Matemática Aplicada à Contabilidade
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Matemática Aplicada à Contabilidade Professora conteudista: Maria Ester Domingues de Oliveira Sumário Matemática Aplicada à Contabilidade Unidade I 1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................................................................2 1.1 Lei de oferta e demanda.......................................................................................................................3 2. LEI DA DEMANDA..............................................................................................................................................4 2.1 Definição .....................................................................................................................................................4 2.2 Fatores de deslocamento de demanda ...........................................................................................4 3 LEI DA OFERTA .................................................................................................................................................. 10 3.1 Definição .................................................................................................................................................. 10 3.2 Fatores de deslocamento de oferta ...............................................................................................11 3.3 Oferta de mercado ............................................................................................................................... 12 4 PREÇO E QUANTIDADE DE EQUILÍBRIO .................................................................................................. 14 4.1 Definição .................................................................................................................................................. 14 Unidade II 5 PREÇO E RECEITA TOTAL ............................................................................................................................... 21 5.1 Definição .................................................................................................................................................. 21 6 CUSTO TOTAL ..................................................................................................................................................... 24 6.1 Definição .................................................................................................................................................. 24 7 PONTO CRÍTICO (BREAK EVEN POINT) .................................................................................................... 27 7.1 Ponto de nivelamento ........................................................................................................................ 27 8 LUCRO TOTAL .................................................................................................................................................... 29 8.1 Definição .................................................................................................................................................. 29 MATEMÁTICA APLICADA À CONTABILIDADE Unidade I Apresentação Caro aluno, Seja bem-vindo. Nesta disciplina, trataremos de assuntos em que serão 5 empregados conhecimentos adquiridos anteriormente, na teoria das funções. O material apresentado a seguir está dividido em duas partes: na primeira, estudaremos a seguinte legislação: Lei da Demanda, Lei da Oferta e Preço e Quantidade de Equilíbrio. Na segunda parte, estudaremos receita total, custo total, ponto 10 crítico (break even point) e lucro total. Entender a verdadeira essência de um problema e sua manifestação nos diferentes níveis da organização é algo muito importante para um gestor. Este deverá lançar mão de ferramentas empregadas no apoio e na redução da incerteza, 15 ou mesmo para fazer previsões, como demanda e oferta. Isso auxiliará, e muito, em uma tomada de decisão. O principal objetivo desta disciplina é orientar o aluno a desenvolver competências tais como senso crítico e capacidade de contextualização, pensamento estratégico, visão sistêmica, 20 orientação para resultados, capacidade de identificar, analisar e solucionar problemas, capacidade de influenciar pessoas, trabalhar em equipe, entre outras. Com os conhecimentos adquiridos nessa disciplina você, aluno, seguirá no rumo certo, no sentido de tomar decisões de modo mais eficaz. É nossa 25 expectativa que você aprenda bastante. 