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Autor: Antonio Aguiar Cap. 2.1 2.10. DIFERENÇA DE POTENCIAL, ELETROMOTRIZ E TENSÃO FORÇA Engenharia Elétrica [xxx]. Alternativamente, a diferença de potencial pode ser calculada (ou definida) através de U e(ab) Ee dl b a 2.10.1 Diferença de potencial eletrostático (2.5) que é a integral de linha do campo elétrico Ee de a para b, no sentido de Ee (isto é aqui ressaltado através da notação dl para enfatizar que a integração é feita no sentido contrário ao da definição anterior, embora os limites de integração já definem que seja assim). Nesse caso, a diferença de potencial seria a energia por unidade de carga fornecida pelo campo elétrico no deslocamento da carga q do ponto a ao ponto b. (Fig.10.1.(c)). Esta definição alternativa parece ser mais adequada e menos propícia à confusão que é comumente gerada devido ao sinal menos que aparece em (4). No caso de (4), definimos a elevação de potencial indo de b para a; no caso de (5), definimos a queda de potencial indo de a para b. Fig.2.1. Diferença de potencial eletrostático. Um campo eletrostático é um campo elétrico produzido por cargas em repouso que é caracterizado pelas relações (2.1) Ee Ue Ee dl 0 (2.2) A expressão (2) indica que o campo eletrostático é conservativo e que a integral de linha entre dois pontos independe do caminho selecionado entre os pontos, Fig.10.1(b). Podemos então associar uma grandeza escalar a esta propriedade, o potencial escalar elétrico U e . Consideremos o trabalho realizado por um agente externo para levar uma carga q de um ponto b até um ponto a contra a ação de um campo eletrostático Ee , ao longo de um caminho C, Fig.10.1(a). A força externa necessária é Fext qEe para que o deslocamento da carga se dê em regime de equilíbrio dinâmico e o trabalho realizado é a Wab Fext dl b (2.3) a Wab q Ee dl b A diferença de energia potencial elétrica por unidade de carga ou simplesmente diferença de potencial elétrico U ab entre o ponto a e o ponto b é definida como sendo o trabalho realizado por unidade de carga. U e(ab) a Wab U e (a) U e (b) Ee dl b q (2.4) onde Ue (a) e Ue (b) são os potenciais dos pontos a e b, respectivamente, relativas ao infinito (energias requeridas para trazer uma carga do infinito até o respectivo ponto). A definição (4) é a que é usualmente encontrada nos livros texto de Eletromagnetismo utilizados na graduação em Eletromag P2 Faraday v5.docx 2.10.2 Força eletromotriz Os campos eletrostáticos não são capazes de produzir uma circulação permanente de corrente elétrica. Porém, existem outros tipos de campos elétricos que não são produzidos por cargas estáticas. Dispositivos como geradores elétricos, baterias, dispositivos a efeito Hall, células fotovoltaicas, termopares, etc. produzem campos elétricos que são capazes de forçar a circulação de uma corrente elétrica. Os antigos pioneiros da eletricidade e do magnetismo cunharam o termo força eletromotriz (fem) para designar a ação que produz a circulação de corrente. Este termo é atualmente considerado como inadequado, pois a força eletromotriz é na realidade uma tensão elétrica (voltagem) e não uma força. Entretanto, ele continua a ser amplamente utilizado. Utilizaremos aqui os termos tensão eletromotriz e fem como sinônimos e usaremos o símbolo V fem para denotá-los. O campo elétrico que produz a fem será denominado campo eletromotor. Fig.2.2. Integral de linha para o campo eletromotor que define a tensão eletromotriz (fem). A tensão eletromotriz do ponto b para o ponto a, que é produzida por um campo eletromotor Ei , é definida pela integral de linha do campo existente Ei ao longo do percurso, Fig.10.2. a U fem Ei dl b (2.6) Quando o campo eletromotor Ei atua em apenas uma parte de um percurso fechado C, digamos entre os pontos a e b do caminho, teremos U fem Ei dl (2.7) Obviamente, se o campo eletromotor tiver sempre