questão 16 resolução

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PARA QUEM CURSARÁ A 1.a SÉRIE DO ENSINO MÉDIO EM 2015
Colégio
Disciplina:
Prova:
MaTeMÁTiCa
desafio
nota:
QUESTÃO 16
Um carro 0 km vale hoje R$ 40 000,00 e seu valor decresce exponencialmente de modo que,
daqui a t anos, seu valor será V = a.bt, onde a e b são constantes.
Se o valor do carro daqui a 5 anos for R$ 20 000,00, seu valor daqui a 12 anos será, aproximadamente:
a) R$ 19 200,00
d) R$ 5 200,00
b) R$ 17 600,00
e) R$ 4 820,00
c) R$ 7 600,00
Use a tabela abaixo:
x
2– x
0
1
0,6
0,66
1,2
0,44
1,8
0,29
2,4
0,19
3
0,13
RESOLUÇÃO
Com os valores em reais, temos:
1) No instante t = 0, o valor do carro é:
V(0) = a . b0 = a = 40 000
2) A função que fornece o valor do carro é, portanto:
V(t) = 40 000 . bt
Daqui a 5 anos, o valor do carro será:
1
V(5) = 40 000 . b5 = 20 000 fi b5 = ––– ⇔ b =
2
5
1
– ––
1
–– = 2 5
2
3) O valor do carro daqui a 12 anos será:
V(12) = 40 000 . b12 = 40 000 . 2
1 12
– ––
5
= 40 000 . 2–2,4 = 40 000 . 0,19 = 7 600
Resposta: C
OBJETIVO
1
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
QUESTÃO 17
Um agricultor dispõe de certa quantidade de mudas de laranjeiras e pretende plantá-las
igualmente espaçadas em fileiras com a mesma quantidade de pés, de modo que a plantação
forme um quadrado com todos os espaços ocupados, conforme o esquema abaixo.
Para determinar quantos pés deverá ter cada fileira, fez duas tentativas: na primeira verificou
que sobrariam 326 mudas e na segunda, imaginando 3 mudas a mais por fileira, faltariam 253
mudas. O número de mudas que o fazendeiro dispõe para plantar é:
a) 9 025
b) 9 098
c) 9 278
d) 9 351
e) 9 604
RESOLUÇÃO
Se n for o número de mudas de laranjeiras que ele plantou na primeira tentativa, então:
n2 + 326 = (n + 3)2 – 253 € n2 + 326 = n2 + 6n + 9 – 253 € 6n = 570 € n = 95
Desse modo, o número de mudas que o fazendeiro dispõe para plantar é:
952 + 326 = 982 – 253 = 9 351
Resposta: D
QUESTÃO 18
Para estimar a distância entre os pontos P1 e P2, um engenheiro caminhou, sempre em linha
reta, de P1 até A, de A até B e de B até P2, medindo adequadamente essas distâncias. Os
valores medidos estão indicados na figura:
Após efetuar os cálculos necessários a partir das distâncias medidas, o engenheiro estimou
que a distância entre P1 e P2 é de, aproximadamente:
a) 650 m
OBJETIVO
b) 750 m
c) 850 m
d) 950 m
2
e) 1050 m
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
RESOLUÇÃO
(P1P2)2 = 5002 + 7002 = 250 000 + 490 000 = 740 000
P1P2 = 740
000 = 74 . 10 000 = 8,6 . 100 = 860
Resposta: C
QUESTÃO 19
Nas transmissões de futebol pela televisão, é comum que seja informada a distância entre a
bola e o centro do gol nas cobranças de falta. Isso é possível porque os dispositivos de
computação gráfica da televisão associam cada ponto do campo a um sistema de coordenadas
cartesianas, o que permite processar os dados e efetuar os cálculos.
Para uma falta a ser batida do ponto F, a medida da seta, que corresponde à distância medida
no gramado entre o ponto F e o centro do gol, é:
a) 24 m
b) 26 m
c) 46 m
d) 48 m
e) 56 m
RESOLUÇÃO
(FC)2 = (PF)2 + (PC)2 € (FC)2 = (40 – 30)2 + (100 – 76)2 € (FC)2 = 102 + 242 €
€ (FC)2 = 100 + 576 € (FC)2 = 676 € FC = 26
Resposta: B
OBJETIVO
3
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
QUESTÃO 20
¨Æ
No hexágono regular ABCDEF, a distância entre dois lados paralelos é 12 cm. As retas AB e
¨Æ
¨Æ
¨Æ
CE interceptam-se no ponto P e as retas AD e CE interceptam-se no ponto Q.
A altura do triângulo APQ, relativa ao vértice Q, mede, em centímetros:
a) 8
2
b) 6 c) 6 3
d) 9
27 3
e) –––––––
4
RESOLUÇÃO
1) O é o centro do hexágono e, portanto, OQ = OR = RA = a.
