Quebra-Cabeça de Cartões

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Dinâmica 2
Professor
2ª Série | 1º Bimestre
DISCIPLINA
SÉRIE
CAMPO
CONCEITO
Matemática
2ª do Ensino Médio
Campo Algébrico
Simbólico
Função Logarítmica
DINÂMICA
HABILIDADE BÁSICA
HABILIDADES principal
CURRÍCULO MÍNIMO
Quebra Cabeça de Cartões
H52 – Resolver problemas com números reais, envolvendo as operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação).
H59 – Resolver problemas, envolvendo a função logarítmica.
Utilizar a definição de logaritmo na resolução de equações simples.
Professor, nesta dinâmica, você irá desenvolver as seguintes etapas com seus
alunos.
1
ETAPAS
ATIVIDADE
TEMPO
ORGANIZAÇÃO
REGISTRO
1
Compartilhar
ideias
Potências e
Xadrez
20 a 25 min
Em trios com
discussão
coletiva
Individual
2
Um novo
olhar...
Log-Figurinhas
20 a 25 min
Em trios
com discussão
coletiva
Individual
3
Fique por
dentro!
Corrente
Logarítmica
15 a 25 min
Em trios
com discussão
coletiva
Coletiva
4
Quiz
Quiz
10 min
Individual
Individual
5
Análise das respostas ao Quiz
Análise das respostas ao Quiz
15 min
Coletiva
Individual
Esta é uma seção de aprofundamento, para depois da dinâmica.
Para Saber +
O aluno pode realizar, quando desejar, mas o professor precisa ler
antes da aula.
Agora, é com
você!
Para o aluno resolver em casa ou noutra ocasião e consultar o professor, se tiver dúvidas.
Professor
Flex
Apresentação
Caro professor:
A potenciação, embora pouco presente na vida cotidiana dos estudantes, é
um conteúdo necessário para avançar no pensamento matemático. Assim, ao aprender a representar números complicados, ter mais facilidade nas operações com esses
números e reconhecer que usar propriedades com os expoentes é mais prático do que
trabalhar com números extensos, pode contribuir para dar sentido ao aprendizado das
potências. Esta dinâmica inicialmente explora atividades, envolvendo a potenciação,
para então avançar no pensamento matemático, propondo a resolução de equações
logarítmicas a partir da solução das equações exponenciais equivalentes. Logo a seguir, identificam as equações equivalentes e que representam o processo utilizado para
determinar o valor desconhecido. Assim, motivados pela “Corrente Logarítmica”, os
estudantes passam a registrar o processo de solução dessas equações. Como sempre,
professor, você terá possibilidade de fazer algumas escolhas entre usar mais ou menos
tempo nas atividades aqui propostas ou enfatizar algum ponto que considere mais crucial para os seus alunos.
Bom trabalho!
2
Atividade • Potências
e
Xadrez
Objetivo
Identificar regularidades numéricas da potenciação e calcular potências.
Descrição da atividade
Professor, nesta atividade, os estudantes representam potências por meio da
contagem. Assim, em duplas, serão desafiados a reproduzir a situação descrita na “Lenda do tabuleiro de xadrez”. A atividade tem início com a leitura feita por você, professor, da história da lenda do Tabuleiro de Xadrez.
Matemática
Primeira Etapa
Compartilhar Ideias
Leia a história!
A Lenda do tabuleiro de xadrez
Fonte: Adaptado de http://www.historyforkids.
org/learn/islam/literature/chesswheat.htm.
Cerca de 1260 a. C. Ibn Khallikan, um historiador curdo escreveu uma enciclopédia com biografias
de muitos homens famosos. Uma das biografias inclui
uma história, passada na Índia, sobre a invenção do xadrez. De acordo com essa história, o rei Shihram era um
tirano que oprimia os seus súbditos. Um homem sábio chamado Sissa ibn Dahir, para
lhe mostrar que um rei precisa de todos os seus súditos, devendo cuidar bem de todos
eles, inventou um jogo para o rei jogar – o xadrez. O rei decidiu recompensar Sissa pela
sua dedicação e perguntou-lhe o que ele gostaria de receber. Sissa respondeu que não
queria nenhuma recompensa, mas o rei insistiu.
— Eu gostaria que colocasse um grão de trigo na primeira casa do meu tabuleiro, dois na segunda casa, quatro na terceira casa, oito na quarta e assim por diante.
