Estudo de lentes - Departamento de Física da Universidade de

Física Laboratorial I
Ano Lectivo 2008/09
TRABALHO PRÁTICO Nº 9
ESTUDO DE LENTES
Objectivos - Estudo da refracção da luz incidente em lentes convergentes e divergentes.
Verificação experimental da equação dos focos conjugados para lentes convergentes
delgadas, utilizando um objecto real e um objecto virtual.
1. Introdução
1.1. Lentes convergentes
Uma lente convergente é uma associação de duas superfícies esféricas refringentes ou dióptros
(superfícies onde se dá o fenómeno da refracção da luz), mais espessa no centro do que nos bordos
e que faz convergir num dos focos os raios luminosos que nela incidam paralelamente ao eixo
principal. A figura 1 representa esquematicamente uma lente convergente ideal, ou seja, de
espessura desprezável. Aproveitaremos a figura 1 para definir os parâmetros, conceitos e
convenções que utilizaremos no estudo proposto.
F
(a)
C
f ' >0
f<0
(b)
C
(-)
F'
C
eixo principal
0
sentido da luz
(+)
Figura 1. Lente convergente ideal. (a) Definição do foco objecto (F) e do foco imagem (F’) e das
distâncias focais, f e f’ ( f = f ' ), medidas relativamente ao centro óptico C.
(b) Convenção de sinais utilizada (⇒ f < 0 e f’ > 0).
Chama-se eixo principal à linha que atravessa o centro da lente (centro óptico, C) e que é
perpendicular às suas superfícies.
Foco Imagem (F’) é o ponto do eixo principal para o qual convergem os raios que incidem na
superfície da lente paralelamente ao eixo principal e corresponde à posição onde se forma a imagem
de um objecto no infinito.
Foco Objecto (F) é o ponto objecto (ponto de onde partem os raios luminosos) cuja imagem se
forma no infinito; ou seja, os raios que emergem da lente são paralelos ao eixo principal.
Distância focal da lente ( f = f ' ) é a distância entre o centro óptico da lente e um dos focos.
O inverso da distância focal (expressa em metros) dá-nos a potência da lente (expressa em
dioptrias).
Quando a espessura da lente pode ser considerada pequena relativamente aos parâmetros que a
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caracterizam - o raio de curvatura das suas superfícies esféricas e a distância focal -, a lente diz-se
delgada. Se esta aproximação é possível e se os raios luminosos forem centrais (incidirem perto do
centro óptico da lente) pode mostrar-se que:
−
1 1
1
+ =
p p' f '
(1)
onde p, p' e f' são as abcissas, respectivamente, do objecto O, da imagem I e do foco imagem F' em
relação à lente (figura 2). Esta equação é chamada equação dos focos conjugados.
Pode fazer-se a construção gráfica da imagem I de um objecto O, dada por uma lente ideal. Na
figura 2 apresenta-se o exemplo de uma lente convergente. A construção da imagem baseia-se nas
seguintes considerações:
•
um raio luminoso que incida sobre o centro óptico C da lente não é desviado - raio 1
•
um raio luminoso que incida na lente convergente paralelamente ao seu eixo principal
passa pelo foco imagem - raio 2
•
um raio luminoso que incida na lente numa direcção que passe pelo foco objecto emerge
da lente paralelamente ao seu eixo principal - raio 3
2
O
1
2
C
3
F
3
f<0
1
F'
I
f'>0
Figura 2. Imagem I de um objecto O obtida através de uma lente convergente delgada. A construção
efectua-se a partir de três raios principais (1, 2 e 3).
Os parâmetros da lente e as posições do objecto O e da imagem I são medidos a partir do ponto C e,
de acordo com a convenção indicada na figura 1-b)), são considerados positivos quando medidos no
sentido da luz incidente (fig. 1 e 2). Assim, na figura 2, tem-se:
p = − CO < 0
p ' = CI > 0
f = − CF < 0
f ' = CF ' > 0.
NOTA - Repare que, se os raios luminosos forem paralelos entre si (objecto no infinito) mas não
incidirem na lente paralelamente ao seu eixo principal, a imagem não se forma no foco, mas formase ainda no plano focal, ou seja, no plano que é perpendicular ao eixo principal e que o intersecta no
foco.