um componente no mesmo sentido de dl , a integral de linha no sentido de Ei dará um valor positivo para a fem U fem . Autor: Antonio Aguiar Cap. 2.2 (a) (b) Fig.2.3. Bastão condutor isolado possuindo fem interna. I Vamos agora aplicar esses conceitos a um exemplo simples. Consideremos um bastão condutor homogêneo (Fig.3) e vamos supor que no bastão atue um campo elétrico eletromotor Ei uniforme. (Em uma bateria, o campo seria produzido pela ação química da bateria). O campo Ei produzirá um deslocamento de cargas positivas para o terminal a e de cargas negativas para o terminal b (Fig.2b). Este deslocamento de cargas dá origem, por sua vez, a um campo eletrostático Ee no sentido oposto de Ei de forma que no equilíbrio Ee Ei . O terminal a fica assim com um potencial positivo em relação ao terminal b. ( Claro, o campo eletrostático Ee terá linhas de campo fora do bastão, como impõe (2), mas este efeito não é muito importante aqui). O campo elétrico dentro do bastão será então nulo Et Ee Ei 0 . Nula será também a densidade de corrente no bastão J1 1Et1 Et1 / 1 . a U fem Ei dl Consideremos agora que um segundo bastão condutor seja conectado ao primeiro, (Fig.4(a), e desprezemos as resistências dos condutores de ligação e dos contatos e o espraiamento do campo elétrico. Tomemos a integral de linha do campo elétrico ao longo do caminho b-a-c-d (no sentido horário), Fig.4(b). A Fig.4(c) ilustra os campos elétricos em cada barra. A tensão eletromotriz é E dl Ee dl 0 Ei dl (2.9) a Ei dl Ei dl (d) Fig.2.4. Por outro lado podemos escrever, em termos dos campos resultantes, para cada trecho a c U fem Et1 dl Etac dl b a 0 d uma vez que o campo eletromotor Ei só existe no trecho b-a. (2.10) 0 a d Et1 dl Et 2 dl b c Como só existe campo eletromotor na barra 1, os campos totais nas barras são (2.11) Et1 Ei Ee1, Et 2 Ee2 Com as relações constitutivas Et1 1J1, Et 2 2 J 2 (2.12) teremos 1 a a d d a b Et1 dl b 1J1 dl I A1 b dl R1I c Et 2 dl c b a Et 2 dl Etdb dl c d (2.8) b U fem (c) 2 J 2 dl I 2 d A2 c (2.13) dl R2 I l l onde R1 1 1 , R2 2 2 são as resistências das barras 1 A1 A2 e 2, respectivamente. Substituindo (13) em (10) obtemos U fem R1I R2 I ( R1 R2 ) I (2.14) Das Eq.(10), (13) e (14) podemos escrever a d b c U fem R1I Ee1 dl Ee2 dl Vcd Vab R2 I (2.15) Estas relações nos conduzem ao modelo de circuito de parâmetros concentrados indicado na Fig.4(d). Os módulos dos campos eletrostáticos podem ser determinados através das seguintes relações Eletromag P2 Faraday v5.docx Autor: Antonio Aguiar Ee1 Ee 2 U fem R1I l1 U fem R1I l2 Cap. 2.3 R I 2 , l1 a R I 2 , l2 (2.16) b Ee1 l2 Ee 2 l1 (a) 2.10.3 Tensão elétrica A tensão elétrica ou voltagem entre dois pontos é definida de forma análoga à definição da diferença de potencial eletrostático, porém o campo elétrico total é integrado ao longo do percurso U ab a Wab Et d l b q (2.17) a d 0 dt Sentido da variação real do fluxo V Lenz e b e0 sendo a e V eLenz iLenz (2.18) onde Ee é o campo eletrostático e Ei é o campo eletromotor resultante devido a todas as fem’s envolvidas. Portanto, a tensão elétrica é diferente, em geral, da diferença de potencial eletrostático a U ab U e(ab) Ei d l b (2.19) Usaremos o termo tensão para a tensão elétrica, em geral. a d 0 dt Fluxo crescendo e V Lenz b iLenz e0 (b) Et Ee Ei d 0 dt Sentido da variação real do fluxo eLenz (c) d 0 dt Fluxo diminuindo a e V b b e0 e0 (d) (e) Fig.2.5. Lei de Lenz. 2.11. TENSÃO INDUZIDA 2.11.1 Indução eletromagnética A variação de um fluxo magnético concatenado com um circuito elétrico induz uma tensão neste circuito. Nesta seção, discutiremos aspectos relativos a este fenômeno de interesse para a modelagem de parâmetros concentrados de dispositivos magnéticos. 