1 + i

SESTSENAT- FLORIANÓPOLIS/SC
Auxiliar Administrativo com Ênfase em
Transporte Rodoviário de Passageiros
MATEMÁTICA BÁSICA
MÓDULO BÁSICO
FASE I
2012
Programa da Disciplina
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Números inteiros, fracionários e decimais;
Potenciação e radiciação;
Sistema de medidas;
Razão, proporção e escala;
Divisão proporcional;
Regra de Três simples;
Regra de Três composta;
Porcentagem;
Juros simples e descontos simples;
Juros compostos.
Carga Horário: 30ha
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2
SUMÁRIO
TABUADAS ................................................................................................................................... 5
1. CONJUNTOS NUMÉRICOS ..................................................................................................... 6
1.1 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N) ................................................................ 6
1.2 CONJUNTO DOS NÚEMROS INTEIROS (Z) ................................................................... 6
1.3 CONJUNTOS DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q)............................................................. 6
1.4 CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS (I) ............................................................ 6
1.5 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (R) ......................................................................... 7
2 FRAÇÕES .................................................................................................................................... 8
2.1 O SIGNIFICADO DE UMA FRAÇÃO................................................................................ 8
2.2 COMO SE LÊ UMA FRAÇÃO ............................................................................................ 9
2.3 CLASSIFICAÇÃO DAS FRAÇÕES.................................................................................... 9
2.4 FRAÇÕES EQUIVALENTES .............................................................................................. 9
2.5 SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES ..................................................................................... 10
2.6 NÚMEROS FRACIONÁRIOS ........................................................................................... 10
2.7 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS ....................................... 11
2.7.1 Mínimo Múltiplo Comum ............................................................................................ 11
2.8 MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS .............................. 13
3 RAZÕES .................................................................................................................................... 15
3.1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 15
3.2 TERMOS DE UMA RAZÃO ............................................................................................. 16
3.3 RAZÕES INVERSAS ......................................................................................................... 16
3.4 RAZÕES EQUIVALENTES .............................................................................................. 17
3.5 PROPORÇÕES - INTRODUÇÃO ..................................................................................... 17
3.6 ELEMENTOS DE UMA PROPORÇÃO ........................................................................... 18
3.7 PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES .............................................. 18
4 REGRA DE TRÊS SIMPLES .................................................................................................... 20
5. REGRA DE TRÊS COMPOSTA ............................................................................................. 23
6 PORCENTAGEM ...................................................................................................................... 26
6.1 RAZÃO CENTESIMAL ..................................................................................................... 26
7 MÉDIA ....................................................................................................................................... 29
7.1 MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES ..................................................................................... 29
7.2 Média ponderada ................................................................................................................. 29
8. POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO; ........................................................................................ 30
8.1 POTENCIAÇÃO ................................................................................................................. 30
8.1.1 Propriedades das potências........................................................................................... 30
8.2 RADICIAÇÃO .................................................................................................................... 32
8.2.1 Propriedade................................................................................................................... 33
8.2.2 Raiz Quadrada ............................................................................................................. 34
9. SISTEMAS DE MEDIDAS ...................................................................................................... 35
9.1 MEDIDAS DE COMPRIMENTO ...................................................................................... 35
9.1.1 Sistema Métrico Decimal ............................................................................................. 35
9.1.2 Múltiplos e Submúltiplos do Metro ............................................................................. 35
9.1.3 Leitura das Medidas de Comprimento ......................................................................... 36
9.1.4 Transformação de Unidades ......................................................................................... 36
9.2 MEDIDAS DE SUPERFÍCIE ............................................................................................. 38
9.2.1 Introdução..................................................................................................................... 38
9.2.2 Superfície e área ........................................................................................................... 38
9.2.3 Metro Quadrado ........................................................................................................... 38
9.2.4 Medidas Agrárias ......................................................................................................... 39
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3
9.2.5 Transformação de unidades .......................................................................................... 39
9.3 MEDIDAS DE VOLUME .................................................................................................. 40
9.3.1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 40
9.3.2 Metro cúbico ................................................................................................................ 40
9.3.3 Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico ................................................................... 40
9.3.4 Leitura das medidas de volume .................................................................................... 40
9.3.5 Transformação de unidades .......................................................................................... 41
9.4 MEDIDAS DE CAPACIDADE.......................................................................................... 41
9.4.1 Múltiplos e submúltiplos do litro ................................................................................. 41
9.4.2 Leitura das medidas de capacidade .............................................................................. 42
9.5 MEDIDAS DE MASSA...................................................................................................... 42
9.5.1 Introdução..................................................................................................................... 42
9.5.2 Múltiplos e Submúltiplos do grama ............................................................................. 43
9.5.3 Relações Importantes ................................................................................................... 43
9.5.4 Leitura das Medidas de Massa ..................................................................................... 43
9.5.5 Transformação de Unidades ......................................................................................... 44
9.6 MEDIDAS DE TEMPO ...................................................................................................... 44
9.6.1 Introdução..................................................................................................................... 44
9.6.3 Outras importantes (unidades de medida) .................................................................... 45
10 GRANDEZAS .......................................................................................................................... 47
10.1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................ 47
10.2 GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS .................................................... 47
10.3 GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS .................................................. 48
11 MATEMÁTICA FINANCEIRA.............................................................................................. 50
11.1 CONCEITOS BÁSICOS................................................................................................... 50
11.1.1 Capital ........................................................................................................................ 50
11.1.2 Juros ........................................................................................................................... 50
11.2 QUANDO USAMOS JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS? .............................. 50
11.3 TAXA DE JUROS ............................................................................................................ 51
11.4 JUROS SIMPLES ............................................................................................................. 51
11.5 JUROS COMPOSTOS ...................................................................................................... 53
11.5.1 Relação entre juros e progressões .............................................................................. 54
11.6 TAXAS.............................................................................................................................. 54
11.6.1 Taxas Equivalentes ..................................................................................................... 54
11.6.2 Taxas Nominais .......................................................................................................... 55
11.6.3 Taxas Efetivas ............................................................................................................ 55
11.6.4 Taxa Real.................................................................................................................... 55
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA .............................................................................................. 56
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4
TABUADAS
1
1x1 = 1
1x2 = 2
1x3 = 3
1x4 = 4
1x5 = 5
1x6 = 6
1x7 = 7
1x8 = 8
1x9 = 9
1x10 = 10
2
2x1 = 2
2x2 = 4
2x3 = 6
2x4 = 8
2x5 = 10
2x6 = 12
2x7 = 14
2x8 = 16
2x9 = 18
2x10 = 20
3
3x1 = 3
3x2 = 6
3x3 = 9
3x4 = 12
3x5 = 15
3x6 = 18
3x7 = 21
3x8 = 24
3x9 = 27
3x10 = 30
4
4x1 = 4
4x2 = 8
4x3 = 12
4x4 = 16
4x5 = 20
4x6 = 24
4x7 = 28
4x8 = 32
4x9 = 36
4x10 = 40
5
5x1 = 5
5x2 = 10
5x3 = 15
5x4 = 20
5x5 = 25
5x6 = 30
5x7 = 35
5x8 = 40
5x9 = 45
5x10 = 50
6
6x1 = 6
6x2 = 12
6x3 = 18
6x4 = 24
6x5 = 30
6x6 = 36
6x7 = 42
6x8 = 48
6x9 = 54
6x10 = 60
7
7x1 = 7
7x2 = 14
7x3 = 21
7x4 = 28
7x5 = 35
7x6 = 42
7x7 = 49
7x8 = 56
7x9 = 63
7x10 = 70
8
8x1 = 8
8x2 = 16
8x3 = 24
8x4 = 32
8x5 = 40
8x6 = 48
8x7 = 56
8x8 = 64
8x9 = 72
8x10 = 80
9
9x1 = 9
9x2 = 18
9x3 = 27
9x4 = 36
9x5 = 45
9x6 = 54
9x7 = 63
9x8 = 72
9x9 = 81
9x10 = 90
10
10x1 = 10
10x2 = 20
10x3 = 30
10x4 = 40
10x5 = 50
10x6 = 60
10x7 = 70
10x8 = 80
10x9 = 90
10x10 = 100
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5
1. CONJUNTOS NUMÉRICOS
1.1 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N)
São os números inteiros e positivos e o zero (0).
