Moda e Mediana

Moda e Mediana
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3. Moda (Mo)
Denominamos moda o valor que ocorre com maior frequência em uma série de valores.
Desse modo, o salário modal dos empregados de uma indústria é o salário mais comum, isto é,
o salário recebido pelo maior número de funcionários dessa indústria.
3.1 Dados não agrupados
Quando os dados não estão agrupados, a moda é, de acordo com a definição, o valor que mais
repetir na sequência.
A série de dados: 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 15 tem moda igual a 10.
Podem existir séries em que não exista valor modal, isto é, nenhum valor aparece mais do que
outro. É o caso da série 3, 5, 8, 10, 12, 13, que não apresenta moda (amodal).
Em caso contrário, pode haver dois ou mais valores de concentração. Dizemos, então, que a
série tem dois ou mais valores modais. Na série: 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, temos duas
modas: 4 e 7 (bimodal).
3.2 Dados Agrupados
3.2.1. Sem intervalos de classe
Uma vez agrupados os dados, é possível determinar imediatamente a moda: basta fixar o valor
da variável de maior frequência.
Na distribuição abaixo, a frequência máxima é 12 e corresponde ao valor 3 da variável. Logo,
Mo = 3
Nº de
fi
meninos
0
2
1
6
2
10
3
12
4
4
=34
3.2.2. Com intervalos de classe
A classe que representa a maior frequência é denominada classe modal. Pela definição,
podemos afirmar que a moda, neste caso, é o valor dominante que está compreendido entre os
limites da classe modal.
O método mais simples para o cálculo da moda consiste em tomar o ponto médio da classe
modal.
Damos a esse valor o nome de moda bruta.
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1
i
1
2
3
4
5
6
Estaturas
(cm)
150154
154158
158162
162166
166170
170174
Fi
4
9
11
8
5
3
=40
Temos, então:
Onde:
Li = limite inferior da classe modal
Ls = limite superior da classe modal
Assim, na tabela:
Temos que a classe modal é i = 3, Li= 158 e Ls= 162
Mo 
Ls  Li 158  162 320


 160
2
2
2
Logo: Mo= 160 cm
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2
3.3 Expressões Gráficas da Moda:
Na curva de frequência, a moda é o valor que corresponde, no eixo das abscissas, ao ponto de
ordenada máxima. Assim, podemos ter:
Mo
Curva Modal
Curva não modal
Curva Antimodal
Mo1
Mo2
Curva Trimodal
Mo1
Curva Amodal
Mo2
Curva Bimodal
Mo3
3.4 Emprego da Moda
A moda é utilizada quando se deseja obter uma medida rápida e aproximada de posição, ou
quando a medida de posição deve ser o valor mais típico da distribuição.
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3
4. Mediana (Md)
É outra medida de posição definida como o número que se encontra no centro de uma série de
números, estando estes dispostos segundo uma ordem. Em outras palavras, a mediana de um
conjunto de valores, ordenados segundo uma ordem de grandeza, é o valor situado de tal
forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos.
4.1 Dados não-agrupados
Dada uma série de valores como: 5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9, de acordo com a definição,
primeiro deve-se ordenar os valores em ordem crescente ou decrescente: 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15,
16, 18; em seguida toma-se o valor central que apresenta o mesmo número de elementos à
direita e à esquerda. Na sequência, o valor é 10, já que, nessa série há quatro elementos
acima dele e quatro abaixo. Então: Md = 10.
Se, porém, a série dada tiver um número par de termos, a mediana será, por definição,
qualquer dos números compreendidos entre os dois valores centrais da série. Convencionouse utilizar o ponto médio.
Assim, a série: 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21 tem por mediana a média aritmética entre 10 e 12.
Logo: Md 
10  12 22

 11
2
2
Donde: Md = 11
Verificamos, então, que estando ordenados os valores de uma série e sendo n o número de
elementos da série, o valor mediano será:
n 1
- o termo de ordem
, se n for ímpar;
2
n n
- a média aritmética dos termos de ordem e  1 , se n for par.
