Fundamentos de Física
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Fundamentos de Física José Cunha [email protected] Cinemática de um Ponto Material Movimento Unidimensional Cinemática – é a descrição do movimento sem considerar as suas causas Fundamentos de Física 3 Cinemática Fundamentos de Física 4 Cinemática Fundamentos de Física 5 Cinemática Para descrever o movimento de um corpo é necessário conhecer a posição do corpo em cada instante. Mas, atenção! Quando falamos na posição estamos a considerar a localização do corpo em relação a um outro objecto, ou seja em relação a uma referência. Começamos por simplificar: tartaruga = partícula to t uma partícula é um objecto cuja posição pode ser descrita por um ponto O estudo do movimento rectilíneo simplifica-se ao fazer coincidir um dos eixos do referencial com a direcção do movimento Fundamentos de Física 6 Cinemática Vector Posição: Deslocamento Traduz a mudança de posição de um objecto É Caracterizado por: direcção - da recta suporte do vector sentido - aponta da posição inicial para a posição final módulo - menor distância entre a posição inicial e final to t orige m xo x x x - vector deslocamento = (x -xo) unidade S.I.: metro (m) Fundamentos de Física 7 Cinemática Velocidade Média A velocidade média de uma partícula define-se, no intervalo [t1; t2], como o quociente do espaço percorrido pelo tempo que o levou a percorrer: vmédia deslocamento intervalo de tempo vmédia s t x2 x1 t2 t1 Admitindo que t1 < t2 teremos: Se vmédia > 0 x(t2) > x(t1) O movimento tem o sentido positivo do eixo XX Se vmédia < 0 x(t2) < x(t1) O movimento tem o sentido negativo do eixo XX Fundamentos de Física 8 Fundamentos de Física 9 Exercicios 1: Numa prova um atleta corre 50m com uma velocidade de 10m/s e os 50m seguintes com uma velocidade média de 8m/s. Qual foi a velocidade média nos 100m? 2: Um carro viaja 80km em linha recta. Se nos primeiros 40km a velocidade média é de 80km/h e a viagem demora 1.2 horas, qual foi a velocidade média na segunda parte da viagem? 3: Depois de dirigir um carro numa estrada rectilínea por 8.4km a 70km/h, o carro para por falta de gasolina. Nos 30 minutos seguintes o condutor caminha por mais 2 km ao longo da estrada até chegar ao posto de combustível mais próximo. a) Qual o deslocamento total, desde o inicio da viagem até ao posto de combustível? b) Qual o intervalo de tempo ∆𝑡 entre o início da viagem e o instante em que o condutor chega ao posto de combustível? c) Qual a velocidade