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Simplificação de Expressões
GUIÃO REVISÕES
Simplificação de expressões
Um disco rígido de 300Gb foi dividido em quatro partições. O conselho directivo ficou
com
1
1
3
, os docentes ficaram com
, os alunos ficaram com
e o restante ficou para os
4
24
8
serviços administrativos. Qual o tamanho da partição correspondente aos serviços
administrativos?
Comecemos por calcular a fracção de disco correspondente aos serviços
administrativos, para tal, à unidade vamos retirar as fracções correspondentes às outras
partições:
1 1 3
 1 1 3
1      1  
4 24 8
 4 24 8 
Para simplificar esta expressão temos de reduzir as fracções ao mesmo denominador,
para isso vamos utilizar o mínimo múltiplo comum (m.m.c.).
Recorde
Mínimo Múltiplo Comum (m.m.c.) de dois ou mais números é o menor
múltiplo comum a esses números. De outro modo, podemos dizer que, o
m.m.c. de dois ou mais números decompostos em factores primos, é o
produto dos factores comuns e não comuns, elevados aos maiores expoentes.
Para determinar o mínimo múltiplo comum de dois ou mais números existem dois
processos.
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Simplificação de Expressões
Processo 1
Comecemos por determinar os múltiplos de 4, 8 e 24.
Múliplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48 …
Múltiplos de 8: 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48 …
Múltiplos de 24: 0, 24, 48…
Note que 24 é o menor dos múltiplos comuns a 4, 8 e 24.
Logo m.m.c.  4, 24,8  24 .
Processo 2
Comecemos por decompor em factores primos o 4, o 8 e o 28.
4 2
2 2
1
24
12
6
3
1
4  22
2
2
2
3
24  23  3
8 2
4 2
2 2
1
8  23
Os factores comuns são o 2 e o 3 logo o mínimo múltiplo comum será o produto
destes elevados, cada um deles, ao maior expoente.
Então, m.m.c.  4, 24,8  23  3  24 .
Depois de descobrirmos o mínimo múltiplo comum dos denominadores da expressão
anterior podemos continuar a sua simplificação.
Note que
1 1 3
1
1
3
1    1 2  3
 3
4 24 8
2 2 3 2
Como o mínimo múltiplo comum é 24, então todas as fracções têm de ter
denominador 24, pelo que basta multiplicar cada fracção pelos números primos que faltam
para prefazer 24,
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1
1
1
3
1
1
1
3
 3
 3
 2  3  3
2
2 2 3 2
1 2
2 3 2
24 23
1
3
ou seja,
1
1
1
3
1 1 1 3
 2  3  3
  
1
2
2 3 2
1 4 24 8
24  23
1
 3 
24  6 

1
 3
24 6
1
9
  
24 24 24 24
Agora somam-se os numeradores e mantém-se o denominador.
24 6
1
9
8
  

24 24 24 24 24
Convém apresentar a fracção na forma irredutível, para isso vamos determinar o
máximo divisor comum (m.d.c) entre o numerador e o denominador.
Recorde
Máximo Divisor Comum (m.d.c.) de dois ou mais números é o maior divisor
comum a esses números. De outro modo, podemos dizer que, o m.d.c. de
dois ou mais números decompostos em factores primos, é produto dos
factores comuns, elevados aos menores expoentes.
Para determinar o máximo divisor comum de dois ou mais números existem dois
processos.
Processo 1
Comecemos por determinar os divisores de 8 e 24.
Divisores de 8: 1, 2, 4, 8.
Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
Note que 8 é o maior dos divisores comuns a 8 e 24.
Logo m.d.c. 8, 24   8 .
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Processo 2
Comecemos por decompor em factores primos o 8 e o 24.
8
4
2
1
2
2
2
8  23
24
12
6
3
1
2
2
2
3
24  23  3
Só existe um factor comum, o 2, logo o máximo divisor comum será 2 elevado ao
menor expoente. Neste caso, como nas duas decomposições temos 23 , vem que
m.d.c. 8, 24   23  8 .
Depois de descobrirmos o máximo divisor comum do numerador e denominador da
fracção anterior podemos continuar a sua simplificação.
Basta agora dividir o numerador e o denominador pelo m.d.c., ou seja por 8.
8
8:8 1


24 24 : 8 3
A fracção de disco correspondente aos serviços administrativos é
1
. Para sabermos o
3
espaço de disco correspondente temos de multiplicar a fracção pelo total de disco.
1
 300  100 Gb
3
R: A partição correspondente aos serviços administrativos tem 100Gb.
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Sintetizando…

Operações com números fraccionários
1. Para adicionar números fraccionários deve-se reduzir ao mesmo
denominador. O numerador resultante é a soma dos numeradores e
o denominador mantém-se.
2. Para
multiplicar
números
fraccionários,
multiplicam-se
os
numeradores e multiplicam-se os denominadores.
3. Para dividir números fraccionários multiplica-se o dividendo
(primeira fracção) pelo inverso do divisor (segunda fracção).

