Mat 147 - DMA/UFV

1
Terceira Lista - Mat 147
Resolver as seguintes EDO’s
00
1. y = x2
Rpta: y =
x4
12
+ c1 t + c2
00
0
2. y = xex , y(0) = 1 e y (0) = 0
Rpta: y = (x + 2)e−x + x − 1
3. y
000
0
= xsen(x), y(0) = 0 e y (0) = 0
Rpta: y = xcos(x) − 3sen(x) + x2 + 2x
00
4. y = 2sen(x)cos2 (x) − sen3 (x)
Rpta: y =
sen3 (x)
3
0
5. 1 + (y )2 = yy
+ c1 x + c2
00
Rpta: y = kcosh( x+c
k )
00
0
6. yy − (y )2 = y 2 ln(y)
Rpta: Ln(y) = c1 ex + c2 e−x
00
0
7. (1 − x2 )y − xy = 2
Rpta: y = (arcsen(x))2 + c1 arcsen(x) + c2
00
0
8. (1 + x2 )y + 1 + (y )2 = 0
Rpta: y(1 +
00
1
)Ln(1
c21
+ c1 x) −
x
c1
0
9. 2yy − 3(y )2 = 4y 2
Rpta:
0
00
0
0
10. xy (yy − (y )2 ) − y(y )2 = x4 y 3
Rpta:
00
11. y =
a+bx
x2
Rpta:
00
12. xy = 1 + x2
Rpta:
13. y
00
Rpta:
14. y
000
= x + cos(x)
Rpta:
+ c2
2
00
15. y = aex
Rpta:
00
16. y =
a
y3
Rpta:
00
17. 2y = ey
Rpta:
00
18. y =
−1
2y 3
Rpta:
00
19. y + y 3 = 1
Rpta:
00
20. y = sen(y)cos(y) com y(0) =
π
2
0
e y (0) = −1
Rpta:
00
0
21. yy − (y )2 = y 2 y
0
Rpta:
22. y
000
= xe−x
2
Rpta:
00
23. cos3 (y)y = sen(y)
Rpta:
Resolver as seguintes EDO’s
00
0
1. y − y = x2
Rpta: y = c1 + c2 ex −
00
x3
3
− x2 − 2x
0
2. y − 4y − 5y = 5x =
Rpta: y = c1 e−x + c2 e5x − x +
000
4
5
0
3. y − y = x + 1
Rpta: y = c1 + c2 ex − c3 e−x −
00
x2
2
−x
0
4. y − 4y + 4y = 4(x − 1)
Rpta: y = e2x (c1 x + c2 ) + x
000
00
0
5. y + y + y + y = x2 + 2x − 2
Rpta: y = c1 e−x + c2 cos(x) + c3 sen(x) + x2 − 4
000
00
0
6. y − 3y + 3y − y = (2 + x)(2 − x)
Rpta: y = ex (c1 x2 + c2 x + c3 ) + x2 + 6x + 8
3
00
0
7. 2y − 9y + 4y = 18x − 4x2
x
Rpta: y = c1 e 2 + c2 e4x + 1 − x2
00
0
8. y − 2y + 5y = 25x2 + 12
Rpta: y = ex (c1 cos(2x) + c2 sen(2x)) + 2 + 4x + 5x2
00
0
0
9. y + y − 2y = 2x, y(0) = 0, y (0) = 1
Rpta: y = ex −
00
e−2x
2
−x−
1
2
0
10. y + 2y + 3y = 9x
√
√
Rpta: y = c1 e−x cos( 2x) + c2 e−x sen( 2x) + 3x − 2
00
0
11. y + y + y = x4 + 4x3 + 12x2
Rpta:
00
0
12. y − 6y + 9y = 2x2 − x + 3
Rpta:
00
0
13. y + 4y − 5y = 1
Rpta:
00
0
14. y − 2y + y = −2
Rpta: y =
00
15. y + 9y = 9
Rpta: y =
00
0
16. y + 2y + 2y = 1 + x
Rpta: y =
00
0
17. 7y − y = 14x
Rpta: y =
00
0
18. y − 4y + 4y = x2
Rpta: y =
00
0
19. y + 8y = 8x
Rpta: y =
00
0
20. y − 2y + y = x3
Rpta: y =
00
0
21. y − 4y + 4y = x2
Rpta: y =
00
0
22. y − y + y = x3 + 6
Rpta: y =
4
00
0
23. y − 7y + 12y = −e4x
Rpta: y =
00
0
24. y − 4y + 4y = xe2x
Rpta: y =
00
0
25. y − 6y + 9y = ex
Rpta: y =
Transformada de Laplace
1. Determinar quais das seguintes funções é contı́nua por partes:
(a)
(
f (t) =
2 se 0 ≤ t < 3
3≤t
4 se
(b)
(
f (t) =
t + 2 se 0 < t < 1
t
2
se 1 < t < 8
(c)
2
f (t) = et
2. Determinar quais das seguintes funções é de ordem exponencial:
(a) f (t) = sen(5t)
(b) f (t) = t5
(c) f (t) = senh(t)
3. Determinar
L{cos2 (αt)}
4. Provar que
L{tcosh(at)} =
5. Determinar
L{
s2 + a2
(s2 − a2 )2
senh(t)
}
t
6. Determinar
L{tn cos(at)}
7. Provar que
L{
1
s2 + 4
sen2 (t)
} = Ln( 2 )
t
4
s
8. Determinar
L{
et − cos(t)
}
t
5
9. Provar que
L{e−ax
t
Z
eax F (x)dx} =
0
f (s)
s+a
Onde L{F (x)} = f (s)
10. Provar que
L{
cos(at) − cos(bt)
1
s2 + b2
} = Ln( 2
)
t
2
s + a2
11. Determinar, em função de L{f (t)},
0
L{te2t f (t)}
12. Determinar
L{
et (cos(t) − 1)
}
t
13. Determinar
L{
1
}
(1 − e−t )2
14. Determinar
t
Z
sen(u)
du}
u
L{
0
15. Provar que
3t
Z
1
2s
sen(x)
dx} = arctg( 2
)
x
s
s +3
L{
t
16. Determinar
t
Z
L{
0
x2 cos(x) + e−x sen(x)
dx}
x
17. Provar que
t
Z
L{
0
1 − e−u
1
1
du} = Ln(1 + )
u
s
s
18. Determinar
Z
∞
sen(u)