1 Unidade I Considerando que é você quem administrará seu próprio tempo, nossa sugestão é que dedique ao menos 2:30 horas por semana para esta disciplina, estudando os textos sugeridos e realizando os exercícios propostos. Uma boa forma de fazer 5 isso é já ir planejando o que estudar, semana a semana. Procure assimilar bem o conteúdo da leitura fundamental, mas sua compreensão será ainda maior se você acompanhar também a leitura complementar. Você mesmo perceberá isso, ao longo dos estudos, pois esta é uma disciplina fascinante e útil para você, 10 que em breve será um gestor. Os conteúdos estão apresentados de forma didática e por meio de exemplos. Sugere-se, como complemento, a utilização de outras bibliografias. Então, vamos ao trabalho! 1 INTRODUÇÃO 15 Veremos a partir de agora como se pode utilizar, em aplicações econômicas, a teoria das funções, estudada anteriormente. Lembra-se da forma geral da função de 1º grau y = ax + b? Se pensarmos nos conjuntos A e B e aplicarmos a teoria das funções, poderemos relacionar as variáveis x e y como: 20 • custo de produção de um dado produto e a matéria-prima utilizada; • quantidade do produto vendido e o preço de venda desse produto; • custo total de produção e a quantidade produzida. Oferta Indústria Comércio Prestadores de serviço Diversões Demanda 2 Mercado MATEMÁTICA APLICADA À CONTABILIDADE O contador deverá estabelecer as funções econômicas, procurando maximizar lucros e minimizar custos. 1.1 Lei de oferta e demanda A relação entre a demanda (procura) de um produto e sua quantidade ofertada no mercado é chamada de Lei da Oferta 5 e Procura, também chamada de Lei da Oferta e da Demanda. Por meio desta lei, é possível descrever o comportamento dos consumidores na aquisição de bens e serviços em determinados períodos, em função de quantidades e preços. Existem períodos em que a oferta de um determinado 10 produto excede muito à procura e por isso seu preço tende a cair. Já em períodos nos quais a demanda é maior que a oferta, a tendência é o aumento do preço. Entretanto, o comportamento da demanda não é apenas influenciado pelos preços. Existem outros fatores preponderantes. 15 O valor de um produto pode ser um estímulo positivo ou negativo para que os consumidores adquiram os serviços de que necessitam, mas isto não é o único aspecto desta questão. Existem outros fatores que devem ser considerados nessa função, entre eles: 20 • os desejos e necessidades das pessoas; • o poder de compra; • a disponibilidade dos serviços – concorrência; • a capacidade de as empresas produzirem determinadas mercadorias com o nível tecnológico desejado. 25 De maneira geral, a Lei da Oferta e Demanda nos mostra que quem determina o preço é o consumidor. É o consumidor que determina se certo produto será comprado ou não pelo preço oferecido, bem como suas quantidades. Aos produtores só resta 3 Unidade I concordar com as exigências dos consumidores de seus produtos e decidir quanto vale a pena produzir para vender na faixa de preço estabelecida pelo consumidor. 2. LEI DA DEMANDA 2.1 Definição Lei da Demanda é o desejo que as pessoas têm de consumir 5 bens e serviços aos preços de mercado por unidade de tempo, mantendo-se os outros fatores constantes (ceteris paribus1). Designa a relação entre as quantidades de um determinado bem ou serviço e seus preços alternativos. A demanda pode variar de acordo com fatores de deslocamento, tais como: 10 • preços de produtos substitutos; • renda dos consumidores; • expectativas futuras quanto aos preços futuros, abastecimento; • condições climáticas como temperatura, precipitações; 15 • mudança nas preferências dos consumidores; • tradições, aspectos culturais e religiosos; • número de compradores potenciais ou população; • outros. 2.2 Fatores de deslocamento de demanda Preços dos bens substitutos: 20 Estou escolhendo comprar feijão ou lentilha. O preço do feijão está muito caro em relação ao preço da lentilha. Por isso, posso comprar a lentilha em vez do feijão. 1 4 Do latim, “todo o mais é constante”. MATEMÁTICA APLICADA À CONTABILIDADE Renda dos consumidores: Quando o país apresenta uma melhoria na economia, há aumento na renda do consumidor e isso faz com que haja mais consumo, aumentando-se a demanda. 