Óptica geométrica

Óptica geométrica
A parte da Física que estuda a luz e os fenômenos
luminosos é denominada Óptica. Essa ciência é muito antiga,
provavelmente porque, dos nossos sentidos, a visão é o que
mais colabora para o conhecimento que adquirimos do mundo
que nos rodeia. Certamente, desde a Antiguidade, pessoas
curiosas e observadoras começaram a buscar respostas para
questões como: Por que vemos? Como vemos? Quando não
podemos ver um objeto? O que é a luz?, etc.
Fontes de luz

Atribui-se ao filósofo Platão uma das primeiras tentativas de responder à questão “por que vemos um objeto?”. Esse
filósofo e alguns de seus discípulos pensavam que nossos
olhos emitiam pequenas partículas que tornavam os objetos
visíveis ao atingi-los. No entanto, se as idéias dos filósofos
gregos estivessem corretas, quando estivéssemos em um quarto totalmente escurecido, ainda assim poderíamos enxergar os
objetos colocados ali (mesmo os que não sejam fontes de luz).
Atualmente, sabe-se que vemos um objeto quando ele
envia luz para os nossos olhos. Qualquer objeto que emite
luz é considerado uma fonte de luz. De fato, se você pensar
em vários objetos que se encontram ao seu redor, poderá verificar que podemos separá-los em duas grandes classes:
▪ objetos luminosos (fontes primárias): são aqueles que
emitem luz gerada por eles próprios, como o Sol, uma lâmpada acesa, a chama de uma vela, etc.
▪ objetos iluminados (fontes secundárias): são aqueles que
não produzem luz, mas a recebem de outros objetos. Por exemplo: um móvel, uma pessoa, esse livro, etc. A Lua e os
planetas são também exemplos de corpos iluminados, pois não
tem luz própria, e o brilho que apresentam é devido à luz que
recebem do Sol e refletem para nossos olhos.
Após inúmeras observações experimentais, os cientistas chegaram à seguinte conclusão:
Qualquer objeto, seja luminoso ou iluminado, deve emitir luz
para nossos olhos, para que possamos vê-lo.
Note que essa idéia é exatamente o oposto da hipótese
de Platão. Assim, se um objeto envia luz em todas as direções,
mas essa não chega aos nossos olhos, nós não o vemos. Além
disso, é evidente que, se estamos de olhos abertos diante de
um objeto, mas este não nos envia luz, também não o vemos.
OBSERVAÇÕES:
As paredes de um sala refletem em todas as direções a luz recebida de uma lâmpada — quanto mais claras forem, mais iluminado
é o ambiente, porque as paredes claras absorvem menos (e refletem
mais) luz, e por isso contribuem mais para a claridade do ambiente.
►
As fontes primárias de luz classificam-se em:
A) incandescentes — emitem luz por causa da sua elevada temperatura, como o Sol (cerca de 6000 oC na sua superfície), as
lâmpadas de incandescência (a temperatura de filamento é
superior a 2000 oC), alguns metais na fusão, etc.
B) luminiscentes — emitem luz mesmo quando sua temperatura
é relativamente baixa; elas se dividem em fluorescentes (emitem
luz quando excitadas, como no caso das lâmpadas fluorescentes, que emitem luz quando submetidas a uma tensão elétrica),
e fosforescentes (emitem luz ainda durante algum tempo após
ser interrompida a ação do agente excitador, como é o caso das
substâncias utilizadas nos mostradores de alguns relógios e
interruptores, que permitem a visão noturna.
►

Princípios da óptica geométrica
A parte da óptica que trata da descrição da trajetória da luz
ao atravessar instrumentos ópticos, como máquinas fotográficas,
lunetas, periscópios, microscópios e outros, é denominada óptica
geométrica. O estudo da ótica geométrica se baseia em três princípios básicos:
1o Em meios homogêneos, a luz se propaga em linha reta .
Você já deve ter observado este fato, quando a luz do Sol
passa através de uma fresta da janela, penetrando em um quarto
escurecido. Para indicar que a propagação da luz é retilínea, costumam-se traçar semi-retas a partir objeto do que emite a luz, as
quais são denominadas raios de luz (ou raios luminosos), e representam as direções e sentidos (por meio de setas) em que a luz
está se propagando.
2o Quando dois ou mais raios de luz se cruzam, seguem sua
trajetória, como se os outros não existissem.
Quando você vai em espetáculos, como um show de rock,
deve ter reparado que a luz de um holofote não muda o caminho
da luz de outro holofote. Da mesma forma, quando duas lanternas
são acesas, o facho de uma lanterna não interfere no outro.
3o A trajetória da luz independe do sentido do percurso.
Você também já deve ter observado, que quando olhamos
alguém pelo espelho, esta pessoa também o vê. Isto só acontece
porque os raios de luz são reversíveis, isto é, tanto podem fazer o
percurso você→espelho→outra pessoa, como o trajeto inverso
(outra pessoa→espelho→você).
▪ Sombra e penumbra
Uma conseqüência da propagação
retilínea da luz é a formação de sombras sobre um objeto, e as sombras que
esse objeto é capaz de projetar. Se,
com o auxílio de uma pequena lâmpada, iluminarmos uma bola de futebol
dentro de um quarto escuro (figura ao
lado), vamos constatar o aparecimento
de uma sombra da bola projetada na
parede, e também de uma região de
sombra sobre a bola.
A luz parte da lâmpada (L), e se propaga em todas as direções, e
incide sobre a bola, deixando uma parte da mesma iluminada. Como a
bola é um objeto opaco (que não deixa a luz passar através dele), a
região da bola que está do lado oposto à lâmpada fica escura, e constitui a sua sombra própria. Além disso, como a luz só se propaga em
linha reta, forma-se na parede uma região que não recebe luz, que
chamamos de sombra projetada.
Se, por outro lado, a lâmpada
utilizada for de maiores dimensões,
podemos apreciar, além das sombras,
uma região parcialmente iluminada,
denominada penumbra (figura ao
lado). Nesse caso, podemos imaginar
que a lâmpada L é formada por pequenas lâmpadas A,B,C... Então sobre a
parede vão existir regiões em que A e
B iluminam, regiões iluminadas somente por A e regiões iluminadas somente
por B (região de penumbra), e regiões
que nem A nem B iluminam (região de
Óptica Geométrica

