Gabarito nível I

XXV COMPETIÇÃO MATEMÁTICA DO RIO GRANDE DO NORTE - 2014
PROVA DA SEGUNDA FASE - NÍVEL I - (6a e 7a Séries) - 27/09/2014
Problema 1
Mariazinha pinta bolas: uma azul, uma vermelha, uma amarela, uma verde, uma azul, uma vermelha,
uma amarela, uma verde, uma azul e assim sucessivamente, sempre mantendo essa mesma sequência de
cores. Que cor Mariazinha pinta a bola de número 594?
Resolução:
A coleção de bolas da Mariazinha é formada por bolas de 4 cores e ela as pinta numa sequência periódica
de perı́odo 4. Basta dividir 594 por 4: 594 = 4 × 148 + 2. Agora, observe que Mariazinha pinta a sequência
de 4 bolas 148 vezes mais duas. Como na sequência de pintura a segunda bola é a vermelha, a resposta é:
a bola de número 594 é vermelha.
Problema 2
Se A = 109 − 987654321 e B =
123456789+1
,
10
Resolução:
Temos que A = B = 12345679, logo
√
AB =
√
qual o valor de
√
AB?
12345679 × 12345679 =
√
123456792 = 12345679.
Problema 3
Temos 100 cartões de mesmas dimensões. Os números inteiros de 1 a 100 são escritos nos cartões, um
número por cartão. Depois de colocar todos os cartões num chapéu, embaralham-se os mesmos. Aleatoriamente, retiram-se do chapeu vinte e seis cartões. Prove que em dois desses cartões retirados, necessariamente
os números escritos diferem por 1; 2 ou 3.
Resolução:
Dividem-se os cartões em grupos de quatro, nos quais os respectivos números escritos são:
(1, 2, 3, 4); (5, 6, 7, 8); (9, 10, 11, 12); · · · ; (97, 98, 99, 100)
Desse modo, formamos 100/4 = 25 grupos de 4 cartões. Se retiramos 26 cartões, então, necessariamente
teremos dois do mesmo grupo, o que implica que os números neles escritos diferem por 1; 2 ou 3.
1
Problema 4
Sabe-se que a medida da área de um quadrado de lado ` é dada por `2 . Na figura abaixo mostram-se
dois quadrados sobrepostos. O maior tem lado igual a 4cm, e o menor tem lado igual a 3cm. Quanto é a
área da região pintada de cinza menos a área da região pintada de preto?
Resolução:
Sendo c, b e p as medidas das áreas das regiões pitadas de cinza, branco e preto respectivamente, segue que
c + b = 42 = 16 e b + p = 32 = 9
Subtraindo-se, membro a membro, as duas igualdades acima, obtemos
(c + b) − (b + p) = 16 − 9 ⇒ c − p = 7cm2
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