2 2
Podemos comprovar tal fato nas séries dadas:
9 1
 5 . Logo, a mediana é o 5° termo da série, isto é: Md = 10
- para n = 9, temos
2
8
8
- para n = 8, temos  4 e  1  5 . Logo, a mediana é a média aritmética do 4° e 5° termos da
2
2
10  12 22

 11 , Logo Md=11.
série, isto é: Md 
2
2
Observações:
 O valor da mediana pode coincidir ou não com um elemento da série. Quando o número
de elementos da série é ímpar, há coincidência. O mesmo não acontece, porém, quando
esse número é par.
 A mediana e a média aritmética não têm, necessariamente, o mesmo valor. Na primeira
série apresentada, temos x  10,4 e Md = 10.
 A mediana depende da posição e não dos valores dos elementos na série ordenada.
Essa é uma das diferenças marcantes entre a mediana e a média (que se deixa
influenciar, e muito, pelos valores extremos). Esta propriedade da mediana pode ser
constatada através dos exemplos:
5, 7, 10, 13, 15  x  10 e Md = 10
6, 7, 10, 13, 65  x  20 e Md = 10
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4
Isto é, a média do segundo conjunto de valores é maior do que a do primeiro, por
influência dos valores extremos, ao passo que a mediana permanece a mesma.
 A mediana é designada, muitas vezes, por valor mediano.
4.2 Dados agrupados
Se os dados se agrupam em uma distribuição de frequências, o cálculo da mediana se
processa de modo muito semelhante aos dados não-agrupados, implicando, porém, a
determinação prévia das frequências acumuladas. Ainda aqui, tem-se que determinar um valor
tal que divida a distribuição em dois grupos que contenham o mesmo número de elementos.
Para o caso de uma distribuição, porém, a ordem, a partir de qualquer um dos extremos é dada
por:
4.2.1 Sem intervalos de Classe
Neste caso, é o bastante identificar a frequência acumulada imediatamente superior à metade
da soma das frequências. A mediana será aquele valor da variável que corresponde a tal
frequência acumulada.
Nº de
meninos
0
1
2
3
4
Sendo
Fi
Fa
2
6
10
12
4
=34
2
8
18
30
34
 fi  34  17 a menor frequência acumulada que supera esse valor é 18, que
2
2
corresponde ao valor 2 da variável, sendo este o valor mediano. Logo:
Md = 2 meninos.
Obs: No caso de existir uma frequência acumulada Fa, tal que: Fa 
 fi , a mediana será
2
xi  xi 1
dada por: Md 
, isto é, a mediana será a média aritmética entre o valor da variável
2
correspondente a essa frequência acumulada e o seguinte.
Exemplo:
xi
12
14
15
16
17
20
Fi
1
2
1
2
1
1
=8
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Fa
1
3
4
6
7
8
Temos:
Logo:
Donde: Md = 15,5
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5
4.2.2 Com Intervalos de Classes
Neste caso, o problema consiste em determinar o ponto do intervalo em que está
compreendida a mediana.
Para tanto, temos inicialmente que determinar a classe na qual se acha a mediana, classe
mediana. Tal classe será, evidentemente, aquela correspondente à frequência acumulada
 fi .
imediatamente superior a
2
Feito isso, um problema de interpolação (inserção de uma determinada quantidade de valores
entre dois números) resolve a questão, admitindo-se, agora, que os valores se distribuam
uniformemente em todo o intervalo de classe.
Assim, considerando a distribuição:
Temos:
 fi  40  20
2
2
Como há 24 valores incluídos nas três primeiras classes da distribuição e como pretendemos
determinar o valor que ocupa o 20° lugar, a partir do início da série, vemos que este deve estar
localizado na terceira classe (i=3), supondo que as frequências dessas classes estejam
uniformemente distribuídas.
Como há 11 elementos nessa classe e o intervalo de classe é igual a 4, devemos tomar, a
20  13
7
partir do limite inferior, a distância:
 4   4 e a mediana será dada por:
11
11
7
28
28
Md  158   4  158 
 158 
 158  2,54  160,54 Logo: Md = 160,5 cm.
