Matemática Aplicada à Contabilidade

Matemática Aplicada
à Contabilidade
Professora conteudista: Maria Ester Domingues de Oliveira
Sumário
Matemática Aplicada à Contabilidade
Unidade I
1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................................................................2
1.1 Lei de oferta e demanda.......................................................................................................................3
2. LEI DA DEMANDA..............................................................................................................................................4
2.1 Definição .....................................................................................................................................................4
2.2 Fatores de deslocamento de demanda ...........................................................................................4
3 LEI DA OFERTA .................................................................................................................................................. 10
3.1 Definição .................................................................................................................................................. 10
3.2 Fatores de deslocamento de oferta ...............................................................................................11
3.3 Oferta de mercado ............................................................................................................................... 12
4 PREÇO E QUANTIDADE DE EQUILÍBRIO .................................................................................................. 14
4.1 Definição .................................................................................................................................................. 14
Unidade II
5 PREÇO E RECEITA TOTAL ............................................................................................................................... 21
5.1 Definição .................................................................................................................................................. 21
6 CUSTO TOTAL ..................................................................................................................................................... 24
6.1 Definição .................................................................................................................................................. 24
7 PONTO CRÍTICO (BREAK EVEN POINT) .................................................................................................... 27
7.1 Ponto de nivelamento ........................................................................................................................ 27
8 LUCRO TOTAL .................................................................................................................................................... 29
8.1 Definição .................................................................................................................................................. 29
MATEMÁTICA APLICADA À CONTABILIDADE
Unidade I
Apresentação
Caro aluno,
Seja bem-vindo.
Nesta disciplina, trataremos de assuntos em que serão
5 empregados conhecimentos adquiridos anteriormente, na teoria
das funções. O material apresentado a seguir está dividido em
duas partes: na primeira, estudaremos a seguinte legislação: Lei
da Demanda, Lei da Oferta e Preço e Quantidade de Equilíbrio.
Na segunda parte, estudaremos receita total, custo total, ponto
10 crítico (break even point) e lucro total.
Entender a verdadeira essência de um problema e sua
manifestação nos diferentes níveis da organização é algo
muito importante para um gestor. Este deverá lançar mão de
ferramentas empregadas no apoio e na redução da incerteza,
15 ou mesmo para fazer previsões, como demanda e oferta. Isso
auxiliará, e muito, em uma tomada de decisão.
O principal objetivo desta disciplina é orientar o aluno a
desenvolver competências tais como senso crítico e capacidade
de contextualização, pensamento estratégico, visão sistêmica,
20 orientação para resultados, capacidade de identificar, analisar
e solucionar problemas, capacidade de influenciar pessoas,
trabalhar em equipe, entre outras. Com os conhecimentos
adquiridos nessa disciplina você, aluno, seguirá no rumo certo,
no sentido de tomar decisões de modo mais eficaz. É nossa
25 expectativa que você aprenda bastante.
1
Unidade I
Considerando que é você quem administrará seu próprio
tempo, nossa sugestão é que dedique ao menos 2:30 horas por
semana para esta disciplina, estudando os textos sugeridos e
realizando os exercícios propostos. Uma boa forma de fazer
5 isso é já ir planejando o que estudar, semana a semana. Procure
assimilar bem o conteúdo da leitura fundamental, mas sua
compreensão será ainda maior se você acompanhar também a
leitura complementar. Você mesmo perceberá isso, ao longo dos
estudos, pois esta é uma disciplina fascinante e útil para você,
10 que em breve será um gestor.
Os conteúdos estão apresentados de forma didática e por
meio de exemplos. Sugere-se, como complemento, a utilização
de outras bibliografias.
Então, vamos ao trabalho!
1 INTRODUÇÃO
15
Veremos a partir de agora como se pode utilizar, em aplicações
econômicas, a teoria das funções, estudada anteriormente.
Lembra-se da forma geral da função de 1º grau y = ax + b?
