do mito da geometria euclidiana ao ensino das

X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
DO MITO DA GEOMETRIA EUCLIDIANA AO ENSINO DAS GEOMETRIAS
NÃO EUCLIDIANAS - A EXPERIÊNCIA NO IFFLUMINENSE CAMPUS
CAMPOS-CENTRO
Mylane dos Santos Barreto
Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Cajazeiras - FAFIC
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Fluminense Campus Campos-Centro
[email protected]
Salvador Tavares
Universidade Santa Úrsula - USU
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Fluminense Campus Campos-Centro
[email protected]
Resumo: Das tentativas frustradas de provar que o quinto postulado de Euclides era um
teorema, surgiram as Geometrias Não Euclidianas. Com os quatro primeiros postulados de
Euclides e a negação do quinto, surgiram outras geometrias cujos postulados são possíveis
em modelos planos que são tão consistentes quanto o da Geometria Euclidiana. Neste
trabalho são apresentados os modelos e postulados da Geometria Elíptica e da Geometria
Hiperbólica. Além disso, é discutido o ensino dessas geometrias.
Palavras-chave: Geometria Euclidiana; Quinto postulado de Euclides; Ensino e
Aprendizagem de Geometrias Não Euclidianas.
ENSINO DE GEOMETRIAS
Um dos tópicos de discussão da atualidade é a reformulação do ensino no Brasil.
As Geometrias Não Euclidianas formam um ramo da matemática importante do ponto de
vista histórico e educacional. Se os menos otimistas acreditam que não é possível a
inclusão do ensino das Geometrias Não Euclidianas na Educação Básica, pelo menos ela
deveria ser apresentada a todos os professores em formação. Porém, isso não ocorre na
realidade.
Usiskin (1994, p. 25) já alertava que “muitos professores novos nunca estudaram
geometria tridimensional, talvez nunca tenham tomado conhecimento de uma Geometria
Não Euclidiana nem lidado com transformações ou vetores”.
Uma pesquisa foi elaborada no ano de 2005, como parte integrante da monografia
de conclusão do curso de Licenciatura em Matemática do CEFET Campos intitulada “Do
Mito da Geometria Euclidiana ao Ensino das Geometrias Não Euclidianas” (BARRETO,
2005).
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Relato de Experiência
1
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
A pesquisa foi realizada em sites de diversas Instituições de Ensino Superior
brasileiras, a fim de verificar o estado da arte do ensino das Geometrias Não Euclidianas
nos cursos de Licenciatura em Matemática. De 43 Instituições pesquisadas, somente 5
abordavam conceitos de Geometrias Não Euclidianas nas suas matrizes curriculares,
aproximadamente 12%.
Tal pesquisa foi refeita em fevereiro de 2010. Das 227 Instituições pesquisadas, 61
não disponibilizavam, no site oficial, a grade curricular do curso de Licenciatura em
Matemática. Das 166 Instituições restantes apenas 12 apresentavam, na matriz curricular,
alguma disciplina cujo título evidencia o estudo de Geometrias Não Euclidianas, 06 com
disciplinas obrigatórias e 06 com disciplinas optativas ou eletivas. Aproximadamente 7%
das 166 Instituições formam professores que sabem da existência de outras geometrias
além da euclidiana.
Os dados sugerem a omissão de disciplinas que abordem tópicos de Geometrias
Não Euclidianas em Cursos de Licenciatura em Matemática.
COMO SURGIRAM AS GEOMETRIAS NÃO EUCLIDIANAS
As Geometrias Não Euclidianas surgiram das tentativas frustradas de provar que o
quinto postulado de Euclides era um teorema demonstrado a partir dos quatro postulados
anteriores, e não um postulado.
Euclides viveu, provavelmente, de 330-260 a.C., nasceu na Síria, estudou na escola
platônica de Atenas e ensinou matemática no Museu de Alexandria. Foi um dos primeiros
geômetras e é reconhecido como um dos matemáticos mais importantes de todos os
tempos.