Define-se a amplificação transversal linear (m) de uma lente como a relação entre a altura da
imagem dada pela lente - h' - e a altura do objecto - h. Na figura 3 mostra-se que essa relação é igual
ao quociente entre a abcissa do ponto imagem e a do ponto objecto. De facto, a partir dos triângulos
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de dC
=
ab aC
O lado esquerdo da equação define a amplificação transversal linear (m). As distâncias à direita
p'
relacionam-se como
. Pode então escrever-se:
p
semelhantes abC e deC da figura 3, pode escrever-se:
m=
h' p '
=
h
p
(2)
Convenciona-se que m>0 se a imagem é direita e m<0 se a imagem é invertida.
b
O
a
C
F
d
F’
I
e
Figura 3. Imagem I de um objecto O obtida através de uma lente delgada convergente
1.2. Objectos e imagens
Os objectos podem ser reais ou virtuais. Chama-se ponto objecto real, ao ponto de onde partem os
raios luminosos que incidem na lente divergindo (fig. 4-a)) e ponto objecto virtual, ao ponto para
onde os raios luminosos parecem convergir quando incidem na lente (fig. 4-b)).
O. V.
O. R.
a)
b)
Figura 4. a) Ponto objecto real; b) Ponto objecto virtual
As imagens obtidas podem igualmente ser reais ou virtuais. No caso de uma imagem real os raios
luminosos provenientes de um ponto objecto e emergentes da lente convergem para um ponto
imagem e esta pode ser obtida num alvo. Quando os raios luminosos provenientes de um ponto
objecto e emergentes da lente divergem dela, o ponto de onde os raios parecem vir é o ponto
imagem virtual. Uma imagem virtual não pode ser obtida num alvo, uma vez que a energia
luminosa parece passar mas, de facto, não passa naquele ponto. Na figura 5 representa-se a
construção da imagem I de um objecto real O. Como se pode ver, quando o objecto se situa para lá
do foco F da lente convergente, a imagem é real; quando o objecto se situa entre o foco e a lente, a
imagem é virtual.
Além de reais ou virtuais, as imagens podem ainda ser direitas (orientadas como o objecto) ou
invertidas (no caso contrário) e maiores ou menores do que o objecto.
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I
O
F
F'
C
F
I
p<0
O
C
F'
p<0
p'<0
p'>0
(b)
(a)
Figura 5. Construção da imagem de um objecto real:
(a) p > f - imagem real - os raios emitidos pelo objecto convergem;
(b) p < f - imagem virtual - os raios emitidos pelo objecto não convergem.
1.3. Associação de lentes convergentes. Construção de um objecto virtual
As lentes podem associar-se de modo a que a imagem de uma primeira lente, a que chamaremos L1,
possa tornar-se o objecto da segunda lente, que designaremos por L2. Vamos considerar duas
situações.
1.3.1. Objectos O1 e O2 reais
A figura 6-a) ilustra a situação em que a lente convergente L1 cria uma imagem real I1 do objecto
O1. Na figura 6-b) essa imagem real I1 é usada como objecto real O2 para a segunda lente L2, uma
vez que, como se pode constatar na representação, a lente L2 foi colocada depois da imagem I1.
Assim, podemos dizer que a associação das duas lentes L1-L2 funciona como uma única lente,
permitindo obter a imagem I2 do objecto O1. A associação das lentes está feita de tal modo
(determinada distância entre elas) que a imagem final I2 é real, direita e menor que o objecto O1.
L1
2
2
(a)
1
O1
C
F1
F'1
1
I1
L1
L2
2
(b)
3
2
I1-O2
1
O1
F1
C
F'1
1
3
1
I2
F'2
F2
1
Figura 6. Construção de uma imagem formada pela associação de duas lentes convergentes, L1 e L2.
L2 situa-se depois da imagem de O1.
(a) L1 cria uma imagem real I1 do objecto real O1.
(b) A imagem real I1 é usada como objecto real O2 para a segunda lente L2.
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1.3.2. Objecto O1 real mas objecto O2 virtual
A figura 7-a) ilustra novamente a situação em que a lente convergente L1 cria uma imagem real I1
do objecto O1. Na figura 7-b), no entanto, essa imagem real I1 torna-se um objecto virtual O2 para a
segunda lente L2, uma vez que L2 foi colocada entre a lente L1 e a imagem I1. Esta é, na verdade,
uma forma de se obter um objecto virtual através da associação de duas lentes convergentes. Neste
caso, a associação das lentes está feita de tal modo (determinada distância entre elas) que a imagem
final I2 é real, invertida e menor que o objecto O1.
L1
2
2
O1
(a)
1
C
F1
I1
F'1
1
L2
L1
2
(b)
O1
2
1
1
3
I2
F2 F'1
F1
F'2
I1-O2
1
Figura 7. Construção de uma imagem formada pela associação de duas lentes convergentes, L1 e L2
L2 situa-se entre a lente L1 e a imagem I1.
(a) L1 cria uma imagem real I1 do objecto real O1.
