Luiz Rijo Cálculo de Uma Variável com Matemática vol1

Luiz Rijo
Cálculo de
Uma Variável
com
Mathematica
Vol. 1
Xa
b
dfÝxÞ
dx = f Ýb Þ ? f Ýa Þ
dx
CAPÍTULO 1
Números Reais e Coordenadas na Reta
Iniciar o MathKernel
In[1]:=
Out[1]=
2 + 2 H∗ Este comando inicia o MathKernel ∗L
4
1.1 Números Naturais, Inteiros, Racionais e Irracionais
Os numéros naturais ou inteiros positivos são: 1, 2, 3, 4, 5, ....,2004, ....
O conjunto dos números naturais é infinito e tem as seguintes propriedades:
(1) Se n é um número natural n + 1 também o é.
(2) Qualquer subconjunto de números naturais sempre contém um número mínimo.
(3) A soma e o produto de quaisquer números naturais são números naturais.
Tudo no Mathematica é feito através de listas. Uma lista é um conjunto de números, de símbolos ou de expressões
limitado por dois colchetes { }.
In[2]:=
Out[2]=
H∗ Os 10 primeiros números naturais ∗L
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10<
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10<
Uma lista pode ser identificada por um nome. Por exemplo:
In[9]:=
Out[9]=
H∗ Lista identificada com o nome: lista1 ∗L
lista1 = 81, 2, 3, 4, 5<
81, 2, 3, 4, 5<
2
Cal 1 Capítulo 1.nb
A construção de um lista pode ser feita digitando cada elemento da lista individualmente como no exemplo anterior, ou
através do comando: Table[n, {n, n1, n2, n3}] em que n1 é o primeiro elemento da lista, n2 é o último
elemento e n3 é o valor incremental.
In[171]:=
Out[171]=
H∗ Os 10 primeiros números naturais pares ∗L
naturaisPares = Table@n, 8n, 2, 20, 2<D
82, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20<
O n-ésimo elemento da lista é dado pelo o comando "Nome da lista"[[n]]..
In[174]:=
Out[174]=
H∗ O sétimo elemento da lista naturaisPares do exemplo anterior ∗L
naturaisPares@@7DD
14
Se o valor do incremento é 1, pode-se usar o comando Table[n, {n, n1, n2}] para gerar a lista.
In[176]:=
Out[176]=
H∗ Os números naturais de 5 a 10 ∗L
naturaisImpares = Table@n, 8n, 5, 10<D
85, 6, 7, 8, 9, 10<
Se o primeiro elemento da lista é 1 e o incremento também é 1, pode-se usar o comando simplificado Table[n,
{n, n2}] para gerar a lista.
In[14]:=
Out[14]=
In[178]:=
Out[178]=
In[179]:=
Out[179]=
In[27]:=
Out[27]=
In[11]:=
Out[11]=
Table@n, 8n, 20<D
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20<
H∗ Os números naturais de 3 a 12 ∗L
naturaisDe3a12 = Table@n, 8n, 3, 12<D
83, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12<
H∗ O quinto elemento da lista naturaisDe3a12 ∗L
naturaisDe3a12@@5DD
7
H∗ Os números naturais 10, 100 e 1000 ∗L
n = 810, 100, 1000<
810, 100, 1000<
H∗ O segundo elemento da lista n ∗L
n@@2DD
100
Cal 1 Capítulo 1.nb
3
Pode-se usar qualquer nome para definir uma lista, até mesmo uma simples letra. Entretanto, é recomendável que se
use nomes esplicativos, isto é, nomes que identifique o significado da lista.
In[12]:=
Out[12]=
In[13]:=
Out[13]=
H∗ Os cinco primeiros naturais múltiplos de onze ∗L
cincoPriNatMultiplosDe11 = 822, 33, 44, 55, 66<
822, 33, 44, 55, 66<
H∗ O terceiro número natural múltiplo de onze ∗L
cincoPriNatMultiplosDe11 @@3DD
44
Juntando-se aos naturais o zero e os inteiros negativos, -1, -2, -3 ..., obtém-se o conjunto de todos os números inteiros:
0, ± 1, ± 2, ± 3, ± 4 ...
O conjunto dos números inteiros é infinito e tem as seguintes propriedades:
(1) Se n é um número inteiro, n + 1 e n - 1 também são inteiros.
(2) A soma, a diferença e o produto de números inteiros são números inteiros.
In[28]:=
Out[28]=
In[29]:=
Out[29]=
In[31]:=
Out[31]=
In[32]:=
Out[32]=
H∗ Os números inteiros de −10 a 10 ∗L
n10p10 = Table@n, 8n, −10, 10<D
8−10, −9, −8, −7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10<
H∗ O quarto elemento da lista n10p10 ∗L
n10p10@@4DD
−7
H∗ Os números inteiros de −100 a 50 ∗L
n100p50 = Table@n, 8n, −100, 50<D
8−100, −99, −98, −97, −96, −95, −94, −93, −92, −91, −90, −89, −88, −87, −86, −85,
−84, −83, −82, −81, −80, −79, −78, −77, −76, −75, −74, −73, −72, −71, −70,
−69, −68, −67, −66, −65, −64, −63, −62, −61, −60, −59, −58, −57, −56, −55,
−54, −53, −52, −51, −50, −49, −48, −47, −46, −45, −44, −43, −42, −41, −40,
−39, −38, −37, −36, −35, −34, −33, −32, −31, −30, −29, −28, −27, −26, −25,
−24, −23, −22, −21, −20, −19, −18, −17, −16, −15, −14, −13, −12, −11, −10,
−9, −8, −7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,
13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31,
32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50<
H∗ O 1200 elemento da lista n100p50 ∗L
n100p50@@120DD
19
CAPÍTULO 2
Equações e Gráficos
Iniciar o MathKernel
In[1]:=
Out[1]=
2 + 2 H∗ Este comando inicia o MathKernel ∗L
4
2.1 Cordenadas no plano
Do mesmo modo que os pontos de um reta podem ser representados por números, que são as suas coordenadas,
tam,bém aos pontos de um plano podemos associar um par de números, denominados de coordenadas do ponto. Em
outras palavrea, existe uma correspondência biunívoca entre os pares de números e pontos do plano: a cada par (x, y)
corresponde um ponto e somente um; e a pares distintos correspodem pontos distintos.
O comando ListPlot[{{x1, y1}, {x2,y2} . . .}, opções] plota uma lista de pontos no plano com
inúmeras opções.
In[1]:=
H∗ Plota o ponto de coordenadas H2, 5L ∗L
ListPlot@882, 5<<D;
10
8
6
4
2
1
2
3
4
A opção PlotStyle -> {PointSize[s]} especifica o tamanho do ponto no plano.
2
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
In[13]:=
ListPlot@882, 5<<,
PlotStyle → [email protected]<D;
10
8
6
4
2
1
2
3
4
A opção PlotRange → {{x1, x2},{y1, y2}} permite traçar os dois eixos cartesianos de x1 a x2 e y1 a y2,
respectivamente.
In[18]:=
H∗ Plota o ponto de coordenadas H2, 5L e controla os eixos x e y ∗L
ListPlot@882, 5<<,
PlotRange → 88−6, 6<, 8−6, 6<<, PlotStyle → [email protected]<D;
6
4
2
-6
-4
-2
2
4
6
-2
-4
-6
No próximo exemplo serão traçados dois gráficos na mesma figura. No primeiro gráfico plota-se os eixos cartesianos e
um ponto, no segundo gráfico liga-se o ponto aos eixos cartesianos por meio de duas linhas tracejadas perpendiculares
aos eixos.
A opção DisplayFunction -> Identity inibe o traçado do gráfico temporariamente.
A opção PlotJoined → True liga os pontos por segmentos lineares.
A opção PlotStyle→{Dashing[{s}]} especifica que a curva é do tipo tracejada. O valor do parâmetro s fixa o
espaçamento na linha tracejada.
Para agrupar os dois gráficos usa-se o comando Show[{grafico1, grafico2}, DisplayFunction →
$DisplayFunction].
A opção DisplayFunction -> $DisplayFunction permite o traçado dos gráficos anetriormente inibidos..
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
In[92]:=
In[93]:=
In[94]:=
3
H∗ Plota o ponto de coordenadas H2,5L e liga com linhas tracejadas ∗L
grafico1 = ListPlot@882, 5<<,
PlotRange → 88−2, 4<, 8−2, 6<<, PlotStyle −> [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD;
H∗ Traça a linha tracejada pelos pontos H2,0L, H2,5L e H0,5L ∗L
grafico2 = ListPlot@882, 0<, 82, 5<, 80, 5<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<,
DisplayFunction → IdentityD;
Show@8grafico1, grafico2< ,
DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
6
5
4
3
2
1
-2
-1
1
-1
-2
2
3
4
Note que as escalas horizontal e vertical são diferentes.
A opção AspectRatio → Automatic traçar os dois eixos cartesianos na mesma escala.
In[95]:=
Show@8grafico1, grafico2< , AspectRatio → Automatic,
DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
6
5
4
3
2
1
-2
-1
1
-1
-2
2
3
4
4
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
Vamos desenhar, agora, a Figura 2.2 da página 17 do GA1.
Primeiro, vomos construir a lista dos pontos (2, 5), (5, 2), (-4, 3), (-3, 3), (3, -4).
In[96]:=
H∗ Lista dos pontos H2, 5L, H5, 2L, H−4, 3L, H−3, 3L, H3, −4L
pontos = 882, 5<, 85, 2<, 8−4, 3<, 8−3, −3<, 83, −4<<;
∗L
Para facilitar o traçado dos pontos vamos usar o seguinte procedimento que liga os pontos aos eixos Ox e Oy por uma linha
tracejada.
In[106]:=
In[107]:=
H∗ Liga os pontos aos eixos Ox e Oy por uma linha tracejada ∗L
linhaTracejada@n_D := ListPlot@
88pontos@@n, 1DD, 0<, pontos@@nDD, 80, pontos@@n, 2DD<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<,
DisplayFunction → IdentityD;
H∗ Desenha a Figura 2.2 GA1 ∗L
Show@ListPlot@pontos, PlotRange → 88−6, 6<, 8−6, 6<<,
PlotStyle −> [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD,
linhaTracejada@1D,
linhaTracejada@2D,
linhaTracejada@3D,
linhaTracejada@4D,
linhaTracejada@5D,
AspectRatio −> Automatic,
DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
6
4
2
-6
-4
-2
2
4
6
-2
-4
-6
Exercícios
1. Marque, num plano cartesiano, os pontos (3, -2), (-1, 2), (0, 3), (-5/2, -4), (3/2, 0), (2, 5/3).
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
In[108]:=
In[114]:=
5
H∗ Lista dos pontos H3, −2L, H−1, 2L,
H0, 3L, H−5ê2, −4L, H3ê2, 0L, H2, 5ê3L ∗L
pontos = 883, −2<, 8−1, 2<, 80, 3<, 8−5 ê 2, −4<, 83 ê 2, 0<, 82, 5 ê 3<<;
H∗ Marca os pontos dados no Exercício 1 ∗L
Show@ListPlot@pontos, PlotRange → 88−4, 4<, 8−6, 4<<,
PlotStyle −> [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD,
linhaTracejada@1D,
linhaTracejada@2D,
linhaTracejada@3D,
linhaTracejada@4D,
linhaTracejada@5D,
linhaTracejada@6D,
AspectRatio −> Automatic,
DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
4
2
-4 -3 -2 -1
1
2
3
4
-2
-4
-6
2. Marque, num plano cartesiano, todos os pontos (x, y), com x = 2.
6
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
In[120]:=
H∗ Marca os pontos dados no Exercício 2 ∗L
ListPlot@882, −6<, 82, 6<<,
PlotRange → 88−6, 6<, 8−6, 6<<, PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0D<,
PlotJoined → True, AspectRatio −> AutomaticD;
6
4
2
-6
-4
-2
2
4
6
-2
-4
-6
Os pontos formam uma reta paralela ao eixo Oy, que corta Ox no ponto x = 2.
A opção PlotStyle -> {RGBColor[r,b,g]} especifica a cor do gráfico de acordo com o valor numérico
(entre 0 e 1) dos parâmetros
r (red), g (green) e b (blue).
3. Marque, num plano cartesiano, todos os pontos (x, y), com y = 3/2.
In[181]:=
H∗ Marca os pontos dados no Exercício 3 ∗L
ListPlot@88−6, 3 ê 2<, 86, 3 ê 2<<,
PlotRange → 88−6, 6<, 8−6, 6<<, PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0D<,
PlotJoined −> True, AspectRatio −> AutomaticD;
6
4
2
-6
-4
-2
2
4
6
-2
-4
-6
Os pontos formam uma reta paralela ao eixo Oy, que corta Ox no ponto y = 3/2. O mesmo gráfico pode ser traçado com o
seguinte comando.
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
7
Plot[f, {x, xmin, xmax}, options] gera um gráfico de f como função de x, de xmin a xmax.
Plot[{f1, f2, ...}, {x, xmin, xmax}, options] plota várias funções fi.
In[185]:=
H∗ Marca os pontos dados no Exercício 3 ∗L
Plot@3 ê 2, 8x, −6, 6<,
PlotRange → 88−6, 6<, 8−6, 6<<, PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0D<,
AspectRatio −> AutomaticD;
6
4
2
-6
-4
-2
2
4
6
-2
-4
-6
4. Marque, num plano cartesiano, todos os pontos (x, y), com x = -1.
In[124]:=
H∗ Marca os pontos dados no Exercício 3 ∗L
ListPlot@88−1, −6<, 8−1, 6<<,
PlotRange → 88−6, 6<, 8−6, 6<<, PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0D<,
PlotJoined → True, AspectRatio −> AutomaticD;
6
4
2
-6
-4
-2
2
4
6
-2
-4
-6
Os pontos formam uma reta paralela ao eixo Oy, que corta Ox no ponto x = -1.
5. Marque, num plano cartesiano, todos os pontos (x, y), com y = -1,3.
8
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
In[172]:=
H∗ Marca os pontos dados no Exercício 5 ∗L
Plot@−1.3, 8x, −6, 6<,
PlotRange → 88−6, 6<, 8−6, 6<<, PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0D<D;
6
4
2
-6
-4
-2
2
4
6
-2
-4
-6
Os pontos formam uma reta paralela ao eixo Ox, que corta Oy no ponto y = -1,3.
6. Marque, num plano cartesiano, todos os pontos (x, y), com y = x.
In[175]:=
H∗ Marca os pontos dados no Exercício 6 ∗L
Plot@x, 8x, −6, 6<,
PlotRange → 88−6, 6<, 8−6, 6<<, PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0D<D;
6
4
2
-6
-4
-2
2
4
6
-2
-4
-6
Os pontos formam uma reta bissetriz do 10 e 30 quadrantes.
7. Marque, num plano cartesiano, todos os pontos (x, y), com y = -x.
In[177]:=
H∗ Marca os pontos dados no Exercício 7 ∗L
Plot@−x, 8x, −6, 6<,
PlotRange → 88−6, 6<, 8−6, 6<<, PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0D<D;
6
4
2
-6
-4
-2
2
-2
-4
-6
4
6
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
9
Os pontos formam uma reta bissetriz do 20 e 40 quadrantes.
8. Marque, num plano cartesiano, todos os pontos (x, y), com y = 2x.
In[179]:=
H∗ Marca os pontos dados no Exercício 8 ∗L
Plot@2 x, 8x, −6, 6<, PlotRange → 88−6, 6<, 8−6, 6<<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, AspectRatio → AutomaticD;
6
4
2
-6
-4
-2
2
4
6
-2
-4
-6
Os pontos formam uma reta com uma inclinação de q = ArcTan(2) = 63.430 .
9. Marque, num plano cartesiano, todos os pontos (x, y), com y = x/2.
In[186]:=
H∗ Marca os pontos dados no Exercício 9 ∗L
Plot@x ê 2, 8x, −6, 6<, PlotRange → 88−6, 6<, 8−6, 6<<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, AspectRatio → AutomaticD;
6
4
2
-6
-4
-2
2
4
6
-2
-4
-6
Os pontos formam uma reta com uma inclinação de q = ArcTan(1/2) = 26.570
10. Marque, num plano cartesiano, todos os pontos (x, y), com y = 2x/3.
10
In[189]:=
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
H∗ Marca os pontos dados no Exercício 10 ∗L
Plot@2 x ê 3, 8x, −6, 6<, PlotRange → 88−6, 6<, 8−6, 6<<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D< , AspectRatio → AutomaticD;
6
4
2
-6
-4
-2
2
4
6
-2
-4
-6
Os pontos formam uma reta com uma inclinação de q = ArcTan(2/3) = 33.690
11. Marque, num plano cartesiano, todos os pontos (x, y), com 3x - 2y = 0.
In[190]:=
H∗ Marca os pontos dados no Exercício 11 ∗L
Plot@3 x ê 2, 8x, −6, 6<, PlotRange → 88−6, 6<, 8−6, 6<<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D< , AspectRatio → AutomaticD;
6
4
2
-6
-4
-2
2
4
6
-2
-4
-6
Os pontos formam uma reta com uma inclinação de q = ArcTan(3/2) = 56.310
Note que para se traçar o gráfico da reta, a equação 3x - 2y = 0 foi explicitada na forma y = 2/3x. Será que é possível
traçar o mesmo gráfico sem ter que esplicitar a equação? Em outras palavras, usar a forma implicita 3x - 2y = 0 diretamente? Sim, é possível. Para isso vamos usar os seguinte comando.
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
11
ImplictPlot[eq == h, {x, xmin, xmax}, options] gera o gráfico da equação eq == h, com x
variando de xmin a xmax.
Antes de usar ImplictPlot é prciso ativar o pacote Add - On "Graphics`ImplicitPlot`".
Para se usar este comando é preciso, primeiro, ativar o Pacote Add-on Graphics`ImplictPlot`. Portanto,
In[10]:=
H∗ Ativa o pacote Add−on: Graphics`ImplicitPlot` ∗L
<< Graphics`ImplicitPlot`
Agora, vamos traçar o gráfico de 3x - 2y = 0 implicitamemnte.
In[18]:=
ImplicitPlot@3 x − 2 y 0, 8x, −6, 6<,
PlotRange → 88−6, 6<, 8−6, 6<<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D< D;
6
4
2
-6
-4
-2
2
4
6
-2
-4
-6
No Mathematica o sinal de igualdade ( = ) é representado pelo símbolo "==". Por outro lado, o símbolo "=" representa
a substituição do lado esquerdo pelo lado direito de uma expressão.
12. Marque, num plano cartesiano, todos os pontos (x, y), com x2 + y2 = 0.
12
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
In[12]:=
H∗ Marca os pontos dados no Exercício 12 ∗L
ImplicitPlot@x ^ 2 + y ^ 2
1, 8x, −1, 1<,
PlotRange → 88−2, 2<, 8−2, 2<<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D< D;
2
1.5
1
0.5
-2 -1.5 -1 -0.5
-0.5
0.5
1
1.5
2
-1
-1.5
-2
12. Marque, num plano cartesiano, todos os pontos (x, y), com x2 + y2 = 9.
In[204]:=
H∗ Marca os pontos dados no Exercício 12 ∗L
ImplicitPlot@x ^ 2 + y ^ 2
9, 8x, −3, 3<,
PlotRange → 88−4, 4<, 8−4, 4<<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D< D;
4
3
2
1
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
12. Marque, num plano cartesiano, todos os pontos (x, y), com 9x2 + y2 = 9.
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
In[206]:=
13
H∗ Marca os pontos dados no Exercício 12 ∗L
ImplicitPlot@9 x ^ 2 + y ^ 2
9, 8x, −9, 9<,
PlotRange → 88−4, 4<, 8−4, 4<<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D< D;
4
3
2
1
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
2.2 Equação da reta
Por definição o número
y -y
Dy
1
ÅÅÅÅÅ0ÅÅÅ = ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
m = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
x1 - x0
Dx
é chamado declive, declividade, ou coeficiente angular da reta mostrada na Figura abaixo.
O declive de uma reta é a tangente trigonométrica do ângulo a que a reta faz com o eixo Ox. O declive só é definido
para retas não verticais.
14
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
In[109]:=
Show@Plot@2 ê 3 x − 1 ê 2, 8x, −2, 6<, PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0D<,
Epilog → 8Text@"x0 ", 82.2, .4<D, Text@"∆x", 83.3, .6<D,
Text@"x1 ", 84.4, .4<D, Text@"y0 ", 8.4, 1<D, Text@"∆y", 84.9, 1.5<D,
Text@"y1 ", 8.4, 2.3<D, Text@"α", 81.5, 0.2<D<,
DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@882, 5 ê 6<, 89 ê 2, 5 ê 6<, 89 ê 2, 5 ê 2<<, PlotJoined −> True,
PlotStyle → [email protected]<D<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
3
2
y1
∆y
1 y0
α
-2
x0
2
∆x
x1
4
6
-1
EXEMPLO 1. (AG1, pág. 20) Determinar o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos P0 = (-1, 2) e P1 =
(3, 5).
In[62]:=
Out[63]=
H∗ Solução do Exemplo 1 ∗L
88x0, y0<, 8x1, y1<< = 88−1, 2<, 83, 5<<;
m = Hy1 − y0L ê Hx1 − x0L
3
4
Equação da reta
O coeficienta angular
y1 - y0
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
m = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
x1 - x0
pode ser reescrito assim
y1 - y0 = m (x1 - x0 )
Esta é a equação da reta de coeficiente angular m, que passa pelo ponto (x0 , y0 ). Pondo n = y0 - m x0 . essa equação
pode ainda ser escrita na forma seguinte:
y = m x + n.
O número n que aí aparece chama-se coeficiente linear da reta r. Se fizermos x = x0 nesta equação resulta y = n, de
sorte que o coeficiente linear é a ordenada do ponto onde a reta corta o eixo Oy.
EXEMPLO 2. (AG1, pág. 21) Determinar a equação da reta que passa pelos pontos P0 = (2, -1) e P1 = (-2, 4).
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
In[16]:=
Out[17]=
15
H∗ Solução do Exemplo 2 ∗L
88x0, y0<, 8x1, y1<< = 882, −1<, 8−2, 4<<;
Hy1 − y0L ê Hx1 − x0L Hx − x0L + y0 êê Expand
3
5x
−
2
4
A equação da reta é y = - 5/4 x + 3/2.
Expand[expr] expande produtos e potências de expr.
EXEMPLO 3. (AG1, pág. 21) Construir o gráfico da equação y = 2/3 x - 1.
In[22]:=
H∗ Solução do Exemplo 3 ∗L
Plot@2 ê 3 x − 1, 8x, −2, 6<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, AspectRatio → AutomaticD;
3
2
1
-2
2
4
6
-1
-2
EXEMPLO 4. (AG1, pág. 21) Construir o gráfico da equação y = -5/3 x - 4.
In[24]:=
H∗ Solução do Exemplo 4 ∗L
Plot@−5 ê 3 x − 4, 8x, −4, 4<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, AspectRatio → AutomaticD;
2
-4
-2
2
-2
-4
-6
-8
-10
4
16
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
Equação geral da reta
Toda reta tem equação do tipo
ax + by + c =0
onde a, b e c são parâmetros que depende da reta particular considerada; e reciprocamente, toda equação desse tipo tem
por gráfico uma reta.
EXEMPLO 5. (AG1, pág. 22) Determinar o ponto de interseção das retas x - 2y + 4 = 0 e x + y - 5 = 0
In[41]:=
Out[41]=
H∗ Solução do Exemplo 4 ∗L
Solve@8x − 2 y + 4 0, x + y − 5
88x → 2, y → 3<<
0<, 8x, y<D
O ponto de interseção das duas retas é (2, 3).
Solve[eqns, vars] resolve uma equação ou um sistema de equações com respeito às variáveis vars.
A regra de transformação "x → a" significa que x toma o valor a.
In[33]:=
H∗ Gráficos das retas do Exemplo 5 ∗L
Show@Plot@8x ê 2 + 2, 5 − x<, 8x, −2, 6<, PlotStyle −>
8RGBColor@1, 0, 0D, RGBColor@0, 0, 1D<, AspectRatio → Automatic,
DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@882, 3<<, PlotStyle −> [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@882, 0<, 82, 3<, 80, 3<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<,
DisplayFunction → IdentityD,
DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
6
4
2
-2
2
4
Reta na forma segmentária
6
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
17
A equação da reta pelos pontoa (a, 0) e (0,b) , onde a e b são diferentes de zero, pode ser escrita assim:
ÅÅÅÅax + ÅÅÅÅby = 1,
a qual é chamada forma segmentária.
In[43]:=
In[58]:=
H∗ Ativa o pacote Add−on: Graphics`ImplicitPlot` ∗L
<< Graphics`ImplicitPlot`
H∗ Gráficos da reta na forma segmentária ∗L
8a, b< = 82, 3<;
ImplicitPlot@x ê a + y ê b
1, 8x, −1, 3<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<,
Epilog → 8Text@"Ha, 0L", 82.6, .4<D, Text@"H0, bL", 8.7, 3.3<D<D;
4
3
H0, bL
2
1
Ha, 0L
-1
1
2
3
-1
Retas paralelas
Retas paralelas são aquelas que têm o mesmo declive, ou são verticais. Assim, dada uma reta pela equação y = m x + n,
as retas paralelas têm equações
y = m x + n',
onde cada n' corresponde a uma determinada reta.
EXEMPLO 6. (AG1, pág. 23) Determinar a equação da reta que passa pelo ponto (2,
7 y - 21 = 0.
è!!!!!!
13 ), paralela à reta 12 x +
O declive da reta é -12/7. Podemos escrever a equação reta paralela assim: (y - y0) = -12/7 (x - x0). Portanto,
In[64]:=
Out[65]=
H∗ Solução do Exemplo 6 ∗L
8x0, y0< = 82, Sqrt@13D<;
Hy − y0L == −12 ê 7 Hx − x0L êê Expand
è!!!!!!
− 13 + y
−
12
H−2 + xL
7
18
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
è!!!!!!
A equação da reta paralela é 12 x + 7 y - (7 13 + 24) = 0.
In[77]:=
H∗ Gráficos da reta na forma segmentária ∗L
Show@ImplicitPlot@812 x + 7 y − 21
0, 12 x + 7 y − H7 Sqrt@13D + 24L
8x, −1, 5<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D, RGBColor@0, 0, 1D<,
DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@882, Sqrt@13D<<, PlotStyle −> [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
0<,
8
6
4
2
-1
1 2 3 4 5
-2
-4
EXEMPLO 7. (AG1, pág. 24) Determinar o parâmetro m para que as retas mx + 5 y + 6 = 0 e 4 x + (m + 1) y - 5
= 0 sejam paralelas.
A condição para que isto aconteça é que as retas tenham o mesmo declive, isto é m/5 = 4/(m + 1), donde m2 + m - 20 =
0. Resolvendo esta equação,
In[82]:=
Out[82]=
H∗ Solução do Exemplo 6 ∗L
Solve@m ^ 2 + m − 20
0, 8m<D
88m → −5<, 8m → 4<<
Estes dois valores de m correspodem aos pares de retas
4x+5y+6=0 e 4x+5y-5=0
(1) e (2)
5 x - 5 y - 6 = 0 e 4 x - 4 y - 5 = 0,
(3) e (4)
e
que estão ilustradas abaixo.
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
In[94]:=
19
H∗ Gráficos da retas paralelas 4 x + 5 y + 6 = 0 e 4 x + 5 y − 5 = 0 ∗L
Plot@8−4 ê 5 x − 6 ê 5, −4 ê 5 x + 1<, 8x, −4, 6<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D, RGBColor@0, 0, 1D<,
Epilog → 8Text@"H1L", 85, −4.5<D, Text@"H2L", 85, −2.2<D<,
AspectRatio → AutomaticD;
4
2
-4
-2
2
4
-2
H2L
6
H1L
-4
-6
In[100]:=
H∗ Gráficos da retas paralelas 5 x − 5 y − 6 = 0 e 4 x − 4 y − 5 = 0 ∗L
Plot@8x − 6 ê 5, x + 5 ê 4<, 8x, −4, 6<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D, RGBColor@0, 0, 1D<,
Epilog → 8Text@"H3L", 84, 3.8<D, Text@"H4L", 84, 6.3<D<,
AspectRatio → AutomaticD;
6
H4L
4
H3L
2
-4
-2
2
4
6
-2
-4
Exercícios
Nos Exercícios 1 a 8, calcule os declives das retas pelos pares de pontos dados e faça os respectivos gráficos.
1. (-2, 0) e (0, 2).
20
In[116]:=
Out[117]=
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
H∗ Solução do Exercício 1 ∗L
88x0, y0<, 8x1, y1<< = 88−2, 0<, 80, 2<<;
m = Hy1 − y0L ê Hx1 − x0L
1
2. (3, 1) e (1, 2).
In[118]:=
Out[119]=
H∗ Solução do Exercício 2 ∗L
88x0, y0<, 8x1, y1<< = 883, 1<, 81, 2<<;
m = Hy1 − y0L ê Hx1 − x0L
−
1
2
3. (-1, 1) e (-3, 2).
In[120]:=
Out[121]=
H∗ Solução do Exercício 3 ∗L
88x0, y0<, 8x1, y1<< = 88−1, 1<, 8−3, 2<<;
m = Hy1 − y0L ê Hx1 − x0L
−
1
2
4. (-1, -3) e (2, 5).
In[124]:=
Out[125]=
H∗ Solução do Exercício 4 ∗L
88x0, y0<, 8x1, y1<< = 88−1, −3<, 82, 5<<;
m = Hy1 − y0L ê Hx1 − x0L
8
3
5. (-5/2, 1) e (2/3, -7/2).
In[126]:=
Out[127]=
H∗ Solução do Exercício 5 ∗L
88x0, y0<, 8x1, y1<< = 88−5 ê 2, 1<, 82 ê 3, −7 ê 2<<;
m = Hy1 − y0L ê Hx1 − x0L
−
27
19
6. (-4, -7/2) e (3/5, 3).
In[128]:=
Out[129]=
H∗ Solução do Exercício 6 ∗L
88x0, y0<, 8x1, y1<< = 88−4, −7 ê 2<, 83 ê 5, 3<<;
m = Hy1 − y0L ê Hx1 − x0L
65
46
7. (1/2, -2/3) e (-2/3, 5/2).
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
In[130]:=
Out[131]=
H∗ Solução do Exercício 7 ∗L
88x0, y0<, 8x1, y1<< = 881 ê 2, −2 ê 3<, 8−2 ê 3, 5 ê 2<<;
m = Hy1 − y0L ê Hx1 − x0L
−
19
7
8. (3/5, -2/3) e (-1/3, 3/2).
In[132]:=
Out[133]=
H∗ Solução do Exercício 8 ∗L
88x0, y0<, 8x1, y1<< = 883 ê 5, −2 ê 3<, 8−1 ê 3, 3 ê 2<<;
m = Hy1 − y0L ê Hx1 − x0L
−
65
28
Nos Exercícios 9 a 17, construa os gráficos das retas de equações dadas. .
9. y = 2 x - 1.
In[142]:=
H∗ H∗ Gráfico da reta do Exercício 9 ∗L ∗L
Plot@2 x − 1, 8x, −2, 4<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, AspectRatio −> AutomaticD;
6
4
2
-2 -1
-2
-4
10. y = -x + 3.
1 2 3 4
21
22
In[144]:=
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
H∗ H∗ Gráfico da reta do Exercício 10 ∗L ∗L
Plot@−x + 3, 8x, −2, 4<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, AspectRatio −> AutomaticD;
5
4
3
2
1
-2 -1
-1
1
2
3
4
11. y = 3/2 x - 2.
In[145]:=
H∗ Gráfico da reta do Exercício 11 ∗L
Plot@3 ê 2 x − 2, 8x, −2, 4<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, AspectRatio −> AutomaticD;
4
2
-2 -1
1 2 3 4
-2
-4
12. y = -7/5 x - 4.
In[147]:=
H∗ Gráfico da reta do Exercício 12 ∗L
Plot@−7 ê 5 x − 4, 8x, −4, 4<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, AspectRatio −> AutomaticD;
-4
-2
2
-2
-4
-6
-8
4
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
23
13. y = 3/5 x + 1.
In[142]:=
H∗ Gráfico da reta do Exercício 13 ∗L
Plot@3 ê 5 x + 1, 8x, −2, 4<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, AspectRatio −> AutomaticD;
6
4
2
-2 -1
1 2 3 4
-2
-4
14. 5 x - 4 y = 0.
In[148]:=
H∗ Gráfico da reta do Exercício 14 ∗L
Plot@5 ê 4 x , 8x, −2, 4<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, AspectRatio −> AutomaticD;
5
4
3
2
1
-2 -1
-1
-2
15. 3 x - 4 y + 6 = 0.
1
2
3
4
24
In[152]:=
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
H∗ Gráfico da reta do Exercício 15 ∗L
Plot@3 ê 4 x + 3 ê 2, 8x, −4, 4<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, AspectRatio −> AutomaticD;
4
3
2
1
-4
-2
2
4
-1
16. 5 x + 6 y + 12 = 0.
In[155]:=
H∗ Gráfico da reta do Exercício 16 ∗L
Plot@−5 ê 6 x − 2, 8x, −6, 4<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, AspectRatio −> AutomaticD;
2
-6
-4
-2
2
4
-2
-4
17. 6 x + 4 y - 8 = 0.
In[156]:=
H∗ Gráfico da reta do Exercício 17 ∗L
Plot@−3 ê 2 x + 2, 8x, −2, 4<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, AspectRatio −> AutomaticD;
4
2
-2 -1
1
2
3
4
-2
-4
Nos Exercícios 18 a 27, determine as equações das retas que passam pelos pontos dados e faça os respectivos gráficos.
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
25
18. (0, 0) e (1, 2).
In[157]:=
Out[158]=
H∗ Solução do Exercício 18 ∗L
88x0, y0<, 8x1, y1<< = 880, 0<, 81, 2<<;
Hy1 − y0L ê Hx1 − x0L Hx − x0L + y0 êê Expand
2x
A equação da reta é y = 2 x.
In[160]:=
H∗ Gráfico da reta do Exercício 18 ∗L
Plot@2 x , 8x, −2, 2<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, AspectRatio −> AutomaticD;
4
2
-2
-1
1
2
-2
-4
19. (1, 1) e (2, 3).
In[161]:=
Out[162]=
H∗ Solução do Exercício 19 ∗L
88x0, y0<, 8x1, y1<< = 881, 1<, 82, 3<<;
Hy1 − y0L ê Hx1 − x0L Hx − x0L + y0 êê Expand
−1 + 2 x
A equação da reta é y = 2 x - 1.
26
In[163]:=
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
H∗ Gráfico da reta do Exercício 19 ∗L
Plot@2 x − 1 , 8x, −2, 2<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, AspectRatio −> AutomaticD;
2
-2
-1
1
2
-2
-4
20. (-1, 2) e (2, -1).
In[164]:=
Out[165]=
H∗ Solução do Exercício 20 ∗L
88x0, y0<, 8x1, y1<< = 88−1, 2<, 82, −1<<;
Hy1 − y0L ê Hx1 − x0L Hx − x0L + y0 êê Expand
1−x
A equação da reta é y = - x + 1.
In[166]:=
H∗ Gráfico da reta do Exercício 20 ∗L
Plot@−x + 1 , 8x, −2, 2<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, AspectRatio −> AutomaticD;
3
2
1
-2
-1
1
-1
21. (1/2, -3) e (-4, 2).
2
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
In[167]:=
Out[168]=
27
H∗ Solução do Exercício 21 ∗L
88x0, y0<, 8x1, y1<< = 881 ê 2, −3<, 8−4, 2<<;
Hy1 − y0L ê Hx1 − x0L Hx − x0L + y0 êê Expand
−
22
10 x
−
9
9
A equação da reta é 10 x + 9 y + 22 = 0 .
In[170]:=
H∗ Gráfico da reta do Exercício 21 ∗L
Plot@−10 ê 9 x − 22 ê 9 , 8x, −4, 2<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, AspectRatio −> AutomaticD;
2
1
-4 -3 -2 -1
-1
1
2
-2
-3
-4
22. (3, 5/2) e (3, 1).
A equação da reta é x = 3.
In[177]:=
H∗ Gráfico da reta do Exercício 22 ∗L
ListPlot@883, −1<, 83, 4<< , PlotRange → 88−1, 4<, 8−1, 4<<,
PlotJoined → True, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<D;
4
3
2
1
-1
1
2
3
4
-1
23. (-2, 1) e (3, 1).
In[178]:=
Out[179]=
H∗ Solução do Exercício 23 ∗L
88x0, y0<, 8x1, y1<< = 88−2, 1<, 83, 1<<;
Hy1 − y0L ê Hx1 − x0L Hx − x0L + y0 êê Expand
1
A equação da reta é y = 1.
28
In[181]:=
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
H∗ Gráfico da reta do Exercício 23 ∗L
Plot@1 , 8x, −4, 4<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<D;
2
1.5
1
0.5
-4
-2
2
4
24. (2, 1) e (2, -2).
A equação da reta é x = 2.
In[182]:=
H∗ Gráfico da reta do Exercício 24 ∗L
ListPlot@882, −1<, 82, 4<< , PlotRange → 88−1, 4<, 8−1, 4<<,
PlotJoined → True, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<D;
4
3
2
1
-1
1
2
3
4
-1
25. (3/2, 1/3) e (-7/8, 1/3).
In[183]:=
Out[184]=
H∗ Solução do Exercício 25 ∗L
88x0, y0<, 8x1, y1<< = 883 ê 2, 1 ê 3<, 8−7 ê 8, 1 ê 3<<;
Hy1 − y0L ê Hx1 − x0L Hx − x0L + y0 êê Expand
1
3
A equação da reta é y = 1/3.
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
In[185]:=
29
H∗ Gráfico da reta do Exercício 25 ∗L
Plot@1 ê 3 , 8x, −4, 4<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<D;
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
-4
-2
2
4
26. (-5/3, 2) e (-5/3, 5).
A equação da reta é x = -5/3.
In[195]:=
H∗ Gráfico da reta do Exercício 26 ∗L
ListPlot@88−5 ê 3, −1<, 8−5 ê 3, 4<< ,
PlotRange → 88−4, 1<, 8−1, 4<<, PlotJoined → True,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, AspectRatio → AutomaticD;
4
3
2
1
-4
-3
-2
-1
1
-1
27. (5, -1) e (-2, -3).
In[196]:=
Out[197]=
H∗ Solução do Exercício 27 ∗L
88x0, y0<, 8x1, y1<< = 885, −1<, 8−2, −3<<;
Hy1 − y0L ê Hx1 − x0L Hx − x0L + y0 êê Expand
−
17
2x
+
7
7
A equação da reta é 2 x - 7 y - 17 = 0.
30
In[198]:=
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
H∗ Gráfico da reta do Exercício 27 ∗L
Plot@ 2 ê 7 x − 17 ê 7, 8x, −4, 4<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<D;
-1.5
-2
-2.5
-4
-2
2
4
-3.5
Em cada um dos Exercícios 28 a 31, determine o ponto de interseção das retas dadas.
28. y = 3 x - 2 e y = -x + 1.
In[199]:=
Out[199]=
H∗ Solução do Exercício 28 ∗L
Solve@83 x − y − 4 0, x + y − 1 0<, 8x, y<D
99x →
5
1
, y → − ==
4
4
O ponto de interseção das duas retas é (5/4, -1/4).
29. x - 3 y = 2 e 2 x - y = 1.
In[200]:=
Out[200]=
H∗ Solução do Exercício 29 ∗L
Solve@8x − 3 y == 2, 2 x − y
1<, 8x, y<D
99x →
1
3
, y → − ==
5
5
O ponto de interseção das duas retas é (1/5, -3/5).
30. 1 - x - y = 0 e x = 2 y -3.
In[201]:=
Out[201]=
H∗ Solução do Exercício 30 ∗L
Solve@8x + y 1, x − 2 y
−3<, 8x, y<D
99x → −
1
4
,y→
==
3
3
O ponto de interseção das duas retas é (-1/3, 4/3).
31. 2 x - 3 y - 1 = 0 e 3 x + 2 y - 2 = 0.
In[202]:=
Out[202]=
H∗ Solução do Exercício 29
Solve@82 x − 3 y 1, 3 x + 2 y
99x →
8
1
,y→
==
13
13
∗L
2<, 8x, y<D
O ponto de interseção das duas retas é (8/13, 1/13).
Em cada um dos Exercícios 32 a 39, coloque a equação dada em forma segmentária e determine as interseções da reta
correspondente com os eixos. Faça os gráficos.
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
31
32. 2 x + 3 y = 6.
Dividindo os dois lados da equação por 6, resulta ÅÅÅÅ3x + ÅÅÅÅ2y = 1. Os pontos de interseção são (3, 0) e (0, 2).
In[206]:=
H∗ Gráfico da reta do Exercício 32 ∗L
Plot@ −2 ê 3 x + 2, 8x, −1, 4<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<D;
2.5
2
1.5
1
0.5
-1
1
2
3
4
-0.5
33. 3 x - 5 y - 15 = 0.
Somando 15 aos dois lados da equação e em seguida dividindo os dois lados por 15, resulta ÅÅÅÅ5x - ÅÅÅÅ3y = 1. Os pontos de
interseção são (5, 0) e (0, -3).
In[214]:=
H∗ Gráfico da reta do Exercício 33 ∗L
Plot@ 3 ê 5 x − 3, 8x, −1, 6<,
PlotRange → 8−4, 1<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<D;
1
-1
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
-4
34. 2 y - 7 x + 14 = 0.
Subtraindo 14 dos dois lados da equação e em seguida dividindo os dois lados por 14, resulta ÅÅÅÅ2x - ÅÅÅÅ7y = 1. Os pontos de
interseção são (2, 0) e (0, -7).
In[216]:=
H∗ Gráfico da reta do Exercício 34 ∗L
Plot@ 7 ê 2 x − 7, 8x, −1, 3<,
PlotRange → 8−8, 1<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<D;
-1
1
-2
-4
-6
-8
2
3
32
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
35. y - x - 2 = 0.
Somando 2 aos dois lados da equação e em seguida dividindo os dois lados por 2, resulta - ÅÅÅÅ2x + ÅÅÅÅ2y = 1. Os pontos de
interseção são (-2, 0) e (0, 2).
In[218]:=
H∗ Gráfico da reta do Exercício 35 ∗L
Plot@ x + 2, 8x, −3, 1<,
PlotRange → 8−1, 3<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<D;
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-3
-2
-1
-0.5
-1
1
36. 2 x - 3 y + 4 = 0.
y
ÅÅÅÅÅ = 1. Os pontos de
Subtraindo 4 dos dois lados da equação e em seguida dividindo os dois lados por 4, resulta - ÅÅÅÅ2x + ÅÅÅÅ
4ê3
interseção são (-2, 0) e (0, 4/3).
In[221]:=
H∗ Gráfico da reta do Exercício 36 ∗L
Plot@ 2 ê 3 x + 4 ê 3, 8x, −3, 1<,
PlotRange → 8−1, 2<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<D;
2
1.5
1
0.5
-3
-2
-1
1
-0.5
-1
37. x + 2 y - 5 = 0.
y
ÅÅÅÅÅ = 1. Os pontos de
Somando 5 aos dois lados da equação e em seguida dividindo os dois lados por 5, resulta ÅÅÅÅ5x + ÅÅÅÅ
5ê2
interseção são (5, 0) e (0, 5/2).
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
In[222]:=
33
H∗ Gráfico da reta do Exercício 37 ∗L
Plot@ −1 ê 2 x + 5 ê 2, 8x, −1, 6<,
PlotRange → 8−1, 3<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<D;
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-1
-0.5
-1
1
2
3
4
5
6
38. y = 3 x - 2.
x
ÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ2y = 1. Os pontos de
Subtraindo 3x dos dois lados da equação e em seguida dividindo os dois lados por -2, resulta ÅÅÅÅ
2ê3
interseção são (2/3, 0) e (0, -2).
In[239]:=
H∗ Gráfico da reta do Exercício 38 ∗L
Plot@ 3 x − 2, 8x, −1 ê 4, 1<,
PlotRange → 8−3, 1 ê 2<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<D;
0.5
-0.2
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
0.2 0.4 0.6 0.8
1
39. 3 x + 2 y - 5 = 0.
y
x
ÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ = 1. Os pontos de
Somando 5 aos dois lados da equação e em seguida dividindo os dois lados por 5, resulta ÅÅÅÅ
5ê3
5ê2
interseção são (5/3, 0) e (0, 5/2).
In[240]:=
H∗ Gráfico da reta do Exercício 39 ∗L
Plot@ −3 ê 2 x + 5 ê 2, 8x, −1, 3<,
PlotRange → 8−1, 3<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<D;
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-1
-0.5
-1
1
2
3
34
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
40. Dados os pontoa A = (1, 2) e B = (2, 1), determinar a equação da reta que passa pelo ponto C = (-1, -2), paralela ao
segmento AB. Faça o gráfico.
In[9]:=
Out[11]=
H∗ Solução do Exercício 40 ∗L
a = 81, 2<; b = 82, 1<; c = 8−1, −2<;
m = Hb@@2DD − a@@2DDL ê Hb@@1DD − a@@1DDL;
Hy − c@@2DDL == m Hx − c@@1DDL êê Simplify
3+x+y
0
A equação da reta é x + y + 3 = 0.
In[41]:=
H∗ Gráfico da reta do Exercício 40 ∗L
Show@Plot@ −x − 3, 8x, −2, 3<, PlotRange → 8−5, 3<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, Epilog →
8Text@"A", 81.1, 2.5<D, Text@"B", 82.1, 1.5<D, Text@"C", 8−.9, −1.5<D<,
DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@8a, b, c<, PlotStyle −> [email protected]< ,
DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@8a, b<, PlotJoined −> True, PlotStyle −> 8RGBColor@0, 0, 1D<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunctionD ;
3
A
2
B
1
-2
-1
C
1
-1
2
3
-2
-3
-4
-5
41. Dados os pontoa A = (-3/2, 5/2) e B = (2, -3), determinar a equação da reta que passa pelo ponto C = (-2, -1/2), paralela
ao segmento AB. Faça o gráfico.
In[120]:=
Out[122]=
H∗ Determina a equação da reta do Exercício 41
a = 8−3 ê 2, 5 ê 2<; b = 82, −3<; c = 8−2, −1 ê 2<;
m = Hb@@2DD − a@@2DDL ê Hb@@1DD − a@@1DDL;
Hy − c@@2DDL == m Hx − c@@1DDL êê Simplify
51 + 22 x + 14 y
0
A equação da reta é 22 x + 14 y + 51 = 0.
∗L
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
In[58]:=
35
H∗ Gráfico da reta do Exercício 41 ∗L
Show@Plot@ −11 ê 7 x − 51 ê 14, 8x, −3, 3<, PlotRange → 8−8, 4<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, Epilog → 8Text@"A", 8−1.4, 3.2<D,
Text@"B", 82, −2.2<D, Text@"C", 8−2, .5<D<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@8a, b, c<, PlotStyle −> [email protected]< ,
DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@8a, b<, PlotJoined −> True, PlotStyle −> 8RGBColor@0, 0, 1D<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunctionD ;
4
A
2
C
-2
-3
-1
1
2
B
-2
3
-4
-6
-8
42. Determine a equação da reta pelo pontoa A = (5, -4), paralela à reta 3 x + 4 y = 7. Faça o gráfico.
In[83]:=
Out[85]=
H∗ O coeficiente angular da reta 3 x + 4 y = 7 é m = −3ê4
m = −3 ê 4;
a = 85, −4<;
Hy − a@@2DDL == m Hx − a@@1DDL êê Simplify
1+3x+4y
∗L
0
A equação da reta é 3 x + 4 y + 1 = 0.
In[87]:=
H∗ Gráfico da reta do Exercício 42 ∗L
Show@Plot@8−3 ê 4 x + 7 ê 4, −3 ê 4 x − 1 ê 4<,
8x, −1, 6<, PlotStyle −> 8RGBColor@0, 0, 1D, RGBColor@1, 0, 0D<,
Epilog → 8Text@"A", 85, −3.5<D<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@8a<,
PlotStyle −> [email protected]< , DisplayFunction → IdentityD,
DisplayFunction → $DisplayFunctionD ;
2
1
-1
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
5
6
A
43. Determine a equação da reta pelo pontoa A = (-3/2, -4/3), paralela à reta 2 x - 3 y + 10 = 0. Faça o gráfico.
36
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
In[89]:=
Out[91]=
H∗ O coeficiente angular da reta 2 x − 3 y + 10 = 0 é m = 2ê3
m = 2 ê 3;
a = 8−3 ê 2, −4 ê 3<;
Hy − a@@2DDL == m Hx − a@@1DDL êê Simplify
2x
∗L
1+3y
A equação da reta é 2 x - 3 y - 1 = 0.
In[93]:=
H∗ Gráfico da reta do Exercício 43 ∗L
Show@Plot@82 ê 3 x + 10 ê 3, 2 ê 3 x − 1 ê 3<,
8x, −3, 1<, PlotStyle −> 8RGBColor@0, 0, 1D, RGBColor@1, 0, 0D<,
Epilog → 8Text@"A", 8−1.5, −.8<D<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@8a<,
PlotStyle −> [email protected]< , DisplayFunction → IdentityD,
DisplayFunction → $DisplayFunctionD ;
4
3
2
1
-3
-2
A
-1
1
-1
-2
44. Determine m de forma que as retas (m + 1) x + m y + 1 = 0 e m x + (m + 1) y + 1 = 0 sejam paralelas. Faça o
gráfico.
In[95]:=
Out[96]=
H∗ Os coeficientes angulares das retas Hm + 1L x + my + 1 =
0 e mx + Hm +1L y + 1 = 0 são −Hm + 1Lêm e −mêHm + 1L,
respectivamente ∗L
Clear@mD
Solve@Hm + 1L ê m
m ê Hm + 1L, 8m<D
99m → −
1
==
2
O valor de m é -1/2. Portanto, as equações das retas A e B são x - y + 2 = 0 e -x + y + 2 = 0, respectivamente.
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
In[101]:=
37
H∗ Gráfico das retas do Exercício 44 ∗L
Show@Plot@8x + 2, x − 2<, 8x, −2, 2<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D, RGBColor@0, 0, 1D<,
Epilog → 8Text@"A", 80.5, 3<D, Text@"B", 80.5, −1.<D<,
DisplayFunction → IdentityD,
DisplayFunction → $DisplayFunctionD ;
4
A
2
-2
-1
B
1
2
-2
-4
45. Três vértices consecutivos de um paralelogramo são A = (-2, -1), B = (2, 3) e C = (-1, 4). Determine o quarto vértice e
faça o gráfico.
In[210]:=
H∗ Determina as equações das retas
ao longo dos lados AB e CB do paralelograma ∗L
a = 8−2, −1<; b = 82, 3<; c = 8−1, 4<;
m1 = Ha@@2DD − b@@2DDL ê Ha@@1DD − b@@1DDL;
m2 = Hc@@2DD − b@@2DDL ê Hc@@1DD − b@@1DDL;
Hy − b@@2DDL == m1 Hx − b@@1DDL êê Simplify
Hy − b@@2DDL == m2 Hx − b@@1DDL êê Simplify
Out[213]=
1+x
Out[214]=
x+3y
In[215]:=
y
11
H∗ Determina as equações das retas ao longo dos lados CD e AD,
paralelos aos lados AB e CB do paralelograma ∗L
n1 = 1; n2 = −1 ê 3;
Hy − c@@2DDL == n1 Hx − c@@1DDL êê Simplify
Hy − a@@2DDL == n2 Hx − a@@1DDL êê Simplify
Out[216]=
5+x
Out[217]=
5+x+3y
In[218]:=
Out[218]=
y
0
H∗ Determina o ponto de inteseção dos lados CD e AD do paralelograma∗L
Solve@8x − y
−5, x + 3 y
−5<, 8x, y<D
88x → −5, y → 0<<
O quarto vértice do paralelograma é D = (-5, 0).
38
In[223]:=
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
H∗ Gráfico do paralelograma de vértice A, B, C e D ∗L
d = 8−5, 0<;
Show@ListPlot@8a, b, c, d, a<, PlotRange → 85, −2<, PlotJoined −> True,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, Epilog → 8Text@"A", 8−2, −1.4<D,
Text@"B", 82, 3.3<D, Text@"C", 8−1, 4.3<D, Text@"D", 8−5, 0.3<D<,
DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@8a, b, c, d<, PlotStyle −> [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD,
DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
5
C
4
B
3
2
1
D
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
-1
A
-2
47. Escreva a equação da reta pelo ponto (7, -3), paralela à reta A 3 x - 8 y + 10 = 0.
In[201]:=
Out[202]=
H∗ Solução do Exercício 47 ∗L
8x0, y0< = 87, −3<; a = 3; b = −8;
a Hx − x0L + b Hy − y0L == 0 êê Simplify
3x
45 + 8 y
A equação da reta B é 3 x - 8 y - 45 = 0.
In[207]:=
H∗ Gráfico das retas A e B do Exercício 47 ∗L
Show@Plot@83 ê 8 x + 5 ê 4, 3 ê 8 x − 45 ê 8<,
8x, −2, 2<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D, RGBColor@0, 0, 1D<,
Epilog → 8Text@"A", 81, 2<D, Text@"B", 81, −4.8<D<,
DisplayFunction → IdentityD,
DisplayFunction → $DisplayFunctionD ;
2
-2
-1
A
1
-2
-4
B
-6
2
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
39
2.3 Distância e perpendicularismo
A distância entre dois pontos A = (x1 , y1 ) e B = (x2 , y2 ) é dada por
"################################
###################
AB = Hx1 - y1 L2 + Hx2 - y2 L2 .
EXEMPLO 1. (AG1, pág. 27) Calcular a distância entre os pontos A = (2, -4) e B = (-5, -1).
In[238]:=
Out[239]=
In[247]:=
H∗ Solução do Exemplo 1 ∗L
88x1, y1<, 8x2, y2<< = 882, −4<, 8−5, −1<<;
Sqrt@Hx1 − x2L ^ 2 + Hy1 − y2L ^ 2D
è!!!!!!
