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Escrevendo a equação de BQM...
Vimos que para um VC não homogêneo qualquer equação de balanço correspondente a
uma lei de conservação pode ser escrita como:
∂
!!
"
"
=
−
+Ψ
ψρ
ψρ
dV
nvdA
M /O + ΨG
∫
∫
∂t VC
SC
!
mv !
Assim para obtermos a equação de BQM basta substituir ψ =
= v na
m
expressão acima, donde obtemos:
∂ !
! !!
"
"
=
−
ρ
ρ nvdA + Ψ
v
dV
v
M /O + ΨG
∫
∫
∂t VC
SC
Resta agora analisarmos os termos de geração e dos mecanismos de transporte. Há
controvérsias com relação a como definir estes dois. Adotaremos uma mistura da visão
de Bird et al. e de Brodkey & Hershey. Estes últimos autores se fundamentam no
enunciado de Isaac Newton de que um movimento pode ser provocado e assim
gerado pela ação de forças. Por outro lado, vimos que no escoamento laminar a
força de atrito está relacionada com o transporte por condução de quantidade de
movimento e assim podemos interpretar que para o caso do balanço de quantidade de
movimento, o termo de geração se sobrepõe com o de mecanismos de transporte de
modo que:
!
" / +Ψ
" =∑F
Ψ
M O
G
i
i
!
sendo ∑ Fi a somatória de todas as forças atuantes no VC considerado.
i
Assim o BQM fica:
!
∂ !
! !!
=
−
+
ρ
ρ
v
dV
v
nvdA
F
∑i i
∫
∫
∂t VC
SC
(BQM-VC-NH)
Uma proposta de simplificação da equação (BQM-VC-NH) – em busca de
uma equação para VC homogêneo:
! !!
Vamos ver como o termo de E/S, a saber − ∫ v ρ nvdA , pode ser simplificado. Para tanto
SC
assumiremos que para cada entrada e saída sobre a superfície de controle
o fluido possa ser considerado incompressível, isotérmico e sem
alteração da composição de modo que o termo de E/S pode ser escrito como uma
somatória das entradas e saídas e cada entrada e saída i pode ser escrita como:
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!!!
ρi ∫ vi ni vi dA
Ai
!
onde Ai indica a área superficial da entrada ou saída i. Analogamente, ρi , vi são,
!
respectivamente, a densidade e a velocidade na entrada i e ni é o vetor normal à
superfície Ai.
A hipótese assumida é bastante razoável, para entendê-la, pense na água
quente escoando por uma tubulação não isolada. À medida que a água escoa pela
tubulação, a sua temperatura cai, mas para cada seção transversal assumir uma
temperatura uniforme é razoável(pelo menos em termos do cálculo da densidade). É isto que diz a
hipótese levantada.
!!
Seja vi = ni vi , de modo que tenhamos:
!
ρi ∫ vi vi dA
Ai
Note que neste caso Ai corresponde à área da seção transversal da entrada ou saída i e
!
que o vetor vi pode ser escrito, por exemplo, em relação ao sistema de coordenadas
!
cartesianas como vi = ( vx ,i , v y ,i , vz ,i ) .
Se o perfil de velocidades for uniforme temos então que para cada entrada e
saída (Ai) podemos escrever:
!
!
!
!
ρi vi vi ∫ dA = ρi vi vi Ai = ρi vi Ai vi = m" i vi
Ai
De modo que o BQM passa a ser escrito como:
!
!
!
!
∂
"
"
ρ
=
−
+
vdV
m
v
m
v
F
∑
∑
∑i i
i i
i i
∫
∂t VC
i∈E
i∈S
(BQM-PU)
A equação (BQM-PU) é bastante mais simpática que a equação (BQM-VC-NH) e
sugere que se tente estabelecer uma equação alternativa para (BQM-VC-NH) para
volumes de controle homogêneos. Trataremos disso adiante. Mas antes iremos mostrar
algumas aplicações da equação de BQM e iremos para tanto trabalhar com a equação
(BQM-PU). Pode no momento parecer que a equação (BQM-PU) seja restritiva, mas
veremos mais adiante que não é bem assim. Para inúmeros problemas reais (para
não dizer a maioria dos problemas de escoamento interno) assumir um perfil
uniforme é bastante razoável. Isto não significa que estejamos
desprezando o atrito! Um último comentário ainda é referente ao termo de
acúmulo. A integral só poderá ser supressa se não houver alteração na
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área da seção transversal de escoamento, uma vez que se a área não for
constante, vimos ao estudarmos o BM que a velocidade não será constante. Percebe-se
nitidamente que a equação de BQM é muito mais complexa que a equação de BM!