2) ON = 6 cm, pois é a metade da distância entre dois lados paralelos do hexágono
regular.
3) Se h for a altura do triângulo APQ, relativa ao vértice Q, por semelhança, temos:
MQ
AQ
h
3a
3
–––– = –––– fi –––––– = –––– fi h = ––– . 6 cm = 9 cm
NO
AO
6 cm
2a
2
Resposta: D
OBJETIVO
4
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
QUESTÃO 21
Juliana cortou uma tira de papel de 4 cm por 12 cm e a dobrou do modo indicado na figura,
obtendo assim um quadrado. Em seguida, ela cortou o quadrado diagonalmente, como
mostra a figura.
Com os pedaços obtidos, ela montou dois novos quadrados. Qual é a diferença entre as áreas
desses quadrados?
a) 9 cm2
b) 12 cm2
c) 16 cm2
d) 18 cm2
e) 32 cm2
RESOLUÇÃO
A linha pontilhada representa o corte, resultando, pois, 4 triângulos: ABH, HBF, BFD
e FDE.
1) A linha pontilhada nos mostra que os triângulos retângulos HBF e BFD têm catetos
iguais a 4 2 cm. Juntando os dois, obtém-se um quadrado de lado 4 2 cm cuja
2
área vale 32 cm .
2) Os triângulos retângulos ABH e FED têm catetos iguais a 4 cm. Juntando os dois,
obtém-se um quadrado de lado 4 cm cuja área é 16 cm2.
3) A diferença entre as áreas dos dois quadrados, em cm2, é 32 – 16 = 16.
Resposta: C
OBJETIVO
5
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
QUESTÃO 22
De quantas maneiras é possível colorir cada um dos círculos da figura com uma das cores
amarelo, azul e vermelho, de modo que dois círculos ligados por um segmento tenham
sempre cores diferentes?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 6
e) 9
RESOLUÇÃO
1) Iniciando pelo círculo A, podemos colorir de 3 maneiras diferentes (amarelo, azul ou
vermelho).
2) O círculo B pode ser colorido de 2 maneiras (qualquer uma das duas cores não
utilizadas em A).
3) O círculo C só pode ser colorido com a única cor que ainda não foi usada.
4) Existem, portanto, 3 . 2 . 1 = 6 maneiras de colorir os 3 círculos iniciais.
5) A partir desses três círculos já coloridos, sempre haverá uma única maneira de
colorir todos os outros.
Resposta: D
QUESTÃO 23
Três alunos receberam uma herança: Marta de 6 anos, Paula de 10 anos e Matheus de
14 anos. O valor de R$ 480 000,00 foi dividido em partes diretamente proporcionais a suas
idades. Sobre esse valor será feito um desconto de 25% para o imposto de renda. O valor
final recebido por Marta foi:
a) R$ 36 000,00
d) R$ 96 000,00
OBJETIVO
b) R$ 72 000,00
e) R$ 100 000,00
6
c) R$ 84 000,00
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
RESOLUÇÃO
1) Se m, p e t forem as quantias, em reais, que cada um deve receber antes de descontarem o imposto, então:
m
p
t
m+p+t
480 000
––– = ––– = ––– = –––––––––––– = ––––––––– = 16 000
6
10
14
6 +10 + 14
30
m
2) ––– = 16 000 € m = 96 000
6
3) O valor final, descontando o imposto, é:
3
––– . 96 000= 72 000
4
Resposta: B
QUESTÃO 24
Em cada um dos pontos da figura pretendemos escrever um número de tal modo que a soma
dos dois números colocados nas extremidades de cada um dos segmentos marcados seja
igual para todos os segmentos.
Dois dos números já se encontram escritos. Qual é o valor de x?
a) 1
b) 3
c) 4
d) 5
e) É necessário mais informação.
RESOLUÇÃO
Se a for a soma dos dois números colocados nas extremidades de cada um dos segmentos marcados, então:
Assim sendo:
a–4=x
a–4=1
fix=1
Resposta: A
OBJETIVO
7
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
QUESTÃO 25
No plano xOy, com os eixos posicionados do modo usual, o ponto de coordenadas (1; – 10) foi
marcado sobre a parábola de equação y = ax2 + bx + c, após o que os eixos e quase toda a
parábola foram apagados, ficando a figura seguinte.
Qual das afirmações seguintes pode ser falsa?
a) a 0
b) b 0
c) a + b + c 0
d) b2 4ac
e) c 0
RESOLUÇÃO
A parábola é do tipo:
1) a 0, pois é de “boca para cima”.
b
2) a abscissa do vértice é xv = – ––– 0 e a 0 fi b 0
2a
3) x = 1 fi y = a + b + c = – 10 fi a + b + c 0
4) b2 – 4ac 0 € b2 > 4ac, pois existem duas raízes reais distintas.
5) c 0 pode ser falsa, pois é possível ter c = 0 ou c 0.
