Integrais de Trajetória na Mecânica Quântica Nimay Hodick

Integrais de Trajetória na Mecânica Quântica
Nimay Hodick
Objetivos
Neste projeto foram estudados quatro tópicos
de física e matemática necessários para a
compreensão da Teoria de Cordas. São eles:
Teoria de Grupos, Teoria Clássica de Campos,
Integrais de Trajetória na Mecânica Quântica, e
Topologia. Dentre eles darei destaque aqui as
Integrais de Trajetória na Mecânica Quântica
(MQ). Desenvolvido por Richard Feynman em
seus trabalhos de pós graduação, trata-se de
um formalismo lagrangeano da MQ usando
integrais de trajetórias, de onde se obtém
muitos resultado importantes. O objetivo desta
parte do projeto é compreender esta
formulação.
Métodos/Procedimentos
O estudo das integrais de trajetória se deu
através do livro “A Field Theory: A Path Integral
Approach”[1] do autor Das, Ashok e das vídeoaulas do curso de inverno de 2008 do professor
Antonio Toledo Piza[2]. Todo o estudo foi feito
com as devidas demonstrações e exercícios
propostos pelo livro para um maior
envolvimento. Mensalmente foram feitas
reuniões com o orientador para discutir sobre o
que vinha sendo estudado até então e para
sanar eventuais dúvidas.
Resultados
Dada uma hamiltoniana H, a probabilidade de
se encontrar uma partícula no ponto q’ no
instante t’ partindo do ponto q no instante t foi
chamada de propagador por Richard Feynman
e definida como
(1)
Com as equações usuais de auto-valores e
com muitas manipulações algébricas chega-se
a um resultado inusitado:
(2)
Onde S[q] é a ação clássica. O símbolo
diferencial Dq significa que estamos somando
sobre todas as possíveis trajetórias. Este
resultado é surpreendente pois nos diz que
uma partícula quântica saindo de um ponto do
espaço q no instante t, percorre todas as
possíveis trajetórias até chegar ao ponto q’ no
instante t’. Não é dificil mostrar que esta
formulação é equivalente a equação de
Schroedinger, e se fizermos o limite
obtemos a trajetória clássica. Alguns dos casos
em que estas integrais são solúveis são os da
partícula livre e do oscilador harmônico
respectivamente:
(3)
(4)
Onde xcl(t) é a trajetória clássica que miniza a
ação.
Conclusões
O formalismo de integrais de trajetória
representa um dos métodos mais utilizados
para quantizar um campo clássico em Teoria
Quântica de Campos. Podemos obter o
propagador de Feynman para o oscilador
fermiônico e principalmente para o oscilador
bosônico. As integrais de trajetória na equação
2 só podem ser resolvidas analiticamente em
poucos casos como o da partícula livre e do
oscilador harmônico. Por outro lado é um
método bastante visual e que nos fornece uma
visão complementar do que ocorre no espaço
quântico.
Referências Bibliográficas
[1] Das, Ashok, Field Theory, A Path Integral
Approach, World Scientific Lecture Notes in
Physics - Vol. 75 Second Edition (2006)
[2] Piza, Antonio F. R. T., Integração Funcional
na Mecânica Quântica, I Escola de Física
Teórica do Departamento de Física Matemática
(2008),
disponível
em
http://video.if.usp.br/aula/integra-o-funcional-namec-nica-qu-ntica