Condicionais - Verdade ou Assertividade?

Condicionais – verdade ou assertividade?
Rodrigo César Thadeu Barros Pereira ([email protected])
Mestrado Filosofia – Universidade Federal de Minas Gerais
Orientador: Prof. Dr. Túlio Roberto Xavier de Aguiar
Resumo: neste texto faremos uma breve apresentação do que consideramos ser as principais
teorias contemporâneas sobre condições de verdade de sentenças condicionais. Dessa forma,
avaliaremos a capacidade de cada uma em se manter próxima de nossas respostas intuitivas
diante de asserções condicionais, tanto quando ocorrem isoladas ou estão presentes em
contextos proposicionais mais amplos, bem como as conseqüências de cada interpretação para
a avaliação de inferências onde este tipo de sentença ocorre. Alem disso, também deverão ser
considerados argumentos (Grice; Jackson) que visam nos convencer de que aparentes contraexemplos à teoria da Equivalência podem ser desfeitos ao atentarmos para as infrações de
máximas conversacionais ou regras convencionais de assertividade que governam o uso
ordinário dos condicionais. Em particular, pretendemos apresentar uma breve prova da
incompatibilidade entre certa regra de assertividade (Adams; Jackson) com qualquer teoria
que estipule condições de verdade para o tipo de sentença em questão.
Palavras-chave: assertividade, condições de verdade, sentenças condicionais.
Condicionais são sentenças do tipo ‘se a , então b ’ e segundo a teoria mais difundida
sobre condicionais, todo condicional da linguagem natural, (a → b) , tem as mesmas
condições de verdade que a disjunção da negação de seu antecedente com seu conseqüente.
Portanto, é também uma função de verdade de suas componentes - seu valor de verdade é
exclusivamente dependente dos valores de verdade de suas sentenças componentes -, bem
como a disjunção a que corresponde. Em particular, esta equivalência é uma conseqüência da
validade intuitiva da inferência (¬a ∨ b) ∴ (a → b) 1. Sendo assim, um condicional é
verdadeiro caso seu antecedente seja falso ou seu conseqüente verdadeiro e, falso caso seu
antecedente seja verdadeiro e seu conseqüente falso. Caso pudesse ser verdadeiro sob esta
última condição poderíamos ter as premissas de um Modus Ponens - (a → b) ∧ a ∴ b verdadeiras ao mesmo tempo, junto de uma conclusão falsa, deste modo invalidando uma
1
‘Ou Aristóteles não escreveu diálogos, ou eles se perderam, logo, se Aristóteles escreveu diálogos, eles se perderam’ é um ex. de inferência
que obedece esta forma, onde o símbolo de acarretamento ou conseqüência lógica, ∴ , pode ser substituído pelas expressões ‘logo’ ou
‘conseqüentemente’.
forma de inferência intuitivamente válida (Jackson 2006:213). E, sendo que a tautologia
(a → a ) é admitidamente verdadeira independentemente do valor-verdade de suas
componentes e, a tautologia (a ∧ b) → a não deixa de ser verdadeira caso a conjunção que
forma seu antecedente seja falsa, condicionais também são verdadeiros, admitida a
verofuncionalidade, quando, antecedente e conseqüente são falsos, ou, quando seu
antecedente é falso e seu conseqüente verdadeiro (idem). Um condicional é, portanto, uma
sentença complexa constituída de um operador verofuncional que expressa uma proposição
constituída de outras proposições atômicas ou moleculares (Read:65). Essa teoria então prediz
que todo condicional da linguagem ordinária, (a → b) , tem as condições de verdade da
implicação material, (a ⊃ b) . Esta é a chamada teoria da Equivalência.
