Equação de 1º grau

EQUAÇÕES
Pedro e João estavam brincando com uma balança, Pedro colocou de um lado um peso de 3g mais uma lata que
estava sem rótulo e não sabiam qual era seu peso. João colocou um peso de 50g do outro lado e perceberam que
a balança se equilibrou, com isso eles se perguntaram, qual era o peso da lata para a balança estar equilibrada?
Equação de 1º grau – com uma incógnita
Uma equação de 1º grau tem como característica a junção de letras e números, para o termo desconhecido são
usadas letras do nosso alfabeto, chamadas de incógnitas, as mais utilizadas são: x, y e z. Os números são
chamados de constantes, eles aparecem sozinhos. Quando um número vem junto com uma letra, esse número é
chamado de coeficiente. Assim, as incógnitas e números juntos, formam uma equação, dentro delas temos sinais
operatórios como: adição, subtração, multiplicação e divisão. O sinal de igualdade divide a equação em dois
membros, onde o objetivo geralmente é separar os elementos variáveis dos elementos constantes, fazemos isto
somando ou subtraindo, multiplicando ou dividindo em ambos os membros da equação.
(Toda sentença matemática expressa por uma igualdade, na qual exista uma ou mais incógnitas, é denominada
equação.)
Voltando a situação do início do capítulo, vamos transformar o problema numa linguagem matemática.
 Chamaremos o peso da lata de x.
 Seguindo o que está descrito no texto temos: O peso da lata + 3 g = 50 g
 Como o peso da lata é x, formaremos a seguinte equação matemática: x + 3 = 50, para resolve-lá,
seguimos os passos abaixo:
 x + 3 = 50
1º membro




2º membro
Primeiro identificaremos os membros, o primeiro membro é x + 3 e o segundo membro 50.
Como temos que deixar elementos constantes de um lado e elementos variáveis de outro, temos que
somar (-3) nos dois membros, pois assim, o primeiro membro sobrará apenas à incógnita x e no outro
membro podemos operar normalmente, ficando:
(-3) + 3 + x = 50 + (– 3) (Num quadro ao lado podemos colocar soma de números negativos)
x = 50 – 3
x= 47
Depois dos termos semelhantes estarem juntos realizamos a operação entre eles. Como resultado obtém
x = 47, que é chamado de raiz da equação.
Agora com a raiz (resultado), podemos verificar se satisfaz a equação, para isso substituímos o valor de x,
pelo número encontrado. Vejamos:
(Ao responder um problema dado, devemos sempre verificar a consistência da resposta em relação ao
contexto, além disso, colocar a unidade expressa no problema ou no contexto)
3 + x = 50
3 + 47 = 50 (Valor de x substituído por 47, que foi a raiz encontrada acima)
50 = 50 (Verdade, 50 é igual a 50, portanto nossa equação esta correta)
DEFINIÇÃO: Equação de 1º grau cuja incógnita x é uma igualdade que pode ser escrita na forma a.x + b = 0,
com a diferente de 0.
Resolução de Equações
Resolver uma equação consiste em realizar operações que nos conduzem a equações equivalentes cada vez mais
simples e que nos permitem determinar os elementos do conjunto verdade ou as raízes da equação.
Na resolução de uma equação do 1º grau com uma incógnita, devemos aplicar os princípios de equivalência das
igualdades (aditivo e multiplicativo).
Exemplo 1:
2x − 80 = −20
2x − 80 + 𝟖𝟎 = −20 + 𝟖𝟎 (Adicionando +80 em ambos os termos)
2x = 60
𝟏
. 2x
𝟐
=
𝟏
𝟐
. 60 (Multiplicando por ½ (meio) em ambos os termos)
x = 30
Exemplo 2:
2𝑥
3
+1=
7
2
2𝑥
7
𝟔. ( 3 + 1) = 𝟔. 2 (Multiplicamos os dois membros por 6 e usando a propriedade distributiva no 1º membro
obtemos)
4𝑥+6=21
4𝑥 + 6 − 𝟔 = 21 − 𝟔 (Somamos, em ambos os membros, o número -6)
1
. 4𝑥
4
𝑥=
=
1
. 15 (Desfazemos o
4
produto multiplicando ambos os membros por
1
4
)
15
4
Exemplo 3:
Que número é igual a metade do seu quadrado?
Resolução

