Gabarito Lista 10 - Casa - IME-USP

MAE 116 - Noções de Estatística
o
Grupo A - 1 semestre de 2014
Lista de exercício 10 - Teste de Hipóteses II - CASA
__________________________________________
1. (2,5) Um levantamento de opinião mostrou que nos últimos meses a proporção p de habitantes
de certo país que desaprovam a política de economia de energia do governo federal é igual a
80%. O presidente do país introduz uma série de mudanças na política de economia de energia
e seus assessores garantem que essa proporção diminuiu. Para isso, 50 pessoas são entrevistadas
depois da introdução das mudanças.
(a) (0,8) Formule esse problema como um teste de hipóteses.
Solução
Queremos vericar se a proporção p de habitantes de certo país que desaprovam a política
de economia de energia do governo federal diminuiu, então sejam as seguintes hipóteses:
H : p = 0, 8
A : p < 0, 8
(b) (0,8) Qual é o signicado do erro do tipo I e do tipo II para o problema?
Solução
O erro tipo I (Rejeitar H quando H é verdadeira) é concluir que a proporção de habitantes
de certo país que desaprovam a política de economia de energia do governo federal é inferior
a 80% quando na verdade não é. Já o erro tipo II (Não rejeitar H quando H é falsa) é
concluir que esta proporção é de 80% quando na verdade esta proporção é inferior a 80%.
(c) (0,9) Se 32 das 50 pessoas entrevistadas desaprovam a política de economia de energia do
governo federal, qual é a conclusão baseada no nível descritivo? (adote α = 5%). Utilize
a aproximação pela normal.
Solução
Seja X: o número de habitantes, dentre os 50 entrevistados, que desaprovam a política
de economia de energia do governo federal, então X ∼ Bin(50; p). Sob a hipótese H,
seja p = 0, 8, então X ∼ Bin(50; 0, 8), logo
√ E(X) = np = 50 · 0, 8 = 40, V ar(X) =
np(1 − p) = 40 · 0, 2 = 8 e DP (X) = 8 = 2, 828. Queremos vericar a seguinte
probabilidade P (X ≤ 32|p = 0, 8). Usando a aproximação pela distribuição normal, temos
que:
P = P (X ≤ 32) ∼
= P (Z ≤
32 − 40
) = P (Z ≤ −2, 83) = 1 − A(2, 83) = 1 − 0, 9977 = 0, 0023.
2, 828
Sendo α = 0, 05, o e valor P menor que α, então rejeita-se H, ou seja, conclui-se que a
proporção de pessoas que desaprovam a política de economia de energia do governo federal
é inferior a 80%.
2. (2,5) Sabe-se que o produto A é usado por 40% dos consumidores. Uma campanha promocional
foi contratada e os promotores garantem que A passará a ser responsável por uma porcentagem maior do mercado. Seleciona-se uma amostra entre as pessoas submetidas à campanha
promocional após seu termino e pergunta-se a cada uma delas se usualmente compra a marca
A do produto. Sendo p a porcentagem de consumidores do produto A após a campanha,
1
(a) (0,5) Estabeleça as hipóteses apropriadas.
Solução
Queremos vericar se o produto A será responsável por uma porcentagem do mercado
maior que 40%. Então testemos as seguintes hipóteses:
H : p = 0, 4
A : p > 0, 4
(b) (0,6) Quais são os signicados dos erros tipo I e tipo II para o problema?
Solução
O erro tipo I (Rejeitar H quando H é verdadeira) é concluir que a proporção do mercado
dominado pelo produto A é superior a 40%, quando na verdade não é. Já o erro tipo
II (Não rejeitar H quando H é falsa) é concluir que esta proporção é de 40% quando na
verdade esta proporção seria superior a 40%.
(c) (0,7) Se entre 19 clientes entrevistados, 11 responderam sim, qual é a sua conclusão com
base no nível descritivo? Adote α = 1%.
Solução
Seja X :o número de pessoas que compram o produto da marca A dentre os 19 entrevistados.
Então, X ∼ Bin(19; 0, 4). Calculemos o valor P, ou seja, P = P (X ≥ 11|p = 0, 4).
P = P (X ≥ 11|p = 0, 4) = 1 − P (X ≤ 10) = 1 − 0, 91153 = 0, 08847.
Sendo α = 0, 01, temos o valor P maior que α, logo não rejeitamos H, ou seja, não
há evidências estatísticas indicando que o produto A seja responsável por uma proporção
superior a 40% do mercado consumidor.
(d) (0,7) Se entre 330 clientes entrevistados, 155 responderam sim, qual é a sua conclusão com
base no nível descritivo? Adote α = 1%.