A obra de Euclides, denominada Elementos, é um conjunto de 13 livros escritos
entre os anos de 330 e 320 a.C. sendo considerada padrão para a matemática durante mais
de 2000 anos e só superada, em número de publicações, pela Bíblia. Poucos dos teoremas
demonstrados lá são obra sua, se é que existe algum. O verdadeiro mérito de Euclides está
na proposta de ordenação da Geometria de seu tempo em um sistema dedutivo.
Para estabelecer uma afirmação num sistema dedutivo deve-se mostrar que essa
afirmação é uma conseqüência lógica necessária de algumas afirmações previamente
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Relato de Experiência
2
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
estabelecidas. Assim, as primeiras afirmações são aceitas sem demonstração e chamadas,
nos dias atuais, de postulados ou axiomas. Desses axiomas decorrem as demais afirmações.
Euclides definiu como axiomas as afirmações aceitas em todas as ciências e como
postulados as afirmações de natureza geométrica.
As dez afirmações classificadas como postulados e axiomas são os pilares para a
obra de Euclides, pois as 465 proposições apresentadas nos Elementos são baseadas nestas
afirmações.
AXIOMAS
POSTULADOS
A1 - Coisas que são iguais à mesma coisa P1 - Pode-se traçar uma linha reta de um ponto
também são iguais entre si.
a outro ponto qualquer.
A2 - Se iguais são somados a iguais, então os P2 - Pode-se prolongar uma linha reta
todos são iguais.
indefinidamente a partir de uma reta finita.
A3 - Se iguais são subtraídos a iguais, então P3 - Pode-se traçar um círculo com centro e
os restos são iguais.
raio dados.
A4 - Coisas que coincidem entre si são iguais P4 - Todos os ângulos retos são iguais.
entre si.
P5 - Se uma linha reta encontra duas outras
A5 - O todo é maior do que a parte.
retas e com elas formam, de um mesmo lado,
ângulos internos em que a soma é menor que
dois ângulos retos, então, essas duas retas
encontrar-se-ão no lado em que formam
ângulos cuja soma é menor que dois ângulos
retos.
O quinto postulado, chamado de postulado das paralelas, foi o ponto culminante do
surgimento das Geometrias Não Euclidianas. Por esse postulado não ser tão evidente como
os quatro anteriores e por se referir a um ponto de intersecção que pode estar a quilômetros
de distância, alguns afirmavam que ele podia ser demonstrado, portanto não seria um
postulado e sim um teorema.
Segundo Boyer (1974, p. 397), em 1829, em uma espécie de jornal chamado
Mensageiro de Kazan, Nicolai Ivanovich Lobatschewsky publicou um artigo chamado
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Relato de Experiência
3
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
Sobre os Princípios de Geometria. Esse ano ficou marcado como o do surgimento das
Geometrias Não Euclidianas. Aproximadamente em 1829, Janos Bolyai chegou à mesma
conclusão a que Lobatschewsky chegara. Em 1851, na sua aula inaugural para admissão
como professor-adjunto na Universidade de Göttingen, Georg Riemann apontou
possibilidades para outras geometrias.
Segundo Boyer (1974, p. 401) o matemático alemão Félix Klein chamou a
Geometria de Lobatschewsky de Geometria Hiperbólica e a Geometria de Riemann de
Geometria Elíptica. Essas são as duas principais Geometrias Não Euclidianas.
Daí, Lobatschewsky, Bolyai e Riemann demonstraram que o quinto postulado de
Euclides se trata de um axioma independente dos outros quatro, supuseram que o postulado
de Euclides não era verdadeiro e substituíram-no por outros axiomas. Foi demonstrado
que, se alguma das Geometrias Não Euclidianas apresentar uma contradição, a própria
Geometria Euclidiana será contraditória.
Essas novas geometrias permitiram às ciências uma série de avanços, entre os quais
a elaboração da Teoria da Relatividade de Einstein, provando que, ao contrário do que
muitos afirmavam, essas teorias tinham aplicações teóricas.