Cabe perguntar para que serve o BQM, haja vista a sua complexidade. Dado que, como
postulado por Isaac Newton, o movimento é quantificado pela grandeza quantidade de
movimento, a equação de BQM serve para descrever o escoamento de fluidos! Resta,
pois, analisar o que significa “descrever o escoamento de fluidos”. Descrever o
escoamento de um fluido significa querer obter informações específicas deste
escoamento, sendo as seguintes situações as mais corriqueiras:
•
•
•
•
•
Uso do BQM para o cálculo de forças atuantes no escoamento. Dentre as
forças incluem-se forças de sustentação de tubulações ou aparatos diversos ou o
cálculo de forças de atrito ou arrasto(termo usado para o atrito em escoamento externo). Por
exemplo, o cálculo da força de arrasto é importante para o projeto do motor de
veículos diversos (aviões, barcos, carros, trens, etc.) ou para o projeto de um
sistema de controle de aviões, naves espaciais, helicópteros, em que intempéries
podem desestabilizar o vôo. Uma outra força que deve ser descrita é o peso de
aeronaves, i.e., deseja-se saber como projetar a nave de modo que esta se
mantenha no ar inobstante o seu peso.
Uso do BQM para o cálculo da variação de pressão ao longo do
escoamento de um fluido.
Uso do BQM para o cálculo de velocidades de fluidos em escoamento.
Uso do BQM para o cálculo da viscosidade de fluidos.
Uso do BQM para a dedução do perfil de velocidades (neste caso é necessário o
uso de uma abordagem microscópica)
.
Embora o BQM possa ter outros usos, os acima são os mais comuns. Por exemplo, não
se recomenda usar o BQM para o projeto de instalações hidráulicas, pois o seu uso é
bastante complexo nestas situações e veremos que uma equação de balanço mais
simples pode ser usada com muita facilidade (a equação de balanço de energia mecânica). Ainda, cabe
destacar que o principal uso do BQM é para o cálculo de forças, o que
mostraremos a seguir através dos exemplos e exercícios propostos, sobre os quais você
deve refletir.
Mas antes disso, analisaremos a importância da escolha adequada do VC quando do uso
do BQM. Para tanto, considere a escolha dos seguintes VC para a análise do
escoamento no interior de um tubo suspenso por suportes como mostrado nas figuras a
seguir. Identifique as forças atuantes e discuta as aplicações de um e de outro VC.
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Exercícios:
Exercício 01: (adaptado do exercício 3.64 de White)
Um jato de água a 20oC em formato cilíndrico de 6cm de diâmetro atinge uma placa
contendo um orifício de 4cm de diâmetro, conforme mostra a figura. Parte do jato
atravessa o orifício e parte é defletida. Observou-se que o perfil de velocidades do jato
antes de atingir a placa é uniforme com velocidade de 25m/s e não se altera ao passar
pelo orifício. Determine a força na direção horizontal necessária para conter a placa.
Resp.: 980N
Exercício 02: (adaptado dos exemplos 7.4 e 7.6 de Brodkey & Hershey)
Água escoa a uma vazão de 28.3 l/s através de um cotovelo horizontal de 60o com
redução na saída. A pressão absoluta na entrada do cotovelo é 6.8 atm e a pressão de
saída é de 1.97 atm. Os diâmetros na entrada e saída são, respectivamente, de 6 e 4
polegadas. A pressão atmosférica local vale 1 atm. Pede-se:
a-) A força exercida pelo cotovelo sobre o fluido.
b-) Se o cotovelo é segurado por flanges, determine a força que deve ser exercida
pelos parafusos das flanges.
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fotografia mostrando uma flange (catálogo da Armfield)
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Exercício 03: (adaptado da PAF do 2o semestre de 2002)
Neste exercício, objetiva-se descrever o escoamento de ar sobre um helicóptero, visando
ao entendimento de alguns fatores que estão relacionados com a sustentação do mesmo.
A massa total do helicóptero considerado neste problema é de 1 ton e o helicóptero se
encontra parado a uma altitude de 100m da superfície terrestre em um dia em que não
há vento. As figuras a seguir mostram a vista frontal e de topo do escoamento do ar
sobre o helicóptero. Para a modelagem do problema, as seguintes hipóteses
simplificadoras serão feitas:
!"as pressões do ar na entrada e saída do
escoamento sobre o dispositivo
mostrado na figura serão admitidas
como sendo a pressão atmosférica
local de 1 atm.
!"a variação de energia potencial ao
longo do escoamento será desprezada.
!"a perda de carga será desprezada.
!"o escoamento será assumido como
sendo incompressível.
!"o ar atmosférico à altitude de 100m
encontra-se a 18oC.
!"densidade do ar de 1.2 kg/m3
!"a acelaração da gravidade local é de
9.8m/s2
Pede-se efetuar para o volume de controle indicado na figura, um balanço de massa e
um balanço de quantidade de movimento em regime permanente e determine a vazão
volumétrica de escoamento de ar necessária para que o helicóptero não caia. Determine
também, as velocidades de ar na entrada e na saída do dispositivo.
Exercícios recomendados da lista:
Exercícios do capítulo 3 de White:
P3.43, P3.49
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Finalmente! Escrevendo a equação de BQM para um VC homogêneo...
Obtivemos até o momento as seguintes equações de BQM-linear para volumes de
controle macroscópicos:
!
∂ !
! !!
=
−
+
ρ
ρ
v
dV
v
nvdA
F
∑i i
∫
∫SC
∂t VC
!
∂
!
!
!
