E X E R C Í C I OS: Lei de Gauss 1. Uma superfície fechada, na forma de um cilindro reto, encontra-se imerso em um campo elétrico uniforme. O eixo do cilindro é paralelo ao campo elétrico. Usando a forma integral para o fluxo do campo elétrico, mostre que o fluxo do campo elétrico através desta superfície é nulo. (sugestão: a área total da superfície cilíndrica pode ser dividida em três partes, as duas tampas e a área lateral do cilindro). R: Vamos dividir a área total da superfície do cilindro em três partes, as duas tampas (superior e inferior) e a área lateral do cilindro, pois, o ângulo entre E e d A será o mesmo em todos os pontos de cada uma das partes. E E d A Ed A Ed A Ed A 1 1 2 2 3 3 E EdA cos180o EdA cos 90o EdA cos 0o 1 2 3 E EA EA E 0 2. A localização da carga, no interior de uma superfície gaussiana, influencia no valor do fluxo do campo elétrico através dessa superfície? R: Não, o fluxo do campo elétrico depende somente da carga total envolvida pela superfície. 3. Uma carga puntiforme é colocada no centro de uma superfície gaussiana esférica. Responda se o fluxo do campo elétrico através da superfície mudará nos seguintes casos: (a) se mudarmos a forma da superfície gaussiana (para um cubo, por exemplo) sem alterar a carga no interior da superfície; (b) se a carga for afastada do centro da superfície gaussiana, permanecendo, entretanto, em seu interior; (c) a carga for deslocada para imediatamente fora da superfície gaussiana; (d) uma segunda carga for colocada próximo, e fora da superfície gaussiana; (e) uma segunda carga for colocada dentro da superfície gaussiana. R: O fluxo mudará somente se mudar a carga total envolvida pela superfície, portanto: a) Não mudará; b) não; c) Sim; d) não; e) sim. 4. Uma superfície gaussiana envolve somente um dipolo elétrico. O que se pode concluir sobre o valor do fluxo elétrico total através desta superfície? R: Como a carga total envolvida pela superfície é nula, o fluxo também será. 5. Responda os itens abaixo justificando suas respostas. a ) Suponha que a carga líquida contida no interior de uma superfície gaussiana seja nula . Podemos concluir da lei de Gauss que o campo elétrico é igual a zero em todos os pontos sobre esta superfície gaussiana? b ) Se o campo elétrico for nulo em todos as pontos sobre uma superfície gaussiana , a lei de Gauss exige que a carga líquida dentro desta superfície gaussiana seja nula? R: a) Não, se a carga total envolvida pela superfície for nula, podemos afirmar que o fluxo do campo elétrico através da superfície é nulo, mas o campo elétrico pode não ser nulo, mas o campo elétrico pode não ser nulo. Uma carga externa à superfície pode gerar um campo elétrico em pontos desta superfície. b) Sim. Na fórmula da lei de Gauss E Ed A q env podemos perceber que se o campo for nulo em todos os pontos o fluxo através da superfície será nulo e a carga total envolvida pela superfície também será nula. 6. Uma carga puntiforme de 1,8 μC está no centro de uma superfície gaussiana cúbica com 55 cm de aresta. Determine o fluxo do campo elétrico através desta superfície. R: Pela lei de Gauss temos que: oE qenv E 1,8 106 8,85 1012 E 2, 03 105 Nm2 / C 7. Uma esfera condutora uniformemente carregada, de 1,2 m de diâmetro, possui uma densidade superficial de carga de 8,1 μC /m2. (a) Determine o valor da carga sobre a esfera. (b) qual é o fluxo elétrico total que está sendo gerado pela esfera? D 1, 2m R 0, 6m 8,1 C / m 2 a) q A 4 R 2 8,1106 4 3,14 0, 6 2 q 3, 66 105 C b) oE qenv E qenv o 3, 66 105 8,85 1012 E 4,14 106 Nm 2 / C 8. Na figura abaixo uma carga puntiforme positiva q está a uma distância d/2 diretamente acima do centro de um quadrado de lado d. Aplicando a lei de Gauss determine o fluxo elétrico através do quadrado. (Sugestão: Pense no quadrado como uma das faces de um cubo de aresta d) q d/2 d d R: Se pensarmos no quadrado como uma das faces de um cubo, no qual a carga ficará no centro, podemos perceber pela simetria da figura, que ao fluxo terá o mesmo valor para cada uma das seis faces desse cubo. Portanto basta calcular o fluxo total através do cubo e dividir o resultado por seis (número de faces do cubo). total qenv o face total 6 face qenv 6 o 9. A lei de Gauss e a de Coulomb podem ser equivalentes no cálculo do campo elétrico. Podemos confirmar esta