58
Show@ListPlot@88x1, y1<, 8x2, y2<<, PlotRange → 8−5, 1<, PlotJoined → True,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<,
Epilog → 8Text@"A", 82, −4.5<D, Text@"B", 8−5, −1.5<D<,
DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@88x1, y1<, 8x2, y2<<, PlotStyle −> [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunction D;
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
-1
B
-2
-3
-4
A
-5
EXEMPLO 2. (AG1, pág. 27) Calcular a distância entre os pontos A = (3/2, -3) e B = (-4, 1).
In[249]:=
Out[250]=
H∗ Solução do Exemplo 1 ∗L
88x1, y1<, 8x2, y2<< = 883 ê 2, −3<, 8−4, 1<<;
Sqrt@Hx1 − x2L ^ 2 + Hy1 − y2L ^ 2D
è!!!!!!!!!
185
2
40
In[251]:=
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
Show@ListPlot@88x1, y1<, 8x2, y2<<, PlotRange → 8−5, 2<, PlotJoined → True,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<,
Epilog → 8Text@"A", 83 ê 2, −3.5<D, Text@"B", 8−4, 0.5<D<,
DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@88x1, y1<, 8x2, y2<<, PlotStyle −> [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunction D;
2
1
B
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
A
-4
-5
EXEMPLO 2. (AG1, pág. 27) Calcular a distância entre os pontos A = (3/2, -3) e B = (-4, 1).
In[249]:=
Out[250]=
In[251]:=
H∗ Solução do Exemplo 1 ∗L
88x1, y1<, 8x2, y2<< = 883 ê 2, −3<, 8−4, 1<<;
Sqrt@Hx1 − x2L ^ 2 + Hy1 − y2L ^ 2D
è!!!!!!!!!
185
2
Show@ListPlot@88x1, y1<, 8x2, y2<<, PlotRange → 8−5, 2<, PlotJoined → True,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<,
Epilog → 8Text@"A", 83 ê 2, −3.5<D, Text@"B", 8−4, 0.5<D<,
DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@88x1, y1<, 8x2, y2<<, PlotStyle −> [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunction D;
2
1
B
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
A
-4
-5
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
41
2.4 Equação da circunferência
A circunferência de raio r e centro no ponto (x0 , y0 ) é o conjunto de pontos (x , y ), cuja distância a (x0 , y0 ) é r, isto é
Hx - x0 L2 + Hy - y0 L2 = r2
Equivalentemente, a equação circunferência é representada por uma equação do segundo grau em x e y, da forma
Ax2 + Ay2 + Bx + Cy + D = 0, A ∫ 0,
em que B2 + C2 - 4AD > 0.
Neste caso, x0 = - B/2A, y0 = - C/2A e r = (B2 + C2 - 4AD)/2|A|.
EXEMPLO 1. (AG1, pág. 31) Circunferência de centro (2, -3) e raio 4.
In[206]:=
Out[206]=
H∗ Equação da circunferência do Exemplo 1
8x0, y0< = 82, −3<; r = 4;
Expand@Hx − x0L ^ 2 + Hy − y0L ^ 2D − r ^ 2
0
−3 − 4 x + x2 + 6 y + y2
∗L
0
A equação da circunferência é x2 + y2 - 4 x + 6 y - 3 = 0.
Daqui para frente vamos traçar os gráficos de várias circunferências. Para não repetir os mesmos comandos para cada
gráfico, vamos usar o seguinte procedimento. No próximo capítulo veremos como programar procedimentos como
esse.
In[204]:=
H∗ Traça o gráfico de uma circunferência de centro Hx0, y0L e raio r ∗L
<< Graphics`ImplicitPlot`
graficoDaCircunferencia@x0_, y0_, r_D :=
Show@ImplicitPlot@Hx − x0L ^ 2 + Hy − y0L ^ 2 − r ^ 2 0,
8x, x0 − r, x0 + r<, PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0D<,
DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@88x0, y0<<, PlotStyle → [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD,
DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
42
In[207]:=
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
H∗ O gráfico da circunferência do Exemplo 1 ∗L
graficoDaCircunferencia@x0, y0, rD;
-2
2
4
6
-2
-4
-6
EXEMPLO 2. (AG1, pág. 31) Circunferência de centro (-1, 5/2) e raio 5.
In[208]:=
Out[208]=
H∗ Equação da circunferência do Exemplo 2
8x0, y0< = 8−1, 5 ê 2<; r = 5;
Expand@Hx − x0L ^ 2 + Hy − y0L ^ 2D − r ^ 2
0
−
71
+ 2 x + x2 − 5 y + y2
4
∗L
0
A equação da circunferência é x2 + y2 + 2 x - 5 y - 71/4 = 0.
In[209]:=
H∗ O gráfico da circunferência do Exemplo 2 ∗L
graficoDaCircunferencia@x0, y0, rD;
6
4
2
-6
-4
-2
2
4
-2
EXEMPLO 3. (AG1, pág. 31) A equação 9 x2 + 9 y2 - 16 = 0 representa a circunferência de centro na origem
e raio r = 4/3.
De fato, somando 16 aos dois lados da equação e dividindo em seguida por 9, resulta x2 + y2 = 16/9 ou ainda (x - 0L2 + (x
- 0L2 = H4 ê 3L2 .
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
In[210]:=
43
H∗ O gráfico da circunferência do Exemplo 3 ∗L
8x0, y0< = 80, 0<; r = 4 ê 3; graficoDaCircunferencia@x0, y0, rD;
1
0.5
-1 -0.5
0.5
1
-0.5
-1
Completando o quadrado
EXEMPLO 4. (AG1, pág. 32) Determinar o centro e o raio da circunferência descrita pela equação 4 x2 + 4 y2 + 12 x
- 27 = 0.
Dividindo os dois lados da equaçãoe por 4, obtemos fato, x2 + y2 + 3 x - 27/4 = 0. Vamos, agora, transformar x2 + 3 x
num quadrado perfeito, isto é, completar o quadrado:
x2 + 3 x = x2 + 2 (3 x)/2 = x2 + 2 (3 x)/2 + H3 ê 2L2 - H3 ê 2L2 = H x + 3 ê 2L2 - 9/4
Substituindo esta expressão na equação anterior, obtemos
H x + 3 ê 2L2 + y2 - 27/4 - 9/4 = 0, ou seja H x + 3 ê 2L2 + y2 - 9 = 0.
Esta é a equação da circunferência de centro (-3/2, 0) e raio 3.
In[211]:=
H∗ O gráfico da circunferência do Exemplo 4 ∗L
8x0, y0< = 8−3 ê 2, 0<; r = 3; graficoDaCircunferencia@x0, y0, rD;
3
2
1
-4 -3 -2 -1
-1
1
-2
-3
EXEMPLO 5. (AG1, pág. 32) Determinar o centro e o raio da circunferência descrita pela equação 4 x2 + 4 y2 -14/3 x
+ 6 y + 67/9 = 0.
Temos que completar dois quadrados:
x2 - 14/ 3 x = x2 + 2 (7/3 x) + H7 ê 3L2 - H7 ê 3L2 = H x - 7 ê 3L2 - 49/9,
y2 + 6 y = y2 + 2 (3 y) + 32 - 32 = H y + 3L2 - 9
Substituindo estas expressões na equação dada, obtemos
44
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
H x - 7 ê 3L2 + H y + 3L2 = 7.
è!!!
Esta é a equação da circunferência de centro (7/3, -3) e raio 7 .
In[212]:=
H∗ O gráfico da circunferência do Exemplo 5 ∗L
8x0, y0< = 87 ê 3, −3<; r = Sqrt@7D; graficoDaCircunferencia@x0, y0, rD;
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
EXEMPLO 5. (AG1, pág. 32) A equação x2 + y2 - 4 x - 2 y + 6 = 0 não representa uma circunferência.
De fato, completando os quadrados, obtemos
H x - 2L2 + H y - 1L2 + 1 = 0.
É claro que o primeiro membro desta equação é sempre positivo; portanto a equação não tem solução.
Vejamos em que condição a equação
Ax2 + Ay2 + Bx + Cy + D = 0,
representa uma circunferência.
Aplicando a técnica de completar qoadrados:
B
ÅÅÅÅ
AÅ x ) = A[x
Ax2 + B x = A (x2 +
2
2
B
ÅÅÅÅÅÅÅ
Å;
4A
Ay2 + C y = A
2
C
ÅÅÅÅÅÅÅ
Å.
4A
B
(x2 + ÅÅÅÅ
AÅ x )
+2x
B
B
B
ÅÅÅÅÅÅÅ
Å + ( ÅÅÅÅÅÅÅ
Å L ] -- ÅÅÅÅÅÅÅ
Å
2A
2A
4A
C
C
( y2 + ÅÅÅÅ
Å
y ) = A[ y2 + 2 y ÅÅÅÅÅÅÅÅ
A
2A
B
(x + ÅÅÅÅÅÅÅ
ÅL
2A
C
( y + ÅÅÅÅÅÅÅ
ÅL
2A
2
2
+
C
( ÅÅÅÅÅÅÅ
ÅL ]
2A
2
= A (x +
2
--
C
ÅÅÅÅÅÅÅ
Å
4A
=A
B
ÅÅÅÅÅÅÅ
ÅL
2A
2
--
C
( y + ÅÅÅÅÅÅÅ
ÅL
2A
2
--
Substituindo estas expressões na equação acima, e dividindo a equação resultante por A, obtemos
2
ou ainda
+
2
B
(x + ÅÅÅÅÅÅÅ
ÅL
2A
2
+
+
C
( y + ÅÅÅÅÅÅÅ
ÅL
2A
D
ÅÅÅÅ
AÅ
2
2
--
B
ÅÅÅÅÅÅÅ
Å
4A
C
ÅÅÅÅÅÅÅ
Å
4A
= 0;
B + C - 4AD
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ .
4 A2
2
=
2
-2
Daqui segue-se que a equação representa uma circunferência se B2 + C2 - 4 A D > 0.
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Neste caso, o centro da circunferência é o ponto (-B/2A, -C/2A) e o raio é r = B2 + C2 - 4 A D /2|A|.
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
45
Exercícios
Nos Exercícios 1 a 6, determine a equação da circunferência de centro e raio dados. Faça os gráficos.
1. Centro (0, 0), raio 2.
In[213]:=
Out[214]=
H∗ Circunferência do Exercício 1 ∗L
8x0, y0< = 80, 0<; r = 2;
Expand@Hx − x0L ^ 2 + Hy − y0L ^ 2D − r ^ 2
−4 + x2 + y2
0
0
A equação da circunferência é x2 + y2 - 4 = 0.
In[215]:=
H∗ O gráfico da circunferência do Exercício 1 ∗L
graficoDaCircunferencia@x0, y0, rD;
2
1
-2
-1
1
2
-1
-2
2. Centro (2/3, 0), raio
In[216]:=
Out[217]=
è!!!
5.
H∗ Circunferência do Exercício 2 ∗L
8x0, y0< = 82 ê 3, 0<; r = Sqrt@5D;
Expand@Hx − x0L ^ 2 + Hy − y0L ^ 2D − r ^ 2
−
41
4x
−
+ x2 + y2
9
3
0
A equação da circunferência é x2 + y2 - 4/3 x - 41/9 = 0.
In[218]:=
0
H∗ O gráfico da circunferência do Exercício 2 ∗L
graficoDaCircunferencia@x0, y0, rD;
2
1
-1
1
-1
-2
3. Centro (0, -9/2), raio 13/2.
2
3
46
In[219]:=
Out[220]=
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
H∗ Circunferência do Exercício 3 ∗L
8x0, y0< = 80, −9 ê 2<; r = 13 ê 2;
Expand@Hx − x0L ^ 2 + Hy − y0L ^ 2D − r ^ 2
−22 + x2 + 9 y + y2
0
0
A equação da circunferência é x2 + y2 + 9 y - 22 = 0.
In[221]:=
H∗ O gráfico da circunferência do Exercício 3 ∗L
graficoDaCircunferencia@x0, y0, rD;
2
-6 -4 -2
-2
2
4
6
-4
-6
-8
-10
4. Centro (3, 7/2), raio 10/3.
In[222]:=
Out[223]=
H∗ Circunferência do Exercício 1 ∗L
8x0, y0< = 83, 7 ê 2<; r = 10 ê 3;
Expand@Hx − x0L ^ 2 + Hy − y0L ^ 2D − r ^ 2
365
− 6 x + x2 − 7 y + y2
36
0
A equação da circunferência é x2 + y2 - 6 x - 7 y + 365/36 = 0.
In[224]:=
0
H∗ O gráfico da circunferência do Exercício 4 ∗L
graficoDaCircunferencia@x0, y0, rD;
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6
5. Centro (-17/3, 13/6), raio
è!!!
7 /2.
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
In[225]:=
Out[226]=
47
H∗ Circunferência do Exercício 5 ∗L
8x0, y0< = 8−17 ê 3, 13 ê 6<; r = Sqrt@7D ê 2;
Expand@Hx − x0L ^ 2 + Hy − y0L ^ 2D − r ^ 2
0
631
34 x
13 y
+
+ x2 −
+ y2
18
3
3
0
A equação da circunferência é x2 + y2 + 34/3 x - 13/3 y + 631/18 = 0.
In[227]:=
H∗ O gráfico da circunferência do Exercício 5 ∗L
graficoDaCircunferencia@x0, y0, rD;
3.5
3
2.5
2
1.5
-6.5-6-5.5-5-4.5
6. Centro (-5, -2), raio 13/3.
In[228]:=
Out[229]=
H∗ Circunferência do Exercício 6 ∗L
8x0, y0< = 8−5, −2<; r = 13 ê 3;
Expand@Hx − x0L ^ 2 + Hy − y0L ^ 2D − r ^ 2
92
+ 10 x + x2 + 4 y + y2
9
0
0
A equação da circunferência é x2 + y2 + 10 x + 4 y + 92/9 = 0.
In[230]:=
H∗ O gráfico da circunferência do Exercício 6 ∗L
graficoDaCircunferencia@x0, y0, rD;
2
-8
-6
-4
-2
-2
-4
-6
Nos Exercícios 7 a 12, determine o centro e o raio das circunferências de equações dadas. Faça os gráficos.
7. x2 + (y - 3)2 - 16 = 0.
Esta equação pode ser reescrita assim: (x - 0)2 + (y - 3)2 = 42 . Portanto, o centro da circunferência é o ponto (0, 3) e o
raio é r = 4.
48
In[231]:=
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
H∗ O gráfico da circunferência do Exercício 7 ∗L
8x0, y0< = 80, 3<; r = 4;
graficoDaCircunferencia@x0, y0, rD;
6
4
2
-4
-2
2
4
8. Hx + 2L 2 + y2 - 12 = 0.
Esta equação pode ser reescrita assim: (x + 2)2 + (y - 0)2 = I2
è!!!
0) e o raio é r = 2 3 .
In[233]:=
è!!! 2
3 M . Portanto, o centro da circunferência é o ponto (-2,
H∗ O gráfico da circunferência do Exercício 8 ∗L
8x0, y0< = 8−2, 0<; r = 2 Sqrt@3D;
graficoDaCircunferencia@x0, y0, rD;
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1
-1
1
-2
-3
9. x2 + y2 + 6 y - 1 = 0.
In[235]:=
Out[236]=
Out[237]=
a = 1; b = 0; c = 6; d = −1;
8x0, y0< = 8−b ê H2 aL, −c ê H2 aL<
r = Sqrt@b ^ 2 + c ^ 2 − 4 a dD ê H2 Abs@aDL
80, −3<
è!!!!!!
10
O centro da circunferência é o ponto (0, -3) e o raio é r =
è!!!!!!
10 .
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
In[238]:=
49
H∗ O gráfico da circunferência do Exercício 9 ∗L
graficoDaCircunferencia@x0, y0, rD;
-3 -2 -1
-1
1
2
3
-2
-3
-4
-5
-6
10. x2 - 5 x + y2 - 11/4 = 0.
In[239]:=
a = 1; b = −5; c = 0; d = −11 ê 4;
8x0, y0< = 8−b ê H2 aL, −c ê H2 aL<
r = Sqrt@b ^ 2 + c ^ 2 − 4 a dD ê H2 Abs@aDL
Out[240]=
9
Out[241]=
3
5
, 0=
2
O centro da circunferência é o ponto (5/2, 0) e o raio é r = 3.
In[242]:=
H∗ O gráfico da circunferência do Exercício 10 ∗L
graficoDaCircunferencia@x0, y0, rD;
3
2
1
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
11. x2 + y2 + x - 6 y - 15/4 = 0.
In[243]:=
Out[244]=
Out[245]=
a = 1; b = 1; c = −6; d = −15 ê 4;
8x0, y0< = 8−b ê H2 aL, −c ê H2 aL<
r = Sqrt@b ^ 2 + c ^ 2 − 4 a dD ê H2 Abs@aDL
9−
1
, 3=
2
è!!!!!!
13
O centro da circunferência é o ponto (-1/2, 3) e o raio é r =
è!!!!!!
13 .
50
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
In[246]:=
H∗ O gráfico da circunferência do Exercício 11 ∗L
graficoDaCircunferencia@x0, y0, rD;
6
5
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1
1
2
3
12. x2 + y2 + 4 x + 6 y + 2 = 0.
In[247]:=
Out[248]=
Out[249]=
a = 1; b = 4; c = 6; d = 2;
8x0, y0< = 8−b ê H2 aL, −c ê H2 aL<
r = Sqrt@b ^ 2 + c ^ 2 − 4 a dD ê H2 Abs@aDL
8−2, −3<
è!!!!!!
11
O centro da circunferência é o ponto (-2, -3) e o raio é r =
In[250]:=
è!!!!!!
11 .
H∗ O gráfico da circunferência do Exercício 12 ∗L
graficoDaCircunferencia@x0, y0, rD;
-5 -4 -3 -2 -1
-1
1
-2
-3
-4
-5
-6
Nos Exercícios 13 a 18, verifique se a equação dada representa uma circunferência. Em caso afirmativo,, determine seus
raio e centro e faça o gráfico.
13. 9 x2 + 9 y2 + 6 x - 3 6 y + 64 = 0.
In[61]:=
Out[62]=
a = 9; b = 6; c = −36; d = 64;
b^2 + c^2 − 4 a d
−972
Não representa uma circunferência.
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
In[251]:=
Out[252]=
Out[253]=
51
a = 1; b = 4; c = 6; d = 2;
8x0, y0< = 8−b ê H2 aL, −c ê H2 aL<
r = Sqrt@b ^ 2 + c ^ 2 − 4 a dD ê H2 Abs@aDL
8−2, −3<
è!!!!!!
11
O centro da circunferência é o ponto (-2, -3) e o raio é r =
In[254]:=
è!!!!!!
11 .
H∗ O gráfico da circunferência do Exercício 13 ∗L
graficoDaCircunferencia@x0, y0, rD;
-5 -4 -3 -2 -1
-1
1
-2
-3
-4
-5
-6
Exercícios
Nos Exercícios 1 a 6, determine a equação da circunferência de centro e raio dados. Faça os gráficos.
1. Centro (0, 0), raio 2.
In[158]:=
Out[159]=
H∗ Circunferência do Exercício 1 ∗L
8x0, y0< = 80, 0<; r = 2;
Expand@Hx − x0L ^ 2 + Hy − y0L ^ 2D − r ^ 2
−4 + x + y
2
2
0
A equação da circunferência é x2 + y2 - 4 = 0.
In[160]:=
0
H∗ O gráfico da circunferência do Exercício 1 ∗L
graficoDaCircunferencia@x0, y0, rD;
2
1
-2
-1
1
-1
-2
2. Centro (2/3, 0), raio
è!!!
5.
2
52
In[161]:=
Out[162]=
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
H∗ Circunferência do Exercício 2 ∗L
8x0, y0< = 82 ê 3, 0<; r = Sqrt@5D;
Expand@Hx − x0L ^ 2 + Hy − y0L ^ 2D − r ^ 2
−
41
4x
−
+ x2 + y2
9
3
0
0
A equação da circunferência é x2 + y2 - 4/3 x - 41/9 = 0.
In[163]:=
H∗ O gráfico da circunferência do Exercício 2 ∗L
graficoDaCircunferencia@x0, y0, rD;
2
1
-1
1
2
3
-1
-2
3. Centro (0, -9/2), raio 13/2.
In[164]:=
Out[165]=
H∗ Circunferência do Exercício 3 ∗L
8x0, y0< = 80, −9 ê 2<; r = 13 ê 2;
Expand@Hx − x0L ^ 2 + Hy − y0L ^ 2D − r ^ 2
−22 + x2 + 9 y + y2
0
A equação da circunferência é x2 + y2 + 9 y - 22 = 0.
In[166]:=
0
H∗ O gráfico da circunferência do Exercício 3 ∗L
graficoDaCircunferencia@x0, y0, rD;
2
-6 -4 -2
-2
2
-4
-6
-8
-10
4. Centro (3, 7/2), raio 10/3.
4
6
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
In[167]:=
Out[168]=
53
H∗ Circunferência do Exercício 1 ∗L
8x0, y0< = 83, 7 ê 2<; r = 10 ê 3;
Expand@Hx − x0L ^ 2 + Hy − y0L ^ 2D − r ^ 2
365
− 6 x + x2 − 7 y + y2
36
0
0
A equação da circunferência é x2 + y2 - 6 x - 7 y + 365/36 = 0.
In[169]:=
H∗ O gráfico da circunferência do Exercício 4 ∗L
graficoDaCircunferencia@x0, y0, rD;
7
6
5
4
3
2
1
è!!!
7 /2.
1 2 3 4 5 6
5. Centro (-17/3, 13/6), raio
In[170]:=
Out[171]=
H∗ Circunferência do Exercício 5 ∗L
8x0, y0< = 8−17 ê 3, 13 ê 6<; r = Sqrt@7D ê 2;
Expand@Hx − x0L ^ 2 + Hy − y0L ^ 2D − r ^ 2
0
631
34 x
13 y
+
+ x2 −
+ y2
18
3
3
0
A equação da circunferência é x2 + y2 + 34/3 x - 13/3 y + 631/18 = 0.
In[172]:=
H∗ O gráfico da circunferência do Exercício 5 ∗L
graficoDaCircunferencia@x0, y0, rD;
3.5
3
2.5
2
1.5
-6.5-6-5.5-5-4.5
6. Centro (-5, -2), raio 13/3.
54
In[175]:=
Out[176]=
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
H∗ Circunferência do Exercício 6 ∗L
8x0, y0< = 8−5, −2<; r = 13 ê 3;
Expand@Hx − x0L ^ 2 + Hy − y0L ^ 2D − r ^ 2
92
+ 10 x + x2 + 4 y + y2
9
0
0
A equação da circunferência é x2 + y2 + 10 x + 4 y + 92/9 = 0.
In[177]:=
H∗ O gráfico da circunferência do Exercício 6 ∗L
graficoDaCircunferencia@x0, y0, rD;
2
-8
-6
-4
-2
-2
-4
-6
Nos Exercícios 7 a 12, determine o centro e o raio das circunferências de equações dadas. Faça os gráficos.
7. x2 + (y - 3)2 - 16 = 0.
Esta equação pode ser reescrita assim: (x - 0)2 + (y - 3)2 = 42 . Portanto, o centro da circunferência é o ponto (0, 3) e o
raio é r = 4.
In[178]:=
H∗ O gráfico da circunferência do Exercício 7 ∗L
8x0, y0< = 80, 3<; r = 4;
graficoDaCircunferencia@x0, y0, rD;
6
4
2
-4
-2
8. Hx + 2L 2 + y2 - 12 = 0.
2
4
Esta equação pode ser reescrita assim: (x + 2)2 + (y - 0)2 = I2
è!!!
0) e o raio é r = 2 3 .
è!!! 2
3 M . Portanto, o centro da circunferência é o ponto (-2,
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
In[180]:=
55
H∗ O gráfico da circunferência do Exercício 8 ∗L
8x0, y0< = 8−2, 0<; r = 2 Sqrt@3D;
graficoDaCircunferencia@x0, y0, rD;
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1
-1
1
-2
-3
9. x2 + y2 + 6 y - 1 = 0.
In[182]:=
Out[183]=
Out[184]=
a = 1; b = 0; c = 6; d = −1;
8x0, y0< = 8−b ê H2 aL, −c ê H2 aL<
r = Sqrt@b ^ 2 + c ^ 2 − 4 a dD ê H2 Abs@aDL
80, −3<
è!!!!!!
10
O centro da circunferência é o ponto (0, -3) e o raio é r =
In[185]:=
è!!!!!!
10 .
H∗ O gráfico da circunferência do Exercício 9 ∗L
graficoDaCircunferencia@x0, y0, rD;
-3 -2 -1
-1
1
2
3
-2
-3
-4
-5
-6
10. x2 - 5 x + y2 - 11/4 = 0.
In[186]:=
a = 1; b = −5; c = 0; d = −11 ê 4;
8x0, y0< = 8−b ê H2 aL, −c ê H2 aL<
r = Sqrt@b ^ 2 + c ^ 2 − 4 a dD ê H2 Abs@aDL
Out[187]=
9
Out[188]=
3
5
, 0=
2
O centro da circunferência é o ponto (5/2, 0) e o raio é r = 3.
56
In[189]:=
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
H∗ O gráfico da circunferência do Exercício 10 ∗L
graficoDaCircunferencia@x0, y0, rD;
3
2
1
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
11. x2 + y2 + x - 6 y - 15/4 = 0.
In[190]:=
Out[191]=
Out[192]=
a = 1; b = 1; c = −6; d = −15 ê 4;
8x0, y0< = 8−b ê H2 aL, −c ê H2 aL<
r = Sqrt@b ^ 2 + c ^ 2 − 4 a dD ê H2 Abs@aDL
9−
1
, 3=
2
è!!!!!!
13
O centro da circunferência é o ponto (-1/2, 3) e o raio é r =
In[193]:=
è!!!!!!
13 .
H∗ O gráfico da circunferência do Exercício 11 ∗L
graficoDaCircunferencia@x0, y0, rD;
6
5
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1
1
2
3
12. x2 + y2 + 4 x + 6 y + 2 = 0.
In[194]:=
Out[195]=
Out[196]=
a = 1; b = 4; c = 6; d = 2;
8x0, y0< = 8−b ê H2 aL, −c ê H2 aL<
r = Sqrt@b ^ 2 + c ^ 2 − 4 a dD ê H2 Abs@aDL
8−2, −3<
è!!!!!!
11
O centro da circunferência é o ponto (-2, -3) e o raio é r =
è!!!!!!
11 .
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
In[197]:=
57
H∗ O gráfico da circunferência do Exercício 12 ∗L
graficoDaCircunferencia@x0, y0, rD;
-5 -4 -3 -2 -1
-1
1
-2
-3
-4
-5
-6
Nos Exercícios 13 a 18, verifique se a equação dada representa uma circunferência. Em caso afirmativo,, determine seus
raio e centro e faça o gráfico.
13. 9 x2 + 9 y2 + 6 x - 3 6 y + 64 = 0.
In[61]:=
Out[62]=
a = 9; b = 6; c = −36; d = 64;
b^2 + c^2 − 4 a d
−972
Não representa uma circunferência.
Exercícios
Nos Exercícios 1 a 6, determine a equação da circunferência de centro e raio dados. Faça os gráficos.
1. Centro (0, 0), raio 2.
In[12]:=
Out[13]=
H∗ Circunferência do Exercício 1 ∗L
8x0, y0< = 80, 0<; r = 2;
Expand@Hx − x0L ^ 2 + Hy − y0L ^ 2D − r ^ 2
−4 + x2 + y2
0
A equação da circunferência é x2 + y2 - 4 = 0.
0
58
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
In[14]:=
H∗ O gráfico da circunferência do Exercício 1 ∗L
Show@ImplicitPlot@x ^ 2 + y ^ 2 − 4 0, 8x, x0 − r, x0 + r<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → Identity D,
ListPlot@88x0, y0<<, PlotStyle −> [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunction D;
2
1
-2
-1
1
2
-1
-2
2. Centro (2/3, 0), raio
In[15]:=
Out[16]=
è!!!
5.
H∗ Circunferência do Exercício 2 ∗L
8x0, y0< = 82 ê 3, 0<; r = Sqrt@5D;
Expand@Hx − x0L ^ 2 + Hy − y0L ^ 2D − r ^ 2
−
41
4x
−
+ x2 + y2
9
3
0
0
A equação da circunferência é x2 + y2 - 4/3 x - 41/9 = 0.
In[17]:=
H∗ O gráfico da circunferência do Exercício 2 ∗L
Show@ImplicitPlot@x ^ 2 + y ^ 2 − 4 ê 3 x − 41 ê 9 0, 8x, x0 − r, x0 + r<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → Identity D,
ListPlot@88x0, y0<<, PlotStyle −> [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunction D;
2
1
-1
1
2
3
-1
-2
3. Centro (0, -9/2), raio 13/2.
In[18]:=
Out[19]=
H∗ Circunferência do Exercício 3 ∗L
8x0, y0< = 80, −9 ê 2<; r = 13 ê 2;
Expand@Hx − x0L ^ 2 + Hy − y0L ^ 2D − r ^ 2
−22 + x2 + 9 y + y2
0
0
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
59
A equação da circunferência é x2 + y2 + 9 y - 22 = 0.
In[20]:=
H∗ O gráfico da circunferência do Exercício 3 ∗L
Show@ImplicitPlot@x ^ 2 + y ^ 2 + 9 y − 22 0, 8x, x0 − r, x0 + r<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → Identity D,
ListPlot@88x0, y0<<, PlotStyle −> [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunction D;
2
-6 -4 -2
-2
2
4
6
-4
-6
-8
-10
4. Centro (3, 7/2), raio 10/3.
In[21]:=
Out[22]=
H∗ Circunferência do Exercício 1 ∗L
8x0, y0< = 83, 7 ê 2<; r = 10 ê 3;
Expand@Hx − x0L ^ 2 + Hy − y0L ^ 2D − r ^ 2
365
− 6 x + x2 − 7 y + y2
36
0
A equação da circunferência é x2 + y2 - 6 x - 7 y + 365/36 = 0.
In[23]:=
0
H∗ O gráfico da circunferência do Exercício 4 ∗L
Show@ImplicitPlot@x ^ 2 + y ^ 2 − 6 x − 7 y + 365 ê 36 0, 8x, x0 − r, x0 + r<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → Identity D,
ListPlot@88x0, y0<<, PlotStyle −> [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunction D;
7
6
5
4
3
2
1
è!!!
7 /2.
1 2 3 4 5 6
5. Centro (-17/3, 13/6), raio
60
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
In[24]:=
Out[25]=
H∗ Circunferência do Exercício 5 ∗L
8x0, y0< = 8−17 ê 3, 13 ê 6<; r = Sqrt@7D ê 2;
Expand@Hx − x0L ^ 2 + Hy − y0L ^ 2D − r ^ 2
0
631
34 x
13 y
+
+ x2 −
+ y2
18
3
3
0
A equação da circunferência é x2 + y2 + 34/3 x - 13/3 y + 631/18 = 0.
In[26]:=
H∗ O gráfico da circunferência do Exercício 5 ∗L
Show@
ImplicitPlot@x ^ 2 + y ^ 2 + 34 ê 3 x − 13 ê 3 y + 631 ê 18 0, 8x, x0 − r, x0 + r<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → Identity D,
ListPlot@88x0, y0<<, PlotStyle −> [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunction D;
3.5
3
2.5
2
1.5
-6.5-6-5.5-5-4.5
6. Centro (-5, -2), raio 13/3.
In[27]:=
Out[28]=
H∗ Circunferência do Exercício 6 ∗L
8x0, y0< = 8−5, −2<; r = 13 ê 3;
Expand@Hx − x0L ^ 2 + Hy − y0L ^ 2D − r ^ 2
92
+ 10 x + x2 + 4 y + y2
9
0
A equação da circunferência é x2 + y2 + 10 x + 4 y + 92/9 = 0.
In[29]:=
0
H∗ O gráfico da circunferência do Exercício 6 ∗L
Show@ImplicitPlot@x ^ 2 + y ^ 2 + 10 x + 4 y + 92 ê 9 0, 8x, x0 − r, x0 + r<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → Identity D,
ListPlot@88x0, y0<<, PlotStyle −> [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunction D;
2
-8
-6
-4
-2
-2
-4
-6
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
61
Nos Exercícios 7 a 12, determine o centro e o raio das circunferências de equações dadas. Faça os gráficos.
7. x2 + (y - 3)2 - 16 = 0.
Esta equação pode ser reescrita assim: (x - 0)2 + (y - 3)2 = 42 . Portanto, o centro da circunferência é o ponto (0, 3) e o
raio é r = 4.
In[30]:=
H∗ O gráfico da circunferência do Exercício 7 ∗L
8x0, y0< = 80, 3<; r = 4;
Show@ImplicitPlot@Hx − x0L ^ 2 + Hy − y0L ^ 2 − r ^ 2 0, 8x, x0 − r, x0 + r<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → Identity D,
ListPlot@88x0, y0<<, PlotStyle −> [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunction D;
6
4
2
-4
-2
2
4
8. Hx + 2L 2 + y2 - 12 = 0.
Esta equação pode ser reescrita assim: (x + 2)2 + (y - 0)2 = I2
è!!!
0) e o raio é r = 2 3 .
In[31]:=
è!!! 2
3 M . Portanto, o centro da circunferência é o ponto (-2,
H∗ O gráfico da circunferência do Exercício 8 ∗L
8x0, y0< = 8−2, 0<; r = 2 Sqrt@3D;
Show@ImplicitPlot@Hx − x0L ^ 2 + Hy − y0L ^ 2 − r ^ 2 0, 8x, x0 − r, x0 + r<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → Identity D,
ListPlot@88x0, y0<<, PlotStyle −> [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunction D;
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1
-1
-2
-3
9. x2 + y2 + 6 y - 1 = 0.
1
62
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
In[41]:=
Out[42]=
Out[43]=
a = 1; b = 0; c = 6; d = −1;
8x0, y0< = 8−b ê H2 aL, −c ê H2 aL<
r = Sqrt@b ^ 2 + c ^ 2 − 4 a dD ê H2 Abs@aDL
80, −3<
è!!!!!!
10
O centro da circunferência é o ponto (0, -3) e o raio é r =
In[44]:=
è!!!!!!
10 .
H∗ O gráfico da circunferência do Exercício 9 ∗L
Show@ImplicitPlot@Hx − x0L ^ 2 + Hy − y0L ^ 2 − r ^ 2 0, 8x, x0 − r, x0 + r<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → Identity D,
ListPlot@88x0, y0<<, PlotStyle −> [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunction D;
-3 -2 -1
1
2
3
-1
-2
-3
-4
-5
-6
10. x2 - 5 x + y2 - 11/4 = 0.
In[45]:=
a = 1; b = −5; c = 0; d = −11 ê 4;
8x0, y0< = 8−b ê H2 aL, −c ê H2 aL<
r = Sqrt@b ^ 2 + c ^ 2 − 4 a dD ê H2 Abs@aDL
Out[46]=
9
Out[47]=
3
5
, 0=
2
O centro da circunferência é o ponto (5/2, 0) e o raio é r = 3.
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
In[48]:=
63
H∗ O gráfico da circunferência do Exercício 10 ∗L
Show@ImplicitPlot@Hx − x0L ^ 2 + Hy − y0L ^ 2 − r ^ 2 0, 8x, x0 − r, x0 + r<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → Identity D,
ListPlot@88x0, y0<<, PlotStyle −> [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunction D;
3
2
1
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
11. x2 + y2 + x - 6 y - 15/4 = 0.
In[49]:=
Out[50]=
Out[51]=
a = 1; b = 1; c = −6; d = −15 ê 4;
8x0, y0< = 8−b ê H2 aL, −c ê H2 aL<
r = Sqrt@b ^ 2 + c ^ 2 − 4 a dD ê H2 Abs@aDL
9−
1
, 3=
2
è!!!!!!
13
O centro da circunferência é o ponto (-1/2, 3) e o raio é r =
In[52]:=
è!!!!!!
13 .
H∗ O gráfico da circunferência do Exercício 11 ∗L
Show@ImplicitPlot@Hx − x0L ^ 2 + Hy − y0L ^ 2 − r ^ 2 0, 8x, x0 − r, x0 + r<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → Identity D,
ListPlot@88x0, y0<<, PlotStyle −> [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunction D;
6
5
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1
1
12. x2 + y2 + 4 x + 6 y + 2 = 0.
2
3
64
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
In[53]:=
Out[54]=
Out[55]=
a = 1; b = 4; c = 6; d = 2;
8x0, y0< = 8−b ê H2 aL, −c ê H2 aL<
r = Sqrt@b ^ 2 + c ^ 2 − 4 a dD ê H2 Abs@aDL
8−2, −3<
è!!!!!!
11
O centro da circunferência é o ponto (-2, -3) e o raio é r =
In[56]:=
è!!!!!!
11 .
H∗ O gráfico da circunferência do Exercício 12 ∗L
Show@ImplicitPlot@Hx − x0L ^ 2 + Hy − y0L ^ 2 − r ^ 2 0, 8x, x0 − r, x0 + r<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → Identity D,
ListPlot@88x0, y0<<, PlotStyle −> [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunction D;
-5 -4 -3 -2 -1
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
Nos Exercícios 13 a 18, verifique se a equação dada representa uma circunferência. Em caso afirmativo,, determine seus
raio e centro e faça o gráfico.
13. 9 x2 + 9 y2 + 6 x - 3 6 y + 64 = 0.
In[61]:=
Out[62]=
a = 9; b = 6; c = −36; d = 64;
b^2 + c^2 − 4 a d
−972
Não representa uma circunferência.
14. x2 + y2 + 7 x - y + 1 = 0.
In[63]:=
Out[64]=
a = 1; b = 7; c = −1; d = 1;
b^2 + c^2 − 4 a d
46
Sim, representa uma circunferência.
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
In[65]:=
Out[65]=
Out[66]=
65
8x0, y0< = 8−b ê H2 aL, −c ê H2 aL<
r = Sqrt@b ^ 2 + c ^ 2 − 4 a dD ê H2 Abs@aDL
9−
7
1
,
=
2
2
23 %
$%%%%%%%%
2
O centro da circunferência é o ponto (-7/2, 1/2) e o raio é r =
In[67]:=
è!!!!!!!!!!!
23 ê 2 .
H∗ O gráfico da circunferência do Exercício 14 ∗L
Show@ImplicitPlot@Hx − x0L ^ 2 + Hy − y0L ^ 2 − r ^ 2 0, 8x, x0 − r, x0 + r<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → Identity D,
ListPlot@88x0, y0<<, PlotStyle −> [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunction D;
4
3
2
1
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-1
-2
-3
15. 4 x2 + 4 y2 + x - 6 y + 5 = 0.
In[68]:=
Out[69]=
a = 4; b = 1; c = −6; d = 5;
b^2 + c^2 − 4 a d
−43
Não representa uma circunferência.
16. x2 + 3 y2 - 4 x + 3 = 0.
A equação não representa uma circunferência, pois os coeficientes dos termos x2 e y2 são diferentes .
17. 4 (x2 + y2 ) = 27 - 4 x.
In[72]:=
Out[73]=
a = 4; b = 4; c = 0; d = −27;
b^2 + c^2 − 4 a d
448
Sim, representa uma circunferência.
66
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
In[74]:=
Out[74]=
Out[75]=
8x0, y0< = 8−b ê H2 aL, −c ê H2 aL<
r = Sqrt@b ^ 2 + c ^ 2 − 4 a dD ê H2 Abs@aDL
9−
è!!!
7
1
, 0=
2
O centro da circunferência é o ponto (-1/2, 0) e o raio é r =
In[76]:=
è!!!
7.
H∗ O gráfico da circunferência do Exercício 17 ∗L
Show@ImplicitPlot@Hx − x0L ^ 2 + Hy − y0L ^ 2 − r ^ 2 0, 8x, x0 − r, x0 + r<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → Identity D,
ListPlot@88x0, y0<<, PlotStyle −> [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunction D;
2
1
-3
-2
-1
1
2
-1
-2
18. x2 + y2 - 3 y = 7/4.
In[77]:=
Out[78]=
a = 1; b = 0; c = −3; d = −7 ê 4;
b^2 + c^2 − 4 a d
16
Sim, representa uma circunferência.
In[92]:=
8x0, y0< = 8−b ê H2 aL, −c ê H2 aL<
r = Sqrt@b ^ 2 + c ^ 2 − 4 a dD ê H2 Abs@aDL
Out[92]=
90,
Out[93]=
2
3
=
2
O centro da circunferência é o ponto (0, 3/2) e o raio é r = 2.
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
In[99]:=
67
H∗ O gráfico da circunferência do Exercício 18 ∗L
graficoDaCircunferencia@x0, y0, rD;
3
2
1
-2
In[81]:=
-1
1
2
H∗ O gráfico da circunferência do Exercício 18 ∗L
Show@ImplicitPlot@Hx − x0L ^ 2 + Hy − y0L ^ 2 − r ^ 2 0, 8x, x0 − r, x0 + r<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → Identity D,
ListPlot@88x0, y0<<, PlotStyle −> [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunction D;
3
2
1
-2
-1
1
19. Determine as interseções da reta x In[82]:=
Out[82]=
2
è!!!
3 y + 4 = 0 com a circunferência x2 + y2 = 16 e faça o gráfico.
0, x ^ 2 + y ^ 2
è!!!
98x → −4, y → 0<, 9x → 2, y → 2 3 ==
Solve@8x − Sqrt@3D y + 4
Os pontos de interseção são (-4, 0) e (2, 2
è!!!
3 ).
16<, 8x, y<D
68
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
In[90]:=
H∗ O gráfico da circunferência do Exercício 18 ∗L
8x0, y0< = 80, 0<; r = 4;
Show@Plot@x ê Sqrt@3D + 4 ê Sqrt@3D, 8x, x0 − r − 2, x0 + r + 1<,
PlotStyle −> 8RGBColor@0, 0, 1D<, DisplayFunction → Identity D,
ImplicitPlot@Hx − x0L ^ 2 + Hy − y0L ^ 2 − r ^ 2 0, 8x, x0 − r, x0 + r<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → Identity D,
ListPlot@88x0, y0<, 8−4, 0<, 82, 2 Sqrt@3D<<, PlotStyle −> [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD, AspectRatio → Automatic,
DisplayFunction → $DisplayFunction D;
4
2
-6
-4
-2
2
4
-2
-4
2.3 Distância entre dois pontos. Retas perpendiculares
22.4 Equação da circunferência
Exemplo 1 (* p.50 *)
Para se traçar gráficos de funções implícitas deve-se, primeiro, ativar o pacote Add-on: Graphics`ImplicitPlot`.
In[192]:=
In[193]:=
H∗ Ativa o pacote Add−on: Graphics`ImplicitPlot` ∗L
<< Graphics`ImplicitPlot`
H∗ Raio r e o centro Hx0, y0L da circunferência ∗L
r = 3;
8x0, y0< = 85, 2<;
Rijo Cal 1 Capítulo 2.nb
In[195]:=
Out[196]=
In[197]:=
69
H∗ Equação da circunferência ∗L
Clear@x, yD
Expand@Hx − x0L ^ 2 + Hy − y0L ^ 2D − r ^ 2
20 − 10 x + x2 − 4 y + y2
0
0
H∗ Gráfico da circunferência ∗L
Clear@x, yD
Show@ImplicitPlot@%% , 8x, 0, 10<,
PlotRange → 880, 10<, 8−3, 6<<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@88x0, y0<<, PlotStyle −> [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
6
4
2
2
-2
Exemplo 2 (* p.51 *)
Exemplo 3
(* p.52 *)
Exemplo 4 (* p.52 *)
Exemplo 5 (* p.53 *)
Exemplo 6 (* p.53 *)
Exemplo 7 (* p.54 *)
4
6
8
10
CAPÍTULO 3
Funções
Iniciar o MathKernel
In[1]:=
Out[1]=
2 + 2 H∗ Este comando inicia o MathKernel ∗L
4
3.1 Funções e gráficos
O conceito de funções é fundamental no Cálculo. Ele surge naturalmente em conexão com equações como
è!!!
y = x2 + 1, y = x /(x - 2), y = sen x,
Em cada um desses exemplos, cujos gráficos estão representados abaixo, x e y não são números fixos, mas variáveis. A
x atribuimos diferentes valores, a cada um dos quais corresponde um valor determinado de y. Por causa disso, dizemos
que x é uma variavel independente e y uma variável dependente.
In[1]:=
H∗ Gráfico da função y = x2 + 1 ∗L
Plot@x ^ 2 + 1, 8x, −2, 2<, AxesLabel → 8"x", "y"<D;
y
5
4
3
2
-2
-1
1
2
x
AxesLabel é uma opção para funções gráficas que especifica a legenda dos eixos de coordenadas.
2
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[2]:=
H∗
Gráfico da função y =
è!!!
x ëHx − 2L ∗L
Plot@Sqrt@xD ê Hx − 2L, 8x, 0, 4<,
PlotRange → 810, −10<, AxesLabel → 8"x", "y"<D;
y
10
7.5
5
2.5
1
-2.5
-5
-7.5
-10
In[3]:=
2
3
4
x
H∗ Gráfico da função sen x ∗L
Plot@Sin@xD, 8x, −2 Pi, 2 Pi<, AxesLabel → 8"x", "y"<D;
y
1
0.5
-6
-4
-2
-0.5
2
4
6
x
-1
Freqüentemente, a lei que a cada x faz corresponder um y é dada por uma expressão analítica, como as dadas acima.
Mas uma função pode muito bem ser dada por diferentes expressões analíticas em diferentes partes do seu domínio.
Por exemploo,
9 è!!!-x
è!!!!!!!
y=
se x § 0,
x se x ¥ 0.
Trata-se aqui de uma única função, que também pode ser descrita na forma seguinte:
è!!!!!!!!
y= »x»
Outro exemplo,
9 x +-x1 sese xx >§ 0,0.
è!!!!!!!!
y=
Desta vez não temos como reunir numa só as duas expressões que definem a função em x § 0 e em x > 0.
obstante, trata-se de uma única função.
Não
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[4]:=
3
è!!!!!!!!!
H∗ Gráfico da função y = »x» ∗L
Plot@Sqrt@Abs@xDD, 8x, −2, 2<, AxesLabel → 8"x", "y"<D;
y
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-2
In[5]:=
-1
1
2
x
è!!!!!!!!!
H∗ Gráfico da função y = »x» se x ≤ 0 e y = x + 1, se x > 0.∗L
Plot@If@x ≤ 0, Sqrt@Abs@xDD, x + 1D, 8x, −2, 2<, AxesLabel → 8"x", "y"<D;
y
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-2
-1
1
2
x
If[condição, t, f] resulta t se condição é verdadeira, e f se condição é falsa. If[condição, t,
f, u] resulta u se condição não for nem verdadeira nem falsa.
O que caracteriza uma função
É importante observar que, para caracterizar uma função, não basta dara lei que a cada x faz corresponder um y; é
preciso ficar claro qual o domínio da variável x, ao qual é chamado domínio da função. Mas é costume, ao se referir a
uma função, dar apenas a lei de correspondênciada variável independente para a variável dependente, em cujo caso
entende-se que o domínio seja o maior conjunto para o quala lei que define a função faz sentido. Por exemplo, quando
è!!!!!!!!!!!!!
se diz: "seja a função dada por y = x - 5 ", entende-se que seu domínio é o conjunto de todos os números x ¥ 5,
pois ela não tem significado para outros valores de x.
Terminologia e notação
è!!!!!!!!!!!!!
Podemos considerar a função dada pela mesma expressão anterior, y = x - 5 , porém com domínio menor, digamos
x > 10. As duas funções, embora definidas pela mesma expressão analítica, são diferentes, já que seus domínios são
diferentes.
4
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
É costume escrever y = f (x) para indicar que y é função de x, e que se lê "y é função de x". A rigor f (x) é o valor da
função no ponto x, ou imagem de de x, sendo mais correto dizer : "seja a função f" em vez de "seja a função f (x)",
mas, frequentemente, prefere-se esta última maneira de falar.
De acordo com esta notação, se f (x) = 4 x2 - 2 x + 7, então
= 4 t2 - 2 t + 7.
f(0) = 7, f(a) = 4 a2 - 2 a + 7, f(s) = 4 s2 - 2 s + 7, f(t)
No Mathematica, uma função f (x) de uma variável é escrita da seguinte maneira: f[x_] := expressão da
variável x atribuída a f. O sub-hifen em x é muito importante na definição da função. Às vezes, o sinal
de atribuição com retardo (:=) pode ser substituído pelo sinal de atribuição imediata (=). A
diferença entre esses dois tipos de atribuições é que no primeiro caso, a variável é atribuída à função como foi digitada,
sem nenhum cálculo imediato. Quando posteriormente se solicita o valor da função, ela é calculada com os valores
vigentes naquele momento. No caso da atribuição imediata, a função é calculada, simplificada e o resultado é atribuído
imediatamente após a digitação.
As atribuiçoeões acima perduram durante toda a sessão ou até que se limpe a função f com o comando Clear[f]. É
recomendável limpar as definições de funções ou variáves assim que não forem mais utilizadas durante a sessão, para
evitar que estas definições sejam utilizadas por outros cálculos, produzindo resultados indesejados.
Exemplos.
Dada a função f (x) = x2 + 3 x - 1, calcular f(2), f(-1), f(a + 1), f(3 x), f(1 - x), f(2 + h), f(a + 1), f(a
+ 1) - f(2), f(x + h) e f(x + h) - f(x)
In[6]:=
In[8]:=
H∗ Definição da função f HxL = x2 + 3 x − 1 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x ^ 2 + 3 x − 1
f@2D
f@−1D
f@a + 1D êê Simplify
f@3 xD
f@1 − xD êê Simplify
f@2 + hD êê Simplify
f@2 + hD − f@2D êê Simplify
f@x + hD − f@xD êê Simplify
Out[8]=
9
Out[9]=
−3
Out[10]=
3 + 5 a + a2
Out[11]=
−1 + 9 x + 9 x2
Out[12]=
3 − 5 x + x2
Out[13]=
9 + 7 h + h2
Out[14]=
h H3 + h + 2 xL
Out[15]=
h H7 + hL
Uma notação precisa
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
5
O modo correto de indicar uma função consiste em escrever
x # f(x); ou ainda, f : x # f(x),
que se lê, respectivamente, "a função leva x em f(x)" e "f leva x em f(x)" . Por exemplo,
x # 3 x2 ,
x # (x + 1)/(x - 1) e x # sen (x -7)
indicam três funções diferentes.
O contradomínio
Já observamos que a variável indepebdente de uma função assume valores num conjunto que é o domínio D. De modo
análogo, a variável dependente assume valores num outro conjunto Y, que é chamado contradomínio da função.
Enquanto que a variável dependente pode não assumir todos os valores do contradomínio Y, a variável independente
assume todos os valores do seu domínio D. Diz-se que uma função é injetiva quando ela leva diferentes valores de seu
domínio em diferentes valores do contra domínio; e sobrejetiva quando a variável dependente assume todos os valores
do contradomínio.
O argumento da função
A variável independente também costuma ser chamada argumento da função. Isto porque, às vezes, ela é substituida
è!!!!!!!!!!!!!!!
por toda uma expressão - que é o "argumento"- não apenas uma única letra. Por exemplo, se f(x) = x2 + 1 , então f(x
"#############################
- 1) = Hx - 1L2 + 1 , e agora o argumento da função é x - 1.
Gráfico e imagem
Podemos visualizar uma função f como o conjunto dos pares ordenados (x, f(x)), onde x varia no domínio de f, de
sorte que é correto escrever
f = { (x, f(x)): x œ D},
onde D é o domínio da função f considerada. Este conjunto também é chamado gráfico da função. A imagem da
função f é o conjunto de todos os valores f(x) para todos os possíveis valores de xem seu domínio. Costuma-se escrever
f(D) para indicar essa imagem do domínio.
Tudo que foi dito acima sobre funções pode-se ser rezumido da maneira seguinte:
Um símbolo x que serve para disignar os elementos de um conjunto D chama-se variável de domínio D. Quando duas
variáveis x e y são tais que a cada valor de x corresponde um valor bem determinado (único) de y, num conjunto Y ( o
contradomínio), segundo uma lei qualquer, dizemos que y é uma função de x.
6
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
Em resumo, una função é caracterizada por três ingredientes: um conjunto A de partida, chamdo domínio; um conjunto
B de chegada, chamdo contrdomínio e uma lei f que associa a cada elemento do domínio um único elemento do
contradomínio. Simbolicamente,
f: AöB
x # f(x)
As funções nem sempre são dadas por fórmulas. Muitas funções que ocorrem nas aplicações não têm fórmulas
específicas, como os sismogramas de um terremoto ou os perfis elétricos em poços de petróleo. Nesses casos, as
funções são conhecidas, ao menos parcialmente, por tabelas de valores, dados numéricos resultados de registros de
observações.
Modelos em ciências exatas
As chamadas ciências exatas (todas as ciências baseadas fundamentalmente na Matemática) interpretam o que chamamos de realidade por meios de modelos que explicam as observações com certo grau de confiabilidade. Quando novas
observações contradizem o modelo, este é reformulado e exaustivamente testado à luz de novas observações. Às vezes,
acontece que o modelo anterior é um caso particular do novo modelo. É o caso, por exemplo, da mecânica newtoniana
que é uma aproximação da mecânica relativista de Einstein. Os modelos nas ciências exatas são normalmente representados por sistemas de equações diferenciais, envolvendo funções de vários tipos. Um dos objetivos do Cálculo é
estudar detalhadamente o comportamento dessas funções.
Exemplos de funções
EXEMPLO 1. (GA1, pág. 38) As funções mais simples são aquelas dadas por equações do tipo y = m x + n, onde m
e n são constantes. Uma função deste tipo é chamada função afim, também frequentemente chamadas de função linear.