média total da viagem? Determine a solução numérica e graficamente. Fundamentos de Física 10 Cinemática Velocidade Instantânea Quanto menores forem os intervalos de tempo considerados, mais detalhada é a informação sobre a velocidade A velocidade instantânea v indica a velocidade, a direcção e o sentido do movimento de um objecto em cada instante. É igual ao valor limite da velocidade média, quando o intervalo de tempo se torna muito pequeno. s ds v lim v lim t 0 t 0 t dt Fundamentos de Física x4 x3 x2 x1 t (s) 0 t1 t2 t3 t4 t5 11 Cinemática Aceleração Instantânea e média Aceleração: taxa de mudança da velocidade no intervalo [t1 ; t2]: 𝒂𝒎é𝒅𝒊𝒂 Aceleração instantânea igual ao declive da linha tangente à função v(t) no instante considerado Fundamentos de Física ∆𝒗 𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 = = ∆𝒕 𝒕𝟐 − 𝒕𝟏 é o valor limite da velocidade média, quando o intervalo de tempo tende para zero. a = lim t 0 então: v t dv d(dx/dt) d2x a= = = 2 dt dt dt 12 Cinemática Fundamentos de Física 13 Cinemática 100 y = 4.84t2 + 0.21t 80 60 y (m) Exemplo: Deixa-se cair uma pedra do cimo de uma torre. Ao longo da parede são colocados vários detectores que permitem registar em que instante a pedra passa por cada detector. 40 20 0 0 1 2 3 4 5 t(s) a) Com os resultados obtidos construiu-se o gráfico da figura. Calcule a velocidade para qualquer instante t. b) Calcule a aceleração instantânea para qualquer instante t. Fundamentos de Física 14 Cinemática Fundamentos de Física 15 Cinemática de uma partícula: - posição - velocidade - aceleração Fundamentos de Física 16 Cinemática 𝒂= 𝒅𝒗 𝒅𝒕 𝒅𝒗 = 𝒂𝒅𝒕 Poderemos então escrever que: Esta relação pode ser integrada. Para isso é necessário o conhecimento de um valor de velocidade (v0, por exemplo) para um dado instante t0. Teremos então: 𝒗 𝒅𝒗 = 𝒗𝟎 𝒕 𝒕 𝒗 − 𝒗𝟎 = 𝒂 𝒂𝒅𝒕 𝟎 𝒅𝒕 𝒗 = 𝒗𝟎 + 𝒂𝒕 𝟎 De forma análoga, a equação do movimento pode ser obtido por integração, uma vez conhecida a lei das velocidades: 𝒅𝒙 𝒗= 𝒅𝒕 Fundamentos de Física 𝒙 𝒕 𝒅𝒙 = 𝒙𝟎 𝒗𝒅𝒕 𝟎 𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝒗𝒕 17 Cinemática Equações do movimento com Aceleração Constante Fundamentos de Física 18 Exercícios 1 a) Um carro viaja ao longo de uma estrada a uma velocidade de 71km/h. Observando mais à frente um congestionamento, o condutor trava o carro durante 2,3s e reduz a velocidade para 47km/h. Supondo que a aceleração é constante durante esse tempo, calcule o seu valor. b) Se o condutor continua-se a travar até parar o carro, e