11
11
11
Na prática, seguimos os seguintes passos:
1°) Determinar as frequências acumuladas.
 fi .
2º) Calculamos
2
3°) Marcamos a classe correspondente à frequência acumulada imediatamente superior à
 fi - classe mediana e, em seguida empregamos a fórmula:
2
Na qual:
Li = limite inferior da classe mediana;
Fa(ant) = frequência acumulada da classe anterior à classe mediana;
Fi = frequência simples da classe mediana;
h=amplitude do intervalo da classe mediana.
Na distribuição anterior, temos:
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6
 fi  40  20
2
2
i
1
2
3
4
5
6
Estaturas
(cm)
150154
154158
158162
162166
166170
170174
Fi
Fa
4
9
11
8
5
3
=40
4
13
24
32
37
40
Classe mediana
Logo, a classe mediana é a de 3ª ordem. Então:
Li=158, Fa(ant)=13; Fi = 11 e h = 4
Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:
Md  158 
20  134  158  28  158  2,54  160,54
11
11
Isto é Md = 160,5 cm.
5. Emprego da Mediana:
A mediana é empregada quando se deseja obter o ponto que divide a distribuição em partes
iguais; quando há valores extremos que afetam de uma maneira acentuada a média; ou
quando a variável em estudo é salário.
Bibliografia
CRESPO, A. A. Estatística Fácil. 10ª. ed. São Paulo: Saraiva, 1993.
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7
Exercícios
1. Dado o quadro de frequências abaixo, que se refere às idades dos jogadores de
basquete de um clube. Determine a moda e a mediana destes dados.
Idade
Número de
jogadores
xi
13
14
15
20
23
Fi
6
12
15
24
9
2. O quadro de distribuição seguinte representa as alturas de 200 jovens. Qual é a
mediana dessa distribuição?
Altura (em cm)
Fi
Fa
Xi
[160;165[
8
8
[165;170[
15
23
[170;175[
10
33
[175;180[
40
73
[180;185[
90
163
[185;190[
20
183
[190;195[
15
198
[195;200[
2
200
3. Em uma casa de repouso, as pessoas internadas têm as seguintes idades:
67 68 67 68 84 75 80 74 75 84
75 73 74 78 77 75 80 67 74 77
85 85 74 72 73 71 73 68 71 85
68 84 77 78 75 71 72 80 73 84
Calcule a mediana e a moda dessa distribuição.
4. Calcule a mediana do conjunto de dados representado pelo quadro:
Xi
Fi
8
7
12 16
16 20
20
5
5. Os dados a seguir representam as massas, em quilogramas, dos atletas de uma equipe
juvenil: 46, 44, 49, 45, 44, 48, 50, 42. Determine a mediana e a moda dessa distribuição.
6. Calcule a mediana do conjunto de dados representado pelo quadro:
Xi
10
15
20
25
30
Moda e Mediana
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Fi
9
21
10
32
8
8
7. O histograma representa a distribuição das estaturas de 100 pessoas e as respectivas
frequências. Por exemplo, na 3ª classe (155-160) estão situadas 11% das pessoas com
estatura de 1,55 m a 1,59 m. A 5ª classe (165-170) chama-se classe mediana. Pelo
ponto M situado na classe mediana, traça-se uma reta paralela ao eixo das frequências,
de modo a dividir a área da figura formada pelos nove retângulos das frequências em
duas regiões de mesma área. Determine a abscissa do ponto M (mediana das
observações)
8. Considere o quadro, que representa a distribuição das áreas cultivadas, em hectares, de
uma determinada região. Dados: Xi= área em hectares; Fi= número de áreas cultivadas.
Determine:
a) a classe mediana;
b) a mediana da distribuição.
Xi
[0;2[
[2;4[
[4;6[
[6;8[
[8;10[
[10;12[
[12;14[
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Fi
30
35
60
35
15
8
2
9