Eclipses
O mesmo fenômeno que ocorre na formação das sombras
e penumbras dos objetos, aparece nos eclipses do Sol e da
Lua. No eclipse do Sol (eclipse solar), quem faz o papel da
parede do exemplo
anterior é a Terra
(figura ao lado). O Sol
faz o papel da lâmpada e a Lua faz o papel
da bola de futebol.
Sobre a Terra
vão aparecer regiões
de sombra, regiões de
penumbra e regiões
iluminadas. As pessoas da Terra que estiverem na região T1 não
conseguem receber os
raios luminosos da
parte B do Sol, mas
conseguem ver a parte
A do Sol. Elas estão em uma região de penumbra, e neste caso
vêem o Sol parcialmente encoberto pela Lua (eclipse parcial).
Da mesma maneira, as pessoas que estiverem na região
T2 da Terra não conseguem ver a parte A, mas vêem a parte B
do Sol, e também vêem o Sol parcialmente encoberto. Finalmente, quem estiver em C não consegue ver nenhum ponto do
Sol, e para essas pessoas o eclipse é total.
Os eclipses da Lua (eclipses lunares) são explicados de
maneira semelhante. Fazendo sempre a comparação como o
exemplo da bola de
futebol, nesse caso a
Terra será a bola, a Lua
será a parede e a lâmpada continua sendo o Sol
(figura ao lado). A Lua
no seu movimento ao
redor da Terra, atravessará regiões nas quais
sofrerá eclipses parciais
(regiões de penumbra)
ou eclipses totais
(regiões de sombra).
A câmara escura
A câmara escura é uma caixa de paredes opacas com um pequeno orifício em uma das faces, dentro da qual podemos projetar a
imagem de um objeto sobre uma folha de papel. Seu funcionamento
baseia-se no princípio da propagação retilínea da luz. Quando um
objeto luminoso ou iluminado (fonte de luz) é colocado diante da
face da câmara que possui o
orifício, os raios de luz emitidos
pelo objeto que passam pelo
orifício, originam na parede do
fundo uma figura semelhante ao
objeto, mas invertida. Esta
propriedade da câmara escura
constitui o princípio de funcionamento das máquinas fotográficas. Para isso, utiliza-se um
material sensível à luz (filme
fotográfico), colocado na parede
(fundo) da câmara, onde a
imagem é projetada.
O tamanho (altura ou diâmetro) e a posição de
uma imagem (ou sombra) projetada sobre um anteparo
podem ser relacionados com o tamanho e a posição do
objeto que está sendo iluminado, através da fórmula:
LEGENDA :
o : tamanho do objeto
i : tamanho da imagem
p : posição do objeto
p ' : posição daimagem
i p'
=
o p
OBS: No caso da formação de sombras, as posições (do
objeto e da imagem) são as distâncias em relação à fonte de
luz; já na câmara escura, as posições (distâncias) devem
ser medidas em relação à parede da câmara com o orifício.
Exemplo: Uma lâmpada pequena está a 20 cm de um disco de 10
cm de diâmetro, e projeta sombra
sobre um anteparo situado a 80
cm, como mostra a figura ao lado.
Qual o diâmetro da sombra formada no anteparo?
Resolução: As posições do
objeto e da imagem (em relação
à lâmpada) são respectivamente: 20 cm e 80 cm, e o tamanho (diâmetro) do objeto é de 10
cm. Temos então:
p=20 cm
p’=80 cm
o=10 cm
i=x
i p'
=
o p
x 80
=
10 20
10×80
x=
=40 cm
20
Portanto, o diâmetro da sombra projetada será de 40 cm.

Exercícios
1. A moeda de 5 centavos tem 2 cm de diâmetro. A Lua tem 3000 km
de diâmetro e sua distância da Terra é aproximadamente 380 000
km. A que distância devemos colocar a moeda para que ela cubra
totalmente o disco lunar? Sugestão: Você pode usar o desenho do
exemplo acima, imaginando a moeda como sendo o disco, e a
Lua como sendo a imagem no anteparo.
2. Uma câmara escura tem
profundidade (comprimento)
de 50 cm, e está dirigida
para uma árvore a uma distância de 10 metros (figura
abaixo). Verifica-se que uma
projeção de 5 cm de altura
forma-se no fundo da caixa.
Qual a altura da árvore?
3. Uma câmara escura tem 50 cm de comprimento. Determine a altura
da imagem que se forma na câmara, quando um homem de 2,0
metros da altura se coloca a 10 m da parede com o orifício.
Óptica Geométrica