5 Expectativas futuras: Podemos fornecer como exemplo o crédito aos consumidores: caso as expectativas futuras da economia sejam boas, o crédito aumenta, elevando-se também a demanda. Caso contrário, ocorre uma diminuição do crédito e a consequente retração na 10 demanda. A expectativa otimista em relação ao comportamento da economia faz com que os consumidores consumam mais. Condições climáticas: Condições climáticas desfavoráveis comprometem a 15 produção e a comercialização de produtos agrícolas. Gosto dos consumidores: A preferência do consumidor por determinado tipo de veículo faz com que o consumo deste aumente. Tradições e aspectos culturais e religiosos: 20 A tradição cristã de comer peixe durante a Semana Santa faz o consumo de bacalhau aumentar nesse período. Número de consumidores: Quanto maior o número de consumidores, maior é a demanda por bens e serviços. qd = - a . p + b 5 Unidade I Onde: qd: quantidade de demanda por unidade de tempo; p: preço do bem. Representação gráfica p q 5 Verificamos que a representação gráfica da demanda em função do preço é uma função decrescente, ou seja, as variáveis são inversamente proporcionais. Na medida em que o preço de um determinado bem ou serviço aumenta, a quantidade demandada diminui. Da mesma 10 forma, quando o preço diminui, a quantidade demandada aumenta. O aumento no preço do produto levará à redução na quantidade demandada, enquanto uma queda no preço do bem causará aumento na quantidade demandada. p⇒q Demanda ≠ Quantidade demandada p 3 Quantidade demandada A B 2 Demanda 150 6 175 q MATEMÁTICA APLICADA À CONTABILIDADE Observação: quando nos referimos a demanda, estamos nos referindo à curva toda. Caso estejamos nos referindo a algo pontual, sugerimos à quantidade demandada. Exemplo 1 5 Sabendo-se que a demanda de mercado de um determinado produto é definida por qd = 500 - 10p, sendo p o preço de venda do produto, podemos afirmar que a demanda será maior que 300 unidades, se: Solução (começamos por um sistema de duas equações): 10 15 qd = 500 - 10p qd > 300 500 -10p > 300 - 10p > 300 - 500 - 10p > - 200 10p < 200 p < R$ 20,00 Exemplo 2 Sabendo-se que a demanda de mercado de um determinado produto é definida por qd = 385 – 5p, sendo p o preço de venda 20 do produto, podemos afirmar que a demanda será maior que 125 unidades, se: qd = 385 - 5p qd > 125 25 385 - 5p > 125 - 5p > 125 - 385 - 5p > - 260 5p < 260 p < R$ 52,00 7 Unidade I Exemplo 3 Sabendo-se que a demanda de mercado de um determinado produto é definida por qd = 385 - 5p, sendo p o preço de venda do produto, podemos afirmar que a demanda será menor que 5 200 unidades, se: qd = 385 - 5p qd < 200 10 385 - 5p < 200 - 5p < 200 - 385 - 5p < - 185 5p > 185 p > R$ 37,00 Exemplo 4 A relação entre o preço de venda e a quantidade vendida de 15 um produto é dada pela equação qd = 100 – 4p. Determinar a quantidade de produtos vendidos para p = R$ 15,00. qd = 100 – 4p qd = 100 – 4(15) qd = 100 – 60 20 qd = 40 unidades Exemplo 5 A relação entre o preço de venda e a quantidade vendida de um produto é dada pela equação: qd = 100 – 4p. Determinar o preço p correspondente a 50 unidades de produtos vendidos. 25 qd = 100 – 4p 50 = 100 – 4p 4p = 100 – 50 4p = 50 p = R$ 12,50 8 MATEMÁTICA APLICADA À CONTABILIDADE Exemplo 6 A relação entre o preço de venda e a quantidade vendida de um produto é dada pela equação qd = 90 – 2p. Determinar os valores de p para os quais a quantidade vendida seja de, no 5 mínimo, 40 unidades. qd = 90 – 2p qd ≥ 40 10 90 – 2p ≥ 40 - 2p ≥40 - 90 - 2p ≥ -50 2p ≤ 50 p ≤ R$ 25,00 Exemplo 7 A relação entre o preço de venda e a quantidade vendida de 15 um produto é dada pela equação qd = 70 – 2p. Determinar os valores de p para os quais a quantidade vendida seja de 10 a 30 unidades: Resolvemos em duas partes: Primeira parte: 20 25 qd = 70 – 2p qd ≥ 10 70 – 2p ≥ 10 - 2p ≥10 - 70 - 2p ≥ -60 2p ≤ 60 p ≤ R$ 30,00 9 Unidade I Segunda parte: qd = 70 – 2p qd ≤ 30 5 70 – 2p ≤ 30 - 2p ≤ 30 - 70 - 2p ≤ - 40 2p ≥ 40 p ≥ R$ 20,00 Portanto, os valores de p para os quais a quantidade vendida 10 seja entre 10 e 30 unidades são: 20 ≤ p ≤ 30 3 LEI DA OFERTA 3.1 Definição Representa o desejo dos produtores em criar e colocar um produto no mercado por unidade de tempo e expressa uma relação entre as quantidades vendidas de um determinado bem ou serviço e os preços alternativos de mercado por unidade de 15 tempo, ceteris paribus. O aumento no preço do produto aumenta a quantidade ofertada enquanto que a diminuição no preço ocasiona a redução da quantidade ofertada, ceteris paribus. A oferta pode variar de acordo com alguns fatores de 20 deslocamento de oferta, tais como: • custos de produção; • adversidades climáticas; 10 MATEMÁTICA APLICADA À CONTABILIDADE • as expectativas futuras; • quanto maior o custo de produção menor será a oferta do produto; • nível tecnológico; 5 • os preços de produtos concorrentes; • outros. 