- Fabiano Taguchi

30/01/2016
PROF. FABIANO TAGUCHI
http://fabianotaguchi.wordpress.com
CRIPTOGRAFIA E SEGURANÇA DE
DADOS
AULA 03
FATORAÇÃO, NÚMEROS PRIMOS
MDC, MMC E CONGRUÊNCIA
AULA 01
TEORIA DOS NÚMEROS
1
30/01/2016
TEORIA DOS NÚMEROS
Aborda as propriedades de operações sobre
números inteiros, sendo fundamental na
criptografia, pois os arquivos são transcritos em
sequencias de números.
Algoritmos funcionam em razão da teoria dos
números e da aritmética modular.
TEORIA DOS NÚMEROS
A teoria dos números está relacionado com a
divisibilidade e os restos de uma divisão de
números naturais, e é muito utilizada no
cotidiano das pessoas.
Iremos ver vários casos sobre a teorias dos
números.
TEORIA DOS NÚMEROS
FACTALBILIDADE = Propriedade que permite
encontrar números primos grandes com
facilidade.
SEGURANÇA = Existe uma dificuldade de fatorar
números resultantes de produtos de números
primos.
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NOÇÕES BÁSICAS
Z -> Conjunto dos inteiros
Z = {..., -2,-1, 0, 1, 2, ...}
N -> Conjunto dos números naturais
N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
DIVISÃO EM NÚMEROS INTEIROS
Teorema: Sejam a, b e c números inteiros
• A|B e A|C, logo A|(B+C)
• A|B, então A|B*C, para qualquer inteiro C
• A|B e B|C então A|C
DIVISIBILIDADE E DIVISORES
Teorema: Sejam a e d números inteiros
• É dito que “d divide a” = d|a
• Qualquer inteiro divide 0;
• Se a>0 e d|a, então |d| <= |a|
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DIVISIBILIDADE E DIVISORES
Quando dividimos 17 por 5, temos:
•
•
•
•
17 -> Dividendo
5 -> Divisor
3 -> Quociente (3 = 17 div 5)
2 -> Resto (2 = 17 mod 5)
DIVISÃO EM NÚMEROS INTEIROS
Quando um número inteiro é dividido por outro
número inteiro não nulo, o quociente da divisão
pode ou não ser um número inteiro.
OPERAÇÃO = 12/3 = 4
Dizemos que: 3 é fator de 12, e 12 é múltiplo de 3
TEOREMA FUNDAMENTAL
Todo número inteiro positivo pode ser escrito de
maneira única como o produto dos números
primos.
FATORAÇÃO
• 100 = 2 * 2 * 5 * 5 = 2² * 5²
• 641 = 641¹
• 999 = 3² * 37¹
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NÚMEROS PRIMOS
É chamado de primo o número que tem apenas
como fatores o número 1 e ele mesmo.
Números que não são primos, são chamados de
composto. Exemplo:
• 7 é primo (Fatores são 1 e 7)
• 9 é composto (Divisível por 3)
TEOREMA
Um número inteiro é primo se ele não for divisível
por nenhum número primo menor ou igual à sua
raiz quadrada.
101 é primo?
• Únicos primos que não excedem a raiz de 101 são 2,
3, 5 e 7. O número 101 não é divisível por nenhum
deles, então 101 é número primo.
PRIMALIDADE
Descobrir se o número 17 é primo:
Liste: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17
Exclua os divisíveis por 2
Liste = 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
Exclua os divisíveis por 3
Liste = 5, 7, 11, 13, 17
Exclua os divisíveis por 5
Liste = 7, 11, 13, 17
Exclua os divisíveis por 7
Liste = 11, 13, 17
Exclua os divisíveis por 11
Liste = 13, 17
Exclua ao divisíveis por 13
Liste = 17
5
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PRIMOS RELATIVOS
São considerados primos relativos dois valores
inteiros que possuem como máximo divisor
comum o número 1, os números 8 e 15 são primos
relativos.
Divisores de 8 = 1, 2, 4 e 8
Divisores de 15 = 1, 3, 5 e 15
Logo entre (8, 15) = 1
DIVISORES COMUNS
Se d|a e d|b então d é um divisor comum entre a e
b. Exemplo:
Divisores de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30
Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10 e 20
Divisores comuns de 20 e 30: 1, 2, 5 e 10.
PROPRIEDADES DIVISORES COMUNS
d|a e d|b -> d|(a+b) e d|(a-b)
Quais são os divisores comuns entre 12 e 26?
Teste a propriedade dos divisores comuns
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MÁXIMO DIVISOR COMUM
O máximo divisor comum de dois números é o
maior inteiro que seja divisível por ambos.
MDC (24, 30) = 6
MDC (12, 26) = 2
MDC (5, 7) = 1
MÁXIMO DIVISOR COMUM
Uma forma de encontrar o MDC de dois números,
é encontrar todos os divisores positivos comuns de
ambos os números e utilizar o maior.
