B01_Múltiplos e Divisores - CEM • Centro de Estudos Matemáticos

Aula 01 – mtm B
MATEMÁTICA
BÁSICA
Múltiplos e Divisores
Paridade
Par: x = 2n, n∈Z
Ímpar: x = 2n+1, n∈Z
Exemplo 1: 6
Exemplo 2: 9
6 = 2.3
9 = 2.4 +1
n=3
n=4
Exemplo 3: Classifique como Verdadeiro ou Falso.
(
(
(
(
(
V
F
F
V
V
) 3,2 é um número sem paridade.
) 2,4 é um número par.
) Zero é um número sem paridade.
) - 2 é um número par.
) (UFPR) 0,999... é um número ímpar.
Múltiplos e Divisores
Critérios de divisibilidade
Divisibilidade por 2: Números pares.
Exemplos: 4, 16, 13750.
Divisibilidade por 3: Números cuja soma dos algarismos
for divisível por 3.
Exemplo 1: 2759
2+7+5+9 = 23
23 não é divisível por 3,
logo 2759 também não é.
Exemplo 2: 1902
1+9+0+2 = 12
12 é divisível por 3,
logo 1902 também é.
Múltiplos e Divisores
Critérios de divisibilidade
Divisibilidade por 4: Número formados pelos dois últimos
algarismos divisível por 4.
Exemplo 1: 777732
32 é divisível por 4,
logo 777732 também é.
Exemplo 2: 555500
0 é divisível por 4,
logo 555500 também é.
Divisibilidade por 5: Números terminados em 0 ou 5.
Exemplos: 10, 125, 22225.
Múltiplos e Divisores
Critérios de divisibilidade
Divisibilidade por 6: Números divisíveis por 2 e por 3 ao
mesmo tempo.
Exemplo : 1902
É um número par, logo
divisível por 2.
1+9+0+2 = 12
12 é divisível por 3,
logo 1902 é divisível por 3.
1902 é divisível por 6.
Múltiplos e Divisores
Critérios de divisibilidade
Divisibilidade por 7:
Retira o algarismo das unidades, multiplica por 2 e subtrai
do número que sobrou.
Exemplo 1:
715
7154
-8
70
707
- 14
56
4 x 2= 8
7 x 2 = 14
56 é divisível por 7,
logo 7154 também é.
Múltiplos e Divisores
Critérios de divisibilidade
Divisibilidade por 7:
Retira o algarismo das unidades, multiplica por 2 e subtrai
do número que sobrou.
Exemplo 2:
230
2303
-6
22
224
-8
14
3 x 2= 6
4 x 2= 8
14 é divisível por 7,
logo 2303 também é.
Múltiplos e Divisores
Critérios de divisibilidade
Divisibilidade por 8: Números formado pelos três últimos
algarismos divisível por 8.
Exemplo 1: 3333016
16 é divisível por 8,
logo 3333016 também é.
Exemplo 2: 1111000
0 é divisível por 8,
logo 1111000 também é.
Múltiplos e Divisores
Critérios de divisibilidade
Divisibilidade por 9: Números cuja soma dos algarismos
for divisível por 9.
Exemplo 1: 1902
1+9+0+2 = 12
Exemplo 2: 27594
2+7+5+9+4 = 27
12 não é divisível por 9,
logo 1902 também não é.
27 é divisível por 9,
logo 27594 também é.
Divisibilidade por 10: Números terminados em 0 (zero).
Exemplos: 30, 920, 3131310.
Múltiplos e Divisores
Critérios de divisibilidade
Divisibilidade por 11: Números cuja soma dos algarismos
de ordem par menos a soma dos
algarismos de ordem ímpar for
divisível por 11.
Exemplo 1: 3 5 4 3 1
Exemplo 2: 9 1 3 0 8 2 5
8-8=0
3 - 25 = - 22
0 é divisível por 11,
logo 35431 também é.
- 22 é divisível por 11,
logo 9130825 também é.
