Teorema - IME-USP

TEOREMA DE ZORN
DAS AULAS DE ANÁLISE SUPERIOR DO PROF. A. WEIL
EDISON FARAH
1. Um importante teorema de caráter existencial, que intervem na teoria
dos conjuntos, é o chamado “Teorema de Zorn”, devido a Max Zorn. A
demonstração deste teorema que afirma a existência de pelo menos um elemento maximal num conjunto ordenado indutivo1 2 baseia-se no conhecido
axioma da escolha (ou axioma de Zermelo), frequentemente citado, sob formas diversas, naturalmente equivalentes entre si (o próprio teorema de Zorn
pode ser considerado como uma forma de tal axioma). Um dos enunciados
do axioma de Zermelo, que se encontra no livro de N. Bourbaki (Théorie des
Ensembles) é o seguinte:
Seja Rtx, yu uma relação entre um elemento genérico x de um conjunto E
e um elemento genérico y de um conjunto F. As relações
“qualquer que seja x P E existe y P F tal que Rtx, yu”
e
“existe uma aplicação f de E em F 3 tal que, qualquer que seja
x P E, Rtx, fpxqu”,
são equivalentes.
O axioma de Zermelo consiste, precisamente, na afirmação dessa equivalência.
2. É fácil ver que o axioma de Zermelo, enunciado como acima, é equivalente à seguinte proposição (que será um segundo enunciado do referido
axioma):
1
As definições de elemento maximal de um conjunto ordenado, e de conjunto ordenado
indutivo serão dadas mais adiante.
2
No seu trabalho “A remark on method in transfinite algebra” BULLETIN OF THE AMERICAN M ATHEMATICAL S OCIETY - V OLUME XLI, N UMBER 10-O CTOBER , 1935), Max Zorn
admitiu o referido teorema como axioma.
3Uma aplicação f de um conjunto E num conjunto F é uma função definida em E, com
valores em F; a cada x de E corresponde, pela aplicação f, um único y de F, e escrevemos,
então: y “ fpxq.
1
2
EDISON FARAH
Se I é um qualquer conjunto de índices e pXi qiPI é uma família de subconjuntos de um conjunto C tais que Xi ‰ H 4, qualquer que seja i P I, o
ś
produto iPI Xi não é vazio.
Mostremos que o primeiro enunciado acima implica o segundo. Com
efeito, seja I um conjunto qualquer de índices, pXi qiPI uma família de subconjuntos de um conjunto C, tais que Xi ‰ H, qualquer que seja i P I,
e consideremos a relação Rti, yu (i P I, y P C) que consista na afirmação
“y P Xi ”. Ora, qualquer que seja i P I existe y P C tal que Rti, yu, pois nenhum dos Xi é vazio. Portanto, pelo primeiro enunciado, existe pelo menos
uma aplicação f de I em C tal que, qualquer que seja i P I, Rti, fpiqu; em
outras palavras, se Xi ‰ H qualquer que seja i P I, existe pelo menos uma
aplicação f de I em C tal que, para todo i P I, fpiq P Xi . Como o produto
ś
iPI Xi é, por definição, o conjunto de tais aplicações f, ele não é vazio,
donde se conclui o segundo enunciado.
Reciprocamente, o segundo enunciado implica o primeiro. De fato, seja
Rti, yu uma qualquer relação entre um elemento genérico i P I e um elemento
genérico y P C, que goze da seguinte propriedade P: “qualquer que seja i P I,
existe pelo menos um y P C tal que Rti, yu”. Designando por Xi o conjunto
dos y P C tais que Rti, yu, teremos, em virtude da propriedade P, Xi ‰ H
ś
qualquer que seja i P I; então, pelo segundo enunciado, temos iPI Xi ‰ H,
isto é, existe pelo menos uma aplicação f de I em C tal que, qualquer que seja
i P I, fpiq P Xi , ou seja, Rti, fpiqu, para todo i P I. Em resumo, admitindo
o segundo enunciado, a propriedade P da relação R tem por conseqüência:
“existe uma aplicação f de I em C tal que, qualquer que seja i P I, Rti, fpiqu”,
o que demonstra nossa afirmação.