Problemas:
Entretanto, uma série de problemas surge quando avaliamos condicionais da
linguagem ordinária. Um ex. é o que ocorre com os condicionais subjuntivos ou
contrafactuais. Dado que todo contrafactual tem antecedente falso, todo contrafactual é
verdadeiro!2 Este resultado contrasta com nossa forte tendência a pensar que duas pessoas que
proferem contrafactuais com o mesmo antecedente, e conseqüentes contrários, além de
estarem discordando, não podem ao mesmo tempo estar dizendo a verdade (idem). (Vale
observar que na teoria da equivalência, (a → b) ∧ (a → ¬b) , não é uma contradição, e uma
teoria que comporte conseqüência contrária pode contar pontos a seu favor, já que
compreendemos ordinariamente (a → b) como a negação direta de (a → ¬b) .) Este
resultado é um, dos inúmeros exemplos de uma família de resultados estranhos resultantes dos
paradoxos da implicação material: (1) ¬a ∴ (a ⊃ b) , (2) b ∴ (a ⊃ b) , (3) (a ⊃ b) ∨ (b ⊃ a ) . O
primeiro deles então prediz que todo condicional é acarretado pela falsidade de seu
antecedente, ‘Se moro em Buenos Aires, então moro em Londres’ é verdadeiro uma vez que
moro em BH. Ou, dito de uma figura escondida ‘Se for um pentágono, ela tem seis lados’,
não sendo um pentágono, a proposição é verdadeira. Este exemplo ilustra também uma das
críticas de Read (67-68) à equivalência: as premissas do argumento para a verofuncionalidade
do condicional não podem ser satisfeitas por uma disjunção unívoca. Ou seja, por um lado, o
2
Há toda uma discussão na literatura a respeito da distinção entre condicionais indicativos e subjuntivos ou contrafactuais. Respondemos,
por ex., diferentemente aos condicionais ‘Se Oswald não matou Kennedy, então outra pessoa o fez’ e ‘Se Oswald não tivesse matado
Kennedy, outra pessoa teria feito’. Como tendemos a considerar o primeiro verdadeiro e o segundo falso, admitindo-se que o par de
proposições que compõem a sentença complexa, nos dois casos, é o mesmo, alguns – David Lewis por ex. – inferem daí a necessidade de
teorias separadas, uma vez que a diferença é explicada ao admitir também se tratar de dois conectivos logicamente distintos. Outros, porém,
argumentam em favor de um tratamento unificado. A titulo de ex., Edgington (1984:178-9) e Stalnaker (1965:30, nota 3), pensam que a
diferença nas respostas reflete apenas a atitude epistêmica do falante em relação ao antecedente do contrafactual, cuja falsidade é assumida
junto da crença de que Oswald agiu sozinho, enquanto assume-se que no indicativo o antecedente é ainda uma possibilidade epistêmica. Ou
seja, a diferença não se deve a ocorrência de dois tipos de condicionais, mas a dois tipos de contexto onde se faz a asserção.
condicional (a → b) deve ser equivalente à disjunção (¬a ∨ b) , por outro, a disjunção deve
ser ela mesma verofuncional. Ora, se houver uma disjunção, como prediz a teoria, equivalente
ao condicional deste exemplo, ela não pode ser verofuncional. O segundo paradoxo diz que
todo condicional, cujo conseqüente é verdadeiro, é também verdadeiro, não importando assim
o valor de seu antecedente. E aqui novamente o exemplo anterior serve como conseqüência
estranha ao tomarmos por verdadeiro seu conseqüente. Há ainda o terceiro que diz ser uma
tautologia a disjunção formada dos condicionais (a → b) e (b → a ) . (Tente novamente com
o último exemplo!) Há também problemas quanto às formas de inferência tomadas por
válidas nesta teoria conhecidas como contraposição - (a → b) ∴ (¬b → ¬a ) -, fortificação do
antecedente – (a → b) ∴ ((a ∧ c) → b) -, e silogismo hipotético – (a → b) ∧ (b → c) ∴ (a → c) .
