Base - ESCOPAL

Sistemas de Numeração
1 – Introdução
I t d ã aos sistemas
i t
numeração
ã
Sistemas de Numeração
ç
Base Decimal
„
„
Base Binária
„
„
Base Octal
Base Hexadecimal
Base D
Decimal
l\Base
Binária\Base Oct
tal\ Base He
exadecimal
Sistemas de numeração
ç
Os números podem ter uma representação
simbólica, como no sistema romano, ou terem um
peso de acordo com a posição que ocupam, como
no sistema árabe, que usamos normalmente.
Porque anatomicamente os seres humanos dispõem de 5
dedos, em cada mão,
torna-se natural que a contagem
envolva 10 símbolos ou dígitos, ou seja, um sistema de
numeração
ã com uma base
b
d
dez
Binária\Base Oct
tal\ Base He
exadecimal
Base D
Decimal
l\Base
Cada um dos símbolos de 0 a 9 representa uma
certa quantidade. Com este dez dígitos, podemos
representar, utilizando dois ou mais dígitos,
qualquer grandeza superior a nove. A posição de
cada dígito no número diz-nos que grandeza
representa.
p
Se, por exemplo, pretendemos representar a
grandeza 53
53, usamos o dígito 5 para
representar a quantidade cinquenta e o dígito 3
para representar a quantidade três
três.
Binária\Base Oct
tal\ Base He
exadecimal
Base D
Decimal
l\Base
A posição de cada dígito num número
decimal indica a amplitude da
quantidade representada e pode ser
designada por PESO.
Os pesos são potências de 10 e aumentam da
direita para a esquerda,
esquerda iniciando-se
iniciando se em 100 = 1.
1
Binária\Base Oct
tal\ Base He
exadecimal
Base D
Decimal
l\Base
O número decimal 286 pode
representar-se numa expressão
polinomial como se indica:
polinomial,
200 = 2 *102
80 = 8 *101
6 = 6 *10
100
286 = 2*102 + 8*101 + 6*100 = N(10)
Base D
Decimal
l\Base
Binária\Base Oct
tal\ Base He
exadecimal
No caso do número 12696
(10)
é constituído pela
combinação de 5 algarismos. O primeiro seis
(mais à direita) não tem o mesmo valor do
segundo seis,
seis o que nos demonstra que o valor do
algarismo está relacionado directamente com a
posição que ocupa
Demonstre como é obtido o número 12696 (10)
Base D
Decimal
l\Base
Binária\Base Oct
tal\ Base He
exadecimal
Resolução: (Alternativa 1)
6 --- 6* 101-1 = 6 *1
6
9 --- 9* 102-1 = 9 *10
90
6 --- 6* 103-1 = 6 *100
600
2 --- 22* 104-1 = 2 *1000
1000
2000
1 --- 1* 105-1 = 1 *10000
10000
+
12696
696 (10)
Base D
Decimal
l\Base
Binária\Base Oct
tal\ Base He
exadecimal
Resolução: (Alternativa 2)
Peso:(5)
Número: 1
(4)
(3)
(2)
(1)
2
6
9
6(10)
= 1*105-1 + 2*104-1 + 6*103-1 + 9*102-1 + 6*101-1
=
= 1*104 + 2*103 + 6*102 + 9*101 + 6*100 =
= 1*10000 + 2*1000 + 6*100 + 9*10 + 6*1 =
= 12696(10)
Binária\Base Oct
tal\ Base He
exadecimal
Base D
Decimal
l\Base
O valor mais à direita e o menos
significativo ( LSD – Least Significant
Digit) e tem peso 1.
O valor mais à esquerda é o mais
significativo ( MSD – Most Significant
Di it) e tem
Digit)
t
peso do
d número
ú
d dígitos
de
dí it
que constitui o algarismo.
q
g
Base D
Decimal
l\Base
Binária\Base Oct
tal\ Base He
exadecimal
Exemplo:
Para um número inteiro
198710 = 1*103 + 9 *102 + 8*101 + 7*100
Em relação ao seu peso:
1987
1987
100
101
102
103
1
10
100
1000
MSD
LSD
Base D
Decimal
l\Base
Binária\Base Oct
tal\ Base He
exadecimal
Exemplo:
Para um número fraccionário
1987,6510 = 1*103 + 9 *102 + 8*101 + 7*100 + 6*10 -1 + 5*10-2
Em relação ao seu peso:
1987,65
100
101
102
103
10-2
10-1
1
10
100
1000
0,01
0,1
Binária\Base Oct
tal\ Base He
exadecimal
Base D
Decimal
l\Base
1987,65
MSD
LSD
O dígito mais à direita na parte fraccionária de número é
o LSD – Menos significante dígito
O dígito mais à esquerda na parte fraccionária de
número é o MSD – Mais significante dígito
Base Decimal\
Base Binári
ia\Base
Octal\ Base Hex
xadecimal
Sistema Binário
Tal como o sistema decimal, trata-se de um
sistema pesado, isto é, onde cada dígito
comparticipa
p
p na formação
ç
do número com um
peso, determinado pela posição que ocupa no
número.