3. Voltando ao teorema de Zorn, os termos maximal e indutivo que intervêem no seu enunciado e cujos significados daremos a seguir encontram-se
no já citado livro de N. Bourbaki (Théorie des Ensembles), assim, como todos os conceitos e algumas notações que utilizamos aqui. Vejamos, então, a
definição de
4. Elemento maximal (e elemento minimal). Seja E um conjunto ordenado
por uma relação de ordem que se escreve x ě y (x, y P E). Diz-se que um
elemento x de um subconjunto X de E é um elemento maximal (minimal) de
X se não existe, em X, nenhum elemento z tal que z ą x (respect. z ă x).
4Designamos pelo símbolo H, o conjunto vazio.
TEOREMA DE ZORN
3
EXEMPLOS:
pe1 q. Seja E o conjunto dos pontos de um plano referidos a um sistema de
coordenadas cartesianas ortogonais e estabeleçamos entre os elementos de E
a seguinte relação de ordem:
P ě P 1 (P de coordenadas ξ e η,
P 1 de coordenadas ξ 1 e η 1 ), quando,
na relação de ordem habitual entre
os números reais se tem:
ξ ě ξ1
e
p0, 1q
η ě η 1.
Com isto, vê-se facilmente que,
p0, 0q p1, 0q
por exemplo, o conjunto A dos pontos do triângulo retângulo de vértiFIGURA 1.
ces, digamos: p0, 0q p1, 0q e p0, 1q
(fig. 1), tem, para elementos maximais, todos os pontos da hipotenusa.
pe2 q. Seja F o conjunto de todas as partes do espaço ordinário E, isto é,
F “ P pEq 5.
Se entre os elementos de P pEq (que são partes de E) estabelecermos a
seguinte relação de ordem
X ě Y pX P P pEq , Y P P pEqq ,
quando X Ą Y (isto é, quando contém Y) diremos que P pEq é um conjunto
ordenado pela relação de inclusão. Posto isto, seja F 1 o conjunto das esferas
e semi-espaços de E cujos contornos passam pela origem; cada um de tais
semi-espaços é um elemento maximal de F, como se vê facilmente.
Pode acontecer que um conjunto ordenado não possua elemento maximal
(ou minimal). Assim, neste segundo exemplo, se retirarmos de F 1 os semiespaços a que nos referimos, obteremos um conjunto F 2 que não possui
nenhum elemento maximal. O conjunto dos subconjuntos infinitos enumeráveis de um conjunto dado, não enumerável, não tem nenhum elemento
maximal, nem minimal.
5. Conjunto ordenado indutivo. Para a definição de conjunto ordenado
indutivo são necessárias mais duas noções: a de extremo superior de um
conjunto ordenado e a de conjunto totalmente ordenado.
5Designaremos sistematicamente por P pEq o conjunto das partes de um conjunto E
qualquer.
4
EDISON FARAH
Extremo superior. Seja X uma parte de um conjunto ordenado E. Dizemos
que um elemento s P E é extremo superior de X, e escrevemos s “ sup pXq,
quando:
1º) Qualquer que seja x P E tem-se
s ě x;
2º) Se s 1 P E é tal que, qualquer que seja x P X,
s 1 ě x,
deve-se ter, necessariamente, s 1 ě s.
NOTA. Se na definição acima substituirmos o sinal ě por ď, teremos a definição de extremo inferior, isto é, o elemento s será o extremo inferior do
conjunto X.
OBSERVAÇÃO. Decorre, da definição, que se um conjunto X admite um extremo superior (interior) s, este é único. Se s “ sup pXq (inf .pXq), e s P X s se
diz máximo (respect. mínimo) de X.