PLANOS E RETAS DAS GEOMETRIAS NÃO EUCLIDIANAS
Na Geometria Elíptica o modelo plano é uma superfície
esférica e as retas são geodésicas dessa superfície (Figura 1).
As geodésicas da superfície esférica são circunferências
cujo centro coincide com o centro da superfície.
Figura 1: Plano e retas elípticos
Fonte: Autores
Na Geometria Hiperbólica o modelo plano é uma
superfície chamada de pseudo-esfera (Figura 2). Essa superfície é
gerada por meio da revolução de uma curva chamada tratriz em torno
do seu eixo horizontal. As retas da Geometria Hiperbólica são
geodésicas da pseudo-esfera.
Figura 2: Pseudo-esfera
Fonte: Autores
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Relato de Experiência
4
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
QUINTO POSTULADO DAS GEOMETRIAS NÃO EUCLIDIANAS
As Geometrias Elíptica e Hiperbólica admitem os quatro primeiros postulados de
Euclides e substituem o quinto por outras afirmações que são válidas nos seus modelos
planos.
Quinto postulado da Geometria Elíptica: Por um
ponto exterior a uma reta não podemos traçar nenhuma
paralela a essa reta (Figura 3).
Todas as retas traçadas irão intersectar-se em dois
pontos distintos, logo não existem retas paralelas.
Comparando a superfície esférica com a superfície
Figura 3: retas não paralelas
Fonte: Autores
terrestre, as retas seriam os meridianos que se intersectam
T
nos pólos.
a
S1
Quinto postulado da Geometria Hiperbólica: Por
P
b
um ponto exterior a uma reta podemos traçar uma
S2
r
infinidade de paralelas a essa reta (Figura 4).
M
F
Sobre a reta r traçamos um segmento MP e FT
perpendicular a r, sendo M e F pontos da reta r. Com a
Figura 4: retas paralelas
Fonte: Autores
distância MF e centro em P traçamos um arco que
intersectará o segmento FT nos pontos S1 e S2. Daí, os pontos P e S1 determinam a reta a e
os pontos P e S2 determinam a reta b.
ENSINO DE GEOMETRIAS NÃO EUCLIDIANAS NA LICENCIATURA EM
MATEMÁTICA DO IFFLUMINENSE
A seguir faremos um relato da experiência da disciplina Introdução às Geometrias
Não Euclidianas no curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal de
Educação, Ciência e Tecnologia Fluminense - IFFluminense.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Relato de Experiência
5
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
A disciplina em questão foi incluída na matriz curricular do curso de Licenciatura
em Matemática do IFF no primeiro semestre de 2008 a partir do trabalho dos autores,
sendo a necessidade dessa inclusão reconhecida pelo Colegiado do curso.
A carga horária da disciplina é de 3 horas semanais, ministrada durante um
semestre, perfazendo um total de 60 horas. O objetivo principal é despertar no professor
em formação a descoberta e desenvolvimento das Geometrias Não Euclidianas, bem como
apresentar seus conceitos e postulados.
As Geometrias Não Euclidianas abordadas nas aulas são as duas mais conhecidas, a
Geometria Hiperbólica e a Geometria Elíptica.
As Geometrias Não Euclidianas adotam os quatro primeiros postulados de Euclides
e seu surgimento tem ligação direta com a contestação do quinto postulado de Euclides.
Por isso, nas aulas iniciais os professores em formação são apresentados a um mundo cheio
de histórias e indagações. É importante que conheçam a localização histórica e temporal
dos acontecimentos para compreender as ações que levaram ao surgimento das Geometrias
Não Euclidianas. Assim, cada professor em formação recebe uma apostila que contém um
relato da origem da Geometria Euclidiana, o plano da obra de Euclides, os axiomas e
postulados de Euclides, proposições equivalentes ao quinto postulado, a contribuição de
Saccheri, as tentativas de demonstração do quinto postulado e a história da origem das
Geometrias Não Euclidianas.
