da Aula Demonstrativa

ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
Sumário
APRESENTAÇÃO .......................................................................... 2
1.
CONCEITOS ......................................................................... 4
2.
TABELAS DE FREQUÊNCIAS E HISTOGRAMAS ........................... 9
3.
GRÁFICOS DE PARETO ........................................................ 13
4.
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL ....................................... 17
5.
ASSIMETRIA ...................................................................... 20
6.
GRÁFICOS DE CAIXA (BLOXPLOT), QUARTIS E PERCENTIS ...... 23
7.
MEDIDAS DE VARIABILIDADE .............................................. 24
8.
FÓRMULA ABREVIADA DA VARIÂNCIA ................................... 28
9.
PROPRIEDADES DA MÉDIA E DA VARIÂNCIA .......................... 29
10. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ................................................... 33
11. ENUNCIADOS DE EXERCÍCIOS ............................................. 73
12. GABARITOS ....................................................................... 84
13. FORMULÁRIO DESTA AULA ................................................... 85
14. TIPOS DE GRÁFICOS VISTOS ............................................... 87
15. RESUMÃO DE CONCEITOS ................................................... 89
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1
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
APRESENTAÇÃO
Futuros auditores fiscais,
Diz a frase já excessivamente repetida do clássico chinês “A Arte da Guerra” que
devemos conhecer bem a nós mesmos e ao inimigo se quisermos vencer todas as batalhas.
“Conhece-te a ti mesmo...”
Quanto à primeira parte, digo que estudar para concursos é um ato imenso de
humildade.
Se realmente encarado como este desafio acima, estudar para um concurso te fará um
ser humano melhor.
“...Conhece teu inimigo”
Quanto a conhecer bem o inimigo, no sentido do desafio, a parte ruim é esta:
Estatística é difícil. É muito difícil. Não douro a pílula não. Uso estatística em meu trabalho
e reconheço, muitas vezes engasgo, muitas vezes devo voltar aos conceitos originais, muitas
vezes chego a beco sem saída, muitas vezes esqueço e devo estudar de novo.
Estatística é uma matéria estratégica porque é desproporcionalmente difícil e
consumidora de tempo para as poucas questões que caem. E pior, estatística cai sempre na
prova de conhecimentos gerais, que é uma grande destruidora de sonhos.
Já ouvi quem recomendasse dar os pontos por perdidos em estatística e concentrar-se
em outras matérias. Não gosto deste conselho. Ao verificar seu gabarito você pode chorar
lágrimas de sangue pela falta de preciosos pontos de estatística.
Atualmente um dos maiores filões de mercado é vender métodos para reduzir aquelas
conquistas que requerem esforço. Vende-se perder peso sem esforço. Vende-se aprender
línguas sem esforço. Vende-se passar num concurso sem esforço. Quem ficou fluente em
inglês sem persistir? Quem perdeu peso sem privações? Quem passou num concurso de
primeira sem estudar? Não prometo que você aprenderá estatística sem sua dedicação
pessoal. Mas o desafio que estas aulas se propõem é fazê-lo entender.
Você, se for experiente, já ouviu a máxima “não adianta entender se não sabe resolver
os exercícios”. Concordo com ela. Mas quem faz os exercícios sem entender, não
entenderá quando os exercícios vierem diferentes. E eles vêm. As bancas são pouco
criativas e se repetem, mas quando o examinador está inspirado, lá vem uma questão cheia
de pegadinhas para te testar, muito além dos xizes e sigmas. Leia as aulas com atenção na
parte teórica. Não deixe de ler a teoria, em Estatística é importante, e quando cai teoria não é
nada simples. Fiz estas aulas supondo que você não gosta e não tem base de estatística
(estatisticamente é maior parte dos alunos). E faça os exercícios. Não se passa sem
exercícios, fique posto. Porém saiba que não há matéria que exija mais seus fundamentos
teóricos básicos nos exercícios avançados que Estatística.
Vai ser difícil. Vai mesmo. Mas temos de passar por isto se queremos passar.
Quanto à estrutura didática desta aula, tentei ser tudo para todos. Parto do pressuposto
que meu aluno não é hábil com números e equações. Procuro ser explícito. Ao mesmo tempo,
rigoroso com as notações matemáticas.
A teoria está na parte inicial da aula, sendo desenvolvida com calma, com bastantes
exemplos gráficos e numéricos. Você precisa entender. Não adianta vender ilusão, não se
passa em estatística na base do macete, mas sim na base do conhecimento. Após isto temos
uma bateria de exercícios de concurso resolvidos. Finalmente, os enunciados para que você
mesmo resolva.
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AULA 0
Vamos observar como serão distribuídos em nossas aulas os itens do edital passado
(FCC ICMS-RJ 2013):
Aula
Tema
1
Estatística
Descritiva
Estatística
Probabilística
2
Distribuição de
Probabilidades
0
3
4
5
6
Probabilidades
Discretas
Probabilidade
Normal
Inferência
Estatística
Teste de
hipóteses e
Correlação
Item do edital
Espaço amostral e probabilidades: conceito, axiomas
Estatística Descritiva: Gráficos, tabelas, medidas de posição e de
variabilidade. Amostragem: Amostras casuais e não-casuais.
Distribuições de probabilidades discretas e contínuas (conceitos gerais e usos
de descritiva). Proporções e regras de proporcionalidade de grandezas.
Combinações, Arranjos e Permutação.
Técnicas de Contagem e Análise Combinatória: Combinações, Arranjos e
Permutação. Distribuições de probabilidade discretas: Bernoulli, binominal,
Poisson
Distribuições contínuas, especialmente a normal
Processos de amostragem, incluindo estimativas de parâmetros. Inferência:
Intervalos de confiança. Distribuições qui-quadrado, distribuição t de Student
Testes de hipóteses para médias e proporções. Correlação e Regressão
Linear simples
IMPORTANTE: Este curso será atualizado quando o próximo edital do ICMS-RJ sair. O aluno
poderá baixar as aulas que requererem atualização. Você não ficará desamparado e vai
garantir que irá para prova com toda a matéria de Estatística, e nem um sigma a menos da
ementa!
É praxe para tranquilizar o aluno e saber que não está lendo material de um néscio
comentar um pouco de sua biografia: Sou André Luiz dos Santos, engenheiro químico. Sou
formado pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, mestre em Processo Industriais
da Engenharia Química pelo Instituto de Pesquisas Tecnológicas de São Paulo e MBA em
Gestão Empresarial pela Fundação Getúlio Vargas. Aprendi a respeitar os concurseiros em sua
dedicação, pragmatismo e senso de objetivo. Procurei colocar tudo isto neste curso. Espero
que vocês não só gostem, mas passem.
Afinal, estamos estudando para passar.
Vamos lá, bons estudos!
André L. Santos
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Aula 0
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
1. CONCEITOS
Durante nossos exercícios de estatística para concurso, vamos ver
diversos conceitos espalhados pelos enunciados. No início desta aula de
estatística descritiva é prudente que repassemos os conceitos mais pedidos
pelas bancas. Dessa forma, tendo visto o conceito com rigor, poderemos
rapidamente compreender os enunciados.
A Ciência da Estatística é a ramo da Matemática que se preocupa
com a organização, descrição, análise e interpretação dos dados
experimentais. Exemplo: Este curso visa ensinar a Ciência da Estatística
População é uma coleção completa de todos os elementos a
serem estudados. Exemplo que veio da vida para a matemática, o conjunto
de todos os brasileiros é a população brasileira. O conjunto de todos os
planetas do sistema solar é uma população.
Censo é uma coleção de dados relativos a todos os elementos de
uma população. Como exemplo, a contagem dos cidadãos do um país feito
pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (por que será que tem este
nome, hein?)
Amostra é uma subcoleção de elementos extraídos de uma
população. Ao se sortear pessoas para uma entrevista, fazemos uma
“amostra” da população. Ao se tirar 2 ml de sangue para um exame clínico
com uma seringa, tiramos uma “amostra” de sangue para análise. Neste
exemplo, a população seria todo o sangue do paciente. Rapidamente percebese que trabalhar com populações é inviável.
Parâmetro é uma medida numérica que descreve uma
característica de uma população. Por exemplo, o parâmetro de expectativa
de vida do brasileiro (até agora) é 76 anos. Em média, a população de
cidadãos brasileiros vive 76 anos.
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AULA 0
Uma estatística no sentido estrito é uma medida numérica que
descreve uma característica de uma amostra. No exemplo do sangue, se
a análise resultar que o nível de glicose é de 86 mg/dl esta é uma estatística
da amostra, e só se refere à amostra. No decorrer do curso, veremos como
avaliar se a amostra é representativa da população. Pode não ser. Se
tomarmos uma amostra de óbitos de cidadãos brasileiros de zonas
notadamente carentes de saúde, teremos uma estatística de expectativa de
vida menor que 76 anos, que é diferente do parâmetro da população brasileira.
Um dado é uma unidade básica de informação, normalmente o
resultado da experiência ou observação. Por exemplo, “este frasco de talco
tem peso líquido de 199,8g”
Uma informação é o conhecimento obtido pela comparação de
diversos dados. Por exemplo, “Os frascos de talco desta marca tem peso
líquido médio de 200g”. Nota-se que esta informação não poderia ter sido
obtida do dado de um único frasco, ela veio de mais de um dado, seja da
medição de uma amostra ou população de frascos. Mas estas definições não
são escritas na rocha: No caso, se o fabricante tivesse afirmado, seria um
dado.
Uma proposição é o conjunto de palavras ou símbolos que
exprimem um pensamento ou juízo de sentido completo. Por exemplo,
“este frasco de talco tem peso líquido de 199,8g” ou 9<6. As proposições são
expressas em linguagem. Nos exemplos, a primeira foi em bom português, a
segunda em símbolos matemáticos. As proposições podem ser verdadeiras ou
falsas. No exemplo dado, 9<6 é uma proposição falsa. As proposições podem
ser simples (no caso os exemplos) ou compostas, por exemplo “este frasco de
talco tem peso líquido de 199,8g e tem gipsita em sua composição”. A
estatística lidará com proposições, mas a disciplina que lida com elas por
excelência é o raciocínio lógico.
Dados quantitativos consistem em números que representam
contagens ou medidas. Por exemplo, “Alturas dos alunos de uma sala em
metros: 1,52; 1,61; 1,54; 1,52; 1,85; 1,71”
Dados qualitativos (ou dados categóricos ou dados atributos)
podem ser separados em diferentes categorias que se distinguem por
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alguma característica não-numérica. Por exemplo, “Principais bancas no
Brasil: CESPE, ESAF, FCC, FGV, Cesgranrio, Vunesp”
Dados discretos são dados quantitativos que resultam de um
conjunto finito de valores possíveis, ou de um conjunto enumerável destes
valores. Por exemplo, “Pontuações possíveis num concurso de 160 questões de
alternativa de um ponto cada: 0,1,2,3... 157,158,159,160”
Dados contínuos (numéricos) são dados quantitativos resultam
de um número infinito de valores possíveis que podem ser associados
a pontos em uma escala contínua de tal maneira que não haja
interrupções. Por exemplo, “Velocidades instantâneas de carros num
determinado ponto da estrada em km/h: 100,2; 110,5; 96,3”
Importante: A mínima unidade de medição não significa que um dado
contínuo é discreto. Se minha régua mede até milímetros, não quer dizer
que minha medida de distância é discreta em milímetros. Se a régua mediu
25mm, a medida real bem poderia ter sido 25,46mm se tivesse um
instrumento com mais precisão, como um micrômetro, por exemplo.
Nível nominal de mensuração é caracterizado por dados que
consistem apenas em nomes, rótulos ou categorias. Os dados não podem
ser dispostos segundo um esquema ordenado. Exemplo, “Respostas possíveis
a uma pesquisa eleitoral de segundo turno: Candidato Alfa, Candidato Beta,
Branco, Nulos, Indecisos”.
Nível ordinal de mensuração envolvem dados que podem ser
dispostos em alguma ordem, mas as diferenças entre valores dos
dados não podem ser determinadas ou não tem sentido. Exemplo,
“Respostas possíveis a uma pergunta em uma pesquisa: Concordo fortemente,
concordo, indiferente, discordo, discordo fortemente, não sei”. Dá para
perceber que há uma ordem e hierarquia, mas não há uma medição precisa da
distância entre elas.
Nível intervalar de mensuração é análogo ao nível ordinal, com a
propriedade de que podemos determinar diferenças significativas
entre os dados. Todavia não existe um ponto de partida zero inerente ou
natural onde não haja qualquer quantidade presente. Isto é muito comum em
escalas com zero arbitrado. Exemplo, “temperaturas médias mensais em São
Paulo em graus Celsius, 25; 24;20;16;18;22;25”. Não se pode dizer que 20ºC
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é 20% mais quente que 24ºC porque 0ºC foi determinado arbitrariamente no
congelamento da água (isto não se aplica graus Kelvin, que parte do zero
absoluto)
Nível de razão de mensuração é o nível de intervalo modificado
de modo a incluir o ponto de partida zero inerente, onde zero significa
nenhuma quantidade presente. Para valores neste nível, tanto as
diferenças como as razões tem significado. Exemplo, “Receitas trimestrais de
uma empresa em milhões de reais: 250, 300, 200, 180”. Pode-se dizer que R$
200.000.000,00 é 20% menor que 240.000.000,00. Pode-se dizer que R$
300.000.000,00 é cem milhões de reais maior que R$ 200.000.000,00. E que
receita zero é receita nenhuma.
Um
estudo
observacional
verificam-se
e
medem-se
características específicas, mas não se tenta manipular ou modificar os
elementos a serem estudados.
Por exemplo, “Peso total bruto de
caminhões trafegando numa rodovia: 25t; 20t; 12t; 8t; 23t”
Em um experimento aplica-se determinado tratamento e passa-se
a observar seus efeitos a serem pesquisados. Exemplo “Teores de
determinada substância na urina de pacientes submetidos a tratamento:
60mg/ml; 56 mg/ml; 80 mg/ml”. Ou seja, é uma condição não natural, houve
um tratamento que podia ou não ter alterado os teores normais.
Uma amostra aleatória os elementos da população são escolhidos
de tal forma que cada um deles tenha igual chance de figurar na
amostra. Exemplo, num tanque perfeitamente agitado, 100ml de líquido são
retirados a título de amostra. Como é um granel misturado, pode-se considerar
uma amostra aleatória. Outro exemplo, num tanque com uma população de
peixes, uma rede é lançada e captura 3 peixes para exames. Supõe-se que os
peixes estejam nadando aleatoriamente.
Uma amostragem estratificada é uma amostragem que a
população é subdividida em no mínimo duas subpopulações que
compartilham das mesmas características e em seguida se extrai uma
amostra aleatória de cada extrato. Por exemplo, os computadores da
Receita Federal separam as declarações de renda de pessoas físicas em faixas
de renda e sorteiam algumas de cada faixa para escrutínios dos fiscais.
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Uma amostragem por conglomerados é uma estratificada em que
o espaço amostral é um dos conglomerados/extratos. Repetindo o
exemplo anterior, os computadores da Receita Federal separam as declarações
de IRPF em faixas de renda, mas especificamente os fiscais se interessam no
escrutínio de amostras aleatórias na faixa de renda superior do estudo. A
banca FGV considerou esta como uma definição de amostragem por
conglomerados: “na amostragem por conglomerado a população é
dividida em diferentes grupos, extraindo-se uma amostra apenas dos
conglomerados selecionados”
Uma amostragem sistemática escolhemos um ponto de partida e
selecionamos um elemento a cada determinada distância ou
frequência. Exemplo, uma tecelagem extrai uma amostra para análise de fio
a cada 10000m de fio produzido.
Um erro amostral é a diferença entre os resultados amostrais e o
verdadeiro resultado populacional; tais erros resultam de flutuações
amostrais aleatórias. Exemplo, uma linha de produção envasa um silo de 200t
de dolomita em 200.000 sacos de 1000g por hora. Em uma amostra de 5
sacos retirados aleatoriamente dos produzidos, a média de peso foi de 995g.
Este 5g é o erro amostral. Se todos os sacos, ie, a população pudesse ser
medida, o peso médio seria de 1000g.
Um erro não amostral ocorre quando os dados amostrais são
coletados, registrados ou analisados incorretamente, é um erro que não
se atribui à variação amostral aleatória, como a escolha de uma amostra não
aleatória e tendenciosa ou a utilização de um instrumento de mensuração
defeituoso. Por exemplo, no caso da linha de produção acima, os cinco sacos
de amostra podem ser medidos numa balança descalibrada que dá média de
peso deles de 975g. 25g é um erro não amostral. No caso, o amostrador
também propositadamente podia ter escolhido os sacos mais murchos para
retirar de amostra e subavaliar de caso pensado o peso do envase.
Todas as definições acima deram precisas definições do que veremos ao
longo do curso e das questões de estatística.
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2. TABELAS DE FREQUÊNCIAS E HISTOGRAMAS
Este tema é querido às bancas. Ele é bem básico, mas por que não tirar
pontos preciosos dele? Só requer experiência para no dia da pressão da prova
manipular os dados e extrair o ponto.
Uma tabela de frequências relaciona categorias (ou classes) de valores
juntamente com contagens (ou frequências) do número de valores que se
enquadram em cada categoria.
Vamos ao exemplo: Um grande fabricante de peças dividiu seus clientes
em classes de faturamento anual de pedidos para determinar o nível de
atendimento, pós-venda e assistência técnica a cada um deles.
Classe de cliente
Pedidos anuais
# clientes
Padrão
Até R$ 100.000
80
Preferencial
de R$ 100.000 até R$ 200.000
20
Premium
de R$ 200.000 até R$ 300.000
5
Nesta tabela, os limites inferiores de classe são os menores números
que podem efetivamente pertencer a cada classe. No caso, 0 (hipoteticamente.
Quem fez R$0 de pedido não é cliente); 100.000 e 200.000. Os limites
superiores de classe são os maiores números que podem efetivamente
pertencer a cada classe. Ou seja, 100.000; 200.000 e 300.000.
Uma questão que sempre pode surgir é o que fazer nas fronteiras. No
caso, a tabela já explicou usando o de... até. “De“ pertence à classe, “até” não
é da classe. Por exemplo, um cliente que tenha pedido R$ 200.000,00 exatos é
cliente Premium, porque a categoriam Premium é “de 200.000” enquanto a
Preferencial
é
“até
200.000”.
Em
linguagem
matemática,
100.000<=Preferencial<200.000
O aluno também encontrará as seguintes notações nos enunciados, todas
análogas:




100.000 <= x < 200.000
100.000 [ ---------------- [ 200.000
100.000 |----------------- 200.000
100.000
200.000
Todas elas significam a mesma coisa. Que 100.000 está incluso no
intervalo, mas 200.000 não faz parte.
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Marcas de Classe ou Pontos Médios de Classe é auto explicativo, é o
ponto médio da classe. No caso, Padrão 50.000; Preferencial 150.000;
Premium 250.000.
Finalmente, amplitude de classe é a diferença entre dois limites de
classe. Na tabela é de R$ 100.000. O exemplo apresentou amplitudes iguais,
mas nem sempre é assim. A empresa poderia ter dito que os Premium iam de
200.000 até 1.000.000. Ou até infinito, oras, alguém que quisesse fazer um
bilhão em pedido seria um tremendo cliente Premium, não?
Usualmente, a amplitude de classe para uma boa construção de classes é
dada pela amplitude dos dados dividido pelo número de classes desejada.
Amplitude é o maior menos o menor valor dos dados. A regra prática de
histogramas é que o número de classes seja a raiz quadrada do número de
valores. Sendo assim, para 50 valores termos 7 classes é um bom número a se
trabalhar (√ =7,071067...)
Finalmente, podemos montar o famoso gráfico de colunas de frequências
por classes tão venerado da estatística chamado de HISTOGRAMA. Enquanto
você ouvir falar de estatística na sua vida você ouvirá dos histogramas.
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Histograma de clientes
80
20
5
R$ 0
Padrão
Preferencial
R$ 100.000
Premium
R$ 300.000
R$ 200.000
Uma outra modalidade de tabela de frequência muito usada é a de
frequência relativa. Ela tem a vantagem que os dados dela podem ser usados
para cálculos de probabilidade, se desejar.
Frequência relativa = frequência da classe / frequência total
No exemplo dos clientes, a frequência total é a somatória do número de
clientes, ie, 105 clientes. Dividindo cada classe de cliente pela somatória
Classe de cliente
Pedidos anuais
# clientes
Freq.
Relativa
Padrão
Até R$ 100.000
80
0,76
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Preferencial
de R$ 100.000 até R$ 200.000
20
0,19
Premium
de R$ 200.000 até R$ 300.000
5
0,05
Soma clientes
105
1,00
Também o histograma pode ser feito com frequências relativas
Histograma de freq. Relativa de clientes
0,80
0,76
0,70
0,60
0,50
0,40
0,30
0,19
0,20
0,10
0,05
0,00
Padrão
Preferencial
Premium
Outra forma comum de expressar nestas tabelas é a frequência
acumulada, que é a soma das frequências daquela classe e de suas
precedentes, seja em termos absolutos, sejam em termos relativos. No caso
do exemplo, a tabela fica trabalhada um pouco diferente:
Pedidos anuais
Número clientes
Freq. Relativa Acumulada
Até R$ 100.000
80
0,76
Até R$ 200.000
100
0,95
Até R$ 300.000
105
1,00
E o histograma vira uma escadinha:
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Freq. Relativa Acumulada
1,00
0,90
0,80
0,70
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
Até R$ 100.000
Até R$ 200.000
Até R$ 300.000
O aluno perspicaz que vai ganhar muitos pontos na prova já percebeu
que forçosamente a última classe da frequência acumulada é a somatória da
tabela, e tem frequência de 1.
Um “irmão” do gráfico de histograma de frequência relativa é o famoso
gráfico de pizza. No gráfico de pizza a área de um círculo é dividida
radialmente de acordo com a frequência relativa de cada categoria. Portanto
uma categoria com 50% da frequência ocupará uma meia-lua, e assim
sucessivamente.
Vermelha; 130; 7%
Azul; 100; 5%
Cores de automóveis vendidos
Outras; 5; 0%
Verde; 15; 1%
Marrom; 50; 2%
Prata; 1000; 50%
Prata
Preta
Branca; 200; 10%
Branca
Marrom
Verde
Azul
Vermelha
Outras
Preta; 500; 25%
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3. GRÁFICOS DE PARETO
Uma aplicação muito comum das tabelas de frequências e frequências
acumuladas é o chamado gráfico de Pareto. Trata-se de dois gráficos num só.
As barras são as frequências individuais das categorias, e uma linha expressa a
frequência acumulada.
Pareto Chart of Campeoes
20
100
Count
60
10
40
5
0
Campeoes
Count
Percent
Cum %
Percent
80
15
20
Brasil
5
26,3
26,3
Italia
4
21,1
47,4
Alemanha Argentina
3
2
15,8
10,5
63,2
73,7
Uruguai
2
10,5
84,2
Other
3
15,8
100,0
0
No exemplo acima, podemos ver uma população de campeões das Copas
do Mundo até 2013. As barras é a frequência absoluta da população de
maneira ordenada decrescentemente (os últimos valores, para o bem da visão,
costumam ser agrupados). Portanto lê-se diretamente das barras que foram 5
campeonatos do Brasil, 4 da Itália, 3 da Alemanha, por exemplo. A ordenação
decrescente permite logo se perceber as maiores frequências. Qual país mais
ganhou a Copa? O Brasil, a primeira barra. Os gráficos de Pareto servem por
excelência para ressaltar as categorias mais frequentes.
A linha vermelha é a frequência acumulada. Ela permite responder, por
exemplo, a pergunta: “Quais países correspondem sozinhos à 50% das vitórias
na Copa?”. A resposta é “Brasil e Itália correspondem sozinhos à metade dos
campeonatos”.
O gráfico tem duas escalas. A da esquerda é a frequência absoluta, já a
porcentagem da direita pode ser tanto a frequência relativa (para as barras)
quanto a acumulada (para a linha).
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Gráficos de pareto são especialmente usados como ferramentas da
qualidade para avaliar as principais causas. Foram desenvolvidos pelo célebre
Juran (quem estiver estudando Administração Industrial ou Geral
provavelmente o conhece) baseado na conclusão atribuída ao economista
italiano Pareto: “Em geral, 20% das pessoas/causas consomem/geram cerca
80% dos recursos/conseqüências”. Os 20% no caso seriam as barras
absolutas, os 80% a linha acumulada.
Exemplo: Construa o gráfico de pareto das seguintes causas de
interrupção de produção industrial:
Ordena-se
absoluta
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Causa de perda de
produção
Ocorrência
Falta de matéria-prima
6
Falta de embalagem
5
Falta de demanda
4
Falta de mão de obra
2
Quebra do reator
10
Quebra da esteira
2
Acerto de estoque
1
Auditoria física
1
Força maior
1
Quedas de energia
3
Erro de instrumentação
2
decrescentemente
as
categorias
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pela
frequência
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Causa de perda de
produção
Ocorrência
Quebra do reator
10
Falta de matéria-prima
6
Falta de embalagem
5
Falta de demanda
4
Quedas de energia
3
Quebra da esteira
2
Falta de mão de obra
2
Erro de instrumentação
2
Força maior
1
Auditoria física
1
Acerto de estoque
1
AULA 0
Calcula-se a frequência relativa de cada categoria. Relembrando,
frequência relativa = frequência absoluta/soma de frequências
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Causa de perda de
produção
Ocorrência
Freq.
Rel
Quebra do reator
10
0,270
Falta de matéria-prima
6
0,162
Falta de embalagem
5
0,135
Falta de demanda
4
0,108
Quedas de energia
3
0,081
Quebra da esteira
2
0,054
Falta de mão de obra
2
0,054
Erro de instrumentação
2
0,054
Força maior
1
0,027
Auditoria física
1
0,027
Acerto de estoque
1
0,027
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15
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
Calcula-se a frequência acumulada de cada categoria.
Relembrando, frequência acumulada = frequência absoluta/soma de
frequências + frequência relativa anterior. Se você fez certo as contas,
a última categoria de frequência acumulada será igual a 1.
Ocorrência
Freq.
Relativa
Freq.
Relativa
acumulada
Quebra do reator
10
0,270
0,270
Falta de matéria-prima
6
0,162
0,432
Falta de embalagem
5
0,135
0,568
Falta de demanda
4
0,108
0,676
Quedas de energia
3
0,081
0,757
Quebra da esteira
2
0,054
0,811
Falta de mão-de-obra
2
0,054
0,865
Erro de instrumentação
2
0,054
0,919
Força maior
1
0,027
0,946
Auditoria física
1
0,027
0,973
Acerto de estoque
1
0,027
1,000
Causa de perda de
produção
Num gráfico de dois eixos de colunas/linhas atribui-se as frequências absolutas às
colunas e as frequências acumuladas à linha
12
0,973
0,9190,946
0,865
0,811
0,757
0,676
10
10
8
5
4
0,432
0,270
2
0,800
0,700
0,500
0,400
4
3
2
2
2
1
1
1
0
Prof. André L. Santos
0,900
0,600
0,568
6
6
1,000
0,300
Ocorrência
0,200
Freq. Abs
0,100
0,000
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16
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
Vê-se que é uma poderosa ferramenta estatística de qualidade. No
exemplo acima, mais de 40% das paradas foram geradas pelas duas causas
principais. Como os recursos são limitados, resolver estas duas únicas causas
de parada prioritariamente geraria um grande ganho de produtividade.
4. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Uma medida de tendência central é um valor no centro ou no meio de
um conjunto de dados
A média aritmética ou simplesmente média de um conjunto de valores
é o valor obtido somando-se todos eles e dividindo o total pelo número de
valores. É a medida de tendência central mais importante e mais usada.
Notações
Somatória de um conjunto de valores