MDC (24, 36) = 12
Divisíveis de 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Divisíveis de 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 12, 26
MÁXIMO DIVISOR COMUM
MDC (12, 24, 54) = 6
12 -> 2² * 3¹
24 -> 2³ * 3¹
54 -> 2¹ * 3³
2*3=6
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ALGORITMO DE EUCLIDES
Este algoritmos identifica o máximo divisor comum
dentro dois inteiros, restringindo a números não
negativos.
Euclides (30, 21)
Euclides (21, 9)
Euclides (3, 0)
Euclides = GDC (30, 21) = 3
ALGORITMO DE EUCLIDES
Euclides (91, 287) 287/91 = 3 e resto 14
Euclides (91, 14)
91/14 = 6 e resto 7
Euclides (14, 7)
14/7 = 2 e resto 0
Euclides (7, 0)
Logo, Euclides (91, 287) = 7
O resultado foi 7, pois a divisão de 14/7 teve
como resultado resto 0.
MÁXIMO DIVISOR COMUM
Fazendo uso do algoritmo de Euclides, temos:
MDC (32,12)
MDC (360, 126)
32 = 2 * 12 + 8
12 = 1 * 8 + 4
8=1*4+4
4=1*4+0
360 = 2 * 126 + 108
126 = 1 * 108 + 18
108 = 6 * 18 + 0
8
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MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
Sabemos que o número 6 divide o número 60 e o
15, nesse caso podemos dizer que 60 é um
múltiplo comum de 6 e 15. Mas será que 60 é o
menor múltiplo comum de 6 e 15?
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
MMC (2, 3)
2 -> 2, 4, 6, 8, 10, 12...
3 -> 3, 6, 9, 12
MMC (20, 25)
20 -> 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140...
25 -> 25, 50, 75, 100, 125, 150...
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
Quando a operação for de vários números, basta
fazer a fatoração.
MMC ( 20, 30, 50) = 2² * 3 * 5² = 300
20, 10, 50 | 2
10, 15, 25 | 2
05, 15, 25 | 3
05, 05, 25 | 5
01, 01, 05 | 5
01, 01, 01
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AULA 01
ARITMÉTICA MODULAR
ARITMÉTICA MODULAR
Em muitas situações estamos interessados apenas
em conhecer o resto de uma divisão. Por exemplo,
preciso saber daqui a 50 horas que hora será. Em
situações como esta, nos interessa apenas saber o
resultado do resto da divisão de 50 por 24.
Hora atual: 08h00min
Hora daqui da 50h: 58/24 = 10h00min
ARITMÉTICA MODULAR
Seja a um número inteiro e m um número inteiro
positivo. Denota-se por a mod m o resto da divisão
obtido quando a é dividido por m.
Sendo assim:
a = quociente * m + resto
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PROPRIEDADES DA ARITMÉTICA
ASSOCIATIVIDADE
(a + b) + c = a + (b + c)
Exemplos:
(12 + 5) + 3 = 12 + (5 + 3)
(2 * 3 ) * 5 = 2 * (3 * 5)
PROPRIEDADES DA ARITMÉTICA
ELEMENTO NEUTRO DA ADIÇÃO
(a + 0) = a
Exemplos:
(5 + 0) = 5
(7 + 0) = 7
PROPRIEDADES DA ARITMÉTICA
SUBTRAÇÃO É O INVERSO DA SOMA
(a + b) – a = b
Exemplos:
(3 + 4) – 3 = 4
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PROPRIEDADES DA ARITMÉTICA
ELEMENTO NEUTRO DA MULTIPLICAÇÃO
(a * 1) = a
Exemplos:
(5 * 1) = 5
(7 * 1) = 7
PROPRIEDADES DA ARITMÉTICA
COMUTATIVIDADE
(a + b) = (b + a)
Exemplos:
(10 + 5) = 5 + 10
AULA 01
CONGRUÊNCIA
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CONGRUÊNCIA
GAUSS foi quem introduziu a congruência na
ciência ao perceber que era comum utilizar frases
do tipo “a dá o mesmo resto que b quando
dividimos por k”.
O número 9 é congruente ao número 16 em
módulo 7, pois ambos deixam resto 2 ao serem
divididos por 7.
CONGRUÊNCIA
Existem também uma notação para indicar que 2
inteiros têm o mesmo resto quando divididos por
um mesmo inteiro m.
Se a e b são inteiros e m é um inteiro positivo,
então a é dito congruente a b módulo m se m
divide a – b.
NOTAÇÃO -> a ≡ b (mod m)
CONCEITOS BÁSICOS
a ≡ b (mod m)
Podemos afirmar que (a – b) é divisível por m.
EXEMPLO:
47 ≡ 43 mod 4
Logo, (47 – 43) é divisível por 4
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CONGRUÊNCIA
É possível afirmar que 9 é congruente de 16 em
módulo 7?
A resposta é sim.
Ambos os números (9 e 16) quando divididos por 2
deixam resto 7.
REPRESENTAÇÃO -> 9 ≡ 16 mod 7
CONGRUÊNCIA
17 é congruente a 5 módulo 6?