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ,11, 12, ....}
1.2 CONJUNTO DOS NÚEMROS INTEIROS (Z)
São todos números inteiros positivos, negativos e o zero (0).
Z = {..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Obs. Há uma relação de simetria entre um
número e seu oposto em relação ao zero (0).
1.3 CONJUNTOS DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q)
Um número é chamado de racional quando pode ser escrito na forma de fração
a
eb
b
é diferente de zero (b ≠ 0).
Exemplo:
5 − 14
18 27
,
, 9= =
3
6
2
3
A propriedade que representa os números racionais é:
Q = {x | x =
a
→ a∈Z → b∈ R → b ≠ 0
b
1.4 CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS (I)
São os números que não podem ser escrito na forma de fração de dois números
inteiros.
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6
Exemplo:
π = 3,1415926535... ,
2 = 1,4142135... ,
3 = 1,7320508...
1.5 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (R)
É formado pela união ( U ) dos elementos dos conjuntos anteriores: R = { N U Z U
Q U I)
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7
2 FRAÇÕES
O símbolo
significa a:b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero.
Chamamos:
de fração;
a de numerador;
b de denominador.
Se a é múltiplo de b, então
é um número natural.
Veja um exemplo:
A fração
é igual a 8:2. Neste caso, 8 é o numerador e 2 é o denominador.
Efetuando a divisão de 8 por 2, obtemos o quociente 4. Assim,
múltiplo de 2.
é um número natural e 8 é
Durante muito tempo, os números naturais foram os únicos conhecidos e usados
pelos homens. Depois começaram a surgir questões que não poderiam ser resolvidas com
números naturais. Então surgiu o conceito de número fracionário.
2.1 O SIGNIFICADO DE UMA FRAÇÃO
Algumas vezes,
qual é o significado de
é um número natural. Outras vezes, isso não acontece. Neste caso,
?
Uma fração envolve a seguinte idéia: dividir algo em partes iguais. Dentre essas
partes, consideramos uma ou algumas, conforme nosso interesse.
Exemplo: Roberval comeu de um chocolate. Isso significa que, se dividíssemos o
chocolate em 4 partes iguais, Roberval teria comido 3 partes:
Na figura acima, as partes pintadas seriam as partes comidas por Roberval, e a parte
branca é a parte que sobrou do
chocolate.
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8
2.2 COMO SE LÊ UMA FRAÇÃO
As frações recebem nomes especiais quando os denominadores são 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9 e também quando os denominadores são 10, 100, 1000, ...
um meio
dois quintos
um terço
quatro sétimos
um quarto
sete oitavos
um quinto
quinze nonos
um sexto
um décimo
um sétimo
um centésimo
um oitavo
um milésimo
um nono
oito milésimos
2.3 CLASSIFICAÇÃO DAS FRAÇÕES
Fração própria: o numerador é menor que o denominador:
Fração imprópria: o numerador é maior ou igual ao denominador.
Fração aparente: o numerador é múltiplo do denominador.
2.4 FRAÇÕES EQUIVALENTES
Frações equivalentes são frações que representam a mesma parte do todo.
Exemplo:
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são equivalentes
9
Para encontrar frações equivalentes devemos multiplicar o numerador e o
denominador por um mesmo número natural, diferente de zero.
Exemplo: obter frações equivalentes à fração
.
são algumas das frações equivalentes a
Portanto as frações
.
2.5 SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES
Uma fração equivalente a
, com termos menores, é
dividindo-se ambos os termos da fração
fração simplificada de
A fração
fração
. A fração
foi obtida
pelo fator comum 3. Dizemos que a fração
é uma
.
não pode ser simplificada, por isso é chamada de fração irredutível. A
não pode ser simplificada porque 3 e 4 não possuem nenhum fator comum
2.6 NÚMEROS FRACIONÁRIOS
Seria possível substituir a letra X por um número natural que torne a sentença abaixo
verdadeira?
5.X=1
Substituindo X, temos:
X por 0 temos: 5.0 = 0
X por 1 temos: 5.1 = 5.
Portanto, substituindo X por qualquer número natural jamais encontraremos o
produto 1. Para resolver esse problema temos que criar novos números. Assim, surgem os
números fracionários.
Toda fração equivalente representa o mesmo número fracionário.
Portanto, uma fração
(n diferente de zero) e todas as frações equivalentes a ela
representam o mesmo número fracionário
.
Resolvendo agora o problema inicial, concluímos que X =
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, pois
.
10
2.7 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS
Temos que analisar dois casos:
1. denominadores iguais
Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e
conservar o denominador.
Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e
conservar o denominador.
Observe os exemplos:
2. denominadores diferentes
Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações
equivalentes, de denominadores iguais ao mmc dos denominadores das frações. Exemplo: somar
as frações
.
Obtendo o mmc dos denominadores temos mmc(5,2) = 10.
(10:5).4 = 8
(10:2).5 = 25
Resumindo: utilizamos o mmc para obter as frações equivalentes e depois somamos
normalmente as frações, que já terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso 1.
2.7.1 Mínimo Múltiplo Comum
2.7.1.1 Múltiplo de um Número Natural
Como 24 é divisível por 3 dizemos que 24 é múltiplo de 3, também é múltiplo de 1,
2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.
Se um número é divisível por outro, diferente de zero, então dizemos
que ele é múltiplo desse outro.
Os múltiplos de um número são calculados multiplicando-se esse número pelos
números naturais.
Exemplo: os múltiplos de 7 são: 7x0 , 7x1, 7x2 , 7x3 , 7x4 ,... = 0 , 7 , 14 , 21 , 28 , ...
