Lista 4 - Retas e planos

Lista 4 - Retas e planos
Prof. Benito Pires
equidistantes de A e B.
Equações da reta
1.7 Encontre o ponto de interseção da reta que
passa pelos pontos A = (0, 2, −1) e B =
(1, −1, 2) com a reta que passa pelos pontos C =
(0, 1, 0) e D = (−1, 3, −2).
1.1 Encontre a equação vetorial da reta r
que passa pelos pontos (2, −3, 4) e (1, −1, 2).
Usando a equação de reta mais conveniente, verifique se os pontos (5/2, −4, 5), (1, −3, 4) e
(1, 1, 1) pertencem a r.
1.8 Calcule o cosseno do ângulo formado pelas
retas
1.2 Escreva a equação paramétrica da reta que
passa pelo ponto (1, 2, 3) e é paralela à reta descrita pela equação
y−1
z+4
=
2
1
= (2, 2, 0) + t(0, 0, 1), t ∈ R.
x =
Y
(x, y, z) = (1, 4, 3) + t(0, 0, 1), t ∈ R.
1.9 Mostre que as equações abaixo descrevem
uma reta. Eencontre um vetor diretor da reta.
1.3 Determine m ∈ R e n ∈ R de tal forma que
o ponto (m, 1, n) pertença à reta que passa por
(3, −1, 4) e (4, −3, −1).
2x − 1 =
1.4 Dado o triângulo de vértices A
=
(−1, 4, −2), B = (3, −3, 6) e C = (4, −3, −1),
encontre a equação paramétrica da reta que
passa pelo ponto médio do lado AB e pelo
vértice oposto C.
3 − 3y
=z+1
2
1.10 Sejam r1 e r2 as retas definidas, respectivamente, pelas equações vetoriais
X = (0, 0, 1)+t(1, 0, −1),
Y = (0, 0, 0)+s(1, 1, 0).
(a) Mostre que r1 e r2 são reversas;
(b) Encontre uma reta r3 simultaneamente perpendicular a r1 e r2 ;
(c) Calcule a distância entre r1 e r2.
1.5 Encontre as equações vetorial, paramétrica,
simétrica da reta que passa pelos pontos A =
(1, 2, 3) e B = (−2, 3, 0). Obtenha os pontos
√
da reta que distam 2 19 do ponto A.
1.6 Sejam A = (1, 1, 1), B = (0, 0, 1) e r : X =
(1, 00) + λ(1, 1, 1). Determinar os pontos de r
1
Equações do plano
2.1 Escreva a equação vetorial do plano que passa
pelos pontos (1, 1, 0), (3, 2, 1) e (5, −1, 3).
2.2 Dê a equação geral do plano que passa pelos
pontos (1, 1, 1), (3, 2, 5) e (2, 3, −1).
2.3 Mostre que os pontos A = (1, 2, 3), B =
(7, 0, 0), C = (1, 1, 3), D = (−7, 0, 7) e E =
(−2, 2, 8) pertencem a um mesmo plano. Qual é
a equação cartesiana do plano ?
2.4 Encontre uma equação paramétrica do plano
2x + 3y + z − 2 = 0.
2.5 Qual condição as constantes a, b, c e d devem
satisfazer para que a equação
ax + by + cz + d = 0
2.9 Encontre a projeção ortogonal do ponto P =
(1, 2, 1) sobre o plano que tem equação x+y = 1.
2.10 Encontre o ângulo formado pelos planos x+
2y + 3z = 1 e x + y − z = 0.
2.11 Calcule o ângulo que a reta X = (0, 0, 0) +
t(1, 1, 1) forma com o plano x + 2y + z = 1.
2.12 Mostre que os planos X = (0, 0, 0) +
t(1, 0, 1) + s(1, 2, 3) e Y = (1, 1, 1) + t(2, 2, 4) +
s(0, 2, 2) são paralelos não-coincidentes. Encontre a distância entre eles.
