apostila função

ESCOLA DE APLICAÇÃO “DR. ALFREDO JOSÉ BALBI”
UNITAU
APOSTILA
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES
NOME:
NO:
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FUNÇÃO
IDÉIA INTUITIVA DE FUNÇÃO
O conceito de função é um dos mais importantes da matemática. Ele está sempre
presente na relação entre duas grandezas variáveis. Assim são exemplos de funções:
- O valor a ser pago numa corrida de táxi é função do espaço percorrido;
- A área de um quadrado é função da medida do seu lado;
- O consumo de combustível de um automóvel é função, entre outros fatores, da
velocidade.
Observe que as relações que vimos a seguir têm duas características em comum:
- A todos os valores da variável independente estão associados valores da variável
dependente;
- Para um dado valor da variável independente está associado um único valor da
variável dependente.
As relações que têm essas características são chamadas de funções.
Exemplos:
1) Nos itens abaixo, estão descritas algumas relações entre variáveis. Em cada caso,
identifique a variável independente e a dependente.
a) O número de refrigerante que uma pessoa compra e a quantia a ser paga.
Resolução:
b) A duração de uma chamada telefônica e o custo da chamada.
Resolução:
2) O preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa de R$ 6,00 ,
denominada bandeirada mais uma parcela variável de R$ 0,90 por km rodado.
Determine:
a) A função que representa o preço P de uma corrida em função de x quilômetros
rodados.
Resolução:
b) O preço de uma corrida de 12 km.
Resolução:
c) A distancia percorrida por um passageiro que pagou R$ 96,00 pela corrida.
Resolução:
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DEFINIÇÃO MATEMÁTICA DE FUNÇÃO
Sendo A e B dois conjuntos não vazios e uma relação f de A em B, essa relação f é uma
função quando cada elemento x do conjunto A está associado a um, e somente um,
elemento y do conjunto B. Indica-se por:
f: A
B
Quando estas condições descritas na definição não forem satisfeitas, existirá apenas uma
relação (R). Daí, concluímos que toda função é uma relação mas, nem toda relação e
uma função.
Observe os exemplos com diagramas:
As figuras 1, 2 e 3 representam funções. Note que cada elemento do conjunto domínio
A tem uma única chegada no conjunto contradomínio B. Chamamos de conjunto
imagem (Im) aos elementos de B que se relacionaram com os elementos de A. No
conjunto contradomínio pode sobrar elemento. A letra f acima do diagrama indica que a
relação especial é uma função.
fig.1
fig.2
fig.3
As figuras 4, 5 e 6 representam apenas relações. Note que na fig. 4 alguns elementos de
A têm duas chegadas em B, na fig. 5 sobrou um elemento de A sem relacionar-se com B
e, finalmente, na fig. 6 um único elemento de A têm várias chegadas em B. A letra R
acima do diagrama indica ser apenas uma relação.
fig.4
fig.5
fig.6
Exemplos
1) Dados A = { -3, -2, 0, 3 } e B = { - 1, 0, 1, 2, 4, 5, 7 } e uma relação expressa pela
fórmula y = x + 2, com x pertencendo a A e y pertencendo a B.
a) Faça o diagrama e verifique se f é uma função de A em B.
Resolução:
b) Se for uma função de A em B, determine o domínio, a imagem e o contra-domínio de
f.
Resolução:
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2) Seja a função f:
a) O valor de f(-1)
Resolução:
definida por f(x) = x2 - 7x + 9. Determine:
b) Os valores de x para que se tenha f(x) = -1.
Resolução:
3) Dadas as funções f(x) = 4x + 3 e g(x) = x2 + a. Sabendo que f(2) - g(1) = 3, calcule o
valor de a.
Resolução:
4) Dada a função f:
definida por f(x) = ax + b, com a e b ∈ ℜ . Determine a e
b, sabendo que f(1) = 3 e f(2) = 5.
Resolução:
DOMINIO DE UMA FUNÇÃO REAL DE VARIÁVEL REAL
Quando trabalhamos com uma função, é importante sabermos qual o domínio dessa
função, pois é ele que vai determinar os valores possíveis para a variável independente.
