Lista 3 - Visgraf

Introdução aos Métodos de Otimização
3ª Lista de Exercícios
Para 14/10/98
1.
Uma empresa que produz gasolina compra três tipos de destilados de petróleo, A, B e C, que são
combinados, formando três tipos de gasolina (Alta Potência, Especial e Comum) cujas
especificações são dadas na tabela abaixo:
Mistura
Alta Potência
Especial
Comum
% máxima de A
60%
15%
–
% mínima de C
20%
60%
50%
Preço de venda por litro
1.26
1.10
0.80
Os preços e quantidades disponíveis de cada destilado são dados abaixo:
Destilado
A
B
C
Quantidade máxima
disponível por dia (litros)
4000
5000
2500
Custo por litro
0.96
0.83
0.77
Formule, como um programa linear, o problema de encontrar a forma de misturar os destilados de
modo a maximizar o lucro da empresa. Se possível, resolva o problema resultante usando um software
para programação linear.
2.
Considere o problema
Max z =
9x2 +
x3
– 2x5 – x6
5x2 + 50 x3 + x4 + x5
= 10
x1–15x2 + 2 x3
= 2
x2 +
x3
+ x5 + x6 = 6
xj  0 ( j = 1, 2, …, 6)
a)
Verifique que (x1, x4, x6) determina uma base viável para o problema. Qual é a solução básica
correspondente?
b) Exprima as variáveis básicas e a função objetivo em função das variáveis não básicas x2, x4 e x6.
c) Verifique que é possível melhorar a solução dada em (a) aumentando o valor de uma das variáveis
não básicas (por exemplo, x3). Portanto, a solução em (a) não é ótima para o problema.
d) Aumente o valor de x3 tanto quanto possível, mantendo as demais variáveis não básicas em 0. Qual
é esse acréscimo máximo? Qual é a nova base resultante? Qual é a solução correspondente?
e) Reescreva as novas variáveis básicas e a função objetivo em função das novas variáveis não
básicas e verifique que esta nova solução é ótima.
3.
Considere o problema da mochila na versão linear. Isto é:
Max c1x1 + … + cnxn
s.a.w1x1+ … + wnxn  L,
xj  0 e inteiro, j = 1, …, n
O objetivo do exercício é desenvolver um procedimento do tipo branch-and-bound para resolver o
problema. Suponhamos que c1/w1 > c2/w2 > … > cn/wn.
a) Qual é a solução do problema se não levarmos em conta a restrição de integralidade? Qual é a cota
superior fornecida para o valor do problema original?
b) Em que condições a solução em (a) é a solução do problema original?
c) Suponhamos que a solução encontrada em (a) seja x1 = a , x2 = … = xn = 0, onde a não é inteiro.
Os novos nós produzidos pelo procedimento de branch-and-bound corresponderão a que
problemas?
d) Aplique o procedimento resultante para resolver o caso abaixo:
n = 3, L = 20
i
1
2
3
ci
11
7
1
wi
6
4
1