"
"
ρ
=
−
+
vdV
m
v
m
v
F
∑
∑
∑i i
i i
i i
∫
∂t VC
i∈E
i∈S
(BQM-VC-NH)
(BQM-PU)
A equação (BQM-PU) pode ser considerada idêntica à equação (BQM-VC-NH)
na condição de perfil uniforme de velocidades (as demais hipóteses não são muito restritivas).
Assim, para o caso em que o perfil não for uniforme uma idéia para simplificar a
equação (BQM-VC-NH) é substituir a velocidade nas entradas e saídas pela velocidade
média nas entradas e saídas e introduzir um fator de correção do perfil de velocidades β
como segue:
!
∂
!
!
!
"
"
ρ
β
β
=
−
+
vdV
m
v
m
v
F
∑
∑
∑
i m ,i i
i m ,i i
∫
∂t VC
i∈E
i∈S
(BQM-VC-H)
Vejamos como o fator de correção pode ser obtido de modo que a equação (BQM-VCH) seja idêntica à equação (BQM-VC-NH) na hipótese de que em cada entrada e saída,
o fluido possa ser assumido incompressível, isotérmico e com composição uniforme.
!!!
Nestas condições vimos que para cada entrada e saída temos: ρi ∫ vi ni vi dA . Iremos
Ai
adicionalmente supor que o vetor velocidade seja ortogonal à superfície Ai, de modo que
!
tenhamos: ρi ∫ vi vi dA . Assim, o fator de correção pode ser obtido igualando esta
Ai
expressão à correspondente em (BQM-VC-H), a saber:
βi =
!
ρi ∫ vvdA
Ai
!
m" i vm,i
=
!
ρi ∫ vvdA
!
∫ vvdA
i
i
! =
!
ρ i vm,i Ai vm,i Ai vm ,i vm ,i
A
A
(FC)
Um caso particular da equação (FC) corresponde à situação em que o escoamento é
unidirecional, quando (FC) é escrito como:
∫ v dA
2
βi =
Ai
Ai vm2 ,i
(FC-U)
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Para podermos calcular o fator de correção de velocidades, devemos conhecer o perfil
de velocidades. É do que trataremos em seguida, apresentando um segundo uso do
BQM, a saber, mostraremos como o BQM pode ser usado para se deduzir o perfil de
velocidades. Mas antes disso, vamos introduzir uma outra visão sobre a não
uniformidades dos escoamentos, analisando como os padrões de escoamento são
formados ou desenvolvidos.
leitura recomendada:
Brodkey & Hershey:
Bird et al.:
Bennett & Myers:
Granger:
Wiggert & Potter:
White:
p. 275-286
p. 195-196
p. 15-16, p. 61-67
p. 1530158, p.233-269
p.103-113, p. 129-130, p.135-137
p.89-109
Exemplos recomendados para leitura:
Bird et al.:
Brodkey & Hershey:
Granger:
White:
Wiggert & Potter:
exemplo 7.2-1
exemplos 7.4 a 7.6
exemplo 5.4, 5.5
exemplo 3.7, 3.8, 3.9, 3.10
exemplo 4.11, 4.15
Exemplo - clássico: (exemplo 7.6-1 de Bird et al., p. 204, exercício P3.59 de White,
exemplo 4.14 de Wiggert & Potter, p. 134)
Um fluido incompressível escoa isotermicamente, em escoamento turbulento, de um
pequeno tubo circular para um grande tubo conforme mostrado na figura a seguir. As
áreas da seção transversal dos dutos são S1 e S2. Mostre que a variação da pressão entre
S

os planos 1 e 2 pode ser representada por P2 − P1 = ρ vm2 ,2  2 − 1 , sendo ρ a densidade
 S1 
do fluido e vm,1 a velocidade média de escoamento pelo tubo de menor área.
Figura extraída de Bird et al., p. 204
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Solução:
Hipóteses:
e.e. (dutos); ρ=cte (f. incompressível e isotérmico); β=1 (e. turbulento);
Logo após a expansão, a pressão é tomada como P1 pela proximidade do
plano 1, ou seja P1 é assumido atuar sobre a área S2. Entre 1 e 2 não é
considerada a ação de nenhuma força viscosa.
BM entre 1-2:
m" 1 = m" 2 ⇒ vm ,1S1 = vm ,2 S 2
BQM entre 1-2:
0 = m" 2 ( vm ,1 − vm ,2 ) + PS
1 2 − P2 S 2
( P2 − P1 ) S 2 = vm,2 S 2 ρ (vm ,1 − vm ,2 )
P2 − P1 = vm ,2 ρ (vm ,1 − vm ,2 )
Substituindo o BM:


S
P2 − P1 = vm ,2 ρ  vm ,2 2 − vm ,2 
S1


S

P2 − P1 = vm2 ,2 ρ  2 − 1 , c.q.d.
 S1 
Exercícios recomendados da lista
Exercícios do capítulo 3 de White:
Exercícios complementares:
P3.40, P3.41, P3.60, P3.62, P3.64, P3.67, P3.68,
P3.77
21, 22
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