Se pensarmos nos conjuntos A e B e aplicarmos a teoria das
funções, poderemos relacionar as variáveis x e y como:
20
• custo de produção de um dado produto e a matéria-prima
utilizada;
• quantidade do produto vendido e o preço de venda desse
produto;
• custo total de produção e a quantidade produzida.
Oferta
Indústria
Comércio
Prestadores de serviço
Diversões
Demanda
2
Mercado
MATEMÁTICA APLICADA À CONTABILIDADE
O contador deverá estabelecer as funções econômicas,
procurando maximizar lucros e minimizar custos.
1.1 Lei de oferta e demanda
A relação entre a demanda (procura) de um produto e sua
quantidade ofertada no mercado é chamada de Lei da Oferta
5 e Procura, também chamada de Lei da Oferta e da Demanda.
Por meio desta lei, é possível descrever o comportamento dos
consumidores na aquisição de bens e serviços em determinados
períodos, em função de quantidades e preços.
Existem períodos em que a oferta de um determinado
10 produto excede muito à procura e por isso seu preço tende a
cair. Já em períodos nos quais a demanda é maior que a oferta,
a tendência é o aumento do preço.
Entretanto, o comportamento da demanda não é apenas
influenciado pelos preços. Existem outros fatores preponderantes.
15 O valor de um produto pode ser um estímulo positivo ou
negativo para que os consumidores adquiram os serviços de
que necessitam, mas isto não é o único aspecto desta questão.
Existem outros fatores que devem ser considerados nessa função,
entre eles:
20
• os desejos e necessidades das pessoas;
• o poder de compra;
• a disponibilidade dos serviços – concorrência;
• a capacidade de as empresas produzirem determinadas
mercadorias com o nível tecnológico desejado.
25
De maneira geral, a Lei da Oferta e Demanda nos mostra que
quem determina o preço é o consumidor. É o consumidor que
determina se certo produto será comprado ou não pelo preço
oferecido, bem como suas quantidades. Aos produtores só resta
3
Unidade I
concordar com as exigências dos consumidores de seus produtos
e decidir quanto vale a pena produzir para vender na faixa de
preço estabelecida pelo consumidor.
2. LEI DA DEMANDA
2.1 Definição
Lei da Demanda é o desejo que as pessoas têm de consumir
5 bens e serviços aos preços de mercado por unidade de tempo,
mantendo-se os outros fatores constantes (ceteris paribus1).
Designa a relação entre as quantidades de um determinado bem
ou serviço e seus preços alternativos. A demanda pode variar de
acordo com fatores de deslocamento, tais como:
10
• preços de produtos substitutos;
• renda dos consumidores;
• expectativas futuras quanto aos preços futuros,
abastecimento;
• condições climáticas como temperatura, precipitações;
15
• mudança nas preferências dos consumidores;
• tradições, aspectos culturais e religiosos;
• número de compradores potenciais ou população;
• outros.
2.2 Fatores de deslocamento de demanda
Preços dos bens substitutos:
20
Estou escolhendo comprar feijão ou lentilha. O preço do
feijão está muito caro em relação ao preço da lentilha. Por isso,
posso comprar a lentilha em vez do feijão.
1
4
Do latim, “todo o mais é constante”.
MATEMÁTICA APLICADA À CONTABILIDADE
Renda dos consumidores:
Quando o país apresenta uma melhoria na economia, há
aumento na renda do consumidor e isso faz com que haja mais
consumo, aumentando-se a demanda.
5
Expectativas futuras:
Podemos fornecer como exemplo o crédito aos consumidores:
caso as expectativas futuras da economia sejam boas, o crédito
aumenta, elevando-se também a demanda. Caso contrário,
ocorre uma diminuição do crédito e a consequente retração na
10 demanda.
A expectativa otimista em relação ao comportamento da
economia faz com que os consumidores consumam mais.
Condições climáticas:
Condições climáticas desfavoráveis comprometem a
15 produção e a comercialização de produtos agrícolas.