ú eo
A diferença é que agora apenas existem dois
dígitos: o 0 e o 1. Os dígitos nos números
binários são vulgarmente chamados de bits
(Binary Digits). Ao agrupamento de oito bits
chama-se
h
B t
Byte
Octal\ Base Hex
xadecimal
Base Binári
ia\Base
Base Decimal\
Para melhor percebemos a formação dos números neste sistema
vejamos previamente como se efectua a contagem em decimal:
C
Começamos
em 0 e contamos d
de fforma crescente
até 9; então recomeçamos, agora com um 1 à
esquerda, e obtemos o 10, 11 … até 99. Esgotadas
que estão todas as combinações com dois dígitos
dígitos,
torna-se necessário um terceiro, para se efectuar a
contagem
t
de
d 100 a 999 e assim
i por di
diante
t
Octal\ Base Hex
xadecimal
Base Binári
ia\Base
Base Decimal\
Uma situação análoga acontece neste sistema
binário.
IIniciamos
i i
a contagem
t
0 1 Como
0,1.
C
se esgotaram
t
os dígitos
dí it
únicos, inclui-se um segundo dígito (à esquerda) e continua-se
a contar 10, 11.
Como se esgotaram as combinações possíveis com
dois dígitos
g
necessitamos de um terceiro. A contagem
g
continua, 100, 101, 110 e 111.
Necessitaríamos
N
it í
agora de
d um quarto
t dígito
dí it para continuar
ti
a contagem e assim sucessivamente
Octal\ Base Hex
xadecimal
Base Binári
ia\Base
Base Decimal\
Uma maneira fácil de recordarmos o modo de
escrever uma sequencia de números em binário,
por exemplo, para cinco dígitos, é a seguinte:
1 – A posição mais à direita do número começa com um zero e muda
por cada número
2 – A posição seguinte começa com dois zeros e muda por cada dois
números.
números
3 – A posição seguinte começa com quatro zeros e muda por cada
quatro números.
q
4 – A posição seguinte começa com oito zeros e muda por cada oito
números.
5 – A posição
i ã seguinte
i t começa com d
dezasseis
i zeros e muda
d por cada
d
dezasseis números.
Base Binári
ia\Base
Base Decimal\
Octal\ Base Hex
xadecimal
Exercícios
Construa a tabela binária até 50
Base Decimal\
Base Binári
ia\Base
Octal\ Base Hex
xadecimal
Conversão binário decimal
Para exprimirmos no seu equivalente
decimal uma determinada grandeza
binária basta multiplicar cada bit pelo seu
binária,
peso e adicionar os respectivos produtos.
O bit da direita é o menos significativo (LSD) e tem
um peso de 20 = 1 para os números inteiros,
aumentando o peso da direita para a esquerda, em
potências de dois por cada bit.
Octal\ Base Hex
xadecimal
Base Binári
ia\Base
Base Decimal\
Converter o número binário 110101 em
decimal.
Peso Binário
25
24
23
22 21
Valor do Peso
32
16
8
4
20
2
1
Número Binário
1
1
0
1
0
=1 *32 + 1*16 + 0*8 + 1*4 + 0*2 + 1*1 =
=32
32 + 16 + 0 + 4 + 0 +1
1=
=5310
1
Base Decimal\
Base Binári
ia\Base
Octal\ Base Hex
xadecimal
Converter o número binário 100101,11 em decimal.
100101,112 = 1*25 + 0*24 + 0*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 +
1*2-11 + 1*2-22
Em relação ao seu peso:
100101,11 2-2 = 0,25
,
2-1 = 0,5
21 = 2
23= 8
25 = 32
20 = 1
22 = 4
24 = 16
Base Decimal\
Base Binári
ia\Base
Octal\ Base Hex
xadecimal
Um valor frequentemente utilizado em binário é o 1024.
1024 Trata
Trata-se
se
de 210 , que, por ser o valor mais próximo de 1000, foi
designado por K (Kilo).
Assim 1 Kbit = 1024 bits.
bits
Sistema Octal
Base Decimal\
Base Binári
ia\Base
Octal\ Base Hex
xadecimal
Na base octal
octal, cada dígito equivale a um número
com 3 dígitos. A base octal utiliza oito algarismos
ou dígitos:
0,1,2,3,4,5,6,7
10,11,12,13,14,15,16,
10
11 12 13 14 15 16
17
Neste sistema também se diz que cada dígito tem
um valor posicional
Para obtermos o equivalente decimal do número
1234 na base octal temos que executar as
seguintes operações:
12348 = 1*83 + 2*82 + 3*81 + 4*80
Em relação ao seu peso:
1234
80
81
82
83
1
8
64
512
P
Para
um número
ú
ffraccionário
i ái
1234 568 = 1
1234,56
1*8
83 + 2 *8
82 + 3
3*8
81 + 4
4*8
80 + 5
5*8
8 -1 + 6
6*8
8-2
Em relação
ç ao seu peso:
p
1234,56
80
81
82
83
0,015625
8-2
8-1
0,125
1
8
64
512
Exemplo: Converter o número 43701(8) em decimal.