Um contra-exemplo à validade da primeira é ‘Se Carter for eleito, ele não será eleito por uma
grande margem de votos’, logo ‘Se Carter for eleito por uma grande margem de votos, ele não
será eleito’. Contra a validade da segunda temos a sentença ‘Se risco o fósforo, ele se
acenderá’ da qual, autorizados pela teoria da Equivalência, inferimos ‘Se mergulho o fósforo
por uma noite inteira na água e o risco, então ele se acenderá’. Por fim, temos um contraexemplo ao silogismo hipotético: ‘Se o Flamengo ganhar, seus oponentes ficarão perturbados’
e, ‘Se seus oponentes tentam perder e conseguem, o Flamengo ganha’, logo ‘Se seus
oponentes tentam perder e conseguem, eles ficarão perturbados’. Ainda outro tipo de
argumento é alegado contra a teoria da Equivalência (Edgington:183-4): ela não responde
bem aos nossos usos de condicionais cujo antecedente pensamos ser provavelmente falso. Se
alguém pensa que ‘Os republicanos não ganharão as próximas eleições’, (¬a ) , e, ao mesmo
tempo, acha que não é o caso que ‘Se os republicanos ganharem, eles dobrarão as taxas de
impostos’, ¬(a → b) , teria por isso crenças inconsistentes, já que (¬a ) torna (a → b)
verdadeira e daí ¬(a → b) seria falsa. Tais crenças não poderiam, portanto, ser sustentadas ao
mesmo tempo. Ora, nos parece perfeitamente plausível a consistência dum tal conjunto de
crenças!
Talvez a lição que devemos tirar destes paradoxos seja a de que condicionais
indicativos são mais fortes que os condicionais materiais. Ou seja, (a → b) acarreta (a ⊃ b) ,
mas não vice-versa. Ser materialmente verdadeiro (não ter antecedente verdadeiro e
conseqüente falso) é uma condição necessária, mas não suficiente para a verdade do
condicional indicativo (Jackson 2006:214).
Tentativas de superação dos problemas:
Há quatro linhas alternativas básicas em resposta aos contra-exemplos:
1- Defesa conversacionalista:
A primeira, levada a cabo por Grice3, assume a equivalência entre (a → b) e (a ⊃ b)
tentando explicar a discrepância entre implicação material e condicional indicativo traçando
considerações de caráter pragmático. Para Grice, a equivalência é mantida ao se reconhecer
que a fonte das estranhezas não é propriamente a falsidade do condicional, que resulta, como
conclusão, da inferência a partir da negação de seu antecedente ou afirmação do conseqüente
(a inferência é correta), mas sim a não observância da máxima de Quantidade (Read:69-72),
não asserir menos do que se pode, tornando sua contribuição o mais informativa possível sem
torná-la mais informativa que o necessário, que também rege as trocas conversacionais. O que
os paradoxos (1, 2) ilustrariam, portanto, são casos onde a asserção condicional resulta
inapropriada, muito embora a inferência seja correta. São inapropriadas por serem proferidas
em circunstâncias onde se acredita, ou na negação do antecedente ou na verdade do
conseqüente, resultando em contradição com a implicatura conversacional4 derivada da
suposição, por parte do ouvinte, de que o falante está cooperando e observando a máxima de
Quantidade, ou seja, que nenhuma asserção mais forte5 poderia ter sido feita (a saber, ou a
negação do antecedente ou a afirmação do conseqüente) (Read:71).
2- Teoria da Equivalência Suplementada:
Entretanto, Jackson (1979:113) aponta casos de condicionais cuja asserção é altamente
apropriada (tem assertividade alta ou probabilidade subjetiva alta para seu assertor), mas que
sob o slogan “Asserir o mais forte ao invés do mais fraco” tornam-se asserções inapropriadas.
Ex. ‘Se o sol deixar de existir em dez minutos, a terra mergulhará na escuridão’. Uma vez que
o falante, nesse caso, acredita também na falsidade da proposição expressa pelo antecedente,
está indo contra a máxima de quantidade. A teoria griceana, portanto, acaba por condenar
condicionais inocentes. Daí propõe uma teoria da Equivalência Suplementada, que diz ser o
condicional indicativo governado por uma regra de assertividade que faz parte de seu sentido
convencional, responsável por gerar uma implicatura de tipo diferente da conversacional. Ao
asserir um condicional, o falante implica convencionalmente, que sua asserção está apta a
servir como premissa ao usar o Modus Ponens. Ou seja, que ao aprender o antecedente estará
correto inferir o conseqüente. E isto apenas acontecerá quando a) a probabilidade do
condicional material p (a ⊃ b) for alta e b) permanecer alta dado que a 6. Estas condições são
3
Grice, Paul 1989: “Logic and Conversation” reprinted in F. Jackson (ed). pp.155-175. (1991)
A diferença entre implicar conversacionalmente (implicatura) e implicar em sentido lógico (acarretamento) diz respeito à possibilidade que
a primeira tem de ser cancelada e a segunda não. Posso cancelar uma implicatura simplesmente dizendo “Não quis dizer tal e tal”.