Gosto dos consumidores:
A preferência do consumidor por determinado tipo de
veículo faz com que o consumo deste aumente.
Tradições e aspectos culturais e religiosos:
20
A tradição cristã de comer peixe durante a Semana Santa faz
o consumo de bacalhau aumentar nesse período.
Número de consumidores:
Quanto maior o número de consumidores, maior é a demanda
por bens e serviços.
qd = - a . p + b
5
Unidade I
Onde:
qd: quantidade de demanda por unidade de tempo;
p: preço do bem.
Representação gráfica
p
q
5
Verificamos que a representação gráfica da demanda em
função do preço é uma função decrescente, ou seja, as variáveis
são inversamente proporcionais.
Na medida em que o preço de um determinado bem ou
serviço aumenta, a quantidade demandada diminui. Da mesma
10 forma, quando o preço diminui, a quantidade demandada
aumenta. O aumento no preço do produto levará à redução na
quantidade demandada, enquanto uma queda no preço do bem
causará aumento na quantidade demandada.
p⇒q
Demanda ≠ Quantidade demandada
p
3
Quantidade demandada
A
B
2
Demanda
150
6
175
q
MATEMÁTICA APLICADA À CONTABILIDADE
Observação: quando nos referimos a demanda, estamos nos
referindo à curva toda. Caso estejamos nos referindo a algo
pontual, sugerimos à quantidade demandada.
Exemplo 1
5
Sabendo-se que a demanda de mercado de um determinado
produto é definida por qd = 500 - 10p, sendo p o preço de venda
do produto, podemos afirmar que a demanda será maior que
300 unidades, se:
Solução (começamos por um sistema de duas equações):
10
15
qd = 500 - 10p
qd > 300
500 -10p > 300
- 10p > 300 - 500
- 10p > - 200
10p < 200
p < R$ 20,00
Exemplo 2
Sabendo-se que a demanda de mercado de um determinado
produto é definida por qd = 385 – 5p, sendo p o preço de venda
20 do produto, podemos afirmar que a demanda será maior que
125 unidades, se:
qd = 385 - 5p
qd > 125
25
385 - 5p > 125
- 5p > 125 - 385
- 5p > - 260
5p < 260
p < R$ 52,00
7
Unidade I
Exemplo 3
Sabendo-se que a demanda de mercado de um determinado
produto é definida por qd = 385 - 5p, sendo p o preço de venda
do produto, podemos afirmar que a demanda será menor que
5 200 unidades, se:
qd = 385 - 5p
qd < 200
10
385 - 5p < 200
- 5p < 200 - 385
- 5p < - 185
5p > 185
p > R$ 37,00
Exemplo 4
A relação entre o preço de venda e a quantidade vendida de
15 um produto é dada pela equação qd = 100 – 4p. Determinar a
quantidade de produtos vendidos para p = R$ 15,00.
qd = 100 – 4p
qd = 100 – 4(15)
qd = 100 – 60
20
qd = 40 unidades
Exemplo 5
A relação entre o preço de venda e a quantidade vendida de
um produto é dada pela equação: qd = 100 – 4p. Determinar o
preço p correspondente a 50 unidades de produtos vendidos.
25
qd = 100 – 4p
50 = 100 – 4p
4p = 100 – 50
4p = 50
p = R$ 12,50
8
MATEMÁTICA APLICADA À CONTABILIDADE
Exemplo 6
A relação entre o preço de venda e a quantidade vendida
de um produto é dada pela equação qd = 90 – 2p. Determinar
os valores de p para os quais a quantidade vendida seja de, no
5 mínimo, 40 unidades.