24 e 14 são congruentes em módulo 6?
a) 17 – 5 = 12, logo 17 ≡ 5 mod 6
b) 24 – 14 = 10. 6 não divide 10, não é congruente
AULA 01
EXEMPLOS
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ATIVIDADE INICIAL - ARANHA
01 – A, B, C, D, E, F, G e H são fios de apoio que
uma aranha usa para construir sua teia, conforme
mostra a figura a seguir. A aranha continua seu
trabalho. Sobre qual fio de apoio estará o número
118?
ATIVIDADE INICIAL - ARANHA
A qual fio pertence o número 118?
Para isso precisamos saber:
Qual o resto da divisão de 118 por 8 (total de fios)
O resto da divisão é 6, logo pertence a família dos
fios G.
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ATIVIDADE INICIAL - RELÓGIO
Trata-se de um caso clássico de congruência de
módulo 12. Note que 13 horas é congruente a 1
hora, pois ambos divididos por 12 retornam resto
1. Relógios analógicos são casos de congruência.
1 ≡ 13 mod 12
5 ≡ 17 mod 12
ATIVIDADE INICIAL - CALENDÁRIO
Já os calendários tem os dias congruentes em
módulo 7. A tabela de congruência depende do
mês de janeiro de cada ano.
•
•
•
•
•
•
•
SEXTA – 1
SÁBADO – 2
DOMINGO – 3
SEGUNDA – 4
TERÇA – 5
QUARTA– 6
QUINTA – 7
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APLICAÇÃO PRÁTICA
Em um texto qualquer, o erro de ortografia em
uma palavra como a troca de letrsa não interfere
na compreensão, afinal a maioria das pessoas leem
palavras e não letras.
Quando a situação envolve números uma simples
troca é significativa. A congruência é aplicada em
práticas para controle de dígitos verificadores.
1º CASO – ISBN EM LIVROS
INTERNATIONAL STANDARD BOOK NUMBER
O número do registro é composto por 10 dígitos,
sendo que o último é o dígito verificado, gerado a
partir da aritmética modular dos outros 9 dígitos.
8
5
8
5
8
1
8
2
10
9
8
7
6
5
4
3
9
2
80
45
64
35
48
5
32
6
18
1º CASO – ISBN EM LIVROS
S = 333/11 = 30
Resto = 3
11 – resto = 8 (10º dígito)
8
5
8
5
8
1
8
2
10
9
8
7
6
5
4
3
9
2
80
45
64
35
48
5
32
6
18
17
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2º CASO – EAN 13
O código de barras EAN 13 serve para identificação
dos produtos em geral. A partir de 2007 começou a
ser utilizado em livros também. A congruência em
mod 10 é usada.
8
4
2
4
9
0
6
2
0
1
7
6
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
8
12
2
12
9
0
6
6
0
2
7
6
2ºCASO – EAN 13
S = 83/10 = 8
Resto = 3
10 – resto = 7 (13º dígito)
8
4
2
4
9
0
6
2
0
1
7
6
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
8
12
2
12
9
0
6
6
0
2
7
6
3º CASO – CPF
Neste caso, os dois últimos dígitos são utilizados
como verificado. O número de um CPF é formado
por 11 números, isto é, os 9 primeiros são usados
para cálculo de congruência em módulo 11.
0
6
2
9
2
9
3
5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
9
0
12
6
36
10
54
21
40
81
18
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3º CASO – CPF
S = 260/11 = 23
Resto = 7
10º número do CPF será o resto, ou seja 7.
0
6
2
9
2
9
3
5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
9
0
12
6
36
10
54
21
40
81
3º CASO – CPF
S = 278/11 = 23
Resto = 3
11º número do CPF será o resto, ou seja 3.
0
6
2
9
2
9
3
5
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
7
9
0
6
4
27
8
45
18
35
72
63
3ºCASO – CPF
19
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AULA 01
LISTA DE EXERCÍCIO
VALOR: 0,5 ponto
ENTREGAR EM FOLHA SEPARADA
EXERCÍCIOS
01 – Diga se são congruentes ou não:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
17 ≡ 5 mod 6
24 ≡ 14 mod 10
38 ≡ 12 mod 4
75 ≡ 25 mod 3
84 ≡ 15 mod 3
27 ≡ 32 mod 4
61 ≡ 6 mod 11
EXERCÍCIOS
02 – Determine o valor das congruências abaixo:
a)
b)
c)
d)
18 ≡ ( ) mod 5
25 ≡ ( ) mod 4
223 ≡ ( ) mod 7
5598 ≡ ( ) mod 89
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EXERCÍCIOS
03 – Verifique quais dos números abaixo são primos.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
17
273
244
538
211
191
187
EXERCÍCIOS
04 – Sejam a e b números inteiros positivos. Sendo
A*B = MDC(A, B) * MMC (A, B), admitindo valores
de A=520 e B=504, a afirmação acima é verdadeira?
05 – Qual o dígito verificador do livro Matemática
Aplicada, da Editora Thompson cujo ISBN é
852210399?
EXERCÍCIOS
06 – O dia 05/05/2019 será qual dia da semana?
07 – Encontre dois números que tenham como
MMC o número 25.
08 – Calcule o dígito verificador do CPF abaixo:
235.343.104-??
21