E l - IFBa

Autor: Antonio Aguiar
Cap. 2.1
2.10.
DIFERENÇA
DE
POTENCIAL,
ELETROMOTRIZ E TENSÃO
FORÇA
Engenharia Elétrica [xxx]. Alternativamente, a diferença de
potencial pode ser calculada (ou definida) através de
U e(ab)   Ee  dl
b
a
2.10.1 Diferença de potencial eletrostático
(2.5)
que é a integral de linha do campo elétrico Ee de a para b, no
sentido de Ee (isto é aqui ressaltado através da notação dl
para enfatizar que a integração é feita no sentido contrário ao
da definição anterior, embora os limites de integração já
definem que seja assim). Nesse caso, a diferença de potencial
seria a energia por unidade de carga fornecida pelo campo
elétrico no deslocamento da carga q do ponto a ao ponto b.
(Fig.10.1.(c)). Esta definição alternativa parece ser mais
adequada e menos propícia à confusão que é comumente
gerada devido ao sinal menos que aparece em (4). No caso de
(4), definimos a elevação de potencial indo de b para a; no
caso de (5), definimos a queda de potencial indo de a para b.
Fig.2.1. Diferença de potencial eletrostático.
Um campo eletrostático é um campo elétrico produzido
por cargas em repouso que é caracterizado pelas relações
(2.1)
Ee  Ue

Ee  dl  0
(2.2)
A expressão (2) indica que o campo eletrostático é
conservativo e que a integral de linha entre dois pontos
independe do caminho selecionado entre os pontos,
Fig.10.1(b). Podemos então associar uma grandeza escalar a
esta propriedade, o potencial escalar elétrico U e .
Consideremos o trabalho realizado por um agente
externo para levar uma carga q de um ponto b até um ponto a
contra a ação de um campo eletrostático Ee , ao longo de um
caminho C, Fig.10.1(a). A força externa necessária é
Fext  qEe para que o deslocamento da carga se dê em
regime de equilíbrio dinâmico e o trabalho realizado é
a
Wab   Fext  dl
b
(2.3)
a
Wab  q  Ee  dl
b
A diferença de energia potencial elétrica por unidade
de carga ou simplesmente diferença de potencial elétrico U ab
entre o ponto a e o ponto b é definida como sendo o trabalho
realizado por unidade de carga.
U e(ab) 
a
Wab
 U e (a)  U e (b)    Ee  dl
b
q
(2.4)
onde Ue (a) e Ue (b) são os potenciais dos pontos a e b,
respectivamente, relativas ao infinito (energias requeridas para
trazer uma carga do infinito até o respectivo ponto).
A definição (4) é a que é usualmente encontrada nos
livros texto de Eletromagnetismo utilizados na graduação em
Eletromag P2 Faraday v5.docx
2.10.2 Força eletromotriz
Os campos eletrostáticos não são capazes de produzir
uma circulação permanente de corrente elétrica. Porém,
existem outros tipos de campos elétricos que não são
produzidos por cargas estáticas. Dispositivos como geradores
elétricos, baterias, dispositivos a efeito Hall, células
fotovoltaicas, termopares, etc. produzem campos elétricos que
são capazes de forçar a circulação de uma corrente elétrica. Os
antigos pioneiros da eletricidade e do magnetismo cunharam o
termo força eletromotriz (fem) para designar a ação que
produz a circulação de corrente. Este termo é atualmente
considerado como inadequado, pois a força eletromotriz é na
realidade uma tensão elétrica (voltagem) e não uma força.
Entretanto, ele continua a ser amplamente utilizado.
Utilizaremos aqui os termos tensão eletromotriz e fem como
sinônimos e usaremos o símbolo V fem para denotá-los. O
campo elétrico que produz a fem será denominado campo
eletromotor.
Fig.2.2. Integral de linha para o campo eletromotor que define a
tensão eletromotriz (fem).
A tensão eletromotriz do ponto b para o ponto a, que é
produzida por um campo eletromotor Ei , é definida pela
integral de linha do campo existente Ei ao longo do percurso,
Fig.10.2.
a
U fem   Ei  dl
b
(2.6)
Quando o campo eletromotor Ei atua em apenas uma
parte de um percurso fechado C, digamos entre os pontos a e b
do caminho, teremos
U fem 

Ei  dl
(2.7)
Obviamente, se o campo eletromotor tiver sempre um
componente no mesmo sentido de dl , a integral de linha no
sentido de Ei dará um valor positivo para a fem U fem .
Autor: Antonio Aguiar
Cap. 2.2
(a)
(b)
Fig.2.3. Bastão condutor isolado possuindo fem interna.
I
Vamos agora aplicar esses conceitos a um exemplo
simples. Consideremos um bastão condutor homogêneo
(Fig.3) e vamos supor que no bastão atue um campo elétrico
eletromotor Ei uniforme. (Em uma bateria, o campo seria
produzido pela ação química da bateria). O campo Ei
produzirá um deslocamento de cargas positivas para o
terminal a e de cargas negativas para o terminal b (Fig.2b).
Este deslocamento de cargas dá origem, por sua vez, a um
campo eletrostático Ee no sentido oposto de Ei de forma que
no equilíbrio Ee  Ei . O terminal a fica assim com um
potencial positivo em relação ao terminal b. ( Claro, o campo
eletrostático Ee terá linhas de campo fora do bastão, como
impõe (2), mas este efeito não é muito importante aqui). O
campo elétrico dentro do bastão será então nulo
Et  Ee  Ei  0 . Nula será também a densidade de corrente
no bastão J1  1Et1  Et1 / 1 .
a
U fem   Ei  dl
Consideremos agora que um segundo bastão condutor
seja conectado ao primeiro, (Fig.4(a), e desprezemos as
resistências dos condutores de ligação e dos contatos e o
espraiamento do campo elétrico. Tomemos a integral de linha
do campo elétrico ao longo do caminho b-a-c-d (no sentido
horário), Fig.4(b). A Fig.4(c) ilustra os campos elétricos em
cada barra. A tensão eletromotriz é

E  dl 

Ee  dl 
0



Ei  dl
(2.9)
a
Ei  dl   Ei  dl
(d)
Fig.2.4.
Por outro lado podemos escrever, em termos dos
campos resultantes, para cada trecho
a
c
U fem   Et1  dl   Etac  dl
b
a
0
d
uma vez que o campo eletromotor Ei só existe no trecho b-a.
(2.10)
0
a
d
  Et1  dl   Et 2  dl
b
c
Como só existe campo eletromotor na barra 1, os
campos totais nas barras são
(2.11)
Et1  Ei  Ee1,
Et 2  Ee2
Com as relações constitutivas
Et1  1J1,
Et 2  2 J 2
(2.12)
teremos
1
a
a
d
d
a
b Et1  dl  b 1J1  dl  I A1 b dl  R1I
c Et 2  dl  c
b
a
  Et 2  dl   Etdb  dl
c
d
(2.8)
b
U fem 
(c)
2 J 2  dl  I
2
d
A2 c
(2.13)
dl  R2 I
l
l
onde R1  1 1 , R2  2 2 são as resistências das barras 1
A1
A2
e 2, respectivamente. Substituindo (13) em (10) obtemos
U fem  R1I  R2 I  ( R1  R2 ) I
(2.14)
Das Eq.(10), (13) e (14) podemos escrever
a
d
b
c
U fem  R1I    Ee1  dl   Ee2  dl
 Vcd  Vab  R2 I
(2.15)
Estas relações nos conduzem ao modelo de circuito de
parâmetros concentrados indicado na Fig.4(d). Os módulos
dos campos eletrostáticos podem ser determinados através das
seguintes relações
Eletromag P2 Faraday v5.docx
Autor: Antonio Aguiar
Ee1 
Ee 2 
U fem  R1I
l1
U fem  R1I
l2
Cap. 2.3

R I
 2 ,
l1
a
R I
 2 ,
l2
(2.16)
b
Ee1 l2

Ee 2 l1
(a)
2.10.3 Tensão elétrica
A tensão elétrica ou voltagem entre dois pontos é
definida de forma análoga à definição da diferença de
potencial eletrostático, porém o campo elétrico total é
integrado ao longo do percurso
U ab 
a
Wab
   Et  d l
b
q
(2.17)
a
d
0
dt
Sentido da
variação real
do fluxo
V
Lenz

e
b
e0
sendo

a
e V
eLenz
iLenz
(2.18)
onde Ee é o campo eletrostático e Ei é o campo eletromotor
resultante devido a todas as fem’s envolvidas. Portanto, a
tensão elétrica é diferente, em geral, da diferença de potencial
eletrostático
a
U ab  U e(ab)   Ei  d l
b
(2.19)
Usaremos o termo tensão para a tensão elétrica, em
geral.
a
d
0
dt
Fluxo crescendo
e V
Lenz
b iLenz
e0
(b)
Et  Ee  Ei
d
0
dt
Sentido da
variação real
do fluxo
eLenz
(c)
d
0
dt
Fluxo diminuindo
a
e V
b
b
e0
e0
(d)
(e)
Fig.2.5. Lei de Lenz.
2.11. TENSÃO INDUZIDA
2.11.1 Indução eletromagnética
A variação de um fluxo magnético concatenado com
um circuito elétrico induz uma tensão neste circuito. Nesta
seção, discutiremos aspectos relativos a este fenômeno de
interesse para a modelagem de parâmetros concentrados de
dispositivos magnéticos.
2.11.2 Lei de Lenz
A lei de Lenz é uma lei qualitativa que estabelece o
seguinte:
Uma variação do fluxo concatenado
com um circuito produz uma tensão induzida
no circuito em um sentido tal que tende a
fazer circular no circuito uma corrente que
por sua vez produziria um fluxo (pela regra da
mão direita) que tenderia a se opor à variação
do fluxo inicial.
Note que só a variação do fluxo concatenado original é
que interessa. O valor do fluxo original não importa. O fluxo
que seria criado pela corrente induzida tenderia a se opor a
esta variação e não ao fluxo original em si.
Consideremos o sistema de uma espira formada por
um condutor ideal mostrado na Fig.5(a). A parte em
pontilhado pode representar um circuito externo com os
terminais a e b em aberto ou não. Não precisamos nos
preocupar no momento com o circuito externo. Um voltímetro
é colocado entre os terminais da espira, conforme indicado na
Fig.5(b). Supomos que um fluxo magnético variante no tempo
atravesse o sistema sendo totalmente enlaçado pelo circuito
constituído pelo voltímetro e pela parte da espira indicada em
linha sólida. Dessa forma, o voltímetro fecha, com o resto da
espira, um contorno que possui um enlace de fluxo. Dessa
forma, estamos definindo uma grandeza 1 – a tensão induzida
nos terminais da espira - que será dada unívocamente pela
indicação do voltímetro.
Na Fig.5(a) definimos a polaridade para o fluxo  que
atravessa o circuito. Vamos supor inicialmente que este fluxo
esteja crescendo e portanto a variação de fluxo d / dt seja
positiva. De acordo com a lei de Lenz, o sistema reage
tentando criar um fluxo Lenz que se oponha à variação do
fluxo original, Fig.5(b). Para criar este fluxo Lenz no sentido
oposto ao da variação de fluxo seria necessária uma corrente
iLenz que circulasse no sentido horário na espira. Note que o
sentido da corrente e o do fluxo estão de acordo com a regra
da mão direita / saca-rolha. Tentando gerar essa corrente é que
1 Conforme visto no Cap. 1, uma grandeza/variável é
definida pelo método através do qual ela é medida. Aqui a
forma como o voltímetro é conectado faz parte desta
definição. Lembrando que, como observado naquele capítulo,
não nos preocupamos aqui em dar maiores detalhes sobre o
voltímetro.
Eletromag P2 Faraday v5.docx
Autor: Antonio Aguiar
Cap. 2.4
surge a tensão induzida eLenz . Podemos imaginar eLenz como
sendo representada por uma fonte de tensão colocada no
circuito, com terminais positivo e negativo indicando a
polaridade real da tensão induzida, no sentido de produzir a
corrente iLenz . Se a espira estiver com o circuito fechado, a
tensão induzida fará efetivamente circular uma corrente. Dessa
forma, o voltímetro colocado entre os terminais a e b da espira
na Fig.5(b), indicaria uma tensão e medida pelo voltímetro
positiva.
A Fig.5(c) ilustra o caso em que o fluxo através da
espira está diminuindo, sendo agora d / dt negativo. Nesse
caso, a aplicação da lei de Lenz seguindo os mesmos passos
do parágrafo anterior, mostra que a tensão eLenz e a corrente
iLenz estarão invertidos em relação ao caso anterior, e o
voltímetro indicará agora uma tensão e negativa.
Para determinar a tensão entre os terminais da espira, a
regra da mão esquerda (RME) é ilustrada na Fig.5(d) e (e).
Com o polegar da mão esquerda orientado no sentido da
variação do fluxo, os dedos curvados indicam o sentido de
circulação da corrente induzida e a polaridade da tensão
induzida eLenz por dentro da espira. A regra do saca-rolha
pode também ser empregada: com o sentido da variação do
fluxo definido dentro da espira, encontramos o sentido de
Lenz que deve ser oposto à variação do fluxo dentro da
espira; o sentido de eLenz dá o sentido rotacional do saca-rolha
destro e o sentido linear correspondente dá o sentido real da
corrente induzida.
A representação de iLenz e eLenz invertendo de sentido
quando a variação do fluxo troca de sinal corresponde ao
enunciado da lei de Lenz, mas pode levar a uma certa
confusão. Por outro lado, analisando os resultados da Fig.5,
podemos constatar que, na realidade, não precisaremos sempre
passar por iLenz e eLenz , se definirmos o sentido positivo (i.e,
as polaridades) para o fluxo e para a tensão induzida como
mostrado na Fig.6.
A polaridade da tensão induzida e nos terminais
da espira é dada em relação ao sentido do fluxo pela
RME por dentro da espira ou pela RMD por fora da
espira. Com o polegar orientado conforme o fluxo, os
dedos indicam o terminal de referência (positivo) de e.
Com as polaridades de  e e definidas dessa forma, se
a variação do fluxo for positiva, e também será positiva. Se a
variação do fluxo for negativa, e também será negativa. Isto
pode ser verificado, por exemplo, para a convenção da
Fig.6(a) em relação ao que foi visto na Fig.5(b) e (d) e na
Fig.5(c) e (e). Com a espira enrolada em relação ao fluxo da
forma indicada na Fig.6(b), a polaridade (i.e, o sentido
positivo) mostrada para a tensão induzida e pode ser
verificada pelos mesmos métodos.


e
e
(a)
(b)
Fig.2.6. Convenções para a definição da polaridade da tensão
induzida e.
2.11.3 Lei de Faraday2
A lei de Faraday é comumente apresentada em termos
dos campos da seguinte forma
d
 C Ei  dl   dt S B  ds
(2.20)
A integral de linha é a fem induzida no circuito que
podemos representar por U fem
U fem 
C Et  dl
(2.21)
sendo Et o campo elétrico total em cada elemento do contorno
C que delimita a superfície S. Por outro lado, a integral de
superfície é o enlace de fluxo  com o caminho C,
   B  ds , donde
S
d
d
B  ds 

S
dt
dt
(2.22)
Portanto, a fem induzida relaciona-se à taxa de
variação temporal do enlace de fluxo
U fem  
d
dt
(2.23)
2.11.4 Tensão induzida e
É conveniente evitar o sinal menos de (23), sobretudo
quando trabalharmos com modelos de parâmetros
concentrados. Podemos para isto definir a tensão induzida e
e
d
dt
(2.24)
onde as polaridades da tensão induzida e do fluxo  seguem
a convenção definida na Fig.6.
Comparando (23) com a definição de e dada por (24)
e  U fem
Assim, a tensão induzida e terá polaridade sempre
oposta à de U fem , independentemente de como varia o fluxo.
Neste texto, salvo quando for estabelecido
diferentemente, vamos preferir trabalhar com a tensão
induzida e definida por (24) ao invés da fem U fem definida
por (23), evitando assim o sinal menos desta última e a
2 Existem várias denominações para as expressões que
apresentamos aqui. Porém, não cuidaremos disto e as denominaremos
(todas) simplesmente como lei de Faraday.
Eletromag P2 Faraday v5.docx
Autor: Antonio Aguiar
Cap. 2.5
confusão geralmente causada por ele, e, frequentemente,
iremos nos referir a (24) como lei de Faraday.
e1
2.11.5 Usando a tensão induzida e
Com algumas precauções, podemos introduzir uma
fonte de tensão fictícia no circuito representando a tensão
induzida e e obter um modelo de visualização intermediário
entre o sistema e o modelo de circuito equivalente de
parâmetro concentrado.
R1
Na Fig.7(a) é representado o sistema de uma bobina
com várias espiras que são enlaçadas por um fluxo variável no
tempo. Nesse caso, vamos negligenciar a resistência das
espiras. Podemos inserir a fonte fictícia em qualquer ponto
internamente entre os terminais da bobina, Fig.7(b), com a
polaridade de e dada pela regra da mão esquerda. Na Fig.7(c)
é mostrado o circuito equivalente resultante.
d
dt
i
e
VV
(c)
Fig.2.9. Sistema com duas barras e enlaces de fluxo variantes no
tempo. (a) Representação física. (b) Modelo de visualização. (c)
Modelo de circuito equivalente.
UV  e2 

R2
e1
R1  R2
d2
R2 d1

dt
R1  R2 dt
2.11.6 Indo da Lei de Faraday para modelo de circuito
concentrado
e
(a)
R2
Considere o sistema de duas barras representado na
Fig.9(a). Os terminais de um voltímetro estão
conectados aos terminais da barra 2, como mostrado
na figura. Vamos supor que cada um dos dois fluxos
mostrados enlace apenas a respectiva malha do
circuito. Determinar a tensão lida pelo voltímetro.
Na Fig.9 (b) está representado o modelo de
visualização com as tensões induzidas incluídas,
resultando no modelo de circuito da Fig. 9 (c). A
leitura do voltímetro será
Fig.2.7. Representação da tensão induzida por fonte fictícia. (a)
Sistema. (b) inserção da fonte fictícia na representação do sistema.
(b) Modelo de circuito equivalente.
i
e2
R
(b)
(c)
Fig.2.8. Anel condutor homogêneo com enlace de fluxo variando
no tempo.
Consideremos agora o anel condutor da Fig.8(a) com
um fluxo concatenado que varia com o tempo. Neste caso, a
localização da tensão induzida não fica bem definida porque a
fem distribui-se por todo o anel. Entretanto, podemos imaginar
o anel aberto em um ponto qualquer e com a fonte fictícia
inserida ali, Fig.8(b); com isto, teremos a circulação da
corrente no sentido horário. O circuito equivalente
correspondente é mostrado na Fig.8(c).
Exemplo
e1 
Barra
1
Barra
1
Barra
2
Voltímetro
V
d1
dt
e2 
d2
dt
Barra
2
VV
V
Voltímetro
VV
d2
dt
d1
dt
(a)
(b)
Eletromag P2 Faraday v5.docx
Fig.2.10. Representação
concentrados.
de
um
circuito
com
elementos
Consideremos um circuito elétrico constituído por
elementos conectados através de fios de resistência
desprezível, como mostra a Fig.10. Um dos elementos é
principalmente dissipador de energia e considerado puramente
resistivo, os outros dois são principalmente armazenadores de
energia, sendo que um é considerado puramente indutivo, i.e
armazendo energia através do campo magnético e o outro
puramente capacitivo, i.e armazenando energia através do
campo elétrico. O circuito é enlaçado por um fluxo  como
mostrado esquematicamente na figura. Este fluxo pode ser
produzido pela corrente no próprio circuito e por fontes
externas, como outros circuitos e imãs permanentes.
No circuito da Fig.10, se cada elemento for
considerado linear, a relação entre a tensão e a corrente em
seus terminais é dada pela sua relação constituinte. As
relações constituinte para os três elementos lineares são
indicadas na Fig.11. Estas são as relações familiares dos
elementos básicos resistência R, indutância L e capacitância C
utilizadas na teoria de circuitos elétricos.
Autor: Antonio Aguiar
Cap. 2.6
A integral da equação acima pode ser escrita
 c
  b
  a

  E  dl    EeC  dl      EiL  dl      EeR  dl  (2.28)
C

 
 

 a
  c
  b

Da definição de tensão, segue-se que
c
b
a
a
c
b
  EeC  dl  uc ;   EiL  dl  eL ;   EeR  dl  uR
Fig.2.11. Elementos lineares e suas relações constituintes.
(2.29)
donde
e  uc  eL  uR
(2.30)
A lei de Kirchhoff das tensões pode ser obtida através
de uma generalização desta abordagem, incluindo outros tipos
de forças eletromotrizes.
2.11.7 Tensão em circuitos com enlace de fluxo variável no
tempo

B
C2
Contorno C
dl
C1
A
Fig.2.12. Modelo de visualização para o sistema da Fig.10.
Utilizando um modelo de visualização podemos chegar
a uma expressão analítica para o circuito de forma simples. O
procedimento é indicado na Fig.12 onde o circuito é
rearranjado de forma a concentrar todo o fluxo em uma dada
região ligeiramente afastada do circuito inicial. A conexão é
distorcida para formar uma espira ideal em torno do fluxo. A
tensão entre os dois terminais dessa espira é a tensão induzida
e (conforme a Seção xx). Daí, usando as relações constituintes
para o circuito RLC que está conectado aos terminais da espira
e a LKT para a malha, encontramos a relação
(2.25)
e  uc  eL  uR
Substituindo as relações constituintes dos elementos
em (xx) obtemos a relação (26).
e
1
di
i dt  L  Ri
C
dt
(2.26)
Esta relação conduz ao modelo instantâneo de circuito
da Fig.13.
Fig.2.14. Contorno com enlace de fluxo variando no tempo.
Ilustração da dependência da tensão entre dois pontos em relação
ao caminho escolhido. A orientação de  e dl segue a RMD.
No caso da definição da tensão induzida discutida na
Seção 2.11.2, dissemos que a tensão induzida (medida do
voltímetro) era definida unívocamente. Isto é correto porque a
forma como o voltímetro foi conectado fez parte da definição
da grandeza e não foi alterada. Porém, convém observar que,
em outros casos, com o voltímetro conectado de outra forma
(por exemplo, sem fechar um enlace), a grandeza definida será
outra e o valor da tensão medida pelo voltímetro poderá ser
diferente. Vamos mostrar isto de forma mais geral no que se
segue.
Para um circuito com um enlace de fluxo variando no
tempo, não existe, em geral, uma única tensão entre dois
pontos do circuito relacionada à integral de linha de E entre os
dois pontos, porque o valor desta integral dependerá do
caminho escolhido entre os dois pontos. Para ver isso,
consideremos o contorno C na Fig.14 enlaçado por um fluxo
total  , e dividamos o contorno em duas partes C1 e C2 ,
orientadas como mostrado na figura. A fem induzida é
d
C E  d l   E  d l   E  d l   dt
Fig.2.13. Modelo instantâneo de circuito concentrado para o
sistema da Fig.10.
É instrutivo determinar (26) a partir da lei de Faraday e
das relações constitutivas dos elementos ideais. Considerando
o circuito como uma espira, podemos escrever de acordo com
a lei de Faraday
e
d  d

   E  dl
C
dt dt
(2.27)
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C1
(2.31)
C2
donde
d
 E  d l   E  d l  dt
C1
(2.32)
C2
Logo, as tensões segundo os dois caminhos são, pela
definição de tensão (17)
Autor: Antonio Aguiar
Cap. 2.7

 

U
 

(2.33)
BA,C1    E  d l  U BA,C2    E  d l

 

C1
C2

 

Assim, vemos que a tensão entre os dois pontos terá
valores diferentes, a depender do caminho escolhido entre os
dois pontos. Obviamente, o efeito será tanto mais pronunciado
quanto maior for o termo d  / dt for maior. Em baixas
frequências, ao medir a tensão entre dois pontos de um
circuito com enlace de fluxo variável no tempo, a posição do
voltímetro e a forma como seus terminais são conectados ao
circuito são relevantes e poderão ter influência no resultado da
medição. Em altas frequências, a forma e a área constituída
pelos fios conectados entre os terminais do voltímetro e o
circuito também serão relevantes.
Fig.11.16(b). Suponhamos que o fluxo magnético através da
superfície S esteja crescendo em um dado instante de tempo de
modo que d  / dt  0 . De acordo com a lei de Lenz, nesse
caso, a tensão induzida eLenz estará naquele instante no
sentido horário no contorno C, o que indica um campo elétrico
induzido neste mesmo sentido e com componente contrário a
dl , resultando em uma integral de linha com valor negativo, e
Como d  / dt foi suposto positivo, é
U fem negativa.
2.11.8 Observações sobre a lei de Faraday em termos dos
campos
A lei de Faraday (20) vale para os seguintes casos,
considerando-se o referencial inercial do laboratório para as
velocidades:
dlM
a nE
CE
dlE
CM
a nM
Fig.2.11.15. Convenções para o enlace eletromagnético.
É interessante justificar o sinal menos que aparece em
(23).
As convenções adotadas para os vetores unitários e
fluxos são indicadas na Fig.11.15, e seguem a regra da mão
direita. Por simplicidade, adotamos contornos circulares. O
contorno elétrico CE está no plano perpendicular à página e o
contorno magnético CM no plano da página. O vetor unitário
de S E a nE é paralelo ao plano da página e orientado para
cima; já o vetor unitário de S M é perpendicular ao plano da
página e orientado para dentro da página.
necessário o sinal menos em (23) para corresponder com a
U fem negativa. Isto explica o sinal menos da lei de Faraday.
Por outro lado, se d  / dt fosse negativo (fluxo diminuindo), o
campo induzido teria um componente no mesmo sentido de
dl , e a integral de linha seria positiva, resultando em uma
U fem positiva, tanto por (23) quanto por (21).
1) Um laço de corrente estacionário com B variável no
tempo.
2) Um laço de corrente cuja área (ou perímetro) varia no
tempo (expansão) ou se movimenta total ou
parcialmente em um campo magnético B invariante
no tempo.
3) Um laço de corrente para o qual as duas condições
anteriores ocorrem simultâneamente.
No primeiro caso, a tensão eletromotriz é dita de
transformador e é dada por
B
(2.34)
 ds
t
No segundo caso, a tensão eletromotriz é dita de movimento
ou de fluxo cortante e é dada por
.
U femT   
S
U femM   v  B  d l
C
(2.35)
onde v é a velocidade de cada elemento dl móvel em relação
ao referencial do laboratório.
Quando a variação do campo no tempo e o movimento
do contorno de corrente estão presentes ao mesmo tempo
(caso 3), pode-se mostrar que a tensão eletromotriz é a soma
das tensões dos casos anteriores
U fem  U femT  U femM
B
 ds   v  B  d l
S t
C
e, das equações (34), (35) e (36), obtemos
 
(a)
(b)
Fig.2.16. Convenções para a lei de Faraday.
A Fig.16(a) mostra as convenções para o contorno
elétrico C e a superfície S. A Fig.16(b) é um modelo de
visualização mostrando a tensão induzida e representada em
oposição a U fem .
Com referência à Fig.16(a), o vetor unitário a n normal
à superfície e o elemento de linha dl tem suas orientações
relativas estabelecidas segundo a regra da mão direita. Dessa
forma, um campo magnético B com projeção positiva sobre
a n produz um fluxo diferencial d   B  ds  B  an ds
positivo. A tensão eletromotriz U fem é definida como antes
(i.e, a integral de linha do campo elétrico total) e a fonte que a
representa tem a polaridade no mesmo sentido de dl ,
Eletromag P2 Faraday v5.docx
 C E  d l  S
B
 ds   v  B  d l
C
t
(2.36)
(2.37)
Esta é considerada a forma mais geral da lei de
Faraday.
Campos induzidos
Aplicando o teorema de Stokes à integral de superfície
e com B   A em (37), encontramos
 C E  d l   C Ei  d l
A
 dl   v  B  dl
C t
C
donde o campo elétrico induzido
 
(2.38)
Autor: Antonio Aguiar
Ei  
Cap. 2.8
A
 vB
t
E
(2.39)
iM
EiT
O campo elétrico induzido tem dois componentes: o
campo elétrico induzido de transformação EiT e o campo
elétrico induzido de movimento EiM .
A
t
(2.40a)
EiM  v  B
(2. 40b)
EiT  
onde Ee  U e é o campo eletrostático. Obs.: Esta
expressão para o campo total pode ser obtida a partir de (37)
usando o teorema de Stoke para converter as integrais de linha
em integrais de superfície e o fato de que se  A   D ,
então A  D  U .
Desta discussão, fica aparente que a tensão eletromotriz
U fem pode ser calculada de várias formas, como, por
exemplo:
1) Calculando a integral de linha de Ei usando o campo
elétrico total ou os campos elétricos induzidos de
transformador EiT e de movimento EiM definidos
em (40).
2) Calculando o fluxo concatenado  (t ) e em seguida a
sua derivada (23).
3) Calculando separadamente as tensões U femT e
U femM e em seguida U fem  U femT  U femM ((34),
(35) e (36)).
Exemplo
Considere o bastão de comprimento l movendo-se em
um campo magnético de densidade de fluxo B
uniforme e invariante no tempo mostrado
esquematicamente na Fig.17(a). O campo e a direção
de movimento são ortogonais e produzem um campo
induzido mocional EiM  v  B constante ao longo do
bastão. Uma vez que o campo não varia, e só existe
campo induzido no interior do bastão, a tensão
induzida é dada por
b
e  U fem    Ei  d l    EiM  d l
C
a
a
b
b
a
  EiM  d l   v  B  d l  lvB
(2.42)
 U ab
A tensão U ab induzida nos terminais do bastão tem o
terminal a positivo em relação ao terminal b, uma vez
Eletromag P2 Faraday v5.docx

EiM
dl
UV
V
Esta última expressão é muito útil e é a base de vários
modelos de máquinas elétricas rotativas.
O campo elétrico total em cada ponto do contorno C é
dado pela soma vetorial do campo eletrostático e do campo
elétrico induzido (e eventualmente de outros campos
eletromotores)
(2.41)
Et  Ee  Ei  Ee  EiT  EiM
que o sentido do campo induzido EiM que a produz é
de b para a, Fig.17(b). Conforme mostra a figura, esta
tensão U ab corresponde à tensão induzida e definida
anteriormente.
Os conceitos envolvidos com este sistema serão
utilizados como fundamentos para o desenvolvimento
de modelos para vários outros sistemas, como
dispositivos e máquinas lineares e rotativas, que serão
tratados em outros capítulos.
a
v
e
l
b
B
(a)
EiM
dl
a
U ab
e
b
(b)
Fig.2.11.17. Bastão movimentando-se em um campo magnético
uniforme.