2.11.2 Lei de Lenz A lei de Lenz é uma lei qualitativa que estabelece o seguinte: Uma variação do fluxo concatenado com um circuito produz uma tensão induzida no circuito em um sentido tal que tende a fazer circular no circuito uma corrente que por sua vez produziria um fluxo (pela regra da mão direita) que tenderia a se opor à variação do fluxo inicial. Note que só a variação do fluxo concatenado original é que interessa. O valor do fluxo original não importa. O fluxo que seria criado pela corrente induzida tenderia a se opor a esta variação e não ao fluxo original em si. Consideremos o sistema de uma espira formada por um condutor ideal mostrado na Fig.5(a). A parte em pontilhado pode representar um circuito externo com os terminais a e b em aberto ou não. Não precisamos nos preocupar no momento com o circuito externo. Um voltímetro é colocado entre os terminais da espira, conforme indicado na Fig.5(b). Supomos que um fluxo magnético variante no tempo atravesse o sistema sendo totalmente enlaçado pelo circuito constituído pelo voltímetro e pela parte da espira indicada em linha sólida. Dessa forma, o voltímetro fecha, com o resto da espira, um contorno que possui um enlace de fluxo. Dessa forma, estamos definindo uma grandeza 1 – a tensão induzida nos terminais da espira - que será dada unívocamente pela indicação do voltímetro. Na Fig.5(a) definimos a polaridade para o fluxo que atravessa o circuito. Vamos supor inicialmente que este fluxo esteja crescendo e portanto a variação de fluxo d / dt seja positiva. De acordo com a lei de Lenz, o sistema reage tentando criar um fluxo Lenz que se oponha à variação do fluxo original, Fig.5(b). Para criar este fluxo Lenz no sentido oposto ao da variação de fluxo seria necessária uma corrente iLenz que circulasse no sentido horário na espira. Note que o sentido da corrente e o do fluxo estão de acordo com a regra da mão direita / saca-rolha. Tentando gerar essa corrente é que 1 Conforme visto no Cap. 1, uma grandeza/variável é definida pelo método através do qual ela é medida. Aqui a forma como o voltímetro é conectado faz parte desta definição. Lembrando que, como observado naquele capítulo, não nos preocupamos aqui em dar maiores detalhes sobre o voltímetro. Eletromag P2 Faraday v5.docx Autor: Antonio Aguiar Cap. 2.4 surge a tensão induzida eLenz . Podemos imaginar eLenz como sendo representada por uma fonte de tensão colocada no circuito, com terminais positivo e negativo indicando a polaridade real da tensão induzida, no sentido de produzir a corrente iLenz . Se a espira estiver com o circuito fechado, a tensão induzida fará efetivamente circular uma corrente. Dessa forma, o voltímetro colocado entre os terminais a e b da espira na Fig.5(b), indicaria uma tensão e medida pelo voltímetro positiva. A Fig.5(c) ilustra o caso em que o fluxo através da espira está diminuindo, sendo agora d / dt negativo. Nesse caso, a aplicação da lei de Lenz seguindo os mesmos passos do parágrafo anterior, mostra que a tensão eLenz e a corrente iLenz estarão invertidos em relação ao caso anterior, e o voltímetro indicará agora uma tensão e negativa. Para determinar a tensão entre os terminais da espira, a regra da mão esquerda (RME) é ilustrada na Fig.5(d) e (e). Com o polegar da mão esquerda orientado no sentido da variação do fluxo, os dedos curvados indicam o sentido de circulação da corrente induzida e a polaridade da tensão induzida eLenz por dentro da espira. A regra do saca-rolha pode também ser empregada: com o sentido da variação do fluxo definido dentro da espira, encontramos o sentido de Lenz que deve ser oposto à variação do fluxo dentro da espira; o sentido de eLenz dá o sentido rotacional do saca-rolha destro e o sentido linear correspondente dá o sentido real da corrente induzida. A representação de iLenz e eLenz invertendo de sentido quando a variação do fluxo troca de sinal corresponde ao enunciado da lei de Lenz, mas pode levar a uma certa confusão. Por outro lado, analisando os resultados da Fig.5, podemos constatar que, na