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11
Observações importantes:
1) Um número tem infinitos múltiplos
2) Zero é múltiplo de qualquer número natural
2.7.1.2 Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.)
Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles.
Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6:
Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30,...
Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,...
Múltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24,...
Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 de
mínimo múltiplo comum de 4 e 6.
O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é
chamado de mínimo múltiplo comum desses números. Usamos a abreviação
m.m.c.
2.7.1.3 Cálculo do M.M.C.
Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração.
Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 12 e 30:
1º) decompomos os números em fatores primos
2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns:
12 = 2 x 2 x 3
30 = 2 x 3 x 5
m.m.c (12,30) = 2 x 2 x 3 x 5
Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos:
12 = 22 x 3
30 = 2 x 3 x 5
m.m.c (12,30) = 22 x 3 x 5
O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos
fatores comuns e não-comuns a eles, cada um, elevado ao maior expoente.
2.7.1.4 Processo da Decomposição Simultânea
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12
Neste processo decompomos todos os números ao
mesmo tempo, num dispositivo como mostra a figura ao lado. O
produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o
m.m.c. desses números. Ao lado vemos o cálculo do
m.m.c.(15,24,60)
Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120
2.7.1.5 Propriedade do M.M.C.
Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste caso, 30 é
o m.m.c.(3,6,30). Observe:
m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30
Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros, então
ele é o m.m.c. dos números dados.
Considerando os números 4 e 15, que são primos entre si. O m.m.c.(4,15) é igual a
60, que é o produto de 4 por 15. Observe:
m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60
Dados dois números primos entre si, o m.m.c. deles é o produto desses
números.
2.8 MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS
Na multiplicação de números fracionários, devemos multiplicar numerador por
numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado nos exemplos abaixo:
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13
Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo
inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo:
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14
3 RAZÕES
3.1 INTRODUÇÃO
Vamos considerar um carro de corrida com 4m de comprimento e um kart com 2m
de comprimento. Para compararmos as medidas dos carros, basta dividir o comprimento de um
deles pelo outro. Assim:
(o tamanho do carro de corrida é duas vezes o tamanho do kart).
Podemos afirmar também que o kart tem a metade
do comprimento do carro de
corrida.
A comparação entre dois números racionais, através de uma divisão, chama-se
razão.
A razão pode também ser representada por 1:2 e significa que cada metro do kart
corresponde a 2m do carro de corrida.
Denominamos de razão entre dois números a e b (b diferente de zero)
o quociente
ou a:b.
A palavra razão, vem do latim ratio, e significa "divisão". Como no exemplo
anterior, são diversas as situações em que utilizamos o conceito de razão. Exemplos:
•
Dos 1200 inscritos num concurso, passaram 240 candidatos.
Razão dos candidatos aprovados nesse concurso:
(de cada 5 candidatos inscritos, 1 foi aprovado).
•
P
ara cada 100 convidados, 75 eram mulheres.
Razão entre o número de mulheres e o número de convidados:
(de cada 4 convidados, 3 eram mulheres).
Observações:
1. A razão entre dois números racionais pode ser apresentada de três formas.
Exemplo:
Razão entre 1 e 4: 1:4 ou
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ou 0,25.
15
2. A razão entre dois números racionais pode ser expressa com sinal negativo,
desde que seus termos tenham sinais contrários. Exemplos:
A razão entre 1 e -8 é
A razão entre
é
.
.
3.2 TERMOS DE UMA RAZÃO
Observe a razão:
(lê-se "a está para b" ou "a para b").
Na razão a:b ou
, o número a é denominado antecedente e o número b é denominado
conseqüente. Veja o exemplo:
3:5 =
Leitura da razão: 3 está para 5 ou 3 para 5.
3.3 RAZÕES INVERSAS
Considere as razões
.
Observe que o produto dessas duas razões é igual a 1, ou seja,
Nesse caso, podemos afirmar que
.
são razões inversas.
Duas razões são inversas entre si quando o produto delas é igual a 1.
Exemplo:
são razões inversas, pois
.
Verifique que nas razões inversas o antecedente de uma é o consequente da outra, e
vice-versa.
Observações:
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16
1) Uma razão de antecedente zero não possui inversa.
2) 2) Para determinar a razão inversa de uma razão dada, devemos permutar (trocar)
os seus termos.
3.4 RAZÕES EQUIVALENTES
Dada uma razão entre dois números, obtemos uma razão equivalente da seguinte
maneira:
Multiplicando-se ou dividindo-se os termos de uma razão por um
mesmo número racional (diferente de zero), obtemos uma razão
equivalente.
Exemplos:
são razões equivalentes.
são razões equivalentes.
3.5 PROPORÇÕES - INTRODUÇÃO
Rogerião e Claudinho passeiam com seus cachorros. Rogerião pesa 120kg, e seu cão,
40kg. Claudinho, por sua vez, pesa 48kg, e seu cão, 16kg.
Observe a razão entre o peso dos dois rapazes:
Observe, agora, a razão entre o peso dos cachorros:
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17
Verificamos que as duas razões são iguais. Nesse caso, podemos afirmar que a igualdade
é uma proporção. Assim:
3.6 ELEMENTOS DE UMA PROPORÇÃO
Dados quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, nessa ordem, dizemos que eles
formam uma proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º. Assim:
ou a:b=c:d
(lê-se "a está para b assim como c está para d")
Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo:
•
b e c os meios da proporção.
•
a e d os extremos da proporção.
Exemplo:
Dada a proporção
, temos
Leitura: 3 está para 4 assim como 27 está para 36
Meios: 4 e 27
Extremos: 3 e 36
3.7 PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES
Observe as seguintes proporções:
Produto dos meios = 4.30 = 120
Produto dos extremos = 3.40 = 120
Produto dos meios = 9.20 = 180
Produto dos extremos = 4.45 = 180
Produto dos meios = 8.45 = 360
Produto dos extremos = 5.72 = 360
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18
De modo geral, temos que:
Daí podemos enunciar a propriedade fundamental das proporções:
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19
4 REGRA DE TRÊS SIMPLES
Regra de Três Simples é um processo prático para resolver problemas que
envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um
valor a partir dos três já conhecidos.
Passos utilizados numa regra de três simples:
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e
mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
3º) Montar a proporção e resolver a equação.
Exemplos:
1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor
movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa
área para 1,5m2, qual será a energia produzida?
Solução: montando a tabela:
Área (m2)
Energia (Wh)
1,2
400
1,5
x
Identificação do tipo de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as
grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo
sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.
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20
2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um
determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade
utilizada fosse de 480 km/h?
Solução: montando a tabela:
Velocidade (Km/h)
Tempo (h)
400
3
480
x
Identificação do tipo de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui.
Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as
grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido
contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.
3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse
5 camisetas do mesmo tipo e preço?
Solução: montando a tabela:
Camisetas
Preço (R$)
3
120
5
x
Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as
grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
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21
Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.
4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra
em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe
fará o mesmo trabalho?