Resposta: E
OBJETIVO
8
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
QUESTÃO 26
Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais
compostos de quadrados de lado medindo 1 m, conforme a figura a seguir.
Nessa figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os
segmentos AP e QC medem 1/4 da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral,
são usados dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da figura, que custa R$ 30,00
o m2, e outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00 o m2.
De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral?
a) R$ 22,50
b) R$ 35,00
c) R$ 40,00
d) R$ 42,50
e) R$ 45,00
RESOLUÇÃO
Sendo M o centro do quadrado de lado 1 m, temos:
I) A área da região mais clara SC, em m2, é igual a quatro vezes a área do triângulo APB.
1 1
–– . ––
1
4 2
AP . MB
SC = 4 . ––––––––– = 4 . –––––––– = –– m2
4
2
2
II) A área da região sombreada SS, em m2, é igual à área do quadrado menos SC.
3
1
SS = 12 – ––– = ––– m2
4
4
3
1
Logo, o custo C na fabricação desse vitral será: C = ––– . R$ 30,00 + ––– . R$ 50,00
4
4
C = R$ 35,00
Resposta: B
OBJETIVO
9
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
QUESTÃO 27
Na figura a seguir, os lados do quadrilátero são tangentes ao círculo e a medida do perímetro
5
do quadrilátero é ––– vezes a medida do perímetro do círculo.
π
Por que valor deve ser multiplicada a medida da área do círculo para se obter a medida da
área do quadrilátero?
a) 2π
b) 4π2
5
d) –––
π
c) 5π
25
e) ––––
π2
RESOLUÇÃO
I. Se PQ e PC forem os perímetros do quadrilátero e do círculo de raio R, respectivamente, então:
PQ
5
5
PQ = ––– . PC € –––– = –––
PC
π
π
II. A área SQ do quadrilátero é:
PQ . R
SQ = –––––––
2
III. A área SC do círculo de raio R é:
2 . π. R. R
PC . R
SC = πR2 = –––––––––––– = –––––––
2
2
PQ
SQ
5
5
III) ––––– = ––––– = ––– € SQ = ––– . SC
SC
PC
π
π
Resposta: D
OBJETIVO
10
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
QUESTÃO 28
O quadrilátero BCDE da figura representa uma praça. A região sombreada é um jardim com
grama e flores. A região quadrada ABCD, de lado (3
2 ) m, é reservada ao lazer. Sabendo-se
que o triângulo BDE é equilátero, conclui-se que a área do jardim, em metros quadrados, é:
a) 18
3 – 2
b) 12
3–1
3 – 1)
d) 9(
e) 6
2
c) 9
3
RESOLUÇÃO
I. BC = 3
2 fi BD = (3
2 ) . 2= 6
II. A área do triângulo equilátero de lado 6 m é:
62 . 3
3 m2
–––––––– m2 = 9
4
III. A área do triângulo retângulo ABD é:
(3
2 )2
–––––––– m2 = 9 m2
2
IV. A área do jardim é:
3 – 9) m2 = 9(
3 – 1) m2
(9
Resposta: D
OBJETIVO
11
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
QUESTÃO 29
Gonçalo preencheu as casas de uma grelha de dimensões 3 x 3 com número naturais, de tal
modo que a soma dos números em cada quadrado de dimensões 2 x 2 é 10. Ana apagou
cinco dos números escritos por Gonçalo, ficando a grelha como se mostra na figura a seguir.
2
1
3
4
Qual dos valores seguintes pode ser igual à soma dos cinco números apagados por Ana?
a) 9
b)10
c)12
d) 13
e) 14
RESOLUÇÃO
Observando o quadrado formado pelas duas últimas linhas e pelas duas últimas colunas, temos as seguintes possibilidades:
2
1
2
3
3
4
0
ou
1
2
0
3
4
3
ou
1
2
1
3
4
2
6
2
4
1
1
3
4
4
2
ou
1
2
3
4
1
5
2
3
1
2
3
3
4
1
Completando os demais temos:
4
2
2
1
3
3
2
4
0
ou
7
2
5
1
0
3
5
4
3
ou
ou
A soma dos 5 números apagados é 11 ou 20 ou 17 ou 14
Resposta: E
OBJETIVO
12
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
QUESTÃO 30
Observe a figura a seguir.
Que número deve substituir x se o diagrama for preenchido com números naturais de acordo
com a regra fixada?
a) 32
b) 50
c) 55
d) 82
e) 100
RESOLUÇÃO
I. A regra fixada é: cada número é a soma dos dois números vizinhos da linha de
baixo.
햸
햳햶
II. O quarto número da quinta linha é 9, pois 9 + 6 = 15
III. O terceiro número da quarta linha é 12, pois 12 + 15 = 27
IV. O terceiro número da quinta linha é 3, pois 3 + 9 = 12
V. Os demais números são obtidos de modo análogo, de baixo para cima.
Resposta: D
OBJETIVO
13
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE