Aula 02

Aula - 2
1- Movimento em 1D
2-Exemplos de aceleração constante
3-Aceleração da gravidade
4-Noções de derivada
Curso de Física Geral F-128
2o semestre, 2016
Movimento em 1-D
↳
• Entender os movimentos é uma das
metas das leis físicas.
• Mecânica estuda o movimento e suas
causas.
• Sua descrição e feita pela
Cinemática.
• Suas causas são descritas pela
Dinâmica.
• Iniciamos com o Movimento em 1-D.
• Grandezas podem ser tratadas como
escalares (só vale em 1 D) .
O Deslocamento
Deslocamento, variação de espaço de (x1,t1) para (x2,t2).
Exemplo: corrida de 100 metros.
x = x - x
2 1
√
↳
t = t - t
2 1
x = x - x
2 1
Usain Bolt - 9.58 s
(independe do caminho)
Velocidade média
√
√
↳
x 2  x1 x
vm 

t 2  t1
t
de 0s até 5.01s:
v
m
= 40m / 5.01s = 8.0 m/s
de 5.01s até 10.5s: v
m
= 60m / 5.49s = 10.9 m/s
Em todo o intervalo,
de 0s até 10.5s:
v = 100m / 10.5s = 9.5 m/s
m
Apesar de útil em alguns casos como esportes,
a velocidade média é um conceito impreciso.
Velocidade Instantânea
Geometricamente
Conceito
Derivada
√
√
√
↳
x dx
vt   lim

t 0
t
dt
Exemplo:
Na corrida, de 100 m,
a velocidade em t = 2s é
90m
v( t  2s) 
 8.0 m s
11.2s
Tangente
Aceleração Média
Como a Velocidade média:
√
√
√
√
↳
A corredora acelera uniformemente
até 10m/s em t =4s. Mantêm a
velocidade nos próximos 4s.
De 8s até 12.7s reduz a velocidade
para 8m/s.
de 0s até 4s:
am = 10 m/s / 4 s = 2.5 m/s2
de 4s até 8s:
am = 0 m/s / 4 s = 0 m/s2
de 8s até 12.7s: am = - 2 m/s / 4,7 s = -0.42 m/s2
v 2  v1 v
am 

t 2  t1
t
Aceleração Instantânea
Conceito
√
√
√
√
↳
v dv
a  lim

t 0 t
dt
Derivada
note
dv d  dx  d 2 x
a
   2
dt dt  dt  dt
Segunda
derivada
Exemplo:
Na corrida, de 100 m, a aceleração em t = 2s é
5.9 m s
2
a ( t  2s) 
 2.2 m s
2.7s
O cálculo de x(t) a partir de v(t)
√
√
√
√
√
↳
O cálculo de x(t) a partir de v(t)
Aceleração constante
√
√
√
√
√
↳
Aceleração constante
Resumo: 1D - aceleração constante
As equações de movimento para o caso de aceleração
constante são:
√
√
√
v  v0  at
√
√
√
√
↳
1 2
x  x0  v0t  at
2
2
2
v  v0  2a x  x0 
a = 0, caso particular do momimento uniforme, onde v = v0 (contante)
x  x0  v0t
Exemplo-Ultrapassagem no semáforo
Em que posição e tempo os carros se encontram?
i) aCV = 12/3 = 4 m/s2 ( 0 a 3 s)
ii) Xcv (t = 3) = (4.t2)/2 = 18 m
iii) Xcv (t>3) = 18+12t e XCA (t>3)= 30+10t
iv) XCV = XCA
18+12t = 30+10t => t = 6 s
v) XCV = XCA = 90 m e 9s após a largada.
Exemplo- Jogo de Boliche
Jogador joga bola com v0 = 2 m/s
e aceleração a = -0.2 m/s2.
Qual a distância percorrida pela
Bola?
Resumo: 1D - aceleração constante
As equações de movimento para o caso de aceleração
constante são:
√
√
√
v  v0  at
√
√
√
√
↳
1 2
x  x0  v0t  at
2
2
2
v  v0  2a x  x0 
a = 0, caso particular do momimento uniforme, onde v = v0 (contante)
x  x0  v0t
Exemplo- Jogo de Boliche
Jogador joga bola com v0 = 2m/s
e aceleração a = -0.2m/s2.
Qual a distância percorrida pela
Bola?
x  x0 
usando
v 2  v 20
2a
temos
2
2