(b) A imagem real I1 é usada como objecto virtual O2 para a segunda lente L2.
1.4. Lente divergente
Uma lente divergente é uma associação de duas superfícies esféricas refringentes ou dióptros, mais
fina no centro do que nos bordos e que faz divergir os raios luminosos que nela incidem
paralelamente ao eixo principal da forma ilustrada na figura 8-a).
F'
F'
F
C
F
C
eixo principal
f'<0
f>0
a)
f>0
f'<0
b)
Figura 8. Lente divergente ideal. f = f ' mas, ao contrário da lente convergente, f > 0 e f' < 0.
a) Definição do foco imagem (F');
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b) Definição do foco objecto (F).
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Neste tipo de lente, ao contrário da lente convergente, o foco imagem situa-se do lado da luz
incidente e o foco objecto do lado da luz transmitida. O foco imagem F' define-se como o ponto
onde se intersectam os prolongamentos dos raios divergentes que correspondem a raios incidentes
paralelos ao eixo principal (fig. 8-a). O foco objecto F define-se como o ponto geométrico para
onde convergem os prolongamentos dos raios incidentes que emergem paralelamente ao eixo
principal (fig. 8-b).
2. Procedimento experimental
2.1. Lentes convergentes e divergentes - refracção de raios luminosos paralelos
Material necessário: fonte luminosa de raios paralelos, lente convergente, lente divergente, folha de
papel branco e régua auxiliar.
2.1.1. Coloque a fonte de raios paralelos sobre um folha de papel A4 branca. Prepare a fonte
luminosa seleccionando a saída de 5 raios luminosos paralelos.
2.1.2. Coloque a lente convergente em frente dos raios, de modo a que eles fiquem paralelos ao eixo
principal da lente. Desenhe na folha o percurso dos raios luminosos. Note que esta folha deve
ser incluída como anexo ao relatório do trabalho.
2.1.3. No seu relatório explique o que observa sobre a folha. Indique a designação do ponto onde os
raios luminosos se encontram. Anote o valor da distância focal na tabela 1
2.1.4. Substitua a lente convergente por uma lente divergente, também com o cuidado de a colocar
de modo a que o eixo principal da lente fique paralelo aos raios incidentes. Repita o
procedimento indicado nos pontos 2 e 3. Use o verso da folha para o efeito.
2.2. Determinação directa da distância focal da lente convergente L com um objecto no
infinito
Material necessário: banco de óptica, objecto no infinito, lente convergente L e alvo.
2.2.1. Coloque a lente L e o alvo sobre o banco de óptica. Oriente o banco de óptica de modo a que
a luz proveniente de uma janela incida directamente sobre a lente. Desloque o alvo sobre o
banco de óptica a fim de obter nele a imagem nítida de um objecto distante, visível através da
janela. Nestas condições, qual a relação entre a distância da lente ao alvo (p') e a distância
focal da lente? Justifique no seu relatório.
2.2.2. Note que o valor de p' vem afectado de um erro acidental, uma vez que, se forem realizadas
várias determinações de p' para a mesma posição do objecto, não se encontrará sempre o
mesmo valor. É aconselhável, portanto, obter vários valores de p' tomando como resultado
mais provável a sua média, p' . Retire então o alvo do banco de óptica e repita a operação
descrita em 2.2.1 para o mesmo objecto mais 4 vezes, como sugerido na tabela 2.
2.2.3. Determine o valor mais provável para a distância focal e o respectivo erro.
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2.3. Verificação da equação dos focos conjugados para a lente L, através de método gráfico
Material necessário: banco de óptica, objecto luminoso, lente convergente L, lente convergente
auxiliar La, alvo e papel .
NOTA - Antes de realizar qualquer medida verifique que as lentes e o alvo utilizados estão
orientados perpendicularmente à direcção da luz incidente. Equação dos focos conjugados:
1 1
1
− + =
p p' f '
2.3.1. Utilizando um objecto real - esquema da figura 5-a)
2.3.1.1. Fixe o objecto luminoso O e a lente L sobre o banco de óptica. Desloque o alvo de forma a
obter nele uma imagem I com a maior nitidez possível (fig. 5-a)). Meça, na escala associada
ao banco de óptica, os valores de p e p'. Use uma pequena régua para medir também a altura
da imagem h'. Registe esses valores na tabela 3, não esquecendo os seus sinais, de acordo
com a convenção utilizada.
2.3.1.2. Mantendo fixo o objecto luminoso, escolha para a lente L três novas posições no banco de
óptica, registando, para cada uma delas, os valores de p e p' e h' correspondentes.
