reconstrução de idéias geométricas na formação em serviço

RECONSTRUÇÃO DE IDÉIAS GEOMÉTRICAS NA FORMAÇÃO EM
SERVIÇO
Ana Maria Carneiro Abrahão
SMERJ, UERJ, ISERJ, UVA [email protected]
Introdução
Nos últimos vinte anos têm-se reconhecido, de forma crescente que os
obstáculos encontrados pelas crianças para aprender geometria estão muito ligados às
suas concepções do mundo espacial. Elas chegam à escola conhecendo algo do seu
mundo espacial, mas conhecendo pouco de matemática. No Ensino Fundamental nós
professores sentimos necessidade de trabalhar a ampliação das idéias de espaço
geométrico e a matemática da classificação, descrição e relação. Já no primeiro
segmento, idéias matemáticas podem incidir sobre as atividades espaciais, como o uso
dos números na tarefa de medir. No Ensino Médio visa-se tópicos geométricos mais
elaborados, como coordenadas, transformações, vetores e trigonometria, assim também
como suas características matemáticas, relações e aplicações, apelando-se para a
visualização espacial do aluno. No Ensino Superior se formaliza o sistema geométrico a
partir de seus fundamentos axiomáticos, substituindo sua abordagem espacial pela
abordagem algébrica, enfatizando as raízes espaciais e visuais da geometria.
Entretanto, na escola a criança se depara com alguns obstáculos durante seu
processo de aprendizagem relativa ao espaço, à matemática do espaço e à geometria. A
partir de uma reflexão sobre esses dados Alan J. Bishop
(1985) apresenta uma
discussão sobre obstáculos que envolvem o ensino-aprendizagem da geometria como
matemática do espaço.
Obstáculos para o ensino e para a aprendizagem de geometria
Bishop afirma que o primeiro obstáculo para aprender geometria já aparece nas
séries inciais do Ensino Fundamental onde a maior atenção é destinada à aritmética em
detrimento da geometria. Em muitos países a preocupação com o ensino da geometria
nas séries iniciais é recente. Segundo Fey (1979) “uma grande maioria de professores
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primários crêem que sua única responsabilidade no ensino da matemática é desenvolver
nos alunos a facilidade para a computação aritmética”. A história da matemática nos
mostra que com o movimento da matemática moderna, a decisão de enfatizar a álgebra
e a teoria dos conjuntos, tão bem caracterizada na famosa frase “Abaixo Euclides!”,
gerou um abandono no ensino da geometria, daí a necessidade dos pesquisadores e
docentes se preocuparem com essa questão.
O segundo obstáculo advém da falta de conexão das atividades geométricas
desenvolvidas em sala de aula com o mundo espacial fora da aula, talvez porque os
conceitos sejam apresentados de maneira formal ao invés de forma empírica ou
intuitiva. Essa ausência da realidade gera desinteresse e faz os alunos sentirem a
matemática irrelevante frente ao mundo real. Como disse Bernard Charlot (1995), “o
professor pode usar todos os métodos pedagógicos que conhece, mas se ele não mudar a
relação do aluno com o saber, se ele não motivar o aluno para o aprendizado, o aluno
não irá aprender”. O saber tem que ter sentido.
Um terceiro obstáculo para a aprendizagem da geometria pode ser decorrente da
discordância entre a linguagem usada nas escolas e a língua materna ou linguagem da
cultura familiar. Ao inspirar, explorar e ampliar as experiências da criança, os
responsáveis pelo ensino devem reconhecer que essas experiências diferirão de criança
para criança, de uma área para outra e de um país para outro. Nesse sentido, a
linguagem, como diz Vygotsky (Rego, 2001), pode favorecer e até desencadear a
aprendizagem. Da mesma forma, a etnomatemática de Ubiratan Dambrósio (1986),
reforça a importância de proporcionar experiências enriquecedoras apropriadas que
preparem a introdução das idéias geométricas, baseadas nas bases existentes e
disponíveis.