Solução: montando a tabela:
Horas por dia
Prazo para término (dias)
8
20
5
x
Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para
término aumenta.
Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as
grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação
temos:
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22
5. REGRA DE TRÊS COMPOSTA
A Regra de Três Composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas,
direta ou inversamente proporcionais.
Exemplos:
1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos
caminhões serão necessários para descarregar 125m3?
Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma
espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:
Horas
Caminhões
Volume
8
20
160
5
x
125
Identificação dos tipos de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.
Observe que:
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de
caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto
a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que
contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, serão necessários 25 caminhões.
2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos
carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?
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23
Solução: montando a tabela:
Homens
Carrinhos
Dias
8
20
5
4
x
16
Observe que:
Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a
relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).
Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação
também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão
que contém o termo x com o produto das outras razões.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, serão montados 32 carrinhos.
3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura.
Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para
completar esse muro?
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois se
colocam flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e
discordantes para as inversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo:
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.
Exercícios complementares
Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses exercícios:
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24
1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10
torneiras para encher 2 piscinas?.
2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão.
Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão?
3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um
muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia,
para construir um muro de 225m?
4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma
velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga
em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h?
5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm
de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura,
seriam produzidos em 25 minutos?
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25
6 PORCENTAGEM
É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços,
números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades.
Alguns exemplos: A gasolina teve um aumento de 15%.
Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00
O cliente recebeu um desconto de 10% em
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00
todas
as
mercadorias.
Dos
jogadores
que
jogam
no
Grêmio,
90%
são
craques.
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.
6.1 RAZÃO CENTESIMAL
Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal.
Alguns exemplos:
Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:
As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas
percentuais.
Considere o seguinte problema:
João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?
Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total
de cavalos.
Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada.
Portanto, chegamos a seguinte definição:
Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado
valor.
Exemplos:
•
Calcular 10% de 300.
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26
•
Calcular 25% de 200kg.
Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.
EXERCÍCIOS:
1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas,
transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?
Portanto o jogador fez 6 gols de falta.
2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00,
qual a taxa percentual de lucro obtida?
Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem
que aumentou em relação a esses R$250,00, resulte-nos R$300,00.
Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.
Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO.
Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos
calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se
o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo:
Acréscimo ou Lucro Fator de Multiplicação
10%
1,10
15%
1,15
20%
1,20
47%
1,47
67%
1,67
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27
Exemplo:
Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00
No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:
Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)
Veja a tabela abaixo:
Desconto
Fator de
Multiplicação
10%
0,90
25%
0,75
34%
0,66
60%
0,40
90%
0,10
Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00
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28
7 MÉDIA
7.1 MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES
A média aritmética simples também é conhecida apenas por média. É a medida de
posição mais utilizada e a mais intuitiva de todas. Ela está tão presente em nosso dia-a-dia que
qualquer pessoa entende seu significado e a utiliza com frequência. A média de um conjunto de
valores numéricos é calculada somando-se todos estes valores e dividindo-se o resultado pelo
número de elementos somados, que é igual ao número de elementos do conjunto, ou seja, a
média de n números é sua soma dividida por n.
7.2 Média ponderada
Nos cálculos envolvendo média aritmética simples, todas as ocorrências têm
exatamente a mesma importância ou o mesmo peso. Dizemos então que elas têm o mesmo peso
relativo. No entanto, existem casos onde as ocorrências têm importância relativa diferente.
Nestes casos, o cálculo da média deve levar em conta esta importância relativa ou peso relativo.
Este tipo de média chama-se média aritmética ponderada.
Ponderar é sinônimo de pesar. No cálculo da média ponderada, multiplicamos cada
valor do conjunto por seu "peso", isto é, sua importância relativa.
Definição de Média Aritmética Ponderada:
A média aritmética ponderada p de um conjunto de números x1, x2, x3, ..., xn cuja
importância relativa ("peso") é respectivamente p1, p2, p3, ..., pn é calculada da seguinte maneira:
p=
EXEMPLO:
Alcebíades participou de um concurso, onde foram realizadas provas de Português,
Matemática, Biologia e História. Essas provas tinham peso 3, 3, 2 e 2, respectivamente. Sabendo
que Alcebíades tirou 8,0 em Português, 7,5 em Matemática, 5,0 em Biologia e 4,0 em História,
qual foi a média que ele obteve?
p=
R: Portanto a média de Alcebíades foi de 6,45.
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29
8. POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO;
8.1 POTENCIAÇÃO
Os números envolvidos em uma multiplicação são chamados de fatores e o resultado
da multiplicação é o produto, quando os fatores são todos iguais existe uma forma diferente de
fazer a representação dessa multiplicação que é a potenciação.
2 . 2 . 2 . 2 = 16 → mul plicação de fatores iguais.
Podemos representar a mesma multiplicação da seguinte forma:
2 . 2 . 2 . 2 = 24 = 16
↓
Fatores iguais.
Essa representação é conhecida como potenciação, portanto, sempre que tivermos
fatores iguais, podemos montar uma potência.
Representamos uma potência da seguinte forma:
Expoente
52 = 25
Potência
Base
8.1.1 Propriedades das potências
Na operação com potências, ao efetuarmos a sua resolução podemos utilizar algumas
propriedades para simplificar os cálculos.
Produto de potência de mesma base
Sem utilizar essa propriedade resolveríamos uma multiplicação de potência de
mesma base da seguinte forma:
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30
22 . 23 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 25 = 32
Utilizando a propriedade de produtos de mesma base, resolvemos da seguinte forma:
como é um produto de bases iguais, basta repetir a base e somar os expoentes.
22 . 23 = 22 + 3 = 25 = 32
51 . 53 = 51 + 3 = 54 = 625
Quocientes de potências de mesma base
Sem utilizar dessa propriedade, o cálculo do quociente com potência 128 : 126
ficaria da seguinte forma:
128 : 126 = 429981696 : 2985984 = 144
Utilizando a propriedade do quociente de mesma base, a resolução ficaria mais
simplificada, veja: como nessa divisão as bases são iguais, basta repetir a base e diminuir os
expoentes.
128 : 126 = 128 – 6 = 122 = 144
(-5)6 : (-5)2 = (-5)6 – 2 = (-5)4 = 625
Potência de Potência
Quando nos deparamos com a seguinte potência (32)3 resolvemos primeiro a
potência que está dentro dos parênteses e depois, com o resultado obtido, elevamos ao expoente
de fora, veja:
(32)3 = (3 . 3)3 = 93 = 9 . 9 . 9 = 729
Utilizando a propriedade de potência, a resolução ficará mais simplificada: basta
multiplicarmos os dois expoentes, veja:
(32)3 = 32 . 3 = 36 = 729
(-91)2 = (-9)1 . 2 = (-9)2 = 81
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31
Potência de um produto
Veja a resolução da potência de um produto sem utilizarmos a propriedade:
(3 x 4)3 = (3 x 4) x (3 x 4) x (3 x 4)
(3 x 4)3 = 3 x 3 x 3 x 4 x 4 x 4
(3 x 4)3 = 27 x 64
(3 x 4)3 = 1728
Utilizando a propriedade, a resolução ficaria assim:
(3 x 4)3 = 33 x 43 = 27 x 64 = 1728
8.2 RADICIAÇÃO
O termo radiciação pode ser entendido como uma operação que têm por fim,
fornecida uma potência de um número e o seu grau, possa determinar esse número.