x
Uma variável usada
individuais dos dados
para
representar
n
Número de valores de uma amostra
N
Número de valores de uma população
̅ =
∑
=
∑
valores
Média de um conjunto de valores de uma amostra
Média
população
de
um
conjunto
de
valores
de
uma
Exemplo, qual a média do conjunto: 10; 20; 25; 75?
∑
Como n=4:
̅ =
∑
=
Cuidado! Não confunda o símbolo “traço” da média com o símbolo NÃO
do operador lógico!
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ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
No exemplo acima, vê-se uma propriedade importante da média: valores
extremos afetam a média. Naquela amostra há 3 números menores que a
média, mas o 75 é tão grande comparado a eles que “puxa” a média para si.
A média ponderada de um conjunto de valores é o valor obtido pela
multiplicação dos dados pela sua proporção dividida pela soma total. É útil
para misturas e quando componentes se mesclam
̅
∑
∑
Exemplo: Uma fábrica de suco mistura duas polpas concentradas de frutas, a
primeira tem 300l e 50% de sólidos, a segunda tem 1000l e 30% de sólidos. Qual a
concentração final?
̅
∑
∑
A média de teores finais é 35%. Os valores de concentração foram ponderados.
Veremos mais detalhes da média ponderada na aula de distribuição de
probabilidades.
A mediana de um conjunto de valores é o valor que divide o conjunto
em duas partes iguais quando os valores estão em ordem crescente. O símbolo
da mediana é ̃
Quando o conjunto tem um número ímpar de elementos, a mediana é o
elemento central. Se um número par, a média dos valores centrais.
Exemplo, qual a mediana do conjunto: 500; 10; 17; 20; 19; 75; 40?
O primeiro passo é ordenar o conjunto, portanto: 10 17 19 20 40 75
500
A mediana é o número do meio porque temos um número ímpar de
elementos
10
17
19
20
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40 75
500
portanto ̃= 20
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18
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
Podemos perceber uma propriedade interessante da mediana, ela não é
afetada por pontos extremos. O 500 não move a mediana. Podia ser 76 no
lugar de 500, a mediana continuaria 20.
Exemplo, qual a mediana do conjunto: 10; 20; 25; 75?
Já temos o conjunto ordenado, mas é um número par de elementos:
10
20
25 75
A mediana é a média dos elementos centrais, ie 20 e 25. Portanto ̃= (20+25)/2 =
22,5
A moda de um conjunto de dados é o valor que ocorre com mais
frequência. Cuidado, não necessariamente a moda é única. Se há duas, o
conjunto é bimodal. Se há mais, é multimodal.
Histogram of a
30
moda
25
Frequency
20
15
10
5
0
-2,25
-1,50
-0,75
0,00
a
0,75
1,50
Abaixo, um conjunto bimodal:
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ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
Conjunto bimodal
12
moda
moda
Frequency
10
8
6
4
2
0
19,5
21,0
22,5
24,0
b
25,5
27,0
28,5
O ponto médio é o valor que está no meio do caminho entre o maior e
o menor valor.
A amplitude é a diferença entre o maior e o menor valor. Tecnicamente
a amplitude não é uma medida de tendência central, e sim de variação. Mas
como o ponto médio é a média da amplitude, explico aqui.
Exemplo: calcule a amplitude e o ponto médio de 10; 50; 60; 100; 20
O maior valor é 100, o menor é 10. Portanto a amplitude é 90. O ponto médio é a
média de 10 e 100, portanto (10+100)/2= 55
5. ASSIMETRIA
Diz-se que uma distribuição é simétrica quando as metades esquerdas
e direitas de seu histograma são iguais. Uma propriedade importantíssima de
uma distribuição simétrica é que a mediana, a moda e a média são iguais, ie,
coincidem.
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ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
Exemplo de distribuição simétrica
0
900
Média = Mediana = Moda
800
700
Frequency
600
500
400
300
200
100
0
-5,2
-3,9
-2,6
-1,3
0,0
1,3
2,6
3,9
A
Diz-se que uma distribuição é assimétrica quando as metades
esquerdas e direitas de seu histograma não são iguais e estendem-se mais
para um lado que para o outro. As distribuições assimétricas podem ser à
direta ou à esquerda, respectivamente positiva e negativa.
Uma distribuição assimétrica à esquerda tem a média e a mediana à
esquerda da moda. Já uma distribuição assimétrica à direita tem a média e a
mediana à direita da moda.
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ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
Distribuição assimétrica a direita
1
6000
1,89 2
Moda 1
Média 1,89
Mediana 2
5000
Frequency
4000
Assimetria a direita:
Média > Moda
Mediana > Moda
3000
2000
1000
0
0
2
4
6
8
10
B
Distribuição assimétrica a esquerda
8,98 9,29 9,8
1200
Moda 9,8
Mediana 9,29
Media 8,98
1000
Frequency
800
Assimetria a esquerda:
Moda > Mediana
Moda > media
600
400
200
0
1,2
2,4
3,6
4,8
6,0
7,2
8,4
9,6
d
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22
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
Resumindo:
Assimétrica à
esquerda ou
negativamente
assimétrica
Simétrica
Assimétrica à direta
ou positivamente
assimétrica
Mediana < Moda
Moda = Média =
Mediana
Mediana > Moda
Média < Moda
Média > Moda
6. GRÁFICOS DE CAIXA (BLOXPLOT), QUARTIS E PERCENTIS
A mediana tem dois “irmãos”. São o primeiro quartil e o terceiro
quartil. Se a mediana divide a distribuição ordenada em duas partes iguais,
cada uma com 50% de elementos, o primeiro quartil divide no primeiro um
quarto, ie, 25% antes versus 75% após. Analogamente, o terceiro quartil
divide em 75% e 25%.
Para calcular os quartis é da mesma maneira que a mediana. Ordena-se
a distribuição e pega-se o elemento em 25/100 n-ésima posição para o
primeiro quartil (Q1) e 75/100 n-ésima posição para o terceiro (Q3),
lembrando sempre que n é o número de elementos na distribuição. Se os
quartis ficarem entre dois elementos, adota-se o inteiro mais próximo. Em
certo sentido, a mediana é o segundo quartil (Q2).
Posição Q1 = 25/100 * n
Mediana (Q2) = 50/100 * n
; Posição Q3 = 75/100 * n; Posição da
A distância interquartílica é a diferença entre Q3 e Q1.
Os percentis são análogos aos quartis e são calculados da mesma
forma. Exemplo, O 10% percentil de uma distribuição é o elemento ordenado
que ocupa a posição 10/100 * n. O 64% percentil de forma análoga é
64/100*n. O Q1 é o 25% percentil, o Q3 é o 75% percentil e a mediana é o
50% percentil.
Posição 10% percentil = 10/100*n; Posição 64% percentil = 64/100*n
Posição k percentil = k/100 * n; onde 0<k<100%
Um gráfico muito comum em estatística para observar os quartis e
medianas é o gráfico de caixa ou bloxplot. Trata-se de uma caixa dividida na
mediana que vai do Q1 até o Q3. Veja o exemplo:
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23
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
Exemplo de Boxplot
250
Os pontos avulsos são "Outliers"
Valores extremos acima ou abaixo
dos limites
Limite superior = Q3 + 1.5 (Q3 - Q1)
200
150
Q3
100
Distância
interquartílica
mediana
Q1
50
0
Limite inferior = Q1- 1.5 (Q3 - Q1)
Os boxplot também possuem uma linha ligando até 150% da distância
interquartílica abaixo e acima de Q1 e Q3 respectivamente. Os pontos fora
deste intervalo são os ditos “outliers”, os pontos famosos da expressão “pontos
fora da curva”. Não se preocupe com outliers por hora, nunca vi caírem em
prova alguma mesmo nos exercícios de boxplot, mas sempre é bom saber.
7. MEDIDAS DE VARIABILIDADE
A amplitude de uma distribuição é a diferença entre o maior e o menor
valor. Tem uso limitado, exceto para o cálculo do ponto médio. A medida de
variação por excelência é o desvio-padrão:
O desvio-padrão de um conjunto de dados é uma medida de variação
dos valores em relação à média. É uma medida de dispersão absoluta.
A variância de um conjunto de dados é a média dos quadrados das
diferenças dos valores em relação à sua média.
Na prática, o desvio-padrão (e sua mãe, a variância) representa o “grau
de espalhamento” que os pontos estão da média. Veja o exemplo abaixo para
entender. O histograma mais “espalhado” tem maior desvio-padrão.
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24
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
Histogram of a; b
Normal
0,0016
A população "b"
tem menor desvio
padrão que "a".
Os dados são
menos
"espalhados" ao
redor das médias
0,0014
Density
0,0012
0,0010
0,0008
Variable
a
b
Mean StDev
N
5010 403,1 200
5003 275,2 200
0,0006
0,0004
0,0002
0,0000
4200
4500
4800
5100
Data
5400
5700
6000
Desvio-padrão é a raiz quadrada (√ ) da variância. Não posso
deixar de reforçar a importância deste conceito. Porque se calcula a variância
da distribuição em primeiro lugar e todas as operações com desvio devem ser
feitas com a variância. Porém o desvio-padrão é realmente aquilo útil para se
compreender a distribuição por ter a unidade dos elementos. Ou seja, fala-se
em desvio-padrão, mas se mexe nele com a variância. Insisto, este conceito
cai muito.
Vamos revisar as notações e fórmulas. Algumas são novas, outras você
já conhece:
Notações
Somatória de um conjunto de valores x
∑
x
Uma variável usada para representar valores
individuais dos dados
n
Número de valores de uma amostra
N
Número de valores de uma população
̅ =
∑
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Média de um conjunto de valores de uma amostra
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ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
=
S2=
∑
̅

=
s=√
∑
=√
Média de um conjunto de valores de uma
população
∑
(∑
∑
∑
)

∑
)
̅
=√
∑
Variância de um conjunto de valores de uma
amostra
Variância de um conjunto de valores de uma
população

(∑
AULA 0
∑
Desvio-padrão de um conjunto de valores de uma
amostra

√
∑
√ (∑
∑
)
Desvio-padrão (sigma) de
valores de uma população
um
conjunto
de
A mesma distinção entre amostra e população deve ser feita com mais
rigor no cálculo de desvio-padrão que no cálculo das médias e as bancas
cobram nas questões este conhecimento. Quando é uma amostra, a divisão é
por n-1, quando é população, por N. Por quê? Porque uma amostra perde um
grau de liberdade. Ela é uma partição de um sistema, é algo a menos que um
sistema, é um grau de liberdade a menos, portanto n-1. Ora, como a divisão é
feita por um número menor, percebemos que o desvio-padrão de uma amostra
é MAIOR que o de uma população. Lógico! A amostra é uma tentativa de
previsão da população por um subconjunto, naturalmente tem medidas mais
imprecisas.
Usualmente, o desvio-padrão “padrão” é o amostral, isto é, o s,
calculado com n-1. Inclusive é o padrão das maiorias das calculadoras
científicas. Mas cuidado, elas também tem o botão sigma N. O candidato deve
ficar esperto para perceber quando se fala de desvio-padrão se é o amostral ou
populacional. Dá para perceber que quanto maior for o tamanho da amostra,
menos importante será o desvio-padrão amostral e populacional. Natural,
porque se uma amostra começa a crescer, fica menos imprecisa perante o todo
da população, que a perda de um grau de liberdade é irrelevante.
Chega de papo! Vamos a um exemplo bem simples:
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26
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
Calcule o desvio-padrão da amostra: 2; 10; 3; 6 ;8; 2; 3 :
O procedimento é simples e pode ser usada uma tabela que nem precisa ser
ordenada:
Calcule a média ̅ =
∑
Calcule cada um dos quadrados
Faça a somatória ∑
̅
Calcule a variância S2=
∑
̅
̅
Calcule o desvio-padrão s=√
x
x- ̅
(x- ̅ )
2
-2,9
8
10
5,1
26
3
-1,9
3
6
1,1
1
8
3,1
10
2
-2,9
8
3
-1,9
3

34
-
61
n
7
média ̅
4,9
n-1
Variância s
2
6
2
10
Desvio-padrão s
3
O desvio-padrão sempre tem o número de algarismos depois da
vírgula da média. Portanto arredondamos para 27, porque esta amostra não
tem algarismos depois da vírgula.
Podemos dizer que a amostra acima tem média ̅ = 126 ± 11. O
desvio-padrão tem as mesmas unidades da média, e é sempre um “mais ou
menos” de dispersão em torno da média
O coeficiente de variação é definido como o quociente entre o desviopadrão e a média. Sua vantagem é caracterizar a dispersão dos dados em
termos relativos.
CV=
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̅
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27
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
Exemplo, uma amostra com média de 100 e desvio padrão de 20 tem coeficiente de
variação de 0,2
É uma medida de dispersão relativa.
CUIDADO! As bancas muitas vezes chamam sem critério o coeficiente de
variação de VARIABILIDADE, pura e simplesmente, e fazem uma confusão
danada entre variabilidade relativa (o CV) e absoluta (o desvio). Fique
atento.
8. FÓRMULA ABREVIADA DA VARIÂNCIA
Aqui vai um macete precioso para a sua prova.
Na aula anterior, vimos a fórmula usual para o cálculo do desvio-padrão:
s=√
∑
̅
Esta fórmula requer que se faça uma tabela para o cálculo da média.
Muitas vezes esta fórmula agrega erros de truncamentos nas médias.
Esta fórmula pode ser expressa de um segundo modo, que é
interessante por não precisar da média. É usada pelas calculadoras, porque
permite que o desvio seja recalculado a cada dado novo que se coloca na
amostra. É importante conhecê-la porque algumas bancas pedem exercícios
em que ela é usada.
Variância: s2=
Desvio: s=√
(∑
∑
)
∑
∑
Ela é um desenvolvimento da primeira fórmula. Ambas resultam no
mesmo valor. Pode fazer a conta.
Antes que me perguntem... e para populações?
Variância: 2= (∑
Desvio: =√ (∑
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∑
∑
)
)
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ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
Qual fórmula você usa na prova? Ora, veja o jeitão da questão. Se der
somatórias ou seus quadrados, pimba, use a abreviada.
Fórmula clássica
Fórmula abreviada
- Usa a média -
- Usa os quadrados -
Variância de Populações
∑
Variância de Amostras
∑
s2=
∑
2= (∑
̅
s2=
(∑
)
∑
)
9. PROPRIEDADES DA MÉDIA E DA VARIÂNCIA
A FCC adora cobrar propriedades das medidas de distribuições.
As propriedades da média são:
9.1 Multiplicando-se todos os valores de uma variável por uma
constante, a média do conjunto fica multiplicada por esta constante;
̅
Elementos
População
10
20
Multiplicando por 2
Nova População
30
10
10
16
20
20
32
X2
20
40
60
9.2 Somando-se ou subtraindo-se uma constante a todos os valores de
uma variável, a média do conjunto fica acrescida ou diminuída dessa constante
̅
Elementos
População
10
20
Somando 4
Nova População
30
10
10
16
14
14
20
+4
14
24
34
Fique atento. Especialmente porque como sempre estou reforçando aqui,
não se faz cálculos com desvio, e sim com a variância. Portanto as
propriedades da variância são:
9.3 Multiplicando-se todos os valores de uma variável por uma
constante, a variância do conjunto fica multiplicada pelo quadrado desta
constante
Elementos
População
10
Prof. André L. Santos
20
30
10
10
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64
29
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
Multiplicando por 2
AULA 0
X2
256
Nova População
20
40
60
20
20
(64 X 2^2)
9.4 Somando-se ou subtraindo-se uma constante a todos os valores de
uma variável, a variância não se altera. (Natural, porque a média se move,
não a dispersão dos valores)
Elementos
População
10
20
30
Somando 4
10
10
64
14
14
64
+4
Nova População
14
24
34
Agora vamos num exemplo com desvio-padrão amostral e variância para
o aluno ver que estas propriedades são da variância, não do desvio.
Amostra
10
5
Multiplicando por 2
10
10
100
X2
Nova amostra
20
10
20
S
s
1670
41
2
Elementos
4X41=
X 4 (ie, 2^2)
20
6680
200
164
A propriedade da
variância não se
conservou no desvio!
82
9.5 Variância combinada ocorre na combinação de duas populações:

{(∑
Onde  2=
(∑
∑
∑
)
)
 2=
∑
(∑
∑
}
∑
)
Cuidado:
Não tem mistério, é pura equação e decoreba. Mas a FCC adora esta
fórmula e não foram poucas provas em que cobrou. Se você olhar com
cuidado, verá que é pura e simplesmente a fórmula de desvios de população
abreviada somada.
ADVERTÊNCIA: O desvio-padrão combinado é a raiz da variância
combinada. Mais uma vez digo e repito, não se faz contas com desvio, e sim
com a variância.
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ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
Calcule o desvio-padrão combinado das populações A e B abaixo:
A
0
0
0
1
0
0
2
2
B
4
6
5
9
4
2
6
6
7
1
6
8
Vamos fazer os cálculos necessários
A
0
0
0
1
0
0
2
2
5
A
A2
Na
A2
0
0
0
1
0
0
4
4
9
8
B
B2
400
Nb

{(∑
{
E o desvio:
√
12
∑
}
B2
16
36
25
81
16
4
36
36
49
1
36
64
B
4
6
5
9
4
2
6
6
7
1
6
8
64
)
∑
{
=√
∑
}
}
=2,9236=3
Quer fazer o tira teima? Vamos juntar as duas populações e calcular a
variância:
AUB
0
0
0
1
0
0
2
2
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(A U B)2
0
0
0
1
0
0
4
4
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ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ

2
N
2
4
6
5
9
4
2
6
6
7
1
6
8
69
AULA 0
16
36
25
81
16
4
36
36
49
1
36
64
409
20
8,5475
Como queríamos demonstrar
Cuidado:
No exemplo acima também vale:
Sabendo que
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32
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
10.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. FCC/ICMS-RJ/2014 - O Departamento de Pessoal de certo órgão
público fez um levantamento dos salários, em número de salários
mínimos (SM), dos seus 400 funcionários, obtendo os seguintes
resultados:
Sabe-se que a mediana dos salários desses funcionários
calculada por meio dessa tabela pelo método da interpolação linear é
igual a 8,8 SM. Nessas condições, o salário médio desses 400
funcionários, em número de salários mínimos, considerando que todos
os valores incluídos em um intervalo de classe são coincidentes com o
ponto médio do intervalo, é igual a
a) 8,54
b) 8,83
c) 8,62
d) 8,93
e) 8,72
O enunciado deu uma informação muito preciosa, de que a mediana foi
interpolada em 8,8, ou seja, e está no intervalo [8,10[. Ou seja, está em x.
Outra informação é que temos 400 elementos. Se a mediana divide meio
a meio, quando chegarmos ao 8,8 temos 200 de cada lado.
Vamos entender o intervalo x
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33
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
Ora, se até 8 temos a frequência acumulada de 148 e até 8,8 temos de 200, por
divisão simples vemos que temos 200-148 em 8,8-8,0
Ou seja, 52 em 0,8
Como a classe de x tem uma extensão de 2, pela regra de 3
x= 130
Como a somatória dos intervalos é 400, temos uma equação onde chegamos à y
48 + 100 + x+ y+40=400
x+y=212
Se temos x, teremos y
130 + y = 212
y = 82
Refazendo nossa tabela
Inf (contém)
Sup (não
contém)
PM
Freq abs
4
6
5
48
6
8
7
100
8
10
9
130
10
12
11
82
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34
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
12
16
14
40
Total
400
AULA 0
E a média? Ora, é aplicar a fórmula da média ponderada, usando como x os pontos
médios dos intervalos
̅
∑
Melhor fazer esta conta com uma tabela
Inf
(contém)
Sup (não
contém)
PM (x)
Freq abs (f)
PM X Freq (x.f)
4
6
5
48
240
6
8
7
100
700
8
10
9
130
1170
10
12
11
82
902
12
16
14
40
560
Total (n)
400
xf
3572
médiaxf/n
8,93
GABARITO: D
FCC – Analista Legislativo/Contador da
Deputados 2007 – Numa pesquisa realizada com
levantaram-se as seguintes informações.
2.
Número de filhos
Proporção das famílias
0
0,17
1
0,20
2
0,24
3
0,15
4
0,10
5
0,10
6
0,04
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Câmara dos
300 famílias
35
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
Com base nestas informações, a média e a mediana do número
dos filhos são dadas, respectivamente, por:
a) 2,27 e 3
b) 3 e 2
c) 2,27 e 2
d) 2,5 e 3,5
e) 2,5 e 3
Como estamos lidando com proporções, a média desta distribuição não
será a média aritmética, mas a média ponderada (mais detalhes veremos na
aula de Distribuição de Probabilidades)
Média: ̅
∑
∑
∑
Portanto vamos fazer uma nova tabela para calcular a média:
Número de filhos
x
Proporção das
famílias
P(X)
x . P(X)
0
0,17
0
1
0,20
0,2
2
0,24
0,48
3
0,15
0,45
4
0,10
0,4
5
0,10
0,5
6
0,04
0,24
Média=  x P(x)
2,27
Metade da questão foi resolvida. Agora vamos calcular a mediana. Para
calcular a mediana, o valor que divide a amostra/população ordenada
crescentemente em 50%, vamos calcular a frequência acumulada:
Número
de filhos
x
Proporção das
famílias
P(X)
P acumulada (X)
0
0,17
0,17
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36
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
1
0,20
0,37
2
0,24
0,61
3
0,15
0,76
4
0,10
0,86
5
0,10
0,96
6
0,04
1,00
AULA 0
Ora, o valor de 50% só é alcançado em 2. Como estamos lidando com
uma tabela de frequência e números discretos, não podemos interpolar. Sendo
assim, por aproximação, a mediana é dois, 2.
GABARITO: C
CESPE/ Analista Superior Tribunal Militar - STM/2010 - A
partir do histograma mostrado na figura abaixo, é correto inferir que a
distribuição da variável X é simétrica.
3.
Se a distribuição fosse simétrica, “um lado” é igual ao outro. Simples
assim.
Ponto médio
Se fosse
simétrico seria
assim
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37
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
GABARITO: ERRADA
Para as duas questões a seguir, considere o seguinte conjunto de
dados composto por cinco elementos: {82,93; 94,54; 98,40; 115,41;
123,07}. Com base nesses dados, julgue os próximos dois itens
subsequentes (3 – 4) acerca das medidas de tendência central.
CESPE / Analista Superior Tribunal Militar / 2010 - A média
do conjunto de dados em questão é 102,87 e a mediana é 98,40. Se o
valor 123,07 for alterado para 200, a média irá aumentar, mas a
mediana continuará sendo 98,40.
4.
Ou seja, de:
82,93 94,54 98,40 115,41 123,07
Como já está ordenado, é fácil perceber que 98,40 é a mediana. Aliás o
exercício até já fala
Vira:
82,93 94,54 98,40 115,41 200,00
A média de fato muda, mas a mediana não sofre a influência de pontos
extremos. A mediana continua 98,40. Questão correta
GABARITO: CERTA
5.
CESPE / Analista Superior Tribunal Militar / 2010 - Se o
valor de um dos elementos do conjunto não for fornecido, esse valor
pode ser determinado se a média do conjunto for conhecida, mas não
será possível obter esse valor conhecendo-se apenas a mediana.
E então? Questão deveras interessante. Vamos tirar um elemento do
conjunto e chamar de incógnita Y
82,93
94,54
98,40
y
123,07 com ̅ =102,87
Ora, vamos aplicar a fórmula da média
̅ =
∑
(82,93+94,54+98,40+y+123,07)/5=102,87
Uma equação e uma incógnita. Podemos resolvê-la:
398,94+y=514,35
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y = 115,41
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38
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
Portanto pudemos chegar ao elemento faltante tendo a média.
E no caso da mediana?
82,93
94,54
98,40
y
123,07 com  ̇ =102,87
Vamos raciocinar indutivamente imaginando um y entre 98,40 e 123,07.
Se y=99
82,93 94,54 98,40 99
123,07 com  ̇ =102,87
OK
Se y=102
82,93 94,54 98,40 102
123,07 com  ̇ =102,87
OK
Então eis o ponto! A mediana não envolve fórmula, e sim posição do
elemento! Qualquer y tal que 98,40<y<123,07 faz uma mediana de 102,87.
Portanto de fato não é possível determinar o elemento faltante se a mediana
for dada.
GABARITO: CERTA
FCC/ICMS-RO/2010 - Em uma cidade é realizado um
levantamento referente aos valores recolhidos de determinado tributo
estadual no período de um mês. Analisando os documentos de
arrecadação, detectou-se 6 níveis de valores conforme consta no eixo
horizontal do gráfico abaixo, em que as colunas representam as
quantidades de recolhimentos correspondentes.
6.
Com relação às medidas de posição deste levantamento tem-se
que o valor da
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39
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
a) média aritmética é igual a metade da soma da mediana e a
moda.
b) média aritmética é igual ao valor da mediana.
c) média aritmética supera o valor da moda em R$ 125,00.
d) moda supera o valor da mediana em R$ 500,00.
e) mediana supera o valor da média aritmética em R$ 25,00.
Qual é a moda? A moda é 1500. É o valor de maior ocorrência, é o valor
da maior barra.
E a boa e velha média? Vamos calcular na marra.
̅ =x/n=(30X500+50X1000+60X1500+30X2000+20X2500+10X3000)/(
30+50+60+30+20+10)=(15000+50000+90000+60000+50000+30000)/200
=295000/200=2950/2=1475
Observe aqui que o histograma dá a frequência dos eventos. Sendo
assim, se fôssemos escrever a população, seriam trinta linhas de 500,
cinquenta linhas de 1000, sessenta de 1500 e assim vai. O número de linhas,
ie, a somatória das frequências, é o número de elementos, n.
A mediana é um cálculo interessante. Se temos 200 elementos (n) e o
histograma está ordenado, amediana é o número entre o 99º e 100º
elemento. Ora, se temos 30 de 500, 50 de 1000 e 60 de 1500, raciocine
comigo graficamente:
99º-100º
elemento
é
um
1500
0
500
1000
30º
80º
1500
140º
200º
Portanto a mediana ̇ =1500
Agora é comentarmos as questões:
a) média aritmética é igual a metade da soma da mediana e a
moda. – Nananinanão. A média é 1475, e a soma da mediana e da moda
é 1500+1500=3000
b) média aritmética é igual ao valor da mediana. – Negativo.
̅ =1475 <> ̇ =1500
c) média aritmética supera o valor da moda em R$ 125,00. –
Hum... A moda é 1500, a média é 1475. A moda supera a média em 25,
não 125. Errada
d) moda supera o valor da mediana em R$ 500,00. – A moda é
1500, a mediana é 1500. Elas são iguais. Errada
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40
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
e) mediana supera o valor da média aritmética em R$ 25,00. –
Opa, certa, certíssima. A ̇ =1500 e ̅ =1475, portanto ̇ - ̅ = R$ 25,00
GABARITO: E
7.
FCC/Analista Bacen/2006 - O histograma de frequências
absolutas a seguir foi elaborado com base nas informações contidas na
revista “O Empreiteiro”, de junho de 2005, que demonstra o
comportamento das empresas construtoras do ramo da construção
civil no Brasil que obtiveram faturamento em 2004 maior ou igual a 15
milhões de reais e menor ou igual a 120 milhões de reais
Com base nestas informações, obteve-se a média aritmética do
faturamento das empresas deste estudo, considerando que todos os
valores incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o
ponto médio deste intervalo. Com relação ao total de empresas deste
histograma, o valor encontrado para esta média pertence ao intervalo
de classe que contém
a) 24% das empresas.
b) 16% das empresas.
c) 9% das empresas.
d) 7% das empresas.
e) 5% das empresas.
Bem, vamos transformar este histograma em tabela?
Classes
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Frequencia
Absoluta
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ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
15 - 30
31
30 - 45
24
45 - 60
16
60 - 75
9
75 - 90
5
90 - 105
7
105 - 120
8
AULA 0
O exercício diz que “todos os valores incluídos num certo intervalo de
classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo”. Portanto vamos
considerar os pontos médios para as classes
Classes
Pontos Medios
Frequencia
Absoluta
15 - 30
22,5
31
30 - 45
37,5
24
45 - 60
52,5
16
60 - 75
67,5
9
75 - 90
82,5
5
90 - 105
97,5
7
105 - 120
112,5
8
Agora há dois métodos para resolver. O simples e brutal, útil se você
tiver uma planilha Excel, que é o que é mostrado abaixo... mas, haja conta!
Você perderá minutos preciosos na prova!
Classes
Pontos Medios
Frequencia
Absoluta
x.f
15 - 30
22,5
31
697,5
30 - 45
37,5
24
900
45 - 60
52,5
16
840
60 - 75
67,5
9
607,5
75 - 90
82,5
5
412,5
90 - 105
97,5
7
682,5
105 120
112,5
8
900
100
5040
f
xf
∑
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ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
̅=xf/f
50,4
E o método esperto e sem muita conta, que é útil numa prova de
concurso. Este método consiste em atribuir índices aos pontos médios, já que
os intervalos são naturalmente espaçados de 15 em 15.
(Veremos mais sobre escore z nas aulas 3 e 4)
Pontos Médios
ìndice Z
22,5
-3
37,5
-2
52,5
-1
67,5
0
82,5
1
97,5
2
112,5
3
Ou seja, quando x=67,5; z=0. Quando x=52,5; z=-1. E por simetria,
quando x=82,5, z=1
Na verdade, nosso histograma ficaria assim, o que é essencialmente o
mesmo:
35
30
25
20
15
10
5
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
A diferença é que usamos o índice z. E como é o índice z?
z=(x-62,5)/15 onde 62,5 é o ponto escolhido para 0 e 15 a amplitude
das classes
Com o índice z fica facílimo fazer as contas na prova! Veja:
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Pontos
Médios
Índice
Z
Frequencia
Absoluta
z.f
22,5
-3
31
-93
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43
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
37,5
-2
24
-48
52,5
-1
16
-16
67,5
0
9
0
82,5
1
5
5
97,5
2
7
14
112,5
3
8
24
100
-114
f
zf
̅=zf/f
-1,14
Opa, opa, opa, você deve estar dizendo. No método simples e brutal deu
50,4 e no índice z deu -1,14??? Claro, a média está expressa em índice z.
Vamos desconverter de volta para x
̅=( ̅ -62,5)/15
-1,14 = ( ̅ -62,5)/15
̅ =-1,14*15+62,5
̅ =50,4
Ohhhh...
E onde está este 50,4 no Histograma?
A classe da média tem 16 empresas num universo de 100 (que é f).
Então 16/100=16%, nossa resposta.
GABARITO: B
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44
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
8.
AULA 0
FCC/ICMS-SP/2013 - Considere:
I. O coeficiente de variação de uma variável é uma medida de
dispersão absoluta que é o resultado da divisão entre a média e o
desvio padrão da variável em questão.
II. Um dispositivo útil quando se deseja verificar se existe
correlação linear entre duas variáveis é o gráfico de colunas
justapostas.
III. O desvio padrão é mais apropriado do que o coeficiente de
variação quando se deseja comparar a variabilidade de duas variáveis.
IV. Na amostragem aleatória estratificada, a população é dividida
em estratos, usualmente, de acordo com os valores ou categorias de
uma variável, e, depois, uma amostragem aleatória simples é utilizada
na seleção de uma amostra de cada estrato.
Está correto o que se afirma APENAS em
a) I.
b) II.
c) III.
d) I e IV.
e) IV.
Ah, questões teóricas não são pontos dados não! São terríveis às vezes!
I - O coeficiente de variação de uma variável é uma medida de dispersão
absoluta que é o resultado da divisão entre a média e o desvio padrão da
variável em questão. – ERRADA. O CV é a divisão do desvio pela média. E é
uma medida relativa.
II. Um dispositivo útil quando se deseja verificar se existe correlação
linear entre duas variáveis é o gráfico de colunas justapostas. – ERRADA.
Você coloca duas colunas justapostas e faz o quê com elas? Gráfico de colunas
é útil para populações e amostras, não variáveis.
III. O desvio-padrão é mais apropriado do que o coeficiente de variação
quando se deseja comparar a variabilidade de duas variáveis. – ERRADA. Sem
levar em conta a questão subjetiva de ser apropriado ou não, o desvio-padrão
não fala nada em relação à média. Veja o exemplo abaixo. Ambas populações
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45
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
tem =100, dá para perceber que b é menos dispersa que a. Porém o CV de B
é menor que A.
Histogram of a; b
0
800
1600 2400 3200 4000 4800
a
b
700
600
Frequency
500
400
300
200
100
0
0
800 1600 2400 3200 4000 4800
IV. Na amostragem aleatória estratificada, a população é dividida em
estratos, usualmente, de acordo com os valores ou categorias de uma variável,
e, depois, uma amostragem aleatória simples é utilizada na seleção de uma
amostra de cada estrato. – CERTA. Impecável. É praticamente a definição.
GABARITO: E
9.
FCC/ISS-SP/2007 - No presente mês, o salário médio
mensal pago a todos os funcionários de uma firma foi de R$ 530,00.
Sabe-se que os salários médios mensais dos homens e mulheres são
respectivamente iguais a R$ 600,00 e R$ 500,00. No próximo mês,
todos os homens receberão um adicional de R$ 20,00 e todas as
mulheres um reajuste salarial de 10%, sobre os salários atuais.
Supondo que o quadro de funcionários não se alterou, após esses
reajustes o salário médio mensal de todos os funcionários passará a
ser igual a:
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46
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
a) R$ 540,00
b) R$ 562,00
c) R$ 571,00
d) R$ 578,00
e) R$ 580,00
Esta é uma questão de propriedades da média requer um certo
pensamento para sair do problema da ponderação. Porque mesmo que seja
simples aplicar os reajustes aos salários, depois não vai se conseguir sair para
a soma ponderada
̅
̅
̅
Aumento homens + R$20
̅
Aumento mulheres X R$1,10
̅
E ai? Temos que chegar à proporção de homens e mulheres na firma!
̅
̅
̅
A Proporção de homens e mulheres dá 1. Então temos a segunda
equação:
Voltando acima
= 0,7 in consequentiam PropH=0,3
Agora vai:
Nova media =
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̅
̅
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47
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
GABARITO: C
10.
FCC/ISS-SP/2012 - Considere as seguintes afirmações:
I.
Um dispositivo útil quando se quer verificar a associação entre
duas variáveis quantitativas é o gráfico de dispersão entre essas duas
variáveis.
II. O coeficiente de variação é uma medida de dispersão relativa
que depende da unidade de medida da variável que está sendo
analisada.
III.
Dentre as medidas de posição central, a média é considerada
uma medida robusta pelo fato de não ser afetada por valores
aberrantes.
IV.
Se o coeficiente de correlação linear de Pearson entre duas
variáveis for igual a zero, não haverá associação linear entre elas,
implicando a ausência de qualquer outro tipo de associação.
Está correto o que se afirma APENAS em
a) II e III.
b) I e II.
c) I e III.
d) II e IV.
e) I.
I.
Um dispositivo útil quando se quer verificar a associação entre duas
variáveis quantitativas é o gráfico de dispersão entre essas duas variáveis. CERTA
Vamos a um exemplo de gráfico de dispersão, vulgo X versus Y
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48
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
Dispersão de A versus C
10
8
6
a
Aparentemente há
correlação
4
2
0
5
10
15
20
25
c
II.
O coeficiente de variação é uma medida de dispersão relativa que
depende da unidade de medida da variável que está sendo analisada. –
ERRADA – De jeito nenhum. Média e desvio-padrão que compõe o CV tem a
mesma unidade.
III. Dentre as medidas de posição central, a média é considerada uma
medida robusta pelo fato de não ser afetada por valores aberrantes. –
ERRADA – Uma das propriedades e desvantagens da média é justamente ser
afetada por valores extremos.
IV.
Se o coeficiente de correlação linear de Pearson entre duas variáveis
for igual à zero, não haverá associação linear entre elas, implicando a ausência
de qualquer outro tipo de associação. – ERRADA – Veremos com mais
detalhes na última aula. O coeficiente linear de Pearson, como o nome mesmo
já diz, mede correlações lineares. OU seja, quando é zero, significa que a
correlação não é linear, mas pode haver outra correlação.
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49
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
O exemplo abaixo é uma correlação quadrática. Observem que o coeficiente linear é
bem próximo de zero, mas HÁ correlação.
Scatterplot of a vs d
Regression fit; a = 2,176 + 0,08634 d
12
Indica quase nenhuma correlação
LINEAR
10
a
8
6
4
2
0
0
20
40
60
80
100
d
GABARITO: E
COPS/ICMS-PR/2013 - Os preços, em reais, de uma
máquina de lavar roupas e de um ferro de passar roupas de marcas e
modelos idênticos variam em sete lojas, conforme mostra a tabela a
seguir.
11.
Em relação aos preços desses produtos, assinale a alternativa
correta.–
a) A mediana dos preços da máquina de lavar roupas é R$ 787,14.
b) A variabilidade dos preços é igual para os dois produtos.
c) A variabilidade dos preços da máquina de lavar roupas é maior do que
a variabilidade dos preços do ferro de
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50
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
passar roupas.
d) A variabilidade dos preços da máquina de lavar roupas é menor do
que a variabilidade dos preços do ferro de passar roupas.
e) O escore padronizado, z, do maior preço do ferro de passar roupas é
0,208 e isso indica que o preço é excepcionalmente alto em relação aos preços
das demais lojas.
Vamos alternativa por alternativa:
a) A mediana dos preços da máquina de lavar roupas é R$ 787,14. ERRADA
Basta ordenar os preços e tirar a mediana. Como há sete preços, a
mediana será o quarto preço.
Posição
Preço
1
750,00
2
760,00
3
780,00
4 - MEDIANA
790,00
5
800,00
6
810,00
7
8200,00
b) A variabilidade dos preços é igual para os dois produtos. - ERRADA
c) A variabilidade dos preços da máquina de lavar roupas é maior do que
a variabilidade dos preços do ferro de passar roupas. . - ERRADA
d) A variabilidade dos preços da máquina de lavar roupas é menor do
que a variabilidade dos preços do ferro de passar roupas. - CERTA
Particularmente detestei estas alternativas e são dignas de recurso. A
banca chamou de variabilidade o coeficiente de variação que é dispersão
relativa. Mas o desvio-padrão mede a dispersão absoluta e desvio-padrão para
o ferro é menor que da máquina de lavar roupa. Se fosse por uma medida de
dispersão absoluta, ie, o desvio, a resposta correta seria a letra C. Quem foi
por esta interpretação errou sonoramente. Injusto.
CV máquina = s máquina / ̅ máquina = 25,63 / 1841 = 0,013
CV ferro = s ferro / ̅ ferro = 4,81 / 1841 = 0,098
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ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
Portanto é a alternativa D, já que o CV máquina < CV ferro
e) O escore padronizado, z, do maior preço do ferro de passar roupas é
0,208 e isso indica que o preço é excepcionalmente alto em relação aos preços
das demais lojas. - ERRADA
Blá, Blá, blá para enrolar o candidato. Veremos escore padronizado na
aula de distribuição normal. E daí que haja um preço excepcionalmente alto
em relação às outras lojas? Estatisticamente esta afirmação não tem
significado. Se se dissesse que é um “outlier” aí teria um certo significado
estatístico.
GABARITO: D
FCC/Analista
Legislativo/Contador
da
Câmara
dos
Deputados/2007 - Se a média e a variância da variável aleatória X são
12 e 80 respectivamente, então a média e a variância da variável
aleatória Y = X/4 + 1 são dadas respectivamente por
12.
a) 4 e 20
b) 4 e 5
c) 3 e 20
d) 4 e 21
e) 3 e 5
Questão clássica de propriedades da média ( ̅ =12) e variância (s2=80).
Temos em Y uma multiplicação por constante (ie, dividir por 4 é
multiplicar por 1/4=0,25) e uma soma por constante.
Vamos relembrar as propriedades da média:
Somando-se uma constante a todos os valores de uma variável, a média
do conjunto fica acrescida dessa constante
Multiplicando-se todos os valores de uma variável por uma constante, a
média do conjunto fica multiplicada por esta constante;
Ora, Y é X multiplicado por ¼ e somado 1. Então a nova média terá
estas mesmas operações
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ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
̅
AULA 0
̅
Vamos relembrar as propriedades da variância:
Somando-se uma constante a todos os valores de uma variável, a variância não
se altera
Multiplicando-se todos os valores de uma variável por uma constante, a
variância do conjunto fica multiplicada pelo quadrado desta constante
Portanto a única operação que mudará a variância será a multplicação
por ¼, que na variância será a multiplicação por 1/16
=
( )
=80/16=5
GABARITO: B
FCC/Analista Legislativo & Contador da Câmara dos
Deputados/2007 - Para se estudar o desempenho das corretoras de
ações A e B, selecionou-se de cada uma delas amostras aleatórias das
ações negociadas. Para cada ação selecionada computou-se a
porcentagem de lucro apresentada durante o período de um ano. Os
gráficos a seguir apresentam os desenhos esquemáticos relativos à
porcentagem de lucro das amostras de A e B durante o período citado.
13.
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53
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
Relativamente à porcentagem
corretoras pode-se afirmar que
de
lucro
AULA 0
obtida
por
essas
a) exatamente 25% dos valores de A são inferiores a 55.
b) menos de 50% dos valores de B são superiores a 55.
c) o maior valor de A é 60.
d) os valores de A apresentam maior variabilidade que os de B.
e) os valores de B apresentam assimetria positiva.
Vamos relembrar:
Valor
máximo
Q3 – terceiro quartil
Mediana
Q1 – primeiro quartil
Valor
mínimo
 Até o Q1;
temos 25% dos valores
 Até a mediana (seria o Q2); 50% dos valores
 Até o Q3;
75% dos valores
a) exatamente 25% dos valores de A são inferiores a 55. –
ERRADA. Dá para ler no gráfico que Q1 de A está em +- 52
b) menos de 50% dos valores de B são superiores a 55. –
ERRADA. Dá para ver no gráfico que a mediana de B está em
+- 56/57
c) o maior valor de A é 60. – ERRADA. O maior valor de A é 70
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54
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
d) os valores de A apresentam maior variabilidade que os de B. –
CERTA. Ainda que eu odeie o termo variabilidade solto assim,
os dados de A são mais espalhados
e) os valores de B apresentam assimetria positiva. - ERRADA Sem
entrar em muita conta, vemos que a assimetria de B está mais à
esquerda/inferior (negativa em relação à mediana) que a direita.
GABARITO: D
ESAF/Receita Federal/2005 - Para dados agrupados
representados por uma curva de frequências, as diferenças entre os
valores da média, da mediana e da moda são indicadores da assimetria
da curva. Indique a relação entre essas medidas de posição para uma
distribuição negativamente assimétrica.
14.
a) A média apresenta o maior valor e a mediana se encontra
abaixo da moda.
b) A moda apresenta o maior valor e a média se encontra
abaixo da mediana.
c) A média apresenta o menor valor e a mediana se
encontra abaixo da moda.
d) A média, a mediana e a moda são coincidentes em
valor.
e) A moda apresenta o menor valor e a mediana se encontra
abaixo da média.
Distribuição assimetricamente negativa.
Assimetria negativa ou “a esquerda”
 Mediana < Moda
E
 Média < Moda
Vamos retornar ao nosso exemplo de curva assimetricamente negativa.
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55
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
Distribuição assimétrica a esquerda
8,98 9,29 9,8
1200
Moda 9,8
Mediana 9,29
Media 8,98
1000
Frequency
800
Assimetria a esquerda:
Moda > Mediana
Moda > media
600
400
200
0
1,2
2,4
3,6
4,8
6,0
7,2
8,4
9,6
d
a) A média apresenta o maior valor e a mediana se encontra
abaixo da moda. – ERRADA. Nas assimétricas negativas ou “a esquerda”
a média e a mediana estão a esquerda/abaixo da moda. Então não tem como a
média apresentar o maior valor.
b) A moda apresenta o maior valor e a média se encontra abaixo da
mediana. – ERRADA. Não necessariamente a media e mediana definem
assimetria.
c) A média apresenta o menor valor e a mediana se encontra abaixo da
moda. – CERTA. Pela definição de assimetria negativa ou “à esquerda”
Mediana < Moda
d) A média, a mediana e a moda são coincidentes em valor. – ERRADA.
Só seria verdade em distribuições simétricas
e) A moda apresenta o menor valor e a mediana se encontra abaixo da
média. – ERRADA. Pela definição, a moda é o valor mais frequente. Se a
curva é assimétrica à esquerda, a média e mediana estão abaixo da moda.
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56
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
GABARITO: C
FCC/ Analista Bacen/2006 - Em uma instituição bancária, o
salário médio dos 100 empregados do sexo masculino é de R$
1.500,00, com desvio padrão de R$ 100,00. O salário médio dos 150
empregados do sexo feminino é de R$ 1.000,00, com desvio padrão de
R$ 200,00. A variância em (R$)2 dos dois grupos reunidos é de:
15.
a) 25.600,00
b) 28.000,00
c) 50.000,00
d) 62.500,00
e) 88.000,00
Exercício de variância combinada

