Aula 30 e 31 Esferas e Insrição, Circunscrição e Sólidos de Revolução
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Aula 31 e 32 – mtm B GEOMETRIA ESPACIAL Esferas Definição Sólido de revolução gerado pela rotação de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro. R Volume Área A=4 πr 2 4πr 3 V= 3 Esferas Secção Plana Calota Esférica h d R d1 r d – distância de corte Acalota = 2.π.R.h d1 e d2 – distância polares R d2 h d1 r d1² = h² + r² d2² = (d + R)² + r² Secção plana que passa pelo centro da esfera é chamada de círculo máximo. d+R d2 (2R)² = d1² + d2² Esferas Secção Plana Exemplo 1: (UFPR) Um ponto luminoso, está a 2 cm de uma esfera de raio 6 cm. Calcule 1/π da área iluminada. Resolução: 6 x = 8 6 Acalota = 2.π.R.h 8x = 36 6 x6 h x = 4,5 cm 2 h=6–x h = 6 – 4,5 h = 1,5 cm Acalota = 2.π.6.1,5 Acalota = 18π cm² 18π / π = 18 Esferas Zona Esférica de uma Esfera R h Zona Esférica Azona = 2.π.R.h Esferas Fuso de uma Esfera Cunha de uma Esfera α Área do fuso esférico 360° ------ 4.π.R2 α ------ Afuso α Volume da cunha esférica 360° -----α ------ 4.π.R3/3 Vcunha Esferas Cunha de uma Esfera Exemplo 2: (CEFET) Dona Maria vende melancias no formato esférico de raio 15 cm. Ela vai dividir uma melancia em 12 fatias iguais. Quantos cm² de papel apropriado será utilizado para cobrir uma fatia, sabendo que serão dadas duas voltas de papel em cada fatia e que não há sobra de papel? Resolução: 360° = 30° 12 12 30° 360° ------ 4.π.152 30° ------ Af 3 12.Af = 4.π.15² Af = 225.π/3 Af = 75π cm² Esferas Cunha de uma Esfera Exemplo 2: (CEFET) Dona Maria vende melancias no formato esférico de raio 15 cm. Ela vai dividir uma melancia em 12 fatias iguais. Quantos cm² de papel apropriado será utilizado para cobrir uma fatia, sabendo que serão dadas duas voltas de papel em cada fatia e que não há sobra de papel? Resolução: Afatia = AF + Acirc. máx. Afatia = 75π + π.15² Af = 75π cm² 30° Afatia = 75π + 225.π Afatia = 300π cm² 300π . 2 = 600π cm² Inscrição e Circunscrição de Sólidos Desenho Algo em Comum Pitágoras Semelhança Inscrição e Circunscrição de Sólidos Cubo e Esfera Esfera inscrita no cubo ou cubo circunscrito na esfera. R a a = 2R Inscrição e Circunscrição de Sólidos Cubo e Esfera Cubo inscrito na esfera ou esfera circunscrita no cubo. R D = a√3 a a√3 = 2R Inscrição e Circunscrição de Sólidos Cubo e Esfera Exemplo 3: (UFSC) A razão entre o volume e a área total de um cubo é 2. Calcule 1/3πdo volume da esfera inscrita neste cubo. Resolução: Vcubo =2 Acubo R a³ =2 6.a² a = 12 u.c. a = 2R 12 = 2R R = 6 u.c. a 4πr 3 V= 3 4π6 3 V= 3 4π6 3 V= 3 V = 288 π u.v. 288π 3π 96 Inscrição e Circunscrição de Sólidos Cilindro e Esfera Esfera inscrita no cilindro ou cilindro circunscrito na esfera. R h Cilindro equilátero h = 2R g = 2R Inscrição e Circunscrição de Sólidos Cilindro e Esfera Cilindro inscrito na esfera ou esfera circunscrita no cilindro. 2R 2r h (2R)² = (2r)² + h² Inscrição e Circunscrição de Sólidos Cone e Esfera Esfera inscrita no cone ou cone circunscrito na esfera. g h h-r r g r r r R R h-r r = R g Inscrição e Circunscrição de Sólidos Cone e Esfera Cone inscrito na esfera ou esfera circunscrita no cone. 2R g h g 2R h r r 2R-h h r = r 2R - h Inscrição e Circunscrição de Sólidos Cone e Esfera Exemplo 4: (ITA) Calcule o raio da esfera inscrita em um cone de raio 8 e altura 6. Resolução: 6 10 r 6 6-r r 6-r = 8 10 2 10 r r 8 8 r 10r = 8(6 – r) 10r = 48 – 8r 18r = 48 8 r = 8/3 u.c. Sólidos de Revolução Fórmulas dos Padres – Pappus e Guldin V = 2.π.A.d A – Área da figura que gira. d – distância do centro de gravidade ao eixo. A = 2.π. l .d l – Soma dos lados que giram. d – distância do centro de gravidade ao eixo. Sólidos de Revolução Fórmulas dos Padres – Pappus e Guldin Exemplo 5: (UDESC) Tomando como base a figura abaixo, calcule: a) O volume do sólido quando rotacionado em torno do eixo que passa por A. b) A área do sólido quando rotacionado em torno do eixo BC. c) O volume do sólido quando rotacionado em torno do eixo que passa somente por B. C 2 cm B 6 cm A Sólidos de Revolução Fórmulas dos Padres – Pappus e Guldin Exemplo 5: a) O volume do sólido quando rotacionado em torno do eixo que passa por A. Resolução: A 6 cm 2.π.6. V = 48π cm³ Sólidos de Revolução Fórmulas dos Padres – Pappus e Guldin Exemplo 5: b) A área do sólido quando rotacionado em torno do eixo BC. Resolução: C 1 x2 2 cm B 6 cm x 6 2x 4 A Sólidos de Revolução Fórmulas dos Padres – Pappus e Guldin Exemplo 5: c) O volume do sólido quando rotacionado em torno do eixo que passa somente por B. Resolução: Aula 31 e 32 – mtm B FIM