Este tutorial fica um pouco mais prático, pois como já estudamos em tutoriais
anteriores sobre potências, caso não tenha estudado sugiro que revise. A radiciação resumindo e
sendo objetivo é inverso da potenciação.
Exemplo, quando elevamos um determinado número X à sexta potência e depois em
uma operação de extração de raiz na sexta potência, temos como resultado o número X.
Onde :
n = representa o termo da radiciação chamado Radical.
X = representa o termo da radiciação chamado de radicando
Revisando definição:
Temos que radiciação de números relativos é a operação inversa da potenciação.
Observe abaixo:
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32
Em termos mais precisos, dado um número relativo a denominado radicando e dado
um número inteiro positivo n denominado índice da raiz, é possível determinar outro número
relativo b, denominado raiz enésima de a, representada pelo símbolo
seja igual a a.
, tal que b elevado a n
Símbolo da Radiciação
Este é o símbolo de raiz ou sinal de raiz ou simplesmente radical.
8.2.1 Propriedade
Propriedades Fundamentais
•
Isto acontece pois zero vezes zero sempre será zero, não importa quantas
"n" vezes ele aparecer.
•
•
Mesma coisa, um vezes um é sempre 1
Esta podemos provar pela definição de raiz. Qual o número que
multiplicado uma vez por ele mesmo resulta ele? Ele mesmo!
•
Se colocarmos esta raiz na forma de potência temos:
o an/n
o e a fração n/n vale 1, então:
o an/n = a1= a
•
Esta propriedade é idêntica à primeira desta matéria , a única diferença
é que agora o "a" está elevado em uma potência diferente de 1.
Estas são as principais propriedades de Radiciação. Agora vamos ver as propriedades
operatórias, ou seja, como fazer operações com raízes (multiplicação, divisão...).
Propriedades Operatórias
•
Agora vamos dar uma visão mais genérica, visto que as propriedades irão se
repetir pois são idênticas às de potenciação:
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33
•
Ao transformarmos as raízes da multiplicação em
potenciação, utilizamos a propriedade de multiplicação de potências de
mesma base: conserva a base e soma os expoentes.
•
Se transformarmos a multiplicação de raízes em
multiplicação de potências, podemos utilizar a propriedade de multiplicação
de dois números na mesma potência.
•
•
Novamente se transformarmos a raiz em potência, teremos:
•
•
Agora o que devemos fazer é voltar de potência para raiz:
•
8.2.2 Raiz Quadrada
A raiz quadra de um número inteiro é o outro número que, se elevado ao quadrado,
reproduz o número dado.
Desta forma: Raiz quadrada do número 16 é = +/- 4, pois (+4)2 = 16 e (-4)2 = 16
Raiz quadrada do número 49 é = +/- 7, pois (+7)2 = 49 e (-7)2 = 49
Obs. Quando o Radical é Par, só existe raiz
Real se o Radicando for positivo.
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34
9. SISTEMAS DE MEDIDAS
9.1 MEDIDAS DE COMPRIMENTO
9.1.1 Sistema Métrico Decimal
Desde a Antiguidade os povos foram criando suas unidades de medida. Cada um
deles possuía suas próprias unidades-padrão. Com o desenvolvimento do comércio ficavam cada
vez mais difíceis a troca de informações e as negociações com tantas medidas diferentes. Era
necessário que se adotasse um padrão de medida único para cada grandeza.
Foi assim que, em 1791, época da Revolução francesa, um grupo de representantes
de vários países reuniu-se para discutir a adoção de um sistema único de medidas. Surgia o
sistema métrico decimal.
Metro
A palavra metro vem do grego métron e significa "o que mede". Foi estabelecido
inicialmente que a medida do metro seria a décima milionésima parte da distância do Pólo Norte
ao Equador, no meridiano que passa por Paris. No Brasil o metro foi adotado oficialmente em
1928.
9.1.2 Múltiplos e Submúltiplos do Metro
Além da unidade fundamental de comprimento, o metro, existem ainda os seus
múltiplos e submúltiplos, cujos nomes são formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca,
deci, centi e mili. Observe o quadro:
Múltiplos
quilômetro
km
1.000m
hectômetro
hm
100m
decâmetro
dam
10m
Unidade
Fundamental
metro
m
1m
Submúltiplos
decímetro
dm
0,1m
centímetro
cm
0,01m
milímetro
mm
0,001m
Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os
submúltiplos, para pequenas distâncias. Para medidas milimétricas, em que se exige precisão,
utilizamos:
-6
mícron (µ) = 10 m
-10
angströn (Å) = 10
m
Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz (distância percorrida pela luz em
um ano):
Ano-luz = 9,5 · 1012 km
O pé, a polegada, a milha e a jarda são unidades não pertencentes ao sistemas
métrico decimal, são utilizadas em países de língua inglesa. Observe as igualdades abaixo:
Pé
Polegada
Jarda
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= 30,48 cm
= 2,54 cm
= 91,44 cm
35
Milha terrestre
Milha marítima
= 1.609 m
= 1.852 m
Observe que:
•
1 pé = 12 polegadas
•
1 jarda = 3 pés
9.1.3 Leitura das Medidas de Comprimento
A leitura das medidas de comprimentos pode ser efetuada com o auxílio do quadro
de unidades. Exemplos: Leia a seguinte medida: 15,048 m.
Seqüência prática:
1. Escrever o quadro de unidades:
km
hm
dam
m
dm
cm
mm
2. Colocar o número no quadro de unidades, localizando o último algarismo da
parte inteira sob a sua respectiva.
km
hm
dam
1
m
5,
dm
0
cm
4
mm
8
3. Ler a parte inteira acompanhada da unidade de medida do seu último
algarismo e a parte decimal acompanhada da unidade de medida do último
algarismo da mesma.
15 metros e 48 milímetros
Outros exemplos:
6,07 km
82,107 dam
0,003 m
lê-se "seis quilômetros e sete decâmetros"
lê-se "oitenta e dois decâmetros e cento e sete centímetros".
lê-se "três milímetros".
9.1.4 Transformação de Unidades
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36
Observe as seguintes transformações:
•
Transforme 16,584hm em m.
km
hm
dam
m
dm
cm
mm
Para transformar hm em m (duas posições à direita) devemos multiplicar por 100 (10
x 10).
16,584 x 100 = 1.658,4
Ou seja:
16,584hm = 1.658,4m
•
Transforme 1,463 dam em cm.
km
hm
dam
m
dm
cm
mm
Para transformar dam em cm (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000
(10 x 10 x 10).
1,463 x 1.000 = 1,463
Ou seja:
1,463dam = 1.463cm.
•
Transforme 176,9m em dam.
km
hm
dam
m
dm
cm
mm
Para transformar m em dam (uma posição à esquerda) devemos dividir por 10.
176,9 : 10 = 17,69
Ou seja:
176,9m = 17,69dam
•
Transforme 978m em km.
km
hm
dam
m
dm
cm
mm
Para transformar m em km (três posições à esquerda) devemos dividir por 1.000.
978 : 1.000 = 0,978
Ou seja:
978m = 0,978km.
Observação:
Para resolver uma expressão formada por termos com diferentes unidades, devemos
inicialmente transformar todos eles numa mesma unidade, para a seguir efetuar as operações.
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37
9.2 MEDIDAS DE SUPERFÍCIE
9.2.1 Introdução
As medidas de superfície fazem parte de nosso dia a dia e respondem a nossas
perguntas mais corriqueiras do cotidiano:
•
Qual a área desta sala?
•
Qual a área desse apartamento?
•
Quantos metros quadrados de azulejos são necessários para revestir essa
piscina?
•
Qual a área dessa quadra de futebol de salão?
•
Qual a área pintada dessa parede?
9.2.2 Superfície e área
Superfície é uma grandeza com duas dimensões, enquanto área é a medida dessa
grandeza, portanto, um número.
9.2.3 Metro Quadrado
A unidade fundamental de superfície chama-se metro quadrado.
O metro quadrado (m2) é a medida correspondente à superfície de um quadrado com
1 metro de lado.
Múltiplos
Quilômetros Hectômetro
quadrado
quadrado
2
2
km
hm
2
2
1.000.000m
10.000m
Decâmetro
quadrado
2
dam
2
100m
Unidade
Submúltiplos
Fundamental
Metro
Decímetro Centímetro
Milímetro
quadrado
quadrado
quadrado
quadrado
2
2
2
2
m
dm
cm
mm
2
2
2
2
1m
0,01m
0,0001m
0,000001m
O dam2, o hm2 e km2 são utilizados para medir grandes superfícies, enquanto o
dm2, o cm2 e o mm2 são utilizados para pequenas superfícies.
Exemplos:
1) Leia a seguinte medida: 12,56m2:
km
2
hm
2
dam
2
2
m
12,
dm
56
2
cm
2
mm
2
Lê-se “12 metros quadrados e 56 decímetros quadrados”. Cada coluna dessa tabela
corresponde a uma unidade de área.
2) Leia a seguinte medida: 178,3 m2
km
2
hm
2
dam
2
m
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2
dm
2
cm
2
mm
2
38
1
78,
30
Lê-se “178 metros quadrados e 30 decímetros quadrados”
3) Leia a seguinte medida: 0,917 dam2
km
2
hm
2
dam
0,
2
2
m
91
dm
70
2
cm
2
mm
2
Lê-se 9.170 decímetros quadrados.
9.2.4 Medidas Agrárias
As medidas agrárias são utilizadas para medir superfícies de campo, plantações,
pastos, fazendas, etc. A principal unidade destas medidas é o are (a). Possui um múltiplo, o
hectare (ha), e um submúltiplo, o centiare (ca).
Unidade
agrária
Equivalência
de valor
hectare (ha)
are (a)
centiare (ca)
100a
1a
0,01a
Lembre-se:
1 ha = 1hm
1a = 1 dam
1ca = 1m
2
2
2
9.2.5 Transformação de unidades
No sistema métrico decimal, devemos lembrar que, na transformação de unidades de
superfície, cada unidade de superfície é 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior:
Observe as seguintes transformações:
•
km
2
Transformar 2,36 m2 em mm2.
hm
2
dam
2
m
2
dm
2
cm
2
mm
2
Para transformar m2 em mm2 (três posições à direita) devemos multiplicar por
1.000.000 (100x100x100).
2,36 x 1.000.000 = 2.360.000 mm2
•
km
2
Transformar 580,2 dam2 em km2.
hm
2
dam
2
m
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2
dm
2
cm
2
mm
2
39
Para transformar dam2 em km2 (duas posições à esquerda) devemos dividir por
10.000 (100x100).
580,2 : 10.000 = 0,05802 km2
Pratique! Tente resolver esses exercícios:
1) Transforme 8,37 dm2 em mm2
2) Transforme 3,1416 m2 em cm2
3) Transforme 2,14 m2 em dam2
4) Calcule 40m x 25m
9.3 MEDIDAS DE VOLUME
9.3.1 INTRODUÇÃO
Frequentemente nos deparamos com problemas que envolvem o uso de três
dimensões: comprimento, largura e altura. De posse de tais medidas tridimensionais, poderemos
calcular medidas de metros cúbicos e volume.
9.3.2 Metro cúbico
A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico. O metro cúbico (m3) é
medida correspondente ao espaço ocupado por um cubo com 1 m de aresta.
9.3.3 Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico
Unidade
Fundamenta
l
Múltiplos
quilômetro
hectômetr
cúbico
o cúbico
km3
hm3
1.000.000.000m 1.000.000
3
m3
decâmetr
o cúbico
dam3
m3
decímetr
o cúbico
dm3
1m3
0,001m3
metro cúbico
1.000m3
Submúltiplos
centímetro
cúbico
cm3
0,000001m
3
milímetro
cúbico
mm3
0,00000000
1 m3
9.3.4 Leitura das medidas de volume
A leitura das medidas de volume segue o mesmo procedimento do aplicado às
medidas lineares. Devemos utilizar porem, três algarismos em cada unidade no quadro. No caso
de alguma casa ficar incompleta, completa-se com zero(s). Exemplos.
•
km3
Leia a seguinte medida: 75,84m3
hm3
dam3
m3
75,
dm3
840
cm3
mm3
Lê-se "75 metros cúbicos e 840 decímetros cúbicos".
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40
•
km3
Leia a medida: 0,0064dm3
hm3
dam3
m3
0,
dm3
006
cm3
400
mm3
Lê-se "6400 centímetros cúbicos".
9.3.5 Transformação de unidades
Na transformação de unidades de volume, no sistema métrico decimal, devemos
lembrar que cada unidade de volume é 1.000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
Observe a seguinte transformação:
•
km3
transformar 2,45 m3 para dm3.
hm3
dam3
m3
dm3
cm3
mm3
Para transformar m3 em dm3 (uma posição à direita) devemos multiplicar por 1.000.
2,45 x 1.000 = 2.450 dm3
Pratique! Tente resolver esses exercícios:
1) Transforme 8,132 km3 em hm3
2) Transforme 180 hm3 em km3
3) Transforme 1 dm3 em dam3
Expresse em metros cúbicos o valor da expressão: 3.540dm3 + 340.000cm3
9.4 MEDIDAS DE CAPACIDADE
A quantidade de líquido é igual ao volume interno de um recipiente, afinal quando
enchemos este recipiente, o líquido assume a forma do mesmo. Capacidade é o volume interno
de um recipiente.