{(∑
∑
)
∑
∑
}
O grande segredo aí é tentar obter as somatórias do enunciado
̅ =1500;
=100
Ora, ̅
∑
⁄
∑ ⁄
∑
De maneira análoga com as mulheres:
̅ =1000;
=150 portanto ∑
Mas não temos as somatórias ao quadrado ainda. Porém temos as
variâncias individuais pelos desvios-padrão:
portanto
portanto
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57
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
Agora usamos a seguinte equação da variância:



∑
(∑
∑
(∑
)
)
(∑
(∑
)
)
∑
De maneira análoga para as mulheres


(∑
∑
)
(∑
(∑
)
)
∑
Agora juntamos todos estes números na equação combinada e fazemos
uma tremenda calculeira:

=
{(∑
∑
)
∑
{
∑
}=
}
{
}= 88.000
GABARITO: E
16. FGV/ICMS-AP/2011 - Os dados a seguir são as quantidades
de empregados de cinco pequenas empresas: 6, 5, 8, 5, 6. A variância
da quantidade de empregados dessas cinco empresas é igual a:
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58
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
a) 0,8.
b) 1,2.
c) 1,6.
d) 2,0.
e) 2,4.
Apesar de simples, aqui há um poço em que o aluno pode cair. Se ele
usar a variância de amostras (não é o caso) ele dividira por n-1, não n.
Vamos usar as duas fórmulas possíveis. Você concluirá sozinho qual é a
melhor de se usar na prova.
Fórmula clássica: 
x
(x-)2
6
0,16
5
1,96
8
2,56
5
1,96
8
2,56
x
32
n
5

6,4
(x-)2
2=
x
x2
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9,2
∑
Fórmula abreviada:  (∑
∑
1,840=2
∑
)
x
x2
6
36
5
25
8
64
5
25
8
64
32
214
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59
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
 (∑
∑
)
(o
AULA 0
desvio deve ser expresso no mesmo
número dos dados)
Veja que a tal “fórmula abreviada” é abreviada para calcular, não para se
expressar. É melhor na prova ir pela fórmula abreviada. Vejam como as contas
ficaram mais simples!
Ai algum aluno me dirá no fórum: “PROFESSOOOOR, EU FIZ NO EXCEL
PARA CONFERIR E NÃO DEU O MESMO VALOR. DEU 2,3 ”
Porque você usou VAR() ou VARA() que calculam a variância amostral
(divide por n-1). Neste caso é população, e tinha que ser a função VARP ().
GABARITO: B
17. FCC/ICMS-RO/2010 - A média aritmética de todos os
salários dos funcionários em uma repartição pública é igual a R$
1.600,00. Os salários dos funcionários do sexo masculino apresentam
um desvio padrão de R$ 90,00 com um coeficiente de variação igual a
5%. Os salários dos funcionários do sexo feminino apresentam um
desvio padrão de R$ 60,00 com um coeficiente de variação igual a 4%.
Escolhendo aleatoriamente um funcionário desta repartição, a
probabilidade dele ser do sexo feminino é igual a
a) 1/2
b) 1/3
c) 3/4
d) 3/5
e) 2/3
Vamos colocar os dados do enunciado:
Homens
Mulheres
População
µ=1600
=0,05
=0,04
Pela definição de CV: CV=
⁄
---> 0,05=90/
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60
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
⁄
AULA 0
---> 0,04=90/
Homens
Mulheres
População
µ=1600
=0,05
=0,04
=1800
=1500
A média da população é a média (ponderada) de homes e mulheres
Como homens e mulheres são frequências relativas a somatória precisa ser 1
Temos duas equações e duas incógnitas
{
Arrumando a segunda equação e a colocando na primeira:
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61
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
Em consequência da complementaridade
Gênero
x
Homens
1/3
Mulheres
2/3
As mulheres corresponde a 2/3 do total, portanto P(Mulher)=2/3
GABARITO: E
FGV/ICMS-RJ/2011
A
respeito
das
amostragem probabilística, NÃO é correto afirmar que
18.
técnicas
de
a) na amostragem por conglomerado a população é dividida em
diferentes grupos, extraindo-se uma amostra apenas dos conglomerados
selecionados.
b) na amostragem estratificada, se a população pode ser dividida
em subgrupos que consistem em indivíduos bastante semelhantes entre
si, pode-se obter uma amostra aleatória em cada grupo.
c) na amostragem aleatória simples se sorteia um elemento da
população, sendo que todos os elementos têm a mesma probabilidade de
serem selecionados.
d) na amostragem por voluntários a população é selecionada de
forma a estratificar aleatoriamente os grupos selecionados.
e) na amostragem sistemática os elementos da população se
apresentam ordenados, e a retirada dos elementos da amostra é feita
periodicamente.
a) na amostragem por conglomerado a população é dividida em
diferentes grupos, extraindo-se uma amostra apenas dos conglomerados
selecionados. – CORRETA. É a definição de amostragem por
conglomerados.
Uma amostragem por conglomerados é uma estratificada em que o
espaço amostral é um dos conglomerados/estratos.
b) na amostragem estratificada, se a população pode ser dividida
em subgrupos que consistem em indivíduos bastante semelhantes entre
si, pode-se obter uma amostra aleatória em cada grupo. – CORRETA
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62
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
Uma amostragem estratificada é uma amostragem que a população é
subdividida em no mínimo duas subpopulações que compartilham das
mesmas características e em seguida se extrai uma amostra aleatória
de cada extrato. Por exemplo, os computadores da Receita Federal separam
as declarações de renda de pessoas físicas em faixas de renda e sorteiam
algumas de cada faixa para escrutínios dos fiscais.
c) na amostragem aleatória simples se sorteia um elemento da
população, sendo que todos os elementos têm a mesma probabilidade de
serem selecionados. – CORRETA. Nem há muito que comentar. Se um
elemento tivesse mais chance não seria aleatória.
d) “na amostragem por voluntários a população é selecionada de
forma a estratificar aleatoriamente os grupos selecionados” – ERRADA.
Ora, se são “voluntários” houve vontade e arbítrio de se “voluntariar”,
então não pode ser aleatório. Façamos um exemplo, suponha que algum
instituto de pesquisa eleitoral deseje fazer uma pesquisa eleitoral
baseada em voluntários. Ora, ela nunca seria válida nem representativa,
porque os partidários de algum candidato poderiam acorrer em massa
para se voluntariar e os resultados seriam favoráveis para seu candidato.
e) “na amostragem sistemática os elementos da população se
apresentam ordenados, e a retirada dos elementos da amostra é feita
periodicamente”. CORRETA. É uma paráfrase de nossa definição:
Uma amostragem sistemática escolhemos um ponto de partida e
selecionamos um elemento a cada determinada distância ou
frequência.
Exemplo, uma tecelagem extrai uma amostra para análise de fio a cada
10000m de fio produzido.
GABARITO: D
ESAF/ Receita Federal/2005 - Em uma determinada semana
uma empresa recebeu as seguintes quantidades de pedidos para os
produtos A e B:
19.
Produto A
Produto B
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39 33
50 52
25
47
30
49
41
54
36
40
37
43
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63
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
Assinale a opção que apresente os coeficientes de variação dos
dois produtos:
a) CVA = 15,1% e CVB = 12,3%
b) CVA = 16,1% e CVB = 10,3%
c) CVA = 16,1% e CVB = 12,3%
d) CVA = 15,1% e CVB = 10,3%
e) CVA = 16,1% e CVB = 15,1%
Este exercício pede o coeficiente de variação, que é a razão entre o
desvio-padrão e a média.
O pulo do gato é saber se a banca se refere ao desvio-padrão da
população ou da amostra. Faz toda a diferença porque no primeiro caso é
dividido por n, no segundo é n-1. A ESAF julgou que era o da amostra. Eu não
estou satisfeito, porque poderia ser considerada a população da semana, o
exercício dá a entender que é a totalidade dos pedidos. Cabia recurso, até
porque maquiavelicamente a alternativa que considera a população é a D,
enquanto a que foi o gabarito é a B, a da amostra. Cabia um belíssimo recurso.
CV=s/ ̅ .
Para a média
34
̅
48
̅
Agore use a fórmula que você achar melhor para a variância:
Fórmula clássica
Fórmula abreviada
- Usa a média -
- Usa os quadrados -
Variância de Populações
∑
Variância de Amostras
∑
s2=
∑
2= (∑
̅
s2=
(∑
)
)
∑
Eu sempre prefiro a fórmula abreviada para a variância, mas nos exercícios
que se faz necessário calcular CV é melhor ir pela clássica, porque temos de
calcular a média de qualquer jeito, então na clássica passamos pela média
34
̅
A
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A- ̅
48
m
2
(A- ̅ )
B
B- ̅
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2
(B- ̅ )
64
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
39
5
21
50
2
5
33
-1
2
52
4
17
25
-9
89
47
-1
1
30
-4
20
49
1
1
41
7
43
54
6
38
36
2
2
40
-8
62
37
3
7
43
-5
24

184

147
n
7
n
7
n-1
6
n
6
s
2
2
31
s
6
s
s
24
5
Quer ainda assim calcular com a abreviada para ver? Vamos lá:
A
39
33
25
30
41
36
37

n
̅ 
2
(A)
(A2)
n-1
2

241
7
34
58081
6
A2
1521
1089
625
900
1681
1296
1369
Cálculo da Média

n
̅
B
50
52
47
49
54
40
43
B2
2500
2704
2209
2401
2916
1600
1849
335
7
48
Cálculo da Variância
(B)2
112225
2
8481
(B )
n-1
6
2
31

6

16179
24
5
==6/34=0,1765=17,6%
==5/48=0,104=10%
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65
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
Atenção! Aqui vai uma lição poderosa para você, candidato. A resposta é
letra D, mas vejam que por causa de meu arredondamento prematuro nas
médias e sigmas eu não cheguei exatamente à resposta pedida, CVA = 16,1%
e CVB = 10,3%. Só arredonde ao chegar ao fim!!!
Fazendo sem arredondar:
̅
A
39
33
25
30
41
36
37