Prioridades das operações algébricas
1. Resolver o que está dentro de parênteses;
2. Calcular potências (ou raízes);
3. Efectuar multiplicações e divisões;
4. Efectuar somas e subtracções.

Regra das potências
a p  a q  a p q
a p  b p   a  b
a p  a q  a p q
a p  b p  a  b
a p 

1
ap
a 
p q
 a pq
p
p
a0  1, a  0
Potência de expoente fraccionário
p
n
ap  an
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Teste os seus conhecimentos
1) Calcule o valor numérico das seguintes expressões:
 1  1
 3  2
a) 2           3
 
b) 90  102
3
217  317
c)
616
2
3
5
2
3
2
1
2
7
d)        
 16 
 
25
e)  1
4
f)

1
2
 30
512   53 
2
Até agora….

Operações com números fraccionários

Prioridades das operações algébricas

Regra das potências

Potência de expoente fraccionário

E se agora em vez de números forem letras
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Simplificação de Expressões
A Sara tem um terreno de forma rectangular com as seguintes dimensões:
x2
y  3x
Pretende saber qual é a expressão simplificada do perímetro e da área.
Como sabe, o perímetro é igual à soma do comprimento de todos os lados que limitam
o campo, logo
P  2  x  2   2  y  3x 
Monómio é uma expressão onde não figuram
adições nem subtracções. Esta é apenas constituída
pelo produto entre números e incógnitas.
Parte
literal
2 xy 
2
xy
coeficiente
Polinómio é a soma algébrica de monómios.
8x2  2 y  4
Para simplificar uma expressão deste tipo começamos por desembaraçar de
parênteses, para tal efectua-se a propriedade distributiva;
P  2  x  2   2  y  3x 
Propriedade distributiva
a b  c   a  b  a  c
P  2x  4  2 y  6x
Na soma de polinómios só podemos adicionar os monómios semelhantes.
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Simplificação de Expressões
Assim, simplificando P  2 x  4  2 y  6 x
Recorde
vem:
P  8x  4  2 y
Monómios semelhantes são
monómios que têm a mesma
parte literal.
Determinemos agora a expressão que nos dá a área do terreno.
Dado que o campo é rectangular, a sua área é dada pela multiplicação do
comprimento pela largura.
O terreno tem y  3x metros de comprimento e x  2 metros de largura logo,
A   x  2    y  3x 
 xy  3x2  2 y  6 x
Se a Sara pretender cobrir o terreno com um tapete de relva, quantos metros
quadrados vai precisar, sabendo que x  4 e y  3 ?
A área do campo é dada por A  xy  3x 2  2 y  6 x , substituindo x por 4 e y por 3,
obtemos:
A  4  3  3  42  2  3  6  4  12  48  6  24  60  30  30
R: A Sara precisa de 30 m2 de relva.
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Simplificação de Expressões
Simplifique as expressões
 x  2 x  2 ;
 3  x  3  x 
 x  5 x  5
e
Para simplificar a primeira expressão, começamos por desembaraçar de parênteses
aplicando a propriedade distributiva,
 x  2 x  2  x2  2x  2x  4
 x2  4 x  4
Note que
 x  2 x  2   x  2
2
é o caso notável do quadrado da soma.
 x  2  x  2    x  2 
2
Quadrado da soma
 a  b
 x2  4 x  4
2
 a 2  2ab  b2
Vamos agora simplificar a segunda expressão:
 3  x 3  x   9  3x  3x  x2
 x2  6 x  9
Note que
 3  x  3  x    3  x 
2
é o caso notável do quadrado da diferença.
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Simplificação de Expressões
 x  3 x  3   x  3
2
Quadrado da diferença
 a  b
 x2  6x  9
2
 a 2  2ab  b2
Na simplificação da terceira expressão vamos proceder de modo análogo às
simplificações anteriores:
 x  5 x  5  x 2  5x  5x  25
 x 2  25
Este produto é também de um caso notável. Se o identificar, a resolução de
expressões deste tipo torna-se mais imediata.
 x  5 x  5  x 2  52
Diferença de quadrados
 x 2  25
 a  b  a  b   a 2  b2
Sintetizando…
Casos Notáveis

Quadrado da soma
 a  b

2
Quadrado da diferença
 a  b

 a 2  2ab  b2
2
 a 2  2ab  b2
Diferença de quadrados
 a  b  a  b   a 2  b2
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Simplificação de Expressões
Teste os seus conhecimentos
2) Sendo A  x3  1 e B  x 2 ( x  1) determine a expressão simplificada de A  B .
3) Escreva as expressões simplificadas do perímetro e da área do polígono a seguir
representado.
a
a
2a
b
4) Simplifique as seguintes expressões:
 1 2
x   ( x  1) ;
 2 
a) (3x  2)  
b) 2(a  b)   a  b  ;
2
c)   x  5  (2 x  3)(2 x  3) .
2
5) Escreva o polinómio na forma de um produto de polinómios de grau 1:
a) 4 x 2  81 ;
b) x 2  2 x  1 .
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