In[1]:=
H∗ Gráfico da função linear y = m x + n ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := m x + n;
m = 2; n = 3;
Plot@f@xD, 8x, −3, 3<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, AxesLabel → 8"x", "y"<D;
y
8
6
4
2
-3
-2
-1
1
2
3
x
-2
TableForm[lista] mostra os elementos de uma lista na forma de uma tabela.
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[4]:=
7
TableForm@Table@8x, f@xD<, 8x, −3, 3, .5<DD
Out[4]//TableForm=
−3
−2.5
−2.
−1.5
−1.
−0.5
0.
0.5
1.
1.5
2.
2.5
3.
−3
−2.
−1.
0.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
EXEMPLO 2. (GA1, pág. 38) Um exemplo concreto de uma função linear é dado pela fórmula de convenção da
temperatura, da escala Fahrenheit à escala Celsius:
In[5]:=
In[6]:=
H∗ Função linear de convenção da temperatura,
da escala Fahrenheit à escala Celsius. ∗L
Clear@f, cD; c@f_D := 5 ê 9 f − 160 ê 9
H∗ Gráfico da s funções c HfL = f e c HfL = 5 fê9 − 160ê9 ∗L
Plot@8f, c@fD<, 8f, −50, 50<,
PlotStyle → 88RGBColor@1, 0, 0D, [email protected]<D<, RGBColor@0, 0, 1D,
[email protected]<D<, AxesLabel → 8"x", "y"<D;
y
40
20
-40
-20
20
40
x
-20
-40
In[7]:=
Out[7]=
H∗ Valor da temperatura em que as duas escalas coincidem ∗L
Solve@5 ê 9 f − 160 ê 9
f, 8f<D
88f → −40<<
EXEMPLO 3. (GA1, pág. 39) A função valor absoluto ou função modelar é definida por f(x) = |x| para todo x, isto é
f(x) = 9
x se x ¥ 0,
-x se x < 0.
8
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[8]:=
In[10]:=
Out[10]=
In[11]:=
In[14]:=
H∗ Função valor absoluto. ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Abs@xD
H∗ Função valor absoluto nos pontos 3,−4 e 0. ∗L
8f@3D, f@−4D, f@0D<
83, 4, 0<
H∗ A função valor absoluto também pode ser escrita assim, no Mathematica ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x ê; x ≥ 0
f@x_D := −x ê; x < 0
H∗ Gráfico da função valor absoluto. ∗L
Plot@f@xD, 8x, −2, 2<, AxesLabel → 8"x", "y"<D;
y
2
1.5
1
0.5
-2
-1
1
2
x
O símbolo /; é equivalente ao símbolo If[condição, t, f].
EXEMPLO 3. (GA1, pág. 39) Consideremos agora a função y = |x - 2|, que também se escreve assim
f(x) = 9
In[15]:=
H∗ A função y = »x − 2» ∗L
Clear@x, yD;
y@x_D := x − 2 ê; x ≥ 2
y@x_D := −x + 2 ê; x < 2
x - 2 se x ¥ 2,
-x + 2 se x < 2.
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[18]:=
9
H∗ Gráfico da função y = »x − 2» ∗L
Plot@y@xD, 8x, −2, 6<, AxesLabel → 8"x", "y"<D;
y
4
3
2
1
-2
2
4
6
x
Exercícios
1. Dada a função f(x) = | x | - 2 x, calcule f(-1), f(1/2), f(-2/3).
In[1]:=
In[4]:=
Out[4]=
In[5]:=
H∗ A função f HxL = » x » − 2 x ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x − 2 x ê; x ≥ 0
f@x_D := −x − 2 x ê; x < 0
H∗ Calculo de f H−1L, f H1ê2L, f H−2ê3L ∗L
8f@−1D, f@1 ê 2D, f@−2 ê 3D<
93, −
1
, 2=
2
H∗ Gráfico de f HxL = » x » − 2 x ∗L
Plot@f@xD, 8x, −4, 4<, AxesLabel → 8"x", "y"<D;
y
10
7.5
5
2.5
-4
-2
-2.5
2
4
x
2. Dada a função f(x) = x2 - a2 , calcule f(x + a) e f(x - a).
In[1]:=
H∗ A função f HxL = x2 − a2 ∗L
Clear@a, x, fD;
f@x_D := x ^ 2 − a ^ 2
10
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[3]:=
Out[3]=
H∗ Calculo de f Hx + aL e f Hx − aL ∗L
8f@x + aD, f@x − aD< êê Simplify
8x H2 a + xL, x H−2 a + xL<
3. Sabendo-se que f(x + a) = x2 - a2 , encontre f(x ) e f(x - a).
A função f(x + a) = x2 - a2 é equivalente à função f(x ) = (x - a)2 - a2 . Portanto,
In[1]:=
In[3]:=
Out[3]=
H∗ A função f HxL = Hx − aL2 − a2 ∗L
Clear@a, x, fD;
f@x_D := Hx − aL ^ 2 − a ^ 2
H∗ Calculo de f HxL e f Hx − aL ∗L
8f@x D, f@x − aD< êê Simplify
8x H−2 a + xL, 3 a2 − 4 a x + x2 <
Nos Exercícios 4 a 21, encontre os domínios máximos de definição das funções dadase suas respectivas imagens, e faça
osgráficos dessas funções.
è!!!!!!!!!!!!!
4. y = x - 2 .
Domínio x ¥ 2 e a imagem y § 0.
In[1]:=
In[3]:=
è!!!!!!!!!!!!!!
H∗ A função y HxL =
x − 2 ∗L
Clear@x, yD;
y@x_D := Sqrt@x − 2D ê; x ≥ 2
è!!!!!!!!!!!!!!
H∗ Gráfico da função y HxL =
x − 2 ∗L
Plot@y@xD, 8x, 2, 4<, AxesLabel → 8"x", "y"<D;
y
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
5. y =
è!!!!!!!!!!!!!!
2 - x.
2.5
Domínio x § 2 e a imagem y ¥ 0.
In[1]:=
3
3.5
è!!!!!!!!!!!!!!
H∗ A função y HxL =
2 − x ∗L
Clear@x, yD;
y@x_D := Sqrt@2 − xD ê; x ≤ 2
4
x
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[3]:=
11
è!!!!!!!!!!!!!!
H∗ Gráfico da função y HxL =
2 − x ∗L
Plot@y@xD, 8x, −2, 2<, AxesLabel → 8"x", "y"<D;
y
2
1.5
1
0.5
-2
6. y =
è!!!!!!!!
!!!!!!!
x2 - 9 .
-1
1
2
x
Domínio x ¥ 3 e a imagem y ¥ 0.
In[1]:=
In[3]:=
è!!!!!!!!
!!!!!!!!
H∗ A função y HxL =
x2 − 9 ∗L
Clear@x, yD;
y@x_D := Sqrt@x ^ 2 − 9D ê; x ≥ 3
è!!!!!!!!
!!!!!!!!
H∗ Gráfico da função y HxL =
x2 − 9 ∗L
Plot@y@xD, 8x, 3, 6<, AxesLabel → 8"x", "y"<D;
y
5
4
3
2
1
7. y =
è!!!!!!!!
-x .
3.5
4
4.5
Domínio x § 0 e a imagem y ¥ 0.
In[1]:=
5
5.5
è!!!!!!
H∗ A função y HxL =
−x ∗L
Clear@x, yD;
y@x_D := Sqrt@−xD ê; x ≤ 0
6
x
12
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[3]:=
è!!!!!!!!
!!!!!!!!
H∗ Gráfico da função y HxL =
x2 − 9 ∗L
Plot@y@xD, 8x, −3, 0<, AxesLabel → 8"x", "y"<D;
y
1.75
1.5
1.25
1
0.75
0.5
0.25
8. y =
3
è!!!
x.
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
x
-0.5
Domínio  e a imagem y ¥ 0.
In[1]:=
In[4]:=
3
è!!!
H∗ A função y HxL = x ∗L
Clear@x, yD;
y@x_D := H−xL ^ H1 ê 3L ê; x ≤ 0
y@x_D := x ^ H1 ê 3L ê; x > 0
3
è!!!
!
H∗ Gráfico da função y HxL =
x ∗L
Plot@y@xD, 8x, −3, 3<, AxesLabel → 8"x", "y"<D;
y
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-3
9. y =
3
è!!!!!!
!
-x .
A função y =
-2
-1
1
3
è!!!!!!
!
-x pode ser reescrita assim
f(x) =
Domínio  e a imagem y ¥ 0.
2
9
3
x
3
è!!!!!!
!
-x se x § 0,
3
è!!!
x se x > 0.
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[1]:=
In[4]:=
13
3
è!!!!!!
H∗ A função y HxL = −x ∗L
Clear@x, yD;
y@x_D := H−xL ^ H1 ê 3L ê; x ≤ 0
y@x_D := x ^ H1 ê 3L ê; x > 0
3
è!!!!!!
H∗ Gráfico da função y HxL =
−x ∗L
Plot@y@xD, 8x, −3, 3<, AxesLabel → 8"x", "y"<D;
y
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-3
10. y =
3
è!!!!!!!!
!!!!!
x -2.
≤
A função y =
-2
-1
1
3
è!!!!!!!!
!!!!!
x - 2 pode ser reescrita assim
f(x) =
2
9
3
x
3
è!!!!!!!!
!!!!!!!!
-x + 2 se x § 2,
3
è!!!!!!!!
!!
x - 2 se x > 2.
Domínio  e a imagem y ¥ 0
In[1]:=
In[4]:=
3
è!!!!!!!!
!!!!!!
H∗ A função y HxL = x − 2 ∗L
Clear@x, yD;
y@x_D := H−x + 2L ^ H1 ê 3L ê; x ≤ 2
y@x_D := Hx − 2L ^ H1 ê 3L ê; x > 2
3
è!!!!!!!!
!!!!!!
H∗ Gráfico da função y HxL =
x − 2 ∗L
Plot@y@xD, 8x, −6, 10<, AxesLabel → 8"x", "y"<D;
y
2
1.5
1
0.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5
10
x
14
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
11. y = 1 ê Hx2 - 4L.
Domínio " x ∫ ± 2 e a imagem (¶, -1/4) ‹ (1/4, ¶)
In[1]:=
In[3]:=
H∗ A função y HxL = 1êHx2 − 4L ∗L
Clear@x, yD;
y@x_D := 1 ê Hx ^ 2 − 4L ê; x ≠ 2
3
è!!!!!!!!
!!!!!!
H∗ Gráfico da função y HxL =
x − 2 ∗L
Plot@y@xD, 8x, −4, 4<, PlotRange → 8−2, 2<, AxesLabel → 8"x", "y"<D;
y
2
1.5
1
0.5
-4
-2
2
-0.5
4
x
-1
-1.5
12. y =
-2
è!!!!!!!!!!!!!
x -5.
Domínio x ¥ 5 e a imagem y ¥ 0.
In[1]:=
In[3]:=
è!!!!!!!!!!!!!!
H∗ A função y HxL =
x − 5 ∗L
Clear@x, yD;
y@x_D := Sqrt@x − 5D ê; x ≥ 5
è!!!!!!!!!!!!!!
H∗ Gráfico da função y HxL =
x − 5 ∗L
Plot@y@xD, 8x, 5, 10<, AxesLabel → 8"x", "y"<D;
y
2
1.5
1
0.5
13. y =
è!!!!!!!!!!!!!!!!!
3 - 2x .
6
7
Domínio x § 3/2 e a imagem y ¥ 0.
8
9
10
x
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[1]:=
In[3]:=
15
è!!!!!!!!!!!!!!!!!
H∗ A função y HxL =
3 − 2 x ∗L
Clear@x, yD;
y@x_D := Sqrt@3 − 2 x D ê; x ≤ 3 ê 2
è!!!!!!!!!!!!!!!!!
H∗ Gráfico da função y HxL =
3 − 2 x ∗L
Plot@y@xD, 8x, −10, 3 ê 2<, PlotRange → 80, 5<, AxesLabel → 8"x", "y"<D;
y
5
4
3
2
1
è!!!!!!!!!!!!!!!
9 - x2 .
-10
14. y =
-8
-6
-4
x
-2
Domínio -3 § x § 3 e a imagem 0 § y § 3.
In[1]:=
In[3]:=
è!!!!!!!!!!!!!!!2!
H∗ A função y HxL =
9 − x ∗L
Clear@x, yD;
y@x_D := Sqrt@9 − x ^ 2 D ê; −3 ≤ x ≤ 3
è!!!!!!!!!!!!!!!2!
H∗ Gráfico da função y HxL =
9 − x ∗L
Plot@y@xD, 8x, −3, 3<, PlotRange → 80, 4<, AxesLabel → 8"x", "y"<D;
y
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
è!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!
x2 - 4 x + 3 .
-3
15. y =
-2
-1
1
2
3
x
Primeiro, devemos determinar os valores de x para que x2 - 4 x + 3 seja maior ou igual a zero. Para isso vamos usar o
comado InequalitySolve.
In[1]:=
H∗ Ativar o pacote Add−on: Algebra`InequalitySolve` ∗L
<< Algebra`InequalitySolve`
16
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[2]:=
Out[2]=
H∗ Resolve a inequação x^2 − 4 x + 3 ≥ 0 ∗L
InequalitySolve@x ^ 2 − 4 x + 3 ≥ 0, xD
x ≤ 1 »» x ≥ 3
Domínio (¶, 1] ‹ [3, ¶) e a imagem y ¥ 0.
In[3]:=
In[5]:=
è!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!
H∗ A função y HxL =
x2 − 4 x + 3 ∗L
Clear@x, yD;
y@x_D := Sqrt@x ^ 2 − 4 x + 3 D ê; x ≤ 1 »» x ≥ 3
è!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!
H∗ Gráfico da função y HxL =
x2 − 4 x + 3 ∗L
Show@
Plot@y@xD, 8x, −2, 1<, PlotRange → 80, 4<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<,
AxesLabel → 8"x", "y"<, DisplayFunction → IdentityD,
Plot@y@xD, 8x, 3, 6<, PlotRange → 80, 4<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
y
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-2
16. y =
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
4 x - 3 - x2 .
2
4
6
x
Primeiro, devemos determinar os valores de x para que 4 x - 3 - x2 seja maior ou igual a zero.
In[1]:=
Out[1]=
H∗ Resolve a inequação 4 x −3 − x^2 ≥ 0 ∗L
InequalitySolve@4 x − 3 − x ^ 2 ≥ 0, xD
1≤x≤3
Domínio 1 § x § 3 e a imagem 0 § y § 1.
In[2]:=
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
4 x − 3 − x2 ∗L
H∗ A função y HxL =
Clear@x, yD;
y@x_D := Sqrt@4 x − 3 − x ^ 2 D ê; 1 ≤ x ≤ 3
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[4]:=
17
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
H∗ Gráfico da função y HxL =
4 x − 3 − x2 ∗L
Plot@y@xD, 8x, 1, 3<, AxesLabel → 8"x", "y"<D;
y
1
0.8
0.6
0.4
0.2
è!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!
x2 + 3 x - 10 .
1.5
17. y =
2
2.5
3
x
Primeiro, devemos determinar os valores de x para que x2 + 3 x - 10 seja maior ou igual a zero.
In[1]:=
Out[1]=
H∗ Resolve a inequação x^2 + 3 x −10 ≥ 0 ∗L
InequalitySolve@ x ^ 2 + 3 x − 10 ≥ 0, xD
x ≤ −5 »» x ≥ 2
Domínio (¶, -5] ‹ [2, ¶) e a imagem y ¥ 0.
In[2]:=
In[4]:=
è!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!
H∗ A função y HxL =
x2 + 3 x − 10 ∗L
Clear@x, yD;
y@x_D := Sqrt@x ^ 2 + 3 x − 10 D ê; x ≤ −5 »» x ≥ 2
è!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!
H∗ Gráfico da função y HxL =
x2 + 3 x −10 ∗L
Show@Plot@y@xD, 8x, −23, −5<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<,
AxesLabel → 8"x", "y"<, DisplayFunction → IdentityD,
Plot@y@xD, 8x, 2, 20<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
y
20
15
10
5
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!2!
2x + 3 - x .
-20
18. y =
-10
10
20
x
Primeiro, devemos determinar os valores de x para que 2 x + 3 - x2 seja maior ou igual a zero.
18
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[1]:=
Out[1]=
H∗ Resolve a inequação 2 x + 3 − x^2 ≥ 0 ∗L
InequalitySolve@ 2 x + 3 − x ^ 2 ≥ 0, xD
−1 ≤ x ≤ 3
Domínio -1 § x § 3 e a imagem 0 § y § 2
In[2]:=
In[4]:=
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
H∗ A função y HxL =
2 x + 3 − x2 ∗L
Clear@x, yD;
y@x_D := Sqrt@2 x + 3 − x ^ 2 D ê; −1 ≤ x ≤ 3
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
H∗ Gráfico da função y HxL =
2 x + 3 − x2 ∗L
Plot@y@xD, 8x, −1, 3<, AxesLabel → 8"x", "y"<D;
y
2
1.5
1
0.5
-1
1
2
3
x
19. y = -4 ê Hx2 - 3L
è!!!
Domínio x ∫ ± 3 e a imagem y = (-¶ , 0) ‹ (4/3, ¶).
In[1]:=
In[2]:=
H∗ A função y HxL = −4êHx2 − 3L ∗L
Clear@x, yD;
è!!!!
3;
y@x_D := −4 ê Hx 2 − 3L ê; x ≠
H∗ Gráfico da função y HxL = −4êHx2 − 3L ∗L
Plot@y@xD, 8x, −3, 3<, AxesLabel → 8"x", "y"<D;
y
30
20
10
-3
-2
-1
1
-10
-20
-30
20. y = 1/[(x - 1) (x - 3)]
Domínio x ∫ 1 e x ∫ 3 e a imagem .
2
3
x
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[1]:=
In[2]:=
19
H∗ A função y HxL = 1ê@Hx −1L Hx −3LD ∗L
Clear@x, yD;
y@x_D := 1 ê HHx − 1L Hx − 3LL ê; x ≠ 1 && x ≠ 3;
H∗ Gráfico da função y HxL = 1ê@Hx −1L Hx −3LD ∗L
Plot@y@xD, 8x, 0, 4<, AxesLabel → 8"x", "y"<D;
y
20
10
1
2
3
4
x
-10
-20
21. y = -9/[(x + 2) (x - 4)]
Domínio x ∫ -2 e x ∫ 4 e a imagem .
In[1]:=
In[2]:=
H∗ A função y HxL = 9ê@Hx + 2L Hx − 4LD ∗L
Clear@x, yD;
y@x_D := 9 ê HHx + 2L Hx − 4LL ê; x ≠ −2 && x ≠ 4;
H∗ Gráfico da função y HxL = 9ê@Hx + 2L Hx − 4LD ∗L
Plot@y@xD, 8x, 0, 8<, AxesLabel → 8"x", "y"<D;
y
20
10
2
4
6
8
x
-10
-20
Constua os gráficos da funções dadas nos Exercícios 22 a 35.
22. f(x) = | x | - x.
Domínio  e a imagem y ¥ 0.
In[1]:=
H∗ A função f HxL = »x» − x ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Abs@xD − x
20
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[3]:=
H∗ Gráfico da função f HxL = »x» − x ∗L
Plot@f@xD, 8x, −3, 3<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, AxesLabel → 8"x", "y"<D;
y
6
5
4
3
2
1
-3
-2
-1
1
2
3
x
23. f(x) = | x |/x.
Domínio x ∫ 0 e a imagem y = ± 1
In[1]:=
In[3]:=
H∗ A função f HxL = »x»êx ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Abs@xD ê x ê; x ≠ 0;
H∗ Gráfico da função f HxL = »x»êx ∗L
Show@Plot@f@xD, 8x, −3, 0<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<,
AxesLabel → 8"x", "y"<, DisplayFunction → IdentityD,
Plot@f@xD, 8x, 0, 3<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
y
1
0.5
-3
-2
-1
1
2
3
x
-0.5
-1
24. f(x) = | x - 3 |/(x - 3).
Domínio x ∫ 3 e a imagem y = ± 1
In[1]:=
H∗ A função f HxL = »x − 3»êHx − 3L ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Abs@x − 3D ê Hx − 3L ê; x ≠ 3;
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[3]:=
21
H∗ Gráfico da função f HxL = »x − 3»êHx − 3L ∗L
Show@Plot@f@xD, 8x, −2, 3<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<,
AxesLabel → 8"x", "y"<, DisplayFunction → IdentityD,
Plot@f@xD, 8x, 3, 6<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
y
1
0.5
-2
2
4
6
x
-0.5
-1
25. f(x) = (x + 5)/| x + 5 |
Domínio x ∫ -5 e a imagem y = ± 1
In[1]:=
In[3]:=
H∗ A função f HxL = Hx + 5Lê»x + 5» ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Hx + 5L ê Abs@x + 5D ê; x ≠ −5;
H∗ Gráfico da função f HxL = Hx + 5Lê»x + 5» ∗L
Show@Plot@f@xD, 8x, −10, −5<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<,
AxesLabel → 8"x", "y"<, DisplayFunction → IdentityD,
Plot@f@xD, 8x, −5, 4<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
y
1
0.5
-10 -8
-6
-4
-2
2
4
x
-0.5
-1
26. f(x) = 2| x + 1 |/3
Domínio  e a imagem y ¥ 2/3
In[1]:=
H∗ A função f HxL = 2»x + 1»ê3 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := 2 Abs@x + 1D ê 3
22
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[3]:=
H∗ Gráfico da função f HxL = 2»x + 5»ê3 ∗L
Plot@f@xD, 8x, −4, 2<, AxesLabel → 8"x", "y"<, AspectRatio → AutomaticD;
y
2
1.5
1
0.5
-4
-3
-2
-1
è!!!!!!!!!!!!!!2!
5- x
è!!!
è!!!
è!!!
Domínio - 5 § x § 5 e a imagem 0 § y § 5 .
1
2
x
27. f(x) =
In[1]:=
In[3]:=
è!!!!!!!!!!!!!!!!
H∗ A função f HxL = 5 − x2 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Sqrt@5 − x ^ 2D ê; −Sqrt@5D ≤ x ≤ Sqrt@5D;
è!!!!!!!!!!!!!!!!
H∗ Gráfico da função f HxL = 5 − x2 ∗L
Plot@f@xD, 8x, −Sqrt@5D, Sqrt@5D<, AxesLabel → 8"x", "y"<D;
y
2
1.5
1
0.5
x
è!!!!!!!!!!!!!!!
28. f(x) = - 7 - x2
è!!!
è!!!
è!!!
Domínio - 7 § x § 7 e a imagem - 7 § y § 0.
-2
In[1]:=
In[3]:=
-1
1
2
è!!!!!!!!!!!!!!!!
H∗ A função f HxL = − 7 − x2 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := −Sqrt@7 − x ^ 2D ê; −Sqrt@7D ≤ x ≤ Sqrt@7D;
è!!!!!!!!!!!!!!!!
H∗ Gráfico da função f HxL = − 7 − x2 ∗L
Plot@f@xD, 8x, −Sqrt@7D, Sqrt@7D<, AxesLabel → 8"x", "y"<D;
y
-2
29. f(x) = 1 +
-1
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
è!!!!!!!!!!!!!!!!!2
10 - x
1
2
x
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
23
è!!!!!!
è!!!!!!
è!!!!!!
Domínio - 10 § x § 10 e a imagem 0 § y § 1 + 10 .
In[1]:=
In[3]:=
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!
H∗ A função f HxL = 1 + 10 − x2 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := 1 + Sqrt@10 − x ^ 2D ê; −Sqrt@10D ≤ x ≤ Sqrt@10D;
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!
H∗ Gráfico da função f HxL = 1 + 10 − x2 ∗L
Plot@f@xD, 8x, −Sqrt@10D, Sqrt@10D<,
AxesLabel → 8"x", "y"<, AspectRatio → AutomaticD;
y
4
3.5
3
2.5
2
1.5
è!!!!!!!!!!!!!!!!!
16 - x2
-3 -2 -1
30. f(x) = 2 -
1
2
3
x
Domínio - 4 § x § 4 e a imagem -2 § y § 2.
In[1]:=
In[3]:=
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!
H∗ A função f HxL = 2 − 16 − x2 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := 2 − Sqrt@16 − x ^ 2D ê; −4 ≤ x ≤ 4;
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!
H∗ Gráfico da função f HxL = 2 − 16 − x2 ∗L
Plot@f@xD, 8x, −4, 4<, AxesLabel → 8"x", "y"<, AspectRatio → AutomaticD;
y
2
1
-4
-2
2
4
x
-1
-2
31. f(x) = - 1 +
In[1]:=
Out[1]=
H∗ Resolve a inequação 6 − Hx − 1L^2 ≥ 0 ∗L
InequalitySolve@6 − Hx − 1L ^ 2 ≥ 0, xD
è!!!
è!!!
1− 6 ≤x≤1+ 6
Domínio - 1 In[2]:=
"#########################2#
6 - Hx - 1L
è!!!
è!!!
è!!!
6 § x § 1 + 6 e a imagem -1 § y § .- 1 + 5
H∗ A função f HxL = −1 +
Clear@x, fD;
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
6 − Hx − 1L2 ∗L
f@x_D := −1 + Sqrt@6 − Hx − 1L ^ 2D ê; 1 −
è!!!!
è!!!!
6 ≤ x ≤ 1+ 6;
24
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[4]:=
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
H∗ Gráfico da função f HxL = −1 + 6 − Hx − 1L2 ∗L
è!!!!
è!!!!
PlotAf@xD, 9x, 1 − 6 , 1 + 6 =, AxesLabel → 8"x", "y"<E;
y
1.5
1
0.5
-1
-0.5
1
2
3
x
-1
32. f(x) =
In[1]:=
Out[1]=
"############################2#
9 - H2 - xL
H∗ Resolve a inequação 9− H2 − xL^2 ≥ 0 ∗L
InequalitySolve@9 − H2 − xL ^ 2 ≥ 0, xD
−1 ≤ x ≤ 5
Domínio - 1 § x § 5 e a imagem 0 § y § 3.
In[2]:=
In[4]:=
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
H∗ A função f HxL = 9 − H2 − xL2 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Sqrt@9 − H2 − xL ^ 2D ê; −1 ≤ x ≤ 5;
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
H∗ Gráfico da função f HxL = 9 − H2 − xL2 ∗L
Plot@f@xD, 8x, −1 , 5 <, AxesLabel → 8"x", "y"<D;
y
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-1
1
2
3
4
5
x
33. f(x) = | x | + x
Domínio  e a imagem y ¥ 0..
In[1]:=
H∗ A função f HxL = »x» + x ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Abs@xD + x
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[3]:=
25
H∗ Gráfico da função f HxL = »x» + x ∗L
Plot@f@xD, 8x, −4 , 4<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, AxesLabel → 8"x", "y"<D;
y
8
6
4
2
-4
34. f(x) = 7/2 In[1]:=
Out[1]=
2
"###############################2
13 - H2 + xL
4
x
H∗ Resolve a inequação 13 − H2 + xL^2 ≥ 0∗L
InequalitySolve@13 − H2 + xL ^ 2 ≥ 0, xD
è!!!!!!
è!!!!!!
−2 − 13 ≤ x ≤ −2 + 13
Domínio −2 −
In[2]:=
-2
è!!!!!!
è!!!!!!
è!!!!!!
13 ≤ x ≤ −2 + 13 e a imagem 7 ê 2 − 13 § y § 7/2.
H∗ A função f HxL = 7ê2 −
Clear@x, fD;
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!
13 − H2 + xL2 ∗L
f@x_D := 7 ê 2 − Sqrt@13 − H2 + xL ^ 2D ê; −2 −
In[4]:=
è!!!!!!
è!!!!!!
13 ≤ x ≤ −2 + 13 ;
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!
H∗ Gráfico da função f HxL = 7ê2 − 13 − H2 + xL2 ∗L
è!!!!!!
è!!!!!!
PlotAf@xD, 9x, −2 − 13 , −2 + 13 =, AxesLabel → 8"x", "y"<E;
y
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
9 è!!!!!!!!
!!!!!!!
1- x
-5 -4 -3 -2 -1
1
x
1 - x se x § 0,
35. f(x) =
2
se 0 § x § 1.
Domínio x § 1 e a imagem y ¥ 0.
In[1]:=
H∗ A função f HxL = 1 − x se x ≤ 0; f HxL =
Clear@x, fD;
f@x_D := 1 − x ê; x ≤ 0;
f@x_D := Sqrt@1 − x ^ 2D ê; 0 ≤ x ≤ 1;
è!!!!!!!!!!!!!!!!
1 − x2 se 0 ≤ x ≤ 1. ∗L
26
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[4]:=
H∗ Gráfico da função f HxL = 1 − x se x ≤ 0;
è!!!!!!!!!!!!!!!!
f HxL = 1 − x2 se 0 ≤ x ≤ 1. ∗L
Plot@f@xD, 8x, −2 , 1<, AxesLabel → 8"x", "y"<D;
y
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-2 -1.5 -1 -0.5
0.5
1
x
36. Dada a função f(x) = (1 + x)/(1 - x), mostre que f(1/(1 + x)) = (2 + x)/x, f(1/(1 - x)) = (x - 2)/x, f( - x) = 1/f(x), f( f(x) )
= -1/x,
In[1]:=
In[3]:=
Out[3]=
In[4]:=
Out[4]=
In[5]:=
Out[5]=
In[6]:=
Out[6]=
In[7]:=
Out[7]=
H∗ A função f HxL = H1 + x LêH1 − xL ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := H1 + xL ê H1 − xL
H∗ Cálculo de f H1êH1 + xLL ∗L
f@1 ê H1 + xLD êê Simplify
2+x
x
H∗ Cálculo de f H1êH1 − xLL ∗L
f@1 ê H1 − xLD êê Simplify
−2 + x
x
H∗ Cálculo de f H−xL ∗L
f@−xD êê Simplify
1−x
1+x
H∗ Cálculo de f H1êxL ∗L
f@1 ê xD êê Simplify
1+x
−1 + x
H∗ Cálculo de f Hf HxLL ∗L
f@f@xDD êê Simplify
−
1
x
37. Dada a função f(x) =
è!!!!!!!!!!!!!!2!
1 - x , mostre que f(f( x)) = | x |.
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
27
è!!!!!!!!!%!!!!!
! 2 è!!!!!!
2M =
f(f( x)) = $%%%%%%%%%%%%%%%%
1 - I 1%%%%%%%%
- x%%%%%%%%%
x2 = | x |.
38. Dada a função f(x) = x2 e g(x) =
è!!!
x , mostre que f(g( x)) = x para x ¥ 0 e g(s( x)) = | x | para x real.
è!!! 2
f(g( x)) = I x M = x , para x ¥ 0.
è!!!!!
g(f( x)) = x2 = + x = | x | para x ¥ 0.
39. Encontre a função f (inclusive seu domínio) que satisfaça a propriedade (f(x) - 3)/ (f(x) + 3) = x .
Multiplicado os dois lados da equação por (f(x) + 3), obtemos (f(x) - 3) = (f(x) + 3)x. Daqui, segue que f(x)(1 - x) = 3(x
+ 1). Supondo x ∫ 1, podemos devidir os dois membros por (1 - x). Logo, f(x) = 3(x + 1)/(1 - x). O domínio da função é x
∫ 1.
40. Generalize ncontre a função f (inclusive seu domínio) que satisfaça a propriedade (f(x) - a)/ (f(x) + b) = x.
Multiplicado os dois lados da equação por (f(x) + b), obtemos (f(x) - a) = (f(x) + b)x . Daqui, segue que f(x)(1 - x) = a +
bx. Supondo x ∫ 1, podemos devidir os dois membros por (1 - x). Logo, f(x) = (a + bx)/(1 - x). O domínio da função é x
∫ 1.
3.2 A parábola
As funções mais simple depois da função linear são as dadas por um trinômio do 20 frau, y = f HxL = ax2 + bx + c.
Os gráficos dessas funções são parábolas.
Comecemos com a função y = f HxL = x2 , ( a = 1, b = c = 0), que está definida para todo número real. Com o Mathematica é facil calcular os valores dessa função para diferentes valores de x. De fato,
In[1]:=
In[3]:=
H∗ A função y = f HxL = x2 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x ^ 2
H∗ Cálculo da função y = x2 nos pontos −3ê2, −1, −1ê2, 0, 1ê2, 1, 3ê2 ∗L
TableForm@Table@8x, f@xD<, 8x, −3 ê 2, 3 ê 2, 1 ê 2<DD
Out[3]//TableForm=
− 32
−1
−
0
1
2
9
4
1
1
4
0
1
2
1
4
1
1
3
2
9
4
28
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
O gráfico da função f(x) = x2 também é fácil de ser desenhado com o Mathematica. Vejamos, então,
In[1]:=
H∗ Fig 3.6 GA1. Gráfico da função y = x2 ∗L
Plot@x ^ 2, 8x, −5 ê 2, 5 ê 2<, AxesLabel → 8"x", "y"<D;
y
6
5
4
3
2
1
-2
-1
1
x
2
Este é o gráfico da parábola simétrica em relação ao eixo Oy. Isto significa que f(-x) = f(x). Uma função que goza
desta propriedade é dita uma função par.
O gráfico da função f(x) = -x2 é geometricamente idêntico ao gráfico da função y = x2 , porém refletido no eixo Ox, como
ilusta a figura abaixo.
In[1]:=
H∗ Fig 3.7 GA1. Gráfico da função y = −x2 ∗L
Plot@−x ^ 2, 8x, −5 ê 2, 5 ê 2<, AxesLabel → 8"x", "y"<D;
y
-2
-1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
x
Parábolas mais aberta e mais fechadas
As funções y = 2 x2 e y = x2 ê 2 têm gráficos que podem ser obtidos magnificando e contraindo, respectivamente, pelo
fator 2, as ordenadas do gráfico de y = x2. . As figuas abaixo mostram os gráficos dessas duas fubções.
In[1]:=
H∗ Fig 3.8 GA1. Gráficos das funções y = x2 HpretoL,
y = 2 x2 HvermelhoL e y = x2 ê2 HazulL ∗L
p1 = Plot@8x ^ 2, 2 x2 <, 8x, −3, 3<,
PlotStyle → 8RGBColor@0, 0, 0D, RGBColor@1, 0, 0D<,
PlotRange → 80, 4<, AspectRatio −> Automatic, AxesLabel → 8"x", "y"<,
DisplayFunction → IdentityD; p2 = Plot@8x ^ 2, x2 ê 2<, 8x, −3, 3<,
PlotStyle → 8RGBColor@0, 0, 0D, RGBColor@0, 0, 1D<, PlotRange → 80, 4<,
AspectRatio −> Automatic, AxesLabel → 8"x", "y"<,
DisplayFunction → IdentityD;
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[2]:=
29
Show@GraphicsArray@8p1, p2<D, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
y
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-3 -2 -1
y
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
1
2
3
x
-3 -2 -1
1
2
3
x
Os gráficos das funções y = -2 x2 e y = -x2 ê 2 são obtidos dos dois anteriores por simples reflexãono eixo Ox, como
ilustra as figuras abaixo.
In[1]:=
In[2]:=
H∗ Fig 3.9 GA1. Gráficos das funções y = −x2 HpretoL,
y = −2 x2 HvermelhoL e y = −x2 ê2 HazulL ∗L
p1 = Plot@8−x ^ 2, −2 x2 <, 8x, −3, 3<,
PlotStyle → 8RGBColor@0, 0, 0D, RGBColor@1, 0, 0D<,
PlotRange → 80, −4<, AspectRatio −> Automatic,
AxesLabel → 8"x", "y"<, DisplayFunction → IdentityD;
p2 = Plot@8−x ^ 2, −x2 ê 2<, 8x, −3, 3<,
PlotStyle → 8RGBColor@0, 0, 0D, RGBColor@0, 0, 1D<, PlotRange → 80, −4<,
AspectRatio −> Automatic, AxesLabel → 8"x", "y"<,
DisplayFunction → IdentityD;
Show@GraphicsArray@8p1, p2<D, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
y
-3 -2 -1
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
-3.5
-4
y
1
2
3
x
-3 -2 -1
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
-3.5
-4
1
2
3
x
Em geral o gráfico de y = k x2 tem o mesmo aspecto que o de y = x2 se k > 0, ou de y = - k x2 se k < 0., sendo mais aberto
ou mais fechado, dependendo do valor de k.
Parábolas transladadas
A partir dos gráficos anteriores, pode-se obter o gráfico de qualquer trinômio y = a x2 + b x + c por simples operações de
translação. Vejamos alguns exemplos, começando com os mais simples. Assim, os gráficos de funções como y = x2 + 2 e
y = x2 - 3 são obtidas do gráfico y = x2 portranslação ao longo do eixo Oy; no primeiro casa a translação é de duas
unidades para cima, e no segundo é de três unidades para baixo.
30
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[1]:=
In[2]:=
H∗ Fig 3.11 GA1. Gráficos das funções y = x2 + 2 y = x2 − 3 ∗L
p1 = Plot@x ^ 2 + 2, 8x, −3, 3<, PlotRange → 80, 8<, AspectRatio → Automatic,
AxesLabel → 8"x", "y"<, DisplayFunction → IdentityD;
p2 = Plot@x ^ 2 − 3, 8x, −3, 3<, AspectRatio → Automatic,
AxesLabel → 8"x", "y"<, DisplayFunction → IdentityD;
Show@GraphicsArray@8p1, p2<D, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
y
8
y
6
7
6
4
5
2
4
3
2
-3 -2 -1
1 2 3
x
1
-3 -2 -1
1 2 3
-2
x
Analogamente, os gráficos de de funções como y = -x2 + 2 e y = -x2 - 3 são obtidas do gráfico de y = x2 por translação de
duas unidades para cima e três unidades para baixo, respectivamente. Eis os gráficos:
In[1]:=
In[2]:=
H∗ Gráficos das funções y = −x2 + 2, y = −x2 − 3 ∗L
p1 = Plot@−x ^ 2 + 2, 8x, −3, 3<, PlotRange → 8−2, 4<, AspectRatio −> Automatic,
AxesLabel → 8"x", "y"<, DisplayFunction → IdentityD;
p2 = Plot@−x ^ 2 − 3, 8x, −3, 3<, PlotRange → 80, −8<,
AspectRatio −> Automatic,
AxesLabel → 8"x", "y"<, DisplayFunction → IdentityD;
Show@GraphicsArray@8p1, p2<D, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
y
4
y
-3 -2 -1
-1
3
1 2 3
x
-2
2
-3
1
-4
-3 -2 -1
1
-1
-2
2
3
x
-5
-6
-7
-8
Vamos considerar, em seguida, o trinômio y = x2 + 6 x + 11. Podemos reescrever o tinômio da seguinte forma y =
Hx + 3L2 + 2.
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[3]:=
31
H∗ Fig 3.12 GA1. Gráfico do trbômio y = x2 + 6 x + 11 ∗L
Plot@x ^ 2 + 6 x + 11, 8x, −8, 2<,
AxesLabel → 8"x", "y"<, AspectRatio −> AutomaticD;
y
25
20
15
10
5
-8-6-4-2
2
x
Para entender este gráfico, vamos reescrever o tinômio y = x2 + 6 x + 11 da seguinte forma y = Hx + 3L2 + 2. Trata-se,
então, do gráfico de uma parábola, dedeslocado de duas unidades para cima e três unidades para esquerda. Em geral, o
gráfico de uma função do tipo y = Hx - aL2 + b representa uma parábola deslocada para cima (b > 0) ou para baixo (b > 0),
para a direita (a > 0) ou para a esquerda (a < 0).
Outro exemplo é dado pela função y = 2x2 - 3 x. Neste caso, a função toma a forma y = 2Hx - 3 ê 4L2 - 9/8. Vejamos o
gráfico:
In[4]:=
H∗ Fig 3.13 GA1. Gráfico do trinômio y = 2 x2 − 3 x ∗L
Plot@2 Hx − 3 ê 4L2 − 9 ê 8, 8x, −3 ê 2, 3<,
AxesLabel → 8"x", "y"<, AspectRatio −> AutomaticD;
y
8
6
4
2
-1
1 2 3
A parábola
x
è!!!
x
è!!!
Ainda como exemplo de parábola, vamos considerar a função y = x , cujo domínio de definição é o conjunto dos pontos
è!!!
x ¥ 0. A imagem desta função é também x ¥ 0. Elevando y = x ao quadrado, obtemos x = y2 . Portanto, considerando x
y=
32
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
como função de y, com y ¥ 0, obtemos o gráfico de uma parábola nos eixos de coordenadas Oyx. A função y =
inversa da função x = y2 . Vejamos os gráficos dessas duas funções.
In[1]:=
è!!!
x éa
è!!!
H∗ Fig 1.14 GA1. Gráficos das funções x = y2 e y = x ∗L
p1 = Plot@y ^ 2, 8y, 0, 1<,
AspectRatio −> Automatic, Epilog → 8Text@"x = y2 ", 8.6, .7<D<,
AxesLabel → 8"y", "x"<, DisplayFunction → IdentityD;
p2 = PlotASqrt@xD, 8x, 0, 1<, AspectRatio −> Automatic,
è!!!!
Epilog → 9TextA"y =
x ", 8.8, .7<E=,
AxesLabel → 8"x", "y"<, DisplayFunction → IdentityE;
In[3]:=
Show@GraphicsArray@8p1, p2<D, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
x
1
0.8
y
1
0.8
x = y2
y =
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2 0.4 0.6 0.8 1
y
è!!!
x
0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
è!!!
H∗ Fig 1.15 GA1. Gráfico das funções y = x2 e y = x ∗L
PlotA8x ^ 2, x, Sqrt@xD<, 8x, 0, 3 ê 2<, PlotRange → 80, 3 ê 2<,
Desenhando estes dois gráficos numa mesma figura, notamos que eles são simétricos com relação à linha y = x.
In[4]:=
PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0D, [email protected]<D, RGBColor@0, 0, 1D<,
AxesLabel → 8"x", "y"<,
è!!!!
x ", 81.3, 1.0<E=,
Epilog → 9Text@"y = x2 ", 8.9, 1.3<D, TextA"y =
AspectRatio → AutomaticE;
y
1.4
y = x2
1.2
1
y =
è!!!
x
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
x
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
Exercícios
1. Dada a função f(x) = x2 - 3 x + 1, calcule f(-2/3), f(-a), f(a - 1), f(a + 1), f(1 - a), f(2 + h), f(a + h).
In[1]:=
In[3]:=
Out[5]=
H∗ A função f HxL = x2 − 3 x + 1 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x ^ 2 − 3 x + 1
H∗ Calcula a função f HxL = x2 − 3 x + 1 nos pontos f H−2ê3L,
f H−aL, f Ha−1L, f Ha+1L, f H1−aL, f H2+hL, f Ha + hL. ∗L
Clear@a, hD;
x = 8−2 ê 3, −a, a − 1, 1 − a, 2 + h, a + h<;
f@xD êê Expand
9
31
, 1 + 3 a + a2 , 5 − 5 a + a2 , −1 + a + a2 , −1 + h + h2 , 1 − 3 a + a2 − 3 h + 2 a h + h2 =
9
2. Dada a função f(x) = x2 + 1, mostre que calcule f(1/a) = f HaL ê a2 .
In[1]:=
In[3]:=
Out[4]=
H∗ A função f HxL = x2 + 1 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x ^ 2 + 1
H∗ Multiplicando e dividindo f H1êaL por a2 ∗L
a ^ 2 f@1 ê aD êê Simplify;
% ê a^2
1 + a2
a2
Faça os gráficos das funções dadas nos Exerc;icios 3 a 26.
3. y = Hx - 2 L2 .
In[1]:=
H∗ A função f HxL = Hx − 2L2 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Hx − 2L2
33
34
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[3]:=
H∗ Gráfico da função y = Hx − 2L2 ∗L
Plot@f@xD , 8x, −1, 5<, AxesLabel → 8"x", "y"<, AspectRatio −> AutomaticD;
y
8
6
4
2
-1
4. y = Hx + 3 L2 .
In[1]:=
In[3]:=
1 2 3 4 5
x
H∗ A função f HxL = Hx + 3L2 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Hx + 3L2
H∗ Gráfico da função y = Hx + 3L2 ∗L
Plot@f@xD , 8x, −7, 1<, AxesLabel → 8"x", "y"<, AspectRatio −> AutomaticD;
y
15
12.5
10
7.5
5
2.5
-6 -4 -2
5. y = -x2 + 4/7.
In[1]:=
x
H∗ A função f HxL = −x2 +4ê7 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := −x2 + 4 ê 7
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[3]:=
35
H∗ Gráfico da função y = −x2 + 4ê7∗L
Plot@f@xD, 8x, −2, 2<, AxesLabel → 8"x", "y"<, AspectRatio −> AutomaticD;
y
-2
-1
1
2
x
-1
-2
-3
6. y = 3x2
In[1]:=
In[3]:=
H∗ A função f HxL = 3 x2 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := 3 x2
H∗ Gráfico da função y = 3 x2 ∗L
Plot@f@xD , 8x, −1, 1<, AxesLabel → 8"x", "y"<, AspectRatio −> AutomaticD;
y
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-1 -0.5
7. y = 2x2 /3.
In[1]:=
0.5
1
x
H∗ A função f HxL = 2 x2 ê3 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := 2 x2 ê 3
36
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[3]:=
H∗ Gráfico da função y = 2 x2 ê3 ∗L
Plot@f@xD, 8x, −2, 2<, AxesLabel → 8"x", "y"<, AspectRatio −> AutomaticD;
y
2.5
2
1.5
1
0.5
-2
-1
1
2
x
8. y = 3x2 \/2.
In[1]:=
In[3]:=
H∗ A função f HxL = 3 x2 ê2 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := 3 x2 ê 2
H∗ Gráfico da função y = 3 x2 ê2 ∗L
Plot@f@xD, 8x, −2, 2<, AxesLabel → 8"x", "y"<, AspectRatio −> AutomaticD;
y
6
5
4
3
2
1
-2
-1
9. y = -5x2 ê 3 + 3.
In[1]:=
1
2
x
H∗ A função f HxL = −5 x2 ê3 + 3 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := −5 x2 ê 3 + 3
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[3]:=
37
H∗ Gráfico da função y = −5 x2 ê3 + 3 ∗L
Plot@f@xD, 8x, −2, 2<, AxesLabel → 8"x", "y"<, AspectRatio −> AutomaticD;
y
3
2
1
-2
-1
1
2
x
-1
-2
-3
10. y = -x2 /5 - 2.
In[1]:=
In[3]:=
H∗ A função f HxL = −x2 ê5 − 2 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := −x2 ê 5 − 2
H∗ Gráfico da função y = −x2 ê5 − 2 ∗L
Plot@f@xD, 8x, −4, 4<, PlotRange → 8−5, 0<,
AxesLabel → 8"x", "y"<, AspectRatio −> AutomaticD;
y
-4
-2
2
4
-1
-2
-3
-4
-5
11. y = xHx - 2L.
In[1]:=
H∗ A função f HxL = x Hx − 2L ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x Hx − 2L
x
38
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[3]:=
H∗ Gráfico da função y = x Hx − 2L ∗L
Plot@f@xD, 8x, −2, 4<, AxesLabel → 8"x", "y"<, AspectRatio −> AutomaticD;
y
8
6
4
2
-2 -1
1 2 3 4
x
12. y = xHx + 4L.
In[1]:=
In[3]:=
H∗ A função f HxL = x Hx + 2L ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x Hx + 2L
H∗ Gráfico da função y = x Hx + 4L ∗L
Plot@f@xD, 8x, −5, 3<, AxesLabel → 8"x", "y"<, AspectRatio −> AutomaticD;
y
15
12.5
10
7.5
5
2.5
-4 -2
13. y = x2 - 3 x + 2.
In[1]:=
2
x
H∗ A função f HxL = x2 − 3 x + 2 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x 2 − 3 x + 2
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[3]:=
39
H∗ Gráfico da função y = x2 − 3 x + 2 ∗L
Plot@f@xD, 8x, −2, 5<, AxesLabel → 8"x", "y"<, AspectRatio −> AutomaticD;
y
12
10
8
6
4
2
-2-1
1 2 3 4 5
x
14. y = x2 + 3 x + 2.
In[1]:=
In[3]:=
H∗ A função f HxL = x2 + 3 x + 2 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x 2 + 3 x + 2
H∗ Gráfico da função y = x2 + 3 x + 2 ∗L
Plot@f@xD, 8x, −5, 2<, AxesLabel → 8"x", "y"<, AspectRatio −> AutomaticD;
y
12
10
8
6
4
2
-5-4-3-2-1
15. y = x2 + 8 x + 14.
In[1]:=
1 2
x
H∗ A função f HxL = x2 + 8 x + 14 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x 2 + 8 x + 14
40
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[3]:=
H∗ Gráfico da função y = x2 + 8 x + 14 ∗L
Plot@f@xD, 8x, −9, 1<, AxesLabel → 8"x", "y"<, AspectRatio −> AutomaticD;
y
20
15
10
5
-8-6-4-2
x
16. y = -x2 + 4 x - 1.
In[1]:=
In[3]:=
H∗ A função f HxL = −x2 + 4 x − 1 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := −x 2 + 4 x − 1
H∗ Gráfico da função y = −x2 + 4 x − 1 ∗L
Plot@f@xD, 8x, −1, 5<, AxesLabel → 8"x", "y"<, AspectRatio −> AutomaticD;
y
2
-1
1 2 3 4 5
x
-2
-4
-6
17. y = -xH1 - 2 x ê 3L.
In[1]:=
H∗ A função f HxL = −x H1 − 2 xê3L ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := −x H1 − 2 x ê 3L
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[3]:=
41
H∗ Gráfico da função y = x H 1 − 2 xê3L ∗L
Plot@f@xD, 8x, −4, 5.5<, AxesLabel → 8"x", "y"<, AspectRatio −> AutomaticD;
y
14
12
10
8
6
4
2
-4 -2
2
x
4
18. y = -2 x2 ê 3 + 4 x - 6.
In[1]:=
In[3]:=
H∗ A função f HxL = −2 x2 ê3 + 4 x − 6 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := −2 x 2 ê 3 + 4 x − 6
H∗ Gráfico da função y = −2 x2 ê3 + 4 x − 6 ∗L
Plot@f@xD, 8x, −1, 7<, AxesLabel → 8"x", "y"<, AspectRatio −> AutomaticD;
y
2
4
6
x
-2
-4
-6
-8
-10
19. y = 1 - 3 x - x2 ê 2
In[1]:=
H∗ A função f HxL = 1 − 3 x − x2 ê2 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := 1 − 3 x − x 2 ê 2
42
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[3]:=
H∗ Gráfico da função y = 1 − 3 x − x2 ê2 ∗L
Plot@f@xD , 8x, −7, 1<, AxesLabel → 8"x", "y"<, AspectRatio −> AutomaticD;
y
4
2
-6
-4
x
-2
-2
20. y = a x2 - b x
In[1]:=
In[3]:=
H∗ A função f HxL = a x2 − b x
Clear@x, fD;
f@x_D := a x 2 − b x
H∗ Gráfico da função y = a x2 − b x ∗L
a = 2; b = 2;
Plot@ f@xD , 8x, −1, 2<, AxesLabel → 8"x", "y"<, AspectRatio −> AutomaticD;
y
4
3
2
1
-1-0.5 0.5 1 1.5 2
21. y = x3
In[1]:=
∗L
x
H∗ A função f HxL = x3 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x 3
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[3]:=
43
H∗ Gráfico da função y = x3 ∗L
Plot@f@xD , 8x, −1, 1<, AxesLabel → 8"x", "y"<,
PlotRange → 8−1, 1<, AspectRatio −> AutomaticD;
y
1
0.75
0.5
0.25
-1
-0.5
-0.25
0.5
1
x
-0.5
-0.75
22. y = Hx - 1L3
In[1]:=
In[3]:=
-1
H∗ A função f HxL = Hx − 1L3 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Hx − 1L 3
H∗ Gráfico da função y = Hx − 1L3 ∗L
Plot@ f@xD , 8x, −1, 3<, AxesLabel → 8"x", "y"<, PlotRange → 8−2, 2<D;
y
2
1.5
1
0.5
-1 -0.5
-1
-1.5
-2
23. y = Hx + 2L3
In[1]:=
1
2
3
x
H∗ A função f HxL = Hx + 2L3 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Hx + 2L 3
44
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[3]:=
H∗ Gráfico da função y = Hx + 2L3 ∗L
Plot@ f@xD , 8x, −3, 0<, AxesLabel → 8"x", "y"<, PlotRange → 8−1, 1<D;
y
1
0.75
0.5
0.25
x
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5
-0.25
-0.5
-0.75
-1
24. y = » x »3
In[1]:=
In[3]:=
H∗ A função f HxL = »x»3 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Abs@xD 3
H∗ Gráfico da função y = »x»3 ∗L
Plot@ f@xD , 8x, −1, 1<, AxesLabel → 8"x", "y"<D;
y
0.2
0.15
0.1
0.05
-1
-0.5
25. y = » x - 3 »3
In[1]:=
In[3]:=
0.5
1
x
H∗ A função f HxL = »x − 3»3 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Abs@x − 3D 3
H∗ Gráfico da função y = »x − 3»3 ∗L
Plot@ f@xD , 8x, −1, 5<, AxesLabel → 8"x", "y"<D;
y
6
5
4
3
2
1
-1
1
2
3
4
5
x
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
45
26. y = » x + 2 »3
In[1]:=
In[3]:=
H∗ A função f HxL = »x + 2»3 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Abs@x + 2D 3
H∗ Gráfico da função y = »x + 2»3 ∗L
Plot@ f@xD , 8x, −3, 0<, AxesLabel → 8"x", "y"<, PlotRange → 80, 1<D;
y
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5
x
Observação: Os gráficos das funções dos Exercícios 21 a 26 não são parábolas.
Nos Exerc;icios 27 a 41, determine os domínios das funções dadas., faça os gráficos dessas funções, e encontre as funções
inversas correspondentes com seus respectivos domínios.
è!!!
27. y = - x
In[1]:=
In[3]:=
è!!!!
