Relação entre o mdc e o mmc - Matemática

Apontamentos de matemática – 5.º ano – Relação entre o m.d.c. e o m.m.c.
Relação entre o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum
Exercício resolvido
Considere os números 12 e 20
a) Calcule o m.d .c. 12, 20 
b) Calcule o m.m.c. 12, 20 
c) Verifique que 12  20  m.d .c 12, 20  m.m.c. 12, 20 
Resolução
a) Os divisores de 12 são 1, 2, 3, 4, 6; Os divisores de 20 são 1, 2, 4, 5, 10, 20.
m.d .c. 12, 20   4
b) Vamos escrever os primeiros múltiplos diferentes de zero dos múltiplos.
Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, …
Múltiplos de 20: 20, 40, 60, …
m.m.c. 12,20  60
c) 12  20  240
m.d .c 12, 20  m.m.c. 12, 20  4  60  240
Então, verifica-se que: 12  20  m.d .c 12, 20  m.m.c. 12, 20 
Nota: O exercício anterior não é uma prova, mas apenas um exemplo para melhor
compreensão da propriedade seguinte:
O produto de dois números é igual ao produto do seu máximo divisor comum pelo seu
mínimo múltiplo comum.
Simbolicamente podemos escrever a  b  m.d .c.  a, b   m.m.c.  a, b 
onde a e b representam quaisquer dois números.
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Apontamentos de matemática – 5.º ano – Relação entre o m.d.c. e o m.m.c.
Exemplos de aplicação
Determine m.m.c.  6,8 e use esse resultado para determinar m.d .c.  6,8
Resolução
Múltiplos de 6 diferentes de zero: 6, 12, 18, 24, 30 …
Múltiplos de 8 diferentes de zero: 8, 16, 24, …
m.m.c.  6,8  24
Pela propriedade anterior escrevemos
a  b  m.d .c.  a , b   m.m.c.  a , b 
6  8  m.m.c.  6,8  m.d .c.  6,8 
48  24  m.d .c.  6,8
m.d .c.  6,8  48 : 24
m.d .c.  6,8  2
O máximo divisor comum entre 15 e outro número é 3 e o mínimo múltiplo comum é
30 . Qual é o outro número?
Resolução
a  b  m.d .c.  a, b   m.m.c.  a, b 
15  b  m.d .c. 15, b   m.m.c. 15, b 
15  b  3  30
15  b  90
b  90 :15
b6
O outro número é 6.
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Exercícios propostos
1. O produto de dois números é 180 e o seu mínimo múltiplo comum é 60. Determine
o seu máximo divisor comum.
2. O máximo divisor comum entre dois números é 6 e o seu mínimo múltiplo comum é
72. Um dos números é 24. Qual é o outro?
3. O produto do máximo divisor comum pelo mínimo múltiplo comum de dois números
é 900 e um desses números é 20. Qual é o outro?
Soluções: 1. 3, 2. 18, 3. 45
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