O quarto obstáculo decorre da falta de informações e formação geométrica dos
professores regentes. Autores têm apontado a necessidade de um programa de formação
e atualização continuada, de apoio ao professor, que chegue o mais próximo possível da
sua unidade escolar.
Como quinto obstáculo está a dificuldade do professor em utilizar material
concreto no ensino da geometria. A dificuldade com os conteúdos de geometria
colaboram para que o professor não se sinta confortável em explorar e criar materiais
concretos que possam ajudá-lo na compreensão e construção de idéias geométricas.
Essa deficiência impede que o professor, quando utiliza material concreto, tenha
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habilidade de poder explorar as potencialidades do material e até de criar, visualizar e
improvisar possíveis soluções.
Além desses fatores externos considerados, é necessário mencionar os
obstáculos decorrentes dos fatores internos do aluno como indivíduo. É ele capaz de
internalisar suas experiências espaciais? De falar delas e refletir sobre elas? De
representar fenômenos espaciais? Essa preocupação com os aspectos individuais do
aluno não está somente no Ensino Fundamental, mas em todos os níveis. E o professor?
É ele capaz de falar, refletir e representar suas experiências espaciais? Que bloqueios
podem ser gerados pelos professores na própria sala de aula?
Dentre os bloqueios internos, Bishop cita aqueles às idéias de natureza
puramente geométrica, os decorrentes da abordagem matematicamente estruturada da
geometria e aqueles que os alunos enfrentam ao estudar diferentes temas geométricos.
Os bloqueios de natureza "puramente" geométrica abrangem as idéias
geométricas e as relações entre elas. Um deles trata dos diagramas e figuras empregados
que bloqueiam as idéias das crianças, decorrentes de uma geometria "rígida" trabalhada
em sala de aula e baseada somente em livros didáticos, impedindo o aluno de "ver" uma
figura de maneira distinta. Por exemplo, o aluno pode não ser capaz de ver a altura AD
do triângulo ABC como um lado do triângulo ABD. Essa rigidez de imagem pode
impedir um aluno de responder , por exemplo, quantos quadrados há num tabuleiro de
xadrez ou ainda, como identificar uma figura simples em uma mais complexa. Por certo,
as figuras complexas que empregam círculos, tangentes, cordas, ângulos, etc. podem
apresentar grandes obstáculos para os alunos de visão limitada, ou seja, se não
conseguem descobrir e recompor mentalmente os componentes geométricos, não
conseguirão descobrir as relações pedidas. Outro problema está vinculado à imaginação
da criança. Os bloqueios à imaginação geométrica são tão grandes que há alunos
extremamente resistentes até para a idéia de desenhar qualquer polígono. Para aliviar
esses bloqueios Bishop sugere um trabalho passo a passo através primeiramente de
definições, depois das propriedades específicas de cada figura e por fim através de
relações entre elas. Uma opção mais construtivista, entretanto, sugere que os alunos,
com a orientação do professor, redijam de forma coletiva as características e
propriedades das figuras. É esse o encaminhamento metodológico utilizado nessa
pesquisa junto a professores.
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Os bloqueios associados à geometria como uma estrutura matemática decorrem
do método tradicional das demonstrações euclidianas. Colocadas estáticas e
mecanicamente, essas demonstrações selecionavam o que era dado, o que teria que ser
demonstrado e as construções apropriadas estabeleceriam vínculos entre as partes, para
finalmente construir a totalidade da demonstração. O objetivo parecia ser aprender a
demonstração que alguém tinha feito de algum outro teorema. Reconhecidamente, a
geometria é uma matemática com demonstração e com dedução, mas esse rigor pode
gerar nos alunos em fase inicial de aprendizagem, ou mesmo nos alunos de Curso de
Formação de Professores, dificuldades e desmotivação para fazer demonstrações. Antes
é necessário haver suposições, conjecturas, argumentos e racionalização. Utilizando a
citação de Bell (1979), “ a demonstração deve ser acessível a todos os alunos mas
também deve ser avaliada por eles”. A demonstração é uma forma matemática refinada
de raciocinar e de manter conexões com a razão e a discussão com o mundo real.