EXEMPLOS:
pe3 q. Seja T o conjunto de todas as esferas de centro na origem e raios
não maiores que 1, do espaço ordinário E. O conjunto T que é uma parte
do conjunto ordenado por inclusão P pEq admite, para extremo superior, a
esfera de centro na origem e raio 1. Como esta esfera pertence a T ela é o
elemento máximo de T .
pe4 q. O conjunto A, considerado no exemplo (e1 ), admite para extremo
superior o ponto Q ” p1, 1q (fig. 4). A origem é o extremo interior de A e é
o elemento mínimo deste conjunto.
Um conjunto ordenado pode não
admitir extremo superior (inferior).
Assim, por exemplo, considerandop0, 1q
se o conjunto R dos números raciQ ” p1, 1q
onais (ordenado pela relação de ordem habitual), os números de R cujos quadrados são menores que 2
p0, 0q p1, 0q
formam um conjunto X que não admite extremo superior.
FIGURA 2.
Conjunto totalmente ordenado.
Seja E um conjunto ordenado pela
relação x ě y. Um subconjunto X de E se diz totalmente ordenado se, quaisquer que sejam x e y pertencentes a X, se tenha: ou x ě y, ou x ď y.
TEOREMA DE ZORN
5
Em outras palavras, X é totalmente ordenado quando uma das três relações:
x ą y, x “ y e x ă y é sempre verificada, e, a verificação de uma delas exclui
a de outras duas.
EXEMPLO:
pe5 q. No exemplo (e1 ) o conjunto X dos pontos da bissetriz do primeiro
quadrante é totalmente ordenado; o conjunto E dos pontos do plano não o
é.
Vejamos, enfim, a definição de
Conjunto ordenado indutivo. Um conjunto ordenado E se diz indutivo
quando todo subconjunto de E, totalmente ordenado, admite um extremo
superior.
EXEMPLO:
pe6 q. O conjunto F dos subgrupos de um grupo G (P pGq ordenado pela
relação de inclusão) é indutivo. Com efeito, se F 1 é uma parte qualquer de
F, totalmente ordenada, a reunião dos subgrupos de F 1 (reunião esta, que é,
como facilmente se vê, um subgrupo de G) é o extremo superior de F.
Um exemplo de conjunto ordenado não indutivo é o conjunto ordenado,
E, citado no exemplo (e1 ). De fato, o conjunto dos pontos da bissetriz do 1.º
quadrante é totalmente ordenado e não admite extremo superior.
6. Passemos agora, à demonstração do teorema de Zorn do qual um dos
enunciados é o seguinte:
Todo conjunto ordenado indutivo, E, possui pelo menos um elemento maximal.
A demonstração deste teorema baseia-se num lema fundamental, que chamaremos de L, e no axioma de Zermelo. A prova do lema L cujo enunciado
é:
Seja E um conjunto ordenado indutivo. Se, então, f é uma aplicação de E
em E tal que, para todo x P E, fpxq ě x, existe pelo menos um x P E tal que
fpxq “ x,
independe, como veremos, do axioma de Zermelo.
7. Vejamos como se conclui o teorema de Zorn, uma vez admitidos o
lema L e o axioma da escolha. Para isso, a cada x P E façamos corresponder
o conjunto Hx definido da seguinte maneira:
Hx “ tyuyąx py P Eq, se existe y P E tal que y ą x;
6
EDISON FARAH
Hx “ txu se não existe y P E tal que y ą x.6
Como, qualquer que seja x P E, Hx ‰ H, podemos afirmar, em virtude
do axioma de Zermelo, a existência de uma aplicação f de E em E, tal que,
qualquer que seja x P E, fpxq P Hx , o que equivale a dizer que fpxq ě x,
qualquer que seja x P E. Portanto, do lema L segue-se que existe em E pelo
menos um elemento x “ b tal que fpbq “ b. Este elemento, b, é maximal,
pois, por um lado temos fpbq P Hb , e, por outro, fpbq “ b, donde Hb “ tbu,
o que nos mostra a inexistência de um elemento y P E tal que y ą b; portanto
b é, efetivamente, um elemento maximal de E, ficando, assim, demonstrado
o teorema de Zorn.
