O leitor pergunta

O LEITOR PERGUNTA
Sérgio Alves
Renate Watanabe
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RPM − O leitor pergunta
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♦ Qual dos dois números é o maior: 10150 ou 9950 + 10050 ?
Um leitor do Ceará pediu que a RPM provasse: 10150 > 9950 + 10050 .
RPM: Provar essa desigualdade equivale a provar que
10150 − 9950 > 10050 , ou, dividindo a inequação por 100 50 , provar que
 101 


 100 
50
 99 
− 

 100 
50
50
> 1.
50
50
50
1 
1 
 101 
 99 


Mas 
 − 
 = 1 +
 − 1 −
 .
 100 
 100 
 100 
 100 
Usando a fórmula do binômio de Newton e juntando os termos
semelhantes, obtém-se:
  50  1  50  1

1


+ 
+ L > 2 ⋅ 50 ⋅
2  
= 1.
3
100
  1  100  3  100

♦ “Avos”?
Um leitor enviou o que ele chamou de “dúvida cruel”: Gostaria de saber
de onde surgiu e por que a palavra AVOS para denominadores maiores
do que 10.
RPM: A palavra avos é derivada da terminação de oitavo (oit’avos) para
indicar parte alíquota.
(A resposta foi dada por Noé Ribeiro, que cita como fontes o Dicionário de
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SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
questões vernáculas, de Napoleão Mendes de Almeida, o Dicionário Aurélio e o
Minidicionário Sacconi.)
♦ Onde está o erro?
Um leitor de Curitiba encontrou no site da UERJ o seguinte problema:
Uma linha poligonal fechada de três lados limita um triângulo de
perímetro l . Se ela gira em torno de um dos lados, gera uma superfície
de área S igual ao produto de l pelo comprimento da circunferência des
e
C
3 cm
G r .
A
.
4 cm
B
crita pelo baricentro G da poligonal. A figura mostra a linha (ABCA)
que dá uma volta em torno de BC.
A. Esboce a figura e indique o cálculo da área de sua superfície que é
igual a 36π cm 2 .
B. Calcule a distância r do baricentro G dessa linha ao eixo de rotação.
Diz o leitor:
Usando a definição do enunciado, encontrei para a parte B o valor 1,5,
que é a resposta da UERJ. No entanto, resolvendo analiticamente e
geometricamente, encontrei o valor 43 = 1,333K Onde está o erro?
RPM: Não há erro.
O que acontece é o seguinte: Triângulo pode ser entendido como uma
região do plano, ou pode ser entendido como uma reunião de 3
segmentos.
Triângulo como região do plano
Triângulo como linha poligonal
REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA 47, 2001
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O baricentro da “região triangular” é um ponto G cuja distância ao cateto
de comprimento 3 é 4/3: basta observar que, escolhido um sistema de
coordenadas com os eixos ao longo dos catetos do triângulo, as
coordenadas dos 3 vértices serão (0, 0), (4, 0) e (0, 3) e, sendo a abcissa
do baricentro a média aritmética das abcissas dos vértices, a abcissa de G
é (0 + 4 + 0)/3 = 4/3. O baricentro da “linha poligonal triangular”,
mencionado no problema, é um ponto G cuja distância ao cateto de
comprimento 3 é 3/2.
Pode-se obter esse último resultado sem usar a fórmula proposta no
problema, da seguinte maneira:
O baricentro de um segmento (suposto de densidade uniforme) é o seu
ponto médio e a “massa” atribuída a esse centro é proporcional ao seu
comprimento. No caso do problema proposto, supondo os vértices do
triângulo com coordenadas (0,0) , (4,0) e (0,3) :
Segmento
centro de gravidade
massa
Cateto “3”
(0, 3/2)
k.3
Cateto “4”
(2, 0)
k.4
Hipotenusa
(2, 3/2)
k.5
As coordenadas do baricentro do sistema constituído por esses três pontos
médios são:
m x + m 2 x 2 + m 3 x 3 3 ⋅ 0 + 4 ⋅ 2 + 5 ⋅ 2 18 3
=
=
= (resposta da UERJ)
x= 1 1
3+ 4 + 5
12 2
m1 + m 2 + m 3
e
3
3