H∗ A função direta f HxL = − x ∗L
Clear@x, fD;
è!!!!
f@x_D := − x ê; x ≥ 0
H∗ A função inversa g HyL = y2 ∗L
Clear@y, gD;
g@y_D := y2 ê; y ≤ 0
Domínios: x ¥ 0 (função direta) e y § 0 (função inversa)
In[5]:=
è!!!
H∗ Gráficos das funções y = − x HdiretaL e x = y2 HinversaL ∗L
p1 = Plot@f@xD, 8x, 0, 2<, PlotRange → 80, −2<, AspectRatio −> Automatic,
AxesLabel → 8"y", "x"<, DisplayFunction → IdentityD;
p2 = Plot@g@yD, 8y, −2, 0<, PlotRange → 80, 2<, AspectRatio −> Automatic,
AxesLabel → 8"x", "y"<, DisplayFunction → IdentityD;
46
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[7]:=
Show@GraphicsArray@8p1, p2<D, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
y
2
1.75
1.5
1.25
1
0.75
0.5
0.25
x
-0.25
-0.5
-0.75
-1
-1.25
-1.5
-1.75
-2
28. y =
In[1]:=
In[3]:=
0.5
1
1.5
2
y
-2
è!!!!!!!
2x
H∗ A função direta f HxL =
Clear@x, fD;
è!!!!!!!
f@x_D := 2 x ê; x ≥ 0
-1.5
-1
-0.5
x
è!!!!!!!
2 x ∗L
H∗ A função inversa g HyL = y2 ê2 ∗L
Clear@y, gD;
g@y_D := y2 ê 2 ê; y ≥ 0
Domínios: x ¥ 0 (função direta) e y ¥ 0 (função inversa)
In[5]:=
In[7]:=
è!!!!!!!
H∗ Gráficos das funções y = 2 x HdiretaL e x = y2 ê2 HinversaL ∗L
p1 = Plot@f@xD, 8x, 0, 2<, PlotRange → 80, 2<, AspectRatio −> Automatic,
AxesLabel → 8"y", "x"<, DisplayFunction → IdentityD;
p2 = Plot@g@yD, 8y, 0, 2<, PlotRange → 80, 2<, AspectRatio −> Automatic,
AxesLabel → 8"x", "y"<, DisplayFunction → IdentityD;
Show@GraphicsArray@8p1, p2<D, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
x
2
1.75
1.5
1.25
1
0.75
0.5
0.25
è!!!!!!!
29. y = - 2 x ë 3
y
2
1.75
1.5
1.25
1
0.75
0.5
0.25
0.5
1
1.5
2
y
0.5
1
1.5
2
x
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[1]:=
47
è!!!!!!!
H∗ A função direta f HxL = − 2 x ë3∗L
Clear@x, fD;
è!!!!!!!
f@x_D := − 2 x ë 3 ê; x ≥ 0
In[3]:=
In[5]:=
Out[5]=
H∗ A função inversa g HyL = y2 ê2 ∗L
Clear@y, gD;
g@y_D := 9 y2 ê 2 ê; y ≥ 0
g@2D
18
Domínios: x ¥ 0 (função direta) e y ¥ 0 (função inversa)
In[6]:=
è!!!!!!!
H∗ Gráficos das funções y = − 2 x ë3 HdiretaL e x = 9 y2 ê2 HinversaL ∗L
In[8]:=
Show@GraphicsArray@8p1, p2<D, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
p1 = Plot@f@xD, 8x, 0, 2<, PlotRange → 80, −1<,
AxesLabel → 8"y", "x"<, DisplayFunction → IdentityD;
p2 = Plot@g@yD, 8y, 0, 1<, PlotRange → 80, 2<,
AxesLabel → 8"x", "y"<, DisplayFunction → IdentityD;
x
0.5
1
1.5
2
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
y
y
2
1.75
1.5
1.25
1
0.75
0.5
0.25
0.2 0.4 0.6 0.8
1
x
3.3 A hipérbole
O gráfico da função y = f HxL = 1 ê x é uma hipérbole. Note que f(-x) = f(x). Função que satisfaz esta condição é
chamada funções ímpar. A função f(x) = 1/x coincide com sua inversa.
In[1]:=
H∗ A função y = f HxL = 1êx ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := 1 ê x
48
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[3]:=
Out[4]=
In[5]:=
H∗ Cálculo da função y = 1êx nos pontos 1ê3, 1ê2, 2ê3, 1, 3ê2, 2, 3 ∗L
x = 81 ê 3, 1 ê 2, 2 ê 3, 1, 3 ê 2, 2, 3<;
f@xD
93, 2,
3
2
1
1
, 1,
,
,
=
2
3
2
3
H∗ Gráfico da função y = f HxL = 1êx ∗L
Plot@1 ê x, 8x, −5, 5<, PlotRange → 8−5, 5<,
AxesLabel → 8"x", "y"<, AspectRatio → AutomaticD;
y
4
2
-4
-2
2
4
x
-2
-4
In[6]:=
H∗ Gráfico das funções y = 1êx HvermelhoL e y = −1êx HazulL ∗L
Plot@81 ê x, −1 ê x<, 8x, −5, 5<, PlotRange → 8−5, 5<, AxesLabel → 8"x", "y"<,
PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0D, RGBColor@0, 0, 1D<, AspectRatio → AutomaticD;
y
4
2
-4
-2
2
-2
-4
Hiperbóles do tipo
y = k ê x.
4
x
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[1]:=
49
H∗ Gráficos da função y = kêx, Hvermelha k > 1, azul k < 1L ∗L
Plot@82 ê x, 1 ê x, 1 ê H2 xL<, 8x, −5, 5<, PlotRange → 8−5, 5<,
PlotStyle → 8RGBColor@0, 0, 1D, RGBColor@0, 0, 0D, RGBColor@1, 0, 0D<,
AxesLabel → 8"x", "y"<, AspectRatio → AutomaticD;
y
4
2
-4
-2
2
x
4
-2
-4
EXEMPLO 1. (GA1, pág. 51) Traçar o g'ráfico da função y = 1/(2x - 3).
In[1]:=
In[3]:=
H∗ A função f HxL = 1êH2 x − 3L ∗L
Clear@x, fD;
1
f@x_D :=
H2 x − 3L
H∗ GA1 Fig. 3.19 c − Gráfico da função f HxL = 1êH2 x − 3L ∗L
Plot@f@xD, 8x, −1, 3<,
PlotRange → 88−1, 3<, 8−10, 10<<, AxesLabel → 8"x", "y"<D;
y
10
7.5
5
2.5
x
-1 -0.5
-2.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-5
-7.5
-10
EXEMPLO 2. (GA1, pág. 52) Traçar o gráfico da função y = x/(x - 1).
In[1]:=
H∗ A função f HxL = xêHx − 1L ∗L
Clear@x, fD;
x
f@x_D :=
x − 1
50
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
Note que f(x) = x/(x - 1) não tem a forma padrão 1/x que caracteriza a hipérbole. Para isso, é preciso reescrever a função de
modo que desapareça a variável x do numerador. Isto pode ser feito com o comando Apart do Mathematica.
Apart[expr] reescreve uma expressão racional como uma soma de termos com denominadores mínimos.
In[3]:=
Out[3]=
f@xD êê Apart
1+
1
−1 + x
Agora podemos ver que a função representa uma hipérbole cujo gráfico está deslocado uma unidade para cima e uma
unidade para a direita, como mostra a Ffugura a seguir.
In[4]:=
H∗ GA1 Fig. 3.19 c − Gráfico da função hiperbólica f HxL = 1êH2 x − 3L ∗L
Plot@8f@xD, 1<, 8x, −1, 3<, PlotRange → 88−1, 3<, 8−20, 20<<,
AxesLabel → 8"x", "y"<, PlotStyle → 8RGBColor@0, 0, 0D, RGBColor@1, 0, 0D<D;
y
20
15
10
5
-1 -0.5
-5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
-10
-15
-20
EXEMPLO 3. (GA1, pág. 52) Traçar o gráfico da função y = 2x/(x + 3).
In[1]:=
Out[3]=
H∗ A função f HxL = 2 xêHx + 3L ∗L
Clear@x, fD;
2x
f@x_D :=
x +3
f@xD êê Apart
2−
6
3+x
A função representa uma hipérbole cujo gráfico está deslocado duas unidades para cima e três unidades para a esquerda.
Veja o gráfico a seguir.
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[4]:=
51
H∗ GA1 Fig. 3.19 c − gráfico da função f HxL = 2 xêHx + 3L ∗L
Plot@8f@xD, 2<, 8x, −6, 2<, PlotRange → 88−6, 2<, 8−30, 30<<,
AxesLabel → 8"x", "y"<, PlotStyle → 8RGBColor@0, 0, 0D, RGBColor@1, 0, 0D<D;
y
30
20
10
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-10
1
2
x
-20
-30
EXEMPLO 4. (GA1, pág. 52) Traçar o gráfico da função y = 3x/(2x - 5).
In[1]:=
Out[3]=
In[4]:=
H∗ A função f HxL = 3 xêHx + 3L ∗L
Clear@x, fD;
3x
f@x_D :=
2x −5
f@xD êê Apart
3
15
+
2
2 H−5 + 2 xL
H∗ GA1 Fig. 3.19 c − Gráfico da função f HxL = 3 xêH2 x − 5L ∗L
Plot@8f@xD, 3 ê 2<, 8x, −1, 5<, PlotRange → 88−1, 3<, 8−30, 30<<,
AxesLabel → 8"x", "y"<, PlotStyle → 8RGBColor@0, 0, 0D, RGBColor@1, 0, 0D<D;
y
30
20
10
x
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-10
-20
-30
EXEMPLO 5. (GA1, pág. 52) Traçar o gráfico da função y = (3x - 1)/(2x + 5).
52
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[1]:=
Out[3]=
In[4]:=
H∗ A função f HxL = H3 x − 1LêH2 x + 5L ∗L
Clear@x, fD;
3x−1
f@x_D :=
2x +5
f@xD êê Apart
3
17
−
2
2 H5 + 2 xL
H∗ Gráfico da função f HxL = H3 x − 1LêH2 x + 5L ∗L
Plot@8f@xD, 3 ê 2<, 8x, −5, 1<, PlotRange → 88−5, 1<, 8−30, 30<<,
AxesLabel → 8"x", "y"<, PlotStyle → 8RGBColor@0, 0, 0D, RGBColor@1, 0, 0D<D;
y
30
20
10
x
-5
-4
-3
-2
-1
1
-10
-20
-30
Exercícios
1. Dada a função f(x) = 1/x , calcule f(1 + h) - f(1) e f(a + h) - f(a).
In[1]:=
In[3]:=
Out[4]=
Out[5]=
H∗ A função f HxL = 1êx ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := 1 ê x
H∗ Calcula a função f HxL =
1êx nos pontos f H1 + hL − f H1L e f Ha + hL − f HaL
Clear@a, hD;
f@1 − hD − f@1D êê Simplify
f@a + hD − f@aD êê Simplify
∗L
h
1−h
−
h
a Ha + hL
2. Calcule g(a + h) - g(a), onde g(x) = (x + 1)/x. O resultado coincide com o último resultado do Exercício anterior..
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[1]:=
In[3]:=
Out[4]=
53
H∗ A função g HxL = Hx + 1Lêx∗L
Clear@x, gD;
g@x_D := Hx + 1L ê x
H∗ Calcula a função f HxL =
1êx nos pontos f H1 + hL − f H1L e f Ha + hL − f HaL
Clear@a, hD;
g@a + hD − g@aD êê Simplify
−
h
a Ha + hL
Construa os gráficos das funções dadas nos Exerc;icios 3 a 22.
3. y = 1/Hx - 2 L.
In[1]:=
H∗ Gráfico da função y = 1êHx − 2L ∗L
Plot@1 ê Hx − 2L , 8x, −2, 6<, PlotRange → 8−5, 5<,
AxesLabel → 8"x", "y"<, AspectRatio −> AutomaticD;
y
4
2
-2
2
4
6
x
-2
-4
4. y = 2/Hx + 3 L.
In[1]:=
H∗ Gráfico da função y = 2êHx + 3L ∗L
Plot@2 ê Hx + 3L , 8x, −10, 4<, PlotRange → 8−5, 5<,
AxesLabel → 8"x", "y"<, AspectRatio −> AutomaticD;
y
4
2
-10 -8
-6
-4
-2
2
-2
-4
4
x
∗L
54
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
5. y = -3/Hx + 5 L.
In[1]:=
H∗ Gráfico da função y = −3êHx + 5L ∗L
Plot@−3 ê Hx + 5L , 8x, −12, 4<, PlotRange → 8−8, 8<,
AxesLabel → 8"x", "y"<, AspectRatio −> AutomaticD;
y
8
6
4
2
-10-7.5 -5 -2.5
-2
2.5
x
-4
-6
-8
6. y = 2 + 3/Hx - 1 L.
In[1]:=
In[3]:=
H∗ A função f HxL = 2 + 3êHx − 1L ∗L
Clear@x, fD;
3
f@x_D := 2 +
x − 1
H∗ Gráfico da função y = 2 + 3êHx − 1L ∗L
Plot@8f@xD, 2<, 8x, −10, 10<, PlotRange → 8−8, 10<,
AxesLabel → 8"x", "y"<, PlotStyle → 8RGBColor@0, 0, 0D, RGBColor@1, 0, 0D<,
AspectRatio −> AutomaticD;
y
10
7.5
5
2.5
-10
-5
5
10
x
-2.5
-5
7. y = 5/2 - 1/H3 x + 7 L.
In[1]:=
-7.5
H∗ A função f HxL = 5ê2 − 1êH3 x + 7L ∗L
Clear@x, fD;
1
f@x_D := 5 ê 2 −
3x + 7
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[3]:=
55
H∗ Gráfico da função y = 5ê2 − 1êH3 x + 7L ∗L
Plot@8f@xD, 5 ê 2< , 8x, −6, 4<, PlotRange → 8−2, 6<,
AxesLabel → 8"x", "y"<, PlotStyle → 8RGBColor@0, 0, 0D, RGBColor@1, 0, 0D<,
AspectRatio −> AutomaticD;
y
6
5
4
3
2
1
-6
-4
-2
2
4
x
-1
-2
8. y = -2 - 3/H2 x - 5 L.
In[1]:=
In[3]:=
H∗ A função f HxL = −2 − 2êH2 x − 5L ∗L
Clear@x, fD;
3
f@x_D := −2 −
2x − 5
H∗ Gráfico da função y = −2 − 3êH2 x − 5L ∗L
Plot@8f@xD, −2< , 8x, −6, 8<, PlotRange → 8−8, 6<,
AxesLabel → 8"x", "y"<, PlotStyle → 8RGBColor@0, 0, 0D, RGBColor@1, 0, 0D<,
AspectRatio −> AutomaticD;
y
6
4
2
-6
-4
-2
2
-2
-4
-6
9. y = 2 x ê Hx + 3 L.
-8
4
6
8
x
56
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[1]:=
Out[3]=
In[4]:=
H∗ A função f HxL = 2 xêHx + 3L ∗L
Clear@x, fD;
2x
f@x_D :=
x + 3
f@xD êê Apart
2−
6
3+x
H∗ Gráfico da função f HxL = 2 xêHx + 3L ∗L
Plot@8f@xD, 2<, 8x, −6, 2<, PlotRange → 88−6, 2<, 8−30, 30<<,
AxesLabel → 8"x", "y"<, PlotStyle → 8RGBColor@0, 0, 0D, RGBColor@1, 0, 0D<D;
y
30
20
10
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-10
1
2
x
-20
-30
10. y = -3 x ê Hx - 4 L.
In[1]:=
Out[3]=
In[1]:=
H∗ A função f HxL = 3 xêHx − 4L ∗L
Clear@x, fD;
3x
f@x_D :=
x − 4
f@xD êê Apart
3+
12
−4 + x
H∗ Gráfico da função f HxL = 3 xêHx − 4L ∗L
Plot@8f@xD, 3<, 8x, −2, 10<, PlotRange → 88−2, 10<, 8−50, 50<<,
AxesLabel → 8"x", "y"<, PlotStyle → 8RGBColor@0, 0, 0D, RGBColor@1, 0, 0D<D;
y
40
20
-2
2
-20
-40
4
6
8
10
x
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
57
11. y = H1 + 3 x L ê 2 x .
In[1]:=
Out[3]=
In[4]:=
H∗ A função f HxL = H1 + 3 xLê2 x ∗L
Clear@x, fD;
1+3x
f@x_D :=
2x
f@xD êê Apart
3
1
+
2
2x
H∗ Gráfico da função f HxL = 3 xêHx − 4L ∗L
Plot@8f@xD, 3 ê 2<, 8x, −2, 2<, PlotRange → 88−2, 2<, 8−10, 10<<,
AxesLabel → 8"x", "y"<, PlotStyle → 8RGBColor@0, 0, 0D, RGBColor@1, 0, 0D<D;
y
10
7.5
5
2.5
-2 -1.5 -1 -0.5
-2.5
-5
-7.5
-10
12. y = H2 - 5 x L ê 3 x .
In[1]:=
Out[3]=
0.5
1
1.5
2
x
H∗ A função f HxL = H2 − 5 xLê2 x ∗L
Clear@x, fD;
2 − 5x
f@x_D :=
2x
f@xD êê Apart
−
5
1
+
2
x
58
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[4]:=
H∗ Gráfico da função f HxL = 3 xêHx − 4L ∗L
Plot@8f@xD, −5 ê 2<, 8x, −2, 2<, PlotRange → 88−2, 2<, 8−15, 10<<,
AxesLabel → 8"x", "y"<, PlotStyle → 8RGBColor@0, 0, 0D, RGBColor@1, 0, 0D<D;
y
10
5
-2 -1.5 -1 -0.5
0.5
1
1.5
2
x
-5
-10
13. y = H2 x + 3 L ê H3 x + 2 L.
In[1]:=
Out[3]=
In[4]:=
-15
H∗ A função f HxL = H2 x + 3LêH3 x + 2L ∗L
Clear@x, fD;
2x + 3
f@x_D :=
3x+2
f@xD êê Apart
2
5
+
3
3 H2 + 3 xL
H∗ Gráfico da função f HxL = 3 xêHx − 4L ∗L
Plot@8f@xD, 2 ê 3<, 8x, −2, 2<, PlotRange → 88−2, 2<, 8−15, 15<<,
AxesLabel → 8"x", "y"<, PlotStyle → 8RGBColor@0, 0, 0D, RGBColor@1, 0, 0D<D;
y
15
10
5
-2 -1.5 -1 -0.5
-5
-10
14. y = Hx - 1 L ê Hx + 1 L.
-15
0.5
1
1.5
2
x
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[1]:=
Out[3]=
In[4]:=
59
H∗ A função f HxL = Hx − 1LêHx + 1L ∗L
Clear@x, fD;
x − 1
f@x_D :=
x + 1
f@xD êê Apart
1−
2
1+x
H∗ Gráfico da função f HxL = 3 xêHx − 4L ∗L
Plot@8f@xD, 1<, 8x, −2, 1<, PlotRange → 88−2, 1<, 8−20, 20<<,
AxesLabel → 8"x", "y"<, PlotStyle → 8RGBColor@0, 0, 0D, RGBColor@1, 0, 0D<D;
y
20
15
10
5
-2
-1.5
-1
-0.5
-5
-10
-15
-20
15. y = H2 x + 1 L ê H2 - x L.
In[1]:=
Out[3]=
In[4]:=
0.5
1
x
H∗ A função f HxL = H2 x + 1LêH2 − xL ∗L
Clear@x, fD;
2x + 1
f@x_D :=
2 − x
f@xD êê Apart
−2 −
5
−2 + x
H∗ Gráfico da função f HxL = 3 xêHx − 4L ∗L
Plot@8f@xD, −2<, 8x, −2, 8<, PlotRange → 88−2, 8<, 8−15, 15<<,
AxesLabel → 8"x", "y"<, PlotStyle → 8RGBColor@0, 0, 0D, RGBColor@1, 0, 0D<D;
y
15
10
5
-2
2
-5
-10
-15
4
6
8
x
60
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
16. y = Hx + 3 L ê H2 x - 1 L.
In[1]:=
Out[3]=
In[4]:=
H∗ A função f HxL = Hx + 3LêH2 x − 1L ∗L
Clear@x, fD;
x + 3
f@x_D :=
2x−1
f@xD êê Apart
1
7
+
2
2 H−1 + 2 xL
H∗ Gráfico da função f HxL = 3 xêHx − 4L ∗L
Plot@8f@xD, 1 ê 2<, 8x, −2, 2<, PlotRange → 88−2, 2<, 8−15, 15<<,
AxesLabel → 8"x", "y"<, PlotStyle → 8RGBColor@0, 0, 0D, RGBColor@1, 0, 0D<D;
y
15
10
5
-2 -1.5 -1 -0.5
-5
0.5
1
1.5
2
x
-10
17. y = H2 - x L ê Hx + 2 L.
In[1]:=
Out[3]=
-15
H∗ A função f HxL = H2 − xLêHx + 2L ∗L
Clear@x, fD;
2 − x
f@x_D :=
x + 2
f@xD êê Apart
−1 +
4
2+x
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[4]:=
61
H∗ Gráfico da função f HxL = 3 xêHx − 4L ∗L
Plot@8f@xD, −1<, 8x, −8, 2<, PlotRange → 88−8, 2<, 8−15, 15<<,
AxesLabel → 8"x", "y"<, PlotStyle → 8RGBColor@0, 0, 0D, RGBColor@1, 0, 0D<D;
y
15
10
5
-8
-6
-4
-2
2
x
-5
-10
-15
18. y = 1 ê » x ».
In[1]:=
In[3]:=
H∗ A função f HxL = 1ê»x» ∗L
Clear@x, fD;
1
f@x_D :=
Abs@xD
H∗ Gráfico da função f HxL = 1ê»x» ∗L
Plot@f@xD, 8x, −2, 2<,
PlotRange → 88−2, 2<, 80, 20<<, AxesLabel → 8"x", "y"<D;
y
20
17.5
15
12.5
10
7.5
5
2.5
-2 -1.5 -1 -0.5
19. y = -4 ê » x ».
In[1]:=
0.5 1 1.5 2
H∗ A função f HxL = −4ê»x» ∗L
Clear@x, fD;
−4
f@x_D :=
Abs@xD
x
62
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[3]:=
H∗ Gráfico da função f HxL = −4ê»x» ∗L
Plot@f@xD, 8x, −2, 2<,
PlotRange → 88−2, 2<, 8−80, 0<<, AxesLabel → 8"x", "y"<D;
y
-2 -1.5 -1 -0.5
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-70
-80
0.5
1
1.5
2
x
20. y = 2 ê » x - 1 ».
In[1]:=
In[3]:=
H∗ A função f HxL = 2ê»x − 1» ∗L
Clear@x, fD;
2
f@x_D :=
Abs@x − 1D
H∗ Gráfico da função f HxL = 2ê»x − 1» ∗L
Plot@f@xD, 8x, −1, 3<,
PlotRange → 88−1, 3<, 80, 80<<, AxesLabel → 8"x", "y"<D;
y
80
70
60
50
40
30
20
10
-1 -0.5
21. y = -1 + 1 ê » x + 3 ».
In[1]:=
0.5 1 1.5 2 2.5 3
x
H∗ A função f HxL = −1 + 1ê»x + 3» ∗L
Clear@x, fD;
1
f@x_D := −1 +
Abs@x + 3D
Rijo Cal 1 Capitulo 3.nb
In[3]:=
63
H∗ Gráfico da função f HxL = −1 + 1ê»x + 3» ∗L
Plot@8f@xD, −1<, 8x, −8, 2<, PlotRange → 88−8, 2<, 8−5, 15<<,
AxesLabel → 8"x", "y"<, PlotStyle → 8RGBColor@0, 0, 0D, RGBColor@1, 0, 0D<D;
y
15
12.5
10
7.5
5
2.5
x
-8
-6
-4
-2
2
-2.5
-5
22. y = 1 ê » x - a ».
In[1]:=
In[4]:=
H∗ A função f HxL = 1ê»x − a» ∗L
Clear@x, fD;
a = 2;
1
f@x_D := −1 +
Abs@x − aD
H∗ Gráfico da função f HxL = 1ê»x − a» ∗L
Plot@f@xD, 8x, −1, 4<,
PlotRange → 88−1, 4<, 8−5, 15<<, AxesLabel → 8"x", "y"<D;
y
15
12.5
10
7.5
5
2.5
x
-1
1
2
3
4
-2.5
-5
Observação: Os gráficos das funções dos Exercícios 18 a 22 não são hipérboles.
CAPÍTULO 4
Derivada e limites
Iniciar o MathKernel
In[1]:=
Out[1]=
2 + 2 H∗ Este comando inicia o MathKernel ∗L
4
4.1 Reta tangente e reta normal
Neste capítulo estudaremos o conceito de derivada de funções de uma variável. Podemos dizer que a derivada é a taxa
de variação da variável dependente com respeito à variável independente. Geometricamente, a derivada representa a
declividade da tangente a uma curva no plano xy.
In[1]:=
H∗ Ativa o pacote Add−on Graphics`ImplicitPlot` ∗L
<< Graphics`ImplicitPlot`
2
Rijo Cal 1 Capitulo 4.nb
In[2]:=
H∗ O gráfico da circunferência do Exercício 18 ∗L
è!!!!
8x0, y0< = 80, 0<; r =
5;
Show@Plot@2 x + 5, 8x, −4, 4<, PlotRange → 8−5, 5<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → Identity D,
Plot@−1 ê 2 x, 8x, −4, 4<, PlotRange → 8−5, 5<,
PlotStyle −> 8RGBColor@0, 0, 1D<, DisplayFunction → Identity D,
ImplicitPlot@Hx − x0L ^ 2 + Hy − y0L ^ 2 − r ^ 2 0,
8x, x0 − r, x0 + r<, DisplayFunction → Identity D,
AspectRatio → Automatic,
DisplayFunction → $DisplayFunction D;
4
2
-4
-2
2
4
-2
-4
In[25]:=
In[28]:=
p1 = Plot@8−9 x − 3 , x3 − x + 5<, 8x, −2, 2<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D, RGBColor@0, 0, 0D<,
Epilog → 8Text@"raio?", 8−1.6, 6<D<, PlotRange → 8−2, 8<,
DisplayFunction → IdentityD;
p2 = Plot@8−4 x + 4, 1 ê 2 x2 + 2<, 8x, −2, 2<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D, RGBColor@0, 0, 0D<,
Epilog → 8Text@"tangente?", 80., 4.5<D<,
PlotRange → 80, 6<, DisplayFunction → IdentityD;
p3 = Plot@82 x + 2, x3 − 2 x + 5<, 8x, −2, 2<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D, RGBColor@0, 0, 0D<,
Epilog → 8Text@"tangente?", 81.3, 2<D<, DisplayFunction → IdentityD;
Show@GraphicsArray@8p1, p2, p3<, DisplayFunction → $DisplayFunctionDD;
raio?
-2
-1
8
6
4
2
-2
6
5
tangente?
4
3
2
1
1
2
-2
-1
1
8
6
4
2
2
-2
-1
-2
tangente?
1
2
Rijo Cal 1 Capitulo 4.nb
3
Razão incremental
A razão incremental de uma função f é o declive da reta secante que passa pelos pontos P (x, f(x)) e Q(x + h, f(x + h)).
f Hx + hL − f HxL
h
Reta tangente
In[2]:=
In[5]:=
H∗ Secante à parábola 2 Hx−1L2 +1 ligando os pontos Ha,bL e Hc,dL ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := 2 Hx − 1L2 + 1;
q@x_D := Hx − aL Hd − bL ê Hc − aL + b
H∗ Secantes q1, q2, q3 e q4 ∗L
Clear@a, b, c, dD
8a, b< = 81.25, [email protected]<;
8c, d< = 82, f@2D<;
q1 = q@xD;
8c, d< = 82.5, [email protected]<;
q2 = q@xD;
8c, d< = 83, f@3D<;
q3 = q@xD;
8c, d< = 81.3, [email protected]<;
q4 = q@xD;
4
Rijo Cal 1 Capitulo 4.nb
In[15]:=
H∗ Gráficos das secantes q1, q2, q3 e q4 ∗L
Show@Plot@8f@xD, q1, q2, q3, q4<, 8x, 1 ê 2, 4<, PlotRange → 880, 5<, 80, 12<<,
Epilog → 8Text@"h", 82, .5<D, Text@"fHa + hL − fHaL", 83.9, 4.7<D<,
DisplayFunction → IdentityD,
[email protected], [email protected]<, 83, [email protected]<, 83, f@3D<<,
PlotStyle → [email protected]<D, RGBColor@1, 0, 0D<, PlotJoined → True,
DisplayFunction → IdentityD,
[email protected], [email protected]<, 82, f@2D<, 82.5, [email protected]<, 83, f@3D<<,
PlotStyle −> [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD,
DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
12
10
8
6
fHa + hL − fHaL
4
2
h
1
2
3
4
5
Declive como limite
Quando fazemos h Ø 0 e a razão incremental se aproxima de um valor finito m, dizemos que m é o limite da razão
incremental com h tentendo a zero e escrevemos
m = limh → 0
f Ha + hL − f HaL
h
O valor de h é sempre diferente de zero na razão incremental.
Exemplo 1. Seja traçar a reta tangente à parabola f(x) = x2
In[16]:=
H∗ Parábola f HxL = x2 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x2
no ponto P = (1, 1).
Limit[expr, x → x0 ] acha o valor limite de expr quando x tende para x0 .
In[19]:=
Out[19]=
H∗ Limite da razão incremental da função f HxL = x2 no ponto H1,1L ∗L
m = Limit@Hf@1 + hD − f@1DL ê h, h → 0D
2
Rijo Cal 1 Capitulo 4.nb
In[20]:=
Out[20]=
In[22]:=
5
H∗ Equação da tangente à parábola x2 no ponto H1,1L ∗L
equaçãoDaTangente = m Hx − 1L + 1
1 + 2 H−1 + xL
H∗ Figura 3.26 − gráficos da parábola x2 e da tangente no ponto H1,1L ∗L
Plot@8f@xD, equaçãoDaTangente<, 8x, −2, 2<, PlotRange → 8−2, 4<,
PlotStyle → 8RGBColor@0, 0, 0D, RGBColor@1, 0, 0D<, AspectRatio → AutomaticD;
4
3
2
1
-2
-1
1
2
-1
-2
In[23]:=
Out[24]=
In[25]:=
Out[25]=
In[26]:=
Out[26]=
H∗ Limite da razão incremental da função x2 no ponto genérico Ha, f@aDL ∗L
Clear@a, hD
m = Limit@Hf@a + hD − f@aDL ê h, h → 0D
2a
H∗ Equação da tangente à parábola x2 no ponto Ha, f HaL ∗L
equaçãoDaTangente = m Hx − aL + f@aD
a2 + 2 a H−a + xL
H∗ Equação da tangente à parábola x2 no ponto Ha, f HaLL ∗L
equaçãoDaTangente = m Hx − aL + f@aD êê Expand
−a2 + 2 a x
6
Rijo Cal 1 Capitulo 4.nb
In[29]:=
H∗ Figura 3.27 −
gráficos da parábola x2 e da tangente no ponto H−1, f H−1LL ∗L
a = −1;
Plot@8f@xD, equaçãoDaTangente<, 8x, −2, 2<, PlotRange → 8−2, 4<,
PlotStyle → 8RGBColor@0, 0, 0D, RGBColor@1, 0, 0D<, AspectRatio → AutomaticD;
4
3
2
1
-2
-1
1
2
-1
-2
!!!!!!
x -2
Exemplo 2. Seja traçar a reta tangente à função f(x) = 1 + è!!!!!!!!
In[8]:=
In[10]:=
In[11]:=
3
è!!!!!!!!
!!!!!!
H∗ Função y = 1 + x − 2 ∗L
Clear@x, fD;
3
è!!!!!!!!
!!
f@x_D := 1 + x − 2
H∗ Função inversa x = Hy−1L3 + 2 ∗L
g@y_D := Hy − 1L3 + 2
3
no ponto P = (0, f(0)).
H∗ Lista de pontos da função inversa x = Hy−1L3 + 2 ∗L
dados = Table@8g@yD, y<, 8y, −.3, 2, .1<D;
Rijo Cal 1 Capitulo 4.nb
In[12]:=
7
3
è!!!!!!!!
!!!!!!
H∗ Figura 4.7 − gráfico da função f HxL = 1 + x − 2 ∗L
Show@8ListPlot@dados, PlotJoined → True,
DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@882, 0<, 82, 2<<,
PlotJoined → True, PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0D<,
DisplayFunction → IdentityD<,
DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
2
1.5
1
0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Reta normal
Exemplo 3. Seja traçar a reta tangente à parabola f(x) = x2
In[48]:=
In[50]:=
Out[50]=
In[51]:=
Out[51]=
In[61]:=
Out[62]=
In[58]:=
Out[59]=
H∗ Parábola f HxL = x2 ê4
Clear@x, fD
f@x_D := x2 ê 4
no ponto P = (a, a2 )
∗L
H∗ Razão incremental da função f@xD ∗L
Hf@−2 + hD − f@−2DL ê h êê Expand
−1 +
h
4
H∗ Limite da razão incremental da função f@xD ∗L
m = Limit@Hf@−2 + hD − f@−2DL ê h, h → 0D
−1
H∗ Equação da tangente à parábola x2 no ponto Ha, f@aDL ∗L
a = −2;
equaçãoDaTangente = m Hx − aL + f@aD êê Expand
−1 − x
H∗ Equação da normal à parábola x2 no ponto Ha, f@aDL ∗L
a = −2;
equaçãoDaNormal = −m Hx − aL + f@aD
3+x
8
Rijo Cal 1 Capitulo 4.nb
In[65]:=
H∗ Figura 4.8 −
gráfico das retas tangente e normal à parábola x2 no ponto H−2, 1L ∗L
Plot@8f@xD, equaçãoDaTangente, equaçãoDaNormal<,
8x, −4, 4<, PlotRange → 8−1, 6<,
PlotStyle → 8RGBColor@0, 0, 0D, RGBColor@1, 0, 0D, RGBColor@0, 0, 1D<,
AspectRatio → AutomaticD;
6
5
4
3
2
1
-4
-2
2
4
-1
4.2 Limite e continuidade
Substituindo h por h = x - a na razão incremental e em seguida fazendo h tender a zero, podemos escrever
limh → 0
Exemplo 1. Calcular o declive da curva
In[73]:=
In[75]:=
Out[75]=
f Ha + hL − f HaL
h
= lima → 0
f(x) = x2 no ponto x = 4.
H∗ Declive da função f HxL = x2 no ponto x = 4 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x2
H∗ Limite da razão incremental no ponto x = 4∗L
f@xD − f@4D
m = LimitA
, x → 4E
x−4
8
f HxL − f HaL
x−a
Rijo Cal 1 Capitulo 4.nb
9
Diz-se que uma função f é contínua num ponto x0 quando as eguintes condições estão satisfeitas:
a) f é definida em x0 ;
b) f(x) tem limite com x Ø x0 e esse limite ;e igual a f Hx0 L, isto é, limx Ø x0 f(x) = f Hx0 L.
Dezemos que f é contínua num domínio D se ela for contínua em cada ponto desse domínio.
Teorema do Valor Intermediário. Seja f uma função contínua num intervalo, do qual a e b são pontos quausquer.
Então, dado qualquer número r entre f(a) e f(b), existe pelo menos um ponto c entre a e b, tal que r = f(c).
Corolário. Seja f uma função contínua num intervalo, do qual a e b são pontos onde a função assume valores de
sinais contrários. Então, existe pelo menos um ponto entre a e b onde f se anula.
Exemplo 2. A função f(x) = 3 x - 7 é contínua
In[76]:=
In[78]:=
Out[78]=
In[79]:=
Out[79]=
no ponto x = 5.
H∗ Continuidade da função f HxL = 3 x − 7 no ponto x = 5 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := 3 x − 7
H∗ O valor da função no f HxL = 3 x − 7 no ponto x = 5 ∗L
f@5D
8
H∗ Limite da função f HxL = 3 x − 7 no ponto x = 5 ∗L
Limit@f@xD, x → 5D
8
Exemplo 3. A função f(x) = x2 - è!!!x + 1 é contínua
In[80]:=
In[82]:=
Out[82]=
In[83]:=
Out[83]=
H∗ Continuidade da função
Clear@x, fD;
è!!!!
f@x_D := x2 − x + 1
H∗ Valor da função
f@4D
15
H∗ Limite da função
Limit@f@xD, x → 4D
è!!!
f HxL = x2 − x + 1 no ponto x = 4 ∗L
no ponto x = 4.
è!!!
f HxL = x2 − x + 1 no ponto x = 4 ∗L
è!!!
f HxL = x2 − x + 1 no ponto x = 4 ∗L
15
Exemplo 4. A função f(x) = (è!!!x + 10)/(x - 1)
é contínua no ponto x = 9.
10
Rijo Cal 1 Capitulo 4.nb
In[84]:=
è!!!
H∗ Continuidade da função f HxL = H x +10MëHx−1L no ponto, x = 9. ∗L
Clear@x, fD;
è!!!!
x + 10
f@x_D :=
x − 1
In[86]:=
è!!!
H∗ Valor da função f HxL = H x +10MëHx−1L no ponto, x = 9. ∗L
f@9D
Out[86]=
In[87]:=
13
8
è!!!
H∗ Limite da função f HxL = H x +10MëHx−1L no ponto, x = 9. ∗L
Limit@f@xD, x → 9D
Out[87]=
13
8
Exemplo 5. A função f(x) = (x2
In[88]:=
H∗ Continuidade da função f HxL =
Hx2 − 3 x + 7LêH6 x - 1L é contínua no ponto x = 1 ∗L
Clear@x, fD
f@x_D :=
In[90]:=
Out[90]=
In[91]:=
Out[91]=
- 3 x + 7)/(6x - 1) é contínua no ponto x = 1.
x2 − 3 x + 7
6x − 1
H∗ Valor da função f HxL = Hx2
f@1D
− 3 x + 7LêH6 x - 1L
é contínua no ponto x = 1 ∗L
1
H∗ Limite da função f HxL = Hx2
Limit@f@xD, x → 1D
− 3 x + 7LêH6 x - 1L
é contínua no ponto x = 1 ∗L
1
Continuidade e descontinuidade
Exemplo 6. A função f(x) = Hx2
In[96]:=
+ 8 x - 20L ê Hx2 - x - 2L é contínua no ponto x = 2.
H∗ Continuidade da função f HxL =
Hx2 + 8 x −20LêHx2 −x − 2L é contínua no ponto x=2 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D :=
x2 + 8 x − 20
x2 − x − 2
Rijo Cal 1 Capitulo 4.nb
In[98]:=
11
H∗ Valor da função f HxL = Hx2
f@2D
+
8 x −20LêHx2
Power::infy : Infinite expression
−x − 2L é contínua no ponto x=2 ∗L
1
encountered. More…
0
∞::indet : Indeterminate expression 0 ComplexInfinity encountered. More…
Out[98]=
Indeterminate
As mensagens de erro informam que função é indeteterminada em x = 2.
In[99]:=
Out[99]=
H∗ Limite da função f HxL =
Hx2 + 8 x −20LêHx2 −x − 2L é contínua no ponto x=2
Limit@f@xD, x → 2D
∗L
4
A função está definida em todos os pontos da reta exceto x = 2. Todavia, o limite da função tende para 4 quando x tende
para 2. É natural definir f(2) = 4. Neste caso a função torna-se contínua em toda reta.
Limites laterais
Exemplo 7. Seja a
função f(x) = |x|/x que está definida para todo x , exceto x = 0.
A função f(x) = |x|/x é conhecida como função Sinal.
In[132]:=
In[134]:=
In[201]:=
H∗ Função Sinal ∗L
Clear@x, fD
f1@x_D := Abs@xD ê x
H∗ Outra definição da função Sinal ∗L
Clear@x, fD
f2@x_D := −1 ê; x < 0
f2@x_D := 1 ê; x > 0
H∗ Terceira definição a função Sinal ∗L
Clear@x, fD
x
f3@x_D :=
!
è!!!!!
x2
12
Rijo Cal 1 Capitulo 4.nb
In[203]:=
H∗ Gráfico da função Sinal f1 HxL, f2 HxL e f3 HxL ∗L
Show@GraphicsArray@8Plot@f1@xD , 8x, −2, 2<, DisplayFunction −> IdentityD,
Plot@f1@xD , 8x, −2, 2<, PlotStyle → RGBColor@1, 0, 0D,
DisplayFunction −> IdentityD, Plot@f1@xD , 8x, −2, 2<,
PlotStyle → RGBColor@0, 0, 1D, DisplayFunction −> IdentityD<D,
DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
-2
1
1
1
0.5
0.5
0.5
-1
1
2
-2
-1
1
2
-2
-1
1
-0.5
-0.5
-0.5
-1
-1
-1
A função Sinal é uma das funções mais importante da matemática e simbolizada por sign(x). No Mathematica
ela é definida por Sign[x].
In[107]:=
H∗ Gráfico da função sign HxL ∗L
Plot@Sign@xD, 8x, −2, 2<D;
1
0.5
-2
-1
1
2
-0.5
-1
In[125]:=
Out[125]=
In[126]:=
Out[126]=
H∗ Limite de sign HxL em x −> 0− ∗L
Limit@Sign@xD, x → 0, Direction → 1D
−1
H∗ Limite de sign HxL em x −> 0+ ∗L
Limit@Sign@xD, x → 0, Direction → −1D
1
A opção Direction → 1 corresponde ao limite lateral da direita para a esquerda (x → a-) e Direction →
-1 corresponde ao limite lateral da esquerda para a direita (x → a+).
Rijo Cal 1 Capitulo 4.nb
In[130]:=
13
H∗ Figura 4.12 −
gráficos da função sign HxL com seus limites laterais em x = 0∗L
Show@GraphicsArray@8Show@Plot@Sign@xD, 8x, −2, 2<,
DisplayFunction → IdentityD, ListPlot@880, 1<<, PlotStyle →
[email protected], RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → IdentityDD,
Show@Plot@Sign@xD, 8x, −2, 2<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@880, −1<<, PlotStyle → [email protected], RGBColor@1, 0, 0D<,
DisplayFunction → IdentityDD<, DisplayFunction → $DisplayFunctionDD;
-2
1
1
0.5
0.5
-1
1
2
-2
-1
1
-0.5
-0.5
-1
-1
2
Este é um exemplo de função que nunca será contínua em x = 0 , qualquer que seja o valor que se lhe atribua nesse ponto.
Se pusermos f(0) = 1 ela será contínua á direita de x = 0. Analogamente, se pusermos f(0) = -1 ela será contínua à
esquerda de x = 0.
Exemplo 8. Seja a
è!!!!!!!!!!!!!
função f(x) = 1 - x só está definida para |x| § 1. Ela é contínua à direita em x = -1 e contínua
à esquerda em x = 1
In[143]:=
In[145]:=
H∗ Função f HxL =
Clear@x, fD;
è!!!!!!!!!!!!!!!
f@x_D := 1 − x2
è!!!!!!!!!!!!!!!!
1 −x2 ∗L
H∗ Gráfico da função f HxL =
Plot@f@xD, 8x, −1, 1<D;
è!!!!!!!!!!!!!!!!
1 −x2 ∗L
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-1
In[146]:=
Out[146]=
-0.5
0.5
1
è!!!!!!!!!!!!!!!!
H∗ Limite de f HxL = 1 −x2 em x −> −1− Hda direita para a esquerdaL ∗L
Limit@f@xD, x → −1, Direction → 1D
0
14
In[147]:=
Out[147]=
Rijo Cal 1 Capitulo 4.nb
è!!!!!!!!!!!!!!!!
H∗ Limite de f HxL = 1 −x2 em x −> 1+ Hda esquerda para a direitaL ∗L
Limit@f@xD, x → 1, Direction → −1D
0
Limites infinitos e limites no infinito
Exemplo 9. Seja a
In[148]:=
In[159]:=
função f(x) = 1 ê x3 está definida para todo x ∫ 0.
H∗ Função f HxL =
Clear@x, fD;
1
f@x_D :=
x3
1
x3
∗L
H∗ Gráfico da função f HxL =
Plot@f@xD, 8x, −10, 10<D;
∗L
1
x3
20
10
-10
-5
5
10
-10
-20
In[152]:=
Out[152]=
In[153]:=
Out[153]=
H∗ Limite de f HxL em x −> 0− Hda direita para a esquerdaL ∗L
Limit@f@xD, x → 0, Direction → 1D
−∞
H∗ Limite de sign HxL em x −> 0+ Hda esquerda para a direitaL ∗L
Limit@f@xD, x → 0, Direction → −1D
∞
Exemplo 10. Seja a
In[162]:=
função f HxL = 3 +
H∗ Função f HxL = 3 +
Clear@x, fD;
2
1
f@x_D := 3 +
−
x
x2
2
x
−
1
x2
2
x
−
∗L
1
x2
.
Rijo Cal 1 Capitulo 4.nb
In[164]:=
15
H∗ Gráfico da função f HxL = 3 + 2x − x12 ∗L
Plot@f@xD, 8x, −100, 100<, PlotRange → 80, 5<D;
5
4
3
2
1
-100
In[165]:=
Out[165]=
In[166]:=
Out[166]=
-50
100
H∗ Limite de f HxL = 3 +
Limit@f@xD, x → ∞D
2
x
−
1
x2
em x −> ∞
2
x
−
1
x2
em x −> −∞
x3 + 1
è!!!!
x −1
.
∗L
3
H∗ Limite de f HxL = 3 +
Limit@f@xD, x → −∞D
∗L
3
Exemplo 11. Seja a
In[167]:=
50
função f HxL =
H∗ Função f HxL =
x3 + 1
è!!!!
x − 1
∗L
Clear@x, fD;
f@x_D :=
In[169]:=
x3 + 1
è!!!!
x − 1
H∗ Gráfico da função f HxL =
Plot@f@xD, 8x, 0, 2<D;
x3 + 1
è!!!!
x − 1
∗L
200
100
0.5
1
1.5
2
-100
-200
In[170]:=
H∗ Limite de f HxL =
x3 + 1
è!!!!
x − 1
em x −> 1− Hda direita para a esquerdaL ∗L
Limit@f@xD, x → 1, Direction → 1D
Out[170]=
−∞
16
Rijo Cal 1 Capitulo 4.nb
In[171]:=
H∗ Limite de f HxL =
x3 + 1
è!!!!
x − 1
em x −> 0+ Hda esquerda para a direitaL ∗L
Limit@f@xD, x → 1, Direction → −1D
Out[171]=
∞
Exemplo 12. Seja a
In[172]:=
função f HxL =
H∗ Função f HxL =
3 −
x
è!!!!
x
3−
x
è!!!!
x
.
∗L
Clear@x, fD;
x
f@x_D :=
è!!!!
3 − x
In[174]:=
H∗ Gráfico da função f HxL =
Plot@f@xD, 8x, 0, 12<D;
3 −
x
è!!!!
x
∗L
1000
500
2
4
6
8
10
12
-500
-1000
In[175]:=
H∗ Limite de f HxL =
3 −
x
è!!!!
x
em x −> 9− Hda direita para a esquerdaL ∗L
Limit@f@xD, x → 9, Direction → 1D
Out[175]=
In[176]:=
∞
H∗ Limite de f HxL =
3 −
x
è!!!!
x
em x −> 9+ Hda esquerda para a direitaL ∗L
Limit@f@xD, x → 9, Direction → −1D
Out[176]=
−∞
4.3 Derivada
A introdução do conceito de derivada pode ser feita de duas maneiras distintas: a) segundo a Leibniz, a derivada está
associada ao problema da tangente a uma curva; b) segundo Newton, a derivada caracteriza a velocidade intantânea de
um móvel.
Rijo Cal 1 Capitulo 4.nb
17
O declive de uma curva y = f(x), num ponto x = a, como o limite da razão incremental com h Ø 0
m = limh → 0
f Ha + hL − f HaL
h
é chamada derivada da função f e é indicada com o símbolo f ' . Escrevemos, então, a expressão anterior na forma
f ' HaL = limh → 0
Exemplo 1.
In[177]:=
In[182]:=
Out[183]=
è!!!
x ∗L
Vamos calcular a derivada da função f(x) =
H∗ Derivada da função f HxL =
Clear@x, fD;
è!!!!
f@x_D := x
f Ha + hL − f HaL
h
è!!!
x num ponto qualquer x > 0.
H∗ Limite da razão incremental ∗L
Clear@aD
f@xD − f@aD
LimitA
, x → aE
x−a
1
è!!!
2 a
D[f[x], x] ou f`[x] fornece a derivada da função f(x) no ponto x.
In[184]:=
Out[184]=
In[185]:=
Out[185]=
H∗ Comando D@f@xD, xD ∗L
D@f@xD, xD
1
è!!!
2 x
H∗ Comando f'@xD ∗L
f '@xD
1
è!!!
2 x
Exemplo 2.
In[191]:=
Vamos calcular a derivada da função f(x) = » x » =
H∗ Função f HxL =
Clear@x, fD;
è!!!!!!
f@x_D := x2
è!!!!!
!
x2 ∗L
è!!!!!
x2 num ponto qualquer x > 0.
18
In[193]:=
Rijo Cal 1 Capitulo 4.nb
H∗ Gráfico da função f HxL =
Plot@f@xD, 8x, −2, 2<D;
è!!!!!
!
x2 ∗L
2
1.5
1
0.5
-2
In[194]:=
Out[194]=
In[195]:=
-1
1
2
H∗ Derivada da função f HxL =
dfdx = D@f@xD, xD
x
è!!!!!
!
x2
è!!!!!
!
x2 ∗L
H∗ Gráfico da derivada da função f HxL =
Plot@dfdx, 8x, −2, 2<D;
è!!!!!
!
x2 ∗L
1
0.5
-2
-1
1
2
-0.5
-1
Exemplo 3.
In[196]:=
In[198]:=
Vamos calcular a derivada da função f(x) = Hx - 1L » x + 2 » = Hx - 1L
è!!!!!!!!!!!!!!!!
H∗ Função f HxL = Hx−1L Hx+2L2 ∗L
Clear@x, fD;
"##################
f@x_D := Hx − 1L Hx + 2L2
H∗ Gráfico da função f HxL = Hx−1L
Plot@f@xD, 8x, −4, 2<D;
4
2
-4
-3
-2
-1
1
-2
-4
2
è!!!!!!!!!!!!!!!!
Hx+2L2 ∗L
"#################2#
Hx + 2L .
Rijo Cal 1 Capitulo 4.nb
In[199]:=
Out[199]=
In[200]:=
19
H∗ Derivada da função f HxL = Hx−1L
dfdx = D@f@xD, xD êê Simplify
è!!!!!!!!!!!!!!!!
Hx+2L2 ∗L
2 + 5 x + 2 x2
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!
H2 + xL2
H∗ Gráfico da derivada da função f HxL = Hx−1L
Plot@dfdx, 8x, −4, 2<D;
è!!!!!!!!!!!!!!!!
Hx+2L2 ∗L
6
4
2
-4
-3
-2
-1
1
2
-2
Notação
Constumamos indicar a derivada de uma função y = f(x) por f '(x) e por vários outros símbolos, como y ', Df ou Df(x).
Outra notação frequente devido a Leibniz é dy/dx ou df/dx.
A derivada de f '(x) de y = f(x) é também uma função de x. Podemos, então, considerar sua derivada, que é chamada
derivada segunda de f. Ela é indicada pelos símbolos f '', DH2L f, d 2 f ê dx2 , y ''.
Do mesmo modo, consideram-se derivadas de terceira, quarta, etc. De um modo geral, a derivada n-ésima é indicada
com os símbolos
f HnL , DHnL f, d n f ê dxn , yHnL
D[f[x], {x, n}] ou f`[x] fornece a derivada n-ésima da função f(x) no ponto x.
Continuidade das funções deriváveis
O teorema a seguir assegura que uma função derivável num ponto x0 é continua nesse ponto.
Teorema. Toda função derivável num pomto x0 é contínua nesse ponto.
Veja a demonstração no GA1 (pág. 77).
Exercícios
Calcular a derivada f '(x) de cada uma das funções nos Exercícios 1 a 18, pelo cálculo direto do limite da razão
incremental.
1. f(x) = x2 .
20
Rijo Cal 1 Capitulo 4.nb
In[44]:=
In[48]:=
Out[49]=
H∗ Derivada da função f HxL = x2 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x2
H∗ Limite da razão incremental ∗L
Clear@x, κD
f@κD − f@xD
LimitA
, κ → xE
κ−x
2x
Calcular a derivada f '(x) de cada uma das funções nos Exercícios 1 a 18, pelo cálculo direto do limite da razão
incremental.
2. f(x) = 3 x2 - 5 x.
In[50]:=
In[52]:=
Out[53]=
H∗ Derivada da função f HxL = x2 − 5 x ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := 3 x2 − 5 x
H∗ Limite da razão incremental ∗L
Clear@x, κD
f@κD − f@xD
LimitA
, κ → xE
κ−x
−5 + 6 x
Calcular a derivada f '(x) de cada uma das funções nos Exercícios 1 a 18, pelo cálculo direto do limite da razão
incremental.
3. f(x) = x2 /2
In[54]:=
In[56]:=
Out[57]=
H∗ Derivada da função f HxL = x2 ê2∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x2 ê 2
H∗ Limite da razão incremental ∗L
Clear@x, κD
f@κD − f@xD
LimitA
, κ → xE
κ−x
x
Calcular a derivada f '(x) de cada uma das funções nos Exercícios 1 a 18, pelo cálculo direto do limite da razão
incremental.
4. f(x) = -3 x2 .
In[58]:=
H∗ Derivada da função f HxL = −3 x2 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := −3 x2
Rijo Cal 1 Capitulo 4.nb
In[60]:=
Out[61]=
21
H∗ Limite da razão incremental ∗L
Clear@x, κD
f@κD − f@xD
LimitA
, κ → xE
κ−x
−6 x
Calcular a derivada f '(x) de cada uma das funções nos Exercícios 1 a 18, pelo cálculo direto do limite da razão
incremental.
