ESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA FUNÇÃO EXPONENCIAL PROF. CARLINHOS NOME DO ALUNO: Nº TURMA: blog.portalpositivo.com.br/capitcar 1 Antes de iniciarmos o estudo da função exponencial faremos uma revisão sobre potenciação. 1. Potência com expoente natural Dado um número real a e um número natural n diferente de zero, chama-se potência de base a e expoente n o número an que é igual ao produto de n fatores iguais a a. an = a . a . a... a, onde: a = base n = expoente Exemplos: 44 = 4 . 4 . 4 . 4 = 256 (-4)3 = (-4) . (-4) . (-4) = -64 Observação: Para n = 1, temos: a1 = a Exemplo: 61 = 6 Propriedades Dados a e b reais e m e n naturais, as seguintes propriedades são válidas: a) am. an = am +n para a diferente de zero e m > n) b) c) (ab)m = ambm d) e) ( (para b diferente de zero) )n = amn Observação: para expoentes iguais a zero, convencionou-se que a a0 = 1, com a diferente de zero. 2. Potência com expoente inteiro negativo com a diferente de zero. Exemplos: a) b) blog.portalpositivo.com.br/capitcar 2 3. Potência com expoente racional fracionário com a real positivo e n = 2, 3, 4, ... Exemplos: b) a) = = Equações exponenciais Uma equação é chamada exponencial quando a incógnita aparece no expoente. Para resolver uma equação exponencial, você deve reduzir ambos os membros da igualdade a uma mesma base. Então, basta igualar os expoentes para recair numa equação comum. Há equações exponenciais em que não é possível reduzir de imediato os dois membros à mesma base, então, para resolvê-las, devemos recorrer as propriedades da potenciação para reduzir ambos os membros da igualdade a uma mesma base. Veremos a seguir os três tipos de equações exponenciais, cuja resolução é feita através das propriedades da potenciação. 1º tipo: São as equações exponenciais onde se igualam potencias de mesma base. Exemplo: Resolva as equações a) 5x = 125. Solução: 5x = 125 5x = 53 x=3 S={3} b) 9x = 1 Solução: 9x = 1 9x = 90 x=0 S={0} x 81 3 c) = 256 4 x x x 4 81 34 3 3 3 3 Solução : = ⇒ = 4 ⇒ = ; então x = 4 256 4 4 4 4 4 S ={ 4} d ) 3 x = 4 27 3 4 Solução : 3 = 27 ⇒ 3 = 3 ⇒ 3 = 3 ; logo x = x 4 x 4 3 x 3 4 3 S= 4 2º tipo : São as equações exponenciais que recaem em equações do 2º grau. Exemplo: Resolva a equação 32x - 4.3x + 3 = 0. Solução: A expressão dada pode ser escrita na forma: blog.portalpositivo.com.br/capitcar 3 (3x)2 - 4.3x + 3 = 0 Fazendo 3x = y, temos: y2 – 4y + 3 = 0 resolvendo esta equação temos: y’ = 1 ou y’’ = 3 Como 3x= y, então: 3 x= 1 3x = 30 x = 0 ou 3x = 31 x=1 S = {0,1}. 3º tipo : São as equações exponenciais onde figuram soma ou subtração no expoente. Exemplo: Resolva a equação 2x + 1 + 2x – 2 = 9 Solução: A expressão dada pode ser escrita na forma: Fazendo 2x = y, temos: Como 2x = y, então: 2x = 4 2x = 22 x=2 S={2} EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM 1) Resolva a equações: a) 25x = 125 Resp: S = {3/2} x 1 1 = 32 Resp: S={5} c) 2 1 e) 4 b) 9x = 243 Resp: S = { 5/2} 3 d) 5 2x 27 = 125 Resp: S={3/2} 4x = 0,25 Resp: S ={1/4} 1 g) 103x = 10000 Resp: S={-4/3} 3 f) 4x= 32 Resp: S={5/6} h) 10.3x-3=810 Resp: S={7} i) 2x-4 + 2x = 34 Resp: S={5} j) 3x + 3x-1– 3x-2 =11 Resp: S={2} k) 4x-9.2x+8=0 Resp: S={0;3} l) 32x-2.3x-3=0 Resp: S={1} blog.portalpositivo.com.br/capitcar 4 FUNÇÃO EXPONENCIAL Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a variável aparecendo em expoente. Dado um número real a (a > 0 e a 1) denomina-se função exponencial de base a, toda função f:IR IR+ definida por f(x) = ax. O domínio dessa função é o conjunto IR (reais) e o contradomínio é IR+ (reais positivos, maiores que zero). Exemplos: a) f(x) = 4x b) y = Gráfico da função exponencial O gráfico da função exponencial é uma curva, na qual devemos considerar dois casos: função crescente função decrescente Acompanhe os exemplos seguintes: 1) Construa o gráfico da função: a) y =2x (nesse caso, a=2, logo a>1) Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo: x -2 -1 0 1 2 y 1/4 1/2 1 2 4 blog.portalpositivo.com.br/capitcar 5 b) y = (1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1) Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo: x -2 -1 0 1 2 y 4 2 1 1/2 1/4 Nos dois exemplos, podemos observar que a) o gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem raízes; b) o gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1); c) os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é positiva), portanto o conjunto imagem é Im=IR+. 2) Uma pessoa deposita R$ 500,00 na caderneta de poupança e, mensalmente, são creditados juros de 2% sobre o saldo. Sabendo que montante = capital + rendimento, determine: a) O montante dessa aplicação após x meses. Resolução: A aplicação na caderneta de poupança está relacionada ao montante do juros compostos, ou seja , M(t) = C.(1 + i)t, onde: C( capital) i(taxa de juros em decimal) t(período da aplicação) No caso, então: M(x) = 500.(1 + 0,02)x M(x) = 500.(1,02)x b) O montante, após 1 ano Resolução: x = 1 ano = 12 meses M(12) = 500. 1,0212 M(12) = 634,12 reais c) O rendimento no primeiro ano Sabemos que, montante = capital + rendimento, logo, rendimento = montante – capital, então: rendimento = 634,12 – 500,00 = 134,12 reais blog.portalpositivo.com.br/capitcar 6 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM 1) Construa o gráfico, determine o conjunto imagem e classifique em crescente ou decrescente as funções: 1 b) f(x) = 4 a) f(x) = 4x Resp: Crescente Im= R*+ x 1 d) f(x) = 2 c) y = 2x + 1 Resp: Decrescente Im=R*+ y Resp: Crescente Im=[1;∞[ y x +1 Resp: Decrescente Im=R*+ y y 2 1 0 1 x 0 1 x 0 ½ x 0 x 2) Chama-se montante (M) a quantia que uma pessoa deve receber após aplicar um capital C, a juros compostos, a taxa i durante um tempo t. O montante pode ser calculado pela fórmula M = C(1 + i)t. Supondo que o capital aplicado é de R$ 200.000,00 a uma taxa de 12% ao ano durante 3 anos, qual o montante no final da aplicação ? Use: 12% = 0,12 Resp: R$ 280.985,60 2 x + 3y = 11 x y 2 - 3 = 5 resp: x = 3 e y = 1 3) Resolva o sitema 4) (Ueg) A bula de certo medicamento informa que, a cada seis horas após sua ingestão, metade dele é absorvida pelo organismo. Se uma pessoa tomar 200 mg desse medicamento, quanto ainda restará a ser absorvido pelo t 1 6 organismo imediatamente após 18 horas de sua ingestão? E após t horas? Resp: 25 mg e f(t) = 200. 2 Inequações exponenciais É toda desigualdade onde a variável figura no expoente. Na resolução da inequação exponencial, devemos considerar 2 casos 1.º caso – Se a > 1, o sentido da desigualdade é conservada. blog.portalpositivo.com.br/capitcar 7 2.º caso – Se 0 < a < 1, o sentido da desigualdade se inverte. Exemplos 01. Resolva a inequação 3x < 9. Solução: A inequação proposta pode ser escrita na forma: 3x<32 Observe que as bases são iguais e maiores que 1, então devemos manter o sinal da desigualdade, isto é: x<2 O conjunto solução da inequação é: S = {x x < 2} 02. Resolva a inequação . A inequação dada pode ser escrita assim: . Observe que a base da inequação é a mesma e menor que 1. Sendo assim, invertemos o sinal da desigualdade para os expoentes: 4x > 20 x > 5. Então, S = { x x > 5} blog.portalpositivo.com.br/capitcar 8 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM 1) Resolva as inequações: a) 4x-1>2x+1 Resp: S = {x∈ℜ/ x >2} b) (0,1)5x-1≤ (0,1)2x+8 Resp: S = {x∈ℜ/ x ≥3} 1 c) 2 x2 − x > 1 64 Resp: S = {x∈ℜ/ -2 <x < 3} Bibliografia: Curso de Matemática – Volume Único Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna Matemática Fundamental - Volume Único Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD Contexto&Aplicações – Volume Único Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática blog.portalpositivo.com.br/capitcar 9