Assim, o rei deveria duplicar o número de grãos de trigo ao preencher cada
uma das 64 casas do tabuleiro.
— Que parvo! — pensou o rei. — Essa é uma pequena recompensa, eu ter-lhe-ia dado muito mais!
O rei ficou espantado com a simplicidade do pedido, porém ainda mais surpreso
ficou quando constatou que não conseguiria satisfazê-lo, pois o número total de grãos no
tabuleiro seria enorme. Quando os escravos começaram a preencher a segunda metade
do tabuleiro de xadrez, o rei Shihram percebeu que não poderia pagar mais…
Agora Sissa não parece assim tão parvo, aos olhos do rei. Na verdade, para
preencher todas as casas do tabuleiro, ele precisaria de tanto trigo como seis vezes o
peso de todos os seres vivos na Terra.
Sissa foi bem mais esperto do que o rei pensava!
3
Veja um tabuleiro de Xadrez.
Fonte: http://nautilus.fis.uc.pt/cab/5/xadrez.php.
O tabuleiro tem 64 casas.
Após a leitura da historia, responda aos questionamentos a seguir.
Professor
1.
Complete a cartela com o número de grãos de trigo das casas do tabuleiro
da história:
1ª casa
2ª casa
3ª casa
4ª casa
5ª casa
6ª casa
7ª casa
1
2
4
8
16
32
64
a.
Quantos grãos de trigo são necessários para preencher a 10ª casa?
Resposta
São necessários 512 grãos de trigo.
b.
4
Organize, na tabela a seguir, as informações obtidas na questão 1.
Número de grãos
Potências de base 2
1
1
1
20
2
2
2
21
3
4
2x2=4
22
4
8
2x2x2=8
23
5
16
2 x 2 x 2 x 2 = 16
24
6
32
2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
25
7
64
2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64
26
:
:
c.
Matemática
Número da casa
:
Você deve ter reparado que a tabela é formada apenas por potências de
base 2. Será que podemos pensar em “reduzir” a quantidade de casas? A
tabela a seguir representa algumas potências de base 2 menores do que 1,
complete-a.
Potências de 2
Operação
Fração
Decimal
2−1
1÷ 21
1
2
0,5
2−2
1 22
1
4
0,25
2−3
1 ÷ 23
1
8
0,125
2−4
1 24
1
16
0,0625
5
Recursos necessários
ƒƒ
Encarte do aluno
Procedimentos Operacionais
ƒƒ
ƒƒ
Professor, organize a turma em trios.
Sugerimos que o texto inicial seja lido com a turma para o posterior
desenvolvimento da etapa.
Professor
Intervenção Pedagógica:
ƒƒ
Professor, na questão 1, os alunos, além de registrar na tabela o número de grãos das casas 1 a 7, devem extrapolar até a décima casa.
Acreditamos que uma boa parte deles irá calcular as casas 8 e 9 para
então chegar ao resultado do número de grãos da décima casa. É
interessante que, no fechamento, você promova uma generalização
que relacione o número de grãos e o número da casa: o número de
grãos pode ser calculado como 2c - 1, onde c é o número da casa.
ƒƒ
Na questão 2, vale a pena reforçar a definição de potências de expoente inteiros positivos como um produto de fatores iguais, bem como
a definição de potência de expoente zero, o que nos permite representar o número de grãos da casa 1 como uma potência de base 2, pois,
20 = 1.
ƒƒ
O expoente negativo surge na tabela do item 3 com a representação
fracionária e decimal. É importante observar, junto aos alunos, que os
valores vão ficando cada vez menores à medida que o expoente vai
diminuindo, embora a base permaneça a mesma. Caso entenda como
necessário, estenda a tabela para outros expoentes negativos.
Segunda Etapa
Um novo olhar...
Atividade • Log-Figurinhas
Objetivo
6
Observar a resolução de equações logarítmicas, a partir da composição das
equações equivalentes.
Nessa etapa, começamos o trabalho sobre a resolução de equações logarítmicas, utilizando o Log-Figurinhas. No anexo, você encontra cinco álbuns (conjuntos
de cartas). Cada álbum é formado por figurinhas (cartas). Distribua os cinco conjuntos
para cada grupo. O objetivo é que cada grupo monte os cinco álbuns. Para montar cada
álbum, os alunos devem compor as figurinhas a fim de formar uma sequência verdadeira que represente a solução da equação logarítmica representada na figurinha com
a inscrição “INÍCIO”. Veja a seguir a proposta da atividade.