qd = 90 – 2p
qd ≥ 40
10
90 – 2p ≥ 40
- 2p ≥40 - 90
- 2p ≥ -50
2p ≤ 50
p ≤ R$ 25,00
Exemplo 7
A relação entre o preço de venda e a quantidade vendida de
15 um produto é dada pela equação qd = 70 – 2p. Determinar os
valores de p para os quais a quantidade vendida seja de 10 a 30
unidades:
Resolvemos em duas partes:
Primeira parte:
20
25
qd = 70 – 2p
qd ≥ 10
70 – 2p ≥ 10
- 2p ≥10 - 70
- 2p ≥ -60
2p ≤ 60
p ≤ R$ 30,00
9
Unidade I
Segunda parte:
qd = 70 – 2p
qd ≤ 30
5
70 – 2p ≤ 30
- 2p ≤ 30 - 70
- 2p ≤ - 40
2p ≥ 40
p ≥ R$ 20,00
Portanto, os valores de p para os quais a quantidade vendida
10 seja entre 10 e 30 unidades são: 20 ≤ p ≤ 30
3 LEI DA OFERTA
3.1 Definição
Representa o desejo dos produtores em criar e colocar um
produto no mercado por unidade de tempo e expressa uma
relação entre as quantidades vendidas de um determinado bem
ou serviço e os preços alternativos de mercado por unidade de
15 tempo, ceteris paribus.
O aumento no preço do produto aumenta a quantidade
ofertada enquanto que a diminuição no preço ocasiona a
redução da quantidade ofertada, ceteris paribus.
A oferta pode variar de acordo com alguns fatores de
20 deslocamento de oferta, tais como:
• custos de produção;
• adversidades climáticas;
10
MATEMÁTICA APLICADA À CONTABILIDADE
• as expectativas futuras;
• quanto maior o custo de produção menor será a oferta do
produto;
• nível tecnológico;
5
• os preços de produtos concorrentes;
• outros.
3.2 Fatores de deslocamento de oferta
• Custos de produção
Com aumento nos custos da produção pode haver diminuição
na oferta dos produtos colocados no mercado, por não ser
10 possível cobrir esses custos no repasse dos preços que passam a
não ser atraentes aos consumidores.
• Adversidades climáticas
Condições climáticas que afetem os níveis de produção como
seca, excesso de chuvas, geadas, altas ou baixas temperaturas;
15 Quanto mais favoráveis as condições climáticas, maior será a
oferta do produto;
• Custo de produção
Quanto maior o custo de produção, menor será a oferta do
produto.
20
• Nível tecnológico
Quanto mais avançado o nível tecnológico, maior será a oferta
do produto. A mudança no nível tecnológico pela aplicação de
uma melhor forma de combinar os fatores de produção ajuda a
diminuir os custos de produção.
11
Unidade I
• Preços de produtos concorrentes:
Quanto maior for a competição pelos fatores de produção,
menor será a oferta de um produto particular.
• Expectativas futuras:
5
Caso as expectativas futuras para a economia sejam
otimistas, os produtores aumentam a produção. Caso contrário, a
produção diminui. Quanto mais prováveis forem as expectativas
futuras dos produtores quanto à elevação dos preços, maior será
a oferta do produto.
3.3 Oferta de mercado
qo = ap + b
10
qo- quantidade ofertada por unidade de tempo.
p - preço do bem.
p
q0
B
p2
p1
A
q01
P⇒
12
q0
Q02
Q
MATEMÁTICA APLICADA À CONTABILIDADE
O aumento no preço do produto aumenta a quantidade
ofertada enquanto a diminuição no preço leva à redução na
quantidade ofertada, ceteris paribus.
Exemplo 1
5
Sabe-se que a oferta de um produto é definida por qo = - 30
+ 2p, com preços menores que R$ 1.300,00. Para quais valores
de p podemos concluir que a oferta será maior que 250?
qo = - 30 + 2p
qo > 250
10
- 30 + 2p > 250
2p > 250 + 30
2p > 280
p > R$ 140,00
Exemplo 2
15
Uma doceira produz um tipo de bolo de tal forma que sua
função de oferta diária é qo = –100 + 2p, com p ≤ R$ 150,00.
