IME2004 - Olimpo

2004
IME
MATEMÁTICA
“A matemática é o alfabeto com que Deus escreveu o mundo”
Galileu Galilei
Questão 01
Calcule o número natural n que torna o determinante abaixo igual a 5.
1
−1
0
0
0
1
−1
0
−1
0
0
1
log 2 (n − 1) log 2 (n + 1) log 2 (n − 1) log 2 (n − 1)
Resolução:
Adicionando as três primeiras colunas à quarta coluna (Teorema de Jacobi), temos:
det M =
1
−1
0
0
1
−1
0
0
0
1
−1
0
0
1
−1
0
=
=5
0
0
1
0
0
1
0
−1
log 2 ( n − 1) log 2 (n + 1) log 2 (n − 1) log 2 (n − 1) log 2 ( n − 1) log 2 (n + 1) log 2 (n − 1) 3log 2 (n − 1) + log 2 (n + 1)
Desenvolvendo agora a quarta coluna pelo Método de Laplace:
1 −1 0
det M = (3log 2 (n − 1) + log 2 (n + 1))(−1) 4 + 4 0 1 −1 = 5
0
0
1
Onde desenvolvendo temos:
3log 2 (n − 1) + log 2 (n + 1) = 5 ⇒ log 2 ⎣⎡(n − 1)3 (n + 1) ⎦⎤ = 5 ⇒ (n − 1)3 (n + 1) = 32
(I)
De (I), por inspeção, temos que n= 3 é raiz (23.4 = 32).
Assim,
(n − 1)3 (n + 1) = 32 ⇒ (n − 3)(n3 + n 2 + 3n + 11) = 0
E testando as possíveis raízes racionais de n3 + n2 + 3n + 11 (que são da forma ± 11 / ± 1), nenhuma funciona, logo 3 é a única raiz natural.
Questão 02
Considere o polinômio P(x) = x3 + ax + b de coeficientes reais, com b ≠ 0. Sabendo que suas raízes são reais, demonstre que a < 0.
Resolução:
Considerando β ∈ \ uma raiz de P(x) = 0, então, P(β) = 0.
Dividindo P(x) por x- β, temos:
β
1
0
a
b
1
β
β2+a
β3+aβ+b = R(x)
Desse algoritmo obtemos a equação x2+ βx+( β2+a) = 0 que possui duas raízes reais.
Assim,
Δ = β 2 − 4( β 2 + a ) ≥ 0 ⇒ − 3β 2 − 4a ≥ 0 ∴ 3β 2 + 4a ≤ 0
Como β ∈ \ * (pois b ≠ 0 e R(x) = β3 + aβ + b deve ser nulo), temos que a < 0 (c.q.d.).
Questão 03
Considere uma pirâmide regular de altura h, cuja base é um hexágono ABCDEF de lado a. Um plano perpendicular à base e contendo
os pontos médios das arestas AB e BC divide a pirâmide em dois poliedros. Calcule a razão entre os volumes destes dois poliedros.
Resolução:
Observe os cortes da figura.
BOG
G
G
h
ABC
E
F
P
A
M
Q
B
h’
O
B
P
N
a
C
D
B
N
λQ
O
a
x
Q
a
2
M
A
C
Neles temos:
a
a 3
,
BQ = , MQ = QN =
4
4
Da semelhança entre triângulos GBO e QBP vem:
a a
. .sen120
a 3
A = 2 2
=
2
16
0
2
BMN
a
PQ BQ
PQ
h
=
⇔
= 4 ⇒ PQ =
GO BO
h
a
4
Sendo V1 o volume do tetraedro BNMQ, V o volume da pirâmide original e V2 o do sólido com vértices nos pontos M, N, C, D, E, F, A, P e G, temos:
1 a2 3 h ⎫
⎪
V2 V − V1 V
3 16 4 ⎪ V
=
= − 1 = 96 − 1 = 95
⎬ ⇒ = 96 , e ainda: V2 = V − V1 ⇒
2
V
V1
V1
V1
1 a 3 ⎪
1
V= 6
h⎪
3
4
⎭
V1 =
Questão 04
Calcule sen (x + y) em função de a e b, sabendo que o produto ab ≠ 0, que senx + seny = a e que cosx + cosy = b.