Quanto aos bloqueios particulares que se apresentam em diferentes temas
geométricos, Bishop cita os casos específicos da dificuldade dos alunos em representar
a simetria, a reflexão e a rotação, por exemplos. Parece mais visual e concreto analisar
aspectos geométricos na planta de uma cidade e em um mapa, explorando coordenadas
e dimensões. Como o professor das camadas populares, que é onde está concentrada a
maior população estudantil desse país, ainda não dispõe de computador, é fundamental
oferecer ao professor regente de sala de aula formação continuada atualizada.
O professor precisa enriquecer e estruturar as experiências espaciais dos alunos,
desenvolver seu vocabulário relativo a espaço e criar condições para que sua capacidade
de visualizar o espaço se desenvolva ao máximo. Como o professor das séries iniciais
não tem necessariamente, por formação acadêmica, uma visão matemática e geométrica
aprofundada, faz-se necessário relembrar às instituições formadoras de professores, a
necessidade de incluir no currículo de formação regular ou continuada, programas de
geometria nos cursos oferecidos. Em vista disso, esse estudo teve por objetivo fazer
uma reflexão sobre as concepções de professores regentes de 3ª séries do 1º segmento do
Ensino Fundamental da Rede Municipal do Rio de Janeiro no que diz respeito ao
ensino-aprendizagem de geometria nas séries iniciais. Com a análise dos dados colhidos
espera-se despertar nas autoridades competentes a necessidade de se reestudar o
currículo e investir na formação continuada.
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Desenvolvimento metodológico
Esse estudo foi realizado com duas turmas, cada uma com 30 professores da
Rede Municipal de Ensino do Rio de Janeiro inscritos para freqüentar um curso de
atualização pedagógica. A maioria possuía uma única habilitação, em Magistério nível
médio, com experiência mínima de 5 anos de regência na Rede. Os encontros foram
realizados na sala de leitura da escola de um dos inscritos. Cada turma se dividiu
livremente em grupos de 5. O estudo foi realizado em 6 etapas. Na 1a etapa cada grupo
recebeu um bloco distinto de moldes planificados para serem construídos e analisados
segundo seus próprios critérios. Após a exposição de todos os grupos houve uma
produção coletiva sobre o que eram figuras não planas e como elas podiam ser
classificadas. Posteriormente os professores identificaram algumas figuras planas a
partir dos sólidos e discutiram classificações de polígonos. Na 2a etapa foi proposta uma
roda de leitura de alguns sólidos. A 3a etapa foi destinada às reflexões teóricas e
depoimentos da prática, contemplando as atuais tendências do ensino-aprendizagem de
geometria. Na 4a etapa houve preocupação em registrar as conclusões de atividade
proposta com o objetivo de se observar que saberes poderiam ter sido reconstruídos. O
registro de cada grupo foi socializado. Ao final o grupão pode optar por fazer um
registro coletivo único. Na 5a etapa foi feita uma avaliação individual escrita de todo o
processo. A 6a etapa ficou para análise das informações registradas e observadas, as
quais foram organizadas em relatório.
Reflexão sobre algumas dificuldades na aprendizagem da
matematização do
espaço
A construção do mundo espacial pela criança preocupa os professores no ensino
de arte e trabalhos manuais, de dança, de educação física e de geografia. A preocupação
com o ensino de matemática, entretanto, difere das demais visões. Os obstáculos para
matematizar o espaço se concretizam na forma e no conteúdo. É difícil para o aluno
dizer se um desenho de um polígono de três lados representa um triângulo ou é um
triângulo. E para o professor? Se um dos catetos estiver inclinado, então, a situação é
mais complexa - é ou não é triângulo retângulo? Existe alguma diferença entre um
círculo e um disco? O desenho utilizado na aula era círculo ou circunferência? O
quadrado é um retângulo? Será que o aluno faz confusões entre forma e conteúdo
porque nós ensinamos assim? Como os professores vêem essas questões? Para Bishop
parece fácil para o aluno ter a idéia de "redondês" do círculo, mas não a "agudez" do
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triângulo. Será que o professor tem clareza de que isso é importante de ser
diferenciado? O professor acredita que materiais concretos como os Blocos Lógicos de
Dienes ou o Geoplano podem ajudar o aluno na construção de conceitos geométricos?