5
Uma asserção é mais forte que outra quando a primeira acarreta a segunda, e não vice-versa.
6
‘Se Reagan trabalhou para a KGB, eu nunca vou descobrir’ é um ex. de condicional que não satisfaz as condições de assertividade. O
conseqüente não é inferido quando se descobre a verdade do antecedente.
4
ao mesmo tempo satisfeitas quando a probabilidade condicional de b dado que a for alta,
p (b / a ) . Nesse caso, o condicional é robusto em relação a seu antecedente. Dessa forma, a
assertividade justificada de condicionais indicativos é governada pela seguinte equação:
Ass (a → b) = p (b / a ) . (Devido a sua importância, falaremos sobre esta equação e sua relação
com a questão sobre as condições de verdade de condicionais mais adiante.) Aqui temos então
outra resposta aos paradoxos ou contra-exemplos aparentes: são inferências que não
preservam assertividade, mas são inferências corretas. Conclusão: confundimos preservação
de assertividade, com preservação de verdade.
Mas as teorias de Jackson e Grice não contornam o problema acerca do conjunto de
crenças inconsistentes. Além disso, não há qualquer evidencia de que acreditamos num
condicional quando acreditamos na implicação material correspondente, e então, num
momento subseqüente, estamos preparados para asseri-lo quando alguma outra condição
adicional é satisfeita (Edgington 1986:186).
3- A teoria da Similaridade: uma proposta de condições de verdade mais forte.
A terceira linha de solução é adotada por Stalnaker (1965) ao negar a equivalência e
propor um outro operador que modela o condicional indicativo numa semântica enriquecida
com a noção de mundos possíveis. O condicional aqui, embora expresse uma proposição que
é uma função das sentenças que o compõem, não mais pode ser considerado uma função de
verdade destas outras sentenças. Há, em alguns casos – condicionais com antecedente falso –,
mais de um valor possível correspondente a uma única combinação de valores das
proposições componentes. Torna-se desse modo um conectivo modal. De tal forma que um
condicional (a > b) só será verdadeiro num mundo w, onde é proferido, se houver um único
mundo possível w’ mais próximo de w onde a é verdadeiro e b for verdadeiro neste mundo.
Ou seja, na condição de que o mundo possível mais próximo do mundo atual, onde o
antecedente seja verdadeiro, seja um mundo onde seu conseqüente é verdadeiro7. Mundo
possível mais próximo, aqui, é o análogo ontológico de um conjunto de crenças hipotéticas,
resultante da mínima revisão deste conjunto, necessária para acomodar o antecedente do
condicional, mantendo-se a consistência quando se acredita que sua negação é atualmente
verdadeira (idem:33). ‘Se ponho açúcar no café, ele me parecerá bom, logo se ponho açúcar e
óleo diesel no café ele me parecerá bom’ (fortificação do antecedente) tem então sua
invalidade explicada. O mundo possível mais próximo onde coloco açúcar no café não é o
7
Tendo um antecedente verdadeiro, no caso, o mundo possível mais próximo do mundo atual é ele mesmo. Este é um ponto de convergência
com a teoria da equivalência: um condicional com antecedente verdadeiro só será verdadeiro caso seu conseqüente o for. O conectivo de
Stalnaker é um exemplo de operador mais forte que a implicação material, já que a inferência ( a > b ) ∴ ( a ⊃ b ) é valida, mas o contrario não.