8. Demonstração do lema L. Afim de provar o lema L demonstraremos,
primeiramente, três lemas auxiliares que chamaremos de l1 , l2 e l3 ; para isso
vamos utilizar certas definições que serão introduzidas no número seguinte.
9. Seja f uma aplicação de E em E, tal que fpxq ě x, qualquer que seja
x P E; fixemos um elemento a de E e designemos por A a família dos subconjuntos X de E que gozam das três seguintes propriedades:
pP1 q. a P X;
pP2 q. fpXq Ă X, isto é, se x P X, fpxq P X;
pP3 q. Se T Ă X e T é totalmente ordenado, sup pT q P X.
A família A não é vazia, pois o conjunto E, por exemplo, goza das três
propriedades citadas. Por outro lado, a intersecção de conjuntos de A pertence, evidentemente, a essa família; em particular a intersecção de todos os
conjuntos de A pertence a A e é o menor conjunto de A. Designemos por A
essa intersecção, isto é, ponhamos
č
A“
X
XPA
e introduzamos os conjuntos Ix e Sx (x P A) definidos da seguinte maneira:
Ix “ conjunto dos y P A tais que y ď x;
Sx “ conjunto dos y P A tais que y ě x.
Posto isto, se designarmos por B o conjunto dos elementos x P A que
gozam da seguinte propriedade:
“y P Ix implica: ou y “ x ou fpyq ď x",
6Com o símbolo tyu
yąx designamos o conjunto de todos os y de E tais que y ą x. O
símbolo txu designa o conjunto que só contém o elemento x.
TEOREMA DE ZORN
7
resultará o seguinte
10. LEMA l1 . Se x é um elemento qualquer de B 7 tem-se:
A “ Ix Y Sfpxq .
Demonstração. Provemos primeiramente que qualquer que seja x P B, a P
Ix . Seja Z o conjunto dos elementos z P E tais que z ě a e mostremos que
Z P A. De fato, Z goza da propriedade (P1 ), o que é imediato. Quanto à
propriedade (P2 ) podemos afirmar o mesmo, pois
fpzq ě z ě a, donde fpzq P Z.
O conjunto Z também goza da propriedade (P3 ), pois se W é totalmente
ordenado e W Ă Z, temos: sup pWq ě a, donde sup pWq P Z.
Portanto, Z P A, donde A Ă Z, o que nos permite afirmar que se x P A,
x ě a,8 isto é, a P Ix qualquer que seja x P B, pois B Ă A.
Ponhamos agora
X 1 “ Ix Y Sfpxq px P Bq
e mostremos que X 1 P A. A propriedade (P1 ) é satisfeita por X 1 , pois, como
mostramos há pouco, a P Ix , qualquer que seja x P B, donde a P X 1 .
O conjunto X 1 também satisfaz (P2 ). de fato, se y P X 1 , dois casos podem
dar-se:
1º) y P Ix ; 2º) y P Sfpxq .
No primeiro caso, ou y “ x, ou fpyq ď x (definição de B); se y “ x, teremos
fpyq “ fpxq P Sfpxq , donde fpyq P X 1 ; se y ă x, fpyq ď x, donde fpyq P Ix , e,
portanto, fpyq P X 1 . Considerando, agora, o segundo caso, isto é, y P Sfpxq ,
teremos, por ser fpyq ě y ě fpxq, fpyq P Sfpxq , donde fpyq P X 1 . O conjunto
X 1 goza, pois, da propriedade (P2 ).
Vejamos a propriedade (P3 ). Para isso mostraremos primeiramente que se
T é um conjunto totalmente ordenado, contido em Ix , resulta: sup pT q P Ix .
Com efeito, qualquer que seja t P T devemos ter t P Ix , donde t ď x.