Em muitos casos, o domínio e o contradomínio não vêm explicitados, devemos, então,
considerar como domínio o conjunto de todos os números reais que podem ser
colocados no lugar da variável independente na fórmula da função, obtendo, após os
cálculos, um número real, já, o contradomínio será os números reais.
Exemplos
1) Encontrar o domínio das funções:
a) f(x) = 3x2 - 4x + 2
Resolução:
c) f(x) =
4x − 4
Resolução:
3x − 5
2x − 4
Resolução:
b) f(x) =
x−5
3x − 3
+
x+2
x−4
Resolução:
d) f(x) =
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GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO
Para construir o gráfico de uma função, utilizaremos o sistema de coordenadas
cartesianas ortogonais.
O sistema de coordenadas ortogonais é composto por:
- Duas reta perpendiculares entre si, onde a reta horizontal é o eixo x (abscissas) e a reta
vertical o eixo y (ordenadas).
- O cruzamento das duas retas é a origem do sistema.
- As retas dividem o plano em quatro partes iguais chamadas de quadrantes.
O gráfico é conjunto de todos os pontos (x;y) do plano cartesiano, com x ∈ D e y ∈ Im.
Para isso, consideremos os valores do domínio da função o eixo x e as respectivas
imagens no eixo y.
Exemplos:
1) Construir o gráfico das funções:
a) f : A → B , definida por f(x) = x + 2, sendo A = { -1; 0; 1; 2 } e B = { 1; 2; 3; 4; 5 }
b) f:
definida por f(x) = x + 2
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ANALISANDO GRÁFICOS DE FUNÇÕES
A partir do gráfico de uma função, podemos obter informações importantes sobre o
comportamento dessa função, como:
- O domínio e a imagem.
- Os pontos onde o gráfico intercepta os eixos coordenados.
- Os intervalos para os quais a função é crescente, decrescente ou constante.
constante
- Os intervalos para os quais
is a o valor da função é positivo e negativo.
- O valor máximo ou mínimo que a função atinge.
- O (s) valor (es) da(s) raiz(es) da função.
Como reconhecer quando um gráfico representa uma função
Como para cada valor de x do domínio devemos ter em correspondência
correspondência um único y do
contradomínio, é possível identificar se um gráfico representa ou não função, traçamos
retas paralelas ao eixo y. Para ser função, cada reta vertical traçada por pontos do
domínio deve interceptar o gráfico em um único ponto.
Como determinar o domínio e a imagem da função
- O domínio de uma função é obtido pela projeção dos pontos do gráfico sobre o eixo
x (abscissas)
- A imagem de uma função é obtida pela projeção dos pontos do gráfico sobre o eixo
y (ordenadas)
Exemplo
D(f) = { x ∈ ℜ/1 ≤ x ≤ 6 }
Im(f) = { y ∈ ℜ / 2 ≤ y ≤ 5 }
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Como determinar as raízes ou os zeros de uma função
Graficamente a(s) raiz(es) de uma função é(são) a(s) a(s) abscissa(s) do(s) ponto(s) onde
o gráfico encontra o eixo x (abscissas).
Exemplo
Logo, os números 2 e 5 são as raízes ou os
zeros da função
Como determinar o intervalo onde a função é crescente, decrescente ou constante
- Se aumentarmos o valor da variável independente e aumentar os valores da imagem,
temos função crescente.
- Se aumentarmos o valor da variável independente e diminuir os valores da imagem,
temos função decrescente.
Se aumentarmos o valor da variável independente e não alterar os valores da imagem,
temos função constante.
y
constante
crescente
decrescente
x
o
Valor máximo e Valor mínimo de uma função
y
máximo
f(x2)
mínimo
Valor máximo f(x2)
Valor mínimo f(x1)
Prof. Carlinhos
f(x1)
x
o
X1
X2
Bibliografia:
Curso de Matemática – Volume Único
Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna
Matemática Fundamental - Volume Único
Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD
Contexto&Aplicações – Volume Único
Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática
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