Resolução:
Transformando as somas em produtos temos:
x+ y
x− y
cos
= a (I )
2
2
x+ y
x− y
cos( x) + cos( y ) = 2cos
cos
= b ( II )
2
2
sen( x) + sen( y ) = 2 sen
E dividindo I por II temos:
tg
x+ y a
=
2
b
Daí, lembrando que
sen x =
2tg
x
2
1 + tg 2
x
2
Temos:
a
b = 2ab
sen ( x + y ) =
2
a 2 + b2
⎛a⎞
1+ ⎜ ⎟
⎝b⎠
2
Questão 05
Seja uma função f : R – {0} > R, onde R representa o conjunto dos números reais, tal que f(a/b) = f(a) – f(b) para a e b
pertencentes ao domínio de f. Demonstre que f é uma função par.
Resolução:
Para que f seja par devemos ter f(a) = f(-a), ou ainda f(a)-f(-a)= 0. E para a função dada teríamos:
f(a)-f(-a) = f(a/-a) = f(-1)= 0, para a ∈ R – {0} (condição para f par).
Calculando f (–1) temos:
f(–1) = f(1/-1) = f(1) – f(–1) (i)
f(–1) = f(–1/1) = f(–1) – f(1)
(ii)
E somando (i) + (ii), temos:
2f(–1) = 0, logo: f(–1) = 0, e então, f(a) = f(–a), ou seja, f(x) é par (c.q.d.).
Questão 06
Sendo a, b e c números naturais em progressão aritmética e z um número complexo de módulo unitário, determine um valor para
cada um dos números a, b, c e z de forma que eles satisfaçam a igualdade:
1
1
1
+ b + c = Z9
a
Z
Z
Z
Resolução:
Tomando w = 1/Z temos:
9
⎛1⎞
w a + wb + wc = ⎜ ⎟ e w = 1 .
⎝ w⎠
Como (a, b, c) é uma P.A. vem:
wa + wa + r + wa + 2 r = ( w ) ,
−9
Em que r é a razão da P.A.
1 + wr + w2 r = ( w )
−9 − a
Fazendo w2 r = −1 e wr = w−9 − a e lembrando que r é inteiro podemos tomar w = i e r = 1 para a primeira equação e observando a segunda
temos i1 = i–9–a ⇒ -9 -a = 4k + 1 ⇒ a = –10 –4k, tomando k = –3 vem a = 2.
Finalmente uma solução poderia ser:
1
a = 2, b = 3, c = 4, w = i e z = = −i.
i
Questão 07
Considere a parábola P de equação y = ax2, com a > 0 e um ponto A de coordenadas (x0, y0) satisfazendo a y0 < ax02. Seja S a
área do triângulo ATT’, onde T e T’ são os pontos de contato das tangentes a P passando por A.
a) Calcule o valor da área S em função de a, x0 e y0.
b) Calcule a equação do lugar geométrico do ponto A, admitindo que a área S seja constante.
c) Identifique a cônica representada pela equação obtida no item anterior.
Resolução:
a) Fazendo a intersecção entre a reta tangente e a parábola temos:
y = ax2
⎪⎧ y = ax
⎨
⎪⎩ y − y0 = m( x − x0 )
2
T
De onde sai,
ax 2 − mx + mx0 − y0 = 0 ( I )
T’
E, fazendo Δ = 0:
m 2 − 4a (mx0 − y0 ) = 0 ⇒ m =
t: y-y0 = m(x-x0 )
Y
A (x0 ,y0 )
4ax0 ± 16a 2 x0 2 − 16ay0
⇒ m = 2ax0 ± 2 a 2 x0 2 − ay0
2
(um valor para T e outro para T’)
a x − ay
2
Voltando em (I) e fazendo
2
O
a
x=x ±k ⇒
O
= k vem :
y
y = a ( x ± k ) e portanto
T ( x + k , a ( x + k ) ) e T ′( x − k , a ( x − k ) )
2
0
0
2
0
2
0
0
x
1
x +k
2
x −k
y
a( x + k )
a( x − k )
0
S=
1
1
1
0
0
2
0
0
S=
0
2
0
1
k (ax − y ) + ak ,
2
2
3
0
0
Que voltando com o valor de k nos dá:
(ax − y )
a
2
S =2
0
0
3
X
b) Sendo S constante temos:
S =
2
4(ax − y )
a
2
0
3
⇒
0
y = ax −
2
0
3
0
aS
4
2
c) A equação apresentada no item anterior é a de uma parábola nas variáveis x0 e y0, que é idêntica à original quando transladada em
3
aS 2
4
ao longo do eixo Oy.