Peso:(5)
Número: 4
(4)
(3)
(2)
(1)
3
7
0
1(8)
= 4*85-1 + 3*84-1 + 7*83-1 + 0*82-1 + 1*81-1 =
= 4*84 + 3*83 + 7*82 + 0*81 + 1*80 =
= 16384 + 1536 + 448 + 0 + 1 =
= 18369(10)
Sistema Hexadecimal
A base hexadecimal tem mais vantagens que a
octal, pois representa um número com grande
quantidade
tid d d
de bit
bits, numa fforma simples
i l e
reduzida, por exemplo:
O número binário 1001110100110110(2) =
9D36(16)
A letra “D” não é
engano do Professor
Como a base hexadecimal é formada p
por 16
elementos e como a base decimal só possui até
10 elementos,
elementos os restantes 6 elementos são
representados pelas 6 primeiras letras do nosso
alfabeto
lf b t (A,
(A B,
B C,
C D,
D E,
E F).
F)
E como se conta em Hexadecimal depois de se
alcançar o F?
Do mesmo modo que nos outros sistemas
estudados, iniciamos a nova coluna em:
10,11,12,13,14,15,16, 17, 18, 19, 1A, 1B, 1C, 1D,
1E, 1F
20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,2A,2B,2C,2D,2E,2F
Exemplo: Converter o número 9D36(16) em decimal
Peso:(4)
(3)
(2)
(1)
Número: 9
D
3
6(16)
= 9*164-1 + 13*163-1 + 3*162-1 + 6*161-1 =
= 9*163 + 13*162 + 3*161 + 6*160 =
= 36864 + 3328 + 48 + 6 =
= 40246(10)
Para obtermos o equivalente decimal do número
1234 na base hexadecimal temos que executar
as seguintes operações:
123416 = 1*163 + 2*162 + 3*161 + 4*160
1234
160
161
162
163
1
16
256
4096
P
Para
um número
ú
ffraccionário
i ái
1234 5616 = 1
1234,56
1*16
163 + 2 *16
162 + 3
3*16
161 + 4
4*16
160 + 5
5*16
16 -1 + 6
6*16
16-2
Em relação
ç ao seu peso:
p
1234,56
160
161
162
163
16-2
16-1
1
16
256
4096
0,003926525
0,0625
Após termos feito uma apresentação destas
quatro bases de numeração e a respectiva
conversão
de
cada
base
para
decimal
decimal,
apresentamos uma tabela com a equivalência
entre as quatro bases de numeração
Até este p
ponto,, estivemos a analisar a conversão das q
quatro
bases para a base decimal, mas é possível fazer a
conversão inversa,
inversa da base decimal para cada uma das
outras três bases, e directa entre as restantes bases.
Binária
Decimal
Octal
Hexadecimal
Conversão binária – hexadecimal e
vice versa
vice-versa
O método utilizado aproveita o princípio
de que para escrever um dígito em
hexadecimal chegam 4 dígitos em binário
(4 bit), dada a relação entre as bases
respectivas ser a potência de 4, isto é, 16
= 2 4.
Por exemplo
exemplo, dado o número 1101101(2), podemos
efectuar a seguinte conversão:
1101
0110
(4 1) + 1*2(3-1)
(3 1) + 0*2(2-1)
(2 1) + 1*2(1(1
1*2(4-1)
1) = 1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20
= 13 (D)
(4-1)
1) + 1*2(3
(3-1)
1) + 1*2(2
(2-1)
1) + 0*2(1
(10*2(4
1) = 0*23 + 1*22 + 1*21 + 0*20
=6
=6D
Fazendo a operação inversa, partindo do número, na
base hexadecimal, 24A8(16)
2
4
A
8
Hexadecimal
1000
1010
0100
0010
Binário
24A8 (16) = 10010010101000(2)
Conversão octal – hexadecimal e viceversa
O método
ét d que vamos utilizar
tili
é a conversão
ã
da base octal para binário e de seguida da
base binária para a hexadecimal
No caso do número 1726(8), vamos separar cada
dígito
1
7
2
6
Octal
110
010
111
001
Binário
1726 (8) = 1111010110(2)
O segundo passo é realizar a conversão de
binário para hexadecimal. O processo utilizado
é o agrupamento de 4 dígitos e fazer a
correspondência a cada conjunto de 4 bit o
valor em hexadecimal.
0011
1101
0110
3
D
6
binário
hexadecimal