0 m s   2 m s 
x  0m  
2

2  0.2 m s

 10m
E o tempodo deslocamento vale
t
0 m s   2 m s   10 s
 0.2 m s 2
Aceleração da Gravidade
↳
Galileo,
o
primeiro
físico
Moderno, estudou a queda dos
corpos.
Refutou
Aristoteles.
Usando experimentos mostrou
que os corpos caem com a
mesma
velocidade
e
independente de sua massa.
x ~ t2, v ~ t , consequências de
uma aceleração constante!
Ups, a resistência
do ar!!
Aceleração da Gravidade
↳
Galileo,
o
primeiro
físico
Moderno, estudou a queda dos
corpos.
Refutou
Aristoteles.
Usando experimentos mostrou
que os corpos caem com a
mesma
velocidade
e
independente de sua massa.
x ~ t2, v ~ t , consequências de
uma aceleração constante!
Corpos em queda livre
Para baixo
Para cima
diminuindo v
√
√
√
√
√
√
↳
Bola para
Bola jogada
para cima
v aumenta
Resumo: 1D - aceleração constante
As equações de movimento para o caso de aceleração
constante são:
√
√
√
v  v0  at
√
√
√
√
↳
1 2
x  x0  v0t  at
2
2
2
v  v0  2a x  x0 
Resumo, aceleração da gravidade
As equações de movimento para o caso de aceleração da gravidade -g são (ao
longo do eixo y):
a  g
v  v0  gt
+y
1 2
y  y0  v0t  gt
2
2
2
v  v0  2 g  y  y0 
+x
Exemplo
Um corpo cai livremente, calcule posição e
velocidade em t = 1.0, 2.0, 3.0 s. (g=9,8 m/s2)
1 2
y   gt e v  gt
2
Em t = 1.0 s
y = - 4.9 m e v = - 9.8 m/s
Continuando temos
Exemplo – Foguete
Exemplo – Foguete
Qual a aceleração no primeiro
Estágio?
v 24
a

 8 m/s
t
3
E no segundo estágio?
v 60  24
a

 5,1 m/s
t
10  3
E a deslocamento do foguete em queda livre?
Resumo, aceleração da gravidade
As equações de movimento para o caso de aceleração da gravidade -g são (ao
longo do eixo y):
a  g
v  v0  gt
+y
1 2
y  y0  v0t  gt
2
2
2
v  v0  2 g  y  y0 
+x
Exemplo – Foguete
Qual a aceleração no primeiro
Estágio?
v 24
a

 8 m/s
t
3
E no segundo estágio?
v 60  24
a

 5,1 m/s
t
10  3
E o deslocamento do foguete em queda livre?
v  v  2 g  y  y0 
2
2
0
v
y 

 v02
((55) 2  60 2 ))

 28.75 m
 2g
 20
2
Velocidade Instantânea
Geometricamente
Conceito
Derivada
√
√
√
↳
x dx
vt   lim

t 0
t
dt
Exemplo:
Na corrida, de 100 m,
a velocidade em t = 2s é
90m
v( t  2s) 
 8.0 m s
11.2s
Tangente
Velocidade Instantânea
Conceito
Regrinha
da
derivada
Derivada
√
√
√
x dx
vt   lim

t 0
t
dt
↳
Exemplo:
d (at n )
n 1
 nat
dt
1 2
x  x0  v0t  at
2
dx
1
11
v
 1.v0t  (2at 21 )  v0  at
dt
2
Velocidade Instantânea
Conceito
Regrinha
da
derivada
Derivada
√
√
√
x dx
vt   lim

t 0
t
dt
↳
Exemplo: v(t=2s) e a(t=2s)
x  4  5t  6t  2t
2
d (at n )
n 1
 nat
dt
3
dx
2
v
 5  12t  6t  v(2s )  53 m/s
dt
Velocidade Instantânea
Conceito
Regrinha
da
derivada
Derivada
√
√
√
x dx
vt   lim

t 0
t
dt
↳
Exemplo: v(t=2s) e a(t=2s)
d (at n )
n 1
 nat
dt
dx
2
v
 5  12t  6t
dt
dv
2
a
 12  12t  a(2s )  36 m/s
dt
O cálculo de x(t) a partir de v(t)
√
√
√
√
√
↳
O cálculo de x(t) a partir de v(t)
√
√
√
√
No caso geral temos que
achar a área sob a curva
da velocidade. Isto é o
processo de integração.
√
↳
t 
t  t0
N
x  x 0  v1  v 2    v N t
x  x 0   vt 'dt '
t
N
x  x 0   v i t
i 1
No limite
N infinito e t  0
t0
O cálculo de v(t) a partir de a(t)
√
√
√
√
√
↳
No caso geral temos que achar a
área sob a curva da aceleração.
Isto é novamente o processo de
integração. Note que nas figuras,
tx e a(t) F(x)
t  t0
t 
N
v  v0  a1  a2    aN t
N
v  v0   ai t
i 1
No limite
N  e t0
t
v  v0   at dt 
t0
Resumo dos Conceitos
• Problema direto,
– x(t) (derivada)  v(t)
– v(t) (derivada)  a(t)
√
↳
• Problema inverso
– a(t) (integral)  v(t)
– v(t) (integral)  x(t)
• Quem fez?
• Newton
Inclinação da
reta tangente à
curva x(t) no
ponto.
Inclinação da
reta tangente à
curva v(t) no
ponto.
A área sob curva
a(t) em um
intervalo dt.
A área sob curva
v(t) em um
intervalo dt.