sobre a criação dos números transfinitos de cantor e - HCTE

Scientiarum Historia – UFRJ / HCTE
Sobre a criação dos números transfinitos de Cantor e suas
conseqüências.
Guita Nascimento1, Prof. de ensino fundamental/médio (FM) e Pós-graduando (PG).
Ricardo S. Kubrusly, Pesquisador (PQ)
1. E-mail: [email protected]
Palavras Chave: Conjuntos, infinito, transfinito, topologia.
Introdução
Esta comunicação tem por objetivo mostrar
um pouco da teoria sobre números transfinitos
criada por Georg Cantor, a partir de 1872, e que
gerou a Teoria de Conjuntos como a conhecemos
hoje.
Para conjuntos infinitos, ao contrário dos
conjuntos finitos, os conceitos de cardinal e ordinal
aparecem de modo bem diferente e a ordem dos
elementos surge como mais uma característica
diferenciadora podendo acontecer de dois conjuntos
possuírem a mesma cardinalidade, mas números
ordinais diferentes.
Além disso, Cantor percebeu que dois
conjuntos infinitos poderiam ter cardinalidade
diferentes, isto é, que existiam infinitos com
“tamanhos” diferentes. O infinito mais intuitivo é o
que obtemos do conjunto dos números naturais e
que chamamos de infinito enumerável, Cantor o
nomeou de ℵ0 . Ao infinito que representa o
conjunto dos números reais, infinito não-enumerável
Cantor denominou de c, que é a potência do
contínuo de dimensão 1. Ele imaginou que se
aumentássemos a dimensão, seria intuitivo pensar,
que esta potência deveria aumentar.
Mais tarde demonstrou, como pode ser visto
abaixo, que esta intuição estava errada e que um
segmento de reta e um quadrado possuem ambos a
potência c. Apesar de parecer paradoxal, este
resultado possibilitou um grande desenvolvimento
para o estudo da topologia.
Resultados e Discussão
Segundo a teoria elaborada por Georg
Cantor, a idéia de número está associada a
conjuntos, como algo que resta em comum, a dois
ou mais conjuntos, quando abstraímos a natureza
de seus elementos e a sua ordem, deste modo,
define-se números finitos da seguinte maneira:
O número que está relacionado ao conjunto
vazio é o Zero. O número n se relaciona a conjuntos
eqüipolentes ao conjunto {1, 2, 3, ...., n} para
algum inteiro positivo n.
Dois conjuntos são eqüipolentes quando
existe uma função biunívoca entre eles, caso isto
ocorra dizemos que os dois conjuntos possuem a
mesma potência e são representados pelo mesmo
número cardinal.
Se considerarmos a ordem em que os
elementos do conjunto estão dispostos temos os
números ordinais. Para conjuntos finitos, os
conceitos de número ordinal e número cardinal se
equivalem e temos por exemplo que o conjunto
{1, 2, 3}, o conjunto {2, 3, 1} e o conjunto {a, b, c}
têm o número ordinal e cardinal exatamente igual a
3.
Para conjuntos finitos temos que se A é um
subconjunto próprio de B então o cardinal de A é
sempre menor que o número cardinal de B.
Richard Dedekind, usou exatamente esta
característica para definir conjuntos infinitos como
sendo um conjunto B que possui um subconjunto
próprio A eqüipolente a B.
Para conjuntos infinitos os conceitos de
cardinal e ordinal aparecem de modo bem diferente
e a ordem dos elementos surge como mais uma
característica diferenciadora podendo acontecer de
dois conjuntos possuírem a mesma cardinalidade,
mas números ordinais diferentes.
Ao número ordinal que representa o
conjunto dos números naturais por completo,
Cantor chamou de ω, que, por definição é maior do
que qualquer número finito. O sucessor de ω,
similar a aritmética finita é o número ω + 1, que
segue como uma coisa natural quando mais um
elemento é acrescentado ao conjunto já definido.