Portanto, pela definição de extremo superior, segue-se que sup pT q ď x, donde
sup pT q P Ix . Se, agora, T Ă X 1 , ou será T Ă Ix , ou existirá pelo menos um
t P T tal que t P Sfpxq , isto é, t ě fpxq. Se T Ă Ix , teremos, conforme notamos
há pouco, sup pT q P Ix , donde sup pT q P X 1 ; suponhamos, então, que existe
um t P T tal que t ě fpxq; como sup pT q P A (pois A Ă X 1 ), segue-se que
sup pT q P Sfpxq , donde sup pT q P X 1 , ficando, assim, verificada a propriedade
(P3 ).
7O conjunto B é, como mostraremos a seguir, não vazio.
8Isto equivale a dizer que I “ tau, o que, por sua vez, prova que B não é vazio, pois
a
a P B.
8
EDISON FARAH
Portanto X 1 P A. Como A é o menor dos conjuntos que gozam das três
propriedades (P1 ), (P2 ), (P3 ), e, por outro lado, X 1 Ă A, segue-se que X 1 “ A,
isto é,
A “ Ix Y Sfpxq px P Bq.
11. LEMA l2 . Seja T um subconjunto de B, totalmente ordenado. Designando, então, por s o extremo superior de T , tem-se
´ď ¯
(1)
Ix “
Ix Y tsu.
tPT
Demonstração. Temos
(2)
Is Ą
´ď
¯
Ix Y tsu,
tPT
pois, se y pertence ao segundo membro de (2), ou y “ s (e, neste caso, y P Is ),
Ť
ou y P tPT It , donde existirá um t P T tal que y ď t; mas y ď t ď s (pois
s “ sup pT q) e, como t P T Ă B Ă A, teremos, também, y P Is . Seguem-se,
portanto, a relação (2).
Por outro lado, se y P Is , isto é, y P A e y ď s, y pertencerá ao segundo
membro de (2). Com efeito, se y “ s é imediato; se, então, y ă s, existe um
t 1 P T tal que t 1 ě y, pois, do contrário, isto é, se y R It qualquer que fosse
t P T , resultaria, em virtude da igualdade
A “ It Y Sfptq
pt P T Ă Bq,
y ě fptq ě t (t qualquer de T ), donde y ě s, o que contradiz a hipótese
y ă s. Fica, pois demonstrada a inclusão do primeiro membro de (2) no
segundo membro da mesma relação, resultando, disso, a igualdade (1), como
afirma o lema l2 .
12. LEMA l3 . Enunciado. “A “ B”.
Demonstração. Bastará provar que B P A (pois B Ă A e A é o mínimo de
A), isto é, que B goza das três propriedades (P1 ), (P2 ) e (P3 ). O conjunto B
goza da propriedade (P1 ), pois a P B (n. 10, chamada 8). A propriedade (P2 )
(“x P B implica fpxq P B”) ficará verificada se provarmos que y P If pxq tem
por conseqüência y “ fpxq ou fpyq ď fpxq, onde x P B. Ora, da igualdade
A “ Ix Y Sfpxq
px P Bq
(n.º 10, lema l1 ) concluímos que, se y P A e y ď fpxq, devemos ter y ď x
ou y “ fpxq. Se y ď x, teremos, por ser x P B, ou y “ x, ou fpyq ď x; para
y “ x será fpyq “ fpxq, e, para fpyq ď x, resulta fpyq ď fpxq, pois fpxq ě x.
Portanto, se y ď fpxq, isto é, y P Ifpxq , ou será y “ fpxq ou fpyq ď fpxq, o que
prova a pertinência fpxq P B, seguindo-se, pois, a propriedade (P2 ).
TEOREMA DE ZORN
9
Vejamos a propriedade (P3 ) (“Se T é totalmente ordenado e T Ă B, s “
sup pT q P B”). Ora, se T possui elemento máximo a verificação de (P3 ) é
imediata. Suponhamos, então, que T não tenha elemento máximo. Devemos
provar que s P B, isto é, que se y P Is , ou temos y “ s, ou fpyq ď s. Ora, em
Ť
virtude do lema anterior, o fato de que y P Is implica y “ s ou y P tPT It .
Se y “ s a condição é satisfeita. Suponhamos, então, que y ‰ s, isto é, que
Ť
y P tPT It . Neste caso haverá um t P T tal que y ď t. Por outro lado,
como T não possui elemento máximo haverá um t 1 P T tal que t 1 ą t, donde
y ă t 1 . Então y P It , donde, por ser t 1 P B e devendo excluir-se o caso em
que y “ t 1 , vem fpyq ď t 1 . Mas t 1 ă s, portanto fpyq ă s. Em resumo, se
y P Is , ou y “ s ou fpyq ă s, o que permite afirmar que s P B, isto é, que B
goza, também, da propriedade (P3 ).
Portanto, B P A, donde, segundo o que observamos no princípio deste
número,
B “ A,
c.q.d.
13. LEMA L. Existe um elemento b P E tal que fpbq “ b.
Demonstração. Provemos, em primeiro lugar, que A é totalmente ordenado.
Sejam, com efeito, x e y dois elementos quaisquer de A e, portanto, de B,
pois B “ A. Temos, então,
A “ Ix Y Sfpxq .
Como y P A, ou será y P Ix , ou y P Sfpxq , isto é, ou y ď x ou y ě fpxq ě x.
Portanto, A é totalmente ordenado.
Seja, então, b “ sup pAq. Como A P A, teremos b P A [prop. (P3 )], pois
A é um conjunto totalmente ordenado contido no próprio A. Da relação
b P A segue-se [prop. (P2 )] que fpbq P A. Ora, por ser b “ sup pAq temos
b ě fpbq, e, pela definição f, fpbq ě b; portanto, fpbq “ b, ficando, enfim,
demonstrado o lema L. Pelo que observamos no n.º 7, segue-se o teorema de
Zorn.
OUTRAS
FORMULAÇÕES DO
TEOREMA
DE
ZORN
14. Seja E um conjunto qualquer e suponhamos que P pEq esteja ordenado
pela relação de inclusão. O teorema de Zorn pode, então, enunciar-se do
seguinte modo:
pE2 q. Se F é uma família de subconjuntos de E, tal que: a reunião dos
conjuntos de toda subfamília totalmente ordenada, F 1 , de F, pertence a F,
10
EDISON FARAH
existe, nesta família, pelo menos um conjunto maximal M (isto é, um conjunto que não é parte própria de nenhum subconjunto de E pertencente a F).
Com efeito, dizer que a reunião dos conjuntos de toda subfamília totalmente ordenada F 1 Ă F pertence a F equivale a dizer que F 1 admite, em F,
um extremo superior. Em outras palavras: a família F (ordenada pela relação
de inclusão) é indutiva, e, portanto, se lhe pode aplicar o teorema de Zorn
com o enunciado (E2 ).
15. Uma outra formulação do mesmo teorema é a seguinte:
pE3 q. Seja P uma propriedade comum a certos subconjuntos finitos de
um conjunto E. Existe, em E, pelo menos um subconjunto maximal M tal
que toda parte finita de M goza da propriedade P (M é, neste caso, um
subconjunto tal que, não existe, em E, nenhum subconjunto A, cujas partes
finitas gozem da propriedade P, do qual M seja um subconjunto próprio).
Com efeito, seja F a família dos subconjuntos C de E tais que toda parte
finita de cada conjunto C P F goze da propriedade P e seja F 1 uma subfamília qualquer de F, totalmente ordenada (a relação de ordem em F é a
de inclusão). A reunião U dos conjuntos de F 1 pertence a F, pois, dada
uma parte qualquer finita B de U e designando por a1 , a2 , . . . an os elementos de B, existirão n conjuntos C1 , C2 , . . . Cn , todos da família F 1 , tais que
ai P Ci (i “ 1, 2, . . . n); como F 2 é totalmente ordenada, um dos conjuntos
Ci (i “ 1, 2, . . . n), digamos, Ck (1 ď k ď n) conterá cada um dos Ci , donde
Ck Ą B, o que nos permite afirmar que B goza da propriedade P e, portanto,
U P F. A família F é, pois, segundo observação análoga à que fizemos para o
enunciado (E2 ), indutiva, e, por conseguinte, podemos aplicar-lhe o teorema
de Zorn conforme o enunciado (E3 ).
APLICAÇÕES
16. Uma das aplicações do teorema de Zorn, que nos foi sugerida pelo
professor J. Dieudonné, é a seguinte:
1. Mostrar que todo conjunto infinito, E, é equipotente ao conjunto EˆE.
Para prová-lo admitiremos o seguinte lema (cuja demonstração se obtém,
também, utilizando-se o teorema de Zorn):
(a) Se A e B são dois conjuntos infinitos, equipotentes a um conjunto C e
sem elementos comuns, a reunião A Y B é equipotente a C.
Posto isto, indicando a relação de equipotência entre dois conjuntos C e
D pelo símbolo C „ D (a negação de C „ D indicaremos por C  D),
TEOREMA DE ZORN
11
consideremos a família F dos subconjuntos A de E tais que
A „ A ˆ A 9.
Ora, a cada conjunto A de F corresponde uma aplicação biunívoca fA
de A ˆ A sobre A. Seja G o conjunto dessas aplicações e ordenemo-lo por
prolongamento, isto é,
fA ě fB
se A Ą B (A P F, B P F) e, se x P B, fB pxq “ fA pxq.
Seja, agora, G 1 , uma qualquer subfamília de G, totalmente ordenada (à
qual corresponderá a subfamília F 1 , de F, que,certamente, será, também,
totalmente ordenada pela relação de inclusão), e mostremos que o extremo
Ť
superior de G 1 é uma aplicação biunívoca do conjunto S “ APF 1 pA ˆ Aq “
`Ť
˘ `Ť
˘
Ť
1
APF 1 A ˆ
APF 1 A , sobre o conjunto S “
APF 1 A. Com efeito,
ponhamos, para cada x P S,
`
˘
fpxq “ fM pxq
x P M ˆ M, M P F 1 .
O segundo membro desta igualdade não depende de M (desde que x P
M ˆM), pois, sendo G 1 totalmente ordenado, temos, quaisquer que sejam M
e M 1 de F 1 , fM ě fM 1 , ou fM ď fM 1 , donde, em qualquer caso, se x P MˆM
e x P M 1 ˆM 1 , teremos fM pxq “ fM 1 pxq. Portanto, f é uma aplicação de S em
S 1 . Se, agora, y e y 1 (y ‰ y 1 ) são dois elementos quaisquer de S 1 existirá, por
ser F 1 totalmente ordenado, um conjunto M de F 1 contendo y e y 1 , donde
y “ fM pxq e y 1 “ fM px 1 q (x e x 1 pertencentes a M ˆ M) e, portanto, x ‰ x 1 ,
pois fM é biunívoca. Mas fM pxq “ fpxq e fM px 1 q “ fpx 1 q (x e x 1 pertencentes
a M ˆ M Ă S), portanto f é uma aplicação biunívoca de S “ S 1 ˆ S 1 sobre
S 1 ˆ E, donde f P G. Por outro lado, f é o extremo superior de G, pois S 1 é o
extremo superior de F 1 .
Portanto, pelo teorema de Zorn, existe, em G, uma aplicação maximal f˚
à qual corresponde o conjunto A˚ de F, isto é, f˚ é uma aplicação biunívoca
de A˚ ˆ A˚ sobre A˚ , ou ainda:
A˚ „ A˚ ˆ A˚ .
Mostremos que A˚ „ E. De fato, se A˚  E existiria, certamente, no
complemento CpA˚ q de A˚ um conjunto infinito A 1 tal que A˚ „ A 1 . 10
9Existem subconjuntos de E gozando dessa propriedade. Basta, por exemplo, que A seja
enumerável.
10Com efeito, A˚ não tem potência superior à de CpA˚ q, pois, do contrário, A˚ teria,
como se vê facilmente pelo lema (a), potência superior a E, o que é absurdo.
12
EDISON FARAH
Pondo, então
`
˘ `
˘
H “ A˚ Y A 1 ˆ A˚ Y A 1
`
˘‰ “`
˘ `
˘‰
“
“ pA˚ ˆ A˚ q Y A˚ ˆ A 1 Y A 1 ˆ A˚ Y A 1 ˆ A 1
e notando que os conjuntos (infinitos) A˚ ˆA 1 , A 1 ˆA˚ , A 1 ˆA 1 não possuem,
dois a dois, elementos comuns e são equipotentes a A˚ ˆ A˚ „ A˚ , viria, em
conseqüência do lema (a) aplicado duas vezes:
`
˘ `
˘ `
˘
H1 “ A˚ ˆ A 1 Y A 1 ˆ A˚ Y A 1 ˆ A 1 „ A˚ „ A 1 .
Portanto, existe uma aplicação biunívoca f1 de H1 sobre A 1 . Seja, então, f̄
aplicação de H “ pA˚ ˆ A˚ q Y H1 sobre A˚ Y A 1 , definida do seguinte modo:
f̄pxq “ f˚ pxq se x P A˚ ˆ A˚
f̄pxq “ f1 pxq se x P H1 .
Então f̄ será uma aplicação biunívoca de
`
˘ `
˘
H “ A˚ Y A 1 ˆ A˚ Y A 1 sobre A˚ Y A 1
e f̄ ą f˚ , o que é absurdo, pois f˚ é maximal.
Portanto devemos ter:
A˚ „ E.
Desta relação e de A˚ „ A˚ ˆ A˚ segue-se que
E „ E ˆ E,
como queríamos demonstrar.
17. Vejamos outra aplicação do teorema de Zorn.
Num espaço de Hilbert H (de caráter enumerável ou não) um sistema
ortonormal S se diz completo quando o conjunto C de todas as combinações
lineares dos elementos de S é totalmente denso em H (isto é, todo conjunto
aberto de H contém pelo menos um elemento de C). Demonstra-se que a
definição de sistema ortonormal completo como demos acima é equivalente
à de sistema ortonormal maximal, isto é, um sistema ortonormal que não é
subconjunto próprio de nenhum sistema ortonormal de H.
O teorema de Zorn (enunciado (E4 )) nos permite afirmar que:
Num espaço de Hilbert H qualquer existe, sempre, pelo menos um sistema
ortonormal completo (isto é, maximal).
Basta, com efeito, considerar os subconjuntos finitos de H, tais que cada
um deles seja um sistema ortonormal. A propriedade P a que nos aludimos
no enunciado (E3 ), corresponde, aqui, à ortonormalidade.
TEOREMA DE ZORN
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Outras aplicações do teorema de Zorn o leitor encontrará, frequentemente, na álgebra (por exemplo, na demonstração da existência de ideal
maximal num anel com elemento unitário 11; de corpo real maximal entre
um corpo real dado e uma qualquer extensão algébrica desse corpo 12. No
livro “CONVERGENCE AND UNIFORMITY IN TOPOLOGY”, de John W. Tukey, o autor sugere várias aplicações do referido teorema.
İİİİİİİİİİ
11Ver, por exemplo, “ÉLÉMENTS DE MATHÉMATIQUE”, par N. Bourbaki (Livre II, Algè-
bre) pg. 128.
12Encontra-se, por exemplo, em “A remark on method in transfinite algebra” (BULLETIN
OF THE A MERICAN M ATHEMATICAL S OCIETY – Volume XLI, Number 10 – October, 1935),
by Max Zorn.