equivalência deduzindo a lei de Coulomb, para calcular o campo elétrico de uma carga pontual, a partir da lei de Gauss. Ou seja, aplicando a lei de Gauss, mostre que o campo elétrico gerado por uma carga puntiforme a uma distância r, é dado por E = Q / (4o r2 ) (lei de Coulomb). R: vamos considerar que a carga é positiva e que está no centro de uma superfície gaussiana esférica de raio r. Aplicando a lei de Gauss na superfície gaussiana, temos que: o Ed A q env . Para todos os pontos da superfície gaussiana o campo elétrico tem o mesmo valor e o o ângulo entre E e d A é de 0 , portanto: o EdA cos 0o qenv o E dA qenv o E 4 R 2 qenv E qenv o 4 R 2 10. A lei de Gauss nos permite demonstrar, com certa facilidade, uma importante propriedade em relação à distribuição de cargas em um condutor isolada. Mostre que, se um condutor eletrizado estiver isolado, as cargas elétricas em excesso estarão distribuídas em sua superfície externa. R: Consideremos um conduto carregado isolado e uma superfície gaussiana imediatamente no interior do conduto, ou seja, esta superfície está no interior do condutor, mas muito próxima da superfície real do condutor. o E d A qenv qenv 0 0 O campo elétrico é nulo em todos os pontos no interior do condutor isolado, portanto, a lei de Gauss exige que a carga total envolvida pela superfície gaussiana seja nula. Como a carga do condutor não está no interior da superfície gaussiana ela não está no interior do condutor, portanto, a carga está na superfície externa do condutor. 11. Num condutor esférico isolado, as cargas em excesso se distribuem uniformemente em sua superfície externa. Se o condutor não for esférico esta distribuição não é uniforme, o que gera dificuldades no cálculo do campo elétrico criado por estes condutores. No entanto, o campo elétrico imediatamente fora da superfície de um condutor isolado pode ser determinado, com certa facilidade, usando-se a lei de Gauss. Mostre que o módulo do campo elétrico num local imediatamente fora de um condutor isolado (ponto muito próximo da superfície) é proporcional à densidade superficial de carga σ, ou seja, que o valor deste campo é dado por: E = σ /ε0. R: em pontos externos e bem próximos da superfície de um condutor isolado, o campo elétrico é perpendicular à superfície deste condutor. O campo elétrico pode não ter o mesmo valor para todos os pontos próximos de um condutor qualquer, mas podemos considerar que uma seção de sua superfície seja tão pequena que possamos considerála plana e, além disso, podemos desprezar variação do campo elétrico em pontos próximos desta seção. Consideremos uma superfície gaussiana cilíndrica, diminuta, embutida nesta pequena seção do condutor. Uma base da superfície gaussiana está no interior do condutor, a outra está fora e o eixo do cilindro é perpendicular à superfície do condutor, como pode ser visto em perspectiva na figura abaixo. Quando aplicamos a lei de Gauss na superfície gaussiana percebemos que somente a tampa que está em pontos externos ao condutor contribui para o fluxo do campo elétrico através dessa superfície, portanto: o E d A qenv o EA qenv A carga envolvida pela superfície gaussiana é a que está na superfície de área A do condutor, ou seja, qenv A o EA qenv A E o 12.Um condutor isolado de forma arbitrária tem uma carga líquida nula. Dentro do condutor existe uma cavidade, no interior da qual está uma carga puntiforme q 3,0 106 C . Determine a carga: a) Sobre a parede da cavidade. b) Sobre a superfície externa do condutor. R: a) Consideremos uma superfície gaussiana que contorna a parede da cavidade, mas está no interior do condutor. Como o campo elétrico é nulo em todos os pontos desta superfície gaussiana, a lei de Gauss exige que a carga total envolvida por esta superfície também deve ser nula. q 3, 0 106 C o E d A qenv qi q 0 qi q 0 qi q 3, 0 106 C b) Como a carga total do condutor é nula, temos que: qi qe 0 qe qi 3, 0 106 C 13. Aplicando a lei de Gauss, mostre que o campo elétrico no ponto P, a uma distância r de uma barra fina de plástico, infinitamente longa e carregada uniformemente com uma densidade linear de carga , é dado por: E = /(2 o r). P r barra Aplicando a lei de Gauss na superfície gaussiana percebemos que somente a superfície lateral do cilindro contribui para a o fluxo do campo elétrico