A unidade fundamental de capacidade chama-se litro.
Litro é a capacidade de um cubo que tem 1dm de aresta.
1l = 1dm3
9.4.1 Múltiplos e submúltiplos do litro
Múltiplos
quilolitro hectolitro decalitro
Unidade Fundamental
litro
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Submúltiplos
decilitro centilitro mililitro
41
kl
1000l
hl
100l
dal
10l
l
1l
dl
0,1l
cl
0,01l
ml
0,001l
Cada unidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
Relações
1l = 1dm3
1 ml = 1cm3
1 kl = 1m3
9.4.2 Leitura das medidas de capacidade
•
kl
Exemplo: leia a seguinte medida: 2,478 dal
hl
dal
2,
l
4
dl
7
cl
8
ml
Lê-se "2 decalitros e 478 centilitros".
9.5 MEDIDAS DE MASSA
9.5.1 Introdução
Observe a distinção entre os conceitos de corpo e massa:
Massa é a quantidade de matéria que um corpo possui, sendo, portanto, constante em
qualquer lugar da terra ou fora dela.
Peso de um corpo é a força com que esse corpo é atraído (gravidade) para o centro da
terra. Varia de acordo com o local em que o corpo se encontra. Por exemplo:
A massa do homem na Terra ou na Lua tem o mesmo valor. O peso, no entanto, é
seis vezes maior na terra do que na lua.
Explica-se esse fenômeno pelo fato da gravidade terrestre ser 6 vezes superior à
gravidade lunar.
Observação:
A palavra grama, empregada no sentido de "unidade de medida de massa de um
corpo", é um substantivo masculino. Assim 200g, lê-se "duzentos gramas".
Quilograma
A unidade fundamental de massa chama-se quilograma.
3
O quilograma (kg) é a massa de 1dm de água destilada à
temperatura de 4ºC.
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42
Apesar de o quilograma ser a unidade fundamental de massa, utilizamos na prática o
grama como unidade principal de massa.
9.5.2 Múltiplos e Submúltiplos do grama
Unidade
principal
grama
g
1g
Múltiplos
quilograma
kg
1.000g
hectograma
hg
100g
decagrama
dag
10g
Submúltiplos
decigrama
dg
0,1g
centigrama
cg
0,01g
miligrama
mg
0,001g
Observe que cada unidade de volume é dez vezes maior que a unidade
imediatamente inferior. Exemplos:
1 dag = 10 g
1 g = 10 dg
9.5.3 Relações Importantes
Podemos relacionar as medidas de massa com as medidas de volume e capacidade.
Assim, para a água pura (destilada) a uma temperatura de 4ºC é válida a seguinte
equivalência:
3
1 kg <=> 1dm <=> 1L
São válidas também as relações:
3
3
1m <=> 1 Kl <=> 1t
1cm <=> 1ml <=> 1g
Observação:
Na medida de grandes massas, podemos utilizar ainda as seguintes unidades
especiais:
1 arroba = 15 kg
1 tonelada (t) = 1.000 kg
1 megaton = 1.000 t ou 1.000.000 kg
9.5.4 Leitura das Medidas de Massa
A leitura das medidas de massa segue o mesmo procedimento aplicado às medidas
lineares. Exemplos:
•
Leia a seguinte medida: 83,732 hg
kg
8
hg
3,
dag
7
g
3
dg
1
cg
mg
Lê-se "83 hectogramas e 731 decigramas".
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43
•
Leia a medida: 0,043g
kg
hg
dag
g
0,
dg
0
cg
4
mg
3
Lê-se " 43 miligramas".
9.5.5 Transformação de Unidades
Cada unidade de massa é 10 vezes maior que a unidade
imediatamente inferior.
Observe as Seguintes transformações:
•
Transforme 4,627 kg em dag.
kg
hg
dag
g
dg
cg
mg
Para transformar kg em dag (duas posições à direita) devemos multiplicar por 100
(10 x 10).
4,627 x 100 = 462,7
Ou seja:
4,627 kg = 462,7 dag
Observação:
Peso bruto: peso do produto com a embalagem.
Peso líquido: peso somente do produto.
9.6 MEDIDAS DE TEMPO
9.6.1 Introdução
É comum em nosso dia-a-dia pergunta do tipo:
Qual a duração dessa partida de futebol?
Qual o tempo dessa viagem?
Qual a duração desse curso?
Qual o melhor tempo obtido por esse corredor?
Todas essas perguntas serão respondidas tomando por base uma unidade padrão de
medida de tempo.
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44
A unidade de tempo escolhida como padrão no Sistema Internacional (SI) é o
segundo.
Segundo
O Sol foi o primeiro relógio do homem: o intervalo de tempo natural decorrido entre
as sucessivas passagens do Sol sobre um dado meridiano dá origem ao dia solar.
O segundo (s) é o tempo equivalente a
do dia solar médio.
As medidas de tempo não pertencem ao Sistema Métrico Decimal.
9.6.2 Múltiplos e Submúltiplos do Segundo
Quadro de unidades
minutos
min
60 s
Múltiplos
hora
h
60 min = 3.600 s
dia
d
24 h = 1.440 min = 86.400s
São submúltiplos do segundo:
•
Décimo de segundo
•
Centésimo de segundo
•
Milésimo de segundo
Cuidado: Nunca escreva 2,40h como forma de representar 2 h 40 min. Pois o
sistema de medidas de tempo não é decimal.
Observe:
9.6.3 Outras importantes (unidades de medida)
mês (comercial) = 30 dias
ano (comercial) = 360 dias
ano (normal) = 365 dias e 6 horas
ano (bissexto) = 366 dias
semana = 7 dias
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45
quinzena = 15 dias
bimestre = 2 meses
trimestre = 3 meses
quadrimestre = 4 meses
semestre = 6 meses
biênio = 2 anos
lustro ou qüinqüênio = 5 anos
década = 10 anos
século = 100 anos
milênio = 1.000 anos
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46
10 GRANDEZAS
10.1 INTRODUÇÃO
Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado. As grandezas
podem ter suas medidas aumentadas ou diminuídas.
Alguns exemplos de grandeza: o volume, a massa, a superfície, o comprimento, a
capacidade, a velocidade, o tempo, o custo e a produção.
É comum ao nosso dia-a-dia situações em que relacionamos duas ou mais grandezas.
Por exemplo:
Em uma corrida de "quilômetros contra o relógio", quanto maior for a velocidade,
menor será o tempo gasto nessa prova. Aqui as grandezas são a velocidade e o tempo.
Num forno utilizado para a produção de ferro fundido comum, quanto maior for o
tempo de uso, maior será a produção de ferro. Nesse caso, as grandezas são o tempo e a
produção.
10.2 GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Um forno tem sua produção de ferro fundido de acordo com a tabela abaixo:
Tempo (minutos)
Produção (Kg)
5
100
10
200
15
300
20
400
Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis
dependentes. Observe que:
Quando duplicamos o tempo, a produção também duplica.