As cores da luz
A luz emitida pelo Sol resulta da mistura de luzes de
cores diferentes, e por isso é denominada luz policromática.
Na verdade, ela é composta de infinitas cores, das quais sete se
evidenciam quando têm o fenômeno do arco-íris: vermelho,
alaranjado, amarelo, verde, azul, anil e violeta (esta combinação pode ser memorizada pela combinação de suas letras iniciais: VAAVAAV).
Por outro lado, quando a luz emitida por uma fonte é
constituída por uma só cor, é denominada luz monocromática.
Como exemplos, podemos citar as lâmpadas de gases nobres:
neônio (vermelho), argônio (azul), xenônio (violeta), etc., ou
de vapores aquecidos: mercúrio (verde), sódio (amarelo), etc.
A cor dos corpos
As cores que os corpos apresentam dependem da cor
das luzes que eles refletem. Assim, por exemplo, se uma folha
de papel, quando iluminada pela luz solar, apresenta a cor verde, significa que ela reflete a componente verde e absorve as
demais componentes da luz solar.
Um corpo que, ao ser iluminado pela luz solar, reflete
todas as componentes e não absorve nenhuma, se apresenta na
cor branca; ao contrário, um corpo que não reflete nenhuma
componente da luz solar, isto é, absorve toda a luz incidente
sobre ele, apresenta a cor negra.

corpo branco => reflete todas as cores
corpo negro => não reflete nenhuma das cores
Considere agora, três corpos, que quando iluminados
pela luz solar, apresentam-se um na cor azul, outro na branca e
outro na vermelha. Quando os levamos para um quarto cuja
iluminação é feita com luz monocromática vermelha, o corpo
azul é visto como negro, pois absorve a luz vermelha incidente;
o corpo branco é visto como vermelho, uma vez que reflete
qualquer cor que incide sobre ele; e o corpo vermelho continua
sendo visto como vermelho.
Na prática, um corpo de cor azul colocado dentro de
uma sala iluminada com luz vermelha, se apresenta com cor
avermelhada em tom bastante escuro e pouco visível, enquanto
um corpo branco apresenta uma coloração vermelha mais brilhante e totalmente visível.
Mistura de cores
Uma mistura de luzes de cores diferentes é denominada
mistura aditiva de cores, porque ao juntarmos duas cores diferentes obtemos uma terceira mais luminosa. Nesse caso, as cores
básicas são o vermelho, o verde e o azul, denominadas cores
primárias aditivas; note que nesse tipo de mistura, a soma de
todas as cores primárias produz o branco.
Por outro lado, uma mistura de tintas de cores diferentes
é chamada mistura subtrativa de cores, porque ao misturarmos
duas cores diferentes obtemos uma terceira menos luminosa. Nesse caso as cores básicas são o ciano, o amarelo e o magenta, denominadas cores primárias subtrativas; note que nesse caso, a
soma de todas as cores primárias produz o preto.

Fenômenos ópticos na atmosfera
O fenômeno do arco-íris
Um dos mais belos fenômenos ópticos que ocorrem na atmosfera é o arco-íris. A ocorrência desse fenômeno é devida à dispersão
(decomposição) da luz solar (luz branco-amarelada) ao se refratar em
pequenas gotas de água que se encontram
em suspensão no ar (o arco-íris pode ser
visto quando o Sol surge logo após uma
chuva).
Para entender o que ocorre em cada
gota de chuva, observe a figura ao lado. A
luz branca (do Sol) ao penetrar na gota,
sofre refração, produzindo uma primeira
separação de cores. O feixe disperso, ao
incidir na face oposta (interna) da gota,
sofre reflexão e retorna à face frontal da gota. Ao emergir da gota, o
feixe sofre uma segunda refração, que provoca uma separação ainda
maior das cores.
Quando a luz emergente da gota chega a um observador, apenas uma cor do feixe penetra em seus olhos, porque as outras estão
muito separadas (algumas alcançam o observador acima dos olhos, e
outras abaixo). A luz de cor violeta alcança o observador formando um
ângulo de incidência de 40°, enquanto a luz vermelha incide em um
ângulo de 42°. As outras cores incidem formando ângulos intermediários entre esses dos extremos.
Como são milhares de gotas, o resultado é que o observador
recebe a cor vermelha proveniente das gotas mais altas e a luz violeta
das gotas mais baixas; por isso vemos um conjunto de faixas semicirculares coloridas, ficando as cores mais “avermelhadas” em cima e as
cores mais “azuladas” em baixo.
A cor do céu
As cores mais “azuladas” (azul, anil e violeta) pertencem à
região de maiores frequências do espectro luminoso. Assim, as ondas
eletromagnéticas correspondentes a esse tipo de radiação luminosa tem
menor comprimento de onda. Por isso essas ondas tem maior dificuldade de contornar as partículas da atmosfera (em especial, átomos de
nitrogênio e oxigênio), e acabam sendo mais refletidas e espalhadas do
que a parte “avermelhada” do espectro luminoso. O resultado disso é
que o céu apresenta a coloração azul na maior parte do dia (a cor azul
predomina sobre o anil e o violeta, porque nossos olhos tem maior
sensibilidade para essa cor).
Contudo, quando o Sol está perto da linha do horizonte, a luz
atravessa uma espessura de ar muito maior do que quando o Sol está a
pino. Assim, os comprimentos de onda menores (como o azul e o violeta) já foram espalhados em camadas anteriores, enquanto os comprimentos de onda maiores (vermelho, laranja e amarelo) continuam se
propagando. Isto faz com que o céu apresente aquela coloração
“alaranjada” no nascer e pôr do Sol.
A cor das nuvens
As nuvens são formadas por partículas de diferentes tamanhos,
pois a água se condensa em torno de partículas de poeira, fumaça sal e
outras suficientemente leves para ficarem suspensas no ar. Como há
partículas de diversos tamanhos, elas espalham diversos comprimentos
de onda. Por exemplo, as menores espalham o azul, as intermediárias
espalham o verde, e as maiores espalham o vermelho. Da soma de
todos esses tipos de espalhamento resulta a cor branca.
No caso das nuvens mais escuras, isto acontece porque suas
partículas tornam-se ainda maiores; o efeito de absorção passa a ser
maior e o espalhamento menor. Grandes demais para continuarem
suspensas, essas partículas se precipitam na forma de chuva. Por isso,
as nuvens escuras são um indicativo de que vai chover.
Óptica Geométrica