5. f(x) = 1 - 2 x - 4 x2 .
In[62]:=
In[64]:=
Out[65]=
H∗ Derivada da função f HxL = 1 − 2 x − 4 x2 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := 1 − 2 x − 4 x2
H∗ Limite da razão incremental ∗L
Clear@x, κD
f@κD − f@xD
LimitA
, κ → xE
κ−x
−2 − 8 x
Calcular a derivada f '(x) de cada uma das funções nos Exercícios 1 a 18, pelo cálculo direto do limite da razão
incremental.
6. f(x) = a x2 + bx + c.
In[68]:=
In[70]:=
Out[71]=
H∗ Derivada da função f HxL = a x2
Clear@x, fD;
f@x_D := a x2 + b x + c
+ b x + c∗L
H∗ Limite da razão incremental ∗L
Clear@x, κ, a, b, cD
f@κD − f@xD
LimitA
, κ → xE
κ−x
b+2ax
Calcular a derivada f '(x) de cada uma das funções nos Exercícios 1 a 18, pelo cálculo direto do limite da razão
incremental.
7. f(x) = x3 .
In[72]:=
H∗ Derivada da função f HxL = x3 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x3
22
Rijo Cal 1 Capitulo 4.nb
In[74]:=
Out[75]=
H∗ Limite da razão incremental ∗L
Clear@x, κD
f@κD − f@xD
LimitA
, κ → xE
κ−x
3 x2
Calcular a derivada f '(x) de cada uma das funções nos Exercícios 1 a 18, pelo cálculo direto do limite da razão
incremental.
8. f(x) = Hx + 3L2 .
In[76]:=
In[78]:=
Out[79]=
H∗ Derivada da função f HxL = Hx +3L2 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Hx + 3L2
H∗ Limite da razão incremental ∗L
Clear@x, κD
f@κD − f@xD
LimitA
, κ → xE
κ−x
2 H3 + xL
Calcular a derivada f '(x) de cada uma das funções nos Exercícios 1 a 18, pelo cálculo direto do limite da razão
incremental.
9. f(x) =1/x.
In[80]:=
In[82]:=
Out[83]=
H∗ Derivada da função f HxL = 1êx∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := 1 ê x
H∗ Limite da razão incremental ∗L
Clear@x, κD
f@κD − f@xD
LimitA
, κ → xE
κ−x
1
− 2
x
10. f(x) = x + 1/x.
In[84]:=
In[86]:=
Out[87]=
H∗ Derivada da função f HxL = x + 1êx∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x + 1 ê x
H∗ Limite da razão incremental ∗L
Clear@x, κD
f@κD − f@xD
LimitA
, κ → xE
κ−x
1
1− 2
x
Rijo Cal 1 Capitulo 4.nb
23
11. f(x) = 1 ê x2 .
In[4]:=
In[6]:=
Out[7]=
12. f(x) =
In[8]:=
In[10]:=
Out[11]=
13. f(x) =
In[12]:=
In[14]:=
Out[15]=
14. f(x) =
In[16]:=
H∗ Derivada da função f HxL = 1êx2
Clear@x, fD;
f@x_D := 1 ê x2
∗L
H∗ Limite da razão incremental ∗L
Clear@x, κD
f@κD − f@xD
LimitA
, κ → xE
κ−x
2
− 3
x
è!!!!
x .
H∗ Derivada da função f HxL =
Clear@x, fD;
è!!!!
f@x_D := x
è!!!
x ∗L
H∗ Limite da razão incremental ∗L
Clear@x, κD
f@κD − f@xD
LimitA
, κ → xE
κ−x
1
è!!!
2 x
è!!!!!!!!!!!!!!
x+1 .
H∗ Derivada da função f HxL =
Clear@x, fD;
è!!!!!!!!!!!!!
f@x_D := x + 1
è!!!!!!!!!!!!!!
x + 1 ∗L
H∗ Limite da razão incremental ∗L
Clear@x, κD
f@κD − f@xD
LimitA
, κ → xE
κ−x
1
è!!!!!!!!!!
2 1+x
è!!!!!!!!
3x .
H∗ Derivada da função f HxL =
Clear@x, fD;
è!!!!!!!
f@x_D := 3 x
è!!!!!!!
3 x ∗L
24
Rijo Cal 1 Capitulo 4.nb
In[18]:=
Out[19]=
15. f(x) =
In[20]:=
In[22]:=
Out[23]=
16. f(x) =
In[24]:=
In[26]:=
Out[27]=
17. f(x) =
In[28]:=
In[30]:=
Out[31]=
H∗ Limite da razão incremental ∗L
Clear@x, κD
f@κD − f@xD
LimitA
, κ → xE
κ−x
è!!!
3
è!!!
2 x
è!!!!!!!!
-x .
H∗ Derivada da função f HxL =
Clear@x, fD;
è!!!!!!
f@x_D := −x
è!!!!!!
−x ∗L
H∗ Limite da razão incremental ∗L
Clear@x, κD
f@κD − f@xD
LimitA
, κ → xE
κ−x
1
− è!!!!!!
2 −x
è!!!!!!!!!!!!!!
5- x .
H∗ Derivada da função f HxL =
Clear@x, fD;
è!!!!!!!!!!!!!
f@x_D := 5 − x
è!!!!!!!!!!!!!!
5 − x ∗L
H∗ Limite da razão incremental ∗L
Clear@x, κD
f@κD − f@xD
LimitA
, κ → xE
κ−x
1
− è!!!!!!!!!!
2 5−x
è!!!!!!!!!!!!!!!!!
2x - 1 .
H∗ Derivada da função f HxL =
Clear@x, fD;
è!!!!!!!!!!!!!!!!!
f@x_D := 2 x − 1
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!
2 x − 1 ∗L
H∗ Limite da razão incremental ∗L
Clear@x, κD
f@κD − f@xD
LimitA
, κ → xE
κ−x
1
è!!!!!!!!!!!!!!!!!
−1 + 2 x
è!!!!!!!!
18. f(x) = 1/ 3 x .
Rijo Cal 1 Capitulo 4.nb
In[32]:=
25
è!!!!!!!
H∗ Derivada da função f HxL = 1ë 3 x ∗L
Clear@x, fD;
è!!!!!!!
f@x_D := 1 ë 3 x
In[38]:=
Out[39]=
H∗ Limite da razão incremental ∗L
Clear@x, κD
f@κD − f@xD
, κ → xE
LimitA
κ−x
1
− è!!!
2 3 x3ê2
Nos Exercícios 19 a 22 , faça o gráfico das funções dadas e calcule as derivadas laterais nos pontos onde a função dada
é derivável.
19. f(x) = .2 |x + 2|
In[166]:=
In[126]:=
H∗ Derivada da função f HxL = 2 »x + 2»∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := 2 Abs@x + 2D
Plot@f@xD, 8x, −6, 2<, PlotRange → 80, 10<D;
10
8
6
4
2
-6
In[168]:=
Out[170]=
In[171]:=
Out[173]=
-4
-2
2
H∗ Limite da razão incremental pela esquerda de a = − 2∗L
Clear@xD
a = −2;
f@xD − f@aD
LimitA
, x → a, Direction → −1E
x−a
2
H∗ Limite da razão incremental pela direita de a = −2 ∗L
Clear@xD
a = −2;
f@xD − f@aD
LimitA
, x → a, Direction → 1E
x−a
−2
Resposta : f '(-2 -) = 2, f '(-2 +) = -2
20. f(x) = - 2 x se x b 1; 3 x - 5 se x r 1.
26
In[311]:=
In[314]:=
Rijo Cal 1 Capitulo 4.nb
H∗ Derivada da função f HxL = −2 x se x b 1;
Clear@x, fD;
f@x_D := −2 x ê; x ≤ 1
f@x_D := 3 x − 5 ê; x r 1
3 x−5 se x r 1 ∗L
Plot@f@xD, 8x, −4, 4<, PlotRange → 8−4, 8<D;
8
6
4
2
-4
-2
2
4
-2
-4
In[315]:=
Out[318]=
In[327]:=
Out[330]=
H∗ Limite da razão incremental pela esquerda de a = − 2∗L
Clear@xD;
f@x_D := −2 x
a = 1;
f@xD − f@aD
LimitA
, x → a, Direction → −1E
x−a
−2
H∗ Limite da razão incremental pela direita de a = −2 ∗L
Clear@xD
f@x_D := 3 x − 5
a = 1;
f@xD − f@aD
LimitA
, x → a, Direction → 1E
x−a
3
Resposta : f '(-2 -) = -2,
f '(-2 +) = 3
21. f(x) = Hx + 1L2 se x r 0; Hx - 2L2 /4 se x b 0.
In[332]:=
H∗ Derivada da função Hx + 1L2 se x r 0; Hx − 2L2 ê4 se x b 0. ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Hx + 1L2 ê; x r 0
f@x_D := Hx − 2L2 ê 4 ê; x ≤ 0
Rijo Cal 1 Capitulo 4.nb
In[335]:=
27
Plot@f@xD, 8x, −4, 4<D;
25
20
15
10
5
-4
In[336]:=
Out[339]=
In[340]:=
Out[343]=
-2
2
4
H∗ Limite da razão incremental pela esquerda de a = − 2∗L
Clear@xD;
f@x_D := Hx + 1L2
a = 0;
f@xD − f@aD
LimitA
, x → a, Direction → −1E
x−a
2
H∗ Limite da razão incremental pela direita de a = −2 ∗L
Clear@xD
f@x_D := Hx − 2L2 ê 4
a = 0;
f@xD − f@aD
LimitA
, x → a, Direction → 1E
x−a
−1
Resposta : f '(0 -) = -1,
f '(0 +) = 2
22. f(x) = .|x - 1| (x -3)
In[180]:=
In[182]:=
H∗ Derivada da função f HxL = »x − 1»Hx − 3L∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Abs@x − 1D Hx − 3L
Plot@f@xD, 8x, −2, 5<, PlotRange → 8−15, 10<D;
10
5
-2 -1
1
-5
-10
-15
2
3
4
5
28
Rijo Cal 1 Capitulo 4.nb
In[183]:=
Out[185]=
In[186]:=
Out[188]=
H∗ Limite da razão incremental pela esquerda a = 1 ∗L
Clear@x, aD
a = 1;
f@xD − f@aD
LimitA
, x → a, Direction → −1E
x−a
−2
H∗ Limite da razão incremental pela direita a = 1∗L
Clear@x, aD
a = 1;
f@xD − f@aD
LimitA
, x → a, Direction → 1E
x−a
2
Resposta : f '(1-) = 2,
f '(1+) = -2
Nos Exercícios 23 a 26, encontre o ponto (x, y) onde: a) a tangente à curva dada seja horizontal, b) o ângulo da tangente
com o eixo dos x seja 600 ; c) esse ângulo seja 300 . Escreva as equações dessas tangentes e faça os respectivos gráficoos.
23. y = .-x2
In[344]:=
In[346]:=
H∗ A função y = −x2 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := −x2
Plot@f@xD, 8x, −2, 2<D;
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
In[358]:=
Out[358]=
Out[359]=
Solve@D@f@xD, xD
f@xD ê. %
88x → 0<<
80<
a) (x , y) = (0, 0)
0D
2
Rijo Cal 1 Capitulo 4.nb
In[362]:=
Out[362]=
Out[363]=
Solve@D@f@xD, xD
f@xD ê. %
è!!!
3
99x → −
==
2
3
9− =
4
b) (x , y) = (−
In[364]:=
29
è!!!!
3
2
,−
3
4
)
Solve@D@f@xD, xD
f@xD ê. %
Out[364]=
99x → −
Out[365]=
9−
2
Tan@π ê 6DD
1
è!!! ==
2 3
1
=
12
c) (x , y) = (−
Tan@π ê 3DD
1
è!!!!
3
,−
1
12
)
24. y = Abs@xD3
In[261]:=
In[263]:=
H∗ A função y = »x»3 ∗L
Clear@x, fD;
è!!!!!! 3
f@x_D := I x2 M
H∗ Gráfico de y = »x»3 ∗L
Plot@f@xD, 8x, −2, 2<, PlotRange → 80, 8<D;
8
7
6
5
4
3
2
1
-2
In[264]:=
1
2
H∗ Determina f'@xD, x0 onde f'@x0D = 0 e y0 = f Hx0L ∗L
Clear@xD;
dfdx = D@f@xD, xD
x0 = Flatten@Solve@dfdx 0DD
y0 = f@xD ê. x0
è!!!!!!
3 x x2
Out[266]=
8x → 0<
Out[267]=
0
Out[265]=
-1
a) (x , y) = (0, 0)
30
Rijo Cal 1 Capitulo 4.nb
In[268]:=
Out[269]=
Out[270]=
Out[271]=
H∗ Determina f'@xD, x0 onde f'@x0D = 0 e y0 = f Hx0L ∗L
Clear@xD;
dfdx = D@f@xD, xD
x0 = Flatten@Solve@dfdx Tan@π ê 3DDD
y0 = f@xD ê. x0
è!!!!!!
3 x x2
9x →
1
33ê4
b) (x , y) = (
In[272]:=
Out[273]=
In[321]:=
Out[322]=
Out[323]=
Out[324]=
Out[379]=
In[381]:=
Out[381]=
1
31ê4
,
1
33ê4
)
H∗ Determina a tamgente no ponto Hx0, y0L ∗L
m = dfdx ê. x0;
1 y
i
z
t60 = m j
jx −
z + y0 êê Simplify
1ê4
3
k
{
2
è!!!
− 3ê4 + 3 x
3
H∗ Determina f'@xD, x0 onde f'@x0D = 0 e y0 = f Hx0L ∗L
Clear@xD;
dfdx = D@f@xD, xD
x0 = Flatten@Solve@dfdx
Tan@π ê 6DDD
y0 = f@xD ê. x0
è!!!!!!
3 x x2
9x →
1
=
33ê4
1
9 31ê4
c) (x , y) = (
In[378]:=
1
=
31ê4
1
33ê4
,
1
9 31ê4
)
H∗ Determina a tamgente no ponto Hx0, y0L ∗L
m = dfdx ê. x0;
1 y
i
z
t30 = m j
z + y0 êê Simplify
jx −
33ê4 {
k
2
x
−
+ è!!!
9 31ê4
3
t30 = −
−
2
9
31ê4
2
x
− è!!!
9 31ê4
3
−
x
è!!!!
3
Rijo Cal 1 Capitulo 4.nb
In[382]:=
31
H∗ Os gráficos de f HxL e das tangentes t0, t0, t30 ∗L
Plot@80, f@xD, t60, t30<, 8x, −2, 2<, PlotStyle −>
8RGBColor@0, 0, 0D, RGBColor@0, 0, 0D, RGBColor@1, 0, 0D, RGBColor@0, 0, 1D<D;
8
6
4
2
-2
-1
1
2
-2
-4
25. y = » x + 2 »3
In[241]:=
H∗ A função y = »x + 2»3 ∗L
Clear@x, fD;
i"#################2# y
f@x_D := j
z
j Hx + 2L z
{
k
3
In[243]:=
H∗ Traça a função f HxL = x2 + 2 x − 3 ∗L
Plot@f@xD, 8x, −4, 1<, PlotRange → 8−2, 5<D;
5
4
3
2
1
-4
In[244]:=
-3
-1
-1
-2
1
H∗ Determina f'@xD, x0 onde f'@x0D = 0 e y0 = f Hx0L ∗L
Clear@xD;
dfdx = D@f@xD, xD
x0 = Flatten@Solve@dfdx 0DD
y0 = f@xD ê. x0
3 H2 + xL
Out[246]=
8x → −2<
Out[247]=
0
Out[245]=
-2
"##################
H2 + xL2
32
In[248]:=
Out[249]=
Out[250]=
In[251]:=
Out[253]=
In[254]:=
Out[255]=
Out[256]=
In[257]:=
Out[259]=
In[260]:=
Rijo Cal 1 Capitulo 4.nb
H∗ Determina f'@xD, x0 onde f'@x0D = tg 600 e y0 = f Hx0L ∗L
Clear@xD;
dfdx = D@f@xD, xD
x0 = Flatten@Solve@dfdx Tan@π ê 3DDD
3 H2 + xL
9x →
"##################
H2 + xL2
1
H−6 −
3
33ê4 L, x →
1
H−6 + 33ê4 L=
3
H∗ Determina a tamgente no ponto Hx0, y0L ∗L
m = dfdx ê. x0@@2DD;
y0 = f@xD ê. x0@@2DD ;
1
y
i
t60 = m j
H−6 + 33ê4 Lz
z + y0 êê Simplify
jx −
3
{
k
2
è!!! è!!!
− 3ê4 + 2 3 + 3 x
3
H∗ Determina f'@xD, x0 onde f'@x0D = −tg 300 e y0 = f Hx0L ∗L
Clear@xD;
dfdx = D@f@xD, xD
x0 = Flatten@Solve@dfdx −Tan@π ê 6DDD
3 H2 + xL
9x →
"##################
H2 + xL2
1
1
H−6 − 31ê4 L, x →
H−6 +
3
3
31ê4 L=
H∗ Determina a tamgente no ponto Hx0, y0L ∗L
m = dfdx ê. x0@@1DD;
y0 = f@xD ê. x0@@1DD ;
1
y
i
t30 = m j
H−6 − 31ê4 Lz
z + y0 êê Simplify
jx −
3
{
k
1ê4
2 H9 + 3 L + 9 x
−
è!!!
9 3
H∗ Os gráficos de f HxL e das tangentes t0, t0, t30 ∗L
Plot@80, f@xD, t60, t30<, 8x, −4, 1<, PlotRange → 8−2, 5<, PlotStyle −>
8RGBColor@0, 0, 0D, RGBColor@0, 0, 0D, RGBColor@1, 0, 0D, RGBColor@0, 0, 1D<D;
5
4
3
2
1
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
Rijo Cal 1 Capitulo 4.nb
33
26. y = x2 + 2 x - 3
In[160]:=
In[4]:=
H∗ A função y = x2 + 2 x − 3 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x2 + 2 x − 3
H∗ Traça a função f HxL = x2 + 2 x − 3 ∗L
Plot@f@xD, 8x, −4, 3<, PlotRange → 8−6, 8<D;
8
6
4
2
-4 -3 -2 -1
In[275]:=
1
2
3
H∗ Determina f'@xD, x0 onde f'@x0D = 0 e y0 = f Hx0L ∗L
Clear@xD;
dfdx = D@f@xD, xD
x0 = Flatten@Solve@dfdx 0DD
y0 = f@xD ê. x0
2+2x
Out[277]=
8x → −1<
Out[278]=
−4
Out[276]=
-2
-4
-6
a) (x , y) = (-1, -4)
In[249]:=
Out[250]=
Out[251]=
Out[252]=
H∗ Determina f'@xD, x0 onde f'@x0D = tg 600 e y0 = f Hx0L ∗L
Clear@xD;
dfdx = D@f@xD, xD
x0 = Flatten@Solve@dfdx Tan@π ê 3DDD
y0 = f@xD ê. x0
2+2x
1
è!!!
I−2 + 3 M=
2
è!!! 1
è!!! 2
−5 + 3 +
I−2 + 3 M
4
9x →
b) (x0 , y0) = (
1
2
I−2 +
è!!!
è!!!
3 M, −5 + 3 +
1
4
I−2 +
è!!! 2
3M )
34
Rijo Cal 1 Capitulo 4.nb
In[253]:=
Out[254]=
In[259]:=
Out[260]=
Out[261]=
Out[262]=
H∗ Determina a tamgente no ponto Hx0, y0L ∗L
m = dfdx ê. x0;
1
è!!!! y
i
t60 = m j
I−2 + 3 Mz
jx −
z + y0
2
k
{
è!!! 1
è!!! 2 è!!! 1
è!!!
−5 + 3 +
I−2 + 3 M + 3 J I2 − 3 M + xN
4
2
H∗ Determina f'@xD, x0 onde f'@x0D = −tg 300 e y0 = f Hx0L ∗L
Clear@xD;
dfdx = D@f@xD, xD
x0 = Flatten@Solve@dfdx −Tan@π ê 6DDD
y0 = f@xD ê. x0
2+2x
1
è!!!
I−6 − 3 M=
6
1
1
è!!!
è!!! 2
−3 +
I−6 − 3 M +
I−6 − 3 M
3
36
9x →
c) (x0 , y0) = (
In[263]:=
Out[264]=
In[265]:=
1
6
I−6 −
è!!!
3 M, −3 +
1
3
I−6 −
è!!!
3M+
I−6 −
è!!! 2
3M )
H∗ Determina a tamgente no ponto Hx0, y0L ∗L
m = dfdx ê. x0;
1
è!!!! y
i
t30 = m j
I−6 − 3 Mz
jx −
z + y0
6
k
{
1
1
1
1
è!!!
è!!! 2
è!!!
è!!!
−3 +
I−6 − 3 M +
I−6 − 3 M + J2 +
I−6 − 3 MN J I6 + 3 M + xN
3
36
3
6
H∗ Os gráficos de f HxL e das tangentes t0, t0, t30 ∗L
Plot@8−4, f@xD, t60, t30<, 8x, −4, 3<, PlotRange → 8−6, 8<, PlotStyle −>
8RGBColor@0, 0, 0D, RGBColor@0, 0, 0D, RGBColor@1, 0, 0D, RGBColor@0, 0, 1D<D;
8
6
4
2
-4
-3
-2
-1
1
-2
-4
-6
30. Calcule a derivada segunda da função f(x) = 1/x
In[154]:=
1
36
H∗ A função f HxL = 1êx ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := 1 ê x
2
3
Rijo Cal 1 Capitulo 4.nb
In[156]:=
Out[156]=
35
H∗ Segunda derivada de f HxL = 1êx ∗L
D@f@xD, 8x, 2<D
2
x3
è!!!
x ∗L
31. Calcule a derivada segunda da função f(x) =
In[157]:=
In[159]:=
Out[159]=
H∗ A função f HxL =
Clear@x, fD;
è!!!!
f@x_D := x
H∗ Segunda derivada de f HxL = 1êx ∗L
D@f@xD, 8x, 2<D
−
1
4 x3ê2
32. Sendo f(x) =
In[147]:=
In[151]:=
è!!!
x , mostre que f '(0 +) não existe.
H∗ A função f HxL =
Clear@x, fD;
è!!!!
f@x_D := x
è!!!
x ∗L
a = 0;
LimitA
Out[152]=
è!!!
x
f@xD − f@aD
x−a
, x → a, Direction → −1E
∞
4.3 Aplicações à cinemática
Seguindo Newton, a velocidade instantânea é dada pela derivada do espaço percorido em relação ao tempo.
In[282]:=
In[284]:=
Out[284]=
H∗ Equação da velocidade ∗L
Clear@t, vD
v@t_D := v0 + a t
H∗ Aceleração ∗L
D@v@tD, tD
0
36
In[288]:=
Out[289]=
Rijo Cal 1 Capitulo 4.nb
H∗ Gráfico da velocidade; v0 = 4, a = 2 ∗L
8v0, a< = 84, 2<;
v@tD
Plot@v@tD, 8t, 0, 5<, PlotRange → 80, 14<D;
4+2t
14
12
10
8
6
4
2
1
In[291]:=
2
3
Out[293]=
In[294]:=
5
H∗ Equação horária do movimento ∗L
Clear@v0, a, t, sD
s@t_D := s0 + v0 t +
In[293]:=
4
H∗ Velocidade ∗L
D@s@tD, tD
a t2
2
a t + v0
H∗ Gráfico do deslocamento s HtL ∗L
8s0, v0, a< = 810, 4, 2<;
Plot@s@tD, 8t, 0, 5<, PlotRange → 80, 50<D;
50
40
30
20
10
1
In[296]:=
Out[296]=
2
H∗ Velocidade ∗L
D@s@tD, tD
4+2t
3
4
5
Rijo Cal 1 Capitulo 4.nb
37
Exemplo 1. (* pág. 81 *) Vamos mostrar que, se um corpo for abondonado à ação
da gravidade, com certa velocidade inicial diferente de zero, sua tragetória será
uma parábola.
In[306]:=
H∗ Equações horárias nos eixos x e y ∗L
Clear@t, α, v0, g, x, yD;
x@t_D := Hv0 Cos@αDL t
y@t_D := Hv0 Sin@αDL t −
In[309]:=
g t2
2
H∗ Equações da parábola ∗L
Clear@t, τ, α, v0, g, x, yD;
τ = x@tD ê Hv0 Cos@αDL;
y@τ_D := Hv0 Sin@αDL τ −
g τ2
2
y@τD
Out[312]=
In[304]:=
Tan@αD x@tD −
g Sec@αD2 x@tD2
2 v02
H∗ Gráfico da parábola. Suponha g = 9.8, ângulo b = 45, v0 = 100 ∗L
8g, b, v0< = 89.8, 45, 100<;
Plot@y@tD, 8t, 0, 17.3<D;
350
300
250
200
150
100
50
2.5
5
7.5 10 12.5 15 17.5
Exemplo 2. (* pág. 82 *) Um objeto é lançado do solo, verticalmente para
cima, com velocidade v0. Desprezando a resistência do ar, vamos calcular sua
altura máxima e o tempo gasto para atingi-lo.
In[320]:=
H∗ Equação horária do movimento ∗L
Clear@g, tD;
s@t_D := v0 t −
In[317]:=
Out[317]=
g t2
2
H∗ Velocidade ∗L
v = D@s@tD, tD
−g t + v0
38
Rijo Cal 1 Capitulo 4.nb
A altura máxima h ocorre quando v = 0, isto é, pata t = v0/g.
In[322]:=
Out[322]=
In[326]:=
H∗ Altura máxima ∗L
s@tD ê. t → v0 ê g
v02
2g
H∗ O tempo e altura máxima, com v0 = 100 mês e g = 9.8 mês2 ∗L
v0 = 100;
g = 9.8;
t = v0 ê g
v0 ^ 2 ê H2 gL
Out[328]=
10.2041
Out[329]=
510.204
Exemplo 3. (* pág. 82 *) Vamos estudar o movimento de uma partícula ao longo
de um eixo horizontal, com equação horária s = t 3 - 3 t 2 - 9 t + 1.
In[330]:=
In[332]:=
Out[332]=
H∗ Equação horária da partícula ∗L
Clear@tD
s@t_D := t3 − 3 t2 − 9 t + 1
H∗ Velocidade da partícula ∗L
v = D@s@tD, tD
−9 − 6 t + 3 t2
Factor[expr] fatoriza um polinômios.
In[333]:=
Out[333]=
H∗ Fatorização do plinômio −9 − 6 t + 3 t2 ∗L
Factor@vD
3 H−3 + tL H1 + tL
Isto mostra que a velocidade é positiva em t < -1 e t > 3, e negativa em -1 < t < 3. Em consequência o móvel desloca-se
para a direita durante o tempo t < -1; ele pára no intante t = -1, quando o espaço s assume o valor s(-1) = 6; a partir desse
instante t = -1, o móvel desloca-se para a esquerda, até parar novamente em t = 3, , para, em seguida desloca-se para a
direita.
In[334]:=
Out[334]=
H∗ Aceleração ∗L
D@v, tD
−6 + 6 t
Como é negativa em t < 1 e positiva em t> 1, vemos que a velocidade, que é infinita em t z -¶, descresce até t = 1, e a
partir daí volta a crescer, tedendo a infinito com t z ¶.
1. Um móvel percorre 40 km a uma velocidade constante de 60 km/h e outros 100 km à velocidade constante de 80 km/h.
Calcule sua velocidade média em todo o trajeto.
Rijo Cal 1 Capitulo 4.nb
In[400]:=
Out[404]=
Out[405]=
H∗ Derivada da função f HxL = x2 ∗L
s1 = 40;
v1 = 60;
s2 = 100;
v2 = 80;
t = Hs1 ê v1 + s2 ê v2L
Hs1 + s2L ê t êê N
23
12
73.0435
39
CAPÍTULO 5
O cálculo formal da derivada
Iniciar o Mathematica (MathKernel)
In[1]:=
Out[1]=
2 + 2 H∗ Este comando inicia o MathKernel ∗L
4
5.1 Regra de derivação
A derivada de uma função constante f(x) = c é zero.
In[1]:=
In[3]:=
Out[4]=
In[5]:=
Out[5]=
H∗ A função constante f HxL = c ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := c
H∗ Limite da razão incremental ∗L
Clear@x, κD
f@κD − f@xD
LimitA
, κ → xE
κ−x
0
H∗ Derivada da função constante com o Mathematica ∗L
D@f@xD, xD
0
Derivada de xn
A derivada da função f(x) = xn é n xn -1 . Esta regra é válida para n real qualquer.
2
Rijo Cal 1 Capitulo 5.nb
In[1]:=
In[3]:=
Out[3]=
In[4]:=
In[6]:=
Out[6]=
In[7]:=
In[9]:=
Out[9]=
In[10]:=
H∗ A função constante f HxL = xn ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := xn
H∗ Derivada da função f HxL = xn ∗L
D@f@xD, xD
n x−1+n
H∗ A função constante f HxL = xn ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := 1 ê x
H∗ Derivada da função f HxL = xn ∗L
D@f@xD, xD
−
1
x2
H∗ A função constante f HxL = xn ∗L
Clear@x, fD;
è!!!!
f@x_D := x
H∗ Derivada da função f HxL = xn ∗L
D@f@xD, xD
1
è!!!
2 x
H∗ A função constante f HxL = xn ∗L
Clear@x, fD;
è!!!!
2
f@x_D := x
In[12]:=
Out[12]=
H∗ Derivada da função f HxL = xn ∗L
D@f@xD, xD
è!!! −1+è!!!2!
2 x
Derivada de uma soma
A derivada da soma de funções é a soma das derivadas das funções.
In[1]:=
Out[2]=
H∗ A derivade de soma das funções f HxL, g HxL e h HxL ∗L
Clear@x, f, g, hD;
D@f@xD + g@xD + h@xD, xD
f @xD + g @xD + h @xD
Derivada de um produto
Rijo Cal 1 Capitulo 5.nb
3
A derivada do produto das funçõs f(x) e g(x) é dada por f '(x) g(x) + f(x) g '(x).
In[101]:=
Out[102]=
H∗ Derivada do produto das funções f HxL e g HxL
Clear@x, fD;
D@f@xD g@xD, xD
∗L
g@xD f @xD + f@xD g @xD
A derivada do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela derivada da função.
In[1]:=
Out[2]=
In[3]:=
Out[4]=
In[5]:=
Out[6]=
In[7]:=
Out[8]=
In[9]:=
Out[10]=
In[11]:=
Out[12]=
In[13]:=
Out[14]=
In[15]:=
Out[16]=
H∗ Derivada do produto das funções f HxL e g HxL
Clear@x, f, cD;
D@c f@xD , xD
c f @xD
Clear@xD;
7 3
DAx4 −
x + x2 − 3 x + 10, xE
6
7 x2
−3 + 2 x −
+ 4 x3
2
Clear@xD;
D@a x2 − b x + c, xD
−b + 2 a x
Clear@tD;
D@2 t3 − t2 + 5 t − 7, tD
5 − 2 t + 6 t2
Clear@xD;
D@x2 − 3 x , xD
−3 + 2 x
Clear@tD;
D@4 + 3 t , tD
3
Clear@tD;
D@v0 + a t , tD
a
Clear@tD;
D@10 − 2 t + 5 t2 , tD
−2 + 10 t
∗L
4
Rijo Cal 1 Capitulo 5.nb
In[17]:=
Clear@t, v0, aD;
DAs0 + v0 t +
Out[18]=
a t2
, tE
2
a t + v0
Derivada de um quociente
A derivada do quociente das funçõs f(x) e g(x) é dada por (f '(x) g(x) - f(x) g' HxLL ê g2 (x)
In[1]:=
Out[2]=
H∗ Derivada do produto das funções f HxL e g HxL
Clear@x, fD;
D@f@xD ê g@xD, xD êê Together
∗L
g@xD f @xD − f@xD g @xD
g@xD2
Com a prática, estas regras de derivação são memorizadas automaticamente. Convém agrupá-las aqui:
Potência:
Hxn L' = nxn-1 ;
Soma:
(f + g)' = f ' + g ';
Produto por constante:
(c f) ' = c f ';
Produto:
(f g) ' = f ' g + f g ';
Quociente:
Exemplos
In[1]:=
Out[2]=
In[3]:=
Out[4]=
In[5]:=
Out[6]=
In[7]:=
Out[8]=
Clear@xD;
D@Hx3 − 2 xL Hx2 − 1L, xD êê Simplify
2 − 9 x2 + 5 x4
Clear@xD;
D@Hx2 − 3 x + 1L H3 x2 + 5 x − 5L, xD êê Simplify
2 H10 − 17 x − 6 x2 + 6 x3 L
Clear@xD;
è!!!!
DA1 ë Ix x M, xE
−
3
2 x5ê2
Clear@xD;
D@Hx2 − 1L ê Hx2 + 1L, xD êê Simplify
4x
H1 + x2 L2
f ' g - f g'
I ÅÅÅÅgf Å M = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ .
g2
Rijo Cal 1 Capitulo 5.nb
In[9]:=
Out[10]=
5
Clear@xD;
è!!!!
è!!!!
DA x ë I1 +
x M, xE êê Simplify
1
è!!! 2 è!!!
2 I1 + x M
x
Exercícios
Calcule as derivadas das funções dadas nos Exercícios 1 a 28.
1. f(x) = 2x5 .
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Derivada da função f HxL = 2 x5 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := 2 x5
D@f@xD, xD
10 x4
2. f(x) = 3x7 .
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Derivada da função f HxL = 3 x7 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := 3 x7
D@f@xD, xD
21 x6
3. f(x) = xp .
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Derivada da função f HxL = xπ ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := xπ
D@f@xD, xD
π x−1+π
4. f(x) = 5xp + 2 .
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Derivada da função f HxL = 5 xπ
Clear@x, fD;
f@x_D := 5 xπ + 2
D@f@xD, xD
5 H2 + πL x1+π
5. f(x) = (9/4) x4 .
+ 2
∗L
6
Rijo Cal 1 Capitulo 5.nb
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Derivada da função f HxL = H9ê4L x4 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := 9 ê 4 x4
D@f@xD, xD
9 x3
6. f(x) = (3/5)x15 .
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Derivada da função f HxL = H3ê5L x15 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := 3 ê 5 x15
D@f@xD, xD
9 x14
7. f(x) = x3ê2 .
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Derivada da função f HxL = x3ê2 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x3ê2
D@f@xD, xD
è!!!
3 x
2
8. f(x) = (3/5)x5ê3 .
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Derivada da função f HxL = H3ê5L x5ê3 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := 3 ê 5 x5ê3
D@f@xD, xD
x2ê3
9. f(x) = 2x1ê2 .
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Derivada da função f HxL = 2 x1ê2 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := 2 x1ê2
D@f@xD, xD
1
è!!!
x
10. f(x) = 2x2
In[1]:=
Out[3]=
è!!!
x.
H∗ Derivada da função f HxL = 2 x2
Clear@x, fD;
è!!!!
f@x_D := 2 x2 x
D@f@xD, xD
5 x3ê2
è!!!
x ∗L
Rijo Cal 1 Capitulo 5.nb
7
11. f(x) = x-2ê3 .
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Derivada da função f HxL = x−2ê3 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x−2ê3
D@f@xD, xD
−
2
3 x5ê3
12. f(x) = 1 ê x
In[1]:=
è!!!
x.
H∗ Derivada da função f HxL = 1êx
Clear@x, fD;
è!!!!
f@x_D := 1 ë Ix x M
è!!!
x ∗L
D@f@xD, xD
Out[3]=
−
3
2 x5ê2
13. f(x) = x2 ë
In[1]:=
3
è!!!!!
x2 .
3
è!!!!!
!
H∗ Derivada da função f HxL = x2 ë x2 ∗L
Clear@x, fD;
3
è!!!!!
!
f@x_D := x2 í x2
D@f@xD, xD
Out[3]=
4x
3 Hx2 L1ê3
14. f(x) = x-7ê8 ë
In[1]:=
è!!!
x.
è!!!
H∗ Derivada da função f HxL = x−7ê8 ë x ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x−7ê8 ë
è!!!!
x
D@f@xD, xD
Out[3]=
−
11
8 x19ê8
15. f(x) = x7 - H5 ê 3L x6 + H3 ê 5L x5 - x4 + 2 x - 3.
In[1]:=
Out[3]=
16. f(x) =
H∗ Derivada da função f HxL = x7 − H5ê3L x6 + H3ê5L x5 − x4 + 2 x − 3 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x7 − H5 ê 3L x6 + H3 ê 5L x5 − x4 + 2 x − 3
D@f@xD, xD
2 − 4 x3 + 3 x4 − 10 x5 + 7 x6
è!!!
x (x - 1).
8
Rijo Cal 1 Capitulo 5.nb
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Derivada da função f HxL =
Clear@x, fD;
è!!!!
f@x_D := x Hx − 1L
D@f@xD, xD
è!!!
x Hx − 1L ∗L
−1 + x è!!!
è!!! + x
2 x
17. f(x) = H3 x2 - 1L Hx2 + 2L.
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Derivada da função f HxL = H3 x2 − 1L Hx2 + 2L ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := H3 x2 − 1L Hx2 + 2L
D@f@xD, xD êê Simplify
2 x H5 + 6 x2 L
18. f(x) = (a x + b) (a x + b).
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Derivada da função f HxL = Hax + bL Hαx + βL ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Ha x + bL Hα x + βL
D@f@xD, xD êê Simplify
b α + a H2 x α + βL
è!!!
è!!!
19. f(x) = I x + 2M I x - 3M.
In[1]:=
è!!!
è!!!
H∗ Derivada da função f HxL = I x +2M I x − 3M ∗L
Clear@x, fD;
è!!!!
è!!!!
f@x_D := I x + 2M I x − 3M
D@f@xD, xD êê Simplify
Out[3]=
1−
1
è!!!
2 x
20. f(x) = Hx2 - 2L Hx2 + 3 x + 5L.
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Derivada da função f HxL = Hx2 − 2L Hx2 − 3 x + 5L ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Hx2 − 2L Hx2 − 3 x + 5L
D@f@xD, xD êê Simplify
6 + 6 x − 9 x2 + 4 x3
21. f(x) = H3 x2 + 2 x - 5L H2 x2 + 3L.
Rijo Cal 1 Capitulo 5.nb
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Derivada da função f HxL = H3 x2 + 2 x − 5L H2 x2 + 3L ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := H3 x2 + 2 x − 5L H2 x2 + 3L
D@f@xD, xD êê Simplify
6 − 2 x + 12 x2 + 24 x3
22. f(x) = (x + a)/(x - a).
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Derivada da função f HxL = Hx + aLêHx − aL ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Hx + aL ê Hx − aL
D@f@xD, xD êê Simplify
−
2a
Ha − xL2
23. f(x) = (x - a)/(x + a).
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Derivada da função f HxL = Hx − aLêHx + aL ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Hx − aL ê Hx + aL
D@f@xD, xD êê Simplify
2a
Ha + xL2
è!!!
è!!!
24. f(x) = I x + aM ë I x - aM .
In[1]:=
è!!!
è!!!
H∗ Derivada da função f HxL = I x + aMëI x − aM ∗L
Clear@x, fD;
è!!!!
è!!!!
f@x_D := I x + aM ë I x − aM
Out[3]=
D@f@xD, xD êê Simplify
a
−
è!!! 2 è!!!
x
Ia − x M
è!!!
è!!!
25. f(x) = I x - aM ë I x + aM .
In[1]:=
è!!!
è!!!
H∗ Derivada da função f HxL = I x − aMëI x + aM ∗L
Clear@x, fD;
è!!!!
è!!!!
f@x_D := I x − aM ë I x + aM
Out[3]=
D@f@xD, xD êê Simplify
a
è!!! 2 è!!!
Ia + x M
x
26. f(x) = Hx2 - 3 x + 1L ê Hx2 - 1L.
9
10
Rijo Cal 1 Capitulo 5.nb
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Derivada da função f HxL = Hx2 − 3 x + 1LêHx2 − 1L ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Hx2 − 3 x + 1L ê Hx2 − 1L
D@f@xD, xD êê Simplify
3 − 4 x + 3 x2
H−1 + x2 L2
27. f(x) = Hx2 - 3 x + 1L ê Hx2 + 2 x + 5L.
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Derivada da função f HxL = Hx2 − 3 x + 1LêHx2 + 2 x + 5L ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Hx2 − 3 x + 1L ê Hx2 + 2 x + 5L
D@f@xD, xD êê Simplify
−17 + 8 x + 5 x2
H5 + 2 x + x2 L2
28. f(x) = Hax2 + bx + cL ê HAx2 + Bx + CL.
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Derivada da função f HxL = Hax2 + bx + cLêHAx2 + Bx + CL ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Ha x2 + b x + cL ê HA x2 + B x + CL
D@f@xD, xD êê Simplify
−B c + b C − 2 A c x + 2 a C x − A b x2 + a B x2
HC + x HB + A xLL2
30. Dada a função f(x) = 1/x, calcule f '(x), f ''(x), f '''(x) etc
In[1]:=
Out[3]=
Out[4]=
Out[5]=
H∗ Derivada da função f HxL = Hx2 − 3 x + 1LêHx2 − 1L ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := 1 ê x
D@f@xD, xD
D@f@xD, 8x, 2<D
D@f@xD, 8x, 3<D
1
x2
2
x3
6
− 4
x
−
è!!!!!!!!!!!!!
31. Faça o gráfico de y = - x - 2 , x ¥ -2. Encontre as retas tangente e a normal a essa curva num ponto genérico de
abscissa a. Faça o gráfico da derivada (ou declive da tangente) y ' = y '(x) e interprete-o, geometricamente, em face do
gráfico da função original.
In[1]:=
è!!!!!!!!!!!!!!
H∗ A função função f HxL = − x + 2 ∗L
Clear@x, fD;
è!!!!!!!!!!!!!
f@x_D := − x + 2
Rijo Cal 1 Capitulo 5.nb
In[3]:=
Out[5]=
In[6]:=
Out[8]=
In[9]:=
11
H∗ Reta tangente no ponto a ∗L
Clear@xD;
m = D@f@xD, xD ê. x → a;
y
m Hx − aL + f@aD
−a + x
è!!!!!!!!!!
y − 2 + a − è!!!!!!!!!!
2 2+a
H∗ Reta normal no ponto a ∗L
Clear@xD;
m = D@f@xD, xD ê. x → a;
y
−1 ê m Hx − aL + f@aD êê Simplify
è!!!!!!!!!!
y
2 + a H−1 − 2 a + 2 xL
H∗ Gráfico da função f HxL ∗L
Plot@f@xD, 8x, −2, 2<D;
-2
-1
1
2
-0.5
-1
-1.5
-2
In[10]:=
H∗ Gráfico da derivada de f HxL ∗L
D@f@xD, xD;
Plot@%, 8x, −2, 2<D;
-2
-1
1
2
-1
-2
-3
-4
-5
-6
Repita o mesmo procedimento do Exercício 31 nos Exercícios 32 a 35
32. y = 1/x
In[1]:=
H∗ A função função f HxL = 1êx ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := 1 ê x
12
Rijo Cal 1 Capitulo 5.nb
In[3]:=
Out[5]=
In[6]:=
Out[8]=
In[9]:=
H∗ Reta tangente no ponto a ∗L
Clear@xD;
m = D@f@xD, xD ê. x → a;
y
m Hx − aL + f@aD
y
1
−a + x
−
a
a2
H∗ Reta normal no ponto a ∗L
Clear@xD;
m = D@f@xD, xD ê. x → a;
y
−1 ê m Hx − aL + f@aD êê Simplify
a3 + y
1
+ a2 x
a
H∗ Gráfico da função f HxL ∗L
Plot@f@xD, 8x, −1, 1<, PlotRange → 8−10, 10<D;
10
7.5
5
2.5
-1
In[10]:=
-0.5
-2.5
-5
-7.5
-10
0.5
1
H∗ Gráfico da derivada de f HxL ∗L
D@f@xD, xD;
Plot@%, 8x, −1, 1<, PlotRange → 8−1000, 0<D;
-1
-0.5
0.5
1
-200
-400
-600
-800
-1000
33. y = x2 /2 - 2
In[1]:=
H∗ A função função f HxL = x2 ê2 −2∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x2 ê 2 − 2
Rijo Cal 1 Capitulo 5.nb
In[3]:=
Out[5]=
In[6]:=
Out[8]=
In[9]:=
13
H∗ Reta tangente no ponto a ∗L
Clear@xD;
m = D@f@xD, xD ê. x → a;
y
m Hx − aL + f@aD
y
−2 +
a2
+ a H−a + xL
2
H∗ Reta normal no ponto a ∗L
Clear@xD;
m = D@f@xD, xD ê. x → a;
y
−1 ê m Hx − aL + f@aD êê Simplify
a2
2 Ha + x + a yL
a
H∗ Gráfico da função f HxL ∗L
Plot@f@xD, 8x, −3, 3<, PlotRange → 8−3, 3<D;
3
2
1
-3
-2
-1
1
2
3
-1
-2
-3
In[10]:=
H∗ Gráfico da derivada de f HxL ∗L
D@f@xD, xD;
Plot@%, 8x, −3, 3<D;
3
2
1
-3
-2
-1
1
2
3
-1
-2
34. y = 2
In[1]:=
è!!!!!!!!!!!!!
x-1
-3
H∗ A função função f HxL = 2
Clear@x, fD;
è!!!!!!!!!!!!!
f@x_D := 2 x − 1
è!!!!!!!!!!!!!!
x − 1 ∗L
14
Rijo Cal 1 Capitulo 5.nb
In[3]:=
Out[5]=
In[6]:=
Out[8]=
In[9]:=
H∗ Reta tangente no ponto a ∗L
Clear@xD;
m = D@f@xD, xD ê. x → a;
y
m Hx − aL + f@aD
−a + x
è!!!!!!!!!!!!!!
y 2 −1 + a + è!!!!!!!!!!!!!!
−1 + a
H∗ Reta normal no ponto a ∗L
Clear@xD;
m = D@f@xD, xD ê. x → a;
y
−1 ê m Hx − aL + f@aD êê Simplify
è!!!!!!!!!!!!!!
y
−1 + a H2 + a − xL
H∗ Gráfico da função f HxL ∗L
Plot@f@xD, 8x, 1, 3<D;
2.5
2
1.5
1
0.5
1.5
In[10]:=
2
2.5
3
H∗ Gráfico da derivada de f HxL ∗L
D@f@xD, xD;
Plot@%, 8x, 1, 3<, PlotRange → 80, 10<D;
10
8
6
4
2
1.5
34. y = x3 /3
In[1]:=
2
2.5
3
H∗ A função função f HxL = x3 ê3 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x3 ê 3
Rijo Cal 1 Capitulo 5.nb
In[3]:=
Out[5]=
In[6]:=
Out[8]=
In[9]:=
15
H∗ Reta tangente no ponto a ∗L
Clear@xD;
m = D@f@xD, xD ê. x → a;
y
m Hx − aL + f@aD
a3
+ a2 H−a + xL
3
y
H∗ Reta normal no ponto a ∗L
Clear@xD;
m = D@f@xD, xD ê. x → a;
y
−1 ê m Hx − aL + f@aD êê Simplify
3 + a4
3x
+3ay
a
H∗ Gráfico da função f HxL ∗L
Plot@f@xD, 8x, 1, 3<D;
8
6
4
2
1.5
In[10]:=
2
2.5
3
H∗ Gráfico da derivada de f HxL ∗L
D@f@xD, xD;
Plot@%, 8x, 1, 3<, PlotRange → 80, 10<D;
10
8
6
4
2
1.5
2
2.5
3
36. Encontre as retas tangente e normal à circunferência de centro (1, 0) e raio 2, pelos pontos de abscissa x - = 0. Faça o
gráfico.
In[1]:=
"##########################
"#########################2#
4 - Hx - 1L e y = - 4 - Hx - 1L2
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
H∗ A funções y = 4 − H1 − xL2
Clear@x, fD;
"#########################
f@x_D := 4 − H1 − xL2
Há de considerar as duas funções: y =
∗L
16
Rijo Cal 1 Capitulo 5.nb
In[3]:=
Out[3]=
In[4]:=
Out[6]=
In[7]:=
Out[9]=
In[10]:=
H∗ Determinar da função y = f HxL no ponto x = 0
Solve@f@xD 0, xD
88x → −1<, 8x → 3<<
H∗ Reta tangente no ponto I0,
Clear@xD;
m = D@f@xD, xD ê. x → 0;
y
m x + f@0D
x
è!!!
y
3 + è!!!
3
H∗ Reta normal no ponto I0,
∗L
è!!!
3 M ∗L
è!!!
3 M ∗L
Clear@xD;
m = D@f@xD, xD ê. x → 0;
y
−1 ê m x + f@0D
è!!! è!!!
y
3 − 3 x
H∗ Gráfico da função f HxL ∗L
p1 = Plot@f@xD, 8x, −1, 3<, DisplayFunction −> IdentityD;
è!!!!
è!!!!
p2 = PlotAx ë 3 +
3 , 8x, −1, 3<,
PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction −> IdentityE;
è!!!!
è!!!!
p3 = PlotA− 3 x +
3 , 8x, −1, 1<, PlotStyle → 8RGBColor@0, 0, 1D<,
DisplayFunction −> IdentityE;
Show@8p1, p2, p3<, AspectRatio → Automatic,
DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-1
In[14]:=
1
2
3
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
H∗ A funções y = − 4 − H1 − xL2
Clear@x, fD;
"#########################
f@x_D := − 4 − H1 − xL2
∗L
Rijo Cal 1 Capitulo 5.nb
In[16]:=
Out[16]=
In[17]:=
Out[19]=
In[20]:=
Out[22]=
In[23]:=
17
H∗ Determinar da função y = f HxL no ponto x = 0
Solve@f@xD 0, xD
88x → −1<, 8x → 3<<
H∗ Reta tangente no ponto I0,
Clear@xD;
m = D@f@xD, xD ê. x → 0;
y
m x + f@0D
x
è!!!
y − 3 − è!!!
3
H∗ Reta normal no ponto I0,
∗L
è!!!
3 M ∗L
è!!!
3 M ∗L
Clear@xD;
m = D@f@xD, xD ê. x → 0;
y
−1 ê m x + f@0D
è!!! è!!!
y − 3 + 3 x
H∗ Gráfico da função f HxL ∗L
p1 = Plot@f@xD, 8x, −1, 3<, DisplayFunction −> IdentityD;
è!!!!
è!!!!
p2 = PlotA−x ë 3 −
3 , 8x, −1, 3<,
PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction −> IdentityE;
è!!!!
è!!!!
p3 = PlotA 3 x −
3 , 8x, −1, 1<, PlotStyle → 8RGBColor@0, 0, 1D<,
DisplayFunction −> IdentityE;
Show@8p1, p2, p3<, AspectRatio → Automatic,
DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
-1
1
2
3
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
-3.5
37. Ache a reta tamgente à curva y = x3 - x2 + 2 x no ponto de abscissa 1. Encontre o outro ponto onde essa tangente
corta a curva.
In[1]:=
H∗ A funções y = x3 − x2 + 2 x ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x3 − x2 + 2 x
18
Rijo Cal 1 Capitulo 5.nb
In[3]:=
H∗ Reta tangente no ponto I0,
è!!!
3 M ∗L
Clear@xD;
a = 1;
m = D@f@xD, xD ê. x → a;
y
m Hx − aL + f@aD êê Simplify
Out[6]=
In[7]:=
3x
1+y
H∗ Reta tangente no ponto I0,
è!!!
3 M ∗L
Clear@xD;
Solve@8f@xD == 3 x − 1<, xD
Out[8]=
In[9]:=
Out[9]=
In[10]:=
88x → −1<, 8x → 1<, 8x → 1<<
H∗ O outro ponto onde a tangente corta a curva ∗L
8−1, f@−1D<
8−1, −4<
Plot@8f@xD, 3 x − 1<, 8x, −2, 2<,
PlotStyle → 8RGBColor@0, 0, 0D, RGBColor@1, 0, 0D<D;
5
-2
-1
1
2
-5
-10
-15
38. Calcule (f g)'', (f g) '''
In[1]:=
Out[2]=
In[3]:=
Out[4]=
H∗ Derivada segunda do produto das funções f HxL e g HxL
Clear@x, f, gD;
D@f@xD g@xD, 8x, 2<D
∗L
2 f @xD g @xD + g@xD f @xD + f@xD g @xD
H∗ Derivada terceira do produto das funções f HxL e g HxL
Clear@x, f, gD;
D@f@xD g@xD, 8x, 3<D
3 g @xD f @xD + 3 f @xD g @xD + g@xD fH3L @xD + f@xD gH3L @xD
39. Calcule (f g h) '
∗L
Rijo Cal 1 Capitulo 5.nb
In[5]:=
Out[6]=
19
H∗ Derivada do produto das funções f HxL, g HxL e h HxL
Clear@x, f, g , hD;
D@f@xD g@xD h@xD, xD
∗L
g@xD h@xD f @xD + f@xD h@xD g @xD + f@xD g@xD h @xD
5.2 Função composta e regra da cadeia
Sejam as funções
h: x #
è!!!!!!!!
!!!!!!!
x2 + 1 ;
g : x # x2 + 1;
f: x #
è!!!!!!
x2
Observe que h(x) = f(g(x)) Isto significa que a ação de h sobre x resulta no mesmo que a ação de f sobre g(x). Por isso,
dizemos que h é uma função composta de f e g: primeiro aplicamos g, depois f. É costume indicar a função composta h
com o símbolo f ë g; assim h = f ë g.
Regra da cadeia.
A deruvada da função composta h(x) = f(g(x)) é dada por h' (x) = f ' (u) g ' (x) onde u = g(x) é uma variável intermediária.