Tratamento dos dados
Para cada par de valores (p, p') encontrado, determine (-1/p) e (1/p') e (p'/p). Anote esses valores na
tabela 3. De seguida calcule os valores que terá a altura do objecto - h - usando para o efeito a
equação (2). Registe também esses valores na tabela 3.
2.3.2. Utilizando um objecto virtual - esquema da figura 7-b)
2.3.2.1. Considere o esquema da figura 7-b) em que L1 é uma lente auxiliar e L2 representa a lente L
para a qual se quer verificar a equação dos focos conjugados. Na realização da experiência
deverá preencher integralmente a tabela 4. Nesta tabela p1 e p1' referem-se à lente auxiliar L1
e p2 e p2' referem-se à lente L.
2.3.2.2. A obtenção de dados deve ser feita em sequência para cada linha da tabela 4. Comece por
fixar no banco de óptica apenas a lente auxiliar L1 e obter os valores de p1 e p1' para a
mesma.
De seguida, sem mexer L1, coloque a lente L (L2) entre a posição de L1 e o alvo. Tome nota
da distância p2 entre a lente L (L2) e o alvo.
Sem mexer qualquer das lentes, desloque agora o alvo até ver a imagem I2. Anote a distância
p2' entre a lente L (L2) e o alvo.
2.3.2.3. Repita o procedimento anterior até preencher completamente a tabela 4. Note que o objecto
nunca deve ser mexido. A lente L (L2) deve ser retirada sempre que determine a posição do
objecto dado por L1. De seguida deve ser colocada para determinar p2 e p2'. Não esqueça a
convenção de sinais.
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Tratamento dos dados
- Para cada par de valores (p2, p2'), calcule (-1/p2) e (1/p2') e faça o registo na tabela 4.
- Em folha que juntará em Anexo 2 ao relatório faça no mesmo gráfico as duas representações
seguintes.
1. Os valores obtidos para (1/p'), em função de (-1/p). Atendendo aos sinais de p e p', os pontos
marcados no gráfico devem situar-se no 1º quadrante, tal como é apresentado na figura 9. Não
trace para já qualquer recta.
2. Os valores obtidos para (1/p2'), em função de (-1/p2). Atendendo aos sinais de p2 e p2', os pontos
marcados no gráfico devem situar-se no 4º quadrante (fig. 9).
1
p'
O.V.
O.R.
−
1
p
Figura 9. Ajuste de uma recta aos pontos experimentais (-1/p, 1/p’), obtidos para uma lente
convergente L, utilizando um objecto real (O.R.) e um objecto virtual (O.V.).
- Trace a melhor recta de ajuste aos pontos do gráfico, quer “a olho” (tendo em conta que os desvios
dos pontos experimentais que ficam acima e abaixo dessa recta devem compensar-se), quer
através de um tratamento matemático rigoroso (consulte as notas sobre “Algumas noções
elementares de análise de dados”).
- A partir dos parâmetros da recta de ajuste (declive e ordenada na origem) e tendo em conta a
equação dos focos conjugados (eq. 1) determine a distância focal e a potência da lente L.
Análise dos resultados
No seu relatório comente os resultados do ponto anterior, analisando se de facto foi verificada
equação dos focos conjugados. Compare o valor obtido para a distância focal, a partir do gráfico,
com o valor que tinha sido obtido pelo método directo descrito em 2.2.
2.4. Aplicação da equação de amplificação linear
2.4.1. Na tabela 3 tem registados os valores de altura de imagens - h' - e também valores calculados
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para altura do objecto usado na experiência. Determine o valor médio deste conjunto de
dados.
2.4.2. Meça agora directamente a altura da seta que utilizou como objecto. Use este valor para
determinar o erro relativo do valor obtido no ponto anterior. Comente os seus resultados,
indicando as possíveis causas de erro.
Relatório
O relatório deste trabalho vai ser elaborado sobre um modelo que será proposto na aula. Conta-se
que a maioria do relatório fique preenchida manualmente no decurso da aula.
Chama-se a atenção para a necessidade de um trabalho de leitura prévia e compreensão do guião.
Bibliografia
[1] Paul Tipler, Óptica e Física Moderna, Editora Guanabara-Koogan, 4ª Edição (2000).
[2] Jenkins F.A. & White H.E. - Fundamentals of Optics.
[3] M.M.R.R. Costa e M.J.B.M. de Almeida, Fundamentos de Física, Coimbra, Livraria Almedina.
[4] M. Alonso e E. Finn, Física, Addison-Wesley Iberoamericana (1999)
[5] N. Ayres de Campos, Algumas noções elementares de análise de dados, Coimbra, Dep. Física
da FCTUC (1993/94).
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