Reflexão da luz: a luz indo e voltando
Considere um feixe de luz (um conjunto de raios luminosos produzidos, por exemplo, por uma lanterna) que se
propaga no ar e incide em uma superfície bastante lisa (de um
bloco de vidro, por exemplo). Nesta situação, parte da luz
penetra no vidro (pois ele é transparente), mas uma outra parte
volta a se propagar no ar.
Dizemos que a parte do feixe que voltou a se propagar
no ar sofreu reflexão, ou seja, a luz se refletiu ao encontrar a
superfície lisa.
Suponha agora que seja traçado apenas um dos raios
que incidiu na superfície refletora (superfície que refletiu a
luz). Na figura ao lado, mostramos este raio (raio incidente),
e o raio refletido correspondente. Traçando-se uma reta perpendicular (normal) à superfície refletora, temos:
▪ o ângulo î formado pelo raio
incidente e a normal, é denominado ângulo de incidência;
▪ o ângulo r formado pelo raio
refletido e a normal, é denominado ângulo de reflexão.
Verifica-se experimentalmente, que se variarmos o
valor do ângulo de incidência,
o ângulo de reflexão também
variará, mas seus valores permanecerão sempre iguais entre
si, isto é, teremos sempre î=r.
Verifica-se também que o raio
incidente, a normal e o raio refletido estão contidos no mesmo
plano. Estes resultados experimentais, constituem as leis básicas da reflexão da luz:
Leis da reflexão da luz
▪
O ângulo de incidência (î) é sempre igual ao ângulo de
reflexão (r);

Espelhos e imagens
Um espelho comum é constituído de uma lâmina de vidro
de faces paralelas, sendo que em uma das faces é depositada uma
delgada camada de prata (face refletora).
A imagem de um pequeno objeto luminoso, como uma
lâmpada por exemplo, colocado na frente da face refletora de um
espelho plano se forma “atrás” do espelho.
Para saber como a imagem se
forma lá dentro do espelho, precisamos
saber como são refletidos os raios
luminosos no espelho. Observe que os
raios refletidos partem do espelho de
maneira divergente (abrindo), e se
forem prolongados para “trás”, encontram-se todos em um mesmo ponto
“atrás” do espelho (figura ao lado).
Assim, para o observador, a luz que
chega a seus olhos parece ter sido
emitida de dentro do espelho.
Quando você era criança e leu “Alice no país do espelhos”, ficou pensando na possibilidade de “entrar em um espelho”. Vários filmes de ficção ligada ao sobrenatural tratam deste
tema: os espelhos estão sempre ligados a outras dimensões,
“mundos paralelos”, ao mundo da magia. Mas afinal, onde se
forma a imagem no espelho?
Se você fez a experiência da câmara escura, verificou que
a imagem da chama da vela forma-se no papel vegetal. Você
poderia aproximar ou afastar o papel vegetal para focalizar a
imagem. No caso do espelho plano, é impossível captar a imagem
em um anteparo, porque ela está “dentro” do espelho. Neste caso
dizemos que trata-se de uma imagem virtual.
Mas, e a distância da imagem até o espelho? Verifica-se
que nos espelhos planos a distância da imagem até o espelho é
igual à distância do objeto até o espelho. Além disso, o tamanho
da imagem é igual ao tamanho do objeto. Tudo se passa, como se
o objeto e a imagem estivessem eqüidistantes do espelho.
▪ O raio incidente, a reta normal à superfície refletora e o raio
refletido estão contido em um mesmo plano.
Mas por que, quando olhamos para um espelho, para a superfície tranqüila da água ou para um metal polido, vemos nossa
imagem refletida, e quando olhamos para outros objetos,
vemos esses objetos e não a nossa imagem?
Note que quando a superfície refletora é bem plana e polida, a luz incidente muda de direção, mas se mantém ordenada.
Nesse caso, vemos nossa imagem refletida, como em um espelho, é
chamamos este fenômeno de reflexão regular, o qual será estudado em mais detalhes na próxima seção.
Por outro lado, quando a superfície é irregular, rugosa, a luz
volta de maneira desordenada; cada pequena porção da superfície
reflete a luz numa determinada direção, e conseqüentemente, o
feixe refletido não é bem definido. Dizemos então, que ocorreu uma
reflexão difusa, isto é, houve difusão (espalhamento) da luz pela
superfície refletora.
A maioria dos corpos reflete difusamente a luz que incide
sobre eles. Assim, esta folha de papel, uma parede, um móvel de
uma sala, etc. são objetos que difundem a luz que recebem, espalhando-a em todas as direções. Quando esta luz penetra em nossos
olhos, nós enxergamos o objeto. Se ele não difundisse a luz, não
seria possível vê-lo (como é o caso de um vidro totalmente transparente). Como na difusão, a luz se espalha em todas as direções,
várias pessoas podem enxergar um mesmo objeto, apesar de situadas em posições diferentes em torno dele.
Com essas informações é fácil representar a imagem de
qualquer objeto. Basta traçar uma perpendicular ao espelho, passando pelo objeto, como o relógio da figura acima, e manter as
distâncias iguais. Se a posição do objeto não mudar, a posição da
imagem também permanecerá a mesma. Enxergar ou não o relógio dependerá da posição do observador.
Note que se você estiver olhando a sua própria imagem,
você será o objeto e o observador ao mesmo tempo, mas na maioria das vezes o objeto e o observador são personagens distintos.
Para saber se o observador enxergará a imagem, traçamos uma
reta unindo seus olhos à imagem. Se esta reta passar pelo espelho,
ele enxergará o relógio. Na figura ao lado,
somente o adulto enxergará a imagem do
relógio, porque a reta
que une os olhos da
criança com a imagem, não passa pelo
espelho.
Óptica Geométrica