n
s2
s
A- ̅
4,6
-1,4
-9,4
-4,4
6,6
1,6
2,6
34,4
(A- ̅ )2
20,9
2,0
88,9
19,6
43,2
2,5
6,6
183,7
7,0
30,6
5,5
==5,5/34,4=0,1598=16,0%
Só de tira-teima, à alternativa se chega usando duas casas:
==5,53/34,43=0,1606=16,1%
Temos que sempre chegar ao valor aproximado da alternativa. Mas fica a
cargo da consciência dos examinadores da ESAF quem no meio da prova vai
fazer divisões e raízes até a segunda decimal para chegar na alternativa, tsc,
tsc, tsc...
GABARITO: B
FCC/ICMS-BA/2004 - O gráfico abaixo é o histograma de
frequências absolutas de uma amostra de valores arrecadados de
determinado tributo em um município.
20.
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66
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
Com relação aos dados dessa amostra, é verdade que
a) 60% dos valores são maiores ou iguais a R$ 1 500,00
menores que R$ 3 000,00.
b) mais de 30% dos valores são maiores ou iguais a R$ 2 500,00
menores que R$ 3 500,00.
c) a porcentagem dos valores iguais ou superiores a R$ 3 500,00
maior que a porcentagem dos valores inferiores a R$ 1 500,00.
d) a frequência relativa de valores inferiores a R$ 1 500,00
menos que 10%.
e) a amplitude da amostra é igual a R$ 4 000,00.
e
e
é
é
Neste caso temos que fazer a frequência acumulada numa tabela. Vou abrir os
limites para enxergar melhor os valores
Limite
Inferior
500
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
3.500
Limite
superior
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
3.500
4.000
Soma
Frequencia
absoluta
100
100
200
400
300
300
200
1600
Frequencia
acumulada
100
200
400
800
1100
1400
1600
Frequencia acumulada
relativa
6%
13%
25%
50%
69%
88%
100%
Vamos lá, alternativa por alternativa:
a) 60% dos valores são maiores ou iguais a R$ 1 500,00 e
menores que R$ 3 000,00. – ERRADA. Vamos a nossa tabela
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67
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
Limite
Inferior
500
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
3.500
Limite
superior
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
3.500
4.000
Soma
Frequencia
absoluta
100
100
200
400
300
300
200
1600
Frequencia
acumulada
100
200
400
800
1100
1400
1600
AULA 0
Frequencia acumulada
relativa
6%
13%
25%
50%
69%
88%
100%
Ora, até R$ 3000 temos 69%, mas depois de R$ 1500 temos
valores acima de 13%. Fazendo graficamente:
1500
3000
13%
69%
Diferença 69%-13%=43%
b) mais de 30% dos valores são maiores ou iguais a R$ 2 500,00 e
menores que R$ 3 500,00. – CORRETA. Veja por quê:
Limite
Inferior
500
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
3.500
Limite
superior
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
3.500
4.000
Soma
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Frequencia
absoluta
100
100
200
400
300
300
200
1600
Frequencia
acumulada
100
200
400
800
1100
1400
1600
Frequencia acumulada
relativa
6%
13%
25%
50%
69%
88%
100%
2500
3500
50%
88%
Diferença 88%-50%=38%
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68
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
c) a porcentagem dos valores iguais ou superiores a R$ 3 500,00 é
maior que a porcentagem dos valores inferiores a R$ 1 500,00. –
ERRADA. Vamos diretamente a nossa régua:
3500
4000
88%
100%
Diferença 100%-88%=12%
0
1500
0%
13%
Diferença 13%-0%=13%
12% (>=3500) é MENOR que 13% (<=1500).
d) a frequência relativa de valores inferiores a R$ 1 500,00 é
menos que 10%. – ERRADA. Pela coluna das frequências relativas já se
vê que é 13%
e) a amplitude da amostra é igual a R$ 4 000,00. – ERRADA.
Amplitude é máximo – mínimo
Amplitude = Max – Min = 4000-500= R$ 3.500 <> R$ 4.000
GABARITO:B
21. FCC/Analista FHEMIG/2013 - Na análise descritiva de um
conjunto de dados,
a) a média corresponde sempre ao valor que divide os dados
ordenados ao meio.
b) o desvio padrão representa uma medida de tendência central.
c) se existem valores diferentes uns dos outros em um conjunto de
dados, sempre teremos valores abaixo e acima da média.
d) a mediana é sempre diferente da média.
e) o desvio padrão corresponde ao quadrado da variância.
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69
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
a) a média corresponde sempre ao valor que divide os dados
ordenados ao meio. – ERRADA. Esta é a definição de mediana.
b) o desvio padrão representa uma medida de tendência central. –
ERRADA. O desvio-padrão é uma medida de dispersão.
c) se existem valores diferentes uns dos outros em um conjunto de
dados, sempre teremos valores abaixo e acima da média. – CORRETA.
Nem precisa saber estatística para acertar esta. O nome até já diz
“média“. Quem está “na média” está “no meio”, mas NÃO É
EXATAMENTE O MEIO COMO É A MEDIANA!!!
d) a mediana é sempre diferente da média. – ERRADA. Em
distribuições simétricas ela é igual à média.
e) o desvio padrão corresponde ao quadrado da variância. –
ERRADA. É ao contrário. A variância é o quadrado do desvio-padrão.
GABARITO:C
22.
FCC/Analista FHEMIG/2013 - A respeito do boxplot é correto
afirmar:
a) Medidas descritivas como a mediana e o intervalo interquartil
são utilizadas para se obter o gráfico, entre outros elementos.
b) Entre os percentis 25% e 50% há metade dos valores do
conjunto de dados representado.
c) O intervalo interquartil é construído a partir do 1o e 2o quartis.
d) É usual se considerar um valor aberrante àquele que exceda 2
intervalos interquartis, para cima ou para baixo dos limites
da caixa definida pelo intervalo interquartil.
e) Não se permite a visualização da variabilidade dos dados
Vamos relembrar o boxplot:
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70
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
Exemplo de Boxplot
250
Os pontos avulsos são "Outliers"
Valores extremos acima ou abaixo
dos limites
Limite superior = Q3 + 1.5 (Q3 - Q1)
200
150
Q3
100
Distância
interquartílica
50
0
mediana
Q1
Limite inferior = Q1- 1.5 (Q3 - Q1)
a) Medidas descritivas como a mediana e o intervalo interquartil
são utilizadas para se obter o gráfico, entre outros elementos. –
CORRETA – Sim. Basta ver o gráfico.
b) Entre os percentis 25% e 50% há metade dos valores do
conjunto de dados representado. – ERRADA – Há na verdade um
quarto. Abaixo de 50% (a mediana) que há metade
c) O intervalo interquartil é construído a partir do 1º e 2º quartis.
– ERRADA – É construído a partir do 3º e 1º quartis
d) É usual se considerar um valor aberrante àquele que exceda 2
intervalos interquartis, para cima ou para baixo dos limites da caixa
definida pelo intervalo interquartil. – ERRADA – Esta não é a definição
de outlier, que fica nos 10% finais (ie, o 90%-ésimo)
e) Não se permite a visualização da variabilidade dos dados –
ERRADA – Como não? Um boxplot bem espalhado fala muito sobre a
variabilidade!
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71
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
GABARITO:A
23. CESPE/Tecnologista Jr/ 2010 - Dado é definido como um
valor quantitativo referente a um fato ou circunstância, número bruto
que não sofreu qualquer espécie de tratamento estatístico ou a
matéria-prima da produção de informação.
Um dado é uma unidade básica de informação, normalmente o resultado
da experiência ou observação.
Se o dado vem da experiência ou observação, ele não sofreu tratamento
de fato
GABARITO: CERTO
CESPE/Tecnologista Jr/ 201 - Entende-se como informação
o conhecimento obtido a partir dos dados, o dado trabalhado ou o
resultado da análise e combinação de vários dados, sem haver, no
entanto, nenhuma interferência por parte do analista.
24.
Uma informação é o conhecimento obtido pela comparação de diversos
dados
Em um experimento aplica-se determinado tratamento e passa-se a
observar seus efeitos a serem pesquisados.
Pode haver sim interferência,
Experimentos geram informação.
como
no
caso
de
experimentos.
GABARITO:ERRADA
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ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
ENUNCIADO DE EXERCÍCIOS
AGORA FAÇA VOCÊ
11.
ENUNCIADOS DE EXERCÍCIOS
1.
FCC/ICMS-RJ/2014 - O Departamento de Pessoal de certo
órgão público fez um levantamento dos salários, em número de
salários mínimos (SM), dos seus 400 funcionários, obtendo os
seguintes resultados:
Sabe-se que a mediana dos salários desses funcionários
calculada por meio dessa tabela pelo método da interpolação linear é
igual a 8,8 SM. Nessas condições, o salário médio desses 400
funcionários, em número de salários mínimos, considerando que todos
os valores incluídos em um intervalo de classe são coincidentes com o
ponto médio do intervalo, é igual a
a) 8,54
b) 8,83
c) 8,62
d) 8,93
e) 8,72
2.
FCC / Analista Legislativo & Contador da Câmara dos
Deputados/2007 – Numa pesquisa realizada com 300 famílias
levantaram-se as seguintes informações.
Número de filhos
Proporção das famílias
0
0,17
1
0,20
2
0,24
3
0,15
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73
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
4
0,10
5
0,10
6
0,04
AULA 0
Com base nestas informações, a média e a mediana do número
dos filhos são dadas, respectivamente, por:
2,27 e 3
3e2
c) 2,27 e 2
d) 2,5 e 3,5
e) 2,5 e 3
3.
CESPE / Analista Superior Tribunal Militar / 2010 - A partir
do histograma mostrado na figura abaixo, é correto inferir que a
distribuição da variável X é simétrica.
Para as duas questões a seguir, considere o seguinte conjunto de
dados composto por cinco elementos: {82,93; 94,54; 98,40; 115,41;
123,07}. Com base nesses dados, julgue os próximos dois itens
subsequentes (3 – 4) acerca das medidas de tendência central.
4.
CESPE/Analista Superior Tribunal Militar/ 2010 - A média
do conjunto de dados em questão é 102,87 e a mediana é 98,40. Se o
valor 123,07 for alterado para 200, a média irá aumentar, mas a
mediana continuará sendo 98,40.
5.
CESPE/ Analista Superior Tribunal Militar/ 2010 - Se o valor
de um dos elementos do conjunto não for fornecido, esse valor pode
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74
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
ser determinado se a média do conjunto for conhecida, mas não será
possível obter esse valor conhecendo-se apenas a mediana.
FCC/ ICMS-RO/ 2010 - Em uma cidade é realizado um
levantamento referente aos valores recolhidos de determinado tributo
estadual no período de um mês. Analisando os documentos de
arrecadação, detectou-se 6 níveis de valores conforme consta no eixo
horizontal do gráfico abaixo, em que as colunas representam as
quantidades de recolhimentos correspondentes.
6.
Com relação às medidas de posição deste levantamento tem-se
que o valor da
a)média aritmética é igual a metade da soma da mediana e a
moda.
b) média aritmética é igual ao valor da mediana.
c) média aritmética supera o valor da moda em R$ 125,00.
d) moda supera o valor da mediana em R$ 500,00.
e) mediana supera o valor da média aritmética em R$ 25,00.
7.
FCC/Analista Bacen/2006 - O histograma de frequências
absolutas a seguir foi elaborado com base nas informações contidas na
revista “O Empreiteiro”, de junho de 2005, que demonstra o
comportamento das empresas construtoras do ramo da construção
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75
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
civil no Brasil que obtiveram faturamento em 2004 maior ou igual a 15
milhões de reais e menor ou igual a 120 milhões de reais
Com base nestas informações, obteve-se a média aritmética do
faturamento das empresas deste estudo, considerando que todos os
valores incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o
ponto médio deste intervalo. Com relação ao total de empresas deste
histograma, o valor encontrado para esta média pertence ao intervalo
de classe que contém
a) 24% das empresas.
b) 16% das empresas.
c) 9% das empresas.
d) 7% das empresas.
e) 5% das empresas.
8.
FCC / ICMS-SP/2013 - Considere:
I. O coeficiente de variação de uma variável é uma medida de
dispersão absoluta que é o resultado da divisão entre a média e o
desvio padrão da variável em questão.
II. Um dispositivo útil quando se deseja verificar se existe
correlação linear entre duas variáveis é o gráfico de colunas
justapostas.
III. O desvio padrão é mais apropriado do que o coeficiente de
variação quando se deseja comparar a variabilidade de duas variáveis.
IV. Na amostragem aleatória estratificada, a população é dividida
em estratos, usualmente, de acordo com os valores ou categorias de
uma variável, e, depois, uma amostragem aleatória simples é utilizada
na seleção de uma amostra de cada estrato.
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76
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
Está correto o que se afirma APENAS em
a) I.
b) II.
c) III.
d) I e IV.
e) IV.
9.
FCC/ISS-SP/2007 - No presente mês, o salário médio
mensal pago a todos os funcionários de uma firma foi de R$ 530,00.
Sabe-se que os salários médios mensais dos homens e mulheres são
respectivamente iguais a R$ 600,00 e R$ 500,00. No próximo mês,
todos os homens receberão um adicional de R$ 20,00 e todas as
mulheres um reajuste salarial de 10%, sobre os salários atuais.
Supondo que o quadro de funcionários não se alterou, após esses
reajustes o salário médio mensal de todos os funcionários passará a
ser igual a:
a) R$ 540,00
b) R$ 562,00
c) R$ 571,00
d) R$ 578,00
e) R$ 580,00
10.
FCC/ISS-SP/2012 - Considere as seguintes afirmações:
I. Um dispositivo útil quando se quer verificar a associação entre
duas variáveis quantitativas é o gráfico de dispersão entre essas duas
variáveis.
II.
O coeficiente de variação é uma medida de dispersão relativa
que depende da unidade de medida da variável que está sendo
analisada.
III. Dentre as medidas de posição central, a média é considerada
uma medida robusta pelo fato de não ser afetada por valores
aberrantes.
IV.
Se o coeficiente de correlação linear de Pearson entre duas
variáveis for igual a zero, não haverá associação linear entre elas,
implicando a ausência de qualquer outro tipo de associação.
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77
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
Está correto o que se afirma APENAS em
a) II e III.
b) I e II.
c) I e III.
d) II e IV.
e) I.
11. COPS/ICMS-PR/2013 - Os preços, em reais, de uma
máquina de lavar roupas e de um ferro de passar roupas de marcas e
modelos idênticos variam em sete lojas, conforme mostra a tabela a
seguir.
Em relação aos preços desses produtos, assinale a alternativa
correta.–
a) A mediana dos preços da máquina de lavar roupas é R$ 787,14.
b) A variabilidade dos preços é igual para os dois produtos.
c) A variabilidade dos preços da máquina de lavar roupas é maior do que
a variabilidade dos preços do ferro de
passar roupas.
d) A variabilidade dos preços da máquina de lavar roupas é menor do
que a variabilidade dos preços do ferro de passar roupas.
e) O escore padronizado, z, do maior preço do ferro de passar roupas é
0,208 e isso indica que o preço é excepcionalmente alto em relação aos preços
das demais lojas.
12. FCC – Analista Legislativo & Contador da Câmara dos
Deputados 2007 - Se a média e a variância da variável aleatória X são
12 e 80 respectivamente, então a média e a variância da variável
aleatória Y = X/4 + 1 são dadas respectivamente por
a) 4 e 20
b) 4 e 5
c) 3 e 20
d) 4 e 21
e) 3 e 5
13. FCC/ Analista Legislativo & Contador da Câmara dos
Deputados/2007 - Para se estudar o desempenho das corretoras de
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78
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
ações A e B, selecionou-se de cada uma delas amostras aleatórias das
ações negociadas. Para cada ação selecionada computou-se a
porcentagem de lucro apresentada durante o período de um ano. Os
gráficos a seguir apresentam os desenhos esquemáticos relativos à
porcentagem de lucro das amostras de A e B durante o período citado.
Relativamente à porcentagem
corretoras pode-se afirmar que
de
lucro
obtida
por
essas
a) exatamente 25% dos valores de A são inferiores a 55.
b) menos de 50% dos valores de B são superiores a 55.
c) o maior valor de A é 60.
d) os valores de A apresentam maior variabilidade que os de B.
e) os valores de B apresentam assimetria positiva.
14. ESAF/Receita federal/2005 - Para dados agrupados
representados por uma curva de frequências, as diferenças entre os
valores da média, da mediana e da moda são indicadores da assimetria
da curva. Indique a relação entre essas medidas de posição para uma
distribuição negativamente assimétrica.
a) A média apresenta o maior valor e a mediana se encontra
abaixo da moda.
b) A moda apresenta o maior valor e a média se encontra
abaixo da mediana.
c) A média apresenta o menor valor e a mediana se
encontra abaixo da moda.
d) A média, a mediana e a moda são coincidentes em
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79
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
valor.
e) A moda apresenta o menor valor e a mediana se encontra
abaixo da média.
15. FCC – Analista Bacen 2006 - Em uma instituição bancária, o
salário médio dos 100 empregados do sexo masculino é de R$
1.500,00, com desvio padrão de R$ 100,00. O salário médio dos 150
empregados do sexo feminino é de R$ 1.000,00, com desvio padrão de
R$ 200,00. A variância em (R$)2 dos dois grupos reunidos é de:
a) 25.600,00
b) 28.000,00
c) 50.000,00
d) 62.500,00
e) 88.000,00
16. FGV/ ICMS-AP/ 2011 - Os dados a seguir são as
quantidades de empregados de cinco pequenas empresas: 6, 5, 8, 5, 6.
A variância da quantidade de empregados dessas cinco empresas é
igual a:
a) 0,8.
b) 1,2.
c) 1,6.
d) 2,0.
e) 2,4.
17. FCC/ICMS-RO/ 2010 - A média aritmética de todos os
salários dos funcionários em uma repartição pública é igual a R$
1.600,00. Os salários dos funcionários do sexo masculino apresentam
um desvio padrão de R$ 90,00 com um coeficiente de variação igual a
5%. Os salários dos funcionários do sexo feminino apresentam um
desvio padrão de R$ 60,00 com um coeficiente de variação igual a 4%.
Escolhendo aleatoriamente um funcionário desta repartição, a
probabilidade dele ser do sexo feminino é igual a
a) 1/2
b) 1/3
c) 3/4
d) 3/5
e) 2/3
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80
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
18. FGV/ICMS-RJ/2011
A
respeito
das
amostragem probabilística, NÃO é correto afirmar que
AULA 0
técnicas
de
a) na amostragem por conglomerado a população é dividida em
diferentes grupos, extraindo-se uma amostra apenas dos conglomerados
selecionados.
b) na amostragem estratificada, se a população pode ser dividida
em subgrupos que consistem em indivíduos bastante semelhantes entre
si, pode-se obter uma amostra aleatória em cada grupo.
c) na amostragem aleatória simples se sorteia um elemento da
população, sendo que todos os elementos têm a mesma probabilidade de
serem selecionados.
d) na amostragem por voluntários a população é selecionada de
forma a estratificar aleatoriamente os grupos selecionados.
e) na amostragem sistemática os elementos da população se
apresentam ordenados, e a retirada dos elementos da amostra é feita
periodicamente.
19. ESAF/ Receita Federal/2005 - Em uma determinada semana
uma empresa recebeu as seguintes quantidades de pedidos para os
produtos A e B:
Produto A
Produto B
39 33
50 52
25
47
30
49
41
54
36
40
37
43
Assinale a opção que apresente os coeficientes de variação dos
dois produtos:
a) CVA = 15,1% e CVB = 12,3%
b) CVA = 16,1% e CVB = 10,3%
c) CVA = 16,1% e CVB = 12,3%
d) CVA = 15,1% e CVB = 10,3%
e) CVA = 16,1% e CVB = 15,1%
20. FCC/ICMS-BA/2004 - O gráfico abaixo é o histograma de
frequências absolutas de uma amostra de valores arrecadados de
determinado tributo em um município.
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81
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
Com relação aos dados dessa amostra, é verdade que
a) 60% dos valores são maiores ou iguais a R$ 1 500,00
menores que R$ 3 000,00.
b) mais de 30% dos valores são maiores ou iguais a R$ 2 500,00
menores que R$ 3 500,00.
c) a porcentagem dos valores iguais ou superiores a R$ 3 500,00
maior que a porcentagem dos valores inferiores a R$ 1 500,00.
d) a frequência relativa de valores inferiores a R$ 1 500,00
menos que 10%.
e) a amplitude da amostra é igual a R$ 4 000,00.
e
e
é
é
21. FCC/Analista FHEMIG/2013 - Na análise descritiva de um
conjunto de dados,
a) a média corresponde sempre ao valor que divide os dados
ordenados ao meio.
b) o desvio-padrão representa uma medida de tendência central.
c) se existem valores diferentes uns dos outros em um conjunto de
dados, sempre teremos valores abaixo e acima da média.
d) a mediana é sempre diferente da média.
e) o desvio padrão corresponde ao quadrado da variância.
22.
afirmar:
FCC/Analista FHEMIG/2013 - A respeito do boxplot é correto
a) Medidas descritivas como a mediana e o intervalo interquartil
são utilizadas para se obter o gráfico, entre outros
elementos.
b) Entre os percentis 25% e 50% há metade dos valores do
conjunto de dados representado.
c) O intervalo interquartil é construído a partir do 1o e 2o quartis.
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82
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
d) É usual se considerar um valor aberrante àquele que exceda 2
intervalos interquartis, para cima ou para baixo dos limites
da caixa definida pelo intervalo interquartil.
e) Não se permite a visualização da variabilidade dos dados
23.
CESPE/Tecnologista Jr/ 2010 - Dado é definido como um
valor quantitativo referente a um fato ou circunstância, número bruto
que não sofreu qualquer espécie de tratamento estatístico ou a
matéria-prima da produção de informação.
24. CESPE/Tecnologista Jr/ 2010 Entende-se como
informação o conhecimento obtido a partir dos dados, o dado
trabalhado ou o resultado da análise e combinação de vários dados,
sem haver, no entanto, nenhuma interferência por parte do analista.
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83
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
12.
AULA 0
GABARITOS
Questão
Banca
Cargo/Órgão
Ano
Resposta
1
FCC
ICMS-RJ
2014
D
2
FCC
Analista/Contador Câmara
2007
C
3
CESPE
Analista STM
2010
Errada
4
CESPE
Analista STM
2010
Certa
5
CESPE
Analista STM
2010
Certa
6
FCC
ICMS-RO
2010
E
7
FCC
Analista Bacen
2006
B
8
FCC
ICMS-SP
2013
E
9
FCC
ISS-SP
2007
C
10
FCC
ISS-SP
2013
E
11
COPS
ICMS-PR
2013
D
12
FCC
Analista/Contador Câmara
2007
B
13
FCC
Analista/Contador Câmara
2007
D
14
ESAF
Auditor Receita Federal
2005
C
15
FCC
Analista Bacen
2006
E
16
FGV
ICMS-AP
2011
B
17
FCC
ICMS-RO
2010
E
18
FGV
ICMS-RJ
2011
D
19
ESAF
Auditor Receita Federal
2005
B
20
FCC
ICMS-BA
2004
B
21
FCC
Analista FHEMIG
2013
C
22
FCC
Analista FHEMIG
2013
A
23
CESPE
Tecnologista Jr do
Instituto Nacional do
Câncer
2010
Certa
24
CESPE
Tecnologista Jr do
Instituto Nacional do
Câncer
2010
Errada
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84
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
13.
AULA 0
FORMULÁRIO DESTA AULA
Somatória de um conjunto de valores
∑
x
Uma variável usada para representar valores individuais dos
dados
n
Número de valores de uma amostra
N
Número de valores de uma população
̅ =
∑
Média (aritmética) de um conjunto de valores de uma amostra
=
∑
Média (aritmética) de um conjunto de valores de uma população
∑
̅
Média (ponderada) de uma tabela de frequências
∑
Divide 50%/50%
̃
Mediana ̃
50%_ésimo valor
(Segundo Quartil)
Divide 25%/75%
Primeiro quartil
25%_ésimo valor
Divide 75%/25%
Terceiro quartil
75%_ésimo valor
Dinter=Q3-Q1
Distância interquartílica
Valor que ocorre com mais frequência
moda
amplitude
Ponto médio
S2=
∑
̅