através dessa superfície. o E d A qenv o EA qenv A área da superfície lateral do cilindro é A 2 rL e a carga envolvida pela superfície gaussiana é a carga que está no comprimento L da barra, ou seja, q L , com isso temos: o E 2 rL L E L E o 2 rL 2 o r 14. O campo elétrico de uma barra fina e infinita é equivalente ao campo de uma linha infinita de carga. Uma linha infinita de carga produz um campo de 4,5 × 10 4 N/C a uma distância de 2 m da linha. Determine o valor da densidade linear de carga, considerada constante. E 4,5 104 N / C r 2m E E 2 o r 2 o r 4,5 104 2 8,85 1012 2 5 106 C / m 15. Duas cascas cilíndricas concêntricas e longas possuem raios a e b com a < b. Os cilindros possuem densidades lineares de carga de valores iguais e sinais opostos, sendo λa = - λ e λb = + λ. Usando a lei de Gauss, prove que (a) E = 0 para r < a (pontos no interior da casca interna e (b) entre as cascas cilíndricas, isto é, para a < r < b, o campo elétrico é dado por E = /(2 o r). r é a distância radial ao eixo central dos cilindros. A superfície gaussiana é uma superfície cilíndrica de raio r e comprimento L, concêntrica com as duas cascas cilíndricas. Ao aplicarmos a lei de Gauss na superfície gaussiana percebemos que somente a superfície lateral do cilindro contribui para o fluxo do campo elétrico através da superfícies gaussiana: Portanto temos: 16. Duas cascas cilíndricas de paredes finas, carregadas, longas e concêntricas, têm raios de 3 cm e 6 cm. A carga por unidade de comprimento sobre o cilindro interno é 5 × 10 – 6 C/m, e sobre o cilindro externo é de - 7 × 10 – 6 C/m. Determine o valor do campo elétrico e indique o sentido (para dentro ou para fora) em (a) r = 4 cm e (b) r = 8cm, onde r é a distância radial ao eixo central dos cilindros. a 3, 0cm b 6, 0cm a 5, 0 106 C / m b 7, 0 106 C / m Do exercício (15) temos que: E qenv 2 o rL a) Em r 4,0cm (o ponto está entre as duas cascas cilíndricas). Com isso temos qenv a L E qenv 2 o rL E a L 5, 0 106 2, 25 106 N / C 12 2 2 o rL 2 8,85 10 4, 0 10 Como a carga envolvida é positiva, o campo elétrico tem direção para dentro das cascas cilíndricas. b) Em r 8,0cm (o ponto é externo às duas cascas cilíndricas). Com isso temos qenv a b L E qenv 2 o rL b L E a 2 o rL 5, 0 10 6 7, 0 106 2 8,85 1012 8, 0 102 4,50 105 N / C Como a carga envolvida é negativa, o campo elétrico tem direção para dentro das cascas cilíndricas. 17. Uma carga está uniformemente distribuída através do volume de um cilindro infinitamente longo de raio R. (a) Mostre que o campo elétrico a uma distância r do eixo do cilindro (r < R) é dado por E = ρ r/(2 εo), onde ρ é a densidade volumétrica de carga. (b) Escreva uma expressão para E a uma distância r > R e esboce qualitativamente o gráfico E × r. Observe que o cilindro não é condutor. A superfície gaussiana é uma superfície cilíndrica de raio r, concêntrica com o cilindro. Portanto, somente sua superfície lateral contribui para o fluxo de campo elétrico através dela (ver exercício 15). o E d A qenv o E 2 rL qenv a) Para r < R (os pontos estão no interior do cilindro)temos que: qenv V r 2 L o E 2 rL qenv o E 2 rL r 2 L E r 2 o b) Para r > R (os pontos estão no exterior do cilindro) temos que: qenv V R 2 L o E 2 rL qenv o E 2 rL R 2 L E R2 2 o r 18. (lei de Gauss: simetria plana) Aplicando a lei de Gauss, mostre que o módulo do campo elétrico gerado por uma chapa fina, isolante e infinita, carregada uniformemente com uma densidade superficial de carga σ é dado por: E = σ /(2ε0). Quando aplicamos a lei de Gauss na superfície gaussiana percebemos que somente as duas bases da superfície contribui para o fluxo de campo elétrico através da superfície. Com isso temos: A carga envolvida pela superfície gaussiana é a que esta na superfície de área A da placa. 19. Na figura abaixo duas placas finas, de grande extensão, são mantidas paralelas a uma pequena distancia uma da outra. Nas faces internas as placas possuem densidades superficiais de cargas de sinais opostos e valores absolutos iguais σ = 7,00 1023 C / m2 . Em termos dos vetores unitários, determine o campo elétrico (a) à esquerda das placas; (b) à direita das placas; (c) entre as placas. 