Para tentar analisar as concepções dos professores, parece necessário concentrar
os esforços em três fontes principais de dificuldades presentes no ensino das séries
iniciais: noção limitada do que é importante, visão estreita da representação e confusão
entre forma e conteúdo.
O que é importante aprender em geometria? Ao iniciar o ensino da geometria a
partir das experiências espaciais da criança, é necessário tratar de matematizar essas
experiências, limitando o que é importante. Assim, ao invés das definições do círculo, o
aluno precisará desenvolver a idéia de “circularidade”, para comparar em seguida com a
forma quadrada, relacionando-a com a “retangularidade”. Sempre que possível,
tentando derivar as propriedades matemáticas de objetos reais e orientando as crianças
para que percebam as características espaciais possíveis: grande e pequeno, estático e
dinâmico, observado e experimentado, artificial e natural, diferenças e semelhanças,
forma e tamanho, forma e orientação, etc. Antes disso porém é necessário saber que
figuras geométricas o professor das séries iniciais sabe definir, representar e relacionar?
Como ele pode escalonar o que é e o que não é importante aprender em geometria? Para
não se minimizar o que é importante, parece ser fundamental que professor e alunos
estabeleçam critérios de avaliação, já que parece não haver consenso a respeito de que
deveria constar a geometria escolar. Até há pouco tempo, a maioria das escolas
brasileiras ensinavam geometria como um tópico separado no currículo, com cursos
distribuídos em diferentes níveis. Ainda hoje muitas escolas separam a geometria da
matemática, desconsiderando a articulação que existe entre geometria, medidas,
álgebra, números e operações. Desconsideram inclusive como elas se apoiam e se
articulam no processo de ensino e aprendizagem. Muitas escolas, entretanto, adotam um
currículo mais integrado. Como os professores vêem essa questão?
Como acontece o processo de representação? Ao tentar representar as idéias
geométricas o aluno sente muita dificuldade. Seu enfoque é muito limitado. É comum
não se fazer a redução em forma proporcional ao contexto espacial, usando escala.
Assim, se não usa escala, a criança terá que fazer grandes proezas de imaginação. Para
superar essa dificuldade parece ser interessante levar para as crianças, desde a Educação
Infantil, atividades que envolvam construção de modelos em escalas. A fotografia pode
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ser outra alternativa para a representação da realidade, funcionando como material
didático no estudo de posição relativa, perspectiva e movimento relativo, considerando
a relação entre a posição da câmera fotográfica, a posição do objeto e a fotografia
resultante. O trabalho com fotografia pode ser muito rico principalmente na educação
popular e nos cursos de magistério. Que experiências desse tipo já foram desenvolvidas
pelos professores envolvidos na pesquisa?
O que é forma e o que é conteúdo? Para representar as figuras geométricas existe
um vocabulário visual bem completo, com muitas convenções e muitos símbolos, que
deve ser compreendido pelo aluno. Muitas confusões entre forma e conteúdo são
conseqüências do uso indevido que o próprio professor faz do vocabulário visual e do
vocabulário falado. Se o professor mostra um sólido com face quadrada e o chama de
quadrado, se utiliza expressões como “vertical" ao invés de “perpendicular”, se mostra
uma região circular e a chama de “círculo” pode gerar confusão de orientação e
identificação de figuras. Também as representações que o professor faz no quadro negro
e as atividades que oferece aos alunos mostrando objetos sempre de uma mesma
posição, pode, como Fisher (1978) concluiu após pesquisa, levar os alunos a terem
preferência pelas figuras na posição vertical, limitando e confundindo a compreensão do
aluno. Para minimizar as confusões entre forma, conteúdo e a representação das idéias
geométricas o professor precisa propor atividades que envolvam diferentes formas,
construção de modelos, cartografia, mosaicos, recortes e colagem. As crianças podem
experimentar diferentes classes de representação se vivenciarem atividades de tradução
de objetos, figuras e símbolos. O professor tem conhecimento da importância dos
tópicos aqui comentados?
