Aula 30 e 31 Esferas e Insrição, Circunscrição e Sólidos de Revolução

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Aula 31 e 32 – mtm B
GEOMETRIA ESPACIAL
Esferas
Definição
Sólido de revolução gerado pela rotação de um semicírculo em
torno de um eixo que contém o diâmetro.
R
Volume
Área
A=4
πr
2
4πr 3
V=
3
Esferas
Secção Plana
Calota Esférica
h
d
R
d1
r
d – distância de corte
Acalota = 2.π.R.h
d1 e d2 – distância polares
R
d2
h
d1
r
d1² = h² + r²
d2² = (d + R)² + r²
Secção plana que passa
pelo centro da esfera é
chamada de círculo
máximo.
d+R
d2
(2R)² = d1² + d2²
Esferas
Secção Plana
Exemplo 1: (UFPR) Um ponto luminoso, está a 2 cm de uma esfera
de raio 6 cm. Calcule 1/π da área iluminada.
Resolução:
6
x
=
8
6
Acalota = 2.π.R.h
8x = 36
6
x6
h
x = 4,5 cm
2
h=6–x
h = 6 – 4,5
h = 1,5 cm
Acalota = 2.π.6.1,5
Acalota = 18π cm²
18π / π = 18
Esferas
Zona Esférica de uma Esfera
R
h
Zona Esférica
Azona = 2.π.R.h
Esferas
Fuso de uma Esfera
Cunha de uma Esfera
α
Área do fuso esférico
360° ------ 4.π.R2
α ------ Afuso
α
Volume da cunha esférica
360° -----α ------
4.π.R3/3
Vcunha
Esferas
Cunha de uma Esfera
Exemplo 2: (CEFET) Dona Maria vende melancias no formato
esférico de raio 15 cm. Ela vai dividir uma melancia em 12 fatias
iguais. Quantos cm² de papel apropriado será utilizado para cobrir
uma fatia, sabendo que serão dadas duas voltas de papel em cada
fatia e que não há sobra de papel?
Resolução:
360°
= 30°
12
12
30°
360° ------ 4.π.152
30° ------ Af
3
12.Af = 4.π.15²
Af = 225.π/3
Af = 75π cm²
Esferas
Cunha de uma Esfera
Exemplo 2: (CEFET) Dona Maria vende melancias no formato
esférico de raio 15 cm. Ela vai dividir uma melancia em 12 fatias
iguais. Quantos cm² de papel apropriado será utilizado para cobrir
uma fatia, sabendo que serão dadas duas voltas de papel em cada
fatia e que não há sobra de papel?
Resolução:
Afatia = AF + Acirc. máx.
Afatia = 75π + π.15²
Af = 75π cm²
30°
Afatia = 75π + 225.π
Afatia = 300π cm²
300π . 2 = 600π cm²
Inscrição e Circunscrição de Sólidos
Desenho
Algo em Comum
Pitágoras
Semelhança
Inscrição e Circunscrição de Sólidos
Cubo e Esfera
Esfera inscrita no cubo ou cubo circunscrito na esfera.
R
a
a = 2R
Inscrição e Circunscrição de Sólidos
Cubo e Esfera
Cubo inscrito na esfera ou esfera circunscrita no cubo.
R
D = a√3
a
a√3 = 2R
Inscrição e Circunscrição de Sólidos
Cubo e Esfera
Exemplo 3: (UFSC) A razão entre o volume e a área total de um
cubo é 2. Calcule 1/3πdo volume da esfera inscrita neste cubo.
Resolução:
Vcubo
=2
Acubo
R
a³
=2
6.a²
a = 12 u.c.
a = 2R
12 = 2R
R = 6 u.c.
a
4πr 3
V=
3
4π6 3
V=
3
4π6 3
V=
3
V = 288
π u.v.
288π
3π
96
Inscrição e Circunscrição de Sólidos
Cilindro e Esfera
Esfera inscrita no cilindro ou cilindro circunscrito na esfera.
R
h
Cilindro equilátero
h = 2R
g = 2R
Inscrição e Circunscrição de Sólidos
Cilindro e Esfera
Cilindro inscrito na esfera ou esfera circunscrita no cilindro.
2R
2r
h
(2R)² = (2r)² + h²
Inscrição e Circunscrição de Sólidos
Cone e Esfera
Esfera inscrita no cone ou cone circunscrito na esfera.
g
h
h-r
r
g
r
r
r
R
R
h-r
r
=
R
g
Inscrição e Circunscrição de Sólidos
Cone e Esfera
Cone inscrito na esfera ou esfera circunscrita no cone.
2R
g
h
g
2R
h
r
r
2R-h
h
r
=
r
2R - h
Inscrição e Circunscrição de Sólidos
Cone e Esfera
Exemplo 4: (ITA) Calcule o raio da esfera inscrita em um cone de
raio 8 e altura 6.
Resolução:
6
10
r
6
6-r
r
6-r
=
8
10
2
10
r
r
8
8
r
10r = 8(6 – r)
10r = 48 – 8r
18r = 48
8
r = 8/3 u.c.
Sólidos de Revolução
Fórmulas dos Padres – Pappus e Guldin
V = 2.π.A.d
A – Área da figura que gira.
d – distância do centro de gravidade ao eixo.
A = 2.π. l .d
l – Soma dos lados que giram.
d – distância do centro de gravidade ao eixo.
Sólidos de Revolução
Fórmulas dos Padres – Pappus e Guldin
Exemplo 5: (UDESC) Tomando como base a figura abaixo, calcule:
a) O volume do sólido quando rotacionado em torno do eixo que
passa por A.
b) A área do sólido quando rotacionado em torno do eixo BC.
c) O volume do sólido quando rotacionado em torno do eixo que
passa somente por B.
C
2 cm
B
6 cm
A
Sólidos de Revolução
Fórmulas dos Padres – Pappus e Guldin
Exemplo 5: a) O volume do sólido quando rotacionado em
torno do eixo que passa por A.
Resolução:
A
6 cm
2.π.6.
V = 48π cm³
Sólidos de Revolução
Fórmulas dos Padres – Pappus e Guldin
Exemplo 5: b) A área do sólido quando rotacionado em torno
do eixo BC.
Resolução:
C
1 x2
2 cm
B
6 cm
x
6
2x
4
A
Sólidos de Revolução
Fórmulas dos Padres – Pappus e Guldin
Exemplo 5: c) O volume do sólido quando rotacionado em
torno do eixo que passa somente por B.
Resolução:
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FIM
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