração de
autotransformador para evitar a sobrecarga.
• Supondo que a tensão de suprimento da carga é 220 Volts e que a carga representa 70% da capacidade
máxima de potência dessa configuração como autotransformador, determine a corrente na carga e na fonte;
•
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Supondo que a tensão de suprimento da carga é 110 volts e que a carga consome a potência máxima dessa
configuração como autotransformador, determine a corrente na carga e na fonte.
Sobre a eficiência de transformadores
A eficiência de qualquer sistema é a relação entre a potência de saída e a potência de entrada. O cálculo da
eficiência η pode ser feito a partir dos valores médios das energias de saída e entrada, considerando meio período
da onda. Mais fácil ainda é observar que a potência de saída é igual à potência de entrada menos as perdas
internas, isto é,
η=
Psaída
.
Psaída + Pdissipada(Cu ) + Pdissipada( ferro )
Quando a magnitude e frequência da tensão de suprimento são constantes, o fluxo mútuo no núcleo é senoidal e
de amplitude constante. Por isso, as perdas no núcleo são praticamente independentes da corrente de carga. As
perdas no cobre, por outro lado, são proporcionais à corrente de carga I2, ou seja,
Pcobre = ( I 2 ) 2 R.
No transformador mostrado na figura abaixo, a potência de saída é
Psaída = V2 I 2 cos(ϕ ),
onde cos(ϕ) é uma medida da defasagem entre os fasores V2 e I2, comumente chamada de “fator de potência” da
carga.
Da mesma forma que a regulação de tensão, a eficiência depende do fator de potência. A eficiência é máxima
quando o fator de potência é unitário.
10ª Questão (G.R. Slemon, problema 2.20, Electric Machines, p. 169)
Um transformador tem uma impedância equivalente de 0,01+j0,05 p.u. A perda na operação em vazio é igual a 0,01
p.u. As bases para as diversas grandezas são os próprios valores nominais ou de placa.
(a) Determine a eficiência do transformador quando o mesmo está alimentando a carga nominal, na tensão nominal
e com cos(ϕ) igual a 0,8 atrasado.
(b) Determine a regulação do transformador para essa condição de operação.
•
•
•
Relacione a perda no núcleo pn com a perda em vazio.
pn =0,01 pu
Para a carga nominal e as bases escolhidas no enunciado, tem-se s=1,0 pu e v=1,0 pu. Agora, calcule a
2
corrente i e as perdas no cobre pc= i r.
pc =0,01pu
Calcule a potência ativa consumida pela carga ou potência de saída: p=s[cos(ϕ))]
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•
η(% ) =
Psaída
x100
Pentrada + Pnúcleo + Pcobre
η(%) =
0,8
x100 = 97,6%
0,8 + 0,01 + 0,01
Para calcular a regulação, considere o circuito abaixo:
v2,VAZIO = v1 = 1,0∠0o pu
v2,CARGA = v1 − iz = 0,9626∠ − 2,02o pu
reg (%) =
v2,VAZIO − v2,CARGA
v2,CARGA
x100 = 3,89%.
11ª Questão [Gray, problema 4.6]
A impedância de dispersão de um transformador monofásico de 2000/200 V,10 kVA é 8 + j150 Ω referida ao
circuito primário.
• Calcule a variação da tensão nos terminais do secundário quando a corrente indutiva de carga com cos(ϕ)=0,8 é
reduzida de seu valor rateado até zero. Considere que a tensão primária de suprimento é mantida constante.
[48,2 V]
• Calcule o valor por unidade da impedância de dispersão do transformador.
[z=0,02+j0,375 pu]
• Nesse transformador, 100 W são dissipados sob a forma de calor no núcleo quando o mesmo é alimentado com
tensão e frequência nominais. Determine sua eficiência percentual quando o mesmo está alimentando as
diferentes cargas especificadas nas tabelas abaixo.
Tabela I – Eficiência para carga com cos(ϕ)=1,0
Porcentagem da corrente nominal Eficiência (%)
10
25
50
75
100
Tabela II – Eficiência para carga com cos(ϕ)=0,8 em atraso
Porcentagem da corrente nominal Eficiência (%)
10
25
50
75
100
• Partindo dos dados das tabelas I e II, utilize o mesmo par de eixos e esboce as duas curvas que representam a
variação da eficiência com a percentagem da carga.
12ª Questão (Fitzgerald, problema 1-17)
A alta tensão de um banco trifásico é alimentada em uma tensão de linha de 13,8 kV. No lado de baixa tensão
existe uma carga trifásica cujos valores nominais são 1500 kVA e tensão de linha de 2,3 kV. Especificar os valores
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nominais de tensão, corrente e potência aparente de cada um dos transformadores monofásicos que constitui o
banco considerando as diferentes formas de ligação elétrica do banco.
Ligação da alta
Y
∆
Y
∆
Tensões
(kV)
8,0/2,3
13,8/1,33
8,0/1,33
13,8/2,3
Ligação da baixa
∆
Y
Y
∆
Correntes
(A)
62,5/217
36,3/375
62,5/375
36,3/217
Potência
(kVA)
...
...
...
500
13ª. Questão (Slemon, problema 3.25)
A figura abaixo mostra um arranjo de dois transformadores que podem ser usados para conexão entre uma carga
trifásica e a fonte de alimentação, também trifásica. Suponha que a potência nominal de cada transformador é 10,0
MVA. Determine a carga que esse arranjo pode alimentar sem sobrecarregar qualquer um dos transformadores.
Figura – Ligação em delta aberto ou v-v.
Considere que a carga é equilibrada e ligada em Y. Se a tensão de linha é El e a tensão ao neutro EAN, tem-se
E AN =
El
; I AN = I
3
O valor especificado de 10,0 MVA é a potência aparente de cada unidade. No caso,
EI = 10MVA.
A potência aparente consumida pela fase A da carga é
S A = E AN I AN
A potência trifásica é, pois,
S 3φ = 3E AN I AN = 10 3MVA.
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14ª. Questão (G.R. Slemon, problema 2.14)
Um transformador monofásico possui os seguintes valores nominais: 1,5 kVA; 220:110 V; 60 Hz. Os ensaios em
laboratório produziram os seguintes resultados:
i) Ensaio de circuito aberto, excitação no terminal de baixa tensão
Vca= 110 V
Ica=0,4 A
Pca=25,0 W
ii) Ensaio de curto-circuito, excitação no terminal de baixa tensão
Vcc=8,25 V
Icc=13,6 A
Pcc=40,0 W
iii) Resistência CC dos enrolamentos:
Rbaixa=0,113 Ω Ralta=0,413 Ω
(a) Determine o circuito equivalente do transformador referido à baixa tensão;
(b) Determine a eficiência em plena carga quando o transformador está suprindo uma carga com cos(ϕ)=0,8
indutivo na tensão de 110 V.
15ª. Questão
Um gerador de corrente alternada, 60 Hz, pode ser modelado por uma fonte de tensão de 220 V eficazes em série
com uma reatância indutiva de 8,0 Ω. Esse gerador alimenta uma carga resistiva de 0,5 Ω através de um
transformador ideal.
a. Qual deve ser a relação de espiras do transformador para se transferir a máxima potência para a carga?
16ª. Questão
Um transformador de dois enrolamentos cuja potência nominal é SN e cuja relação de espiras é N1/N2=a
quando usado na configuração de autotransformador, tem sua potência aumentada para (a+1)*SN ou [(a+1)/a]*SN.
Considere um transformador de dois enrolamentos, 200 kVA, 220:110 volts e que precisa ser utilizado para
alimentar cargas cujos valores ultrapassam os kVA nominais do mesmo. Deve-se usar a configuração de
autotransformador para evitar a sobrecarga.
• Supondo que a tensão de suprimento da carga é 220 Volts e que a carga representa 80% da capacidade
máxima de potência dessa configuração como autotransformador, determine a corrente na carga e na
fonte;
• Supondo que a tensão de suprimento da carga é 110 Volts e que a carga consome a potência máxima
dessa configuração como autotransformador, determine a corrente na carga e na fonte.
________________________________________________________________________________________
Sobre os transformadores de corrente
Os transformadores para medição de altas tensões, conhecidos como TP’s, são similares aos transformadores de
potência comumente utilizados nos sistemas de transmissão e distribuição de energia. Os transformadores de
corrente, conhecidos como TC’s, precisam de considerações especiais de projeto e manufatura. A corrente de
excitação, por exemplo, deve ser minimizada, pois é a principal causa dos erros de relação e de fase de um TC. O
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erro de fase de um TC é definido a partir do diagrama fasorial apresentado na Fig. 1. É o ângulo de defasagem β
existente entre a corrente primária I1 e o inverso da corrente secundária I2.
Figura 1 – Erro de fase de um TC
Os TC’s são, na maioria das vezes, transformadores toroidais como o que aparece na Fig. 2. Os TC’s de melhor
desempenho possuem o núcleo formado por material magnético de alta qualidade. Nos últimos anos, muitos
pesquisadores têm comparado o desempenho dos TC’s em face da utilização de diferentes materiais no núcleo [1].
As características de dois materiais magnéticos empregados em núcleos de TC’s aparecem na Tabela I: a liga
nanocristalina, fabricada pela empresa japonesa Hitachi Metals Ltd., e o aço ao silício de grão orientado, fabricado
pela empresa brasileira Acesita.