Neste tipo de exercício devemos transformar o problema em uma linguagem matemática, desta
forma, chamaremos o número desconhecido de x, a metade do quadrado será


quadrado dividido por 2).
Número desconhecido x.
Quadrado de um número x2

Metade do quadrado

A equação terá a seguinte forma: x =

Primeiramente, podemos multiplicar ambas as equações por 2.
2x=

𝑥2
2
2 → 2 𝑥 = 𝑥2
Agora podemos dividir os membros pela a incógnita x.
2.𝑥
𝑥

𝑥2
2
𝐱𝟐
𝟐
=
𝑥2
𝑥
→
2.𝑥
𝑥
=
𝑥. 𝑥
𝑥
2 = 𝑥 ↔ 𝑥 = 2 (2 = x, é equivalente a x = 2).
Para verificar a resposta obtida, devemos substituir o nº 2 no lugar de x.
x=
𝑥2
2
→2=
22
2
→2=
4
2
→2=2
portanto, nossa resposta esta correta.
Resolução de Equações impossíveis e identidades
Considere a seguinte equação:
2 . (6x - 4) = 3 . (4x - 1).
Observe, agora, a sua resolução:
2 . 6x - 2 . 4 = 3 . 4x - 3 . 1
12x - 8 = 12x - 3
12x - 12x = - 3 + 8
0.x=5
𝑥2
2
(lê se: x ao
Como nenhum número multiplicado por zero é igual a 5, dizemos que a equação é impossível e, portanto, não
tem solução. Logo, V = Ø (Conjunto vazio). Assim, uma equação do tipo ax + b = 0 é impossível quando a = 0 e b ≠
0
Considere a seguinte equação:
10 - 3x - 8 = 2 - 3x.
Observe a sua resolução:
-3x + 3x = 2 - 10 + 8
0.x=0
Como todo número multiplicado por zero é igual a zero, dizemos que a equação possui infinitas soluções.
Equações desse tipo, em que qualquer valor atribuído à variável torna a equação verdadeira, são
denominadas identidades.
Equação de 1º grau com duas incógnitas
Um professor de música quer formar uma banda de rock com 5 integrantes, o grupo será formado por meninos e
meninas. Quantos meninos e quantas meninas podem compor a banda?
Resolução de uma equação do 1º grau com duas incógnitas
Para resolver este tipo de equação, podemos primeiramente transformar o problema numa linguagem
matemática, desta forma chamaremos os meninos de x e as meninas de y e x + y devem ser igual ao total da
banda que é de 5 integrantes, portanto: x + y = 5, esta é a chamada equação de 1º grau. Nosso trabalho agora é
saber quais os valores para as incógnitas x e y que satisfaçam a equação, os possíveis valores para x são: 0, 1, 2, 3,
4 e 5. Então teremos:






Se x = 0, y = 5 (x – meninos, y – meninos)
Se x = 1, y = 4
Se x = 2, y = 3
Se x = 3, y = 2
Se x = 4, y = 1
Se x = 5, y = 0
Estas soluções podem ser expressas em pares ordenados: (0,5), (1,4),(2,3),(3,2),(4,1) e (5,0), em que o primeiro
número do par é a quantidade de meninos e o segundo é o números de meninas, assim, podemos representar
estes pares ordenados em um plano cartesiano, estes pontos são os conjuntos soluções da equação.
y






x














No sistema cartesiano, há duas retas numéricas perpendiculares chamadas de eixos. O eixo horizontal,
chamado de eixo das abscissas, tem seus valores crescentes da esquerda para a direita. Já o eixo vertical,
chamado de eixo das ordenadas, tem seus valores crescentes de baixo para cima.
O ponto determinado pelo cruzamento dos dois eixos é chamado de origem e é representado por O(0,0).
Os números de um par ordenado são chamados de coordenadas do ponto.
Definição de equação de 1º grau com duas incógnitas
DEFINIÇÃO: Uma equação do 1º grau com duas incógnitas reais x e y é uma sentença matemática do tipo ax +
by = c, sendo a, b e c números reais em que a e b diferentes de 0. Ela é chamada de equação de 1º grau, porque
em cada termo há somente uma incógnita com expoente 1.
Exemplos de equações de 1º grau com duas incógnitas




2x + y = 5
y + 3x = 10
a + 2b = 40
3m + 3n = 9
Não são equação de 1º grau com duas incógnitas

X2 + y = 6

3x4 + 4 = 7
Sistemas de duas equações do 1º grau com duas incógnitas
Num final de semana, João e Maria levaram os filhos e seus sobrinhos para a um circo, na entrada do circo, havia
um cartaz dizendo que adultos pagavam R$ 25,00 e crianças até 14 anos, pagavam R$ 18, compraram ao todo 7
ingressos e pagaram R$ 147,00. Quantos ingressos de cada tipo foram comprados?
Neste tipo de problema, usaremos a ideia da equação do 1º grau com duas incógnitas, a diferença é que aqui
teremos 2 equação de 1º grau, por esse motivo é dado o nome de sistema de equações, pois a solução agora
deve satisfazer as duas equações encontradas. Veja abaixo as equações acima numa linguagem matemática
𝑥 + 𝑦 = 7
{
28𝑥 + 18𝑦 = 147
, para resolver este tipo de equação, temos vários métodos de resolução