mantendo a aceleração constante, que distancia percorreria o carro até parar, desde a velocidade de 47km/h. 2 – O núcleo de um átomo de hélio passa através de um tubo recto e oco, de 2.0 m de comprimento, que faz parte de um acelerador de partículas. a) Supondo que a aceleração seja constante, quanto tempo leva a partícula a atravessar o tubo, se a sua velocidade à entrada for de 1.0*104 m/s e à saída for de 5.0*106 m/s b) Qual a aceleração da partícula nesse intervalo? Fundamentos de Física 19 Movimento em Queda Livre É um movimento rectilíneo com uma aceleração constante, igual à aceleração da gravidade, g, dirigida de cima para baixo. Seja h a altura da qual a partícula cai, o sentido do movimento é descendente. Escolhamos o eixo Oy com a direcção do movimento. A escolha da origem do eixo e do seu sentido é arbitraria. Admitamos que foram as da figura. 𝒂 = −𝒈 Temos assim: Partícula libertada da altura h: 𝒗 t = 0; v0 = 0 𝒕 𝒅𝒗 = 𝒗𝟎 −𝒈𝒅𝒕 𝟎 𝒗 = 𝒗𝟎 − 𝒈𝒕 Conhecendo a velocidade, poderemos obter a equação de movimento: 𝒚 𝒕 𝒅𝒚 = − 𝒉 Fundamentos de Física 𝒈𝒕𝒅𝒕 𝟎 𝒚 − 𝒉 = − 𝟏 𝟐 𝒈𝒕𝟐 20 Movimentos Curvilíneos no Plano A posição de uma partícula que se move numa trajectória plana fica definida se for conhecido, a cada instante, o seu vector posição: 𝒓 = 𝒓(𝒕) Se o plano XOY é coincidente com p plano do movimento, isto corresponde a conhecer as leis de variação no tempo das suas coordenadas cartesianas, e teremos duas equações de movimento: 𝒙 = 𝒙(𝒕) 𝒚 = 𝒚(𝒕) 𝒓 = 𝒙 𝒕 𝒊 + 𝒚(𝒕)𝒋 Velocidade média 𝒗𝒎é𝒅𝒊𝒂 Fundamentos de Física 𝒓 𝒕𝟐 − 𝒓 𝒕𝟏 = 𝒕𝟐 − 𝒕𝟏 21 Movimentos Curvilíneos no Plano Velocidade instantânea: 𝒓 𝒕 + ∆𝒕 − 𝒓(𝒕) 𝒅𝒓 𝒗 = 𝐥𝐢𝐦 = ∆𝒕→𝟎 ∆𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒙 𝒅𝒚 𝒗= 𝒊+ 𝒋 𝒅𝒕 𝒅𝒕 Aceleração média: Aceleração instantânea: 𝒂𝒎é𝒅𝒊𝒂 𝒗 𝒕𝟐 − 𝒗 𝒕𝟏 = 𝒕𝟐 − 𝒕𝟏 𝒗 𝒕 + ∆𝒕 − 𝒗(𝒕) 𝒅𝒗 𝒂 = 𝐥𝐢𝐦 = ∆𝒕→𝟎 ∆𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒗𝒚 𝒅𝒗𝒙 𝒅𝟐 𝒙 𝒅𝟐 𝒚 𝒂= 𝒊+ 𝒋= 𝟐𝒊+ 𝟐 𝒋 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅 𝒕 Fundamentos de Física 22 Exercício Um coelho atravessa um estacionamento, no qual, por alguma razão, um conjunto de eixos coordenados foi desenhado. As coordenadas da posição do coelho, em metros, em função do tempo t, em segundo, são dadas por: a) No instante t = 15s, qual é o vector posição 𝑟 do coelho na notação de vectores unitários? b) Qual o valor do ângulo com o eixo Ox? c) Determine a velocidade 𝑣 do coelho para o instante t = 15s e o modulo do vector. d) Determine a aceleração para o mesmo instante de