TABELA I
DADOS COMPARATIVOS M ATERIAIS MAGNÉTICOS
Composição
Nome comercial
Bs (T)
(60 Hz)
Fe73,5Cu1Nb3Si13,5B
FINEMET® FT-3M F6045G
0,90
Aço ao silício GO E-004
1,85
9
Fe-3,2%Si
µrmax
(60 Hz)
185 000
(3,0 A.m-1)
40 154
(23,0 A.m-1)
ρ
(µΩ.m)
1,20
0,47
Figura 2 – Protótipo de TC com núcleo toroidal
Transformadores de corrente são utilizados para alimentar instrumentos de baixa impedância conectados ao seu
secundário: (i) amperímetros; (ii) bobina de corrente de wattímetros; (iii) bobina de corrente de medidores de
energia elétrica; (iv) relés de sobrecorrente.
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A Fig. 3 mostra uma carga conectada à fonte. O primário do TC está em série com a carga; o secundário está
conectado a um amperímetro.
Figura 3 –TC alimentando um amperímetro
Se a corrente de carga Ic não é conhecida, é possível determiná-la a partir da corrente medida,
Ic ≅
N2
Im.
N1
(1)
Em TC’s bem projetados, o erro na medição da corrente a partir da equação (1) é tipicamente menor que 1%.
Na maioria das vezes, o primário do TC é conectado permanentemente ao circuito principal, onde a corrente pode
ser muito alta. A corrente secundária é pequena, tipicamente da ordem de 5,0 A. A tensão secundária é também
baixa porque a resistência do instrumento de medição é pequena. É prática comum conectar um dos terminais do
instrumento de medição à terra, para aumentar a segurança de quem lida com seus terminais.
Exemplo 1
[Electromechanics © 2004 J D Edwards]
Um transformador de corrente tem 10 espiras em seu primário e 200 espiras no secundário. O secundário é
conectado a um amperímetro cuja resistência é de 0,5 Ω . A corrente secundária é 5,0 A.
(a) Determine a corrente no primário e a tensão nos terminais do primário do TC. Utilize o modelo de transformador
ideal;
(b) Se o transformador tem o núcleo toroidal com uma seção transversal de 20 mm x 20 mm e opera na frequência
de 50 Hz, determine a máxima densidade de fluxo no núcleo.
Discussão
(a) A tensão nos terminais secundários é
V2 = RI2 = 0,5V .
A corrente primária é
I1 =
N2
I 2 = 100 A.
N1
A tensão nos terminais primários é
V1 =
N1
V2 = 125mV .
N2
(b) A densidade de fluxo máxima no núcleo é calculada a partir do valor de pico da tensão primária V1m. Para a
tensão primária, tem-se
v1 = N1
dφ
= N1ωΦ m cos(ωt ) = V1m cos(ωt ).
dt
O valor máximo da tensão primária é
V1m = N1ωΦ m = 2πfN1ABm .
O valor máximo da densidade de fluxo é
Bm =
V1m
= 0,141T .
2πfN1A
Operação com o secundário aberto
A manutenção ou remoção do medidor ligado ao secundário do TC requer cuidados especiais. Considere o circuito
da figura abaixo. A carga é puramente resistiva e a uma chave está substituindo o medidor.
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Figura 4 – Utilização de chave no secundário
Com a chave aberta, a situação é complexa. Para uma tensão da fonte Vf de 400 V, seria necessária uma
densidade de fluxo de 451 T para se ter V1 igual a Vf. Como o material do núcleo satura em aproximadamente 1,6
T, essa situação não é possível de acontecer.
Para desconectar o medidor ligado ao secundário do TC de uma maneira segura pode-se simplesmente colocar a
chave liga-desliga em paralelo com o medidor, conforme mostrado na Fig. 5. A chave deve ser fechada antes de
desconectar o medidor. Dessa forma, a corrente secundária I2 continua a fluir através da chave e se evita uma
sobretensão no equipamento.
Figura 5 –Chave em paralelo com o medidor
17ª QUESTÃO
Considere um TC com núcleo toroidal. A seção transversal do núcleo é 20 mm x 20 mm e o diâmetro médio é 100
mm. Existem 10 espiras no primário, 200 espiras no secundário e a corrente primária é 89 A eficazes. A frequência
de operação é 50 Hz. O material magnético é o aço ao silício, cuja característica de magnetização é apresentada a
seguir.
Figura 6 – Curva B-H do aço ao silício
(a) Calcule o valor máximo da intensidade de campo H e o período da forma da onda idealizada, que é alternada e
senoidal.
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(b) Esboce as curvas que representam os valores instantâneos da intensidade de campo H, densidade de fluxo B e
da derivada dB/dt.
Referências
[1] B.A. Luciano, R.C.S. Freire, W.B. de Castro, “TC com núcleo toroidal, influência do material magnético sobre o
ângulo de fase”, Eletricidade Moderna, 373: 172-180, abril de 2005.
[2] C.B. Gray, “Electrical machines and drive systems”, Longman Scientific & Technical, England, pp. 130, 1989.