7 1022 C / m2 20. Na figura abaixo uma pequena esfera não condutora de massa m = 10 g e carga q =2x10-8C (distribuída uniformemente em todo o volume) está pendurada em um fio não condutor que faz um ângulo de 30o com uma placa vertical, não condutora, uniformemente carregada (vista de perfil). Considerando a força gravitacional q que a esfera está submetida e supondo que a placa possui uma grande extensão, calcule a densidade superficial de cargas σ da placa. q 2 108 C m 10 g 10 103 kg Devemos inicialmente representar as forças que atuam na esfera. Como a esfera está em equilíbrio, vemos pela figura abaixo que: F F x 0 F Tx F Tsen30o y 0 P Ty mg T cos 30o F Tsen30o F mgtg 30o o mg Tos30 temos que: FqE q E 2 o mgtg 30o 2 o mgtg 30o 2 o q 10 103 9,8 tg 30o 2 8,85 10 12 2 108 21. (lei de Gauss: simetria esférica) Considere uma casca esférica fina de raio R e uniformemente carregada com uma carga total Q. Sendo r a distância do centro da esfera até certo ponto, aplicando a lei de Gauss, mostre que: a) Para r > R (pontos externos a casca esférica) o campo elétrico gerado pela casca esférica é equivalente ao de uma carga pontual situada no centro da casca esférica. Ou seja, o valor do campo é dado por E = Q / (4o r2). b) Para r < R (pontos no interior da casca esférica) o campo elétrico gerado pela casca esférica é nulo. Portanto, a casca esférica não exerce força eletrostática sobre uma partícula carregada que se localize no seu interior. Consideremos uma superfície gaussiana esférica de raio r concêntrica com a esfera de raio R. Se a esfera carregada com carga positiva, o ângulo entre E e d A será 0o para todos os pontos da superfície gaussiana. Além disso, o valor do campo elétrico será o mesmo em todos os pontos da superfície gaussiana. Aplicando a lei de Gauss, temos que: a) Para r>R (pontos externos à casca esférica) toda carga da esfera está no interior da superfície gaussiana, e com isso: b) Para r<R (pontos no interior da casca esférica), a carga no interior da superfície gaussiana é nula: 22. Uma carga pontual produz um fluxo elétrico de – 750 N.m2/C através de uma superfície gaussiana esférica de 10 cm de raio com centro na carga. (a) Se o raio da superfície gaussiana é multiplicado por dois, qual é o novo valor do fluxo? (b) Qual é o valor da carga pontual? a) Seria o mesmo, pois a carga envolvida pela superfície gaussiana não muda: b) 23. Uma esfera condutora com 10 cm de raio possui uma carga desconhecida. Se o campo elétrico a 15 cm do centro da esfera tem um módulo de 3 × 10 3 N/C e aponta para o centro da esfera, qual é a carga desta esfera? r 10, 0cm E 3000 N / C (r 15cm) E q 4 o r 2 Radialmente para dentro. q E 4 o r 2 3000 4 8,99 x109 0,15 2 q 7,5 x109 C Como o campo aponta para dentro, a carga sobre a esfera é negativa. 24. Uma esfera metálica de parede fina tem um raio de 25 cm e uma carga de 2×10 -7 C. Determine o valor do campo elétrico E para um ponto (a) dentro da esfera, (b) imediatamente fora da esfera e (c) a 3 m do centro da esfera. 25. Uma casca esférica condutora de raio a e espessura insignificante possui uma carga qa. Uma segunda casca, concêntrica com a primeira, possui um raio b > a e uma carga qb. Mostre, utilizando a lei de Gauss, que o campo elétrico em pontos situados a uma distância r do centro das cascas para: (a) r < a é igual zero; (b) a < r < b é qa / (4o r2 ); e (c) r > b é igual a (qa + qb) / (4o r2 ) Consideremos uma superfície gaussiana esférica de raio r, concêncentrica com as duas cascas esféricas. Conforme figura ao lado. Aplicando a lei de Gauss, temos que: o E d A q env o E 4 r 2 qenv (Veja exercício 21) a) Para r < a (os pontos estão no interior da casca menor) temos que: qenv 0 o E 4 r 2 qenv o E 4 r 2 0 E 0 b) Para a< r < R (os pontos estão entre as duas cascas esféricas) temos que: qenv qa o E 4 r 2 qenv o E 4 r 2 qa E qa 4 o r 2 c) Para r > b (os pontos estão fora da casca esférica maior) temos que: qenv qa qb o E 4 r 2 qenv o E 4 r 2 qa qb E qa qb 4 o r 2 26. Duas cascas esféricas concêntricas carregadas têm raios de 10 cm e 15 cm. A carga da casca menor é 4 × 10 – 8 C, e da casca maior é 2 × 10 – 8 C. Determine o módulo do campo elétrico em (a) r = 12 cm e (b) r = 20 cm. a 10cm 0,1m b 15cm 0,15m qa 4 108 C qb 2 108 C a) r = 12 cm (entre as duas cascas esféricas) E qa 4 o r 2 4 108 4 8,85 10 12 0,12 2 2,5 104 N / C b) r = 20 cm (externo a esfera maior) E qa qb 4 108 2 108 1,35 104 N / C 4 o r 2 4 8,85 1012 0, 2 2