Múltiplos e Divisores
Critérios de divisibilidade
Divisibilidade por 12: Números divisíveis por 3 e por 4
ao mesmo tempo.
Exemplo: 54012
É um número que termina
em 12, logo divisível por 4.
5+4+0+1+2 = 12
12 é divisível por 3,
logo 54012 é divisível por 3.
54012 é divisível por 12.
Lei – O número deve ser divisível por outros dois, tais que eles
sejam primos entre si e que o produto dê o divisor.
Exemplos: 18 Deve ser divisível por 2 e 9 ao mesmo tempo.
20 Deve ser divisível por 4 e 5 ao mesmo tempo.
Múltiplos e Divisores
Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.)
Menor múltiplo comum entre os números dados.
Exemplo 1: Calcule o M.M.C. de 50, 60 e 100.
Resolução:
50, 60, 100
25, 30, 50
25, 15, 25
25, 5, 25
5, 1, 5
1, 1, 1
2
2
3
5
5
multiplicar
M.M.C. (50, 60, 100) = 2.2.3.5.5 = 22.3.52 = 300
Múltiplos e Divisores
Máximo Divisor Comum (M.D.C.)
Maior divisor comum entre os números dados.
Exemplo 2: Calcule o M.D.C. de 60, 140 e 420.
Resolução:
60, 140, 420
30, 70, 210
15, 35, 105
3, 7, 21
2
2
5
multiplicar
primos entre si
M.D.C. (60, 140, 420) = 2.2.5 = 2².5 = 20
Múltiplos e Divisores
Exemplo 3: (FGV) Estudos e simulações são necessários para melhorar o
trânsito. Por exemplo, imagine que, em uma avenida de um bairro temos
três semáforos A, B e C. O semáforo A fica verde a cada 15 segundos; o
semáforo B, a cada 20 segundos ; o semáforo C, a cada 25 segundos.
Às 7h, simultaneamente os 3 semáforos, ficaram verdes ao mesmo
tempo, a próxima vez que simultaneamente os 3 semáforos ficarão
verdes ao mesmo tempo será à que horas:
Resolução:
Você procura um número comum?
Sua resposta é número maior ou menor?
Múltiplo ou divisor?
MMC ou MDC?
M.M.C. (15, 20, 25) = 2.2.3.5.5 = 2².3.5² = 300seg
300seg = 5min, logo às 7h e 5min.
15, 20, 25
15, 10, 25
15, 5, 25
5, 5, 25
1, 1, 5
1, 1, 1
2
2
3
5
5
Múltiplos e Divisores
Exemplo 4: Erivaldo possui 90 livros de geometria, 96 de trigonometria
144 de álgebra e 210 de culinária, ele deseja reparti-los pelo maior
número possível de alunos, de modo que cada um receba o mesmo
número de livros de cada tipo. Quantos alunos que ele conseguirá
contemplar?
Resolução:
Você procura um número comum?
Sua resposta é número maior ou menor?
Múltiplo ou divisor?
MMC ou MDC?
Geo
Trigo
Álg
Culinária
90, 96, 144, 210
45, 48, 72, 105
15, 16, 24, 35
2
3
M.D.C. (90, 96, 144, 210) = 2.3 = 6 alunos
Múltiplos e Divisores
Exemplo 5: (CEM – SIMULADO) Ao fazer a triagem das doações para as
famílias desabrigadas de SC, um grupo de pessoas contou 200 peças de
roupas, 120 cobertores e 80 brinquedos. Se esse grupo montou o maior
número possível de cestas com a mesma quantidade de itens de cada
tipo por cesta, então haverá quantas cestas, com quantas peças de
roupa, com quantos cobertores e quantos brinquedos em cada cesta.
Resolução:
roupa cobertor brinquedo
Você procura um número comum?
200, 120, 80 2
Sua resposta é número maior ou menor?
100, 60, 40 2
Múltiplo ou divisor?