Você recebeu de seu professor figurinhas (cartas) que formam cinco Log-Álbuns diferentes. Observe a figurinha com a inscrição “INÍCIO” e a equação logarítmica
nela escrita. Organize as demais figurinhas desse conjunto, a fim de que a tira que se
forme represente a solução dessa equação logarítmica.
Matemática
Descrição da atividade
log3 9 = x
3x = 9
3 x = 32
x =2
FIM
INÍCIO
Observe um Log-Álbum completo como exemplo.
Após montar os cinco Log-Álbuns, registre as sequências obtidas.
7
Recursos necessários
Professor
ƒƒ
ƒƒ
Encarte do aluno
Log-Figurinhas
Procedimentos Operacionais
ƒƒ
Mantenha a turma organizada em trios.
ƒƒ
Distribua cada um dos cinco Log-Álbuns para cada trio.
ƒƒ
Previamente, recorte os Log-Álbuns, obtendo as Log-Figurinhas.
Intervenção Pedagógica
ƒƒ
8
Professor, para montar os Log-Álbuns, os alunos devem aplicar a definição de logaritmo, bem como a definição e as propriedades de potenciação. Sendo assim, no desenvolvimento dessa etapa, é interessante que você circule pelos trios a fim de perceber se os alunos estão
tendo algum tipo de dificuldade; caso isso ocorra, sugerimos que você
faça uma discussão com toda a turma para esclarecer a dúvida.
As propriedades de potenciação que são necessárias para a realização
desta etapa são expoente negativo e potência de potência. Além da
definição de potência, isto é, dado um número, é possível escrevê-lo
como uma potência, fatorando-o; ele também precisará da definição
de potência de expoente nulo.
ƒƒ
Para montar os álbuns, os alunos não devem apenas perceber que
as equações são equivalentes, eles devem organizar as figurinhas de
maneira que a ordem formada corresponda a uma sequência para a
resolução da equação. É interessante que você, professor, sinalize esse
aspecto, pois não existe uma única maneira de resolver uma equação.
Matemática
ƒƒ
Terceira Etapa
Fique por dentro!
Atividade • Corrente Logarítmica
Objetivo
Resolver equações logarítmicas.
Descrição da atividade
Nesta atividade, os alunos devem resolver equações logarítmicas, usando a
mesma ideia trabalhada na etapa anterior, mas agora a posição da variável está modificada e, além disso, eles mesmos devem completar todas as etapas do processo.
Observe a proposta a seguir.
x 4 = ( 32 )
4
x = 32 = 9
Discuta com seus colegas sobre a formação das demais correntes e complete as
etapas
Não há problema se você utilizar mais ou menos elos da corrente.
log de
32resolução.
=5
x
log
FIM
log3 x = 8
x 4 = 38
FIM
4
FIM
INÍCIO
INÍCIO
INÍCIO
Observe a Corrente Logarítmica com a resolução da equação log3x4 = 8.
9
Professor
Recursos necessários
ƒƒ
Encarte do aluno
Procedimentos Operacionais
ƒƒ
Professor, os alunos devem continuar trabalhando em trios e registrar
as etapas da solução das equações em seu encarte.
Intervenção Pedagógica
ƒƒ
10
Professor, é possível que seus alunos não recordem as propriedades
de equação exponencial utilizadas. Caso perceba que eles estão com
dificuldades em iniciar a atividade, relembre-os que sendo a, b x e y
números reais e a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, temos:
A propriedade de potência utilizada no exercício é (am)n = am.n (a > 0, a ≠ 1)
que também foi utilizada na etapa anterior em um dos Log-Álbuns.
ƒƒ
Além de registrar as propriedades na lousa, você pode também fazer
um ou dois exemplos de cada caso para que os alunos vejam exemplos da aplicação das propriedades.
ƒƒ
Chame a atenção dos alunos que para resolver “Correntes Logarítmicas” eles precisam expressar as equações exponenciais em termos de
bases iguais ou de expoentes iguais para então utilizar as propriedades destacadas, além de, em alguns casos, fatorar o número e expressá-lo em forma de potência.
Matemática
ƒƒ
Quarta Etapa
QuiZ
ENEM 2011 • Questão 137 • Prova Azul • Adaptada
A Escala e Magnitude de Momento (denotada como MW) é uma escala logarítmica para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada que
relaciona MW e M0 pela fórmula:
2
MW =
−10,7 + log10 ( M0 )
3
onde M₀ é o momento sísmico.