5 min
100Kg
10 min
200Kg
Quando triplicamos o tempo, a produção também triplica.
5 min
100Kg
15 min
300Kg
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47
Assim:
Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente proporcionais quando a
razão entre os valores da 1ª grandeza é igual a razão entre os valores
correspondentes da 2ª
Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual a razão entre os dois
valores correspondentes da outra grandeza.
10.3 GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Um ciclista faz um treino para a prova de "1000 metros contra o relógio", mantendo
em cada volta uma velocidade constante e obtendo, assim, um tempo correspondente, conforme
a tabela abaixo
Velocidade (m/s)
Tempo (s)
5
200
8
125
10
100
16
62,5
20
50
Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis
dependentes. Observe que:
Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade.
5 m/s
200s
10 m/s
100s
Quando quadriplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à quarta parte.
5 m/s
200s
20 m/s
50s
Assim:
Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionais quando a
razão entre os valores da 1ª grandeza é igual ao inverso da razão entre os valores
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48
correspondentes da 2ª.
Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual ao inverso da razão
entre os dois valores correspondentes da outra grandeza.
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49
11 MATEMÁTICA FINANCEIRA
11.1 CONCEITOS BÁSICOS
A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de
investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos
matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa.
11.1.1 Capital
O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também
conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se
Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras).
11.1.2 Juros
Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade
produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.
JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o
capital inicial emprestado ou aplicado.
JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do
saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de
tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.
O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria
das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro
lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste
ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser
recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O
tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual
deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros.
11.2 QUANDO USAMOS JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS?
A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão
incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos
bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos
de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das
operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.
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50
11.3 TAXA DE JUROS
A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um
determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da
especificação do período de tempo a que se refere:
•
8 % a.a. - (a.a. significa ao ano).
•
10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).
Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa
percentual dividida por 100, sem o símbolo %:
•
0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês).
•
0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)
11.4 JUROS SIMPLES
O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o
valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal
ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros.
Transformando em fórmula temos:
J=P.i.n
Onde:
J = juros
P = principal (capital)
i = taxa de juros
n = número de períodos
EXEMPLO:
Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo
regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:
J = 1000 x 0.08 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante.
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos )
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51
M=P.(1+(i.n))
EXEMPLO:
Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a.
durante 145 dias.
SOLUÇÃO:
M = P . ( 1 + (i.n) )
M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42
Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou
seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um
ano comercial possui 360 dias.
Exercícios sobre juros simples:
1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.
0.13 / 6 = 0.02167
logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195
j = 1200 x 0.195 = 234
2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante
125 dias.
Temos: J = P.i.n
A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.
Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias,
poderemos calcular diretamente:
J = 40000.0,001.125 = R$5000,00
3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75
dias?
Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30)
Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja,
meses. Logo,
3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem:
P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67
4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar
um capital aplicado através de capitalização simples?
Objetivo: M = 2.P
Dados: i = 150/100 = 1,5
Fórmula: M = P (1 + i.n)
Desenvolvimento:
2P = P (1 + 1,5 n)
2 = 1 + 1,5 n
n = 2/3 ano = 8 meses
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52
11.5 JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o
mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são
incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.
Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao
principal.
Após três meses de capitalização, temos:
•
1º mês: M =P.(1 + i)
•
2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1
+ i)
•
3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
Simplificando, obtemos a fórmula:
M = P . (1 + i)n
IMPORTANTE:
A taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros
ao mês para n meses.
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
período:
J=M-P
EXEMPLO:
Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos,
durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês.
(use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788)
Resolução:
P = R$6.000,00
t = 1 ano = 12 meses
i = 3,5 % a.m. = 0,035
M=?
Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos:
M = 6000.(1+0,035)12 = 6000. (1,035)12
Fazendo x = 1,03512 e aplicando logaritmos, encontramos:
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53
log x = log 1,03512
log x = 12 log 1,035
log x = 0,1788
x = 1,509
Então M = 6000 x 1,509 = 9054.
Portanto o montante é R$9.054,00
11.5.1 Relação entre juros e progressões
•
No regime de juros simples:
o M( n ) = P + n r P
•
No regime de juros compostos:
o M( n ) = P . ( 1 + r ) n
PORTANTO:
•
num regime de capitalização a juros simples o saldo cresce em progressão
aritmética
•
num regime de capitalização a juros compostos o saldo cresce em
progressão geométrica
11.6 TAXAS
11.6.1 Taxas Equivalentes
Duas taxas i1 e i2 são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante o
mesmo período de tempo, através de diferentes períodos de capitalização, produzem o mesmo
montante final.
•
Seja o capital P aplicado por um ano a uma taxa anual ia .
•
O montante M ao final do período de 1 ano será igual a M = P(1 + ia )
•
Consideremos agora, o mesmo capital P aplicado por 12 meses a uma taxa
mensal im .
•
O montante M’ ao final do período de 12 meses será igual a M’ = P(1 + im)12.
Pela definição de taxas equivalentes vista acima, deveremos ter M = M’.
Portanto, P(1 + ia) = P(1 + im)12
Daí concluímos que 1 + ia = (1 + im)12
Com esta fórmula podemos calcular a taxa anual equivalente a uma taxa mensal
conhecida.
EXEMPLOS:
1 - Qual a taxa anual equivalente a 8% ao semestre?
Em um ano temos dois semestres, então teremos: 1 + ia = (1 + is)2
1 + ia = 1,082
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54
ia = 0,1664 = 16,64% a.a.
2 - Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês?
1 + ia = (1 + im)12
1 + ia = (1,005)12
ia = 0,0617 = 6,17% a.a.
11.6.2 Taxas Nominais
A taxa nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital
não coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos:
•
340% ao semestre com capitalização mensal.
•
1150% ao ano com capitalização mensal.
•
300% ao ano com capitalização trimestral.
EXEMPLO:
Uma taxa de 15 % a.a., capitalização mensal, terá 16.08 % a.a. como taxa efetiva:
15/12 = 1,25
1,2512 = 1,1608
11.6.3 Taxas Efetivas
A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital
coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos:
•
140% ao mês com capitalização mensal.
•
250% ao semestre com capitalização semestral.
•
1250% ao ano com capitalização anual.
11.6.4 Taxa Real
É a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação.
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55
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
SÓ MATEMÁTICA. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br> – Acesso
17 janeiro 2012.
MUNDO DA EDUCAÇÃO. Disponível em:
<http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/propriedades-das-potencias.htm> – Acesso 17
jan. 2012.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: volume único. São Paulo: Ática, 2005. (Novo
ensino médio).
Apostila de Matemática Básica – PET (Programa de Estudo Tutorial) –Física –
Universidade Estadual de Londrina. Disponível em:
<http://www.uel.br/cce/fisica/pet/Apostila.pdf> - Acesso 23 jan. 2012.
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