MMC ou MDC?
50, 30, 20 2
25, 15, 10 5
5, 3, 2
M.D.C. (200, 120, 80) = 2.2.2.5 = 40 cestas
Peças de roupa: 5
Cobertores: 3
Brinquedos: 2
Múltiplos e Divisores
Números Primos
Todo número que assume apenas dois divisores naturais.
Exemplos: 2, 3, 13.
Exemplo 1: Classifique como Verdadeiro ou Falso.
( F ) 1 é um número primo.
( V ) (UFSC) 2 é o único número par primo.
Números Primos Entre Si
Números que possuem o M.D.C. igual a 1.
Exemplos: 5 e 12.
4, 9 e 35.
105 e 88.
Números Compostos
Todo número que assume mais de dois divisores naturais.
Múltiplos e Divisores
Epístola de Eratóstenes
Método para verificar se um número é primo.
Passo 1: Liste os números naturais que o quadrado é menor que o
número a se verificar.
Passo 2: Verificar quais são os divisores da lista, através dos critérios de
divisibilidade.
Exemplo 1: Verificar se 221 é primo.
Resolução:
13²= 169
14²= 196
15²= 225
15² > 221, então vamos verificar até 14.
1
2
3 4
5 6
7 8
9 10 11 12 13 14
221 não é primo.
Múltiplos e Divisores
Quantidade de Divisores de Um Número
Fatorar o número e efetuar o produto de cada expoente
acrescido de uma unidade.
Exemplo 1: Encontre quantos divisores possui o número 36.
Resolução:
36
18
9
3
1
2
2
3
3
36 = 2.2.3.3 = 22.32
d = (2+1).(2+1) = 3.3 = 9
Múltiplos e Divisores
Quantidade de Divisores de Um Número
Fatorar o número e efetuar o produto de cada expoente
acrescido de uma unidade.
Exemplo 2: Encontre quantos divisores possui o número 540.
Resolução:
540
270
135
45
15
5
1
2
2
3
3
3
5
540 = 2.2.3.3.3.5 = 22.33.51
d = (2+1).(3+1).(1+1) = 3.4.2 = 24
Múltiplos e Divisores
Quantidade de Divisores de Um Número
Fatorar o número e efetuar o produto de cada expoente
acrescido de uma unidade.
Exemplo 3: O número 9.10x possui 12 divisores. Calcule x.
Resolução:
As bases devem ser números primos.
9.10x = 32.2x .5x
(2 + 1).(x + 1).(x + 1) = d
3.(x + 1)2 = 12
(x + 1)2 = 4
x2 + 2x + 1 = 4
x2 + 2x - 3 = 0
x1 = 1
2
S = {1}
-
Múltiplos e Divisores
Conhecendo os Divisores de Um Número
Exemplo 1: Encontre o conjunto dos divisores de 36.
36
18
9
3
1
2
2
3
3
1
2
4
3, 6, 12
9,18, 36
36 = 2.2.3.3 = 22.32
d = (2+1).(2+1) = 3.3 = 9
D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
Múltiplos e Divisores
Conhecendo os Divisores de Um Número
Exemplo 2: Encontre o conjunto dos divisores de 180.
180
90
45
15
5
1
2
2
3
3
5
1
2
180 = 2.2.3.3.5 = 22.32.51
4
d = (2+1).(2+1).(1+1) = 3.3.2 = 18
3, 6, 12
9,18, 36
5, 10, 20, 15, 30, 60, 45, 90, 180
D(180) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180}
Múltiplos e Divisores
M.M.C.(a, b) . M.D.C.(a, b) = a.b
Exemplo 1: Sabendo que M.M.C.(20, x) = 180 e M.D.C.(20, x) = 4,
calcule x.
M.M.C.(20, x) . M.D.C.(20, x) = 20 . x
180 . 4 = 20 . x
720 = 20 . x
x = 36
S = {36}
Aula 01 – mtm B
FIM