Refração da luz: a luz sendo desviada
Quando a luz passa de um meio para outro — como do ar
para o vidro ou plástico —, sua direção muda. Este desvio é chamado de refração, e por causa dele enxergamos uma colherzinha,
dentro de um copo com água, como se estivesse “quebrada”. Esta
mudança de direção é devido ao fato de que a luz tem velocidades
diferentes no ar e no vidro ou no plástico. De fato, a velocidade da
luz em cada meio é constante, mas ao passar de um meio para o
outro seu valor se modifica. No vácuo ou no ar, a velocidade da
luz é de aproximadamente 300.000 km/s, e em outros meio é sempre menor.
Para sabermos o quanto a luz se desvia em um determinado
meio, precisamos conhecer o índice de refração do meio. O índice
de refração (símbolo n) é obtido dividindo-se a velocidade da luz
no vácuo (símbolo c) pela velocidade da luz no meio (símbolo v):
Note que o número que representa o índice de refração não tem
unidades, porque é o quociente entre duas velocidades, e seu valor
é sempre maior do que 1, porque a velocidade da luz no vácuo é
maior do que em qualquer outro meio.
Verifica-se que o índice de refração do vidro, ou de qualquer outro meio transparente, como água, plásticos, etc., é ligeiramente diferente para cada cor, aumentando do vermelho para o
violeta. Por isso, a luz branca ao incidir sobre a superfície de um
prisma de vidro, se “decompõe”, produzindo um feixe colorido.
Cada cor simples (chamada luz monocromática) sofre um desvio
diferente, aumentando do vermelho (menor desvio) até o violeta
(maior desvio).
Por outro lado, como já mencionamos anteriormente, a luz
se propaga no espaço na forma de ondas eletromagnéticas. Assim
como o som é uma vibração mecânica do ar, e sua frequência de
vibração distingue sons graves e agudos, a luz é uma forma de
vibração eletromagnética, e sua frequência distingue uma cor da
outra, aumentando do vermelho (menor frequência) para o violeta
(maior frequência).
O que distingue duas cores, como a luz vermelha e a luz verde,
é uma característica ondulatória chamada frequência da luz.
Cada cor simples (luz monocromática) possui uma frequência
Como o índice de refração é inversamente proporcional ao
valor da velocidade no meio (veja fórmula acima), conclui-se que
a velocidade de propagação da luz no vidro (e nos outros meios
transparentes) diminui do vermelho para o violeta, ou seja, em
meios transparentes como o vidro, a luz vermelha propaga-se mais
rapidamente do que a luz violeta.

A lei da refração
No fenômeno da refração, será que existe uma relação direta
entre as características do meio e o desvio sofrido pela luz? A primeira
tentativa de relacionar deformação da imagem dos objetos inseridos na
água com a mudança da trajetória da luz é atribuída a Ptolomeu, no
século II d.C. No entanto, ele não obteve sucesso, porque tentou estabelecer uma relação de proporcionalidade direta entre os ângulos de incidência e refração.
Foram necessários mais 1600 anos até que o físico holandês
Willebrord Snell obtivesse dados experimentais mais apurados, que
possibilitaram uma análise mais precisa do fenômeno. Snell e Renê
Descartes, físico e matemático francês, perceberam de maneira independente, que por meio da função trigonométrica seno, era possível obter
uma relação proporcional entre os ângulos de incidência e refração, cuja
constante de proporcionalidade estava relacionada com os índices de
refração dos meios por onde a luz atravessa. Esta relação ficou conhecida como lei de Snell-Descartes, e pode ser expressa da seguinte forma:
LEGENDA :
^i : ângulo de incidência
r^ : ângulode refração
n 1, n2 : índices de refração
*
Reflexão total
Em geral, quando discutimos o fenômeno da refração, tratamos
o caso em que o a luz se propaga de um meio menos denso (menor índice de refração, como o ar) para um meio mais denso (maior índice de
refração, como o vidro). Nesse caso, o raio de luz sofre um desvio, no
sentido de se aproximar da reta normal em relação à superfície de separação dos dois meios.
Mas o que ocorre com a luz, quando a trajetória é no sentido
contrário, isto é, passa de um meio mais denso para um meio menos
denso (como do vidro para o ar)? Nesse caso, o raio de luz é desviado
no sentido de se afastar da reta normal. Observando a figura, vemos
que para um determinado ângulo de incidência, denominado
ângulo limite, o raio refratado
emerge tangenciando a superfície de separação dos dois meios. Qualquer raio que incide
com um ângulo maior do que o
ângulo limite, volta sobre o meio mais denso (o vidro), ou seja, nenhuma luz passa para o meio menos denso (ar), e por isso dizemos que o
raio é totalmente refletido na superfície de separação dos dois meios.
O fenômeno da reflexão total é responsável pela formação das
miragens. Nos desertos e no asfalto de uma rodovia em dias quentes,
são comuns as miragens, nas quais um observador tem a impressão de o
solo estar molhado. Quando a luz do Sol atinge o solo, faz com que se
aqueça; assim, em dias quentes e secos, o ar em contato com o solo fica
mais quente (e menos denso) que o ar um pouco acima. Assim, o raios
de luz que se aproximam do solo vindo de cima, passam de camadas
mais densas (maior índice de refração) para camadas menos densas
(menor índice de refração). Como resultado, eles tendem a se desviar
gradativamente em relação à normal ao solo, até sofrer reflexão total.
Quando isso ocorre, o solo se comporta como se fosse um espelho,
dando a impressão de estar molhado.
* Fibra óptica: “entubando” a luz
Uma aplicação do fenômeno da reflexão total é a tecnologia de
fibra óptica. A fibra óptica é constituída de um fio de quartzo muito
fino, totalmente transparente à luz. Um raio luminoso que penetra em
uma das extremidades da fibra, sofre várias reflexões totais em sua
parede interna, emergindo praticamente sem nenhuma perda na outra
extremidade. Com esse processo, a luz (e também sinais eletromagnéticos usados nas telecomunicações) pode ser transportada ao longo de
qualquer trajetória (mesmo que seja uma curva).
Óptica Geométrica