realidade, não precisaremos sempre passar por iLenz e eLenz , se definirmos o sentido positivo (i.e, as polaridades) para o fluxo e para a tensão induzida como mostrado na Fig.6. A polaridade da tensão induzida e nos terminais da espira é dada em relação ao sentido do fluxo pela RME por dentro da espira ou pela RMD por fora da espira. Com o polegar orientado conforme o fluxo, os dedos indicam o terminal de referência (positivo) de e. Com as polaridades de e e definidas dessa forma, se a variação do fluxo for positiva, e também será positiva. Se a variação do fluxo for negativa, e também será negativa. Isto pode ser verificado, por exemplo, para a convenção da Fig.6(a) em relação ao que foi visto na Fig.5(b) e (d) e na Fig.5(c) e (e). Com a espira enrolada em relação ao fluxo da forma indicada na Fig.6(b), a polaridade (i.e, o sentido positivo) mostrada para a tensão induzida e pode ser verificada pelos mesmos métodos. e e (a) (b) Fig.2.6. Convenções para a definição da polaridade da tensão induzida e. 2.11.3 Lei de Faraday2 A lei de Faraday é comumente apresentada em termos dos campos da seguinte forma d C Ei dl dt S B ds (2.20) A integral de linha é a fem induzida no circuito que podemos representar por U fem U fem C Et dl (2.21) sendo Et o campo elétrico total em cada elemento do contorno C que delimita a superfície S. Por outro lado, a integral de superfície é o enlace de fluxo com o caminho C, B ds , donde S d d B ds S dt dt (2.22) Portanto, a fem induzida relaciona-se à taxa de variação temporal do enlace de fluxo U fem d dt (2.23) 2.11.4 Tensão induzida e É conveniente evitar o sinal menos de (23), sobretudo quando trabalharmos com modelos de parâmetros concentrados. Podemos para isto definir a tensão induzida e e d dt (2.24) onde as polaridades da tensão induzida e do fluxo seguem a convenção definida na Fig.6. Comparando (23) com a definição de e dada por (24) e U fem Assim, a tensão induzida e terá polaridade sempre oposta à de U fem , independentemente de como varia o fluxo. Neste texto, salvo quando for estabelecido diferentemente, vamos preferir trabalhar com a tensão induzida e definida por (24) ao invés da fem U fem definida por (23), evitando assim o sinal menos desta última e a 2 Existem várias denominações para as expressões que apresentamos aqui. Porém, não cuidaremos disto e as denominaremos (todas) simplesmente como lei de Faraday. Eletromag P2 Faraday v5.docx Autor: Antonio Aguiar Cap. 2.5 confusão geralmente causada por ele, e, frequentemente, iremos nos referir a (24) como lei de Faraday. e1 2.11.5 Usando a tensão induzida e Com algumas precauções, podemos introduzir uma fonte de tensão fictícia no circuito representando a tensão induzida e e obter um modelo de visualização intermediário entre o sistema e o modelo de circuito equivalente de parâmetro concentrado. R1 Na Fig.7(a) é representado o sistema de uma bobina com várias espiras que são enlaçadas por um fluxo variável no tempo. Nesse caso, vamos negligenciar a resistência das espiras. Podemos inserir a fonte fictícia em qualquer ponto internamente entre os terminais da bobina, Fig.7(b), com a polaridade de e dada pela regra da mão esquerda. Na Fig.7(c) é mostrado o circuito equivalente resultante. d dt i e VV (c) Fig.2.9. Sistema com duas barras e enlaces de fluxo variantes no tempo. (a) Representação física. (b) Modelo de visualização. (c) Modelo de circuito equivalente. UV e2 R2 e1 R1 R2 d2 R2 d1 dt R1 R2 dt 2.11.6 Indo da Lei de Faraday para modelo de circuito concentrado e (a) R2 Considere o sistema de duas barras representado na Fig.9(a). Os terminais de um voltímetro estão conectados aos terminais da barra 2, como mostrado na figura. Vamos supor que cada um dos dois fluxos mostrados enlace apenas a respectiva malha do circuito. Determinar a tensão lida pelo voltímetro. Na Fig.9 (b) está representado o modelo de visualização com as tensões induzidas incluídas, resultando no modelo de circuito da Fig. 9 (c). A leitura do voltímetro será Fig.2.7. Representação da tensão induzida por fonte fictícia. (a) Sistema. (b) inserção da fonte fictícia na representação do sistema. (b) Modelo de circuito equivalente. i e2 R (b) (c) Fig.2.8. Anel condutor homogêneo com enlace de fluxo variando no tempo. Consideremos agora o anel condutor da Fig.8(a) com um fluxo concatenado que varia com o tempo. Neste caso, a localização da tensão induzida não fica bem definida porque a fem distribui-se por todo o anel. Entretanto, podemos imaginar o anel aberto em um ponto qualquer e com a fonte fictícia inserida ali, Fig.8(b); com isto, teremos a circulação da corrente no sentido horário. O circuito equivalente correspondente é mostrado na Fig.8(c). Exemplo e1 Barra 1 Barra 1 Barra 2 Voltímetro V d1 dt e2 d2 dt Barra 2 VV V Voltímetro VV d2 dt d1 dt (a) (b) Eletromag P2 Faraday v5.docx Fig.2.10. Representação concentrados. de um circuito com elementos Consideremos um circuito elétrico constituído por elementos conectados através de fios de resistência desprezível, como mostra a Fig.10. Um dos elementos é principalmente dissipador de energia e considerado puramente resistivo, os outros dois são principalmente armazenadores de energia, sendo que um é considerado puramente indutivo, i.e armazendo energia através do campo magnético e o outro puramente capacitivo, i.e armazenando energia através do campo elétrico. O circuito é enlaçado por um fluxo como mostrado esquematicamente na figura. Este fluxo pode ser produzido pela corrente no próprio circuito e por fontes externas, como outros circuitos e imãs permanentes. No circuito da Fig.10, se cada elemento for considerado linear, a relação entre a tensão e a corrente em seus terminais é dada pela sua relação constituinte. As relações constituinte para os três elementos lineares são indicadas na Fig.11. Estas são as relações familiares dos elementos básicos resistência R, indutância L e capacitância C utilizadas na teoria de circuitos elétricos. Autor: Antonio Aguiar Cap. 2.6 A integral da equação acima pode ser escrita c b a E dl EeC dl EiL dl EeR dl (2.28) C a c b Da definição de tensão, segue-se que c b a a c b EeC dl uc ; EiL dl eL ; EeR dl uR Fig.2.11. Elementos lineares e suas relações constituintes. (2.29) donde e uc eL uR (2.30) A lei de Kirchhoff das tensões pode ser obtida através de uma generalização desta abordagem, incluindo outros tipos de forças eletromotrizes. 2.11.7 Tensão em circuitos com enlace de fluxo variável no tempo B C2 Contorno C dl C1 A Fig.2.12. Modelo de visualização para o sistema da Fig.10. Utilizando um modelo de visualização podemos chegar a uma expressão analítica para o circuito de forma simples. O procedimento é indicado na Fig.12 onde o circuito é rearranjado de forma a concentrar todo o fluxo em uma dada região ligeiramente afastada do circuito inicial. A conexão é distorcida para formar uma espira ideal em torno do fluxo. A tensão entre os dois terminais dessa espira é a tensão induzida e (conforme a Seção xx). Daí, usando as relações constituintes para o circuito RLC que está conectado aos terminais da espira e a LKT para a malha, encontramos a relação (2.25) e uc eL uR Substituindo as relações constituintes dos elementos em (xx) obtemos a relação (26). e 1 di i dt L Ri C dt (2.26) Esta relação conduz ao modelo instantâneo de circuito da Fig.13. Fig.2.14. Contorno com enlace de fluxo variando no tempo. Ilustração da dependência da tensão entre dois pontos em relação ao caminho escolhido. A orientação de e dl segue a RMD. No caso da definição da tensão induzida discutida na Seção 2.11.2, dissemos que a tensão induzida (medida do voltímetro) era definida unívocamente. Isto é correto porque a forma como o voltímetro foi conectado fez parte da definição da grandeza e não foi alterada. Porém, convém observar que, em outros casos, com o voltímetro conectado de outra forma (por exemplo, sem fechar um enlace), a grandeza definida será outra e o valor da tensão medida pelo voltímetro poderá ser diferente. Vamos mostrar isto de forma mais geral no que se segue. Para um circuito com um enlace de fluxo variando no tempo, não existe, em geral, uma única tensão entre dois pontos do circuito relacionada à integral de linha de E entre os dois pontos, porque o valor desta integral dependerá do caminho escolhido entre os dois pontos. Para ver isso, consideremos o contorno C na Fig.14 enlaçado por um fluxo total , e dividamos o contorno em duas partes C1 e C2 , orientadas como mostrado na figura. A fem induzida é d C E d l E d l E d l dt Fig.2.13. Modelo instantâneo de circuito concentrado para o sistema da Fig.10. É instrutivo determinar (26) a partir da lei de Faraday e das relações constitutivas dos elementos ideais. Considerando o circuito como uma espira, podemos escrever de acordo com a lei de Faraday e d d E dl C dt dt (2.27) Eletromag P2 Faraday v5.docx C1 (2.31) C2 donde d E d l E d l dt C1 (2.32) C2 Logo, as tensões segundo os dois caminhos são, pela definição de tensão (17) Autor: Antonio Aguiar Cap. 2.7 U (2.33) BA,C1 E d l U BA,C2 E d l C1 C2 Assim, vemos que a tensão entre os dois pontos terá valores diferentes, a depender do caminho escolhido entre os dois pontos. Obviamente, o efeito será tanto mais pronunciado quanto maior for o termo d / dt for maior. Em baixas frequências, ao medir a tensão entre dois pontos de um circuito com enlace de fluxo variável no tempo, a posição do voltímetro e a forma como seus terminais são conectados ao circuito são relevantes e poderão ter influência no resultado da medição. Em altas frequências, a forma e a área constituída pelos fios conectados entre os terminais do voltímetro e o circuito também serão relevantes. Fig.11.16(b). Suponhamos que o fluxo magnético através da superfície S esteja crescendo em um dado instante de tempo de modo que d / dt 0 . De acordo com a lei de Lenz, nesse caso, a tensão induzida eLenz estará naquele instante no sentido horário no contorno C, o que indica um campo elétrico induzido neste mesmo sentido e com componente contrário a dl , resultando em uma integral de linha com valor negativo, e Como d / dt foi suposto positivo, é U fem negativa. 2.11.8 Observações sobre a lei de Faraday em termos dos campos A lei de Faraday (20) vale para os seguintes casos, considerando-se o referencial inercial do laboratório para as velocidades: dlM a nE CE dlE CM a nM Fig.2.11.15. Convenções para o enlace eletromagnético. É interessante justificar o sinal menos que aparece em (23). As convenções adotadas para os vetores unitários e fluxos são indicadas na Fig.11.15, e seguem a regra da mão direita. Por simplicidade, adotamos contornos circulares. O contorno elétrico CE está no plano perpendicular à página e o contorno magnético CM no plano da página. O vetor unitário de S E a nE é paralelo ao plano da página e orientado para cima; já o vetor unitário de S M é perpendicular ao plano da página e orientado para dentro da página. necessário o sinal menos em (23) para corresponder com a U fem negativa. Isto explica o sinal menos da lei de Faraday. Por outro lado, se d / dt fosse negativo (fluxo diminuindo), o campo induzido teria um componente no mesmo sentido de dl , e a integral de linha seria positiva, resultando em uma U fem positiva, tanto por (23) quanto por (21). 1) Um laço de corrente estacionário com B variável no tempo. 2) Um laço de corrente cuja área (ou perímetro) varia no tempo (expansão) ou se movimenta total ou parcialmente em um campo magnético B invariante no tempo. 3) Um laço de corrente para o qual as duas condições anteriores ocorrem simultâneamente. No primeiro caso, a tensão eletromotriz é dita de transformador e é dada por B (2.34) ds t No segundo caso, a tensão eletromotriz é dita de movimento ou de fluxo cortante e é dada por . U femT S U femM v B d l C (2.35) onde v é a velocidade de cada elemento dl móvel em relação ao referencial do laboratório. Quando a variação do campo no tempo e o movimento do contorno de corrente estão presentes ao mesmo tempo (caso 3), pode-se mostrar que a tensão eletromotriz é a soma das tensões dos casos anteriores U fem U femT U femM B ds v B d l S t C e, das equações (34), (35) e (36), obtemos (a) (b) Fig.2.16. Convenções para a lei de Faraday. A Fig.16(a) mostra as convenções para o contorno elétrico C e a superfície S. A Fig.16(b) é um modelo de visualização mostrando a tensão induzida e representada em oposição a U fem . Com referência à Fig.16(a), o vetor unitário a n normal à superfície e o elemento de linha dl tem suas orientações relativas estabelecidas segundo a regra da mão direita. Dessa forma, um campo magnético B com projeção positiva sobre a n produz um fluxo diferencial d B ds B an ds positivo. A tensão eletromotriz U fem é definida como antes (i.e, a integral de linha do campo elétrico total) e a fonte que a representa tem a polaridade no mesmo sentido de dl , Eletromag P2 Faraday v5.docx C E d l S B ds v B d l C t (2.36) (2.37) Esta é considerada a forma mais geral da lei de Faraday. Campos induzidos Aplicando o teorema de Stokes à integral de superfície e com B A em (37), encontramos C E d l C Ei d l A dl v B dl C t C donde o campo elétrico induzido (2.38) Autor: Antonio Aguiar Ei Cap. 2.8 A vB t E (2.39) iM EiT O campo elétrico induzido tem dois componentes: o campo elétrico induzido de transformação EiT e o campo elétrico induzido de movimento EiM . A t (2.40a) EiM v B (2. 40b) EiT onde Ee U e é o campo eletrostático. Obs.: Esta expressão para o campo total pode ser obtida a partir de (37) usando o teorema de Stoke para converter as integrais de linha em integrais de superfície e o fato de que se A D , então A D U . Desta discussão, fica aparente que a tensão eletromotriz U fem pode ser calculada de várias formas, como, por exemplo: 1) Calculando a integral de linha de Ei usando o campo elétrico total ou os campos elétricos induzidos de transformador EiT e de movimento EiM definidos em (40). 2) Calculando o fluxo concatenado (t ) e em seguida a sua derivada (23). 3) Calculando separadamente as tensões U femT e U femM e em seguida U fem U femT U femM ((34), (35) e (36)). Exemplo Considere o bastão de comprimento l movendo-se em um campo magnético de densidade de fluxo B uniforme e invariante no tempo mostrado esquematicamente na Fig.17(a). O campo e a direção de movimento são ortogonais e produzem um campo induzido mocional EiM v B constante ao longo do bastão. Uma vez que o campo não varia, e só existe campo induzido no interior do bastão, a tensão induzida é dada por b e U fem Ei d l EiM d l C a a b b a EiM d l v B d l lvB (2.42) U ab A tensão U ab induzida nos terminais do bastão tem o terminal a positivo em relação ao terminal b, uma vez Eletromag P2 Faraday v5.docx EiM dl UV V Esta última expressão é muito útil e é a base de vários modelos de máquinas elétricas rotativas. O campo elétrico total em cada ponto do contorno C é dado pela soma vetorial do campo eletrostático e do campo elétrico induzido (e eventualmente de outros campos eletromotores) (2.41) Et Ee Ei Ee EiT EiM que o sentido do campo induzido EiM que a produz é de b para a, Fig.17(b). Conforme mostra a figura, esta tensão U ab corresponde à tensão induzida e definida anteriormente. Os conceitos envolvidos com este sistema serão utilizados como fundamentos para o desenvolvimento de modelos para vários outros sistemas, como dispositivos e máquinas lineares e rotativas, que serão tratados em outros capítulos. a v e l b B (a) EiM dl a U ab e b (b) Fig.2.11.17. Bastão movimentando-se em um campo magnético uniforme.