Qual o preço para que a oferta seja de 20 bolos diários?
qo = – 100 + 2p
20 = – 100 + 2p
20
- 2p = - 100 - 20
- 2p = - 120
p = R$ 60,00
Exemplo 3
Seja a oferta de mercado de uma utilidade dada por qo =
25 – 20 + 2p, com p ≤ R$ 270,00. Qual o valor da oferta para p =
R$ 270,00?
13
Unidade I
qo = – 20 + 2p
qo = – 20 + 2(270)
qo = – 20 + 540
qo = 520 unidades
5
Exemplo 4
Seja a oferta de mercado de uma utilidade dada por qo =
80 + 2p, com p ≤ R$ 380,00. Qual o valor da oferta para p =
R$ 250,00?
10
qo = 80 + 2p
qo = 80 + 2(250)
qo = 80 + 500
qo = 580 unidades
4 PREÇO E QUANTIDADE DE EQUILÍBRIO
4.1 Definição
Diz-se que o mercado de um produto encontra-se em
equilíbrio quando as quantidades oferecidas pelos produtores
15 desse produto são iguais às quantidades demandadas pelos
consumidores. O preço do produto para o qual as quantidades
oferecidas são iguais às quantidades demandadas é o chamado
preço de equilíbrio. Poderemos chamar de quantidade de
equilíbrio a quantidade em que a demanda e a oferta são
20 iguais.
qo = qd
O ponto onde se cruzam as curvas de oferta e de procura
denomina-se ponto de equilíbrio de mercado (Pe). Quando
o preço de mercado coincide com o ponto de equilíbrio, a
quantidade procurada é igual à quantidade oferecida. O preço
25 correspondente a esse ponto é designado como preço de
14
MATEMÁTICA APLICADA À CONTABILIDADE
equilíbrio (pe) e a quantidade correspondente é a quantidade
de equilíbrio (qe).
p
oferta
p1
pe
P
qd
qe
qo
demanda
q
Nesse ponto:
• tudo o que se produz acabará por ser vendido;
5
• tudo o que se procura acabará por ser comprado.
Apenas serão consideradas as partes das curvas que
estejam no primeiro quadrante, pois é o que interessa à
análise econômica e porque a oferta, o preço e a quantidade
de demanda são sempre valores positivos ou iguais a zero.
10 Ademais:
1. A oferta negativa significa que os artigos não estão
disponíveis no mercado, porque não são produzidos ou
porque são retidos até que um preço satisfatório seja
oferecido por eles.
15
2. O preço negativo significa que são pagos preços aos
compradores para a remoção de artigos do mercado.
3. A demanda negativa significa que o preço é tão alto que
impede a atividade de mercado, até que os artigos sejam
oferecidos a um preço satisfatório.
15
Unidade I
Apenas para exemplificar, quando não há equilíbrio entre
essas leis, ou seja, quando a oferta é maior que a demanda, ocorre
a maioria das liquidações por parte das empresas como forma
de reduzir seus estoques. Da mesma forma, quando a demanda
5 é maior que a oferta, as empresas aumentam os preços dos
produtos. Neste segundo caso, a demanda consequentemente
diminui.
Preço de equilíbrio: preço em que as duas curvas se cruzam.
Quantidade de equilíbrio: a quantidade demandada e a
ofertada são iguais. A quantidade de equilíbrio é determinada
pela intersecção das curvas de oferta e demanda.
Quando ocorre um excesso de oferta e o preço fica acima
do equilíbrio, a quantidade ofertada é maior que a quantidade
10 demandada, havendo um desequilíbrio. Da mesma forma,
quando temos um excesso de demanda e o preço fica abaixo
do equilíbrio, a quantidade ofertada é menor que a quantidade
demandada, pois não é atraente aos produtores.
Exemplificando, se o preço está acima do equilíbrio, a
15 quantidade ofertada é maior que a quantidade demandada.
Então, vendedores terão de baixar o preço para aumentar as
vendas, voltando então ao equilíbrio.
No caso de preço abaixo do equilíbrio, a quantidade
demandada é maior do que a quantidade ofertada. Assim,
20 vendedores deverão aumentar os preços, voltando então ao
equilíbrio.