Nem todo número transfinito tem um antecessor,
neste caso ele é chamado de número limite.
Podemos citar como exemplo de número limite o
próprio ω, ou qualquer múltiplo dele.
Mas o que aconteceria se ao invés do
elemento ser acrescentado ao final do conjunto ele
fosse acrescentado no início?
Observe que para conjuntos infinitos o
conjunto {1, 2, 3, 4,...., 1’} = ω + 1 é diferente do
conjunto {1’,1, 2, 3, 4,.....} = 1 + ω = ω, ou seja, a
ordem é fundamental.
Se quisermos calcular 2ω = ω + ω teremos
o conjunto {1, 2, 3,.....,1’, 2’, 3’, ...}, por outro lado,
ω2 = {1, 2} ∪ {1’, 2’} ∪ ... ∪ {1ν, 2ν} ∪ ... =
{1, 2, 1’, 2’, 1”, 2”, ...}. Vemos então que 2ω ≠ ω2,
isto é, para números ordinais transfinitos nem a
adição, nem a multiplicação são operações
comutativas.[CANTOR, Grundlagen, 1883]
O símbolo ω, usado por Cantor, foi colocado
no lugar do familiar ∞ com o objetivo de enfatizar o
fato que o número ordinal transfinito é completo,
infinito atual, é pensado como um todo se
contrapondo ao infinito potencial, que nunca se
completa, totalmente inconveniente para seus
propósitos.
Historicamente
os
números
ordinais
transfinitos apareceram primeiro e somente alguns
1º Congresso de História das Ciências e das Técnicas e Epistemologia – UFRJ / HCTE – 22 e 23 de setembro de 2008
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anos mais tarde, em 1895, em seu artigo Beiträge
zur Begründung der transfiniten Mengenlehre
( Contribuições para os fundamentos da teoria dos
números transfinitos), Cantor definiu os números
cardinais ou potência de M como o “conceito geral o
qual, por meio de nossa ativa faculdade de
pensamento surge do agregado M quando nós
abstraímos a natureza de seus elementos e a
ordem em que eles são dados”.
Se considerarmos o conjunto dos números naturais,
ordenados de várias maneiras diferentes, temos:
{1, 2, 3, 4, ....} = ω; {2, 3, 4, 5,...,1} = ω +1; {3, 4, 5,
6,....,1, 2} = ω + 2; ....;{1, 3, 5,...,2, 4, 6,...} = 2ω etc.
Se não levarmos em conta a ordem de seus
elementos temos o número cardinal do conjunto
enumerável IN que Cantor deu o nome de ℵ0 e é o
menor dos números cardinais transfinitos. Qualquer
cardinal menor que ℵ0 é finito.
A diferença essencial entre conjuntos finitos
e infinitos é que num sistema finito sempre temos o
mesmo número ordinal em qualquer seqüência
dada; ao contrário, em um sistema composto de um
número infinito de elementos, em geral, temos
números ordinais diferentes dependendo da
seqüência de seus elementos. Por outro lado, a
potência ou número cardinal de um sistema, seja
ele finito ou não, independe da ordem em que seus
elementos aparecem.
Cantor percebeu que dois conjuntos infinitos
poderiam ter cardinalidade diferentes, isto é, que
existiam infinitos diferentes. Em 1874, Cantor
demonstrou que se o conjunto dos números reais
fossem colocados numa seqüência isso levaria a
uma contradição, concluindo assim que o conjunto
dos números reais era não-enumerável.
A potência do conjunto dos números reais,
Cantor denominou de c, que é a potência do
contínuo. Na realidade apenas os números
transcendentes são suficientes para se obter a
potência c.
ℵ
Podemos demonstrar que 2 0 é a potência
do contínuo mostrando que esta igualdade vale
para o intervalo [0, 1]. Se lembrarmos que todo
número real, neste intervalo, pode ser escrito no
∞
sistema binário na forma
∑a 2
i =1
i
−i
, onde ai = 0 ou ai
= 1. Pela análise combinatória vemos que temos
ℵ
exatamente 2 0 possibilidades.