=
(∑
∑
∑
=√

̅
Variância de um conjunto de valores de uma amostra
Variância de um conjunto de valores de uma população

∑
)
=√
∑
(∑
s=√
∑
)
∑
Desvio-padrão de um conjunto de valores de uma amostra

√
∑
√ (∑
Desvio-padrão (sigma) de um conjunto de valores de uma
população
∑
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)
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85
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
Diferentes maneiras de calcular a variância
Fórmula clássica
Fórmula abreviada
- Usa a média -
- Usa os quadrados -
Variância de Populações
∑
Variância de Amostras
∑
s2=
∑
2= (∑
̅
s2=
(∑
)
)
∑
Assimetria
Assimétrica a
esquerda ou
negativamente
assimétrica
Simétrica
Assimétrica a direta
ou positivamente
assimétrica
Mediana < Moda
Moda = Média =
Mediana
Mediana > Moda
Média < Moda
Média > Moda
Propriedades da média (aritmética)
Multiplicando-se todos os valores de uma variável por uma constante, a média
do conjunto fica multiplicada por esta constante
Somando-se ou subtraindo-se uma constante a todos os valores de uma
variável, a média do conjunto fica acrescida ou diminuída dessa constante
Propriedades da Variância
Multiplicando-se todos os valores de uma variável por uma constante, a
variância do conjunto fica multiplicada pelo quadrado desta constante
Somando-se ou subtraindo-se uma constante a todos os valores de uma
variável, a variância não se altera. (Natural, porque a média se move, não a
dispersão dos valores)

{(∑
∑
)
∑
∑
}
Equação da variância
combinada
Cuidado:
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86
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
14.
AULA 0
TIPOS DE GRÁFICOS VISTOS
Histograma
100
Histograma de clientes
80
80
60
40
20
20
5
0
Padrão
R$ 0
R$
PreferencialR$
Premium
R$
Histograma de frequência acumulada
Freq. Relativa Acumulada
1,00
0,80
0,60
0,40
0,20
0,00
Até R$ 100.000 Até R$ 200.000 Até R$ 300.000
Gráfico de Pareto
Gráfico de Pareto: Lançamentos por bairros paulistanos
160
100
120
100
60
80
60
40
20
0
bi ão ros na zes nia da kl in pa ma ntã ga de her
ô un o
La oe uta iran S aú O t
um laç ei r ia di
or so inh Ma Pe la S a F Bro
M B Ip
M on P a
V i arr
l
i
C
B
V
Lançamentos
18 15 14 14 13 13 12 11 11 11 9 6 4
7
Percent
11 9 9 9 8 8 8 7 7 7 6 4 3
4
Cum %
11 21 30 39 47 55 63 70 77 84 89 93 96 100
Bairros
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%
Lançamentos
140
40
20
0
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ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
Gráfico de Pizza
Cores de automóveis vendidos
Vermelha; 130; 7%
Azul; 100; 5%
Outras; 5; 0%
Verde; 15; 1%
Prata
Marrom; 50; 2%
Preta
Branca; 200; 10%
Branca
Marrom
Verde
Azul
Vermelha
Outras
Preta; 500; 25%
Prata; 1000; 50%
Dispersão XY
Dispersão de A versus C
10
8
6
a
Aparentemente há
correlação
4
2
0
5
10
15
20
25
c
Boxplot
Exemplo de Boxplot
250
Os pontos avulsos são "Outliers"
Valores extremos acima ou abaixo
dos limites
Limite superior = Q3 + 1.5 (Q3 - Q1)
200
150
Q3
100
50
0
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Distância
interquartílica
mediana
Q1
Limite inferior = Q1- 1.5 (Q3 - Q1)
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ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
15.
AULA 0
RESUMÃO DE CONCEITOS
Conceito
Definição
Ciência da Estatística
Ramo da Matemática que se preocupa com a
organização, descrição, análise e interpretação dos
dados experimentais.
População
Uma coleção completa de todos os elementos a
serem estudados
Censo
Uma coleção de dados relativos a todos os
elementos de uma população
Amostra
Uma subcoleção de elementos extraídos de uma
população
Parâmetro
Uma medida numérica que descreve uma
característica de uma população
estatística
Medida numérica que descreve uma característica
de uma amostra.
dado
uma unidade básica de informação
informação
conhecimento obtido pela comparação de diversos
dados
proposição
conjunto de palavras ou símbolos que exprimem
um pensamento ou juízo de sentido completo
Dados quantitativos
números que representam contagens ou medidas
Dados qualitativos / dados categóricos / dados
atributos
Dados separados em diferentes categorias que se
distinguem por alguma característica não-numérica
Dados discretos
Dados quantitativos que resultam de um conjunto
finito de valores possíveis
Dados contínuos
Dados quantitativos resultam de um número infinito
de valores possíveis que podem ser associados a
pontos em uma escala contínua de tal maneira que
não haja interrupções
Nível nominal de mensuração
Dados que consistem apenas em nomes, rótulos
ou categorias
Nível ordinal de mensuração
Dados que podem ser dispostos em alguma
ordem, mas as diferenças entre valores dos dados
não podem ser determinadas ou não tem sentido
Nível intervalar de mensuração
Dados que podem ser dispostos em alguma ordem
com a propriedade de que podemos determinar
diferenças significativas entre os dados. Não existe
um ponto de partida zero
Nível de razão de mensuração
Nível de intervalo modificado de modo a incluir o
ponto de partida zero inerente, onde zero significa
nenhuma quantidade presente
estudo observacional
Estudo em que se verificam e medem-se
características específicas, mas não se tenta
manipular ou modificar os elementos a serem
estudados
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89
ESTATÍSTICA PARA O ICMS-RJ
AULA 0
experimento
Aplicação de determinado tratamento para
observar seus efeitos a serem pesquisados
amostra aleatória
Amostra em que elementos da população são
escolhidos de tal forma que cada um deles tenha
igual chance de figurar na amostra
amostragem estratificada
Amostragem que a população é subdividida em no
mínimo duas subpopulações que compartilham das
mesmas características e em seguida se extrai
uma amostra aleatória de cada extrato
amostragem por conglomerados
a população é dividida em diferentes grupos,
extraindo-se uma amostra apenas dos
conglomerados selecionados
amostragem sistemática
Amostragem em que define-se um ponto de partida
e seleciona-se um elemento a cada determinada
distância ou frequência
erro amostral
Diferença entre os resultados amostrais e o
verdadeiro resultado populacional atribuido à
variação amostral aleatória
erro não amostral
Diferença entre os resultados amostrais e o
verdadeiro resultado populacional quando os
dados amostrais são coletados, registrados ou
analisados incorretamente
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