tempo. Fundamentos de Física 23 Movimento de um Projéctil O movimento de um projéctil constitui um bom exemplo de um movimento no plano. Normalmente, é conhecido a sua velocidade inicial (v0) e fazendo um angulo a com a horizontal, para alem da aceleração (g). Temos assim: 𝒂𝒙 = 𝟎 𝒂𝒚 = −𝒈 𝒗𝒙 Integrando: 𝒕 𝒅𝒗𝒙 = 𝒗𝟎𝒙 𝒗𝒚 𝒂𝒙 𝒅𝒕 = 𝟎 𝟎 𝒕 𝒅𝒚𝒚 = 𝒗 𝟎𝒚 (−𝒈)𝒅𝒕 = 𝟎 𝟎 A partir da figura vemos que as componentes da velocidade inicial são: 𝒗𝒐𝒙 = 𝒗𝟎 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒗𝒐𝒚 = 𝒗𝟎 𝒔𝒆𝒏𝜶 Fundamentos de Física 𝒗𝒙 = 𝒗𝟎 𝒄𝒐𝒏𝒔𝜶 𝒗𝒚 = 𝒗𝟎 𝒔𝒆𝒏𝜶 − 𝒈𝒕 24 Movimento de um Projéctil Para obter as leis de movimento, volta-se a integrar: Obtendo: Leis do Movimento Resolvendo em ordem a t as equações anteriores, obtém-se a equação cartesiana da trajectória. Equação da parábola Fundamentos de Física 25 Movimento de um Projéctil O vértice da parábola é o ponto B, que satisfaz a condição 𝑑𝑦 função). 𝑑𝑥 = 0 (máximo da Assim: Fundamentos de Física 26 Movimento de um Projéctil Outra forma de chegar a este resultado seria, notando que para t = tB, a componente vertical da velocidade anula-se, isto é: 𝑣𝑦 = 𝑣𝑜 𝑠𝑒𝑛𝛼 − 𝑔𝑡𝐵 , obtendo-se o resultado da equação anterior. A altura máxima atingida pelo projéctil, yB, será também neste ponto. Assim, substituindo o tempo na equação de y, obtém-se: 𝒉𝒎𝒂𝒙 𝟏 = 𝒚𝑩 = 𝒗𝟎 𝒔𝒆𝒏𝜶(𝒕𝑩 ) − 𝒈 𝒕𝑩 𝟐 𝒉𝒎𝒂𝒙 Fundamentos de Física 𝟐 𝒗𝟎 𝒔𝒆𝒏𝜶 𝟏 (𝒗𝟎 )𝟐 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜶 = 𝒗𝟎 𝒔𝒆𝒏𝜶 − 𝒈 𝒈 𝟐 𝒈𝟐 𝟏 (𝒗𝟎 )𝟐 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜶 = 𝒈 𝟐 𝒈𝟐 27 Movimento de um Projéctil A distância percorrida na horizontal é xA. Note que para x = xA, temos que yA = 0, 𝟏 𝒚𝑨 = 𝒗𝟎 𝒔𝒆𝒏𝜶(𝒕𝑨 ) − 𝒈 𝒕𝑨 𝟐 isto é: 𝟐 =𝟎 em que tA, o tempo em que o projéctil está no ar, é o tempo de voo e é a solução não nula desta equação. Temos então: 𝒕𝑨 𝟏 𝒗𝟎 𝒔𝒆𝒏𝜶 − 𝒈 𝒕𝑨 𝟐 Assim: 𝒙𝒎𝒂𝒙 𝟐 =𝟎 𝑡𝐴 = 0 2𝑣0 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑡𝐴 = 𝑔 𝟐𝒗𝟎 𝒔𝒆𝒏𝜶 (𝒗𝟎 )𝟐 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝜶) = 𝒙𝑨 = 𝒗𝟎 𝒄𝒐𝒔𝜶 = 𝒈 𝒈 Max. Para = 45º As grandezas hmax, xmax, e tA são importantes no estudo de projecteis. Note-se que as equações aqui enunciadas apenas são válidas para as condições iniciais consideradas, isto é, quando temos: x0 = y0 = 0. Fundamentos de Física 28 Exercícios Um avião de salvamento voa a 198 km/h a uma altitude de 500m, rumo a um ponto directamente acima da vitima de um naufrágio, para deixar cair uma balsa de salvamento. a)Qual deve de ser o angulo a da linha de visão do piloto para a vitima