mesmo mundo onde coloco açúcar e óleo diesel, enquanto o conseqüente é plausivelmente
verdadeiro no primeiro mundo, não o é no segundo. O mesmo se pode dizer dos outros
padrões de inferência a que foram dados contra-exemplos acima e que são, de fato,
invalidados nesta teoria. E isso pesa a seu favor. A teoria da similaridade nos dá a resposta
intuitivamente correta a respeito dum conjunto amplo de inferências envolvendo condicionais
(Jackson 2006:215). Assumindo-se, além disso, a existência de um único mundo possível
mais similar ao atual8, junto com o principio do terceiro excluído para sentenças não
condicionais, e uma vez que assumamos a possibilidade epistêmica do antecedente, resulta
que (a → b) ∨ (a → ¬b) é um principio válido nesta teoria. Mas, se por um lado oferece
respostas para a invalidade de certas inferências, por outro, acaba por tornar inválidas,
inferências intuitivamente válidas. É o caso, por ex., do principio de importação-exportação,
que diz ser (a ∧ b) → c equivalente a ( a → (b → c) , válido na teoria da equivalência.
Aparentemente, não há contra-exemplos a este principio. Imaginemos a seguinte situação: nas
eleições de 1980 uma pesquisa de opinião mostra o Republicano Ronald Reagan
decisivamente à frente do candidato Democrata Jimmy Carter, com o Republicano John
Anderson numa distante terceira posição. Aqueles informados do resultado das pesquisas
teriam, portanto, razões para acreditar em (1) ‘Se um republicano ganhar as eleições e não for
Reagan o vitorioso, este será Anderson’, equivalente a (2) ‘Se um republicano ganhar as
eleições, então se não for Reagan o vitorioso, este será Anderson’, segundo o principio de
importação-exportação. Mas a teoria da similaridade tem por conseqüência a invalidação da
passagem de (1) para (2). Em (2) há dois condicionais, portanto, dois julgamentos de
similaridade devem ser feitos. O mundo possível mais similar ao atual onde o antecedente de
(2) é verdadeiro (o mundo onde é realizada a pesquisa de opinião) tem, por sua vez, como
mundo mais similar a ele, onde é verdadeiro o antecedente do condicional que forma seu
conseqüente, um mundo onde Carter será o vitorioso, caso Reagan não seja. Ao invés de (2),
(3) ‘Se um Republicano ganhar as eleições, então, se Reagan não ganhar, este será Carter’
deve ser verdadeira (McGee:466-68).
4- A Teoria da assertividade: condicionais possuem valor de verdade?
A fórmula (Adams) Ass ( a → b) = p (b / a ) conhecida como a tese de Adams diz que a
assertividade justificada ou aceitabilidade de condicionais é governada pela probabilidade
subjetiva condicional do conseqüente dado o antecedente, p (b / a ) , que por sua vez é
8
Esta suposição é contestada por Lewis (1973). Considere o ex.: ‘Se João tem mais de 2 metros de altura, então pode entrar para o time de
Basquete’ Não há um limite para a similaridade dos mundos possíveis, uma vez que para todo mundo selecionado sempre há um mais similar
que ele em relação ao mundo atual. 2.1m., 2.05m., 2.025m., e assim por diante (Read, 1995:87).
costumeiramente analisada como o quociente das probabilidades subjetivas absolutas da
conjunção do antecedente com o conseqüente pela do antecedente,
(PC) p (b / a ) =
p (a ∧b)
p(a)
, quando a > 0 .