3.2 Fatores de deslocamento de oferta • Custos de produção Com aumento nos custos da produção pode haver diminuição na oferta dos produtos colocados no mercado, por não ser 10 possível cobrir esses custos no repasse dos preços que passam a não ser atraentes aos consumidores. • Adversidades climáticas Condições climáticas que afetem os níveis de produção como seca, excesso de chuvas, geadas, altas ou baixas temperaturas; 15 Quanto mais favoráveis as condições climáticas, maior será a oferta do produto; • Custo de produção Quanto maior o custo de produção, menor será a oferta do produto. 20 • Nível tecnológico Quanto mais avançado o nível tecnológico, maior será a oferta do produto. A mudança no nível tecnológico pela aplicação de uma melhor forma de combinar os fatores de produção ajuda a diminuir os custos de produção. 11 Unidade I • Preços de produtos concorrentes: Quanto maior for a competição pelos fatores de produção, menor será a oferta de um produto particular. • Expectativas futuras: 5 Caso as expectativas futuras para a economia sejam otimistas, os produtores aumentam a produção. Caso contrário, a produção diminui. Quanto mais prováveis forem as expectativas futuras dos produtores quanto à elevação dos preços, maior será a oferta do produto. 3.3 Oferta de mercado qo = ap + b 10 qo- quantidade ofertada por unidade de tempo. p - preço do bem. p q0 B p2 p1 A q01 P⇒ 12 q0 Q02 Q MATEMÁTICA APLICADA À CONTABILIDADE O aumento no preço do produto aumenta a quantidade ofertada enquanto a diminuição no preço leva à redução na quantidade ofertada, ceteris paribus. Exemplo 1 5 Sabe-se que a oferta de um produto é definida por qo = - 30 + 2p, com preços menores que R$ 1.300,00. Para quais valores de p podemos concluir que a oferta será maior que 250? qo = - 30 + 2p qo > 250 10 - 30 + 2p > 250 2p > 250 + 30 2p > 280 p > R$ 140,00 Exemplo 2 15 Uma doceira produz um tipo de bolo de tal forma que sua função de oferta diária é qo = –100 + 2p, com p ≤ R$ 150,00. Qual o preço para que a oferta seja de 20 bolos diários? qo = – 100 + 2p 20 = – 100 + 2p 20 - 2p = - 100 - 20 - 2p = - 120 p = R$ 60,00 Exemplo 3 Seja a oferta de mercado de uma utilidade dada por qo = 25 – 20 + 2p, com p ≤ R$ 270,00. Qual o valor da oferta para p = R$ 270,00? 13 Unidade I qo = – 20 + 2p qo = – 20 + 2(270) qo = – 20 + 540 qo = 520 unidades 5 Exemplo 4 Seja a oferta de mercado de uma utilidade dada por qo = 80 + 2p, com p ≤ R$ 380,00. Qual o valor da oferta para p = R$ 250,00? 10 qo = 80 + 2p qo = 80 + 2(250) qo = 80 + 500 qo = 580 unidades 4 PREÇO E QUANTIDADE DE EQUILÍBRIO 4.1 Definição Diz-se que o mercado de um produto encontra-se em equilíbrio quando as quantidades oferecidas pelos produtores 15 desse produto são iguais às quantidades demandadas pelos consumidores. O preço do produto para o qual as quantidades oferecidas são iguais às quantidades demandadas é o chamado preço de equilíbrio. Poderemos chamar de quantidade de equilíbrio a quantidade em que a demanda e a oferta são 20 iguais. qo = qd O ponto onde se cruzam as curvas de oferta e de procura denomina-se ponto de equilíbrio de mercado (Pe). Quando o preço de mercado coincide com o ponto de equilíbrio, a quantidade procurada é igual à quantidade oferecida. O preço 25 correspondente a esse ponto é designado como preço de 14 MATEMÁTICA APLICADA À CONTABILIDADE equilíbrio (pe) e a quantidade correspondente é a quantidade de equilíbrio (qe). p oferta p1 pe P qd qe qo demanda q Nesse ponto: • tudo o que se produz acabará por ser vendido; 5 • tudo o que se procura acabará por ser comprado. Apenas serão consideradas as partes das curvas que estejam no primeiro quadrante, pois é o que interessa à análise econômica e porque a oferta, o preço e a quantidade de demanda são sempre valores positivos ou iguais a zero. 10 Ademais: 1. A oferta negativa significa que os artigos não estão disponíveis no mercado, porque não são produzidos ou porque são retidos até que um preço satisfatório seja oferecido por eles. 15 2. O preço negativo significa que são pagos preços aos compradores para a remoção de artigos do mercado. 