A Geometria Elíptica tem como modelo plano a superfície de uma esfera e a
Geometria Hiperbólica a superfície de uma pseudo-esfera. Por considerar que o modelo
plano da Geometria Elíptica tem uma relação mais próxima com os professores em
formação pelo fato de a Terra ter o formato aproximado de uma esfera e por a pseudoesfera ser um sólido pouco conhecido a Geometria Elíptica é a primeira Geometria Não
Euclidiana a ser estudada na disciplina.
Durante as aulas são usados materiais concretos para representar os modelos planos
das duas Geometrias Não Euclidianas abordadas, isso facilita a visualização de
propriedades e características. Para representar o modelo plano da Geometria Esférica são
usadas bolas de isopor. As retas dessas geometrias são representadas na bola de isopor por
linhas, borrachas ou traçadas com caneta hidrocor.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Relato de Experiência
6
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
De posse da apostila que contém a definição do modelo plano, de reta e ponto, os
postulados, conceito de distância entre dois pontos, retas perpendiculares, quadrilátero de
Saccheri, quadrilátero de Lambert, soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo
na Geometria Elíptica os alunos acompanham a explicação de todos esses conceitos através
de projeções com os principais trechos da apostila usando um projetor multimídia.
O software Calques3D, desenvolvido pelo professor Nicolas Van Labeke da
Universidade de Edinburgh na Inglaterra, é um software de geometria dinâmica espacial
gratuito.
As construções feitas com o Calques 3D são dinâmicas e interativas. O usuário
pode deslocar as construções feitas no software sem alterar as suas propriedades, além de
usufruir de vários ângulos de visualização, permitindo assim que o usuário tenha uma
melhor percepção tridimensional.
O software Calques3D é usado no momento da abordagem do conceito de
geodésica para exemplificar circunferências máximas e para deduzir que o comprimento de
arcos de circunferências máximas será a menor distância entre dois pontos da superfície
esférica.
O software Winplot, desenvolvido Professor Richard Parris, da Philips Exeter
Academy, é um software que permite ao usuário a plotagem de gráficos. Tal software
apresenta plataforma bidimensional e tridimensional.
O software Winplot é usado para apresentar modelos de circunferências que não são
consideradas “retas” na Geometria Elíptica e abrir uma discussão sobre a inconsistência da
Geometria Euclidiana na superfície terrestre.
É definido o conceito de polo de uma reta elíptica e retas perpendiculares.
Uma bola de isopor é usada para recriar, no plano elíptico, a demonstração que
prova que os ângulos do topo do quadrilátero de Saccheri são congruentes e obtusos.
A demonstração de que a soma dos ângulos internos de um triângulo elíptico é
maior do que 180º apresentada na apostila e auxiliada com a construção do triângulo na
plataforma do software Calques3D. Uma destas construções apresenta dois pontos C e D
sobre uma superfície esférica e uma geodésica que passa por esses dois pontos com polos
nos pontos A e A’. São traçadas outras duas geodésicas, uma que passa pelos pontos A e C
e outra por A e D. Por passarem pelos polos da reta CD essas duas últimas retas são
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Relato de Experiência
7
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
perpendiculares a ela. Assim, é formado um triângulo elíptico ACD com dois ângulos retos
e o terceiro ângulo podendo variar entre 0º e 360º.
É demonstrado que a menor distância entre dois pontos sobre uma superfície
esférica é dada pelo comprimento do menor arco de uma geodésica que passa por tais
pontos.
São resolvidos exercícios de aplicação que envolvem distância entre cidades,
funcionamento do Sistema de Posicionamento Global (GPS), coordenadas geográficas e
coordenadas cartesianas.
O modelo plano da Geometria Hiperbólica é a superfície de uma pseudo-esfera, que
é gerada pela revolução de uma curva chamada tratriz em torno do seu eixo horizontal.
Utilizando o software Winplot é possível traçar uma tratriz e obter uma pseudoesfera. Além disso, uma pseudo-esfera feita de cerâmica é usada nas aulas para facilitar a
visualização de propriedades e do traçado das geodésicas.