no instante em que o piloto deixa cair a balsa? b) No momento que a balsa atinge a água, qual é a sua velocidade 𝑣 em termos de vectores unitários. c) Calcule o modulo da velocidade. Fundamentos de Física 29 Exercícios Um navio pirata encontra-se a 560 m de um forte que protege a entrada de um porto. Um canhão de defesa, situado ao nível do mar, dispara balas com uma velocidade inicial de 82 m/s. a) Calcule o angulo 𝛼 em relação à horizontal que levam as balas a serem disparadas para acertar no navio? b) Calcule o alcance máximo das balas do canhão? Fundamentos de Física 30 Coordenadas intrínsecas As coordenadas cartesianas são um modo útil de estudar movimentos planos, mas fisicamente são pouco informativas no que diz respeito aos vectores velocidade e aceleração. Velocidade média 𝒗𝒎é𝒅𝒊𝒂 ∆𝒓 = ∆𝒕 Velocidade instantânea 𝒓 𝒕 + ∆𝒕 − 𝒓(𝒕) 𝒅𝒓 𝒗 = 𝐥𝐢𝐦 = ∆𝒕→𝟎 ∆𝒕 𝒅𝒕 Quando ∆𝑡 → 0 o modulo do deslocamento tende para ∆𝑆, ∆𝒓 → ∆𝑺 Fundamentos de Física 31 Coordenadas intrínsecas Se multiplicarmos e dividirmos ∆𝑆 no calculo da velocidade, poderemos escrever: 𝒗 = 𝒗. 𝒖𝑻 Velocidade instantânea A partir do modulo da velocidade poderemos determinar a lei horaria do movimento: s = s(t) 𝒔 𝒅𝒔 = 𝒗𝒅𝒕 Fundamentos de Física 𝒕 𝒅𝒔 = 𝒔𝟎 𝒗𝒅𝒕 𝟎 𝒕 𝒔 − 𝒔𝟎 = 𝒗𝒅𝒕 𝟎 32 Coordenadas intrínsecas Aceleração média 𝒂𝒎é𝒅𝒊𝒂 𝒗 𝒕𝟐 − 𝒗 𝒕𝟏 = 𝒕𝟐 − 𝒕𝟏 A aceleração é um vector que tem a direcção e o sentido da concavidade da curva mas que, em geral, não será tangente nem perpendicular à trajectória Fundamentos de Física 33 Coordenadas intrínsecas Aceleração instantânea: 𝑎= 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑎= 𝑑(𝑣𝑢 𝑇 ) 𝑑𝑣 𝑑𝑢 𝑇 = 𝑢𝑇 + 𝑣 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑢 𝑇 = 𝑢 𝑇 (𝑡) No sistema de eixos considerado poderemos escrever directamente: 𝑢 𝑇 = cos ∅ 𝑖 + 𝑠𝑒𝑛(∅)𝑗 𝑢𝑁 = cos ∅ + 𝜋 𝜋 𝑖 + 𝑠𝑒𝑛 ∅ + 𝑗 = −sen(∅)𝑖 + 𝑐𝑜𝑠(∅)𝑗 2 2 Assim, e uma vez que o angulo ∅ varia de ponto para ponto, poderemos escrever: 𝑑𝑢 𝑇 𝑑∅ 𝑑∅ 𝑑∅ = −sen ∅ 𝑖 + 𝑐𝑜𝑠 ∅ 𝑗 = −sen(∅)𝑖 + 𝑐𝑜𝑠(∅)𝑗 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Fundamentos de Física 34 Coordenadas intrínsecas Isto é: 𝑑𝑢 𝑇 𝑑∅ = 𝑢 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑁 Se R for o raio da curvatura da trajectória em A, sabemos que 𝑑𝑠 = 𝑅𝑑∅, e poderemos então escrever: 𝑑∅ 𝑑∅ 𝑑𝑠 1 = ∗ = 𝑣 𝑑𝑡 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑅 Desta forma, obtemos a aceleração: 𝑑𝑣 𝑣2 𝑎= 𝑢 + 𝑢 = 𝑎 𝑇 + 𝑎𝑁 𝑑𝑡 𝑇 𝑅 𝑁 Vemos assim que a aceleração se pode decompor em duas componentes, que têm um significado