seqüências e equações de diferenças baseadas na seqüência de

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SEQÜÊNCIAS E EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS BASEADAS NA
SEQÜÊNCIA DE FIBONACCI
Bruno Wesley Barbosa ((Uni-FACEF)
Antonio Carlos da Silva Filho (Uni-FACEF)
1 INTRODUÇÃO
Leonardo Pisano é mais conhecido pelo seu apelido: Fibonacci. Ele era filho
de Guilielmo e um membro da família Bonacci. Fibonacci nasceu na Itália, mas foi
educado no Norte da África, onde seu pai tinha um posto diplomático. Fibonacci
terminou sua formação e suas viagens ao redor de 1200 e, então, retornou a Pisa.
Restaram cópias dos seguintes livros escritos por ele: Liber abaci (publicado em
1202), Practica geometriae (publicado em 1220), Flos (publicado 1225), and Liber
quadratorum.
Liber abaci, publicado em 1202, após o retorno de Fibonacci à Itália, foi
baseado na aritmética e na álgebra que Fibonacci acumulou durante suas viagens.
Este livro, que foi largamente copiado e imitado, introduziu o sistema posicional
decimal e o uso de numerais arábicos na Europa. Um problema na terceira secção
do Liber abaci levou à introdução dos Números de Fibonacci e da seqüência de
Fibonacci, pelos quais Fibonacci é mais lembrado hoje em dia: “Quantos pares de
coelhos podem se formar em um ano, partindo de somente um par?”. A resposta,
para uma dada condição inicial, levou à seqüência de números: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,
21, 34, 55, 89, 144, 233. Fibonacci provavelmente incluiu o “problema dos coelhos” a
partir dos seus contatos no exterior e não inventou nem o problema nem a série de
números que levam o seu nome.
Cada termo desta série pode ser obtido a partir dos dois primeiros termos,
somando os dois anteriores. A razão entre termos sucessivos nesta série conduz à
assim chamada Razão Áurea: 1,61803... . Esta razão também pode ser obtida como
uma das raízes da equação: x2 = x + 1. Uma generalização levou a uma série onde,
a partir de três termos iniciais arbitrários, obtinham-se os próximos termos somando
os três termos imediatamente anteriores. A razão entre três termos sucessivos desta
série converge para o número 1,83928..., que passou a ser conhecido como número
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Tribonacci (FEINBERG, 1963; ELIA, 2001). Ocorre que este número também pode
ser obtido como uma das raízes da equação: x3 = x2 + x + 1.
Generalizações posteriores levaram à construção de séries a partir de quatro
termos arbitrários, cinco termos arbitrários, etc. Em cada uma destas séries, a razão
entre termos consecutivos converge, respectivamente, para os números: 1,92756...
(número Tetranacci), 1,96594... (número Pentanacci) etc. Estes números também
são soluções, respectivamente, das seguintes equações (MUSTONEN, 2005): x4 =
x3 + x2 + x + 1 e x5 = x4 + x3 + x2 + x + 1, etc.
Os coeficientes nas equações definidas no parágrafo anterior são todos iquais
a 1. Este trabalho analisará os casos em que estes coeficientes são diferentes de 1.
Chamaremos a estas séries de séries de Fibonacci generalizadas.
O relacionamento entre as séries generalizadas de Fibonacci e a série de
Fibonacci propriamente dita é o objeto deste trabalho.
2 MATERIAIS E MÉTODOS
Chamando de F(i) ao i-ésimo número de Fibonacci, a relação básica
entre os Números de Fibonacci é:
F(i+2) = F(i+1) + F(i)
Se fizermos a razão entre dois números sucessivos na série de Fibonacci (1,
1, 2, 3, 5, 8, 13, ...), isto é, se dividirmos cada número pelo seu antecessor, nós
encontraremos a seguinte série de números:
1/1 = 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1·5, 5/3 = 1·666... , 8/5 = 1·6, 13/8 = 1·625,
21/13 = 1·61538...
Esta seqüência de números converge para o número conhecido como Razão
Áurea e representado por Φ:
Φ = 1·61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203 09179 ...
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Se pegarmos três números vizinhos de Fibonacci, F(i), F(i+1) e F(i+2), então,
para valores bem grandes de i, a razão entre F(i) e F(i+1) será quase a mesma que
a razão entre F(i+1) e F(i+2). Assim, vejamos o que ocorre quando estas razões
produzem o mesmo valor, X:
F (i + 1) F (i + 2)
=
= X
F (i )
F (i + 1)
Usando a relação de Fibonacci, podemos substituir F(i+2) por F(i+1)+F(i) e,
então, simplificar a fração resultante:
F (i + 1) F (i + 2) F (i + 1) + F (i ) F (i + 1)
F (i )
F (i + 1)
1
=
=
=
+
=
+
F (i )
F (i + 1)
F (i + 1)
F (i + 1) F (i + 1) F (i + 1) F (i + 1)
F (i )
Mas, como o último termo é 1/X,
X =1+
1
X
ou
X2 = X +1
Uma seqüência Tribonacci assemelha-se a uma seqüência de Fibonacci, mas
em vez de começarmos com dois termos pré-definidos, a seqüência é iniciada com
três termos pré-determinados, e cada termo posterior é a soma dos três termos
precedentes (BEZUSZKA, 1977). Os primeiros números de uma pequena seqüência
padrão Tribonacci são: 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136,
5768, 10609, 19513, 35890, 66012, 121415, 223317, etc.