2.13 Encontre a distância entre o ponto P =
(1, 2, 3) e o plano X = (1, 1, 1) + t(1, 0, 1) +
s(1, 1, −1).
2.14 Encontre um plano π1 paralelo ao plano π2
dado pela equção
represente um plano que passa pela origem
(0, 0, 0) ?
X = (1, 1, 1) + t(1, 0, 1) + s(1, 1, 0)
2.6 Dê a equação geral do plano π que contém as
retas
de tal forma que a distância entre π1 e π2 é igual
a 1.
x−2
y−1
z x−2
=
= e
= y − 1 = z.
3
2
5
5
2.15 Encontre a equação vetorial da reta interseção dos planos X = (1, 1, 1) + t(1, 0, 1) +
s(1, 1, 0) e Y = (1, 0, 1) + t(1, 1, 0) + s(1, 0, , 0).
2.7 Determine o ponto de interseção da reta com
o plano definidos pelas equações
X = (2, −1, 2) + t(4, 1, 2),
Posições relativas
2x + y + z = 4.
3.1 Dados o ponto P = (1, 1, 1) e a reta r definida por X = (1, 0, 1) + t(1, 1, 1), encontre:
2.8 Encontre a interseção da reta
X = (0, 0, 0) + (1, 2, 3)t
com o plano que passa pelos pontos A
(1, 0, 0), B = (0, 1, 0) e C = (0, 0, 1).
=
(a) O plano π ortogonal a r passando por P ;
(b) π ∩ r;
(c) A reta ortogonal a r que passa por P .
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3.2 Encontre a equação vetorial da reta r dada
pela interseção dos planos x + y = 0 e
x + y + z − 4 = 0.
5.4 Determine as equações paramétricas da reta
que passa pelo ponto A = (1, −2, −1) e intercepta as retas reversas
3.3 Dê a posição relativa entre a reta e o plano
definidos pelas equações:
(x, y, z) = (−1, −3, 0) + t(1, 2, 1)
X = (0, 0, 1) + t(1, 1, 1),
Y
(x, y, z) = (−2, 1, 0) + µ(1, −1, 0).
5.5 Determine a equação vetorial da reta b perpendicular comum às duas retas reversas
= (1, 0, 1) + λ(1, 1, 1) + µ(1, 1, 0).
(x, y, z) = (1, −1, 2) + t(1, 2, −3)
Distâncias e ângulos
4.1 Calcule a distância da origem à reta y = 1 −
2x.
4.2 Determine a distância da origem ao plano
X = (3, −1, 2) + λ(1, 2, −1) + µ(−1, 1, 3).
4.3 Calcule a distância entre os planos x + y +
z − 2 = 0 e 2x + 2y + 2z − 5 = 0.
4.4 Determine a projeção ortogonal do ponto
P = (1, 1, 1) sobre o plano x + y + z − 2 = 0.
(x, y, z) = (2, −1, 3) + µ(−1, 4, 1).
5.6 Determine as equações da reta b perpendicular comum às retas reversas
x−1=
y−1
z
=
2
−1
e
x
z
=y=
.
2
−2
5.7 Dados os planos
π1 : x − y + z + 1 = 0
π2 : x + y − z − 1 = 0
pede-se a equação do plano que contém a interseção de π1 e π2 e é perpendicular ao plano
5. Problemas diversos
5.1 Ache a equação vetorial do plano que contém
a reta x = t, y = −t, z = t + 2, e é ortogonal ao
plano x − 2y + z − 1 = 0.
π3 : x + y + z = 0.
5.2 Ache a equação vetorial do plano que passa
pelo ponto P = (2, 1, 3), é paralelo à reta X =
(1, 2, −3)+t(−2, 1, 2) e é perpendicular ao plano
x − y + 2z − 4 = 0.
5.3 Ache as equações da reta que passa pelo
ponto A = (2, 1, −1) e é perpendicular á reta
r : X = (2, 0, 0) + t(3, 1, −1).
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