O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos
terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve 7,3 de magnitude Mw.
Qual foi o momento sísmico M₀ do terremoto de Kobe?
a.
10 – 5,10
b.
10 – 0,73
c.
10 12,00
d.
10 21,65
e.
10 27,00
11
Quinta Etapa
Análise das Respostas
ao
Quiz
Resolução
Professor
Pelo enunciado, sabemos que MW = 7,3. Basta então substituir o valor na fórmula:
2
MW = −10 , 7 + log10 ( M0 )
3
2
7, 3 = −10 , 7 + log10 ( M0 )
3
2
log10 ( M0 ) = 18
3
3
log10 ( M0 ) = 18 ⋅
2
log10 ( M0 ) = 27
Aplicando a definição de logaritmo, temos: M0 = 1027. Com isso, podemos concluir que a alternativa correta é a letra (E).
Distratores
Os possíveis erros para encontrar as outras quatro opções referem-se a erros
na resolução da equação. Em todas as alternativas, o aluno aplica corretamente a definição de logaritmo.
No caso do item (a), o aluno erra ao operar com -10,7, calculando
−10 , 7 + 7, 3 = −3, 4 .
2
No item (b), ele soma −10 , 7 + , obtendo aproximadamente -10, como fator
3
de multiplicação do log.
2
3
Já no item (c), ele erra ao multiplicar 18 = 10 , 7 + 7, 3 por , no lugar de ,
3
2
obtendo 12.
10,7.
12
Já no caso do item (d), o aluno primeiro multiplicou 7, 3 ⋅ 3 e depois somou
2
Os logaritmos foram inventados no início do século 17, a fim de simplificar as
trabalhosas operações aritméticas dos astrônomos, com vistas à elaboração de tabelas
de navegação.
Com efeito, a regra
log (=
xy ) log x + log y
e suas consequências, tais como
x
log =
 log x − log y
y
e
Matemática
Etapa Flex
Para saber +
log ( x n )= n ⋅ log x
permitem reduzir cada operação aritmética (exceto, naturalmente, a adição
e a subtração) a uma operação mais simples, efetuada com os logaritmos. Esta maravilhosa utilidade prática dos logaritmos perdurou até recentemente, quando foi vastamente superada pelo uso das calculadoras eletrônicas.
A função logaritmo, entretanto, justamente com sua inversa, a função exponencial, permanece como uma das mais importantes na Matemática, por uma série de
razões que vão muito além da sua utilidade como instrumento de cálculo aritmético.
Propriedades operatórias como essas são importantes para resolver algumas equações
logarítmicas. Por exemplo, para resolver a equação
log2 ( x − 3 ) + log2 ( x − 2 ) =
1
no universo dos números reais, primeiro utilizamos a propriedade operatória
que transforma a adição de logaritmos em multiplicação de logaritmandos
log2 ( x − 3 ) ⋅ ( x − 2 ) =
1
Em seguida, usamos a definição de logaritmos
21
( x − 3 )( x − 2 ) =
Isso transforma o nosso problema inicial em uma equação do segundo grau,
cujas raízes são 1 e 4. O valor de x = 1 transforma o logaritmando em valores negativos,
logo deve ser descartado, devido a condição do logaritmo.
Assim, a única solução dessa equação logarítmica é x = 4.
13
Etapa Flex
Agora, é com
Professor
1.
você!
Escreva números nos quadrinhos em branco. Você sabe que pode discutir
o assunto com seus colegas e, se houver dúvidas, recorra ao seu professor.
Agora, um desafio!
Complete o mosaico de funções, considerando que cada hipotenusa é o elo
entre uma equação logarítmica e seu possível resultado. Você precisa usar todas as
expressões da lista a seguir:
1
2
log
7
3
17
5
log
14
1
9
16
log
1
log
625
1
4
log
15
Matemática
22 x = 23
(2 )
4x = 8
log4 8 = x
log3 81 = x
3 x = 81
3 x = 34
2 x
= 23
x =8
2 x = 28
2 x = 256
log2 256 = x
2
()
x =4
1
3 =
3
x
1
3 = 2
3
x
1
3 =
9
x
1
log3 = x
9
x =2
3 x = 32
3x = 9
log3 9 = x
INÍCIO
INÍCIO
INÍCIO
INÍCIO
INÍCIO
3x = 3 -2
FIM
2x = 3
FIM
FIM
3
2
=
x =-2
Anexo I
x
FIM
FIM