Resultados
Uma avaliação diagnóstica inicial revelou que
a concepção de ensinar
matemática é, para esses professores, estimular o pensar e a descoberta, provocar e
desenvolver o raciocínio lógico, resolver problemas e buscar soluções. Outros disseram
que se ensina matemática por necessidade, já que ela está impregnada na vida, no
cotidiano e porque o mundo é feito de números. No desenvolvimento do estudo, os
professores descobriram que desconhecem o conteúdo matemático de geometria que
deveriam ensinar aos seus alunos. Observaram que alguns sólidos tinham propriedades
comuns, outros não. Perceberam que muitas vezes usam nomes errados para indicar
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algum ente geométrico e que essa falha confunde os alunos e os colegas. O uso
apropriado da linguagem geométrica gerou a necessidade de registro coletivo da
definição de cada termo. As classificações dos sólidos e dos polígonos tomaram corpo e
significado. Referências de livros e vídeos foram destacadas. Na roda de leitura, ao
nomear o sólido, dizer o que era ou o que não era, justificando sua afirmação, levou o
professor à uma argumentação reflexiva. O fato de cada grupo ler um texto teórico
distinto e, após discussão, apresentar as idéias ao grupão, instigou nova discussão,
reflexão e acresceu realidade prática às idéias apresentadas. A avaliação final escrita,
mas que muitos fizeram também oralmente, revelou que os professores anseiam por
formação diversificada, dinâmica, onde possam ampliar e trocar seus saberes.
Conclusões
Esse estudo mostrou que os professores sabem apontar a importância do
aprendizado da matemática na escola como forma do aluno se preparar para a vida.
Entretanto, pode-se constatar a precariedade de seus conhecimentos específicos em
geometria e uma certa inércia na busca individual por formação específica. A grande
maioria que se recordava de termos geométricos, cerca de 1/3 dos professores do
estudo, lembrava dos nomes, mas não dos seus significados. Isso ficou claro quando
utilizavam lateral, lado, aba ou base para indicar a face de um sólido, ou ainda
paralelogramo, quadrado ou polígono, para indicar um prisma. Confirmou-se a sugestão
de Bishop de que grupos de alunos, no caso grupo de professores, refletindo e
discutindo
atividades
espaciais
pode
originar
contribuições
significativas
à
compreensão matemática. Confirmou-se também que ao os alunos, no caso, os
professores, ao ampliarem as investigações de representação geométrica, começam a
reconhecer a diferença entre forma e conteúdo e apontam os vínculos entre as atividades
de representação e a compreensão geométrica. Os professores puderam perceber que
utilizar a linguagem adequada facilita a comunicação e o entendimento entre professor e
aluno e entre aluno e aluno. Esse resultado vem confirmar a preocupação dos
investigadores em trabalhar a linguagem matemática do espaço na representação. O
estudo também constatou que o fato dos professores afirmarem que o ensino de
matemática é importante não garante que eles realizem um ensino de qualidade. A
formação específica significativa deve ser cultivada. Eles precisam de formação
matemática continuada específica e articulada com as demais áreas que os prepare para
uma ação pedagógica mais reflexiva. É mister oferecer momentos de diálogo, de
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questionamentos e de análise das suas práticas, isso, porém, de pouco vale, se não
houver um acompanhamento teórico que justifique e explique a prática. Constatou-se
também, que o ensino de geometria deve ser privilegiado no currículo das séries iniciais
visto que pode ser um bom início no despertar o prazer de aprender matemática fazendo
matemática e um enfoque interessante e diversificado de apresentar a possibilidade de
resolver problemas matemáticos.
Palavras chaves: formação continuada, geometria
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