Questão 08
Demonstre que o número 11...1222...25
N é um quadrado perfeito.
( n −1) vezes
n vezes
Resolução:
Podemos escrever o número dado (N) da forma
N = 111.............11
+ 111.............11
+3,
n +1 a lg arismos
2 n a lg arismos
10 − 1
9
2n
Seja n = 111.......11
= 1 + 10 + 10 + 10 + ... + 10
2
3
2 n −1
1
=
2 n a lg arismos
10 − 1
.
9
(I)
n +1
Da mesma forma seja n = 111.......11
=
2
n +1 a lg arismos
(II)
Portanto, de (I) e (II),
10 − 1 10 − 1
10 + 10 + 25 (10 ) + 2(10 )5 + 5 ⎛ 10 + 5 ⎞
+
+3=
=
=⎜
⎟
9
9
9
3
⎝ 3 ⎠
2n
N=
n +1
2n
n +1
n
n
2
2
n
2
2
Logo, consideremos:
(I) 10 deixa resto 1 quando dividido por 3, logo 10n também deixa resto 1 quando dividido por 3;
(II) 5 deixa resto 2 quando dividido por 3.
10 + 5
De (I) e (II) vem que 10n+5 é divisível por 3, ou seja,
∈` .
3
⎛ 10 + 5 ⎞
Disso vem que ⎜
⎟ é um quadrado perfeito.
⎝ 3 ⎠
n
n
2
Questão 09
Ao final de um campeonato de futebol, somaram-se as pontuações das equipes, obtendo-se um total de 35 pontos. Cada equipe
jogou com todos os outros adversários apenas uma vez. Determine quantos empates houve no campeonato, sabendo que cada
vitória valia 3 pontos, cada empate valia 1 ponto e que derrotas não pontuavam.
Resolução:
Sendo V a quantidade de jogos que terminaram com um vencedor, E a quantidade de jogos que terminaram empatados e n o número de times
participantes do torneio, temos:
⎧3V + 2 E = 35
⎪
n( n − 1)
⎨
⎪⎩V + E = C =
2
n ,2
⎧3V + 2 E = 35
⎨
⎩2V + 2 E = n(n − 1)
O que nos dá:
V = 35 − n(n − 1) e E =
3n(n − 1) − 70
2
Lembrando que n, V e E são inteiros não negativos vem:
n = 6, V = 5 e E = 10.
Questão 10
Um quadrilátero convexo ABCD está inscrito em um círculo de diâmetro d. Sabe-se que AB = BC = a , AD = d e CD = b , com a,
b e d diferentes de zero.
a) Demonstre que d2 = bd + 2a2.
b) Se a, b e d são números inteiros e a é diferente de b, mostre que d não pode ser primo.
Resolução:
a)
B α
i) No triângulo ABD (que é retângulo em B) temos:
y =d −a
2
2
e cos α =
2
AC = x
BD = y
C
x
y
a
A λ
a
d
a
d
b
D
ii) No triângulo BCD:
y = a + b − 2ab cos(180 − α )
2
2
2
y = a + b + 2ab cos(α )
2
2
2
De i e ii vem:
d − a = a + b + 2ab
2
2
2
2
a
d
2a
b + 2a − d = 0,
d
2
b +
2
2
2
Que é uma equação de 2o grau em b, logo:
−2a
⎛ 2a ⎞
± ⎜
⎟ − 4.1. ( 2a − d
d
⎝ d ⎠
b=
2
2
2
2
2
b=
−
2
−2a
4 a − 8a d + 4 d
±
d
d
⇒ b=
2
)
2
2
2
2
2
4(d − a )
2a
±
d
d
2
2
4
2
4
⇒
−2a 2(d − a )
±
d
⇒ b= d
2
2
2
2
2
Como b > 0 vem:
a d −a
+
d
d
2
b=−
2
2
⇔ bd = − a + d − a
2
2
2
⇔ d = 2a + bd
2
b) Do item anterior temos:
2
d = db + 2a , ou d (d − b) = 2a
2
2
2
E por absurdo vamos supor d primo,
i) d = 2 ⇒ b = 1 e a = 1, que é um absurdo pois a≠b.
ii) se d é primo maior do que 2, então d primo de a e portanto menor que ou igual a a, o que também é um absurdo pois d é hipotenusa e a
cateto no ΔABD.
De i e ii vem que d não é primo. (c.q.d)