du}
u
∞
cos(u)
du}
u
L{
t
19. Determinar
Z
L{
t
20. Determinar
Z
L{
t
21. Provar que
∞
Z
0
22. Provar que
Z
0
∞
∞
e−x
dx}
x
e−t sen(t)
π
dt =
t
4
e−3t − e−6t
dt = Ln(2)
t
6
Transformada de Laplace Inversa
1. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
3s − 12
}
s2 + 8
L−1 {
2. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
L−1 {
1
}
2s − 5
3. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
L−1 {
s
}
s2 − 2πs + 2π 2
4. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
L−1 {
3s − 8 4s − 24
− 2
}
s2 + 4
s − 16
5. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
L−1 {
2
}
(s + 1)5
6. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
L−1 {
2s − 6
}
s3 − s
7. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
L−1 {
3s + 2
}
4s2 + 12s + 9
8. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
L−1 {
s2 − 2s + 2
}
(s + 3)(s2 + 2s + 2)
9. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
L−1 {
s2 − 2s + 3
}
(s − 1)2 (s + 1)
10. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
L−1 {
s3
1
}
+ a3
11. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
−1
L
√
1 − 2 3s
{
}
4s2 + 1
7
12. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
L−1 {
2s3 + 10s2 + 8s + 40
}
s2 (s2 + 9)
13. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
L−1 {
2s2 − 9s + 19
}
(s + 1)2 (s + 3)
14. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
L−1 {
s2 + 2s + 3
}
(s2 + 2s + 2)(s2 + 2s + 5)
15. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
L−1 {
1
}
s5 + 4s4 + 13s3 + 62s2 + 149s + 130
16. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
L−1 {
2s2 − 4
}
(s + 1)(s − 2)(s − 3)
17. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
L−1 {
19s + 37
}
(s − 2)(s + 1)(s + 3)
18. Dado a > 0 e L−1 {f (s)} = F (t), provar que:
L−1 {f (as)} =
1 t
F( )
a a
19. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
L−1 {Ln(
s2 + 1
)}
s(s + 3)
20. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
L−1 {Ln(1 +
k2
)}
s2
21. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
L−1 {Ln(1 +
k2
)}
s3
22. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
1
s2 + a2
L−1 { Ln( 2
)}
s
s + b2
8
23. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
L−1 {Ln(
(s + a)(s2 + c2 )
)}
(s + b)(s − c)2
24. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
L−1 {
e−4s
}
(s + 2)2
25. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
L−1 {
1
}
s3 (1 − e−2s )
EDO’s Usando Transformada de Laplace Inversa
1. Resolver a EDO:
00
y + y = 9t
0
Com y(0) = 0 e y (0) = 7
2. Resolver a EDO:
00
0
y − 3y + 2y = 4t + 12e−t
0
Com y(0) = 6 e y (0) = −1
3. Resolver a EDO:
00
0
y − 4y + 5y = 125t2
0
Com y(0) = 0 e y (0) = 0
4. Resolver a EDO:
00
y + 9y = 18t
0
Com y( π2 ) = 6 e y (0) = 0
5. Resolver a EDO:
00
0
y − 4y + 3y = F (t)
0
Com y(0) = 1 e y (0) = 0
6. Resolver a EDO:
00
0
ty − (4t + 1)y + 2(2t + 1)y = 0
Com y(0) = 0
7. Resolver o sistema de EDO’s:
(
00
0
x + y + 3x
00
=
15e−t
0
y − 4x + 3y = 15sen(2t)
0
0
Tal que x(0) = 35, x (0) = −48, y(0) = 27 e y (0) = −55
9
8. Resolver o sistema de EDO’s:
(
0
0
2x + 2x + y − y = 3t
0
0
x +x+y +y
=
1
Tal que x(0) = 0 e y(0) = 3
9. Resolver o sistema de EDO’s:
(
00
0
x − x + 5y
00
0
0
y − 4y − 2x
0
=
0
t
= −2
0
Tal que x(0) = 0, x (0) = 0, y(0) = 0 e y (0) = 0
10. Resolver o sistema de EDO’s:
(
00
0
0
x − 3x − y + 2y = 14t + 3
0
x − 3x + y
0
0
=
1
0
Tal que x (0) = 0 e y (0) = 6, 5
Setembro de 2015-Viçosa
Walter