Na notação de Leibniz,
df
df du
ÅÅÅÅ
ÅÅ = ÅÅÅÅ
ÅÅ ÅÅÅÅÅÅ
dx
du dx
Exemplo 1. Seja calcular
In[1]:=
In[3]:=
Out[3]=
H∗ A função f HxL =
Clear@x, yD;
è!!!!!!!!!!!!!!!
y@x_D := x2 + 1
H∗ A derivada de função y HxL =
D@y@xD, xD
x
è!!!!!!!!!!!!2!
1+x
Exemplo 2. Seja calcular
In[1]:=
è!!!!!!!!
!!!!!!!!
x2 + 1 ∗L
a derivada da função y =
è!!!!!!!!
!!!!!!!!
x2 + 1 ∗L
a derivada da função y = | x |.
H∗ A função f HxL = …x… ∗L
Clear@x, yD;
è!!!!!!
y@x_D := x2
è!!!!!!!!
!!!!!!!
x2 + 1
20
Rijo Cal 1 Capitulo 5.nb
In[3]:=
Out[3]=
H∗ Derivada da função f HxL = …x… ∗L
D@y@xD, xD
x
è!!!!!
!
x2
Exemplo 3. Seja calcular
In[1]:=
a derivada da função y = Hx10 + 2 L
20
H∗ A função f HxL = Hx10 + 2L
20
∗L
Clear@x, yD;
y@x_D := Hx10 + 2L
20
In[3]:=
H∗ Derivada da função f HxL = Hx10 + 2L
20
∗L
D@y@xD, xD
200 x9 H2 + x10 L
19
Out[3]=
5.3 Funções implícitas
As funções y = f(x) estudadas até agora são todas dadas por fórmulas que exprimem y em termo de x. Muitas vezes
encontamos equações envolvendo x e y em que a variável y pode ser considerada função de x, dada implicitamente pela
equação. Em alguns casos, a equaçãore representa mais de uma função. A regra de derivação em cadeia permite
derivar funções implícitas sem necessidade de explicitar y.
In[1]:=
H∗ Ativa o pacote AddOn Graphics`ImplicitPlot`∗L
<< Graphics`ImplicitPlot`
Exemplo 1. Derivar a função implicita
FHx, yL = x2 y - 2 y - 3 x - 1
Rijo Cal 1 Capitulo 5.nb
In[1]:=
21
H∗ Gráfico da função implícita F Hx,yL ∗L
Clear@x, yD;
0, 8x, −4, 4<, PlotRange → 8−6, 6<D;
ImplicitPlot@x2 y − 2 y − 3 x − 1
6
4
2
-4
-2
2
4
-2
-4
-6
In[3]:=
Out[4]=
In[5]:=
Out[6]=
In[7]:=
Out[8]=
In[9]:=
Out[10]=
H∗ Explicitar a função implícita F Hx,yL ∗L
Clear@x, yD;
0, yD
Solve@x2 y − 2 y − 3 x − 1
99y →
1+3x
==
−2 + x2
H∗ Derivar a função explicita y = f HxL ∗L
Clear@xD;
1 + 3x
dydx = DA
, xE êê Simplify
x2 − 2
6 + 2 x + 3 x2
−
H−2 + x2 L2
H∗ Derivar a função implicita F Hx,yL ∗L
Clear@x, yD;
ls = D@x2 y@xD − 2 y@xD − 3 x − 1, xD
−3 + 2 x y@xD − 2 y @xD + x2 y @xD
H∗ Explicitar y' HxL ∗L
Clear@xD;
Solve@ls 0, y '@xDD êê Simplify
99y @xD →
3 − 2 x y@xD
==
−2 + x2
Exemplo 2. Derivar a função implicita
FHx, yL = x2 y - 2 y - 3 x - 1
22
Rijo Cal 1 Capitulo 5.nb
In[1]:=
H∗ Gráfico da função implícita F Hx,yL ∗L
Clear@x, yD;
ImplicitPlot@y3 − 3 x y − 14 == 0, 8x, −10, 10<, PlotRange → 8−6, 6<D;
6
4
2
-10
-5
5
10
-2
-4
-6
In[3]:=
Out[4]=
H∗ Explicitar a função implícita F Hx,yL ∗L
Clear@x, yD;
Solve@y3 − 3 x y − 14 == 0, yD êê Simplify
è!!!!!!!!!!!!!!! 2ê3
x + I7 + 49 − x3 M
I−1 −
99y →
=, 9y →
1ê3
è!!!!!!!!!!!!!!!
I7 + 49 − x3 M
9y →
I +
è!!!!!!!!!!!!!!! 2ê3
è!!!
è!!!
3 M x + I−1 −
3 M I7 + 49 − x3 M
==
è!!!!!!!!!!!!!!! 1ê3
2 I7 + 49 − x3 M
H∗ Calculo de y H−1L ∗L
Clear@xD;
è!!!!!!!!!!!!!!! 2ê3
x + I7 + 49 − x3 M
è!!!!!!!!!!!!!!! 1ê3
I7 + 49 − x3 M
In[5]:=
Out[5]=
In[6]:=
In[8]:=
Out[8]=
ê. x → −1 êê FullSimplify
2 Null
H∗ Derivar a função explicita y = f HxL ∗L
Clear@xD;
dydx = DA
Out[7]=
è!!!!!!!!!!!!!!! 2ê3
è!!!
I + 3 M I7 + 49 − x3 M
=,
è!!!!!!!!!!!!!!! 1ê3
2 I7 + 49 − x3 M
è!!!
3M x+
x + I7 +
2ê3
è!!!!!!!!!!!!!!!
49 − x3 M
è!!!!!!!!!!!!!!! 1ê3
I7 + 49 − x3 M
, xE êê Simplify
è!!!!!!!!!!!!!!! 2ê3
è!!!!!!!!!!!!!!!
−x3 − x2 I7 + 49 − x3 M
+ 14 I7 + 49 − x3 M
è!!!!!!!!!!!!!!! 4ê3
è!!!!!!!!!!!!!!!
2 49 − x3 I7 + 49 − x3 M
H∗ Derivar y' H−1L ∗L
dydx ê. x → −1 êê FullSimplify
2
5
Rijo Cal 1 Capitulo 5.nb
In[9]:=
Out[10]=
In[11]:=
Out[12]=
H∗ Derivar a função implicita F Hx,yL ∗L
Clear@x, yD;
ls = D@y@xD3 − 3 x y@xD − 14, xD
−3 y@xD − 3 x y @xD + 3 y@xD2 y @xD
H∗ Explicitar y' HxL ∗L
Clear@xD;
Solve@ls 0, y '@xDD êê Simplify
99y @xD →
y
In[13]:=
Out[13]=
23
−x + y2
y@xD
==
−x + y@xD2
ê. 8x → −1, y → 2<
2
5
Exercícios
Nos Exercícios 1 a 12, calcule a derivada y' de duas maneiras: a) resolvendo explicitamente a equação para depois
derivar; b) derivando diretamente e substituindo y - f(x) da equa;cão dada.
è!!!!!
1. f(x) = 5 x y - 3 = 0.
In[1]:=
H∗ Gráfico da função implícita F Hx,yL ∗L
Clear@x, yD;
è!!!!
ImplicitPlotA5 x y − 3
0, 8x, 0, 4<, PlotRange → 80, 6<E;
6
5
4
3
2
1
1
In[3]:=
Out[4]=
2
3
4
H∗ Explicitar a função implícita F Hx,yL ∗L
Clear@x, yD;
è!!!!
SolveA5 x y − 3
0, yE êê Simplify
99y →
9
==
25 x2
24
Rijo Cal 1 Capitulo 5.nb
In[5]:=
Out[6]=
In[7]:=
Out[8]=
In[9]:=
Out[10]=
H∗ Derivar a função explicita y = f HxL ∗L
Clear@xD;
9
, xE êê Simplify
dydx = DA
25 x2
18
−
25 x3
H∗ Derivar a função implicita F Hx,yL ∗L
Clear@x, yD;
è!!!!!!!!!!!
ls = DA5 x y@xD − 3, xE
5
è!!!!!!!!!!! 5 x y @xD
y@xD + è!!!!!!!!!!!
2 y@xD
H∗ Explicitar y' HxL ∗L
Clear@xD;
Solve@ls 0, y '@xDD êê Simplify
99y @xD → −
2 y@xD
==
x
2. f(x) = y3 - 2 x + x2 = 0.
In[1]:=
H∗ Gráfico da função implícita F Hx,yL ∗L
Clear@x, yD;
ImplicitPlot@y3 − 2 x + x2 0, 8x, 0, 2<, PlotRange → 80, 1<D;
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.5
In[3]:=
Out[4]=
In[5]:=
Out[6]=
1
1.5
2
H∗ Explicitar a função implícita F Hx,yL ∗L
Clear@x, yD;
Solve@y3 − 2 x + x2 0, yD êê Simplify
88y → H−H−2 + xL xL1ê3 <, 8y → −H−1L1ê3 H−H−2 + xL xL1ê3 <, 8y → H−1L2ê3 H−H−2 + xL xL1ê3 <<
H∗ Derivar a função explicita y = f HxL ∗L
Clear@xD;
dydx = D@H−H−2 + xL xL1ê3 , xD êê Simplify
−
2 H−1 + xL
3 H−H−2 + xL xL2ê3
Rijo Cal 1 Capitulo 5.nb
In[7]:=
Out[8]=
In[9]:=
Out[10]=
25
H∗ Derivar a função implicita F Hx,yL ∗L
Clear@x, yD;
ls = D@y@xD3 − 2 x + x2 , xD
−2 + 2 x + 3 y@xD2 y @xD
H∗ Explicitar y' HxL ∗L
Clear@xD;
Solve@ls 0, y '@xDD êê Simplify
99y @xD → −
2 H−1 + xL
==
3 y@xD2
3. f(x) = x2 + y2 = 4.
In[1]:=
H∗ Gráfico da função implícita F Hx,yL ∗L
Clear@x, yD;
4, 8x, −2, 2<D;
ImplicitPlot@x2 + y2
2
1
-2
-1
1
2
-1
-2
In[3]:=
Out[4]=
In[5]:=
Out[6]=
In[7]:=
Out[8]=
H∗ Explicitar a função implícita F Hx,yL ∗L
Clear@x, yD;
4, yD êê Simplify
Solve@x2 + y2
è!!!!!!!!!!!!!
è!!!!!!!!!!!!!
99y → − 4 − x2 =, 9y → 4 − x2 ==
H∗ Derivar a função explicita y = f HxL ∗L
Clear@xD;
è!!!!!!!!!!!!!
dydx = DA− 4 − x2 , xE êê Simplify
x
è!!!!!!!!!!!!2!
4−x
H∗ Derivar a função explicita y = f HxL ∗L
Clear@xD;
è!!!!!!!!!!!!!
dydx = DA 4 − x2 , xE êê Simplify
x
− è!!!!!!!!!!!!!
4 − x2
26
Rijo Cal 1 Capitulo 5.nb
In[9]:=
Out[10]=
In[11]:=
Out[12]=
H∗ Derivar a função implicita F Hx,yL ∗L
Clear@x, yD;
ls = D@x2 + y@xD2 − 4, xD
2 x + 2 y@xD y @xD
H∗ Explicitar y' HxL ∗L
Clear@xD;
Solve@ls 0, y '@xDD êê Simplify
x
99y @xD → −
==
y@xD
4. f(x) = 3x2 - 4 y2 - 1 = 0.
In[1]:=
H∗ Gráfico da função implícita F Hx,yL ∗L
Clear@x, yD;
0, 8x, −2, 2<D;
ImplicitPlot@3 x2 − 4 y2 − 1
1.5
1
0.5
-2
-1
1
2
-0.5
-1
-1.5
In[3]:=
Out[4]=
In[5]:=
Out[6]=
In[7]:=
Out[8]=
H∗ Explicitar a função implícita F Hx,yL ∗L
Clear@x, yD;
0, yD êê Simplify
Solve@3 x2 − 4 y2 − 1
99y → −
1 è!!!!!!!!!!!!!!!!!2!!
1 è!!!!!!!!!!!!!!!!!2!!
−1 + 3 x =, 9y →
−1 + 3 x ==
2
2
H∗ Derivar a função explicita y = f HxL ∗L
Clear@xD;
1 è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
−1 + 3 x2 , xE êê Simplify
dydx = DA−
2
3x
− è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
2 −1 + 3 x2
H∗ Derivar a função explicita y = f HxL ∗L
Clear@xD;
1 è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
−1 + 3 x2 , xE êê Simplify
dydx = DA
2
3x
è!!!!!!!!!!!!!!!!!2!!
2 −1 + 3 x
Rijo Cal 1 Capitulo 5.nb
In[9]:=
Out[10]=
In[11]:=
Out[12]=
27
H∗ Derivar a função implicita F Hx,yL ∗L
Clear@x, yD;
ls = D@3 x2 − 4 y@xD2 − 1 , xD
6 x − 8 y@xD y @xD
H∗ Explicitar y' HxL ∗L
Clear@xD;
Solve@ls 0, y '@xDD êê Simplify
99y @xD →
3x
==
4 y@xD
5. f(x) = y2 = 3 x - 1.
In[1]:=
H∗ Gráfico da função implícita F Hx,yL ∗L
Clear@x, yD;
3 x − 1, 8x, −4, 4<D;
ImplicitPlot@y2
3
2
1
1
2
3
4
-1
-2
-3
In[3]:=
Out[4]=
In[5]:=
Out[6]=
In[7]:=
H∗ Explicitar a função implícita F Hx,yL ∗L
Clear@x, yD;
3 x − 1, yD êê Simplify
Solve@y2
è!!!!!!!!!!!!!!!!!
è!!!!!!!!!!!!!!!!!
99y → − −1 + 3 x =, 9y → −1 + 3 x ==
H∗ Derivar a função explicita y = f HxL ∗L
Clear@xD;
è!!!!!!!!!!!!!!!!!
dydx = DA− −1 + 3 x , xE êê Simplify
−
2
3
è!!!!!!!!!!!!!!!!!
−1 + 3 x
H∗ Derivar a função explicita y = f HxL ∗L
Clear@xD;
è!!!!!!!!!!!!!!!!!
dydx = DA −1 + 3 x , xE êê Simplify
Out[8]=
2
3
è!!!!!!!!!!!!!!!!!
−1 + 3 x
28
Rijo Cal 1 Capitulo 5.nb
In[9]:=
Out[10]=
In[11]:=
Out[12]=
H∗ Derivar a função implicita F Hx,yL ∗L
Clear@x, yD;
ls = D@y@xD2 − 3 x + 1 , xD
−3 + 2 y@xD y @xD
H∗ Explicitar y' HxL ∗L
Clear@xD;
Solve@ls 0, y '@xDD êê Simplify
99y @xD →
3
==
2 y@xD
6. f(x) = 3 x2 + 2 x + y2 = 10.
In[13]:=
Out[13]=
In[14]:=
H∗ Gráfico da função implícita F Hx,yL ∗L
10, xD
Solve@3 x2 + 2 x
99x →
1
1
è!!!!!!
è!!!!!!
I−1 − 31 M=, 9x →
I−1 + 31 M==
3
3
H∗ Gráfico da função implícita F Hx,yL ∗L
Clear@x, yD;
1
1
è!!!!!!
è!!!!!!
10, 9x,
I−1 − 31 M,
I−1 + 31 M=E;
ImplicitPlotA3 x2 + 2 x + y2
3
3
3
2
1
-2-1.5-1-0.5
0.5 1 1.5
-1
-2
-3
In[16]:=
Out[17]=
H∗ Explicitar a função implícita F Hx,yL ∗L
Clear@x, yD;
10, yD êê Simplify
Solve@3 x2 + 2 x + y2
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
99y → − 10 − 2 x − 3 x2 =, 9y → 10 − 2 x − 3 x2 ==
Rijo Cal 1 Capitulo 5.nb
In[18]:=
Out[19]=
In[20]:=
Out[21]=
In[22]:=
Out[23]=
In[24]:=
Out[25]=
29
H∗ Derivar a função explicita y = f HxL ∗L
Clear@xD;
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
dydx = DA− 10 − 2 x − 3 x2 , xE êê Simplify
1+3x
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
10 − 2 x − 3 x2
H∗ Derivar a função explicita y = f HxL ∗L
Clear@xD;
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
dydx = DA 10 − 2 x − 3 x2 , xE êê Simplify
−1 − 3 x
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
10 − 2 x − 3 x2
H∗ Derivar a função implicita F Hx,yL ∗L
Clear@x, yD;
ls = D@3 x2 + 2 x + y@xD2 − 10 , xD
2 + 6 x + 2 y@xD y @xD
H∗ Explicitar y' HxL ∗L
Clear@xD;
Solve@ls 0, y '@xDD êê Simplify
99y @xD → −
1+3x
==
y@xD
5.4 Função inversa
Inverter uma função y = f(x) é obter x como função de y: x = g(y).
Exemplo. A função y = x2 gera duas funções inversas: x = è!!!y! e x = - è!!!y!
30
Rijo Cal 1 Capitulo 5.nb
In[1]:=
H∗ Gráfico da função y = x2 ,
è!!!
0 ≤ x ≤ 2 e da função inversa x = y , 0 ≤ y ≤ 4 ∗L
Clear@x, yD;
p1 = Plot@x2 , 8x, 0, 2<, DisplayFunction → IdentityD;
è!!!!
p2 = PlotA y , 8y, 0, 4<, DisplayFunction → IdentityE;
Show@GraphicsArray@8p1, p2<D, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
4
2
3
1.5
2
1
1
0.5
0.5
In[5]:=
1
1.5
2
H∗ Gráfico da função y = x2 ,
1
2
3
4
è!!!
−2 ≤ x ≤ 0 e da função inversa x = y , 0 ≤ y ≤ 4 ∗L
Clear@x, yD;
p1 = Plot@x2 , 8x, −2, 0<, DisplayFunction → IdentityD;
è!!!!
p2 = PlotA− y , 8y, 0, 4<, DisplayFunction → IdentityE;
Show@GraphicsArray@8p1, p2<D, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
4
1
3
-0.5
2
-1
1
-1.5
-2 -1.5 -1 -0.5
2
3
4
-2
Definição de função inversa
Para definirmos a inversa de uma função f , é preciso que f goz da seguinte propriedade: cada y de sua imagem é
imagem de um único x de seu domínio: y = f(x). Dizemos, então, que f é injetiva, biunívoca ou invertível. Nessas
condições, a inversa de f é definida como sendo a função g, que leva cada y da imagem de f no elemento x tal que
f(x) = y. Assim, o domínio de g é a imagem de f é a imagem de g é o domínio de f.
Funções crescente e decrescente
Rijo Cal 1 Capitulo 5.nb
Sejam x1
se
e
31
x2
valores arbitrários do domínio de uma função f. Dizemos que f é crescente
x1 < x2 fl f Hx1 L < f Hx2 L
e decrescente se
x1 < x2 fl f Hx1 L > f Hx2 L.
Se uma função for crescente ou decrescente, então ela será invertível e sua inversa será também crescente ou decrescente, respectivamente.
Derivada da função inversa
Se f uma função invertível, cuja inversa g seja derivável num ponto y com g '(y) ∫ 0. Então f também é derivável no
ponto x = g(y). A derivada de f é o inverso da derivada de sua inversa g. Simbolicamente,,
f '(x) =
1
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ .
g' HyL
Exercícios
Em cada un dos Exercícios 1 a 12, ache a fórmula explicita da função inversa x = g(y). Faça o gráfico da função dada e
de sua inversa.
1. y = 3 x + 4.
In[1]:=
Out[2]=
In[3]:=
Clear@x, yD;
Solve@3 x + 4
99x →
y, xD
1
H−4 + yL==
3
H∗ Gráficos das funções y HxL e x HyL ∗L
Clear@x, yD;
p1 = Plot@3 x + 4 , 8x, −2, 2<, DisplayFunction → IdentityD;
1
p2 = PlotA H−4 + yL , 8y, −5, 5<, DisplayFunction → IdentityE;
3
Show@GraphicsArray@8p1, p2<D, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
10
8
6
4
2
-2
2. y = 1 ê Hx - aL.
-1 -2
-4
1
2
-2
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
2
4
32
Rijo Cal 1 Capitulo 5.nb
In[1]:=
Out[2]=
In[8]:=
Clear@x, y, aD;
Solve@1 ê Hx − aL
99x →
y, xD
1+ay
==
y
H∗ Gráficos das funções y HxL e x HyL ∗L
Clear@x, yD;
a = 1;
p1 = Plot@1 ê Hx − aL , 8x, 0, 2<, DisplayFunction → IdentityD;
1+ay
p2 = PlotA
, 8y, −5, 5<, DisplayFunction → IdentityE;
y
Show@GraphicsArray@8p1, p2<D, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
20
15
10
5
75
50
25
0.5
-25
-50
-75
-100
1
1.5
2
-4
-2 -5
-10
-15
2
4
3. y = 3 x ê Hx + 2L.
In[1]:=
Out[2]=
In[3]:=
Clear@x, y, aD;
Solve@3 x ê Hx + 2L
99x → −
2y
==
−3 + y
y, xD
H∗ Gráficos das funções y HxL e x HyL ∗L
Clear@x, yD;
p1 = Plot@3 x ê Hx + 2L , 8x, 0, 2<, DisplayFunction → IdentityD;
2y
p2 = PlotA−
, 8y, 0, 5<, DisplayFunction → IdentityE;
−3 + y
Show@GraphicsArray@8p1, p2<D, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
200
100
1
-100
-200
0.5
4. y = Hx + kL ê Hx - kL.
1
1.5
2
2
3
4
5
Rijo Cal 1 Capitulo 5.nb
In[1]:=
Out[2]=
In[3]:=
33
Clear@x, y, aD;
Solve@Hx + kL ê Hx − kL
99x →
2 H1 + yL
==
−1 + y
y, xD
H∗ Gráficos das funções y HxL e x HyL ∗L
Clear@x, yD;
k = 2;
p1 = Plot@Hx + kL ê Hx − kL , 8x, 0, 4<, DisplayFunction → IdentityD;
k+ky
p2 = PlotA
, 8y, 0, 2<, DisplayFunction → IdentityE;
−1 + y
Show@GraphicsArray@8p1, p2<D, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
150
100
50
300
200
100
1
-50
-100
-150
2
3
4
-100
-200
-300
0.5
1
1.5
2
5. y = 1 ê x.
In[1]:=
Out[2]=
In[3]:=
Clear@x, y, aD;
Solve@1 ê x y, xD
99x →
1
==
y
H∗ Gráficos das funções y HxL e x HyL ∗L
Clear@x, yD;
p1 = Plot@1 ê x , 8x, −2, 2<, DisplayFunction → IdentityD;
1
p2 = PlotA , 8y, −2, 2<, DisplayFunction → IdentityE;
y
Show@GraphicsArray@8p1, p2<D, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
-2
è!!!!!!!!!!!!!
6. y = . x - 1
40
40
20
20
-1
1
2
-2
-1
1
-20
-20
-40
-40
2
34
Rijo Cal 1 Capitulo 5.nb
In[1]:=
Out[2]=
In[3]:=
Clear@x, y, aD;
è!!!!!!!!!!
SolveAy == x − 1 , xE
88x → 1 + y2 <<
H∗ Gráficos das funções y HxL e x HyL ∗L
Clear@x, yD;
è!!!!!!!!!!
p1 = PlotA x − 1 , 8x, 1, 3<, DisplayFunction → IdentityE;
p2 = Plot@1 + y2 , 8y, 0, 2<, DisplayFunction → IdentityD;
Show@GraphicsArray@8p1, p2<D, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
è!!!!!!!!!!!!!
7. y = - 1 - x .
In[1]:=
Out[2]=
In[3]:=
5
4
3
2
1.5
2
2.5
3
0.5
1
1.5
2
Clear@x, y, aD;
è!!!!!!!!!!!!
SolveAy − 1 − x , xE
88x → 1 − y2 <<
H∗ Gráficos das funções y HxL e x HyL ∗L
Clear@x, yD;
è!!!!!!!!!!!!!
p1 = PlotA− 1 − x , 8x, −3, 1<, DisplayFunction → IdentityE;
p2 = Plot@1 − y2 , 8y, 0, 2<, DisplayFunction → IdentityD;
Show@GraphicsArray@8p1, p2<D, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
-3
-2
-1
1
1
-0.5
0.5
è!!!!!!!!!!!!!
8. y = - a - x .
In[1]:=
Out[2]=
-1
-1
-1.5
-2
-2
-3
Clear@x, y, aD;
è!!!!!!!!!!
SolveAy − a − x , xE
88x → a − y2 <<
1
1.5
2
Rijo Cal 1 Capitulo 5.nb
In[3]:=
35
H∗ Gráficos das funções y HxL e x HyL ∗L
Clear@x, yD;
a = 2;
è!!!!!!!!!!!!!
p1 = PlotA− a − x , 8x, −3, 2<, DisplayFunction → IdentityE;
p2 = Plot@a − y2 , 8y, 0, 2<, DisplayFunction → IdentityD;
Show@GraphicsArray@8p1, p2<D, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
-3
-2
-1
-0.5
1
2
2
1
-1
0.5
-1.5
1
1.5
2
-1
-2
-2
9. y = x2 ê Hx2 + 1L.
In[1]:=
Out[2]=
In[3]:=
Clear@x, y, aD;
Solve@y x2 ê Hx2 + 1L, xD
è!!!
è!!!
y
y
99x → − è!!!!!!!!!! =, 9x → è!!!!!!!!!! ==
1−y
1−y
H∗ Gráficos das funções y HxL e x HyL ∗L
Clear@x, yD;
p1 = Plot@x2 ê Hx2 + 1L, 8x, 0, 2<, DisplayFunction → IdentityD;
è!!!!
y
p2 = PlotA−
, 8y, 0, .8<, DisplayFunction → IdentityE;
è!!!!!!!!!!
1−y
Show@GraphicsArray@8p1, p2<D, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
0.8
0.2
0.6
-0.5
0.4
-1
0.2
-1.5
-2
0.5
1
1.5
2
10. y = x2 ê Hx2 + 1L.
In[1]:=
Out[2]=
Clear@x, y, aD;
Solve@y x2 ê Hx2 + 1L, xD
è!!!
è!!!
y
y
99x → − è!!!!!!!!!! =, 9x → è!!!!!!!!!! ==
1−y
1−y
0.4
0.6
0.8
36
Rijo Cal 1 Capitulo 5.nb
In[3]:=
H∗ Gráficos das funções y HxL e x HyL ∗L
Clear@x, yD;
p1 = Plot@x2 ê Hx2 + 1L, 8x, −2, 0<, DisplayFunction → IdentityD;
è!!!!
y
p2 = PlotA
, 8y, 0, .8<, DisplayFunction → IdentityE;
è!!!!!!!!!!
1−y
Show@GraphicsArray@8p1, p2<D, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
-2
-1.5
-1
0.8
2
0.6
1.5
0.4
1
0.2
0.5
0.2
-0.5
0.4
0.6
0.8
11. y = x2 - 4.
In[1]:=
Out[2]=
In[3]:=
Clear@x, y, aD;
Solve@y x2 − 4, xD
è!!!!!!!!!!
è!!!!!!!!!!
99x → − 4 + y =, 9x → 4 + y ==
H∗ Gráficos das funções y HxL e x HyL ∗L
Clear@x, yD;
p1 = Plot@x2 − 4, 8x, 0, 3<, DisplayFunction → IdentityD;
è!!!!!!!!!!
p2 = PlotA 4 + y , 8y, −4, 4<, DisplayFunction → IdentityE;
Show@GraphicsArray@8p1, p2<D, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
2.5
4
2
2
1.5
0.5
1
1.5
2
2.5
1
3
-2
-4
12. y = x2 - 4.
In[1]:=
Out[2]=
Clear@x, y, aD;
Solve@y x2 − 4, xD
è!!!!!!!!!!
è!!!!!!!!!!
99x → − 4 + y =, 9x → 4 + y ==
0.5
-4
-2
2
4
Rijo Cal 1 Capitulo 5.nb
In[3]:=
37
H∗ Gráficos das funções y HxL e x HyL ∗L
Clear@x, yD;
p1 = Plot@x2 − 4, 8x, −3, 0<, DisplayFunction → IdentityD;
è!!!!!!!!!!
p2 = PlotA− 4 + y , 8y, −4, 4<, DisplayFunction → IdentityE;
Show@GraphicsArray@8p1, p2<D, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
4
2
-4
-2
2
-0.5
-1
-1.5
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5
-2
-2
-2.5
-4
4
CAPÍTULO 6
Derivadas das funções trigonométricas
Iniciar o Mathematica (MathKernel)
In[1]:=
Out[1]=
2 + 2 H∗ Inicia o Mathematica HMathKernelL ∗L
4
6.1 As funções trigonométricas
As funções trigonométricas são muito importante tanto em matemática como em aplicações nas ciências físicas. Elas
são ferramenta natural no estudo dos fenômenos periódicos, como as oscilações de um pêndulo e as vibrações de uma
corda ou menbrana, no tratamento da propagação de ondas sonoras, elásticas, eletromagnéticas.
Dizemos que uma função f é periódica com período p se
f Hx + pL = f HxL
(1)
para todo x. Se f é uma função é periódica com período p, então ela é periódica com períodos -p, 2p, 3p, etc. Em geral,
entende-se por período o menor número positivo p satisfazendo (1).
As funções seno e co-seno
In[1]:=
H∗ Ativa o pacote AddOn Graphics`ImplicitPlot` ∗L
<< Graphics`ImplicitPlot`
2
Rijo Cal 1 Capitulo 6.nb
In[2]:=
H∗ Representação gráfica do seno e co−seno ∗L
Show@ImplicitPlot@x ^ 2 + y ^ 2 == 1, 8x, −1, 1<,
Epilog → 8Text@"senHxL", 8.58, .2<D, Text@"cosHxL", 8.4, .68<D<,
DisplayFunction → IdentityD,
Show@[email protected], 0<, 8.8, .6<<,
PlotJoined → True, PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0D<,
DisplayFunction → IdentityD,
[email protected], .6<, 80, .6<<,
PlotJoined → True, PlotStyle → 8RGBColor@0, 0, 1D<,
DisplayFunction → IdentityD,
[email protected], 0<, 8.8, .6<<, PlotJoined → True,
DisplayFunction → IdentityDD, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
1
cosHxL
0.5
senHxL
-1
-0.5
0.5
1
-0.5
-1
As funções seno e co-seno: Sin[q] e Cos[q].
Gráficos do seno e co-seno
In[3]:=
H∗ Gráfico da função seno com −2 π ≤ θ ≤ 2 π ∗L
Clear@θD;
Plot@Sin@θD, 8θ, −2 π, 2 π<D;
1
0.5
-6
-4
-2
2
-0.5
-1
4
6
Rijo Cal 1 Capitulo 6.nb
In[5]:=
3
H∗ Gráfico da função c0−seno com −2 π ≤ θ ≤ 2 π ∗L
Clear@θD;
Plot@Cos@θD, 8θ, −2 π, 2 π<D;
1
0.5
-6
-4
-2
2
4
6
-0.5
-1
In[7]:=
H∗ Gráfico das funções seno e co−seno com −2 π ≤ θ ≤ 2 π ∗L
Clear@θD;
Plot@8Sin@θD, Cos@θD<, 8θ, −5 ê 2 π, 5 ê 2 π<,
PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0D, RGBColor@0, 0, 1D<D;
1
0.5
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5
-0.5
-1
As funções tangente, co-tagente, secante e co-secante
As funções tangente (tan), co-tangente (cot), secante (sec) e co-secante (csc) são definidas em termos de seno e
co-seno, da seguinte maneira:
tan q =
sen q
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅ ,
cos q
cot q =
cos q
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅ ,
sen q
sec q =
1
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅ ,
cos q
As funções tangente, co-tangente, secante e co-secante: Tan[q], Cot[q], Sec[q], Csc[q]
csc q =
1
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅ
sen q
4
Rijo Cal 1 Capitulo 6.nb
In[9]:=
H∗ Gráfico da tangente −3ê2 π ≤ θ ≤ 3ê2 π ∗L
Clear@θD;
Plot@Tan@θD, 8θ, −3 ê 2 π, 3 ê 2 π<, PlotRange → 8−3, 3<D;
3
2
1
-4
-2
2
4
-1
-2
-3
In[11]:=
H∗ Gráfico da co−tangente −3ê2 π ≤ θ ≤ 3ê2 π ∗L
Clear@θD;
Plot@Cot@θD, 8θ, −3 ê 2 π, 3 ê 2 π<, PlotRange → 8−3, 3<D;
3
2
1
-4
-2
2
-1
-2
-3
4
Rijo Cal 1 Capitulo 6.nb
In[13]:=
5
H∗ Gráfico da secante −3ê2 π ≤ θ ≤ 3ê2 π ∗L
Clear@θD;
Plot@Sec@θD, 8θ, −3 ê 2 π, 3 ê 2 π<, PlotRange → 8−3, 3<D;
3
2
1
-4
-2
2
4
-1
-2
-3
In[15]:=
H∗ Gráfico da co−secante −3ê2 π ≤ θ ≤ 3ê2 π ∗L
Clear@θD;
Plot@Csc@θD, 8θ, −3 ê 2 π, 3 ê 2 π<, PlotRange → 8−3, 3<D;
3
2
1
-4
-2
2
-1
-2
-3
Uma função importante sen[1/x]
In[1]:=
H∗ A função sen H1êxL ∗L
Clear@xD;
f@x_D := Sin@1 ê xD
4
6
Rijo Cal 1 Capitulo 6.nb
In[3]:=
H∗ Figura 6 .13: gráfico da f unção sen H1êxL no intervalo @1êH2 πL, 2êπD ∗L
Plot@f@xD, 8x, 1 ê H2 πL, 2 ê π<, PlotRange → 880, 2 ê π<, 8−1, 1<<D;
1
0.75
0.5
0.25
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
-0.25
-0.5
-0.75
-1
In[4]:=
H∗ Figura 4.14: gráfico da função sen H1êxL
nos intervalos @1êH4 πL, 1êH2 πLD e @1êH4 πL, 1êH2 πLD ∗L
Show@GraphicsArray@8Plot@f@xD, 8x, 1 ê H4 πL, 1 ê H2 πL<,
PlotRange → 880, .2<, 8−1, 1<<,
TextStyle → 8FontSize → 7.0<,
DisplayFunction → IdentityD,
Plot@f@xD, 8x, 1 ê H8 πL, 1 ê H4 πL<,
PlotRange → 880, .1<, 8−1, 1<<, TextStyle → 8FontSize → 7.0<,
DisplayFunction → IdentityD<D,
DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
1
0.75
1
0.75
0.5
0.25
0.5
0.25
−0.25
−0.5
−0.75
−1
0.05
0.1
0.15
0.2
−0.25
−0.5
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
−0.75
−1
TextStyle → {FontSize → size} é uma opção para redifinir o tamanho da fonte do texto (letras e números)
nos gráficos.
Rijo Cal 1 Capitulo 6.nb
In[5]:=
7
H∗ Figura 6 .15: gráfico da f unção sen H1êxL noo intervalo @1êH8 πL, πD ∗L
Plot@f@xD, 8x, 1 ê H8 πL, π<, PlotRange → 880, π<, 8−1, 1<<D;
1
0.75
0.5
0.25
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-0.25
-0.5
-0.75
-1
In[6]:=
H∗ Figura 6 .16: gráfico da f unção sen H1êxL noo intervalo @−π, πD ∗L
Plot@f@xD, 8x, −π, π<, PlotRange → 88−π, π<, 8−1, 1<<D;
1
0.75
0.5
0.25
-3
-2
-1
1
-0.25
-0.5
-0.75
-1
2
3
8
Rijo Cal 1 Capitulo 6.nb
H∗ Figura 6 .16: gráfico da f unção sen H1êxL noo intervalo @−πê10, πê10D ∗L
Plot@f@xD, 8x, −π ê 10, π ê 10<, PlotRange → 88−π ê 10, π ê 10<, 8−1, 1<<D;
In[7]:=
1
0.75
0.5
0.25
-0.3
-0.2
-0.1
-0.25
0.1
0.2
0.3
-0.5
-0.75
-1
H∗ Figura 6 .16: gráfico da f unção sen H1êxL noo intervalo @−πê50, πê50D ∗L
Plot@f@xD, 8x, −π ê 50, π ê 50<, PlotRange → 88−π ê 50, π ê 50<, 8−1, 1<<D;
In[8]:=
1
0.75
0.5
0.25
-0.06
-0.04
-0.02
-0.25
0.02
0.04
0.06
-0.5
-0.75
-1
Exercícios
Nos Exercícios 1 a 8 calcule os valores das funções trigonométricas para os valores de q.
1. q = p/3
In[1]:=
Out[2]=
2. q = p/4
H∗ Cálculo do sen, cos, tan, cot, sec, csc ∗L
θ = π ê 3;
8Sin@θ D, Cos@θ D, Tan@θ D, Cot@θ D, Sec@θ D, Csc@θ D<
è!!!
3
1 è!!!
1
2
9
,
, 3 , è!!! , 2, è!!! =
2
2
3
3
Rijo Cal 1 Capitulo 6.nb
In[1]:=
Out[2]=
H∗ Cálculo do sen, cos, tan, cot, sec, csc ∗L
θ = π ê 4;
8Sin@θ D, Cos@θ D, Tan@θ D, Cot@θ D, Sec@θ D, Csc@θ D<
1
1
è!!! è!!!
9 è!!! , è!!! , 1, 1, 2 , 2 =
2
2
3. q = -p/3
In[1]:=
Out[2]=
H∗ Cálculo do sen, cos, tan, cot, sec, csc ∗L
θ = −π ê 3;
8Sin@θ D, Cos@θ D, Tan@θ D, Cot@θ D, Sec@θ D, Csc@θ D<
è!!!
3
1
1
2
è!!!
9−
,
, − 3 , − è!!! , 2, − è!!! =
2
2
3
3
4. q = 3p/2
In[1]:=
Out[2]=
H∗ Cálculo do sen, cos, tan, cot, sec, csc ∗L
θ = 3 π ê 2;
8Sin@θ D, Cos@θ D, Tan@θ D, Cot@θ D, Sec@θ D, Csc@θ D<
8−1, 0, ComplexInfinity, 0, ComplexInfinity, −1<
5. q = 4p/3
In[1]:=
Out[2]=
H∗ Cálculo do sen, cos, tan, cot, sec, csc ∗L
θ = 4 π ê 3;
8Sin@θ D, Cos@θ D, Tan@θ D, Cot@θ D, Sec@θ D, Csc@θ D<
è!!!
3
1 è!!!
1
2
9−
, − , 3 , è!!! , −2, − è!!! =
2
2
3
3
6. q = -p/6
In[1]:=
Out[2]=
H∗ Cálculo do sen, cos, tan, cot, sec, csc ∗L
θ = −π ê 6;
8Sin@θ D, Cos@θ D, Tan@θ D, Cot@θ D, Sec@θ D, Csc@θ D<
è!!!
1
3
1
2
è!!!
9− ,
, − è!!! , − 3 , è!!! , −2=
2
2
3
3
7. q = 2p/3
In[1]:=
Out[2]=
8. q = p/3
H∗ Cálculo do sen, cos, tan, cot, sec, csc ∗L
θ = 2 π ê 3;
8Sin@θ D, Cos@θ D, Tan@θ D, Cot@θ D, Sec@θ D, Csc@θ D<
è!!!
3
1
1
2
è!!!
9
, − , − 3 , − è!!! , −2, è!!! =
2
2
3
3
9
10
Rijo Cal 1 Capitulo 6.nb
In[1]:=
Out[2]=
H∗ Cálculo do sen, cos, tan, cot, sec, csc ∗L
θ = 7 π ê 6;
8Sin@θ D, Cos@θ D, Tan@θ D, Cot@θ D, Sec@θ D, Csc@θ D<
è!!!
1
3
1
2
è!!!
9− , −
, è!!! , 3 , − è!!! , −2=
2
2
3
3
Faça os gráficos das funções dadas nos Exercícios 9 a 14.
9. y = sen 2x
In[1]:=
H∗ Gráfico de sen 2 x ∗L
Plot@Sin@2 xD, 8x, −2 π, 2 π<D;
1
0.5
-6
-4
-2
2
4
6
-0.5
-1
10. y = 2 cos x
In[1]:=
H∗ Gráfico de 2 cos x ∗L
Plot@2 Cos@xD, 8x, −2 π, 2 π<D;
2
1
-6
-4
-2
2
-1
-2
11. y = sen (x - p/2)
4
6
Rijo Cal 1 Capitulo 6.nb
In[1]:=
11
H∗ Gráfico de sen Hx − πê2L ∗L
Plot@Sin@x − π ê 2D, 8x, −2 π, 2 π<D;
1
0.5
-6
-4
-2
2
4
6
-0.5
-1
12. y = cos(x + p/2)
In[1]:=
H∗ Gráfico de cos Hx + πê2L ∗L
Plot@Cos@x + π ê 2D, 8x, −2 π, 2 π<D;
1
0.5
-6
-4
-2
2
4
6
-0.5
-1
13. y = tan(x - 3p/2)
In[1]:=
H∗ Gráfico de tan Hx − 3 πê2L ∗L
Plot@Tan@x − 3 π ê 2D, 8x, −2 π, 2 π<D;
30
20
10
-6
-4
-2
2
-10
-20
-30
13. y = cot(x + p/4)
4
6
12
Rijo Cal 1 Capitulo 6.nb
In[1]:=
H∗ Gráfico de cot Hx + πê4L ∗L
Plot@Cot@x + π ê 4D, 8x, −2 π, 2 π<D;
30
20
10
-6
-4
-2
2
4
6
-10
-20
-30
21. Faça o gráfico da função y = cos(1/x)
In[1]:=
H∗ Gráfico de cos H1êxL ∗L
Plot@Cos@1 ê x D, 8x, −π, π<D;
1
0.5
-1
-0.5
0.5
1
-0.5
-1
22. Faça o gráfico da função y = sen 81 ê x2 L
In[1]:=
H∗ Gráfico de sen H1êx2 L ∗L
Plot@Sin@1 ê x2 D, 8x, −π, π<D;
1
0.5
-3
-2
-1
1
-0.5
-1
2
3
Rijo Cal 1 Capitulo 6.nb
6.2 Identidades trigonométricas
In[1]:=
Out[1]=
In[2]:=
Out[2]=
In[3]:=
Out[3]=
In[4]:=
Out[4]=
H∗ Teorema de Pitágoras ∗L
Sin@aD2 + Cos@aD2 êê Simplify
1
H∗ O seno é uma função ímpar ∗L
Sin@−aD
−Sin@aD
H∗ O co−seno é uma função par ∗L
Cos@−aD
Cos@aD
H∗ S en Ha + bL ∗L
Sin@a + bD êê TrigExpand
Cos@bD Sin@aD + Cos@aD Sin@bD
TrigExpand dexpande algebricamente uma expressão trigonométrica.
In[5]:=
Out[5]=
In[6]:=
Out[6]=
In[7]:=
Out[7]=
In[8]:=
Out[8]=
H∗ S en Ha − bL ∗L
Sin@a − bD êê TrigExpand
Cos@bD Sin@aD − Cos@aD Sin@bD
H∗ Cos Ha + bL ∗L
Cos@a + bD êê TrigExpand
Cos@aD Cos@bD − Sin@aD Sin@bD
H∗ Cos Ha − bL ∗L
Cos@a − bD êê TrigExpand
Cos@aD Cos@bD + Sin@aD Sin@bD
H∗ S en Hx + πL ∗L
Sin@x + πD
−Sin@xD
13
14
Rijo Cal 1 Capitulo 6.nb
In[9]:=
Out[9]=
H∗ Cos Hx + πL ∗L
Cos@x + πD
−Cos@xD
Exercícios
Estabeleça as identidades dos Exercícios 1 a 21.
1. sen (a + p/2) = cos a
In[2]:=
Out[2]=
H∗ sen Ha + πê2L = cos a ∗L
Sin@a + π ê 2D
Cos@aD
2. cos (a + p/2) = -sen a
In[3]:=
Out[3]=
H∗ cos Ha + πê2L = −sen a ∗L
Cos@a + π ê 2D
−Sin@aD
3. tan (a + a) = (tan a + tan b)/(1 - tana tanb)
In[5]:=
Out[5]=
H∗ tan Ha + aL = Htan a + tan bLêH1 − tana tanbL ∗L
Tan@a + bD êê TrigExpand
Cos@bD Sin@aD
Cos@aD Sin@bD
+
Cos@aD Cos@bD − Sin@aD Sin@bD
Cos@aD Cos@bD − Sin@aD Sin@bD
4. cot (a + a) = ( cot a cot b - 1)/(cot a + cot b)
In[9]:=
Out[9]=
H∗ cot Ha + aL = H cot a cot b − 1LêHcot a + cot bL ∗L
Cot@a + bD êê TrigExpand
Cos@aD Cos@bD
Sin@aD Sin@bD
−
Cos@bD Sin@aD + Cos@aD Sin@bD
Cos@bD Sin@aD + Cos@aD Sin@bD
5. 1 + tan2 a = sec2 a
In[39]:=
Out[39]=
H∗
1 + tan2 a= sec2 a ∗L
1 + Tan@xD2 êê Simplify
Sec@xD2
7. sen 2a = 2 sen a cos a
In[40]:=
Out[40]=
H∗
sen 2 a = 2 sen a cos a ∗L
Sin@2 aD êê TrigExpand
2 Cos@aD Sin@aD
8. cos 2a = cos2 a - sen2 a
Rijo Cal 1 Capitulo 6.nb
In[17]:=
Out[17]=
15
H∗
cos 2 a = cos2 a − sen2 a ∗L
Cos@2 aD êê TrigExpand
Cos@aD2 − Sin@aD2
9. tan 2a =2 tan a/(1 - tan2 a)
In[43]:=
Out[43]=
H∗
tan 2 a = 2 tan aêH1 − tan2 aL ∗L
Tan@2 aD êê TrigExpand
2 Cos@aD Sin@aD
Cos@aD2 − Sin@aD2
10. cot 2a =(cot2 a - 1)/(2 cot a)
In[36]:=
Out[36]=
H∗
cot 2 a = Hcot2 a −1LêH2 cot aL ∗L
Cot@2 aD êê TrigExpand
Cot@aD
Tan@aD
−
2
2
10. cot 2a =(cot2 a - 1)/(2 cot a)
In[21]:=
Out[21]=
In[31]:=
Out[31]=
H∗
cot 2 a = Hcot2 a −1LêH2 cot aL ∗L
Cos@p D + Cos @qD êê TrigExpand
Cos@pD + Cos@qD
2 Cos@Hp + qL ê 2D Cos@Hp − qL ê 2D êê Simplify
Cos@pD + Cos@qD
6.3 Derivadas das funções trigonométricas
Derivada do seno
sen Hx + hL - senHxL
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ
h
A derivada do seno é dada pelo limite da razão incremental
quando h Ø 0.
In[10]:=
Out[10]=
H∗ Desdobramento da razão incremental ∗L
TrigExpand@Sin@x + hDD − Sin@xD
h
Cos@xD Sin@hD − Sin@xD + Cos@hD Sin@xD
h
16
Rijo Cal 1 Capitulo 6.nb
sin HxL
−1
Esta expressão pode ser reescrita da seguinte forma: cos HxL
− sen HxL cos HhL
. O limite
h
h
desta expressão é igual a subtração do limite, quando h Ø 0, de cada parcela. Portanto, sabendo-se que
In[7]:=
LimitA
Sin@hD
h
Out[7]=
In[8]:=
, h → 0E
1
LimitA
Cos@hD − 1
h
Out[8]=
, h → 0E
0
conclui-se que a derivada do seno(x) é o co-seno(x).
In[9]:=
Out[9]=
H∗ Este mesmo resultado pode ser obtido diratamente
Sin@x + hD − Sin@xD
LimitA
, h → 0E
h
Cos@xD
∗L
Com o Mathematica a derivada do seno é, simplismente,
In[12]:=
Out[12]=
In[18]:=
H∗ Derivada do seno
D@Sin@xD, xD
∗L
Cos@xD
H∗ Gráficos do seno e do co−seno ∗L
Plot@8Sin@xD, Cos@xD<, 8x, −5 ê 2 π, 5 ê 2 π<,
PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0D, RGBColor@0, 0, 1D<D;
1
0.5
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5
-0.5
-1
Derivada do co-seno
A derivada do co-seno pode ser calculada exprimindo esta função em termo de seno e usando a regra da cadeia ou usando
o Mathematica .
In[13]:=
Out[13]=
H∗ Derivada do co−seno
D@Cos@xD, xD
−Sin@xD
∗L
Rijo Cal 1 Capitulo 6.nb
In[19]:=
17
H∗ Gráficos do seno e do co−seno ∗L
Plot@8Cos@xD, Sin@xD<, 8x, −5 ê 2 π, 5 ê 2 π<,
PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0D, RGBColor@0, 0, 1D<D;
1
0.5
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5
-0.5
-1
In[22]:=
Out[22]=
In[23]:=
Out[23]=
In[24]:=
Out[24]=
In[25]:=
Out[25]=
H∗ Derivada da função tan HxL ∗L
D@Tan@xD, xD
Sec@xD2
H∗ Derivada da função cot HxL ∗L
D@Cot@xD, xD
−Csc@xD2
H∗ Derivada da função sec HxL ∗L
D@Sec@xD, xD
Sec@xD Tan@xD
H∗ Derivada da função csc HxL ∗L
D@Csc@xD, xD
−Cot@xD Csc@xD
Exemplo 1.
In[28]:=
Out[30]=
H∗ Derivar a função f HxL = sen
Clear@x, fD
è!!!!!!!!!!!!!!
f@x_D := SinA x2 + 1 E
D@f@xD, xD
è!!!!!!!!!!!!!
x CosA 1 + x2 E
è!!!!!!!!!!!!2!
1+x
è!!!!!!!!
!!!!!!!!
x2 + 1 ∗L
18
Rijo Cal 1 Capitulo 6.nb
Exemplo 2.
In[33]:=
H∗ Derivar a função f HxL = tan10 Hx2 + 3 x − 5L
Clear@x, fD
∗L
10
f@x_D := Tan@x2 + 3 x − 5D
D@f@xD, xD
10 H−3 − 2 xL Sec@5 − 3 x − x2 D Tan@5 − 3 x − x2 D
2
Out[35]=
9
Exemplo 3.
In[39]:=
Out[41]=
H∗ Derivar a função f HxL = sen Hx3 − 5 xL
Clear@x, fD
f@x_D := Sin@x3 − 5 xD
D@f@xD, xD
∗L
−H5 − 3 x2 L Cos@5 x − x3 D
Dois exemplos importantes
Exemplo 4.
In[51]:=
Out[53]=
In[54]:=
H∗ Derivar a função f HxL = x sen H1êxL
Clear@x, fD
f@x_D := x Sin@1 ê xD
D@f@xD, xD
−
Cos@
x
1
x
D
+ SinA
∗L
1
E
x
H∗ No ponto x = 0 a função f HxL = x sen H1êxL não é derivável
% ê. x → 0
∗L
1
encountered. More…
0
1
Power::infy : Infinite expression
encountered. More…
0
1
Power::infy : Infinite expression
encountered. More…
0
Power::infy : Infinite expression
General::stop : Further output of
Power::infy will be suppressed during this calculation. More…
Out[54]=
Indeterminate
Rijo Cal 1 Capitulo 6.nb
In[57]:=
19
H∗ Gráfico da função f HxL = x sen H1êxL
Plot@f@xD, 8x, 0, 0.1<D;
∗L
0.05
0.025
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
-0.025
-0.05
-0.075
Exemplo 4.
In[100]:=
Out[102]=
In[119]:=
H∗ Derivar a função f HxL = x2 sen H1êxL
Clear@x, fD
f@x_D := x 2 Sin@1 ê xD
dfdx = D@f@xD, xD
−CosA
1
1
E + 2 x SinA E
x
x
N@dfdxD ê. x → 10−19
N@dfdxD ê. x → 10−50
N@dfdxD ê. x → 10−100
Out[119]=
0.
Out[120]=
0.
Out[121]=
0.
∗L
20
Rijo Cal 1 Capitulo 6.nb
In[122]:=
H∗ Gráfico da função f HxL = x sen H1êxL
Plot@f@xD, 8x, 0, 0.1<D;
∗L
0.004
0.002
0.02
0.04
0.06
0.08
-0.002
-0.004
Exercícios
Calcule as derivadas das funções dadas nos Exercícios 1 a 26.
1. y = sen 5x
In[1]:=
Out[1]=
H∗ Derivada de sen 5 x ∗L
D@Sin@5 xD, xD
5 Cos@5 xD
2. y = cos 5x
In[2]:=
Out[2]=
H∗ Derivada de cos 3 x ∗L
D@Cos@3 xD, xD
−3 Sin@3 xD
3. y = sen x - cos x
In[3]:=
Out[3]=
H∗ Derivada de sen x − cos x ∗L
D@Sin@xD − Cos@xD, xD
Cos@xD + Sin@xD
4. y = sen x cos x
In[4]:=
Out[4]=
H∗ Derivada de sen x cos x ∗L
D@Sin@xD Cos@xD, xD
Cos@xD2 − Sin@xD2
5. y = tan 4 x
0.1
Rijo Cal 1 Capitulo 6.nb
In[5]:=
Out[5]=
H∗ Derivada de tan 4 x ∗L
D@Tan@4 xD , xD
4 Sec@4 xD2
6. y = x sen x
In[6]:=
Out[6]=
H∗ Derivada de x sen x ∗L
D@x Sin@xD, xD
x Cos@xD + Sin@xD
7. y = x cos x
In[8]:=
Out[8]=
H∗ Derivada de x cos x ∗L
D@x Cos@xD, xD
Cos@xD − x Sin@xD
8. y = sen x2
In[9]:=
Out[9]=
H∗ Derivada de sen x2 ∗L
D@Sin@x2 D, xD
2 x Cos@x2 D
9. y = sen2 x
In[10]:=
Out[10]=
H∗ Derivada de sen2 x ∗L
D@ Sin@xD2 , xD
2 Cos@xD Sin@xD
10. y = cos x3
In[11]:=
Out[11]=
H∗ Derivada de cos x3 ∗L
D@Cos@x3 D, xD
−3 x2 Sin@x3 D
11. y = sen 1/x
In[12]:=
Out[12]=
H∗ Derivada de sen 1êx ∗L
D@ Sin@1 ê xD, xD
−
Cos@ 1x D
x2
12. y = x2 cos 1/x
In[13]:=
Out[13]=
H∗ Derivada de x2 cos 1êx ∗L
D@ x2 Cos@1 ê xD, xD
2 x CosA
13. y = tan
1
1
E + SinA E
x
x
è!!!
x ë Hx + 1L
21
22
Rijo Cal 1 Capitulo 6.nb
In[15]:=
è!!!
H∗ Derivada de tan x ëHx + 1L ∗L
è!!!!
DA TanA x ë Hx + 1LE, xE êê Simplify
è!!!!
Out[15]=
14. y =
x
E
H−1 + xL SecA 1+x
−
è!!!
2
2 x H1 + xL
2
è!!!!!!!!!!
sen x
In[16]:=
Out[16]=
è!!!!!!!!!!!!!!
H∗ Derivada de
sen x ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!!
DA TanA Sin@xD E , xE
è!!!!!!!!!!!!!!!! 2
Cos@xD SecA Sin@xD E
è!!!!!!!!!!!!!!!!
2 Sin@xD
15. y = cot x2
In[17]:=
H∗ Derivada de
D@ Cot@x2 D, xD
cot x2
∗L
−2 x Csc@x2 D
2
Out[17]=
16. y = x sec Hx2 + 1L
In[19]:=
Out[19]=
H∗ Derivada de x sec Hx2 + 1L ∗L
D@ x Sec@x2 + 1D, xD êê Simplify
Sec@1 + x2 D H1 + 2 x2 Tan@1 + x2 DL
17. y = x csc x
In[21]:=
Out[21]=
H∗ Derivada de x csc x ∗L
D@ x Csc@xD, xD êê Simplify
H1 − x Cot@xDL Csc@xD
18. y = sec 1 ê Hx2 - 1L
In[22]:=
Out[22]=
H∗ Derivada de sec 1êHx2 − 1L ∗L
D@ Sec@1 ê Hx 2 − 1LD, xD êê Simplify
−
19. y = sen x ê H1 - xL
In[23]:=
Out[23]=
D Tan@
H−1 +
2 x Sec@
1
−1+x2
x2 L2
1
−1+x2
D
H∗ Derivada de sen xêH1 − xL ∗L
D@ Sin@x ê H1 − xLD, xD êê Simplify
x
Cos@ 1−x
D
H−1 + xL2
20. y = sen cos x
Rijo Cal 1 Capitulo 6.nb
In[24]:=
Out[24]=
H∗ Derivada de sen cos x ∗L
D@ Sin@Cos@xDD, xD êê Simplify
−Cos@Cos@xDD Sin@xD
Out[25]=
−
è!!!!!!!!!!!!!
è!!!!!!!!!!!!!
x CosA 1 + x2 E SinASinA 1 + x2 EE
è!!!!!!!!!!!!2!
1+x
Out[26]=
è!!!!!!!!!!!!!!!! 2
è!!!!!!!!!!!!!!!!
3 x CosA 1 − 3 x2 E SecASinA 1 − 3 x2 EE
−
è!!!!!!!!!!!!!!!!
1 − 3 x2
Out[27]=
è!!!!!!!!
!!!!!!
x2 - 1
è!!!!!!!!!!!!!!!!
H∗ Derivada de csc x2 − 1 ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!
DA CscA x2 + 1 E, xE êê Simplify
23. y = csc
In[27]:=
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!
1 - 3 x2
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
H∗ Derivada de tan sen 1 − 3 x2 ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!
DA TanASinA 1 − 3 x2 EE, xE êê Simplify
22. y = tan sen
In[26]:=
è!!!!!!!!
!!!!!!
x2 + 1
è!!!!!!!!!!!!!!!!
H∗ Derivada de cos sin x2 + 1 ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!
DA CosASinA x2 + 1 EE, xE êê Simplify
21. y = cos sen
In[25]:=
23
−
è!!!!!!!!!!!!!
è!!!!!!!!!!!!!
x CotA 1 + x2 E CscA 1 + x2 E
è!!!!!!!!!!!!2!
1+x
24. y = Hx + 1L2 sen 1/ (x + 1)
In[28]:=
Out[28]=
H∗ Derivada de Hx + 1L2 sen 1êHx + 1L ∗L
D@Hx + 1L2 Sin@1 ê Hx + 1LD, xD êê Simplify
−CosA
1
1
E + 2 H1 + xL SinA
E
1+x
1+x
3
è!!!
è!!!
25. y = sen I x - x M -
In[29]:=
Out[29]=
3
è!!!
è!!!
H∗ Derivada de sen I x − x M∗L
3
è!!!!
è!!!
!
DA SinA x −
x E, xE êê Simplify
H−2 + 3 x1ê6 L CosAx1ê3 −
6 x2ê3
26. y = x sen 1 ê x
In[30]:=
Out[30]=
è!!!
xE
H∗ Derivada de x sin 1êx ∗L
D@ x Sin@1 ê xD, xD êê Simplify
−
Cos@
x
1
x
D
+ SinA
1
E
x
24
Rijo Cal 1 Capitulo 6.nb
Calcule as derivadas primeira, segunda, terceira e quarta de cada uma das funções dadas nos Exercícios 27 a 34.
27. y = sen x
In[31]:=
H∗ Derivada de sin x ∗L
f@x_D := Sin@xD
D@ f@xD, xD
D@ f@xD, 8x, 2<D
D@ f@xD, 8x, 3<D
D@ f@xD, 8x, 4<D
Out[32]=
Cos@xD
Out[33]=
−Sin@xD
Out[34]=
−Cos@xD
Out[35]=
Sin@xD
28. y = cos x
In[36]:=
H∗ Derivada de cos x ∗L
f@x_D := Cos@xD
D@ f@xD, xD
D@ f@xD, 8x, 2<D
D@ f@xD, 8x, 3<D
D@ f@xD, 8x, 4<D
Out[37]=
−Sin@xD
Out[38]=
−Cos@xD
Out[39]=
Sin@xD
Out[40]=
Cos@xD
29. y = sen 3x
In[41]:=
H∗ Derivada de sin 3 x ∗L
f@x_D := Sin@3 xD
D@ f@xD, xD
D@ f@xD, 8x, 2<D
D@ f@xD, 8x, 3<D
D@ f@xD, 8x, 4<D
Out[42]=
3 Cos@3 xD
Out[43]=
−9 Sin@3 xD
Out[44]=
−27 Cos@3 xD
Out[45]=
81 Sin@3 xD
30. y = cos (3t - 1)
Rijo Cal 1 Capitulo 6.nb
In[46]:=
H∗ Derivada de cos H3 t − 1L ∗L
f@t_D := Cos@3 t − 1D
D@ f@tD, tD
D@ f@tD, 8t, 2<D
D@ f@tD, 8t, 3<D
D@ f@tD, 8t, 4<D
Out[47]=
3 Sin@1 − 3 tD
Out[48]=
−9 Cos@1 − 3 tD
Out[49]=
−27 Sin@1 − 3 tD
Out[50]=
81 Cos@1 − 3 tD
31. y = sen (3t - 1)
In[51]:=
H∗ Derivada de sen H5 t + 2L ∗L
f@t_D := Sin@5 t + 2D
D@ f@tD, tD
D@ f@tD, 8t, 2<D
D@ f@tD, 8t, 3<D
D@ f@tD, 8t, 4<D
Out[52]=
5 Cos@2 + 5 tD
Out[53]=
−25 Sin@2 + 5 tD
Out[54]=
−125 Cos@2 + 5 tD
Out[55]=
625 Sin@2 + 5 tD
32. y = sen wt
In[56]:=
H∗ Derivada de sen ωt ∗L
f@t_D := Sin@ω tD
D@ f@tD, tD
D@ f@tD, 8t, 2<D
D@ f@tD, 8t, 3<D
D@ f@tD, 8t, 4<D
Out[57]=
ω Cos@t ωD
Out[58]=
−ω2 Sin@t ωD
Out[59]=
−ω3 Cos@t ωD
Out[60]=
ω4 Sin@t ωD
33. y = sen (wt + «)
25
26
Rijo Cal 1 Capitulo 6.nb
In[61]:=
H∗ Derivada de sen Hωt + φL∗L
f@t_D := Sin@ω t + φD
D@ f@tD, tD
D@ f@tD, 8t, 2<D
D@ f@tD, 8t, 3<D
D@ f@tD, 8t, 4<D
Out[62]=
ω Cos@φ + t ωD
Out[63]=
−ω2 Sin@φ + t ωD
Out[64]=
−ω3 Cos@φ + t ωD
Out[65]=
ω4 Sin@φ + t ωD
34. y = cos (wt + «)
In[66]:=
H∗ Derivada de cos Hωt + φL∗L
f@t_D := Cos@ω t + φD
D@ f@tD, tD
D@ f@tD, 8t, 2<D
D@ f@tD, 8t, 3<D
D@ f@tD, 8t, 4<D
Out[67]=
−ω Sin@φ + t ωD
Out[68]=
−ω2 Cos@φ + t ωD
Out[69]=
ω3 Sin@φ + t ωD
Out[70]=
ω4 Cos@φ + t ωD
Tratando y como função impliícita de x, encontre y ´ em cada um dos Exercícios 35 a 40.
35. y = sen (x - y)
In[78]:=
Out[78]=
In[79]:=
Out[79]=
H∗ Derivada de y = sen Hx − yL ∗L
D@Sin@x − y@xDD − y@xD, xD
Cos@x − y@xDD H1 − y @xDL − y @xD
H∗ Explicitar y´ ∗L
Solve@Cos@x − yD H1 − y L − y
99y → −
Cos@x − yD
==
−1 − Cos@x − yD
36. cos y = x + y
In[80]:=
Out[80]=
0, y D
H∗ Derivada de cos y = x + y ∗L
D@Cos@y@xDD − x − y@xD, xD
−1 − y @xD − Sin@y@xDD y @xD
Rijo Cal 1 Capitulo 6.nb
In[82]:=
Out[82]=
27
H∗ Explicitar y´ ∗L
Solve@−1 − y − Sin@yD y
99y →
1
==
−1 − Sin@yD
0, y D
37. sen y - x y = 0
In[83]:=
Out[83]=
In[84]:=
Out[84]=
H∗ Derivada de sen y − x y = 0 ∗L
D@Sin@y@xDD − x y@xD, xD
−y@xD − x y @xD + Cos@y@xDD y @xD
H∗ Explicitar y´ ∗L
Solve@−y − x y + Cos@yD y
y
99y →
==
−x + Cos@yD
0, y D
38. y3 + (cos x) y + 7 = 0
In[88]:=
Out[88]=
In[90]:=
Out[90]=
H∗ Derivada de y3 + Hcos xL y + 7 = 0 ∗L
D@y@xD3 + Cos@xD y@xD + 7, xD
−Sin@xD y@xD + Cos@xD y @xD + 3 y@xD2 y @xD
H∗ Explicitar y´ ∗L
Solve@−Sin@xD y + Cos@xD y + 3 y2 y
99y →
y Sin@xD
==
3 y2 + Cos@xD
0, y D
39. cos y = sen x + y
In[1]:=
Out[1]=
In[2]:=
Out[2]=
H∗ Derivada de cos y = sen x + y ∗L
D@Cos@y@xDD
Sin@xD + y@xD, xD
−Sin@y@xDD y @xD
Cos@xD + y @xD
H∗ Explicitar y´ ∗L
Solve@−Sin@yD y == Cos@xD + y , y D
99y → −
Cos@xD
==
1 + Sin@yD
40. cos (x + y) + sen x y = 1
In[3]:=
Out[3]=
In[5]:=
Out[5]=
H∗ Derivada de cos Hx + yL + sen x y = 1 ∗L
D@Cos@x + y@xDD + Sin@x y@xDD − 1, xD
Sin@x + y@xDD H−1 − y @xDL + Cos@x y@xDD Hy@xD + x y @xDL
H∗ Explicitar y´ ∗L
Solve@Sin@x + yD H−1 − y L + Cos@x yD Hy + x y L
99y →
−y Cos@x yD + Sin@x + yD
==
x Cos@x yD − Sin@x + yD
0, y D
28
Rijo Cal 1 Capitulo 6.nb
41. Construa os gráficos das funções f(x) = sen (x)/x e g(x) = sen(x)/| x |
In[23]:=
H∗ Gráfico de sen HxLêx ∗L
Plot@Sin@xD ê x, 8x, −6 π, 6 π<, PlotRange → 8−0.3, 1.1<D;
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-15
-10
-5
5
10
15
-0.2
In[28]:=
H∗ Gráfico de sen HxLê»x» ∗L
Plot@Sin@xD ê Abs@xD, 8x, −6 π, 6 π<, PlotRange → 8−1.1, 1.1<D;
1
0.5
-15
-10
-5
5
10
15
-0.5
-1
44. Mostre que limx Ø 0 Hsen x - xL ê x = 0.
In[29]:=
Out[29]=
H∗ Calcula o limite de Hsen x − xLêx quando x → 0. ∗L
Limit@HSin@xD − xL ê x, x → 0D
0
Rijo Cal 1 Capitulo 6.nb
29
6.4 Formas Indeterminadas
Formas do tipo 0/0
In[125]:=
Out[125]=
In[126]:=
H∗ Limite de sen HxLêx, quando x −> 0 ∗L
Limit@Sin@xD ê x, x → 0D
1
H∗ Gráficos de x e sen HxL ∗L
Plot@8x, Sin@xD<, 8x, −π, π<, PlotRange → 8−2, 2<D;
2
1.5
1
0.5
-3
-2
-1
1
2
3
-0.5
-1
-1.5
-2
In[127]:=
H∗ Dadas as funções f HxL = x2 e g HxL = x,
calcular os limites de f HxL e g HxL, quando x −> 0 ∗L
Clear@x, f, gD
f@x_D := x2
g@x_D := x
Limit@f@xD, x → 0D
Limit@g@xD, x → 0D
Out[130]=
0
Out[131]=
0
30
Rijo Cal 1 Capitulo 6.nb
In[132]:=
H∗ Dadas as funções f HxL = x2 e g HxL = x,
calcular os limites de f HxLêg HxL, quando x −> 0 ∗L
Clear@x, f, gD
f@x_D := x2
g@x_D := x
f@xD ê g@xD
Limit@f@xD ê g@xD, x → 0D
Out[135]=
x
Out[136]=
0
In[137]:=
Out[140]=
H∗ Dadas as funções f HxL = x2 e g HxL = x,
calcular os limites de g HxLêf HxL, quando x −> 0 ∗L
Clear@x, f, gD
f@x_D := x2
g@x_D := x
g@xD ê f@xD
Limit@g@xD ê f@xD, x → 0, Direction → −1D
Limit@g@xD ê f@xD, x → 0, Direction → 1D
1
x
Out[141]=
∞
Out[142]=
−∞
Infinitésimos. Uma função que tende a zero num certo ponto x = a é, por definição, um infinitésimo nesse ponto.
Se f e g são infinitésimos para x Ø a e limx Ø a f HxL ê gHxL = 0, então dizemos que f é infinitésimo de ordem superior
em relação a g. Se o limite for finito e diferente de zero, dizemos que os dois infinitésimos têm a mesma ordem de
grandeza.
Exemplo 1.
As funções x2 e 1 - cos(x) são infinitésimos de mesma ordem no ponto x = 0.
In[143]:=
Out[144]=
H∗ Limite de x2 êH1 − cos HxLL, quando x → 0
Clear@xD
Limit@x2 ê H1 − Cos@xDL, x → 0D
∗L
2
Exemplo 2.
As funções f HxL = x - a e gHxL =
è!!!
è!!!
x - a com a > 0 são infinitésimos de mesma ordem no ponto x = a.
Rijo Cal 1 Capitulo 6.nb
In[145]:=
Out[148]=
H∗ Limite de f HxLêg HxL quando x → a
Clear@a, x, f, gD
f@x_D := x − a
è!!!! è!!!!
g@x_D := x − a
Limit@f@xD ê g@xD, x → aD
2
31
∗L
è!!!
a
Exemplo 3.
As funções f HxL = x2 + r x e gHxL = x são infinitésimos de mesma ordem no ponto x = 0.
In[149]:=
H∗ Limite de f HxLêg HxL quando x → a
Clear@a, x, f, g, rD
f@x_D := x2 + r x
g@x_D := x
f@xD ê g@xD êê Simplify
Limit@f@xD ê g@xD, x → 0D
Out[152]=
r+x
Out[153]=
r
∗L
Exemplo 4.
In[158]:=
Out[159]=
H∗ Limite de sen Hr xLêx quando x → 0
Clear@x, rD
Limit@Sin@r xD ê x , x → 0D
∗L
r
Exemplo 5.
In[160]:=
Out[161]=
H∗ Limite de sen HxLêHx − πL quando x → π
Clear@x, rD
Limit@Sin@xD ê Hx − πL , x → πD
−1
∗L
32
Rijo Cal 1 Capitulo 6.nb
Exemplo 6.
In[170]:=
H∗ Limite de x sen H1êxLêsen HxL quando x → π
Clear@x, f, gD
f@x_D := x Sin@1 ê xD
g@x_D := Sin@xD
Limit@f@xD, x → 0D
Limit@g@xD, x → 0D
Limit@f@xD ê g@xD, x → 0D
Out[173]=
0
Out[174]=
0
Out[175]=
Interval@8−1, 1<D
∗L
Formas do tipo •/•
In[179]:=
Out[180]=
In[181]:=
Out[182]=
In[183]:=
Out[184]=
In[185]:=
Out[186]=
In[192]:=
Out[193]=
H∗ Limite de H8 x2 −3LêH2 x2 + 5 x −7L quando x −> ±∞
Clear@xD
Limit@H8 x2 − 3L ê H2 x2 + 5 x − 7L, x → ∞D
∗L
4
H∗ Limite de H3 x2 +1LêH2 x5 −7L quando x −> ±∞ ∗L
Clear@xD
Limit@H3 x2 + 1L ê H2 x5 − 7L, x → ∞D
0
H∗ Limite de H5 x2 −xLêHx + 2L quando x −> ∞ ∗L
Clear@xD
Limit@H5 x2 − xL ê Hx + 2L, x → ∞D
∞
H∗ Limite de H2 − x4 LêHx3 − 3 x + 9L quando x −> ∞
Clear@xD
Limit@H2 − x4 L ê Hx3 − 3 x + 9L, x → ∞D
∗L
−∞
H∗ Limite de Hx3 − 4 x + 1LêHx + 5L quando x −> ±∞
Clear@xD
Limit@Hx3 − 4 x + 1L ê Hx + 5L, x → ∞D
∞
∗L
Rijo Cal 1 Capitulo 6.nb
In[190]:=
Out[191]=
In[196]:=
Out[197]=
In[198]:=
Out[199]=
In[200]:=
H∗ Limite de H2 x3 − x + 2LêH−5 x2 + 1L quando x −> −∞
Clear@xD
Limit@H2 x3 − x + 2L ê H−5 x2 + 1L, x → −∞D
H∗ Limite de H3 x2 − x Cos@xDLêH5 x2 + x Sin@xDL quando x −> ±∞
Clear@xD
Limit@H3 x2 − x Cos@xDL ê H5 x2 + x Sin@xDL, x → ∞D
Out[203]=
H∗ Limite de H3 x2 − x Cos@xDLêH5 x2 + x Sin@xDL quando x −> ±∞
Clear@xD
Limit@H3 x2 − x Cos@xDL ê H5 x2 + x Sin@xDL, x → −∞D
3
5
H∗ Limite de I5 x
è!!!!!!!!
!!
x2 −1 − 10MëH4 x2
− 5L
quando x −> ∞
∗L
∗L
è!!!!!!!!
!!!!!
x2 − 1 − 10M ë H4 x2 − 5L, x → ∞E
5
4
H∗ Limite de H3 x4 − 2 x3 + x +10LêH7 xL quando x −> 0± ∗L
Clear@xD
Limit@H3 x4 − 2 x3 + x + 10L ê H7 xL, x → 0, Direction → −1D
∞
Formas do tipo • - •
In[204]:=
∗L
3
5
LimitAI5 x
In[202]:=
∗L
∞
Clear@xD
Out[201]=
33
H∗ Dadas as funções f HxL = k + 1êx2 e g HxL = 1êx2 ,
calcular os limitee f HxL, g HxL e f HxL − g HxL, quando x −> 0 ∗L
Clear@x, f, gD
f@x_D := k + 1 ê x2
g@x_D := 1 ê x2
Limit@f@xD, x → 0D
Limit@g@xD, x → 0D
Limit@f@xD − g@xD, x → 0D
Out[207]=
∞
Out[208]=
∞
Out[209]=
k
34
In[210]:=
Out[211]=
In[212]:=
Out[213]=
In[214]:=
Out[215]=
In[216]:=
Out[217]=
In[218]:=
Rijo Cal 1 Capitulo 6.nb
H∗ Limite de 7 x2 − 5 x2 , quando x −> ±∞ ∗L
Clear@xD
Limit@7 x2 − 5 x2 , x → ∞D
∞
H∗ Limite de x2 −3 x, quando x −> −∞ ∗L
Clear@xD
Limit@x2 − 3 x, x → −∞D
∞
H∗ Limite de 4 x −x3 , quando x −> ±∞ ∗L
Clear@xD
Limit@4 x − x3 , x → ∞D
−∞
H∗ Limite de H5 x3 − 2 x2 + 7L − H4 x4 + 7 x2 −1L, quando x −> ±∞ ∗L
Clear@xD
Limit@H5 x3 − 2 x2 + 7L − H4 x4 + 7 x2 − 1L, x → ∞D
−∞
è!!!!!!!!!
H∗ Limite da I 1+h −1Mëh, quando t −> 0 ∗L
Clear@hD
è!!!!!!!!!!
LimitA I 1 + h − 1M ë h, h → 0E
Out[219]=
In[220]:=
Out[221]=
In[222]:=
Out[224]=
In[225]:=
1
2
H∗ Limite de H2 t2 + t −1LêH 6 t2 −13 t +5L, quando t −> 1ê2 ∗L
Clear@tD
Limit@H2 t2 + t − 1L ê H 6 t2 − 13 t + 5L, t → 1 ê 2D
−
3
7
H∗ Limite de x2 −3 x, quando x −> −∞ ∗L
Clear@xD
f@x_D := x2 − 3 x
Limit@f@xD, x → −∞D
∞
H∗ Limite de Iv
Clear@vD
LimitAIv
Out[226]=
0
è!!!
v − 7 vMëHv5ê2 + 1L, quando x −> ∞ ∗L
è!!!!
v − 7 vM ë Hv5ê2 + 1L, v → ∞E
Rijo Cal 1 Capitulo 6.nb
In[227]:=
Out[228]=
In[229]:=
Out[230]=
è!!!!!!!!!!!!!! è!!!
H∗ Limite de x + a − x , quando x −> ∞ ∗L
Clear@x, aD
è!!!!!!!!!!!!! è!!!!
LimitA x + a − x , x → ∞E
0
H∗ Limite de x12 − 1x , quando x −> 0 ∗L
Clear@x, aD
1
1
− , x → 0E
LimitA
2
x
x
∞
Exercícios
Calcule os limites indicados nos Exercícios 1 a 51.
1. limx Ø 0 senH3 xL ê 5 x
In[30]:=
Out[30]=
H∗ Limite de sen H3 xLê5 x quando x → 0. ∗L
Limit@Sin@3 xD ê H5 xL, x → 0D
3
5
2. limx Ø 0 x ê senH2 xL
In[31]:=
Out[31]=
H∗ Limite de xêsen H2 xL quando x → 0. ∗L
Limit@x ê Sin@2 xD, x → 0D
1
2
3. limx Ø 0 senHxL ë
In[33]:=
Out[33]=
H∗ Limite de sen H3 xLê5 x quando x → 0. ∗L
è!!!!
LimitASin@xD ë x , x → 0, Direction → −1E
0
4. limx Ø 0 x ê sen
In[34]:=
Out[34]=
è!!!
x
è!!!!!!!
3x
è!!!!!!!
H∗ Limite de xêsen 3 x quando x → 0. ∗L
è!!!!!!!
LimitAx ë SinA 3 x E, x → 0, Direction → −1E
0
5. limx Ø 0 senH3 xL ê senH5 xL
In[36]:=
Out[36]=
H∗ Limite de sen H3 xLêsen H5 xL quando x → 0. ∗L
Limit@Sin@3 xD ê Sin@5 xD, x → 0D
3
5
35
36
Rijo Cal 1 Capitulo 6.nb
6. limx Ø 0 tanHxL ê x
In[37]:=
Out[37]=
H∗ Limite de tan HxLêx quando x → 0. ∗L
Limit@Tan@xD ê x, x → 0D
1
7. limx Ø 0 t ë
In[39]:=
Out[39]=
è!!!!!!!!!
tan t
è!!!!!!!!!!!!!!!!
H∗ Limite de të tan t quando t → 0+ ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!!
LimitAt ë Tan@tD , t → 0, Direction → −1E
0
8. limx Ø 0 tanH6 xL ê H2 xL
In[40]:=
Out[40]=
H∗ Limite de tan H6 xLêH2 xL quando x → 0. ∗L
Limit@Tan@6 xD ê H2 xL, x → 0D
3
9. limt Ø 0 t cosHtL ê tan t
In[41]:=
Out[41]=
H∗ Limite de t cos têtan t quando t → 0. ∗L
Limit@t Cos@tD ê Tan@tD, t → 0D
1
10. limt Ø 0 sen a t ê sen b t
In[44]:=
Out[44]=
H∗ Limite de sin Ha tLêsen Hb tL quando t → 0. ∗L
Limit@Sin @a tD ê Sin@b tD, t → 0D
a
b
11. limx Ø 0 tan a x ê sen b x
In[45]:=
Out[45]=
H∗ Limite de tan Ha xLêsen Hb xL quando x → 0. ∗L
Limit@Tan @a xD ê Sin@b xD, x → 0D
a
b
12. limuØ 0 sen u3 ê u
In[46]:=
Out[46]=
H∗ Limite de sin u3 êu quando u → 0. ∗L
Limit@Sin @u3 D ê u, u → 0D
0
In[47]:=
Out[47]=
è!!!
u ë tan u
è!!!
H∗ Limite de u ëtan u quando u → 0+ ∗L
è!!!!
LimitA u ë Tan@uD, u → 0E
13. limu Ø 0
∞
Rijo Cal 1 Capitulo 6.nb
37
14. limx Ø 0 sen x3 ê sen x2
In[48]:=
Out[48]=
H∗ Limite de sin x3 êsen x2 quando x → 0− ∗L
Limit@Sin @x3 D ê Sin@x2 D, x → 0D
0
16. limt Ø 0 H3 t2 - tL ê tan t2
In[52]:=
Out[52]=
In[51]:=
Out[51]=
In[53]:=
Out[53]=
H∗ Limite de H3 t2 − tLêtan t2 quando t → 0+ ∗L
Limit@H3 t2 − tL ê Tan@ t2 D, t → 0, Direction → −1D
−∞
H∗ Limite de H3 t2 − tLêtan t2 quando t → 0− ∗L
Limit@Sin @t2 D ê Sin@ t3 D, t → 0, Direction → 1D
−∞
H∗ Limite de sin t2 êsen t3 quando t → 0. ∗L
Limit@Sin @t2 D ê Sin@ t3 D, t → 0, Direction → −1D
∞
17. limt Ø 0 sen2 3 t ë It
In[54]:=
Out[54]=
è!!
è!!
t tan t M
è!!!
è!!!
H∗ Limite de sen2 3 tëIt t tan t M quando t → 0+ ∗L
è!!!!
è!!!!
LimitASin@ 3 tD2 ë It t TanA t EM, t → 0, Direction → −1E
9
18. limx Ø 0 tan2 5 x ê Hx sen 3 xL
In[57]:=
Out[57]=
H∗ Limite de tan2 5 xêHx sen 3 xL quando x → 0 ∗L
Limit@Tan@5 xD2 ê Hx Sin@3 xDL, x → 0D
25
3
19. limx Ø 0 Hu2 + sen2 uL ê tan u
In[56]:=
Out[56]=
H∗ Limite de Hu2 + sen2 uLêtan u quando u → 0 ∗L
Limit@Hu2 + Sin@ uD2 L ê Tan@uD, u → 0D
0
20. limx Ø 0 Hu2 - 3 sen u2 L ê tan2 u
In[58]:=
Out[58]=
H∗ Limite de Hu2 − 3 sen u2 Lêtan2 u quando u → 0 ∗L
Limit@Hu2 − 3 Sin@ u2 DL ê Tan@uD2 , u → 0D
−2
21. limx Ø 0 Htan 3 u2 + sen2 6 uL ê u2 sen 4 u
38
Rijo Cal 1 Capitulo 6.nb
In[59]:=
Out[59]=
H∗ Limite de Htan 3 u2 + sen2 6 uLêu2 sen 4 u quando u → 0 ∗L
Limit@HTan@3 u2 D + Sin@6 uD2 L ê Hu2 Sin@4 uDL, u → 0D
∞
In[60]:=
Out[60]=
3
10
Out[61]=
−
5
16
è!!!!!!!!
!!!!!!!!
a2 + bt - a ë t
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!
H∗ Limite de I a2 + bt − aMët quando t → 0 ∗L
24. limt Ø 0
In[64]:=
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!
16 - 5 t - 4 ë 2 t
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
H∗ Limite de I 16 − 5 t − 4Më2 t quando t → 0 ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
LimitAI 16 − 5 t − 4M ë H2 tL, t → 0E
23. limt Ø 0
In[61]:=
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!
25 + 3 t - 5 ë t
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
H∗ Limite de I 25 + 3 t − 5Mët quando t → 0 ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
LimitAI 25 + 3 t − 5M ë t, t → 0E
22. limt Ø 0
Clear@a, b, tD;
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!
LimitAI a2 + b t − aM ë t, t → 0E
Out[65]=
DirectedInfinityA−a +
è!!!
25. limhØ 1 I h - 1M ë Hh - 1L
In[69]:=
Out[69]=
è!!!
H∗ Limite de I h − 1MëHh − 1L quando h → 0 ∗L
è!!!!!
LimitAI h − 1M ë Hh − 1L, h → 1E
1
2
Out[70]=
!!!!!!!
è!!!!!!!!!!!!! è!!!!!!!!
x - 1 ë x2 - 1
è!!!!!!!!!!!!!! è!!!!!!!!!!!!!!!!
H∗ Limite de sen x − 1 ë x2 − 1 quando x → 1+ ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!
è!!!!!!!!!!!!!
LimitASinA x − 1 E ë x2 − 1 , x → 1, Direction → −1 E
26. limxØ 1+ sen
In[70]:=
1
è!!!
2
27. limxØ 1- H1 - x2 L ë
In[72]:=
Out[72]=
è!!!!!
!
a2 E
è!!!!!!!!!!!!!!2!
1- x
è!!!!!!!!!!!!!!!!
H∗ Limite de H1 − x2 Lë 1 − x2 quando x → 1− ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!
LimitAH1 − x2 L ë 1 − x2 , x → 1, Direction → 1 E
0
28. limxØ 1 Hx - 1L ê Hx2 - 5 x + 4L
Rijo Cal 1 Capitulo 6.nb
In[73]:=
Out[73]=
H∗ Limite de Hx − 1LêHx2 − 5 x + 4L quando x → 1 ∗L
Limit@Hx − 1L ê Hx2 − 5 x + 4L, x → 1D
−
1
3
29. limx Ø 1ê2 H2 x2 + x - 1L ê H6 x2 - 5 x + 1L
In[74]:=
Out[74]=
H∗ Limite de H2 x2 + x − 1LêH6 x2 − 5 x + 1L quando x → 1ê2 ∗L
Limit@H2 x2 + x − 1L ê H6 x2 − 5 x + 1L, x → 1 ê 2D
3
30. limx Ø a Ix2 + (1 - a) x - aM ë Hx - aL
In[75]:=
Out[75]=
H∗ Limite de Hx2 + H1 − aL x − aLêHx − aL quando x → a ∗L
Limit@Hx2 + H1 − aL x − aL ê Hx − aL, x → aD
1+a
31. limt Ø 5ê2 H2 t2 - 3 t - 5L ê H2 t - 5L
In[76]:=
Out[76]=
H∗ Limite de H2 t2 − 3 t − 5LêH2 t − 5L quando t → 5ê2 ∗L
Limit@H2 t2 − 3 t − 5L ê H2 t − 5L, x → 5 ê 2D
1+t
32. limx Ø 2 Hx3 - 8L ê Hx - 2L
In[78]:=
Out[78]=
H∗ Limite de Hx3 − 8LêHx − 2L quando x → 2 ∗L
Limit@Hx3 − 8L ê Hx − 2L, x → 2D
12
33. limx Ø a Hx3 - a3 L ê Hx - aL
In[80]:=
Out[80]=
H∗ Limite de Hx3 − a3 LêHx − aL quando x → a ∗L
Limit@Hx3 − a3 L ê Hx − aL, x → aD
3 a2
34. limx Ø 2 Hx4 - 16L ê Hx - 2L
In[81]:=
Out[81]=
H∗ Limite de Hx4 − 16LêHx − 2L quando x → 2 ∗L
Limit@Hx4 − 16L ê Hx − 2L, x → 2D
32
35. limx Ø a Hxn - an L ê Hx - aL
In[82]:=
Out[82]=
H∗ Limite de Hxn − an LêHx − aL quando x → a ∗L
Limit@Hxn − an L ê Hx − aL, x → aD
a−1+n n
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
36. limhØ -4 I 2 Hh2 - 8L + hM ë Hh + 4L
39
40
Rijo Cal 1 Capitulo 6.nb
In[83]:=
Out[83]=
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
H∗ Limite de I 2 Hh2 − 8L + hMëHh + 4L quando h → −4 ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
LimitAI 2 Hh2 − 8L + hM ë Hh + 4L, h → −4E
−1
37. limt Ø ¶ Ht2 - 1L ê Ht - 4L
In[84]:=
Out[84]=
H∗ Limite de Ht2 − 1LêHt − 4L quando t → ∞ ∗L
Limit@Ht2 − 1L ê Ht − 4L, t → ∞D
∞
38. limt Ø -¶ H3 t2 + 789L ê H5 t2 - 8 tL
In[85]:=
Out[85]=
H∗ Limite de H3 t2 + 789LêH5 t2 − 8 tL quando t → −∞ ∗L
Limit@H3 t2 + 789L ê H5 t2 − 8 tL, t → −∞D
3
5
6.5 Funções trigonométricas inversas
A inversa da função seno
In[266]:=
H∗ Figura 4.30: Gráficos das funções sen HxL e arc sen HxL ∗L
Show@GraphicsArray@8Plot@Sin@xD, 8x, −Pi ê 2, Pi ê 2<,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → IdentityD,
Plot@ArcSin@xD, 8x, −1, 1<, AspectRatio → Automatic,
DisplayFunction → IdentityD<,
DisplayFunction → $DisplayFunction DD;
1
1.5
1
0.5
0.5
-1.5 -1 -0.5
0.5
1
1.5
-1-0.5 0.5 1
-0.5
-0.5
-1
-1
-1.5
Rijo Cal 1 Capitulo 6.nb
In[245]:=
Out[245]=
In[246]:=
H∗ Derivada da função arc sen HxL ∗L
D@ArcSin@xD, xD
1
è!!!!!!!!!!!!2!
1−x
H∗ Limite de arc sen HxL qunado x −> 1 ∗L
Limit@D@ArcSin@xD, xD, x → 1, Direction → 1D
Limit@D@ArcSin@xD, xD, x → −1, Direction → −1D
Out[246]=
∞
Out[247]=
∞
In[268]:=
41
H∗ Figura 4.31: Gráficos das funções sen HxL e arc sen HxL ∗L
Show@GraphicsArray@
8Plot@Sin@xD, 8x, Pi ê 2, 3 Pi ê 2<, PlotRange → 880, 3 Pi ê 2<, 8−1, 1<<,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → IdentityD,
Plot@ArcSin@−xD + Pi, 8x, −1, 1<, PlotRange → 80, 3 Pi ê 2<,
DisplayFunction → IdentityD<,
DisplayFunction → $DisplayFunction DD;
1
0.75
0.5
0.25
-0.25
-0.5
-0.75
-1
In[248]:=
4
3
1
2
3
2
4
1
-1
-0.5
0.5
H∗ Gráficos das funções t an HxL e arc tan HxL ∗L
Show@GraphicsArray@8Plot@Tan@xD, 8x, −Pi ê 2, Pi ê 2<, PlotRange → 8−6, 6<,
DisplayFunction → IdentityD,
Plot@ArcTan@xD , 8x, −6, 6<,
DisplayFunction → IdentityD<,
DisplayFunction → $DisplayFunction DD;
6
4
1
2
0.5
-1.5 -1 -0.5
-2
0.5
1
1.5
-6
-4
-6
In[249]:=
Out[249]=
1
H∗ Derivada da função arc tan HxL ∗L
D@ArcTan@xD, xD
1
1 + x2
-4
-2
-0.5
-1
2
4
6
42
In[250]:=
Rijo Cal 1 Capitulo 6.nb
H∗ Gráficos das funções sec HxL e arc sec HxL ∗L
Show@GraphicsArray@8Plot@Sec@xD, 8x, 0, Pi<, PlotRange → 8−6, 6<,
DisplayFunction → IdentityD,
Show@Plot@ArcSec@xD , 8x, −6, −1<, PlotRange → 88−6, 6<, 80, Pi<<,
DisplayFunction → IdentityD,
Plot@ArcSec@xD , 8x, 1, 6<,
DisplayFunction → IdentityDD<,
DisplayFunction → $DisplayFunction DD;
6
3
4
2.5
2
2
1.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
1
-2
0.5
-4
-6
In[251]:=
Out[251]=
In[252]:=
-6
H∗ Derivada da função arc sec HxL ∗L
D@ArcSec@xD, xD
-4
4
6
H∗ Gráficos das funções cos HxL e arc cos HxL ∗L
Show@GraphicsArray@8Plot@Cos@xD, 8x, 0, Pi<, PlotRange → 8−1, 1<,
DisplayFunction → IdentityD,
Plot@ArcCos@xD , 8x, −1, 1<,
PlotRange → 80, Pi<, DisplayFunction → IdentityD<,
DisplayFunction → $DisplayFunction DD;
-0.25
-0.5
-0.75
-1
Out[253]=
2
1
"########
1
x2
1 − #x#####
2
3
2.5
2
1.5
1
0.5
1
0.75
0.5
0.25
In[253]:=
-2
0.5 1 1.5 2 2.5 3
-1
H∗ Derivada da função arc cos HxL ∗L
D@ArcCos@xD, xD
1
− è!!!!!!!!!!!!!
1 − x2
-0.5
0.5
1
Rijo Cal 1 Capitulo 6.nb
In[254]:=
H∗ Gráficos das funções cot HxL e arc cot HxL ∗L
Show@GraphicsArray@8Plot@Cot@xD, 8x, 0, Pi<, PlotRange → 8−6, 6<,
DisplayFunction → IdentityD,
Plot@ArcCot@xD , 8x, −6, 6<,
DisplayFunction → IdentityD<,
DisplayFunction → $DisplayFunction DD;
6
1.5
4
1
2
0.5
0.5
In[255]:=
43
1
1.5
2
2.5
3
-2
-6
-4
-2
-0.5
-4
-1
-6
-1.5
2
4
6
H∗ Gráficos das funções cot HxL e arc cot HxL ∗L
Show@GraphicsArray@8Plot@Cot@xD, 8x, 0, Pi<, PlotRange → 8−6, 6<,
DisplayFunction → IdentityD,
Show@Plot@ArcCot@xD + Pi , 8x, −6, 0<,
DisplayFunction → IdentityD,
Plot@ArcCot@xD , 8x, 0, 6<,
DisplayFunction → IdentityDD<,
DisplayFunction → $DisplayFunction DD;
6
3
4
2.5
2
2
1.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
1
-2
0.5
-4
-6
In[256]:=
Out[256]=
-6
H∗ Derivada da função arc cot HxL ∗L
D@ArcCot@xD, xD
−
1
1 + x2
-4
-2
2
4
6
44
In[257]:=
Rijo Cal 1 Capitulo 6.nb
H∗ Gráficos das funções cosec HxL e arc cosec HxL ∗L
Show@GraphicsArray@8Plot@Csc@xD, 8x, −Pi ê 2, Pi ê 2<, PlotRange → 8−6, 6<,
DisplayFunction → IdentityD,
Show@
Plot@ArcCsc@xD , 8x, −6, −1<, PlotRange → 88−6, 6<, 8−Pi ê 2, Pi ê 2<<,
DisplayFunction → IdentityD,
Plot@ArcCsc@xD , 8x, 1, 6<,
DisplayFunction → IdentityDD<,
DisplayFunction → $DisplayFunction DD;
-1.5
In[258]:=
Out[258]=
-1
6
1.5
4
1
2
0.5
-0.5
0.5
1
1.5
1
1
"########
1 − #x#####
x2
2
-4
-2
2
-0.5
-4
-1
-6
-1.5
H∗ Derivada da função arc cosec HxL ∗L
D@ArcCsc@xD, xD
−
-6
-2
4
6
CAPÍTULO 7
As funções logaritmica e exponencial
Iniciar o Mathematica (MathKernel)
In[1]:=
Out[1]=
H∗ Inicia o Mathematica HMathKernelL ∗L
2+2
4
7.1 A função logaritmica
Qual é a derivada da função f(x) = ax ? Onde a é um número real e x uma variável real. Esta questão nos leva a uma
outra questão. O que significa, então, f(x) = ax ? Para responder estas questões precisamos, primeiro, definir o logaritmo natural de um número real.
2
Rijo Cal 1 Capitulo 7.nb
In[2]:=
H∗ Logarítmo natural de x, log HxL > 0 ∗L
p1 = Plot@8H5 ê 2Lx , H5 ê 2Lx Log@5 ê 2D<, 8x, −1, 1<,
PlotStyle −> 8RGBColor@0, 0, 0D, RGBColor@1, 0, 0D<, PlotRange −> 80, 3<,
DisplayFunction −> IdentityD;
p2 = Plot@83x , 3x Log@3D<, 8x, −1, 1<,
PlotStyle −> 8RGBColor@0, 0, 0D, RGBColor@1, 0, 0D<, PlotRange −> 80, 3<,
DisplayFunction −> IdentityD;
Show@GraphicsArray@8p1, p2<D, DisplayFunction −> $DisplayFunctionD;
-1
3
3
2.5
2.5
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
-0.5
0.5
1
-1
-0.5
0.5
O logaritmo de um número positivo N na base a, indicado por loga N , é o expoente r a que se deve elevar a base para
se obter N. Em símbolos, isto significa que
loga N = r ñ N = ar
O logaritmo natural de um numero x > 0 é definido pela área da figura compreendida entre as retas t = 1, t = x, o eixo
0t e a hiperbóle y = 1/t, considerada positivo se x >1, zero se x = 1 e negativa se 0 < x < 1.
In[5]:=
H∗ Logarítmo natural de x, log HxL > 0 ∗L
p1 = Plot@1 ê x, 8x, 0, 4<, PlotRange → 80, 3<,
DisplayFunction → IdentityD;
p2 = Show@
Table@Graphics@[email protected], Line@88t, 0<, 8t, 1 ê t<<D<D, 8t, 1, 2.5, .001<D,
DisplayFunction → IdentityD;
Show@8p1, p2, p1<, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
3
2.5
2
1.5
1
0.5
1
2
3
4
Rijo Cal 1 Capitulo 7.nb
In[8]:=
3
H∗ Logarítmo natural de x, log HxL < 0 ∗L
p1 = Plot@1 ê x, 8x, 0, 3<, PlotRange → 80, 5<,
DisplayFunction → IdentityD;
p2 = Show@
Table@Graphics@[email protected], Line@88t, 0<, 8t, 1 ê t<<D<D, 8t, .4, 1, .001<D,
DisplayFunction → IdentityD;
Show@8p1, p2, p1<, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
5
4
3
2
1
0.25 0.5 0.75
1
1.25 1.5
No Cálculo , o logaritmo natural de um número x > 0 é simplesmente chamado logaritmo de x e indicado por log x ou
ln x.
Log[x] calcula o logaritmo natural de x.
O número e
Definimos o número e como sendo aquele cujo logaritmo é igual a 1. Na figura abaixo observa-se que 2 < e < 3.
O número e é representado no Mathematica pelas letra E ou pelo símbolo ‰.
In[1]:=
Out[1]=
H∗ O número
N@ , 16D
com 15 casas decimais ∗L
2.718281828459045
4
Rijo Cal 1 Capitulo 7.nb
In[2]:=
H∗ Logarítmo natural de , Log
= 1 ∗L
p1 = Plot@1 ê x, 8x, 0, 4<, PlotRange → 8−1, 3<,
Epilog → 8Text@" ", 82.718, −.3<D<,
DisplayFunction → IdentityD;
p2 = Show@
Table@Graphics@[email protected], Line@88t, 0<, 8t, 1 ê t<<D<D, 8t, 1, E, .001<D,
DisplayFunction → IdentityD;
Show@8p1, p2, p1<, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-0.5
1
2
3
4
-1
Derivada do logaritmo
In[1]:=
Out[2]=
H∗ Derivada da função logarítmo de x ∗L
Clear@x, hD
Limit@HLog@x + hD − Log@xDL ê h, h → 0D
1
x
A derivada de ln x é 1/x.
In[3]:=
Out[3]=
In[4]:=
Out[4]=
In[5]:=
Out[5]=
H∗ Derivada do logaritmo natural de x ∗L
D@Log@xD, xD
1
x
H∗ Derivada da função logaritmo de »x» ∗L
D@Log@Sqrt@x ^ 2DD, xD
1
x
H∗ Derivada do logaritmo de uma função f HxL positiva ∗L
D@Log@f@xDD, xD
f @xD
f@xD
formula f ' HxL ê f HxL e diretamente.
Exemplo 1. A função ln sen2 x está definida para todo x ∫ n p, n = 0, ±1, ±2 ... Determiner a sua derivada pela
Rijo Cal 1 Capitulo 7.nb
In[1]:=
Out[3]=
In[4]:=
Out[6]=
H∗ Derivada da função ln sen2 x através da fórmula f' HxLêf HxL ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Sin@xD2
D@ f@xD, xD ê f@xD
2 Cot@xD
H∗ Derivada da função ln sen2 x diretamente ∗L
Clear@xD;
f@x_D := Sin@xD2
D@ Log@f@xDD, xD
2 Cot@xD
Exemplo 2. A função ln ((x + 1)/(x - 1)) está definida para todo x < -1 e x > 1. No entanto, a derivada de
1|/|x - 1|).
In[1]:=
Out[3]=
In[4]:=
Out[6]=
In[7]:=
Out[9]=
In[10]:=
ln (|x +
H∗ Derivada da função ln HHx+1LêHx−1LL através da fórmula f' HxLêf HxL ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Hx + 1L ê Hx − 1L
D@ f@xD, xD ê f@xD êê Simplify
−
2
−1 + x2
H∗ Derivada da função ln HHx+1LêHx−1LL diretamente ∗L
Clear@xD;
f@x_D := Hx + 1L ê Hx − 1L
D@ Log@f@xDD, xD êê Simplify
−
2
−1 + x2
H∗ Derivada da função ln H»x+1»ê»x−1»L através da fórmula f' HxLêf HxL ∗L
Clear@x, fD;
##############
"################################
f@x_D := HHx + 1L ê Hx − 1LL2
D@ f@xD, xD ê f@xD êê Simplify
−
2
−1 + x2
H∗ Derivada da função ln H»x+1»ê»x−1»L diretamente ∗L
Clear@x, fD;
##############
"################################
f@x_D := HHx + 1L ê Hx − 1LL2
D@ Log@f@xDD, xD êê Simplify
Out[12]=
5
−
2
−1 + x2
Logaritmo do produto, do quociente e de uma potência
6
Rijo Cal 1 Capitulo 7.nb
Produto
ln (a + b) = ln a + ln b
Quociente
ln (a/b) = ln a - ln b
Potência
ln an = n ln a
Vários exemplos
!!!!!!
x2 - 1 cos2 xM .
Exemplo 3. Calcular a derivada da função ln Iè!!!!!!!!
In[1]:=
è!!!!!!!!!!!!!
H∗ Derivada da função ln I x2 −1 cos2 xM ∗L
Clear@x, fD;
è!!!!!!!!!!!!!!!
f@x_D := LogA x2 − 1 Cos@xD2 E
Out[3]=
D@ f@xD, xD êê FullSimplify
x
− 2 Tan@xD
−1 + x2
Exemplo 4. Calcular a derivada da função ln HHx2 + 1L ê Hx2 In[1]:=
Out[3]=
H∗ Derivada da função ln HHx2 + 1LêHx2 − 1LL ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Log@Hx2 + 1L ê Hx2 − 1LD
D@ f@xD, xD êê Simplify
−
4x
−1 + x4
Exemplo 5. Calcular a derivada da função x2 Hx3 In[1]:=
Out[3]=
1LL.
1L Hx2 + 1L.
H∗ Derivada da função x2 Hx3 − 1L Hx2 + 1L ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x2 Hx3 − 1L Hx2 + 1L
D@ f@xD, xD êê Simplify
x H−2 − 4 x2 + 5 x3 + 7 x5 L
Exemplo 6. Calcular a derivada da função Hx2 -
1L Hx + 1L3 ë Hx2 + 1L .
2
2
In[1]:=
2
2
H∗ Derivada da função Hx2 − 1L Hx + 1L3 ëHx2 + !L
∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Hx2 − 1L Hx + 1L3 ë Hx2 + 1L
2
2
D@ f@xD, xD
4 x H1 + xL3 H−1 + x2 L
H1 + x2 L3
2
Out[3]=
−
Gráfico do logaritmo
4 x H1 + xL3 H−1 + x2 L
3 H1 + xL2 H−1 + x2 L
+
H1 + x2 L2
H1 + x2 L2
2
+
Rijo Cal 1 Capitulo 7.nb
In[1]:=
7
H∗ Gráfico do logaritmo ∗L
Plot@Log@xD, 8x, 0, 5<, PlotRange → 8−3, 2<D;
2
1
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
Exemplo 7. Gráfico da
In[1]:=
função f HxL = ln » x ».
H∗ Gráfico da função ln »x» ∗L
è!!!!!!
PlotALogA x2 E, 8x, −5, 5<, PlotRange → 8−3, 2<E;
2
1
-4
-2
2
4
-1
-2
-3
Exercícios
Nos Exercícios 1 a 24, especifique os domínio das funções dadas e calcule suas derivadas.
1. f(x) = ln 3x
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Derivada da função f HxL = ln 3 x ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Log@3 xD
D@f@xD, xD
1
x
2. f(x) = ln x2
8
Rijo Cal 1 Capitulo 7.nb
In[4]:=
Out[6]=
H∗ Derivada da função f HxL = ln x2 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Log@x2 D
D@f@xD, xD
2
x
3. f(x) = ln (x - 1)
In[7]:=
Out[9]=
H∗ Derivada da função f HxL = ln Hx − 1L ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Log@x − 1D
D@f@xD, xD
1
−1 + x
4. f(x) = ln (5x - 7)
In[10]:=
Out[12]=
H∗ Derivada da função f HxL = ln H5 x − 7L ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Log@5 x − 7D
D@f@xD, xD
5
−7 + 5 x
5. f(x) = ln (2x + 9)
In[13]:=
Out[15]=
H∗ Derivada da função f HxL = ln H2 x + 9L ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Log@2 x + 9D
D@f@xD, xD
2
9+2x
6. f(x) = ln |1 - x |
In[16]:=
H∗ Derivada da função f HxL = ln »1 − x» ∗L
Clear@x, fD;
"####################
f@x_D := LogA H1 − xL2 E
D@f@xD, xD
Out[18]=
−
1
1−x
7. f(x) = ln (3 - 5x)
Rijo Cal 1 Capitulo 7.nb
In[19]:=
Out[21]=
H∗ Derivada da função f HxL = ln H3 − 5 xL ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Log@3 − 5 xD
D@f@xD, xD
−
5
3−5x
8. f(x) = ln (4 - x2 )
In[22]:=
Out[24]=
H∗ Derivada da função f HxL = ln H4 − x2 L ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Log@4 − x2 D
D@f@xD, xD
−
2x
4 − x2
9. f(x) = ln Hx2 + 1L
In[25]:=
Out[27]=
H∗ Derivada da função f HxL = ln Hx2 + 1L ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Log@x2 + 1D
D@f@xD, xD
2x
1 + x2
10. f(x) = ln Hx2 - 9L
In[28]:=
Out[30]=
H∗ Derivada da função f HxL = ln Hx2 − 9L ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Log@x2 − 9D
D@f@xD, xD
2x
−9 + x2
11. f(x) = ln Hx + 2L3
In[31]:=
Out[33]=
H∗ Derivada da função f HxL = ln Hx + 2L3 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Log@Hx + 2L3 D
D@f@xD, xD
3
2+x
12. f(x) = ln Hx3 + 1L
9
10
Rijo Cal 1 Capitulo 7.nb
In[34]:=
Out[36]=
H∗ Derivada da função f HxL = ln Hx3 + 1L ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Log@x3 + 1D
D@f@xD, xD
3 x2
1 + x3
13. f(x) = ln
In[37]:=
Out[39]=
H∗ Derivada da função f HxL = ln
Clear@x, fD;
è!!!!!!!!!!!!!!!!
f@x_D := LogA 5 − x2 E
Out[42]=
è!!!!!!!!!!!!!!!!
5 − x2 ∗L
D@f@xD, xD
x
−
5 − x2
14. f(x) = ln
In[40]:=
è!!!!!!!!!!!!!!2!
5- x
è!!!!!!!!
