TEO 08 - Unisanta

Teo. 8 - Fluxo do vetor campo elétrico - A Lei de
Gauss
S.J.Troise
8.1
Introdução
Quando estudamos o campo elétrico introduzimos o vetor campo elétrico
mostramos que quando gerado por uma carga puntiforme em um ponto P é dado por:
r
Q r
E = K 2u
r
ou,
em módulo
e
r
Q
E = K
r2
onde
r é a distância entre a carga Q que gera o campo e o ponto P onde o vetor campo
elétrico é calculado.
Dissemos também que a constante K
pode ser escrita sob a forma K =
1 e,
4πε o
portanto, o módulo é dado por
r
E =
Q
1
4πε o r2
Equação 8-1
Observemos agora que esta última expressão pode ser escrita
r
Q
E 4πr2 =
εo
Equação 8-2
onde
S = 4πr 2 nada mais é do que a medida da superfície de uma esfera centrada na
carga Q que gera o campo e que passa pelo ponto P no qual o vetor campo elétrico é
calculado.
Figura 8-1
Portanto
r
Q
E.S =
εo
Equação 8-3
Analisando esta equação verificamos que o produto do módulo do vetor campo
elétrico pela superfície esférica fechada que envolve a carga que gera o campo é uma
constante que só depende da medida da carga elétrica Q no interior da superfície e do
meio no qual as cargas se encontram através de sua permissividade
εo
Observemos também que o vetor campo elétrico é sempre normal à superfície
fechada S que envolve a carga. Ao produto da componente normal do cetro campo elétrico
pela área da superfície dá-se o nome de “fluxo” . O fluxo é uma grandeza auxiliar, que
não apresenta significado físico, e que permitirá várias aplicações práticas no cálculo
N.m2
do vetor campo elétrico. A unidade do fluxo, no SI é o
C
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Introdução à Eletricidade
8.2
S.J.Troise
Generalização do conceito de fluxo do vetor campo elétrico
Suponhamos que uma região do espaço seja um campo elétrico e que portanto, em
r
cada um dos seus pontos, exista um vetor campo elétrico E . Nessa região consideremos
r
agora uma pequena superfície dS cujo versor normal seja n . Por definição chama-se
fluxo elementar do vetor campo elétrico à grandeza dφ dada por:
r r
dφ = E ⋅ n.dS
Observemos
que
o
Equação 8-4
r
r
E× n
produto
que
desenvolvido
resulta
r r
r
r
E ⋅ n ⋅ cosα = E ⋅ cosα = En que nada mais é do que a componente normal à superfície
r r
r
do campo elétrico (vide figura). Portanto E ⋅ n ⋅ dS = E n ⋅ dS é o produto da componente
normal do vetor campo elétrico pela superfície que é o mesmo que aparece na Equação
8.1-1.
Suponhamos agora uma superfície extensa
S . Podemos imaginá-la como constituída
de infinitas superfícies infinitamente pequenas dS . Em cada uma delas haverá um fluxo
elementar dφ dado pela Equação 8.2-1. Por definição chama-se fluxo do vetor campo
elétrico à soma dos infinitos fluxos dφ que ocorrem nas infinitas superfícies dS , ou
seja
φ =
∫
dφ =
S
∫
r r
E ⋅ n ⋅ dS
S
Equação 8-5
S for fechada, a integral é escrita
r r
φ = ∫ dφ = ∫ E ⋅ n ⋅ dS
Se em particular a superfície
S
S
Equação 8-6
Observe que esta última expressão é equivalente à Equação 8-1-1 pois a integral
resulta no produto da componente normal do vetor campo elétrico pela medida da área da
superfície que envolve a carga.
8.3
A Lei da Gauss
Lembremos que a Equação 8-3 estabelece que o produto da componente normal do
vetor campo elétrico pela medida da superfície que envolve a carga é igual à carga
contida no interior da superfície dividida pela permissividade do meio. Lembremos
também que esse produto pode ser escrito sob a forma dada pela equação 8.2-1.
Considerando, como no item 8.1, o campo gerado por uma carga puntiforme e uma
superfície esférica envolvendo-a, podemos escrever
Φ =
r
r
∫ E ⋅ ndS
S
=
Q
ε0
Equação 8-7
Este resultado está sendo obtido a partir de uma situação particular. Entretanto
é possível demonstrar-se que qualquer que seja a forma da superfície que envolve a
carga, qualquer que seja a carga no interior dessa superfície, o fluxo através dela é
sempre igual a
Q . Esse resultado é denominado Lei de Gauss
εo
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Introdução à Eletricidade
8.3.1
S.J.Troise
Exercícios
8.3.1.1 ( ) No interior de uma superfície esférica de raio R = 0,1m encontra-se uma carga puntiforme de medida
o fluxo do vetor campo elétrico através da superfície esférica.
Resp:
1,47 ⋅ 10
5
1,3µC . Calcule
N ⋅ m2
C
8.3.1.2 ( ) Se no exercício o raio da superfície esférico for aumentado em 30%, qual o novo valor do fluxo?
Resp:
N ⋅ m2
C
1,47 ⋅ 105
8.3.1.3 ( ) Se no exercício 8.3.1.1 a carga no interior da superfície for reduzida em 40% qual o novo valor do fluxo?
Resp:
8,82 ⋅ 104
N ⋅ m2
C
8.3.1.4 ( ) Usando a lei da Gauss, calcule a intensidade do vetor campo elétrico produzido por uma carga filiforme, suposta
infinita, retilínea e homogênea, de densidade linear de cargas, num ponto P localizado a uma distância s da distribuição.
Resp.
r
E =
λ
2 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ s
8.3.1.5 ( ) Usando a lei da Gauss, calcule a intensidade do vetor campo elétrico produzido por uma carga delgada plana, suposta
infinita e homogênea, de densidade superficial de cargas σ , num ponto P localizado a uma distância s da distribuição.
Resp:
r
E =
σ
2 ⋅ ε0
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