RESOLUÇÃO DA AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA – 3o ANO DO

RESOLUÇÃO DA AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA
– 3o ANO DO ENSINO MÉDIO –
DATA: 22/05/10
PROFESSORES: CARIBÉ E ROBERTO CIDREIRA
Dado um pentágono regular ABCDE, constrói-se uma circunferência pelos vértices B e E de tal forma
que BC e ED sejam tangentes a essa circunferência, em B e E, respectivamente.
A medida do menor arco BE na circunferência construída é:
.
O
108º
x
108º
.
No pentágono regular ABCDE, cada ângulo interno mede 108º.
ai =
(n − 2) . 180º
n
=
3 . 180 º
= 108 º.
5
No pentágono OBCDE, onde O é o centro da circunferência, temos que:
Soma dos ângulos internos: Si = (n – 2) . 180º = (5 – 2) . 180º = 540º.
108º + 108º + 90º + 90º + x = 540º ∴ x = 144º.
Resposta: 144º.
Considere um hexágono equiângulo (ângulos internos iguais) no qual quatro lados consecutivos
medem 20 cm, 13 cm, 15 cm e 23 cm, conforme figura abaixo.
Calcule a diferença entre as medidas dos segmentos EF e FA.
Soma dos ângulos internos do hexágono:
Si = (6 – 2) . 180º = 720º
Como o hexágono é equiângulo, então cada ângulo interno mede 720º : 6 = 120º.
Prolongando os lados AB, CD e EF , formamos o triângulo equilátero MNP.
Neste triângulo temos:
PN = MN = MP
20 + 13 + 15 = Y + 23 + 15 = Y + X + 20
Logo, Y = 10 e X = 18.
Portanto, X – Y = 8.
Resposta: 8
No Japão, numerosos lugares de peregrinação xintoístas e budistas abrigam tabuletas matemáticas
chamadas de Sangaku, onde estão registrados belos problemas, quase sempre geométricos, que eram
oferecidos aos Deuses. A figura a seguir, que é uma variante de um exemplar de Sangaku, é composta
por cinco círculos que se tangenciam.
Sabendo que seus diâmetros satisfazem as relações AO = OB = 12 e DF = EC, pode-se concluir que
DF é igual a:
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo em destaque, temos:
2
2
(x + 6) = (12 – x) + 6
2
2
x
2
x + 12x + 36 = 144 – 24x + x + 36
36x = 144
12 – x
x=4
x
F
.
6
6
Logo, DF = 8
Resposta: 8
Um jogo é formado por 52 fichas, divididas em quatro grupos de cores distintas – vermelha, azul, verde
e amarela – e, em cada grupo, as fichas numeradas de 1 a 13.
De quantos modos pode-se distribuir, aleatoriamente, um grupo de 5 fichas a um jogador, sendo que
três delas estejam marcadas com o número 8 e as demais com números iguais?
Primeiro vamos calcular quantos grupos podemos formar com três
fichas 8 e duas fichas 1:
C4;3 . C4;2 = 4 . 6 = 24
Como as duas fichas com números iguais podem ser iguais a:
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 9; 10; 11; 12; 13 (todos os números, menos o oito),
então podemos multiplicar o resultado obtido acima por 12.
Portanto, temos 24 x 12 = 288 possibilidades.
Resposta: 288.
Uma partida de futebol entre as equipes A e B terminou com um placar de 3 a 2 para A.
Não conhecendo a ordem em que os gols foram feitos, pode-se afirmar que a probabilidade de que
tenha sido ABABA é igual a:
Casos possíveis: P 35;2 =
5!
= 10
3! 2!
Casos favoráveis: ABABA = 1
Probabilidade =
Resposta:
1
.
10
1
.
10
Uma caixa tem 4 bolas brancas e 5 bolas pretas.
Qual a probabilidade de, sorteando-se 3 bolas desta caixa, encontrarmos 2 bolas brancas e 1 bola
preta?
Probabilidade =
Resposta:
5
.
14
B
4
.
9
B
3
.
8
P
5
5
. P32 =
7
14
Moedas idênticas de 10 centavos de real foram arrumadas sobre uma mesa, obedecendo à disposição
apresentada no desenho: uma moeda no centro e as demais formando camadas tangentes.
Considerando que a última camada é composta por 84 moedas, calcule a quantia, em reais, do total de
moedas usadas nessa arrumação.
a
1 camada: 1 moeda
a
2 camada: 6 moedas
a
3 camada: 12 moedas
a
4 camada: 18 moedas
.
.
.
Última camada: 84 moedas
a
Podemos observar que a partir da 2 camada temos a P.A. (6; 12; 18; ...; 84) onde:
a1 = 6, r = 6 e an = 84
an = a1 + (n – 1) . r
84 = 6 + (n – 1) . 6 ∴ n = 14
Soma: sn =
(6 + 84 ) . 14 = 630.
2
a
Portanto, com mais um moeda da 1 camada, temos 631 moedas e R$ 63,10.
Resposta: R$ 63,10.
Para uma partida de futebol, foram colocados à venda três tipos de ingresso:
para o setor verde, ao preço de R$ 12,00;
para o setor azul, ao preço de R$ 18,00; e
para o setor branco, ao preço de R$ 25,00.
Sabendo que 38.000 torcedores pagaram R$ 620.000,00 para assistir essa partida, sendo que o
número de ingressos vendidos para o setor verde foi o dobro do número de ingressos vendidos para o
setor azul, podemos concluir que:
12 V + 18 A + 25 B = 620.000

 V + A + B = 38.000
 V = 2A

12(2 A ) + 18 A + 25 B = 620.000

 2A + A + B = 38.000
24 A + 18 A + 25 B = 620.000

 3 A + B = 38.000
42 A + 25 B = 620.000

 B = 38.000 − 3 A
42A + 25 (38.000 – 3A) = 620.000
42A + 950.000 – 75A = 620.000
– 33A = – 330.000
A = 10.000
B = 38.000 – 3 (10.000)
B = 8.000
V = 2 (10.000)
V = 20.000
Resposta: 20.000 torcedores pagaram ingressos para o setor verde.
 x + 5 y + 2z = 8

Se x = a, y = b, z = c é solução de 3 x + 2y = −1 , então a + b + c vale:
 x + 4 y + 2z = 7

 x + 5 y + 2z = 8

3 x + 2y = − 1
 x = − 4 y − 2z + 7

− 4 y + 2 z + 7 + 5 y + 2 z = 8

3 (− 4 y − 2z + 7 ) + 2y = − 1
y = 1

− 12 y − 6z + 21 + 2y = − 1
y = 1

− 10 y − 6z = − 22
– 10 – 6z = –22
– 6z = –12
z=2
x = – 4y – 2z + 7
x = –4 (1) – 2 (2) + 7
x = – 4 -4 + 7
x = –1
x=a=–1
y=b=1
z=c=2
a+b+c=–1+1+2=2
Resposta: a + b + c = 2
Dispomos de 4 cores distintas e temos que colorir o mapa mostrado na figura
com os países P, Q, R e S, de modo que países cuja fronteira é uma linha não
podem ser coloridos com a mesma cor.
Responda, justificando sua resposta, de quantas maneiras é possível colorir o mapa?
Supondo que P e S tenham cores diferentes, temos:
4
3
2
2
x
x
x
= 48 maneiras.
(P) (Q) (S) (R )
Supondo que P e S tenham a mesma cor, temos:
4
3
1
3
x
x
x
= 36 maneiras.
(P) (Q) (S) (R)
Portanto, podemos colorir o mapa de 84 maneiras.