Segundo Coutinho (2001, p. 41), existem dois modelos para representação dos
conceitos da Geometria Hiperbólica no plano euclidiano: um formulado por Henri
Poincaré e outro por Félix Klein. Nestes modelos as retas são semicircunferência
euclidianas ou cordas de uma circunferência euclidiana.
No modelo de Poincaré da Geometria Hiperbólica uma reta horizontal u divide o
plano euclidiano em duas partes: um semiplano “superior” e um semiplano “inferior”. A
reta u não pertence a nenhum dos semiplanos.
Os pontos do plano hiperbólico são pontos do semiplano euclidiano superior
determinados por u.
As retas do plano hiperbólico são as semicircunferências abertas euclidianas com
centros em u e situadas no semiplano superior de u juntas com as semirretas superiores
perpendiculares a u.
O modelo de Klein do plano hiperbólico é um círculo da Geometria Euclidiana,
excluindo a circunferência. As retas deste plano são as cordas do círculo, excluindo suas
extremidades.
Utilizando o software Cabri Géometrè os professores em formação esboçam tais
representações, traçam retas definidas por dois pontos e traçam as possíveis retas paralelas
a uma reta dada.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Relato de Experiência
8
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
Os professores observam que o ângulo de paralelismo é agudo e não é fixo e que a
soma dos ângulos internos de um triângulo é menor do que 180º.
É definido ponto ideal, ultra-ideal e hiperbólico, triângulo ordinário e ômega.
É demonstrado que os ângulos do topo de um quadrilátero de Saccheri são
congruentes e agudos.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
É indiscutível a necessidade de se ensinar Geometrias Não Euclidianas,
principalmente nos cursos de Licenciatura em Matemática. Seria possível um professor de
matemática não saber que existem outras geometrias além da elaborada por Euclides?
Uma sugestão de atividade que pode ser desenvolvida no Ensino Fundamental é
relatada a seguir.
Considerando que a noção de plano da Geometria Euclidiana é construída sobre a
superfície da Terra, que tem a forma de uma esfera achatada nos polos, ao construirmos
duas retas paralelas sobre a superfície de uma laranja, que tem a forma aproximadamente
idêntica à da Terra, teremos a seguinte situação:
Figura 6: Retas euclidianas paralelas na superfície da Terra
Fonte: Autores
Como mostra a sequência de figuras, as retas que são consideradas paralelas na
Geometria Euclidiana, quando construídas numa superfície esférica, encontram-se em dois
pontos distintos e a distância entre elas não é constante em qualquer ponto.
Daí, a Geometria Euclidiana ser inconsistente para esse modelo de superfície.
Os modelos planos são superfícies onde os postulados de dada geometria são
verdadeiros. O modelo plano da Geometria Euclidiana é uma superfície plana, da
Geometria Elíptica é uma superfície esférica e da Geometria Hiperbólica é uma pseudoesfera. A existência desses modelos mostra a independência do quinto postulado de
Euclides, pois neles são válidos os quatro primeiros postulados de Euclides e a negação do
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Relato de Experiência
9
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
quinto. Assim o quinto postulado é totalmente independente dos quatro primeiros e não
pode ser considerado um teorema.
Não podemos considerar uma geometria. Todas são consistentes e válidas nos seus
modelos planos. Devemos conhecê-las para poder utilizar no momento adequado.
REFERÊNCIAS
BARRETO, Mylane dos Santos. Do mito da Geometria Euclidiana ao ensino das
Geometrias Não Euclidianas. Trabalho de Conclusão do Curso de Licenciatura em
Matemática do CEFET-Campos. Campos dos Goytacazes - RJ. 2005.
BOYER, Carl Bernjamin. História da matemática. Tradução: Elza F. Gomide. São Paulo,
Universidade de São Paulo, 1074.
COUTINHO, Lázaro. Convite às Geometrias Não Euclidianas. Rio de Janeiro:
Interciência, 2001.
USISKIN, Zalman. Resolvendo os dilemas permanentes da geometria escolar.
Aprendendo e Ensinando Geometria. Organizadores Mary Montgomery Lindquist, Albert
P. Shulte. Tradução: Higino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1994.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Relato de Experiência
10