A tese, mais especificamente, consiste em dizer que aceitamos ou estamos justificados ao
asserir um condicional quando nossa p (b / a ) for alta. Como vimos, para muitos, as sentenças
condicionais expressam, antes de tudo, proposições, cujas condições de verdade têm também
probabilidade de ocorrência, sendo assim, dado que condicionais possuem valores de verdade,
sua assertividade ou aceitabilidade deve ser dada pela probabilidade subjetiva (absoluta) de
ocorrência
de
suas
condições
de
verdade9
(Jackson
2006:220),
ou
seja,
Ass ( a → b) = p ( a → b) , donde com (Adams) inferimos a assim conhecida hipótese de
Stalnaker, p (a → b) = p (b / a ) , que diz que probabilidade de condicionais são probabilidades
condicionais, ou, equivalentemente, probabilidade condicional é a probabilidade de um
condicional, também conhecida como CCCP (conditional construal of conditional
probability). Na verdade, Stalnaker pretendeu usar a hipótese como um critério de adequação
de teorias sobre condições de verdade de condicionais, por isso devemos observar que, em
CCCP, “ → ” é uma variável10, muito embora, no presente texto, sua interpretação será
considerada a mesma para todas as funções probabilísticas em questão, como Lewis (1976) o
faz, alegando, para isso, não poder haver mudança de opinião ou mesmo discordância a
respeito de um condicional caso sua interpretação fosse variável. A conjunção, entretanto, de
CCCP com princípios aceitos na teoria probabilística padrão e uma suposição a respeito da
classe de funções adequadas para representação de estados de crença, como Lewis (idem) nos
mostra, nos leva, por redução ao absurdo, a conclusão de que condicionais talvez não tenham
condições de verdade de tipo algum11; a adoção desta ou de outras posições dependendo
fundamentalmente da rejeição de um ou outro membro da conjunção. Podemos dizer,
basicamente, que as alternativas diante dos resultados são: negar que p (b / a ) mede a
probabilidade de uma proposição supostamente expressa por (a → b) , para qualquer
9
Como um falante cooperativo quer asserir o que é provavelmente verdadeiro, a assertividade, em geral, vai por probabilidade porque esta é
probabilidade de verdade (Lewis:297). Vale notar que a própria compreensão de asserção enquanto afirmação da verdade de uma sentença é
colocada em cheque pelo resultado de Lewis.
10
Dadas as condições de verdade de um conectivo que se queira adequado para representar o condicional da linguagem ordinária podemos
comparar assim sua probabilidade com a respectiva probabilidade condicional. Notemos intuitivamente, por ex., a discrepância entre
p ( a ⊃ b ) e p ( a → b ) ao interpretarmos a e b respectivamente por ‘O sol deixará de existir em 10 minutos’ e ‘A terra não mergulhará na
escuridão em 18 minutos’ sabendo-se que a luz do sol leva 8 minutos para atingir a terra. p ( a ⊃ b ) tem alta probabilidade (diferentemente de
p ( a → b ) ) uma vez que a probabilidade de ¬a é alta. Portanto, a princípio, “ ⊃ ” não pode ser considerado um condicional probabilístico.
Caso a hipótese de Stalnaker seja o fato fundamental a respeito dos condicionais que utilizamos em nossas atividades intelectuais diárias,
podemos excluir assim qualquer conectivo candidato à representação formal de seu sentido.
11
A compreensão do sentido de um condicional não seria dada, nesse caso, pela compreensão das circunstâncias que o tornam verdadeiro ou
falso.
interpretação de “ → ”; ou dizer que p (a → b ) ≠ p (b / a ) , que a busca por um condicional
probabilístico (condicional que satisfaz CCCP) é vã (Lewis: 298).
Em primeiro lugar, então, temos os três axiomas de Kolmogorov:
(K1) 0 ≤ p ( a ) ≤ 1 ;
(K2) se a é uma tautologia, então p (a ) = 1 ;
(K3) se a e b são mutuamente inconsistentes, então p (a ∨ b) = p ( a ) + p (b) .
Derivemos agora alguns teoremas intermediários:
(T1) p (a ) = 1 − p (¬a ) . Uma vez que p (a ∨ ¬a ) = 1 por (K2). E dado que a e ¬a são
mutuamente inconsistentes, e assim
p (a ∨ ¬a ) = p ( a ) + p (¬a ) , por (K3),
1 = p ( a ) + p (¬a ) , e daí 1 − p (a ) = p (¬a ) , ambos via álgebra.
(T2) se a implica b, então p (a ) ≤ p (b) . Se a implica b , a é inconsistente com ¬b .
Daí p (a ∨ ¬b) = p ( a ) + p (¬b) por (K3), donde por (T1) temos que se a implica b ,
então p (a ∨ ¬b) = p ( a ) + 1 − p (b) . Suponhamos agora, para efeito de reductio, que a
implica b e que p (a ) > p (b) . Nesse caso teremos p (a ∨ ¬b) > 1 contrariando (K1), já
que p (a ∨ ¬b) será a soma de p (a ) com 1 menos alguma coisa menor que p (a ) .