Geometricamente fica fácil ver que dois
intervalos de tamanhos diferentes são eqüipolentes.
Poderíamos pensar, que o plano teria uma
potência diferente da reta real, mas este foi outro
resultado interessante que Cantor obteve e que ele
próprio ficou surpreso: A potência de um espaço
independe de sua dimensão e é sempre a potência
do contínuo.
No artigo Contribuições à teoria dos
conjuntos (1877), Cantor define uma função
biunívoca que relaciona o segmento de reta [0;1], ao
quadrado [0;1]x[0;1].
Figura II. Gráfico da função de Cantor, feita com o
programa MAPLE,utilizando 10000 pontos.
Podemos perceber que o gráfico é
desconexo, ou seja, a função criada por Cantor não
é contínua. Partindo do intervalo [0;1], que é
conexo, obtivemos o quadrado [0;1] X [0;1], dividido
em dez partes separadas.
Ou seja, apesar de espaços de dimensões
diferentes possuírem a mesma potência, eles não
são topologicamente equivalentes.
Nos anos que se seguiram ao artigo
publicado por Cantor, várias demonstrações foram
feitas no sentido de demonstrar que a dimensão era
realmente um invariante topológico. Jakob Lüroth
(1844 – 1910), deu várias provas para os casos de
dimensão menor ou igual a três, enquanto Enno
Jürgens apresentou uma prova para o caso
bidimensional. Johannes Thomae (1840 – 1921)
tentou uma primeira demonstração geral sobre a
invariância das dimensões que logo se mostrou
deficiente, e em 1878, Eugen Netto (1848 – 1919)
deu uma segunda prova geral, por indução, mas ela
também não foi completamente satisfatória.
Em
1879,
Cantor
publica
uma
demonstração, também por indução, que foi aceita
até 1899, quando Jürgens encontra um contraexemplo. Somente em 1911, Brouwer (1881 – 1966)
deu a primeira prova rigorosa da invariância da
dimensão que usava resultados sobre topologia do
plano, obtidos por Arthur Schönflies (1853 – 1928).
(DAUBEN, pp.942, 943, 2003)
Conclusões
Figura I. Correspondência entre 2 segmentos de reta com
medidas diferentes.
25a Reunião Anual da Sociedade Brasileira de Química - SBQ
Graças a teoria dos números transfinitos criada
por Cantor podemos dizer que a maioria dos
paradoxos que, até então, envolviam o conceito de
infinito foram esclarecidos. Outros surgiram, na
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teoria dos conjuntos, sempre relacionados com o
infinito, que só mais tarde (1931) foram
esclarecidos, com os trabalhos de K. Gödel.
Agora podemos, não só contar o infinito como
operar com os números transfinitos através da
aritmética transfinita.
O infinito potencial aristotélico finalmente deixa de
reinar solitário na matemática abrindo lugar para
que passemos a considerar o infinito atual.
Agradecimentos
A Rodrigo Devolver que tornou
confecção do gráfico da figura II.
possível
a
Bibliografia
CANTOR, Fondements d’une théorie générale des ensembles
(Grundlagen), Acta Mathematica 2, pp. 381- 408, 1883
______ Une contribution a la théorie des ensembles, Acta
Mathematica 2, pp.311 - 328, 1883, extraído do Journal de
Borchardt, vol. 84, datado de 1877.
____ Contribuitions to the Founding of the Theory of
Transfinite Numbers, tradução do Bëitrage feita por P. E. B.
Jourdain, Chicago, Dover Publications, Inc, Nova York, 1955,
publicado originalmente por Open Court Publishing Company em
1915.
DAUBEN, Joseph W. Topology: Invariance of dimension. In: DUGAC,
P. Richard Dedekind et les fondements des mathématiques. Paris: J.
Vrin, 1976.
25a Reunião Anual da Sociedade Brasileira de Química - SBQ
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