3. A demanda negativa significa que o preço é tão alto que impede a atividade de mercado, até que os artigos sejam oferecidos a um preço satisfatório. 15 Unidade I Apenas para exemplificar, quando não há equilíbrio entre essas leis, ou seja, quando a oferta é maior que a demanda, ocorre a maioria das liquidações por parte das empresas como forma de reduzir seus estoques. Da mesma forma, quando a demanda 5 é maior que a oferta, as empresas aumentam os preços dos produtos. Neste segundo caso, a demanda consequentemente diminui. Preço de equilíbrio: preço em que as duas curvas se cruzam. Quantidade de equilíbrio: a quantidade demandada e a ofertada são iguais. A quantidade de equilíbrio é determinada pela intersecção das curvas de oferta e demanda. Quando ocorre um excesso de oferta e o preço fica acima do equilíbrio, a quantidade ofertada é maior que a quantidade 10 demandada, havendo um desequilíbrio. Da mesma forma, quando temos um excesso de demanda e o preço fica abaixo do equilíbrio, a quantidade ofertada é menor que a quantidade demandada, pois não é atraente aos produtores. Exemplificando, se o preço está acima do equilíbrio, a 15 quantidade ofertada é maior que a quantidade demandada. Então, vendedores terão de baixar o preço para aumentar as vendas, voltando então ao equilíbrio. No caso de preço abaixo do equilíbrio, a quantidade demandada é maior do que a quantidade ofertada. Assim, 20 vendedores deverão aumentar os preços, voltando então ao equilíbrio. A interação das curvas de demanda e de oferta determina o preço e a quantidade de equilíbrio de um bem ou serviço em um dado mercado. 25 16 Vamos observar o quadro a seguir representativo da oferta e da demanda do bem “X”: MATEMÁTICA APLICADA À CONTABILIDADE Quantidade Procurada Ofertada Situação de mercado 1,00 11 1 Escassez 3,00 9 3 Escassez 6,00 6 6 Equilíbrio 8,00 4 8 Excesso 10,00 2 10 Excesso Preço • Quando se fala em excesso, refere-se a situações em que a quantidade ofertada é maior que a quantidade demandada. 5 • Quando se fala em escassez, refere-se a situações em que a quantidade ofertada é menor que a quantidade demandada. Existindo uma diferença entre os preços reais e o preço de equilíbrio, ou seja, quando os preços reais são mais altos ou mais baixos que o preço de equilíbrio, passa a haver situações 10 de excesso ou escassez dos produtos no mercado, provocando uma tendência de descida (ou subida) de preços em relação ao nível de equilíbrio. O objetivo das empresas é levar o mercado ao preço e à quantidade de equilíbrio. Exemplo 1 15 Num modelo linear de oferta e procura, as quantidades ofertadas e demandadas obedecem respectivamente às funções lineares de preço abaixo: qd = 24 – p qo = - 20 + 10p 20 Pede-se: 1. o preço e a quantidade de equilíbrio; 2. esboço do gráfico da situação. 17 Unidade I Resolução: 1. Se Pe é a igualdade entre as quantidades ofertadas e demandadas, então: Pe → qo = qd ou qd = qo, teremos o preço de equilíbrio. 5 24 – p = - 20 + 10p - 10p – p = - 20 – 24 - 11p = - 44 p = 4 ⇒ pe = preço de equilíbrio substituindo pe em qo ou qd, temos: 10 qd = 24 – p qe = 24 – ( 4 ) qe= R$ 20,00 Logo, pe = 4 e qe= R$ 20,00 2. Gráfico: 15 Interceptos de qd → Para p = 0 ⇒ qd = 24 Para qd = 0 ⇒ p = 24 Interceptos de qo → Para p = 0 ⇒ q o= - 20 Para qd = 0 ⇒ p = 2 qo.,qd qo 24 20 Pe (4, 20) qd 2 18 4 24 p MATEMÁTICA APLICADA À CONTABILIDADE No intervalo linear → 0 ≤ p ≤ 4 qd ≥ qo → 4 ≤ p ≤ 24 qo > qd Exemplo 2 Determinar o preço de equilíbrio no seguinte caso: 5 qd = 20 – 5p qo = 2p – 8 20 – 5p = 2p – 8 - 7 p = - 8 – 20 7p = 28 10 p=4 Exemplo 3 Determinar o preço de equilíbrio no seguinte caso: 15 qd = 10 – 0,2p qo = 1p – 11 2 10 – 0,2p = 1p – 11 2 20 – 0,4p = p – 22 - 0,4p – p = - 20 – 22 20 p = R$ 30,00 Exemplo 4 Ache a quantidade de equilíbrio para as seguintes equações de oferta e de demanda: p = 180 - 2 qd e p = 4 qo + 120. 19 Unidade I 5 p = 180 - 2 qd p = 4 qo + 120 p = 180 - 2 qd qd = 180 - p 2 p = 4 qo + 120 qo = p - 120 4 10 180 - p = p - 120 achar o Mínimo Múltiplo Comum 2 4 15 360 - 2p = p - 120 - 3p = - 360 - 120 - 3 p = - 480 3p = 480 p = R$ 160,00 substituindo em qualquer das equações: 20 p = 180 - 2qd → p = 180 - 2qe 160 = 180 – 2 . qe 2 qe = 180 – 160 2 qe = 20 qe = 10 20