Solução
Seja agora X ∼ Bin(330; 0, 4), √
logo E(X) = np = 330 · 0, 4 = 132, V ar(X) = np(1 − p) =
132 · 0, 6 = 79, 2 e DP (X) = 79, 2 = 8, 899. Usando a aproximação pela distribuição
normal, teremos:
155 − 132
P = P (X ≥ 155|p = 0, 4) ∼
)
= P (Z ≥
8, 899
= P (Z ≥ 2, 58) = 1 − A(2, 58) = 1 − 0, 9951 = 0, 0049.
Sendo α = 0, 01, temos o valor P menor que α, logo rejeitamos H, ou seja, concluímos
que a proporção de consumidores do produto A é superior a 40%.
3. (2,5) Um criador tem constatado uma incidência de 6% na proporção de gado com verminose
no seu rebanho. O veterinário alterou a dieta dos animais e acredita que a doença diminuiu de
intensidade. Um exame em 200 cabeças do rebanho, escolhidas ao acaso, indicou 10 delas com
verminose.
(a) (0,8) Formule o problema como um teste de hipóteses estatístico.
Solução
Queremos testar a armação do veterinário, ou seja, se a proporção de gado com verminose no rebanho é inferior a 6%, logo sejam as hipóteses
H : p = 0, 06
A : p < 0, 06
2
(b) (0,8) Qual é o signicado dos erros tipo I e tipo II?
Solução
O erro tipo I (Rejeitar H quando H é verdadeira) é concluir que a proporção de gado com
verminose no rebanho é inferior a 6% quando na verdade não é. Já o erro tipo II (Não
rejeitar H quando H é falsa) é concluir que esta proporção é de 6% quando na verdade é
inferior a 6%.
(c) (0,9) Com base no nível descritivo, há indícios de que a incidência diminuiu, ao nível de
signicância de 7%? Resolva utilizando a aproximação pela normal.
Solução
Seja X : o número de cabeças de gados com verminose no rebanho dentre as 200 avaliadas,
logo, X ∼ Bin(200; 0, 06), além
√ disso E(X) = np = 200·0, 06 = 12, V ar(X) = np(1−p) =
12·0, 94 = 11, 28 e DP (X) = 11, 28 = 3, 359. Utilizando a aproximação pela distribuição
normal tem-se
10 − 12
) = P (Z ≤ −0, 60)
3, 359
= 1 − A(0, 60) = 1 − 0, 7257 = 0, 2743.
P = P (X ≤ 10|p = 0, 06) ∼
= P (Z ≤
Sendo α = 0, 07, temos o valor P maior que α, logo não rejeitamos H, ou seja, não há
evidências estatísticas indicando que a proporção de gado com verminose seja inferior a
6%.
4. (2,5) Sabe-se através de experiências passadas que, se uma determinada máquina estiver ajustada, apenas 5% dos itens por ela produzidos apresentarão algum defeito. Diariamente são
inspecionados os primeiros 40 itens produzidos pela máquina. Dependendo do número de itens
defeituosos encontrados em cada inspeção a produção continua sem interrupção ou é interrompida para que máquina seja ajustada.
(a) (0,8) Formule esse problema como um problema de teste de hipóteses especicando quem
é p.
Solução
Queremos vericar se a máquina está ajustada ou não. Note que a produção da máquina
é interrompida apenas se p (a porcentagem de itens defeituosos) ultrapassar 5%, então
sejam as seguintes hipóteses:
H : p = 0, 05
A : p > 0, 05
(b) (0,8) Qual é o signicado prático do erro de tipo I?
Solução
O erro tipo I (Rejeitar H quando H é verdadeira) é concluir que a proporção de itens
defeituosos é superior a 5% quando na verdade não é. Já o erro tipo II (Não rejeitar H
quando H é falsa) é concluir que esta proporção é de 5% quando na verdade é superior a
5%.
(c) (0,9) Suponha que seja adotado em cada inspeção nível de signicância de 5%. Se num
determinado dia forem encontrados 3 defeituosos, qual a decisão? Responda com base no
nível descritivo. Use a tabela da binomial.
Solução
3
Seja X : número de itens defeituosos dentre os 40 selecionados, então X ∼ Bin(40; 0, 05),
logo:
P = P (X ≥ 3|p = 0, 05) = 1 − P (X ≤ 2) = 1 − 0, 6767 = 0, 3233.
Sendo α = 0, 05, temos o valor P maior que α, logo não rejeitamos H, ou seja, não há
evidências estatísticas indicando que a proporção de itens defeituosos apresentados pela
máquina seja superior a 5%.
4