Já uma seqüência Tetranacci assemelha-se a uma seqüência Tribonacci, com
a diferença que são quatro termos pré-determinados, e cada termo seguinte é a
soma dos quatro termos precedentes (WADDILL, 1992). Os primeiros números de
uma pequena seqüência padrão Tetranacci seriam: 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108,
208, 401, 773, 1490, 2872, 5536, 10671, 20569, 39648, 76424, 147312, 283953,
547337, etc.
Todas estas séries generalizadas apresentam a propriedade de que dois
termos consecutivos convergem para determinadas constantes, denominadas na
literatura números Tribonacci, Tetranacci, etc. Os primeiros são os seguintes:
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Fibonacci:
1,618033988749894
Tribonacci:
1,839286755214161
Tetranacci:
1,927561975482925
Pentanacci:
1,965948236645485
...
Ocorre que os n-bonacci podem ser obtidos como soluções das equações
(MUSTONEN, 2005):
x2 = x + 1
x3 = x 2 + x + 1
x 4 = x3 + x 2 + x + 1
...
x n = x n−1 + x n−2 + x n−3 + ... + 1
Mas o que acontece quando os coeficientes destas equações não são iguais
a 1? Ou seja, quando temos equações dos seguintes tipos:
x 2 = A1 x + A0 1
x 3 = B2 x 2 + B1 x + B01
x 4 = C3 x 3 + C2 x 2 + C1 x + C01
...
x n = Dn−1 x n−1 + Dn−2 x n −2 + Dn−3 x n−3 + ... + D0 1
A procura das respostas a esta pergunta constitui o corpo do presente
trabalho, centrado, porém, na investigação da primeira equação: a que define os
números de Fibonacci propriamente ditos.
3 RESULTADOS
A pesquisa ainda está em andamento. Numa primeira fase, analisamos o que
acontece com a equação:
104
x 2 = A1 x + A0
Neste caso, em particular, a solução pode ser encontrada de maneira
analítica. A raiz positiva, que nos interessa, é:
x =
(i)
A1 +
A1 + 4 A0
2
2
Fazendo A0 = 1 e variando A1 no intervalo (0, 2], obtemos o seguinte
gráfico:
2.5
x
2
1.5
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
A1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Fig. 1 Valores de x à medida que A1 percorre o intervalo (0, 2]. A linha azul
representa a razão áurea.
(ii)
Fazendo A1 = 1 e variando A0 no intervalo (0, 2], obtemos o seguinte
gráfico:
105
2
1.9
1.8
1.7
x
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
A0
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Fig. 2 Valores de x à medida que A0 percorre o intervalo (0, 2]. A linha azul
representa a razão áurea.
(iii)
Fazendo A0 e A1 variarem no intervalo (0, 2], obtemos o gráfico
tridimensional a seguir:
3
2.5
X
2
1.5
1
0.5
0
2
2
1.8
1.6
1.5
1.4
1.2
1
1
0.8
A1
0.6
0.4
0.2
0.5
0
0
A0
Fig. 3 Valores de x à medida que A0 e A1 percorrem o intervalo (0, 2]. O Plano azul
representa a razão áurea.
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4 ANÁLISE E CONCLUSÃO
De acordo com os gráficos obtidos, podemos verificar que os valores
convergem continuamente para a razão áurea. Resta, agora, explorar os casos para
as sequências generalizadas de Tribonacci, de Tetranacci, etc.
BIBLIOGRAFIA
BEZUSZKA, S.; D’ANGELO, L. An Application of Tribonacci Numbers. The Fibonacci
Quarterly, . 15.2, 1977, p. 140-146.
BIRKHOFF, Garret; MACLANE, Saunders. Álgebra Moderna Básica. 4. ed. Rio de
Janeiro: Editora Guanabara Dois S. A., 1977. 485 p.
ELIA, M. Derived Sequences, The Tribonacci Recurrence and Cubic Forms. The
Fibonacci Quarterly, v. 39.2, p. 107-109, 2001.
FEINBERG, M. Fibonacci-Tribonacci. The Fibonacci Quarterly. v. 1, p. 71-74, 1963.
GRAHAM, Ronald L.; KNUTH, Donald E.; PATASHNIK; Oren. Matemática Concreta.
2. ed. Rio de Janeiro: LTC Editora, 1995, 475 p.
HANSELMAN, Duane; LITTLEFIELD, Bruce. Matlab 6 – Curso Completo. São Paulo:
Prentice Hall, 2003. 676 p.
LIVIO, Mario. Razão Áurea: A História de Φ. Rio de Janeiro: Editora Record, 2006.
333 p.
MUSTONEN, Seppo. Extension of Golden Section to Multiple-Partite division of a
Line Segment. 2005, 3 p. Disponível em http://www.survo.fi/papers/nsection.pdf.
Acesso em: 23 abril 2007.
WADDILL, M. E. The Tetranacci Sequence and Generalizations. The Fibonacci
Quarterly, v. 30.1, p. 9-15, 1992.