físico imediato: A componente tangencial, 𝒂𝑻 = 𝒅𝒗 𝒅𝒕 , que está relacionado com a direcção do modulo de velocidade 𝟐 A componente normal, 𝒂𝑻 = 𝒗 𝑹, está relacionada com a variação do vector velocidade. Fundamentos de Física 35 Coordenadas intrínsecas A classificação dos movimentos curvilíneos quanto à sua aceleração faz-se em termos da variação da grandeza velocidade e portanto, à custa de 𝑣 e de 𝒂𝑻 = 𝒅𝒗 𝒅𝒕. Analogamente ao movimento rectilíneo temos: 𝑑𝑣 𝑣𝑎 𝑇 = 𝑣 𝑑𝑡 > 0 𝑑𝑣 𝑣𝑎 𝑇 = 𝑣 𝑑𝑡 = 0 𝑑𝑣 𝑣𝑎 𝑇 = 𝑣 𝑑𝑡 < 0 Se 𝑎 𝑇 = 𝑑𝑣 𝑑𝑡 Movimento Acelerado Movimento Uniforme Movimento retardado = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, o movimento denomina-se de uniformemente variado Fundamentos de Física 36 Movimento circular Um caso típico para este tipo de coordenadas é o movimento circular. O estudo do movimento circular torna-se mais simples se tomarmos como origem do sistema de eixos o centro da circunferência. O arco s, percorrido pelo objecto, está relacionado com o angulo 𝜽 por: 𝒔 = 𝑹𝜽 Assim, a velocidade é: 𝒅𝒔 𝒅𝜽 𝒗 = 𝒗𝒖𝑻 = 𝒖 =𝐑 𝒖 𝒅𝒕 𝑻 𝒅𝒕 𝑻 Uma vez que neste caso o raio, R, é constante: 𝝎 = 𝒅𝜽 𝒅𝒕 Também designada por velocidade angular; é igual à taxa de variação do ângulo. Assim: 𝒗 = 𝒗𝒖𝑻 = 𝝎𝑹𝒖𝑻 Fundamentos de Física 𝒗 = 𝝎𝑹 37 Movimento circular Por vezes, é necessário definir um vector velocidade angular, 𝝎, como sendo um vector com a direcção do eixo de rotação, a grandeza 𝑑𝜃 𝑑𝑡 possui o sentido que verifique: 𝒗= 𝝎∗𝑹 Olhando para a figura, observamos neste caso, que o vector posição pode ser descrito na forma genérica por: 𝒓 = 𝑹 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝒊 + 𝒔𝒆𝒏 𝜽 + 𝐳𝒌 Neste caso, as duas componentes da aceleração são dadas por: 𝒅𝒗 𝒅𝝎 𝒂𝑻 = =𝑹 𝒅𝒕 𝒅𝒕 Fundamentos de Física 𝒗𝟐 𝑹𝟐 𝝎𝟐 𝒂𝑵 = = = 𝑹𝝎𝟐 𝑹 𝑹 38 Movimento circular A quantidade 𝜶 = 𝒅𝝎 𝒅𝒕 designa-se por aceleração angular do objecto. Então, a aceleração total é: 𝒂 = 𝜶𝑹𝒖𝑻 + 𝑹𝝎𝟐 𝒖𝑵 Fundamentos de Física 39 Movimento circular Uniforme Se o movimento se faz com velocidade angular constante (𝜔 = 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡), diz-se então que o movimento é uniforme. Neste caso, o intervalo de tempo necessário para o objecto efectuar uma volta completa designa-se por período do movimento, T, e corresponde a uma rotação de 𝜃 = 2𝜋 radianos (rad). A sua relação com 𝜔 é: 𝑑𝜃 𝜔= 𝑑𝑡 Período do movimento 𝟏 𝑻= 𝒇 Fundamentos de Física 𝜃+2𝜋 𝑡+𝑇 𝑑𝜃 = 𝜃 𝟐𝝅 𝝎= 𝑻 𝜔𝑑𝑡 𝑡 Frequência do movimento 𝝎 = 𝟐𝝅𝒇 40 Movimento circular Uniforme A variação temporal do ângulo