Reflexão nos espelhos esféricos
Você já reparou como fica a sua imagem refletida numa
colher? Usando as costas da colher como um espelho, você verá a
sua imagem um pouco distorcida e bem menor. Se agora você virar
a colher, e olhar as sua imagem pelo lado interno da colher, verá
que a sua imagem fica “de cabeça para
baixo”. E mais, se você aproximar
bastante a colher do seu olho, verá que
a imagem volta a ficar “de pé”. Essas
observações resultam das propriedades
ópticas das superfícies refletoras curvas, genericamente chamadas de espelhos esféricos.
Um espelho esférico é basicamente uma calota esférica, com pelo
menos uma das faces polidas. Quando
a superfície espelhada é a parte interna
da calota, o espelho é denominado
côncavo; quando a superfície espelhada é a parte externa da calota, o espelho é denominado convexo. Uma
colher metálica possui ambas as faces
polidas; embora não seja rigorosamente esférica, pode ser usada como espelho côncavo (face interna) ou como
espelho convexo (face externa).

Elementos de um espelho esférico
Vamos analisar uma calota esférica espelhada, e definir os principais
elementos geométricos:
C: centro de curvatura é o centro da
esfera que deu origem à calota.
R: raio de curvatura é o raio da esfera.
V: vértice do espelho é o pólo (centro)
da calota esférica.
Eixo principal é a reta que passa por C
e por V.
: ângulo de abertura do espelho

Foco principal de um espelho esférico
Se um feixe de raios
de luz paralelo ao eixo principal incide sobre um espelho côncavo, todos os raios
refletidos convergem para
um único ponto situado no
eixo principal, denominado
foco principal.
Se o espelho for
convexo, os raios do feixe
paralelo refletem-se no espelho e divergem, mas seus prolongamentos coincidem em um ponto
situado sobre o eixo principal, mas situado atrás do espelho, e por
isso, classificado como foco virtual.

Condições de nitidez de Gauss
Para que os espelhos esféricos sejam capazes de fornecer
uma imagem nítida de cada ponto do objeto é necessário que, na
prática, sejam satisfeitas certas condições, hoje conhecidas como
condições de nitidez de Gauss:
 o espelho deve ter pequeno ângulo de abertura (α <= 10°).
 os raios de luz incidentes devem ser próximos e pouco inclinados em relação ao eixo principal.
* Construção geométrica das imagens
A natureza (real ou virtual) , tamanho (maior, igual ou menor) e
orientação (direita ou invertida) das imagens formadas pelos espelhos
esféricos também podem ser determinados geometricamente (como nos
espelhos planos) pelo comportamento dos raios de luz que partem do
objeto e são refletidos após incidirem sobre o espelho.
Embora sejam muitos os raios de luz que contribuem para a
formação das imagens, podemos selecionar três tipos de raios especiais,
denominados raios notáveis:
1. Os raios que incidem no espelho, passando
pelo seu centro de curvatura (C); esses
raios refletem-se sobre si mesmos, pois
possuem incidência perpendicular à superfície do espelho.
2. Os raios que incidem no vértice (V) do
espelho; esses raios são refletidos simetricamente em relação ao eixo principal do
espelho.
3. Os raios que incidem paralelamente e próximos ao eixo principal do espelho; esses
raios são refletidos passando pelo foco (F)
do espelho.
Para a construção geométrica da imagem de um objeto extenso em um espelho
esférico, basta utilizar dois dos raios notáveis
apresentados acima: em geral, tomamos um
raio paralelo ao eixo principal do espelho, e
um outro raio que incide no
vértice do espelho. O tamanho (maior, igual ou menor)
e orientação (direita ou invertida) da imagem, em relação
ao objeto, são determinados
pelo ponto de intersecção
desses raios (ou seus prolongamentos), após refletirem no
espelho (figura ao lado); a
natureza é real se a imagem
se forma “na frente” do espelho, ou virtual se a imagem se forma “atrás” (dentro) do espelho.
Nos espelhos côncavos, as características da imagem projetada
dependem da posição do objeto em relação ao espelho, conforme mostrado na tabela abaixo:
Posição
Tamanho
Orientação
Natureza
entre o foco (F) e o
vértice (V) do espelho
maior
direita
virtual
entre o foco (F) e o
centro de curvatura (C)
maior
invertida
real
além do centro de
curvatura (C)
menor
invertida
real
No caso dos espelhos convexos, a posição e o tamanho das
imagens ficam determinados pelo cruzamento dos prolongamentos dos
raios refletidos no espelho,
já que esses raios não se
cruzam efetivamente.
As características das imagens obtidas nesse tipo de
espelho são semelhantes:
as imagens são sempre
virtuais, direitas e menores
em relação ao objeto, independentemente da posição
do objeto.
Óptica Geométrica