m y + m 2 y 2 + m 3 y 3 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ 0 + 5 ⋅ 2 12
=
= 1.
y= 1 1
=
3+ 4 + 5
12
m1 + m 2 + m 3
A “fórmula” dada no problema é um dos teoremas de Pappus. Muitos
livros de Cálculo trazem os dois teoremas de Pappus, um referente a
volume de sólidos e outro referente a área de superfícies.
♦ Uma pergunta muito difícil
Um leitor do Rio de Janeiro escreveu em março: Sabemos que os números
π e e são irracionais. E quanto à soma π + e e ao produto π ⋅ e ?
RPM: Recentemente ficamos sabendo que se trata de um problema
aberto. Ninguém, por enquanto, sabe provar que os números acima são,
ou não, racionais.
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SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
Mas o professor J. A Breves Filho deu um argumento muito simples e
elegante, mostrando que pelo menos um desses números é irracional.
Disse ele:
Se π + e e π ⋅ e fossem racionais, π e e seriam soluções da equação
π e e são
x 2 − ( π + e) x + π ⋅ e = 0 . Mas isso é absurdo, pois
transcendentes, isto é, não são soluções de nenhuma equação algébrica
com coeficientes racionais.
♦ A seqüência de Fibonacci na Geometria
A seqüência de Fibonacci (ver RPM 45) é definida pela fórmula de
recorrência
f1 = f 2 = 1
f k = f k −1 + f k −2 para todo k ≥ 3 .
É, portanto, a seqüência dada por 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... .
Um leitor de São Paulo nos pede para verificar as duas propriedades
algébricas abaixo e interpretá-las geometricamente.
a) f 1 + f 2 + f 3 + L + f n = f n + 2 − 1;
b)
f 11 + f 22 + f 32 + L + f n2 = f n f n +1 .
RPM: Vejamos inicialmente as provas destas identidades. Como
f k − 2 = f k − f k −1 para todo k ≥ 3 , segue que
f1 = f 3 − f 2
f2 = f4 − f3
f3 = f5 − f4
M
f n −1 = f n +1 − f n
f n = f n + 2 − f n +1
f1 + f 2 + L + f n = f n +2 − 1 ,
Somando membro a membro, obtemos
estabelecendo a).
Por outro lado, f k = f k +1 − f k −1 de modo que f k2 = f k f k +1 − f k f k −1
para todo k ≥ 2 . Assim,
f 12 = 1 = f 1 f 2
REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA 47, 2001
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f 22 = f 2 f 3 − f 2 f 1
f 32 = f 3 f 4 − f 3 f 2
M
f n2−1 = f n −1 f n − f n −1 f n − 2
f n2 = f n f n +1 − f n f n −1
Somando membro a membro, chegamos à soma procurada
f 12 + f 22 + L + f n2 = f n f n +1 .
Uma possível interpretação para essa identidade é a decomposição de um
e
retângulo de lados
fn
f n +1 em n quadrados de lados
f 1 , f 2 , f 3 , K , f n . Veja na figura abaixo uma situação particular.
3
2
2
2
12 12
8
5
8
2
2
13
Multiplicando-se ambos os membros de b) por π, obtemos
πf 12 + πf 22 + πf 32 + L + πf n2 = πf n f n +1 . O lado esquerdo representa a
soma das áreas de n círculos de raios f 1 , f 2 , f 3 , K , f n . O lado direito é
a área de uma elipse de semi-eixos f n e f n +1 .
8
=
8
+
5
+
3
+
1
+
1
13
No retângulo anterior construímos a espiral composta por arcos de 90o de
circunferências cujos raios são os termos consecutivos da seqüência de
Fibonacci.
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SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
33
8
33
13
Multiplicando ambos os membros de a) por π 2 , obtemos
π
π
π
π
π
f 1 + f 2 + f 3 + L + f n = ( f n + 2 − 1) , ou seja, a soma dos
2
2
2
2
2
comprimentos dos n primeiros arcos de circunferência é igual a 1 4 da
circunferência de raio ( f n + 2 − 1) .
Que este Natal traga
a todos os nossos
leitores
e
seus
familiares paz, amor e
solidariedade e que o
Ano Novo
seja
repleto
de
realizações e felicidade.
Feliz 2002!
REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA 47, 2001
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