Aula 22 Círculos e Circunferências

Aula 22 - Baiano
GEOMETRIA PLANA
GEOMETRIA PLANA
Círculos e Circunferências
Definição: Circunferência é o conjunto dos pontos do plano
que distam igualmente de um ponto deste plano,
denominado centro da circunferência.
r
s
externa
secante
t
tangente
CD
corda
AB
corda máxima ou diâmetro
OM = AO = OB = OF
EF
CD
raio
flecha
arco
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Círculos e Circunferências
Ângulos da Circunferência
Central - É o ângulo que tem o seu vértice coincidindo com o
centro da circunferência.
AB = α
A
α
60°
2m
α≠ l
B
l = α.r
l = (π/3).2
l = 2π/3 m
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Círculos e Circunferências
Ângulos da Circunferência
Inscrito - É o ângulo que possui seu vértice sobre a
circunferência e tem como lados duas cordas dessa
circunferência.
A
Demonstração:
AB = 2α
2α
α
B
r O
α
2α
α r
B
A
2α
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Círculos e Circunferências
Ângulos da Circunferência
Segmento - É o ângulo formado por uma corda e a tangente
à circunferência em uma de suas extremidades.
A
AB = 2α
x
α
40°
O
α
x
50° 40°
2x
80°
80°
50°
B
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Círculos e Circunferências
Exemplo 1: UFSC 2002 | Dada a circunferência abaixo de
centro O, calcule o valor do ângulo α.
Resolução 1
40°
40°
O
α
r
80°15°
r
50°
50°
80°
α+50°65°
40º + 65º + α + 50º = 180º
α + 155º = 180º
α = 25º
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Círculos e Circunferências
Exemplo 1: UFSC 2002 | Dada a circunferência abaixo de
centro O, calcule o valor do ângulo α.
Resolução 2
40°
40°
O
α
80°15°
50°
50°
40°
80°
α+50°65°
40º + 65º + α + 50º = 180º
α + 155º = 180º
α = 25º
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Círculos e Circunferências
Exemplo 1: UFSC 2002 | Dada a circunferência abaixo de
centro O, calcule o valor do ângulo α.
Resolução 3
30°
150°
O
α
50°
15°
α + 50º = 75º
α = 25º
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Círculos e Circunferências
Ângulos da Circunferência
Excêntrico Interior - É o ângulo formado por duas secantes
que se interceptam no interior da circunferência.
C
α = AB + CD
2
2
A
20°
80°
α
AB
2
D
CD
2
α = AB + CD
2
Exemplo:
B
0 + 800
0
20
100
= 50 0
α=
=
2
2
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Círculos e Circunferências
Ângulos da Circunferência
Excêntrico Exterior - É o ângulo formado por duas secantes
que se interceptam fora da circunferência.
CD = α + AB
2
2
C
AB
2
A
α 20°
B
80°
CD
2
α = CD - AB
2
Exemplo:
D
0 - 200
0
80
60
= 30 0
α=
=
2
2
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Propriedades
Triângulo Inscrito – Todo
semicircunferência é reto.
A
triângulo
O
180°
C
B
inscrito
numa
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Propriedades
Mediana – Para todo triângulo retângulo, a mediana relativa à
hipotenusa é igual a metade da hipotenusa.
C
A
O
B
OC = AB
2
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Propriedades
Tangente – As tangentes traçadas de um ponto em relação a
uma circunferência são iguais.
B
r
O
PA = PB
r
A
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Relações Métricas
Cordas – O Ponto P é interior à circunferência.
PA . PB = PC . PD
Exemplo:
C
A
x
6
6 . 8 = x . 10
P
8
B
PA . PB = PC . PD
10x = 48
10
D
x = 4,8
6
ou
x
=
10
8
10x = 6.8
x = 4,8
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Relações Métricas
Secantes – O Ponto P é exterior à circunferência.
PA . PB = PC . PD
Exemplo:
B
x
P 2
4
PA . PB = PC . PD
A
2 . (2 + x) = 4 . 10
4 + 2x = 40
C
6
D
2
ou
4
=
10
2+x
4 + 2x = 4.10
2x = 36
2x = 36
x = 18
x = 18
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Relações Métricas
Secantes – O Ponto P é exterior à circunferência.
(PT )
2
P
T
= PA . PB
x
2x
x
B
O
A
PA
PT
=
PT
PB
PA . PB = PT²
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Exemplo 2: USP | Calcule o valor de x na figura abaixo
sabendo que o segmento de comprimento 6 é tangente a
circunferência de centro O.
(PT )
Resolução 1
2,5
x
6
O
2,5
2
= PA . PB
6² = x . (5 + x)
36 = 5x + x²
x² + 5x - 36 = 0
x = 4 ou x = - 9
x=4
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Exemplo 2: USP | Calcule o valor de x na figura abaixo
sabendo que o segmento de comprimento 6 é tangente a
circunferência de centro O.
6 5+x
=
Resolução 2
x
6
6² = x . (5 + x)
2,5
O
36 = 5x + x²
2,5
x² + 5x - 36 = 0
x
x = 4 ou x = - 9
x=4
6
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Exemplo 2: USP | Calcule o valor de x na figura abaixo
sabendo que o segmento de comprimento 6 é tangente a
circunferência de centro O.
(x + 2,5)² = 6² + 2,5²
Resolução 3
x² +5x + 2,5² = 6² + 2,5²
2,5
x
O
2,5
6
x² + 5x = 36
x² + 5x - 36 = 0
x = 4 ou x = - 9
x=4
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FIM