Lentes esféricas e a refração da luz
As lentes são dispositivos empregados em um grande
número de instrumentos muito conhecidos, como óculos, máquinas fotográficas, microscópios, lunetas, telescópios, etc.
Uma lente é constituída por um meio transparente, que pode
ser um vidro ou plástico, limitado por faces curvas, que normalmente são esféricas. As lentes esféricas possuem faces
côncavas ou convexas, podendo uma delas ser plana. Os tipos
mais comuns são lentes com duas faces convexas (lentes biconvexas) ou duas faces côncavas (lentes bicôncavas).
Quando um raio
luminoso incide numa lente
biconvexa, paralelamente
ao eixo da lente (figura ao
lado) este se refrata aproximando-se da normal à face
frontal da lente. Ao emergir
do outro lado, o raio se
refrata novamente, agora
afastando-se da normal à
segunda face (face oposta) da lente. Desta maneira, todos os
raios de luz que incidiram paralelamente ao eixo da lente convergem para um ponto de seu eixo, chamado foco (símbolo F).
Por isso, essas lentes são denominadas lentes convergentes.
Por outro lado, nas lentes bicôncavas (figura ao lado)
os raios de luz que incidem paralelamente ao eixo também se
aproximam de normal à
face frontal da lente, e ao
emergirem do outro lado
afastam-se da normal à
face oposta. Porém, devido à geometria da lente,
esses raios não convergem
para um dado ponto sobre
o eixo da lente; ao invés
disso divergem (se afastam do eixo da lente), e
por isso, são denominadas lentes divergentes.
Equações das lentes: Dado um objeto, podemos determinar
a posição e o tamanho da imagem, fornecida por uma lente (ou
um espelho esférico) através de uma fórmula conhecida como
equação de Gauss:
1 1 1
= +
f p p'
Na fórmula acima, a letra p representa a posição (distância) do
objeto em relação ao centro óptico (C) da lente, enquanto p’
indica a posição da imagem, e f representa a distância focal
(distância do foco (F) até o centro óptico da lente). Esta equação pode ser aplicada para qualquer tipo de lente (ou espelho
esférico), desde que a seguinte convenção seja adotada:
A) A distância p (ou p’) será positiva se o objeto (ou a imagem) for real, e negativa se for virtual.
B) A distância focal f será positiva quando a lente for convergente (ou o espelho for côncavo), e negativa se a lente for
divergente (ou o espelho for convexo).
Além disso, a relação entre o tamanho da imagem e do
objeto, chamada aumento linear transversal (símbolo A) é
dada por:
i
p'
A= =−
o
p
OBS: Numa lente divergente (assim como nos espelhos convexos)
a distância focal é negativa porque o foco é virtual, ou seja, é determinado pelo ponto de convergência dos prolongamentos dos raios
refratados (nas lentes) ou refletidos (nos espelhos).
*
Construção das imagens nas lentes
Para construção geométrica das imagens produzidas pelas
lentes, antes vamos apresentar o comportamento de dois raios
particulares que atravessam a lente:
 Todo raio de luz que incide paralelamente ao eixo da lente,
convergem na direção do foco da lente; inversamente, se o
raio incidente passa pelo foco da lente, o raio refratado
(emergente) saem paralelos ao eixo da lente.
 Todo raio de luz que incide sobre o centro óptico da lente,
atravessa a lente sem sofrer nenhum desvio.
Com base no comportamento desses raios notáveis, podemos
construir geometricamente as imagens produzidas pelas lentes, de
modo semelhante ao que foi feito com os espelhos esféricos.
No caso das lentes convergentes, as características da imagem dependem da posição do objeto, conforme a tabela:
Posição
Tamanho
Orientação
Natureza
entre o foco (F) e o
centro óptico (C)
maior
direita
virtual
além do foco (F)
(com p < 2f)
maior
invertida
real
além do foco (F)
(com p > 2f)
menor
invertida
real
Nos casos das lentes divergentes, as imagens são independentes da posição do objeto: são sempre virtuais, direitas e menores do que o objeto, e situadas entre o foco e o centro óptico.
Exemplo: Um objeto real está a 45 cm de uma lente convergente, cuja distância focal é 30 cm.
A) Com base na tabela acima, determine as características da
imagem produzida pela lente.
B) Usando as equações das lentes, calcule a posição e o fator de
ampliação (aumento linear) da imagem.
Resolução:
A) Pelos dados do problema (p=45cm, f=30cm), vemos que o
objeto está localizado além do foco da lente, com p < 2f. Nesse caso, de acordo com a tabela acima, a imagem deve ser
real, maior e invertida em relação ao objeto.
B) Usando os dados acima e as equações das lentes temos:
p=45 cm
f=30 cm
p’=x
1 1 1
= +
f p p'
1
1 1
= +
30 45 x
x=90 cm
A=−
A=
p'
p
90
=2
45
Portanto, a imagem se localiza a 90 cm à frente da
lente, e sofre uma ampliação por uma fator 2 (dobra
de tamanho).
Óptica Geométrica