(T3) se a ≡ b , então p ( a ) = p (b) . Suponhamos que a e b são equivalentes. Nesse
caso, a implica b , e b implica a . Daí, por dupla aplicação de (T2), p (a ) ≤ p (b) e
p (b) ≤ p ( a ) , e por álgebra p (b) = p (a ) .
Podemos agora derivar a expansão por casos:
(1) (a → b) ≡ ((a → b) ∧ b) ∨ (( a → b) ∧ ¬b) por equivalência lógica.
(2) p (a → b) = p (((a → b) ∧ b) ∨ (( a → b) ∧ ¬b)) de (1), por (T3).
(3) p (a → b) = p ((a → b) ∧ b) + p ((a → b) ∧ ¬b) de (2), por (K3).
(4) p (a → b) = p (b ∧ ( a → b)) + p (¬b ∧ ( a → b)) de (3), por aplicação dupla da
comutação.
(5) p (a → b) = p (b) × p (( a → b) / b) + p (¬b) × p ((a → b) / ¬b) (regra de expansão por
casos) de 4, por álgebra (ou (PC)).
Agora, com base em uma suposição de Lewis acerca da classe de funções probabilísticas
adequadas
para
a
representação
de
estados
de
crença,
derivaremos
p ((a → b) / c) = p ((b / c ∧ a ) , importante para justificar o próximo passo na seqüência. A
suposição em questão diz que tal classe é fechada sob condicionalização. Isso significa que
para toda função p pertencente à classe, a função p '(_) (nova distribuição de valores as
sentenças no domínio de p ) igual a p (_/ c) , que vem de p por condicionalização sobre uma
evidência (ou sentença) c , também pertence à classe. Observemos que a evidência em
questão não pode ser impossível de ser obtida, ou seja, no domínio de p , c não pode ter
probabilidade 0 (Read:76). A idéia aqui é a de que a atualização das crenças de um agente
racional ideal (um agente que não comete erros lógicos), face uma dada evidencia, deve ser
feita em conformidade com o princípio de Bayes, supracitado PC. Sendo, portanto,
p '(_) = p (_/ c ) , p '( a → b) = p ((a → b) / c ) , e sendo que
p (c ∧ (a ∧ b))
p '( a → b) =
=
p '( a ∧ b)
p '( a )
p (c) × p ( a / c) × p ((b / c ∧ a )
p (c ) × p ( a / c )
=
p (( a ∧ b) / c)
p ( a / c)
=
p (c )
p (c ∧ a )
p (c )
=
p (c ∧ a ∧ b)
p (c ∧ a )
= p ((b / c ∧ a ) , temos então p ((a → b) / c) = p ((b / c ∧ a ) .
Portanto, uma vez que:
p ((a ∧ b) ∧ b)
p ( a ∧ b)
=1 e
p (a ∧ b)
p ( a ∧ b)
0
p (( a ∧ b) ∧ ¬b)
p ((a → b) / ¬b) = p (b / (a ∧ ¬b)) =
=
=0,
p ( a ∧ ¬b )
p ( a ∧ ¬b )
p ((a → b) / b) = p (b / ( a ∧ b)) =
=
(notemos que p ((a ∧ b) ∧ ¬b) = 0 por ser uma contradição. Como (¬(( a ∧ b) ∧ ¬b)) é uma
tautologia, p (¬(( a ∧ b) ∧ ¬b)) = 1 . Portanto p ((a ∧ b) ∧ ¬b) = 0 , por (T1)).
(6) p (a → b) = p (b).1 + p (¬b).0 de (5), por álgebra.
(7) p (a → b) = p (b) de (6), por álgebra.
Conseqüência absurda, já que podemos dar vários exemplos que contrariam a suposta
independência probabilística de duas proposições a e b quaisquer. Um deles é formado pelas
interpretações de a e b , respectivamente, por “João tira uma carta régia” e “João tira um rei”,
assumindo-se que o baralho é completo (possui 52 cartas), padrão (com 13 cartas de cada
naipe sem coringas) e sem maracutaias. Neste caso p (a ) = 133 , p (b) = 131 , p (a ∧ b) = 131 e
p (b / a ) = 13 , portanto, p (b / a ) ≠ p (b) .
Bibliografia:
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