A interação das curvas de demanda e de oferta determina o
preço e a quantidade de equilíbrio de um bem ou serviço em um
dado mercado.
25
16
Vamos observar o quadro a seguir representativo da oferta e
da demanda do bem “X”:
MATEMÁTICA APLICADA À CONTABILIDADE
Quantidade
Procurada
Ofertada
Situação de
mercado
1,00
11
1
Escassez
3,00
9
3
Escassez
6,00
6
6
Equilíbrio
8,00
4
8
Excesso
10,00
2
10
Excesso
Preço
• Quando se fala em excesso, refere-se a situações em
que a quantidade ofertada é maior que a quantidade
demandada.
5
• Quando se fala em escassez, refere-se a situações em
que a quantidade ofertada é menor que a quantidade
demandada.
Existindo uma diferença entre os preços reais e o preço de
equilíbrio, ou seja, quando os preços reais são mais altos ou
mais baixos que o preço de equilíbrio, passa a haver situações
10 de excesso ou escassez dos produtos no mercado, provocando
uma tendência de descida (ou subida) de preços em relação ao
nível de equilíbrio. O objetivo das empresas é levar o mercado ao
preço e à quantidade de equilíbrio.
Exemplo 1
15
Num modelo linear de oferta e procura, as quantidades
ofertadas e demandadas obedecem respectivamente às funções
lineares de preço abaixo:
qd = 24 – p
qo = - 20 + 10p
20
Pede-se:
1. o preço e a quantidade de equilíbrio;
2. esboço do gráfico da situação.
17
Unidade I
Resolução:
1. Se Pe é a igualdade entre as quantidades ofertadas e
demandadas, então: Pe → qo = qd ou qd = qo, teremos o
preço de equilíbrio.
5
24 – p = - 20 + 10p
- 10p – p = - 20 – 24
- 11p = - 44
p = 4 ⇒ pe = preço de equilíbrio
substituindo pe em qo ou qd, temos:
10
qd = 24 – p
qe = 24 – ( 4 )
qe= R$ 20,00
Logo, pe = 4 e qe= R$ 20,00
2. Gráfico:
15
Interceptos de qd → Para p = 0 ⇒ qd = 24
Para qd = 0 ⇒ p = 24
Interceptos de qo → Para p = 0 ⇒ q o= - 20
Para qd = 0 ⇒ p = 2
qo.,qd
qo
24
20
Pe (4, 20)
qd
2
18
4
24
p
MATEMÁTICA APLICADA À CONTABILIDADE
No intervalo linear → 0 ≤ p ≤ 4 qd ≥ qo
→ 4 ≤ p ≤ 24 qo > qd
Exemplo 2
Determinar o preço de equilíbrio no seguinte caso:
5
qd = 20 – 5p
qo = 2p – 8
20 – 5p = 2p – 8
- 7 p = - 8 – 20
7p = 28
10
p=4
Exemplo 3
Determinar o preço de equilíbrio no seguinte caso:
15
qd = 10 – 0,2p
qo = 1p – 11
2
10 – 0,2p = 1p – 11
2
20 – 0,4p = p – 22
- 0,4p – p = - 20 – 22
20
p = R$ 30,00
Exemplo 4
Ache a quantidade de equilíbrio para as seguintes equações
de oferta e de demanda: p = 180 - 2 qd e p = 4 qo + 120.
19
Unidade I
5
p = 180 - 2 qd
p = 4 qo + 120
p = 180 - 2 qd
qd = 180 - p
2
p = 4 qo + 120
qo = p - 120
4
10
180 - p = p - 120 achar o Mínimo Múltiplo Comum
2
4
15
360 - 2p = p - 120
- 3p = - 360 - 120
- 3 p = - 480
3p = 480
p = R$ 160,00
substituindo em qualquer das equações:
20
p = 180 - 2qd → p = 180 - 2qe
160 = 180 – 2 . qe
2 qe = 180 – 160
2 qe = 20
qe = 10
20