Exercícios
1. Com base na texto “Construção geométrica das imagens” para espelhos côncavos, esboce um desenho para cada posição do objeto
indicada na tabela.
DICA: Lembre-se que bastam apenas dois raios notáveis: um que
parte do “topo” (ponto mais alto) do objeto, e segue paralelamente
ao eixo principal do espelho; e outro que, partindo do topo do
objeto, incide sobre o vértice no espelho. Desenhe os raios refletidos correspondentes, e identifique o ponto onde eles se interceptam.
2. Um tubo de cola branca, de 60 cm de altura, é colocado de pé sobre
o eixo principal de um espelho côncavo, a 25 cm de seu vértice.
Sabendo que o espelho tem distância focal de 20 cm, determine as
características da imagem do tubo formada no espelho.
3. Quais são as condições necessárias para que as imagens obtidas
por espelhos esféricos sejam nítidas?
4. Coloca-se um espelho côncavo voltado para uma estrela. Em que
ponto do eixo principal do espelho será formada a imagem da estrela?
DICA: Como a estrela está muito longe, seus raios de luz incidem paralelamente ao eixo principal do espelho.
5. Um objeto real é colocado sobre o eixo principal de um espelho
esférico (de raio igual a 20 cm), e tem sua imagem projetada numa
tela, e ampliada quatro vezes. Determine:
A) o tipo de espelho usado e a orientação da imagem
B) a distância da tela ao vértice do espelho.
6. (UESPI-SP) Um lápis de altura 16 cm encontra-se diante de um
espelho esférico convexo, com distância focal de valor absoluto 40
cm. A imagem do lápis tem a mesma orientação deste, e altura igual
a 3,2 cm. A que distância do espelho encontra-se o lápis?
A) 10 cm
B) 20 cm
C) 40 cm
D) 140 cm
E) 160 cm
7. O quadro a seguir fornece o índice de refração absoluto de alguns
materiais para certa luz monocromática:
9. Um raio de luz incide sobre uma
interface ar-vidro, formando um ângulo
de 60°, e sendo refratado segundo um
ângulo de 30º (figura ao lado). Se a
velocidade da luz no ar mede 300 mil
quilômetros por segundo, sua velocidade no vidro (em km/s) deve ser:
A) 300 mil B) 150 mil C) 173 mil
D) 519 mil
E) 600 mil
10. Um raio luminoso ao passar de um
certo meio para o ar, sofre refração
como mostrado na figura ao lado.
A) Qual é o valor do índice de refração
do meio?
B) Qual é a velocidade de propagação da
luz nesse meio?
DADOS: sen(30°)=0,5
sen(60°)=0,87
11. Um raio de luz incide sobre a superfície de um bloco de material transparente, formando um ângulo de 60°. Sabendo que o índice de refração do
material é √3, o ângulo entre o raio refletido e o raio refratado é:
A) 120º
B) 45°
C) 75°
D) 60° E) 90°
12. Um objeto real de 30 cm de altura está colocado a 24 cm de uma lente
convergente de distância focal f=6 cm.
A) Utilize papel quadriculado para determinar geometricamente a posição e a
altura da imagem.
B) Calcule a posição e a altura da imagem suando as equações das lentes,
apresentadas na página anterior.
13. (FGV) Uma estudante usou uma lupa para pesquisar a formação de imagens de objetos reais. Num instante de Sol a pino, ela conseguiu obter um
ponto luminoso no chão, posicionando horizontalmente a lupa a 20 cm
acima do solo. A seguir, aproximando a lupa a 15 cm de seu celular,
obteve uma imagem do celular:
A) real, invertida e maior
B) real, invertida e menor
C) virtual, direita e maior
D) virtual, direita e menor
E) virtual, invertida e maior
Material
Índice de refração
ar
1,00
água
1,33
álcool
1,36
benzeno
1,50
Espelhos parabólicos
diamante
2,42
glicerina
1,47
quartzo
1,54
safira
1,77
vidro
1,52
Os raios de luz que incidem paralelamente em um espelho
esférico côncavo convergem para o seu foco, desde que sejam satisfeitas as condições de nitidez de Gauss. Para espelhos de grande abertura, essas condições não são satisfeitas, e por isso, ao invés de espelhos esféricos utiliza-se espelhos parabólicos. Os espelhos parabólicos são comuns em nosso cotidiano, sendo encontrados em holofotes,
faróis e antenas de recepção de sinais (antenas “parabólicas). Nos dois
primeiros casos, uma pequena lâmpada é colocada no foco do espelho,
de modo que, quando ligada, seus raios de luz incidem no espelho e
refletem paralelamente ao eixo principal produzido uma iluminação
intensa e direta (“facho” de luz).
No caso dos faróis de automóveis, têm-se uma lâmpada com dois
filamentos: um deles é colocado no foco do espelho, a fim de que a luz
produzida seja refletida paralelamente ao eixo do espelho (luz baixa); e
o outro é localizado entre o foco e o vértice do espelho, de modo que o
feixe de luz refletido seja levemente divergente (luz alta).
A) Em qual dos meios a luz se propaga com maior velocidade?
B) Em qual dos meios a luz se propaga com menor velocidade?
C) Em qual dos meios a luz proveniente do vácuo apresenta o maior
desvio?
8. Quando a luz passa para um meio mais refringente (maior índice
de refração) que aquele em que estava, o que acontece com a sua
velocidade: aumenta, diminui ou permanece inalterada?
14. Indique o que deve acontecer com o tamanho e a orientação das imagens
obtidas pela lente, para que se tenha:
A) um aumento linear transversal de ½
B) um aumento linear transversal de –3
C) um aumento linear transversal de 25%