é: 𝒅𝜽 𝝎 𝒕 = ⟺ 𝒅𝜽 = 𝝎𝒅𝒕 ⟺ 𝒅𝒕 𝜽 𝒕 𝒅𝜽 = 𝜽𝟎 𝒕𝟎 𝒕 𝝎𝒅𝒕 ⟺ 𝜽 − 𝜽𝟎 = 𝝎𝒅𝒕 𝒕𝟎 Finalmente: 𝜽 = 𝜽𝟎 + 𝝎(𝒕 − 𝒕𝟎 ) Fundamentos de Física 41 Movimento circular Uniforme Em coordenadas cartesianas, a posição do objecto é dada por: 𝑥 𝑡 = 𝑅𝑐𝑜𝑠(𝜃0 + 𝜔𝑡) 𝑦 𝑡 = 𝑅𝑠𝑒𝑛(𝜃0 + 𝜔𝑡) 𝑣′ ≠ 𝑣 𝑣2 𝑎 = 𝑅 ou 𝑎 = 𝜔2 𝑅 Movimento radial e aponta para o centro da trajectória Fundamentos de Física 42 Movimento circular Não Uniforme Existe aceleração angular (𝜶) Caso geral, 𝛼 é diferente de zero e variável no tempo: 𝛼(𝑡) = 𝑑𝜔 𝑑𝑡 𝑡 𝜔 − 𝜔0 = 𝛼𝑑𝑡 𝑡0 𝑡 𝜔(𝑡) = 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝜃 − 𝜃0 = 𝜔𝑑𝑡 𝑡0 Se 𝛼 é constante: 𝜔 = 𝜔0 + 𝛼𝑡 1 2 𝜃 = 𝜃0 + 𝜔0 𝑡 + 𝛼𝑡 2 Fundamentos de Física 43 Movimento circular Não Uniforme Componentes normal e tangencial da aceleração 𝑣2 𝑎𝑁 = 𝑅 𝑑𝑣 𝑑𝜔 𝑎𝑇 = =𝑅 𝑑𝑡 𝑑𝑡 ou 𝑑𝜃 2 𝑎𝑇 = 𝑅 2 𝑑𝑡 𝑎 = 𝑎𝑁 + 𝑎 𝑇 𝑣2 𝑑𝜃 2 𝑎= 𝑢 + 𝑅 2 𝑢𝑇 𝑅 𝑁 𝑑𝑡 Fundamentos de Física 44 Exercícios 1) Um corpo parte do repouso e desloca-se sobre um plano horizontal com trajectória circular de 5,0 metros de raio com aceleração angular constante. Em 10 segundos o ponto material percorreu 100 metros. a) Calcule a velocidade angular do corpo. b) Calcule a variação temporal do ângulo c) Calcule a aceleração angular do corpo. Fundamentos de Física 45 Movimento Relativo – Sistemas de Referência Problema O homem que está por baixo da arvore e o condutor do carro, que se move com velocidade constante 𝑣, observam uma bola vermelha. O movimento da bola, descrito pelos dois observadores é diferente. Como poderemos comparar as duas observações? Árvore = Sistema S Fundamentos de Física Carro = Sistema S’ Bola = Objecto 46 Movimento Relativo – Sistemas de Referência Velocidade Relativa Um observador no ponto O (Terra) vê: (𝑣𝑎𝑣𝑖ã𝑜 )𝑟𝑒𝑓.𝑇𝑒𝑟𝑟𝑎 = 𝑣𝑂𝐴 (𝑣𝑏𝑎𝑟𝑐𝑜 )𝑟𝑒𝑓.𝑇𝑒𝑟𝑟𝑎 = 𝑣𝑂𝐵 Um observador no Barco vê o Avião a mover-se com uma velocidade : 𝑣𝐴𝐵 ≠ 𝑣𝐵𝑂 Temos assim, relativamente a O: 𝑣𝑂𝐴 Fundamentos de Física 𝑑𝑟𝐴 = = 𝑣𝐴 𝑑𝑡 𝑣𝑂𝐵 𝑑𝑟𝐵 = = 𝑣𝐵 𝑑𝑡 47 Movimento Relativo – Sistemas de Referência De igual forma, poderemos definir as velocidades relativas: Então: 𝑣𝐴𝐵 𝑑𝑟𝐴𝐵 = 𝑑𝑡 Velocidade de A relativamente a B 𝑣𝐵𝐴 𝑑𝑟𝐵𝐴 = 𝑑𝑡 Velocidade de B relativamente a A 𝑟𝐵𝐴 = 𝑟𝐵 − 𝑟𝐴 Portanto: 𝑟𝐴𝐵 = 𝑟𝐴 − 𝑟𝐵 𝑟𝐴𝐵 = −𝑟𝐵𝐴 𝑣𝐴𝐵 = −𝑣𝐵𝐴 derivando: Fundamentos de Física 48 Movimento Relativo – Sistemas de Referência Fundamentos de Física 49 Movimento Relativo – Sistemas de Referência Fundamentos de Física 50 Movimento Relativo – Sistemas de Referência Fundamentos de Física 51 Movimento Relativo – Sistemas de Referência Fundamentos de Física 52