!!!!!!!
x2 - 3
H∗ Derivada da função f HxL = ln
Clear@x, fD;
è!!!!!!!!!!!!!!!!
f@x_D := LogA x2 − 3 E
è!!!!!!!!
!!!!!!!!
x2 − 3 ∗L
D@f@xD, xD
x
−3 + x2
15. f(x) = 1/ln x
In[43]:=
Out[45]=
H∗ Derivada da função f HxL = 1êln x ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := 1 ê Log@xD
D@f@xD, xD
−
1
x Log@xD2
16. f(x) = ln ln x
In[46]:=
Out[48]=
H∗ Derivada da função f HxL = ln ln x ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Log@Log@xDD
D@f@xD, xD
1
x Log@xD
17. f(x) = ln ln | x |
Rijo Cal 1 Capitulo 7.nb
In[49]:=
11
H∗ Derivada da função f HxL = ln ln »x» ∗L
Clear@x, fD;
è!!!!!!
f@x_D := LogALogA x2 EE
D@f@xD, xD
Out[51]=
1
è!!!!!!
x LogA x2 E
18. f(x) = ln
In[52]:=
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
H2 - xL H3 - xL
H∗ Derivada da função f HxL = ln
Clear@x, fD;
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
f@x_D := LogA H2 − xL H3 − xL E
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
H2 − xL H3 − xL ∗L
D@f@xD, xD
Out[54]=
−5 + 2 x
2 H2 − xL H3 − xL
19. f(x) = ln ((x - 2)/(3 - x))
In[55]:=
Out[57]=
H∗ Derivada da função f HxL = ln HHx − 2LêH3 − xLL ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Log@Hx − 2L ê H3 − xLD
D@f@xD, xD êê Simplify
1
−6 + 5 x − x2
20. f(x) = ln ((2 x - 1)/(3x - 1))
In[58]:=
Out[60]=
H∗ Derivada da função f HxL = ln HH2 x − 1LêH3 x − 1LL ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Log@H2 x − 1L ê H3 x − 1LD
D@f@xD, xD êê Simplify
1
1 − 5 x + 6 x2
21. f(x) = x ln x - x
In[61]:=
Out[63]=
H∗ Derivada da função f HxL = x ln x −x ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x Log@xD − x
D@f@xD, xD êê Simplify
Log@xD
22. f(x) = x ln » x » - x
12
Rijo Cal 1 Capitulo 7.nb
In[64]:=
H∗ Derivada da função f HxL = x ln »x» −x ∗L
Clear@x, fD;
è!!!!!!
f@x_D := x LogA x2 E − x
D@f@xD, xD êê Simplify
Out[66]=
Log@x2 D
2
23. f(x) = ln sen x
In[67]:=
Out[69]=
H∗ Derivada da função f HxL = ln sen x ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Log@Sin@xDD
D@f@xD, xD êê Simplify
Cot@xD
24. f(x) = ln cos x
In[70]:=
Out[72]=
H∗ Derivada da função f HxL = ln cos x ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Log@Cos@xDD
D@f@xD, xD êê Simplify
−Tan@xD
7.2 A função exponencial
Como a função x = ln y é crescente a sua inversa também é crescente. Vamos indicalá-la com o símbolo E(x), de sorte
que podemos escrever
y = E(x) ñ x = ln y.
Como ln ‰ é igual a 1, então
ln ‰ = 1
ñ E(1) = ‰.
Definição. Dado qualquer número real x, chama-se exponencial de x ao número N, indicado com o símbolo ‰x , cujo
logaritmo é x, isto é
‰x = N significa x = ln N.
O símbolo Exp(x) é frequentemente usado no lugar de ‰x .
Rijo Cal 1 Capitulo 7.nb
13
Exp[x] calcula a exponencial de x.
Como a exponencial e o logaritmo são funções inversas uma da outra, temos
ln ‰x = x para todo x real
e
‰ln x = x para todo x > 0.
Gráfico da exponencial
In[1]:=
H∗ Gráfico da exponencial ∗L
Plot@Exp@xD, 8x, −2, 2<D;
7
6
5
4
3
2
1
-2
-1
1
2
14
Rijo Cal 1 Capitulo 7.nb
In[2]:=
H∗ Gráficos do logaritmo e da exponencial ∗L
p1 =
Plot@Exp@xD, 8x, −4, 4<, PlotRange → 8−4, 4<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<,
Epilog → 8Text@"y = x ", 82, 3.5<D, Text@"y = ln x", 83, 1.5<D<,
DisplayFunction → IdentityD;
p2 = Plot@Log@xD, 8x, 0, 4<,
PlotRange → 8−4, 4<, PlotStyle −> 8RGBColor@0, 0, 1D<,
DisplayFunction → IdentityD;
p3 = Plot@x, 8x, −2, 3<, DisplayFunction → IdentityD;
Show@8p1, p2, p3<, AspectRatio → Automatic,
DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
4
y =
x
3
2
y = ln x
1
-4
-2
2
-1
-2
-3
-4
4
Rijo Cal 1 Capitulo 7.nb
In[6]:=
15
H∗ Gráficos da funções x e −x ∗L
Plot@8Exp@xD, Exp@−xD<, 8x, −3, 3<, PlotRange → 80, 10<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D, RGBColor@0, 0, 1D<,
Epilog → 8Text@"y = x ", 81.6, 9<D, Text@"y = ln x", 8−1.4, 9<D<D;
10
y = ln x
y =
x
8
6
4
2
-3
-2
-1
1
2
Propriedade fundamental
A exponencial satisfaz as seguintes propriedades
‰Hx + yL = ‰x ‰ y
1
‰-x = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
‰xÅÅÅÅ
A exponencial ‰x
Definimos ax , com a > 0 e x real qualquer, mediante a equação
ax = ‰x ln a
Isto equivale a dizer que o logaritmo de ax é x ln a :
ln ax = x ln a
As derivadas de ‰x de ax
A derivada de ‰x é dada por ‰x . A derivada de ax é dada por ax ln a
In[1]:=
Out[1]=
H∗ A derivada de
D@ x , xD
x
x
∗L
3
16
Rijo Cal 1 Capitulo 7.nb
In[2]:=
Out[2]=
H∗ A derivada de ax ∗L
D@ax , xD
ax Log@aD
Derivada de xc
A derivada de xc é dada por c xc - 1
In[1]:=
Out[1]=
H∗ A derivada de xc ∗L
D@xc , xD
c x−1+c
Vários exemplos
Exemplo 1. Vamos derivar a função ‰x - è!!!x! .
2
In[1]:=
H∗ Derivada da função
Clear@x, fD;
2
f@x_D := x
D@ f@xD, xD
Out[3]=
è!!!!
− x +x2
−
x2 −
è!!!!
x
∗L
è!!!!
x
1
i
y
j
j− è!!! + 2 xz
z
k 2 x
{
Exemplo 2. Vamos derivar a função 2è!!!x! ln x .
In[1]:=
H∗ Derivada da função 2
Clear@x, fD;
è!!!!
f@x_D := 2 x
D@ f@xD, xD
Out[3]=
è!!!!
x Log@xD
2
è!!!!
x ln x
∗L
Log@xD
Log@xD z
i 1
y
Log@2D j
j è!!! +
è!!! z
k x
2 x {
Exemplo 3. Vamos derivar a função 2x cos x ln x .
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Derivada da função 2x
Clear@x, fD;
f@x_D := 2x Cos@xD Log@xD
D@ f@xD, xD êê Simplify
2x Cos@xD J
cos x
ln x ∗L
1
+ Log@2D Log@xD HCos@xD − x Sin@xDLN
x
Exemplo 4. Vamos derivar a função expH‰cos x ê xL .
Rijo Cal 1 Capitulo 7.nb
17
H∗ Derivada da função exp H cos x êxL ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Exp@Exp@Cos@xDD ê xD
D@ f@xD, xD êê Simplify
In[1]:=
Cos@xD
x
−
Out[3]=
+Cos@xD
H1 + x Sin@xDL
x2
Exemplo 5. Vamos derivar a função y = xx .
H∗ Derivada da função y = xx ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := xx
D@ f@xD, xD êê Simplify
In[1]:=
xx H1 + Log@xDL
Out[3]=
Exemplo 6. Vamos derivar a função y =
H∗ Derivada da função
In[1]:=
y=
3
è!!!!!!!!
!!!!!
è!!!!!!!!!!!!!
x + 1 ë IHx - 4L x - 1 M.
3
è!!!!!!!!
!!!!!!
è!!!!!!!!!!!!!!
x + 1 ëIHx − 4L x − 1 M∗L
Clear@x, fD;
3
è!!!!!!!!!!!!
è!!!!!!!!
!!!!!
f@x_D :=
x + 1 ë IHx − 4L x − 1 M
D@ f@xD, xD êê Simplify
26 − x − 7 x2
6 H−4 + xL H−1 + xL3ê2 H1 + xL2ê3
Out[3]=
2
Logaritmo numa base qualquer
O logaritmo de N numa base a é dado por
loga N = ln N loga ‰ = ln N ê ln a
Exercícios
Calcule as derivadas das funções dadas nos Exercícios 1 a 28.
1. y = ‰3 x
In[1]:=
Out[3]=
2. y = 2 ‰
H∗ Derivada da função y =
Clear@x, fD;
f@x_D := 3 x
D@f@xD, xD
3
è!!!!
x
3x
3x
∗L
18
Rijo Cal 1 Capitulo 7.nb
H∗ Derivada da função y = 2
Clear@x, fD;
In[4]:=
è!!!!
x
∗L
è!!!!
x
f@x_D := 2
D@f@xD, xD
è!!!!
x
è!!!
x
Out[6]=
3. y = ‰x
2
H∗ Derivada da função y =
Clear@x, fD;
In[7]:=
x2
∗L
2
f@x_D := x
D@f@xD, xD
2
Out[9]=
x2
è!!!!!!!!!!!
x-1
4. y = 4 ‰
In[10]:=
x
H∗ Derivada da função y = 4
Clear@x, fD;
f@x_D := 4
D@f@xD, xD
è!!!!!!!!!!!!!!!
x − 1
∗L
è!!!!!!!!!!!!
x−1
è!!!!!!!!!!!!
2 −1+x
è!!!!!!!!!!!!!!
−1 + x
Out[12]=
5. y = ‰x
In[13]:=
3
-3x ê3
H∗ Derivada da função y =
Clear@x, fD;
f@x_D :=
x3 − 3 x
x3 − 3 x ê3
ë3
D@f@xD, xD
Out[15]=
1
3
−3 x+x3
6. y = ‰x ê x
In[16]:=
Out[18]=
H−3 + 3 x2 L
H∗ Derivada da função y =
Clear@x, fD;
f@x_D := x ê x
D@f@xD, xD
−
7. y = ‰sen x
x
x2
+
x
x
x êx
∗L
∗L
Rijo Cal 1 Capitulo 7.nb
H∗ Derivada da função y =
Clear@x, fD;
f@x_D := Sin@xD
D@f@xD, xD
In[19]:=
Sin@xD
Out[21]=
8. y = ‰x
19
2
In[22]:=
cos
è!!!!
x
H∗ Derivada da função y =
Clear@x, fD;
2
9. y = ‰In[25]:=
∗L
Cos@xD
f@x_D := x
D@f@xD, xD
Out[24]=
sen x
è!!!!
x2 CosA x E
è!!!!
x ln x
x2 cos
è!!!!
x
∗L
è!!!!
CosA x E
1 3ê2
è!!!
è!!!
J2 x CosA x E −
x
SinA x EN
2
H∗ Derivada da função y =
Clear@x, fD;
è!!!!
− x ln x
∗L
è!!!!
x Log@xD
f@x_D := −
D@f@xD, xD
Out[27]=
Log@xD z
i 1
y
j
j− è!!! −
è!!! z
k
x
2 x {
è!!!!
x
x−
10. y = x2 ‰-x
In[28]:=
Out[30]=
H∗ Derivada da função y = x2
Clear@x, fD;
f@x_D := x2 − x
D@f@xD, xD êê Simplify
−
−x
∗L
H−2 + xL x
−x
11. y = ln H‰x + ‰-x L
In[31]:=
Out[33]=
H∗ Derivada da função y = ln H
Clear@x, fD;
f@x_D := Log@ x + −x D
D@f@xD, xD
−
−x
−x
+
+
x
x
12. y = ln » ‰x + ‰-x »
x
+
−x L
∗L
20
Rijo Cal 1 Capitulo 7.nb
In[34]:=
H∗ Derivada da função y = ln »
Clear@x, fD;
"##########################
f@x_D := LogA H x + −x L2 E
x
+
−x »
∗L
D@f@xD, xD
−x
−
Out[36]=
−x
+
+
x
x
13. y = Hx2 - ‰-2 x L
2
In[37]:=
H∗ Derivada da função y = Hx2
Clear@x, fD;
f@x_D := Hx2 −
D@f@xD, xD
Out[39]=
2 H2
14. y = ‰‰
In[40]:=
−2 x
−
L
−2 x 2
+ 2 xL H−
−2 x
+ x2 L
x
H∗ Derivada da função y =
Clear@x, fD;
f@x_D := Exp@Exp@xDD
D@f@xD, xD
x
∗L
x +x
Out[42]=
15. y = xx
2
H∗ Derivada da função y = xx ∗L
Clear@x, fD;
2
In[43]:=
2
f@x_D := xx
D@f@xD, xD
xx Hx + 2 x Log@xDL
2
Out[45]=
16. y = xx
x
H∗ Derivada da função y = xx
Clear@x, fD;
x
f@x_D := xx
D@f@xD, xD
2x
In[46]:=
xx Hx−1+x + xx Log@xD H1 + Log@xDLL
x
Out[48]=
17. y = ‰xë
è!!!!!!!!!!!
x+1
∗L
−2 x L2
∗L
Rijo Cal 1 Capitulo 7.nb
In[49]:=
21
H∗ Derivada da função y =
Clear@x, fD;
f@x_D := xë
D@f@xD, xD
x
è!!!!!!!!!!
1+x
Out[51]=
18. y = ‰In[52]:=
xë
è!!!!!!!!!!!!!!!
x + 1
∗L
è!!!!!!!!!!!!
x+1
1
x
i
y
j
+ è!!!!!!!!!! z
j−
z
k 2 H1 + xL3ê2
1+x {
è!!!!! è!!!!
x ln x
H∗ Derivada da função y =
Clear@x, fD;
è!!!!
è!!!!
− x ln
x
è!!!!!
è!!!!
x LogA x E
f@x_D := −
D@f@xD, xD
Out[54]=
x−
1
Log@xD y
i
j
z
j− è!!! −
è!!! z
k 2 x
4 x {
è!!!!
x
2
19. y = 2cos x
In[55]:=
Out[57]=
H∗ Derivada da função y = 2cos
Clear@x, fD;
f@x_D := 2Cos@xD
D@f@xD, xD
x
∗L
−2Cos@xD Log@2D Sin@xD
20. y = 5x sen x
In[58]:=
Out[60]=
21. y =
In[61]:=
Out[63]=
H∗ Derivada da função y = 5x
Clear@x, fD;
f@x_D := 5x Sin@xD
D@f@xD, xD
sen x
∗L
5x Sin@xD Log@5D Hx Cos@xD + Sin@xDL
è!!! tan x
2
H∗ Derivada da função y =
Clear@x, fD;
è!!!! Tan@xD
f@x_D :=
2
D@f@xD, xD
2−1+
Tan@xD
2
22. y = 3x ‰-1ë
2
è!!!!
x
Log@2D Sec@xD2
è!!!! cos
2
x
∗L
∗L
22
Rijo Cal 1 Capitulo 7.nb
H∗ Derivada da função y = 3x
Clear@x, fD;
2
In[64]:=
è!!!!
−1ë x
∗L
è!!!!
f@x_D := 3x −1ë x
D@f@xD, xD êê Simplify
2
Out[66]=
H1 + x5ê2 Log@81DL
2 x3ê2
1
− è!!!!
x
2
3x
23. y = expHx2 - Hx + 1L ê Hx - 1LL
In[67]:=
H∗ Derivada da função y = exp Hx2 − Hx + 1LêHx − 1LL ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Exp@x2 − Hx + 1L ê Hx − 1LD
D@f@xD, xD êê Simplify
x2 + 1+x
1−x
2
Out[69]=
24. y = 2x
H1 + x − 2 x2 + x3 L
H−1 + xL2
x
H∗ Derivada da função y = 2x ∗L
Clear@x, fD;
x
f@x_D := 2x
D@f@xD, xD
x
In[70]:=
2x xx Log@2D H1 + Log@xDL
x
Out[72]=
25. y = expH2x ‰x L
2
In[73]:=
H∗ Derivada da função y = expH2x
Clear@x, fD;
f@x_D := ExpA2x
x2
x2 L
∗L
xx L
∗L
E
D@f@xD, xD
Out[75]=
2x
x2
I21+x
x2
x + 2x
x2
Log@2DM
26. y = expH2x ‰x L
x
In[76]:=
Out[78]=
H∗ Derivada da função y = expH2x
Clear@x, fD;
x
f@x_D := Exp@2x x D
D@f@xD, xD
2x
xx
27. y = px sen x ‰x
H2x
xx
Log@2D + 2x
xx
xx H1 + Log@xDLL
Rijo Cal 1 Capitulo 7.nb
In[79]:=
Out[81]=
23
H∗ Derivada da função y = πx
Clear@x, fD;
f@x_D := πx Sin@xD x
D@f@xD, xD
x
πx Sin@xD +
x
sen x
x
∗L
πx Sin@xD Log@πD Hx Cos@xD + Sin@xDL
28. y = x2 3x sen x
In[82]:=
Out[84]=
H∗ Derivada da função y = x2 3x
Clear@x, fD;
f@x_D := x2 3x Sin@xD
D@f@xD, xD
sen x
∗L
2 3x Sin@xD x + 3x Sin@xD x2 Log@3D Hx Cos@xD + Sin@xDL
29. Prove que x5 ‰-2 ln x = x3
In[1]:=
Out[2]=
H∗ Prove que y = x2
Clear@xD;
x5 −2 Log@xD
Out[2]=
= x3 ∗L
x3
30. Prove que ‰ln sen x ê cos x = tan x
In[1]:=
−2 ln x
H∗ Prove que y =
Clear@xD;
Log@Sin@xDD
ê Cos@xD
ln sen x êcos
Tan@xD
31. Calcule as primeiras quatro derivadas de y = ‰x
In[1]:=
H∗ Derivadas de
Clear@xD;
y =
x2
2
∗L
2
f@x_D := x
D@f@xD, xD
D@f@xD, 8x, 2<D
D@f@xD, 8x, 3<D
D@f@xD, 8x, 4<D
2
x2
x
Out[4]=
2
x2
+4
Out[5]=
12
Out[6]=
12
Out[3]=
x2
x2
x2
x+8
x2
x2
+ 48
x2
x3
x2 + 16
x2
x4
32. Calcule as primeiras quatro derivadas de y = ‰1êx
x = tan x ∗L
24
Rijo Cal 1 Capitulo 7.nb
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Derivadas de
Clear@xD;
f@x_D := 1êx
D@f@xD, xD
D@f@xD, 8x, 2<D
D@f@xD, 8x, 3<D
D@f@xD, 8x, 4<D
−
Out[5]=
x2
1
x
x8
2 x
x3
1
−
x6
1
x
Out[6]=
1
+
x4
−
∗L
1êx
1
x
1
x
Out[4]=
y =
+
1
6 x
6 x
−
5
x
x4
12
x7
1
x
+
36
x6
1
x
+
24
x5
1
x
34. Faça o gráfico da função y = ‰» x »
In[1]:=
H∗ Gráfico da função y = »x» ∗L
Clear@xD;
è!!!!!!
PlotAExpA x2 E, 8x, −2, 2<E;
7
6
5
4
3
2
1
-2
-1
1
2
35. Faça o gráfico da função y = ‰-» x »
In[3]:=
H∗ Gráfico da função y = −»x» ∗L
Clear@xD;
è!!!!!!
PlotAExpA− x2 E, 8x, −2, 2<E;
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-2
-1
36. Faça o gráfico da função y = ‰x - 3
1
2
Rijo Cal 1 Capitulo 7.nb
In[5]:=
25
H∗ Gráfico da função y = x −
Clear@xD;
Plot@Exp@x − 3D, 8x, −3, 3<D;
3
∗L
2
∗L
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-3
-2
-1
1
2
3
37. Faça o gráfico da função y = ‰x + 2
In[7]:=
H∗ Gráfico da função y = x +
Clear@xD;
Plot@Exp@x + 2D, 8x, −3, 3<D;
140
120
100
80
60
40
20
-3
-2
-1
1
2
3
7.3 Funções hiperbólicas
As funções hiperbólicas - seno hiperbólico, co-seno hiperbólico, tangente hiperbólica e co-tangente hiperbólica designadas pelos símbolos senh x, cosh x, tanh x e coth x, respectivamente, são assim definidas:
-x
-x
‰ -‰
‰ +‰
Å2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , cosh x = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
Å2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ,
senh x = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
x
x
-x
senh x
‰ -‰
ÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ,
tanh x = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
cosh x
‰x + ‰-x
x
-x
cosh x
‰ +‰
ÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ .
coth x = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
senh x
‰x - ‰-x
x
26
Rijo Cal 1 Capitulo 7.nb
In[1]:=
Out[1]=
In[2]:=
H∗ Função hirperbólica senh HxL ∗L
TrigToExp@Sinh@xDD
−x
−
2
In[3]:=
Out[3]=
In[4]:=
2
+
In[5]:=
x
2
H∗ Função hirperbólica tanh HxL ∗L
TrigToExp@Tanh@xDD
−
−x
−x
+
+
x
x
H∗ Função hirperbólica coth HxL ∗L
TrigToExp@Coth@xDD
−x
Out[4]=
2
H∗ Função hirperbólica cosh HxL ∗L
TrigToExp@Cosh@xDD
−x
Out[2]=
x
+
+
− −x +
x
x
H∗ Gráficos das funções senh HxL, cosh HxL, x ê2,
−x ê2 ∗LPlot@8Sinh@xD, Cosh@xD, Exp@xD ê 2, Exp@−xD ê 2<,
8x, −3, 3<, PlotRange → 8−4, 4<, AspectRatio → AutomaticD;
4
3
2
1
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
2
3
Rijo Cal 1 Capitulo 7.nb
In[6]:=
27
H∗ Gráficos das funções tanh HxL ∗L
Plot@Tanh@xD, 8x, −3, 3<, PlotRange → 8−1, 1<D;
1
0.75
0.5
0.25
-3
-2
-1
1
2
3
-0.25
-0.5
-0.75
-1
In[7]:=
H∗ Gráficos das funções cotgh HxL ∗L
Plot@Coth@xD, 8x, −2, 2<, PlotRange → 8−10, 10<D;
10
7.5
5
2.5
-2
-1
1
-2.5
-5
-7.5
-10
Interpretação geométrica
In[1]:=
Out[1]=
H∗ Provar que senh2 HxL − cosh2 HxL = 1 ∗L
HCosh@xD ^ 2 − Sinh@xD ^ 2L êê Simplify
1
2
28
Rijo Cal 1 Capitulo 7.nb
In[2]:=
H∗ Representação gráfica do senh HxL e do cosh HxL ∗L
p1 = ParametricPlot@8Cosh@tD, Sinh@tD<,
8t, −2, 2<, PlotRange → 880, 3.5<, 8−3, 3<<,
Epilog → 8Text@"senhHxL", 82.9, .8<D, Text@"coshHxL", 81, 2<D<,
AspectRatio → Automatic,
DisplayFunction → IdentityD;
p2 = Plot@8x, −x<, 8x, 0, 5<, AspectRatio → Automatic,
DisplayFunction → IdentityD;
p3 = ListPlot@882, 0<, 82, 1.75<<,
PlotJoined → True, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<,
DisplayFunction → IdentityD;
p4 = ListPlot@882, 1.75<, 80, 1.75<<,
PlotJoined → True, PlotStyle −> 8RGBColor@0, 0, 1D<,
DisplayFunction → IdentityD;
Show@8p1, p2, p3, p4<, DisplayFunction → $DisplayFunction D;
3
2
1
coshHxL
senhHxL
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
-1
-2
-3
Propriedades adicionais das funções hiperbólicas
In[1]:=
Out[1]=
In[2]:=
Out[2]=
H∗ Provar que senh Ha + bL = cosh HbL senh HaL + cosh HaL sinh HbL∗L
Sinh@a + bD êê TrigExpand
Cosh@bD Sinh@aD + Cosh@aD Sinh@bD
H∗ Provar que cosh Ha + bL = cosh HaL cosh HbL + sinh HaL sinh HbL∗L
Cosh@a + bD êê TrigExpand
Cosh@aD Cosh@bD + Sinh@aD Sinh@bD
Rijo Cal 1 Capitulo 7.nb
In[3]:=
Out[3]=
In[4]:=
Out[4]=
In[5]:=
Out[5]=
In[6]:=
Out[6]=
H∗ A derivada de sinh x é cosh x ∗L
D@Sinh@xD, xD
Cosh@xD
H∗ A derivada de cosh x é senh x ∗L
D@Cosh@xD, xD
Sinh@xD
H∗ A derivada de tanh HxL é sech x ∗L
D@Tanh@xD, xD
Sech@xD2
H∗ A derivada coth HxL é − csch x ∗L
D@Coth@xD, xD
−Csch@xD2
Exercícios
2. Mostre que senh Ha - bL = senh a cosh b - cosh a senh b e cosh Ha - bL = cosh a cosh b - senh a senh b
In[1]:=
H∗ Calcula senh Ha − bL e cosh H a − bL ∗L
Sinh@a − bD êê TrigExpand
Cosh@a − bD êê TrigExpand
Out[1]=
Cosh@bD Sinh@aD − Cosh@aD Sinh@bD
Out[2]=
Cosh@aD Cosh@bD − Sinh@aD Sinh@bD
3. Mostre que tanh2 x + sech2 x = 1, coth2 x - csch2 x = 1
In[3]:=
H∗ Calcula tanh2 x + sech2 x e coth2 x − csch2 x ∗L
Tanh@xD2 + Sech@xD2 êê TrigExpand
Coth@xD2 − Csch@xD2 êê TrigExpand
Out[3]=
1
Out[4]=
1
4. Mostre que senh 2a = 2 senh a cosh a
In[5]:=
Out[5]=
H∗ Calcula senh 2 a ∗L
Sinh@2 aD êê TrigExpand
2 Cosh@aD Sinh@aD
5. Mostre que cosh 2a = cosh2 a + senh2 a
In[6]:=
Out[6]=
H∗ Calcula cos h 2 a ∗L
Cosh@2 aD êê TrigExpand
Cosh@aD2 + Sinh@aD2
29
30
Rijo Cal 1 Capitulo 7.nb
6. Mostre que tanh (ln a) = Ha2 - 1L ê Ha2 + 1L
In[7]:=
Out[7]=
H∗ Calcula tan h Hln aL ∗L
Tanh@Log@aDD
−1 + a2
1 + a2
Calcule as derivadas das funções dadas nos Exercícios 7 a 17.
7. y = senh 5 x
In[8]:=
Out[10]=
H∗ Derivada da função y = senh 5 x ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Sinh@5 xD
D@f@xD, xD
5 Cosh@5 xD
8. y = senh x2
In[11]:=
Out[13]=
H∗ Derivada da função y = senh x2 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Sinh@x2 D
D@f@xD, xD
2 x Cosh@x2 D
9. y = cosh
In[14]:=
Out[16]=
è!!!!!!!!
!!!!!!!
x2 + 1
H∗ Derivada da função y = cosh
Clear@x, fD;
è!!!!!!!!!!!!!!!
f@x_D := CoshA x2 + 1 E
D@f@xD, xD
è!!!!!!!!!!!!!
x SinhA 1 + x2 E
è!!!!!!!!!!!!2!
1+x
10. y = sech x
In[17]:=
Out[19]=
è!!!!!!!!
!!!!!!!!
x2 + 1 ∗L
H∗ Derivada da função y = sech x ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Sech@xD
D@f@xD, xD
−Sech@xD Tanh@xD
11. y = csch x
Rijo Cal 1 Capitulo 7.nb
In[20]:=
Out[22]=
12. y =
H∗ Derivada da função y = csch x ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Csch@5 xD
D@f@xD, xD
−5 Coth@5 xD Csch@5 xD
è!!!!!!!!!!!!!!!
cosh x3
In[23]:=
Out[25]=
31
H∗ Derivada da função y =
Clear@x, fD;
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
f@x_D := Cosh@x3 D
D@f@xD, xD
è!!!!!!!!!!!!!!!!3!!
cosh x ∗L
3 x2 Sinh@x3 D
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
2 Cosh@x3 D
13. y = ln Hcosh xL
In[26]:=
Out[28]=
H∗ Derivada da função y = ln Hcosh xL ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Log@Cosh@xDD
D@f@xD, xD
Tanh@xD
14. y = tanh (x - 1)/(x + 1)
In[29]:=
Out[31]=
H∗ Derivada da função y = tanh Hx − 1LêHx + 1L ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Tanh@Hx − 1L ê Hx + 1LD
D@f@xD, xD
−1 + x 2
i −1 + x + 1 y
z
j
SechA
E
z
j−
1+x
1+x {
k H1 + xL2
15. y = xsenh x
In[32]:=
Out[34]=
H∗ Derivada da função y = xsenh
Clear@x, fD;
f@x_D := xSinh@xD
D@f@xD, xD
xSinh@xD JCosh@xD Log@xD +
16. y = ‰cosh x
x
Sinh@xD
N
x
∗L
32
Rijo Cal 1 Capitulo 7.nb
In[35]:=
Out[37]=
H∗ Derivada da função y =
Clear@x, fD;
f@x_D := Cosh@xD
D@f@xD, xD
Cosh@xD
cosh x
∗L
Sinh@xD
17. y = xx cosh x
In[38]:=
Out[40]=
H∗ Derivada da função y = xx cosh x ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := xx Cosh@xD
D@f@xD, xD
xx Cosh@xD H1 + Log@xDL + xx Sinh@xD
18. Mostre que a função y = A cosh Hwt + fLsatisfaz a equação y'' - w2 y = 0.
In[41]:=
Out[43]=
H∗ Calcula y'' HtL − ω2 y HtL ∗L
Clear@x, fD;
f@t_D := A Cosh@ω t + φD
D@f@tD, 8t, 2<D − ω2 f@tD
0
19. Calcule o limite de tanh x com x Ø + ¶.
In[44]:=
Out[45]=
H∗ Limite de tanh x com x → +∞ ∗L
Clear@x, fD;
Limit@Tanh@xD, x → ∞D
1
20. Calcule o limite de tanh x com x Ø - ¶.
In[46]:=
Out[47]=
H∗ Limite de tanh x com x → −∞ ∗L
Clear@x, fD;
Limit@Tanh@xD, x → −∞D
−1
CAPÍTULO 8
Máximos e Mínimos
Iniciar o Mathematica (MathKernel)
In[1]:=
Out[1]=
H∗ Inicia o Mathematica HMathKernelL ∗L
2+2
4
8.1 Máximos e Mínimos
Dizemos que um número x0 é ponto de máximo de uma função f se f HxL § f Hx0 L para todo x no domínio de f. Ao
contrário, se tivermos f HxL ¥ f Hx0 L, então x0 é chamado ponto de mínimo.
In[260]:=
H∗ Figura GA1 8.1 a ∗L
f@x_D := 7 − H3 x − 3L2
liga = PlotJoined → True;
dI = DisplayFunction → Identity;
linhaTracejada = PlotStyle → [email protected]<D<;
p1 = Plot@f@xD, 8x, .25, 1.3<, Axes → False,
Epilog → 8Text@"a", 80.3, −.03<D, Text@"b", 81.05, −.03<D,
Text@"c", 81.35, −.03<D<, DisplayFunction → IdentityD;
p2 = ListPlot@880, .25<, 84, .25<<, liga, dID;
p3 = [email protected], 0<, 8.05, 8<<, liga, dID;
p4 = [email protected], .2<, 80.25, [email protected]<<, liga, linhaTracejada , dID;
p5 = ListPlot@881, .2<, 81, f@1D<<, liga, linhaTracejada , dID;
p6 = [email protected], .2<, 81.3, [email protected]<<, liga, linhaTracejada , dID;
q1 = Show@8p1, p2, p3, p4, p5, p6<D;
2
Rijo Cal 1 Capitulo 8.nb
In[271]:=
In[284]:=
H∗ Figura GA1 8.1 b ∗L
f@x_D := Sin@x ^ 2D ê x + 2;
liga = PlotJoined → True;
linhaTracejada = PlotStyle → [email protected]<D<;
dI = DisplayFunction → Identity;
p1 = Plot@f@xD, 8x, .5, 3.3<, Axes → False,
Epilog → 8Text@"a", 80.5, 0<D, Text@"p", 81.1, 0<D,
Text@"q", 82.15, 0<D, Text@"r", 82.8, 0<D, Text@"b", 83.3, 0<D<,
DisplayFunction → IdentityD;
p2 = ListPlot@880, .1<, 84, .1<<, liga, dID;
p3 = [email protected], 0<, 8.1, 3<<, liga, dID;
p4 = [email protected], .1<, 80.5, [email protected]<<, liga, linhaTracejada , dID;
p5 = [email protected], .1<, 81.08, [email protected]<<, liga, linhaTracejada , dID;
p6 = [email protected], .1<, 82.15, [email protected]<<, liga, linhaTracejada , dID;
p7 = [email protected], .1<, 82.8, [email protected]<<, liga, linhaTracejada , dID;
p8 = [email protected], .1<, 83.3, [email protected]<<, liga, linhaTracejada , dID;
q2 = Show@8p1, p2, p3, p4, p5, p6, p7, p8<D;
Show@GraphicsArray@8q1, q2<DD;
a
b
c
a
p
q
r
b
Extremos locais e absolutos
Definição. Diz-se que x0 é um ponto de máximo local de uma função f0 quando existe um intervalo aberto tal que
x0 seja ponto de máximode f nesse intervalo. De modo análogo definimos mínimo local.
Extremos de funções contínuas
Teorema. Seja f uma função definida e contínua num intervalo fechado [a, b]. Então f possui ao menos um ponto de
máximo e ao menos um ponto de mínimo nesse intervalo.
Caracterização de máximos e mínimos.
Teorema. Seja f uma função com máximo (ou mínimo) local num ponto x0 , onde ela é derivável.. Então f ' Hx0 L= 0.
Rijo Cal 1 Capitulo 8.nb
3
O ponto x0 tal que f ' Hx0 L= 0 é chamado de ponto crítico ou ponto estacionário da função f.
Vários exemplos
Exemplo 1.
Determinar os pontos de máximo e de mínimo da função
f HxL = x2 - 6 x + 5 em 0 § x § 5.
In[296]:=
In[132]:=
H∗ A função f HxL ∗L
Clear@x, fD
f@x_D := x2 − 6 x + 5
H∗ Gráfico da função f HxL ∗L
Plot@f@xD, 8x, 0, 5<, PlotRange → 8−6, 6<D;
6
4
2
1
2
3
4
5
-2
-4
-6
In[133]:=
Out[133]=
In[134]:=
Out[134]=
In[298]:=
Out[298]=
In[299]:=
Out[299]=
H∗ Determinação dos pontos críticos
Solve@D@f@xD, xD 0, xD
∗L
88x → 3<<
H∗ O valor da função no ponto crítico x0 = 3.
f@3D
∗L
−4
H∗ O valor da função no ponto extremo x = 0 ∗L
f@0D
5
H∗ O valor da função no ponto extremo x = 5 ∗L
f@5D
0
A função tem máximo absoluto igual a 5 no extremo x = 0, e mínimo absoluto igual a -4 no ponto crítico x = 3.
Exemplo 2.
Determinar os pontos de máximo e de mínimo da função
f HxL = x4 + 4 x3 - 8 x2 - 48 x - 10 em -4 § x § 1.
4
Rijo Cal 1 Capitulo 8.nb
In[300]:=
In[293]:=
H∗ A função f HxL ∗L
Clear@x, fD
f@x_D := x4 + 4 x3 − 8 x2 − 48 x − 1 0
H∗ Gráfico da função f HxL ∗L
Plot@f@xD, 8x, −4, 1<, PlotRange −> 8−60, 60<D;
60
40
20
-4
-3
-2
-1
1
-20
-40
-60
In[288]:=
Out[288]=
H∗ Determinação dos pontos críticos
Solve@D@f@xD, xD 0, xD
∗L
88x → −3<, 8x → −2<, 8x → 2<<
Os pontos críticos são x = -3 e x = -2. O ponto x = 2 não é crítico porque está fora do domínio da função dada.
In[140]:=
Out[140]=
In[141]:=
Out[141]=
In[302]:=
Out[302]=
In[303]:=
Out[303]=
H∗ O valor da função no ponto crítico x = −3 ∗L
f@−3D
35
H∗ O valor da função no ponto crítico x = −3 ∗L
f@−2D
38
H∗ O valor da função no ponto extremo x = −4 ∗L
f@−4D
64
H∗ O valor da função no ponto extremo x = 1 ∗L
f@1D
−51
A função tem máximo absoluto igual a 64 no extremo x = - 4, e mínimo absoluto igual a -51 no ponto crítico x = 3.
Exemplo 3.
Máximos e mínimos da função sen x.
Rijo Cal 1 Capitulo 8.nb
In[144]:=
5
H∗ Gráfico da função sen x no interval −π ≤ x < π
Plot@Sin@xD, 8x, −6 π, 6 π<D;
∗L
1
0.5
-15
-10
-5
5
10
15
-0.5
-1
A função seno assume o valor máximo 1 em todos os pontos críticos x = 2 k p + p ê 2 e o valor mínimo -1 nos pontos
críticos x = 2 k p - p ê 2, k = 0, ±1, ±2, ±3, ...
Exemplo 4.
Determinar os pontos de máximo e de mínimo da função
f HxL = x2 + x - 6 em - 3 § x § 2.
In[304]:=
In[306]:=
H∗ A função f HxL ∗L
Clear@x, fD
f@x_D := x2 + x − 6
H∗ Gráfico da função f HxL ∗L
Plot@f@xD, 8x, −3, 2<, PlotRange → 8−7, 0<D;
-3
-2
-1
1
2
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
In[307]:=
Out[307]=
In[308]:=
Out[308]=
H∗ Determinação dos pontos críticos
Solve@D@f@xD, xD 0, xD
99x → −
1
==
2
∗L
H∗ O valor da função no ponto crítico x = −1ê2 ∗L
1
fA− E
2
25
−
4
6
Rijo Cal 1 Capitulo 8.nb
In[150]:=
Out[150]=
In[151]:=
Out[151]=
H∗ O valor da função no ponto extremo x = −3 ∗L
f@−3D
0
H∗ O valor da função no ponto extremo x = 2 ∗L
f@2D
0
A função dada assume o valor máximo zero nos extremos -3 e 2 de seu domínio e o valor mínimo -25/4 no ponto crítico x
= -1/2.
Exemplo 5.
Determinar os pontos de máximo e de mínimo da mesma função
f HxL = x2 + x - 6 restrita ao intervalo menor - 3 § x < 1.
In[304]:=
In[309]:=
H∗ A função f HxL ∗L
Clear@x, fD
f@x_D := x2 + x − 6
H∗ Gráfico da função f HxL ∗L
Plot@f@xD, 8x, −3, 1<, PlotRange → 8−7, 0<D;
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
A função dada assume o valor máximo zero no extremo -3 seu domínio e o valor mínimo -25/4 no ponto crítico x= -1/2.
Exemplo 6.
Determinar os pontos de máximo e de mínimo da mesma função
f HxL = x2 + x - 6, considerada, agora, em toda reta..
In[310]:=
H∗ A função f HxL ∗L
Clear@x, fD
f@x_D := x2 + x − 6
Rijo Cal 1 Capitulo 8.nb
In[313]:=
7
H∗ Gráfico da função f HxL
Plot@f@xD, 8x, −10, 9<D;
∗L
80
60
40
20
-10 -7.5 -5 -2.5
2.5
5
7.5
A função dada assume o valor mínimo -25/4 no ponto crítico x = -1/2, porém não tem máximo. De fato, seu limite é +¶
com x = ≤¶.
Exemplo 7.
f HxL =
è!!!!!!!!
» x » no intervalo [-2, 1].
In[314]:=
In[316]:=
Determinar os pontos de máximo e de mínimo da mesma função
H∗ A função f HxL
Clear@x, fD
#!#
"########
è!!!!!
x2
f@x_D :=
∗L
H∗ Gráfico da função f HxL
Plot@f@xD, 8x, −2, 1<D;
∗L
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-2
In[320]:=
Out[320]=
In[321]:=
Out[321]=
-1.5
-1
-0.5
H∗ Derivada da função dada
dfdx = D@f@xD, xD
x
2 Hx2 L3ê4
8<
Solve@dfdx
0, xD
0.5
∗L
1
8
Rijo Cal 1 Capitulo 8.nb
A derivada não se anula e não está definida em x = 0 que é um ponto interno do intervalo [-2, 1] onde estamos considerando a função f . Este intervalo pode ser desdobrado em dois, [-2, 0] e [0, 1]. A função atinge seu valor máximo e
x = - 2 e mínimo em x = 0.
Exercícios
Determine os pontos críticos das funções dadas nos Exercícios 1 a 19.
1. y = 3 x2 + 2 x + 1
In[325]:=
In[332]:=
H∗ Definição da função dada ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := 3 x2 + 2 x + 1
H∗ Gráfico da função f HxL
Plot@f@xD, 8x, −1.7, 1<D;
∗L
6
5
4
3
2
1
-1.5
In[327]:=
Out[327]=
-1
-0.5
0.5
H∗ Determinação dos pontos críticos
Solve@D@f@xD, xD 0, xD
99x → −
1
==
3
A função f possui um único ponto crítico x = -1 ê 3
2. y = x3 - 3 x2 + 3 x - 7
In[333]:=
H∗ Definição da função dada ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x3 − 3 x2 + 3 x − 7
1
∗L
Rijo Cal 1 Capitulo 8.nb
In[337]:=
9
H∗ Gráfico da função f HxL
Plot@f@xD, 8x, −3, 3<D;
∗L
-5
-6
-7
-3
In[338]:=
Out[338]=
-2
-1
1
2
H∗ Determinação dos pontos críticos
Solve@D@f@xD, xD 0, xD
3
∗L
88x → 1<, 8x → 1<<
A função f possui um único ponto crítico x = 1.
3. y = 2 x3 - 3 x2 + 5
In[339]:=
In[341]:=
H∗ Definição da função dada ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := 2 x3 − 3 x2 + 5
H∗ Gráfico da função f HxL
Plot@f@xD, 8x, −3, 3<D;
∗L
6
5
4
-3
In[342]:=
Out[342]=
-2
-1
1
2
H∗ Determinação dos pontos críticos
Solve@D@f@xD, xD 0, xD
88x → 0<, 8x → 1<<
A função f possui os pontos críticos x = 0 e x = 1.
4. y = x + 1 ê x
3
∗L
10
In[343]:=
In[345]:=
Rijo Cal 1 Capitulo 8.nb
H∗ Definição da função dada ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x + 1 ê x
H∗ Gráfico da função f HxL
Plot@f@xD, 8x, −3, 3<D;
∗L
10
5
-3
-2
-1
1
2
3
-5
-10
In[346]:=
Out[346]=
H∗ Determinação dos pontos críticos
Solve@D@f@xD, xD 0, xD
∗L
88x → −1<, 8x → 1<<
A função f possui os pontos críticos x = ≤ 1 .
5. y = 3 x4 + 4 x3 - 12 x2 + 10 em -1 § x § 2.
In[347]:=
In[352]:=
H∗ Definição da função dada ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := 3 x4 + 4 x3 − 12 x2 + 10
H∗ Gráfico da função f HxL
Plot@f@xD, 8x, −1, 2<D;
∗L
15
10
5
-1
In[350]:=
Out[350]=
-0.5
0.5
1
1.5
H∗ Determinação dos pontos críticos
Solve@D@f@xD, xD 0, xD
88x → −2<, 8x → 0<, 8x → 1<<
2
∗L
Rijo Cal 1 Capitulo 8.nb
11
A função f possui os pontos críticos x = 0 e x = 1.
6. y = cos 3 x em 0 < x < p
In[353]:=
In[355]:=
H∗ Definição da função dada ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Cos@3 xD
H∗ Gráfico da função f HxL
Plot@f@xD, 8x, 0, π<D;
∗L
1
0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-0.5
-1
A função f possui os pontos críticos x = p ê 3 e x = 2 p ê 3.
7. y = tan x
In[3]:=
In[5]:=
H∗ Definição da função dada ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Tan@xD
H∗ Gráfico da função f HxL
Plot@f@xD, 8x, 0, π<D;
∗L
60
40
20
1.5
-20
-40
-60
A função f não possui pontos críticos.
8. y = cot x
2
2.5
12
Rijo Cal 1 Capitulo 8.nb
In[6]:=
In[9]:=
H∗ Definição da função dada ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Cot@xD
H∗ Gráfico da função f HxL
Plot@f@xD, 8x, −π, π<D;
∗L
40
20
-3
-2
-1
1
2
3
-20
-40
A função f não possui pontos críticos.
9. y = 4 sen x + cos 2 x
In[14]:=
In[19]:=
H∗ Definição da função dada ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := 4 Sin@xD + Cos@2 xD
H∗ Gráfico da função f HxL ∗L
Plot@f@xD, 8x, −4 π, 4 π<, PlotRange → 8−6, 4<D;
4
2
-10
-5
5
10
-2
-4
-6
A função f possui os pontos críticos x = 2 k p - p ê 2, k = 0, ±1, ±2, ±3, ...
10. y = ax2 + b x + c
Rijo Cal 1 Capitulo 8.nb
In[23]:=
In[25]:=
Out[25]=
13
H∗ Definição da função dada ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := a x2 + b x + c
H∗ Determinação dos pontos críticos
Solve@D@f@xD, xD 0, xD
99x → −
∗L
b
==
2a
A função f possui o ponto crítico x = - b ê 2 a.
è!!!
11. y = x x Hx - aL
In[26]:=
In[30]:=
H∗ Definição da função dada ∗L
Clear@x, fD;
è!!!!
f@x_D := x x Hx − aL
H∗ Gráfico da função f HxL ∗L
è!!!!
PlotAx x Hx − 2L, 8x, 0, 2<E;
0.5
1
1.5
2
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
In[28]:=
Out[28]=
H∗ Determinação dos pontos críticos
Solve@D@f@xD, xD 0, xD
98x → 0<, 9x →
3a
==
5
A função f possui o ponto crítico x = 3 a ê 5.
12. y = x‰-x
In[40]:=
H∗ Definição da função dada ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x −x
∗L
14
Rijo Cal 1 Capitulo 8.nb
In[47]:=
H∗ Gráfico da função f HxL
Plot@f@xD, 8x, −1, 5<D;
∗L
0.2
-1
1
2
3
4
5
-0.2
-0.4
In[48]:=
Out[48]=
H∗ Determinação dos pontos críticos
Solve@D@f@xD, xD 0, xD
∗L
88x → 1<<
A função f possui o ponto crítico x = 1.
13. y = x2 ‰-x
In[49]:=
In[51]:=
H∗ Definição da função dada ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x2 −x
H∗ Gráfico da função f HxL
Plot@f@xD, 8x, −1, 5<D;
∗L
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-1
In[52]:=
Out[52]=
1
2
3
4
H∗ Determinação dos pontos críticos
Solve@D@f@xD, xD 0, xD
88x → 0<, 8x → 2<<
A função f possui os pontos críticos x = 0 e x = 2.
14. y = ln x - x
5
∗L
Rijo Cal 1 Capitulo 8.nb
In[53]:=
In[57]:=
15
H∗ Definição da função dada ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Log@xD − x
H∗ Gráfico da função f HxL
Plot@f@xD, 8x, 0, 5<D;
∗L
-1
-2
-3
-4
1
In[58]:=
Out[58]=
2
3
4
5
H∗ Determinação dos pontos críticos
Solve@D@f@xD, xD 0, xD
88x → 1<<
A função f possui o ponto crítico x = 1.
15. y = x2 - ln H-xL, x < 0.
In[1]:=
In[3]:=
H∗ Definição da função dada ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x2 − Log@−xD
Plot@f@xD, 8x, −5, 0<D;
14
12
10
8
6
4
2
-5
-4
-3
-2
-1
∗L
16
Rijo Cal 1 Capitulo 8.nb
In[4]:=
Out[4]=
H∗ Determinação dos pontos críticos
H∗ Gráfico da função f HxL ∗L
Solve@D@f@xD, xD 0, xD
1
1
99x → − è!!! =, 9x → è!!! ==
2
2
A função f possui o ponto crítico x = -1 ë
16. y = cosh Hx + 2L.
In[18]:=
In[20]:=
∗L
è!!!
2.
H∗ Definição da função dada ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Cosh@x + 2D
H∗ Gráfico da função f HxL
Plot@f@xD, 8x, −6, 2<D;
∗L
15
12.5
10
7.5
5
2.5
-6
In[21]:=
Out[21]=
-4
-2
H∗ Determinação dos pontos críticos
Solve@D@f@xD, xD 0, xD
88x → −2<<
A função f possui o ponto crítico x = -2.
17. y = senh Hx - 1L.
In[29]:=
H∗ Definição da função dada ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Sinh@x − 1D
2
∗L
Rijo Cal 1 Capitulo 8.nb
In[27]:=
17
H∗ Gráfico da função f HxL
Plot@f@xD, 8x, −2, 4<D;
∗L
10
5
-2
-1
1
2
3
4
-5
-10
In[31]:=
Out[31]=
H∗ Determinação dos pontos críticos
Solve@D@f@xD, xD 0, xD
99x → 1 −
∗L
π
π
=, 9x → 1 +
==
2
2
A função f não possui o ponto crítico (real).
18. y = x ‰x .
In[37]:=
In[44]:=
H∗ Definição da função dada ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x x
H∗ Gráfico da função f HxL
Plot@f@xD, 8x, −3, 2<D;
∗L
0.8
0.6
0.4
0.2
-3
-2
-1
1
2
-0.2
-0.4
In[45]:=
Out[45]=
H∗ Determinação dos pontos críticos
Solve@D@f@xD, xD 0, xD
88x → −1<<
A função f possui o ponto crítico x = -1.
A função f não possui o ponto crítico (real).
∗L
18
Rijo Cal 1 Capitulo 8.nb
19. y = Hx - 1L ‰x .
In[46]:=
In[48]:=
H∗ Definição da função dada ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Hx − 1L x
H∗ Gráfico da função f HxL
Plot@f@xD, 8x, −3, 2<D;
∗L
0.75
0.5
0.25
-3
-2
-1
1
2
-0.25
-0.5
-0.75
-1
In[49]:=
Out[49]=
H∗ Determinação dos pontos críticos
Solve@D@f@xD, xD 0, xD
∗L
88x → 0<<
A função f possui o ponto crítico x = 0.
8.2 O Teorema do Valor Médio
Teorema de Rolle. Seja f uma função definida e contínua num intervalo fechado [a, b], derivável nos pontos internos,
tal que f(a) = f(b). Então existe um ponto c entre a e b onde a derivada se anula: f'(x) = 0.
Teorema do Valor Médio. Seja f uma função definida e contínua num intervalo fechado [a, b], derivável nos pontos
internos. Então existe pelo menos um ponto c compreendido entre a e b tal que f(a) - f(b) = f'(c)(b - a).
Funções crescentes e decrescentes
Teorema. Seja f uma função definida e contínua num intervalo fechado [a, b], e derivável nos pontos internos. Então f
é crescente se f ' (x) > 0 e decescente se f ' (x) < 0 para todo x em (a, b).
Rijo Cal 1 Capitulo 8.nb
19
Teste das derivadas primeira e segunda
Teste da derivada primeira. Seja f uma função com pontos críticos x0 , de sorte que f (x0 ) = 0. Se f ' (x) for positiva
à esquerda e negativa à direita de x0 , então x0 será ponto de máximo de f (x0 ). Ao contrário, se f ' (x) for negativa à
esquerda e positiva à direita de x0 então x0 será um ponto de mínimo de f (x).
Teste da derivada segunda. Seja f uma função com ponto crítico em x0 , tal que f ' (x) seja contínua num intervalo
(x0 - d, x0 + d). Então x0 será ponto de máximo se f '' Hx0 L < 0 e ponto de mínimo se f '' Hx0 L > 0 .
Exemplo 2.
Determinar os pontos de máximo e de mínimo da função
f HxL = x2 - 2 x - 1 em 0 § x § 3.
In[71]:=
In[76]:=
H∗ A função f HxL ∗L
Clear@x, fD
f@x_D := x2 − 2 x − 1
H∗ Gráfico da função f HxL ∗L
Plot@f@xD, 8x, 0, 4<, PlotRange → 8−3, 6<D;
6
4
2
1
2
3
4
-2
In[58]:=
Out[58]=
In[59]:=
Out[59]=
H∗ Determonação dos pontos críticos ∗L
Solve@f '@xD 0, xD
88x → 1<<
H∗ Segunda derivada no ponto crítico x = 1 ∗L
f ''@xD ê. x → 1
2
A função tem máximo absoluto igual a 5 no extremo x = 0, e mínimo absoluto igual a -4 no ponto crítico x = 3.
Exemplo 3.
Determinar os pontos de máximo e de mínimo da função
f HxL = x3 - 1 em [-1, 1].
In[86]:=
H∗ A função f HxL
Clear@x, fD
f@x_D := x3 − 1
∗L
20
Rijo Cal 1 Capitulo 8.nb
In[84]:=
H∗ Gráfico da função f HxL ∗L
Plot@f@xD, 8x, −1, 1<, PlotRange → 8−2, 0.5<D;
0.5
-1
-0.5
0.5
1
-0.5
-1
-1.5
-2
In[85]:=
Out[85]=
In[88]:=
Out[88]=
In[89]:=
H∗ Determonação dos pontos críticos ∗L
Solve@f '@xD 0, xD
88x → 0<, 8x → 0<<
H∗ Segunda derivada no ponto crítico x = 0 ∗L
f ''@xD ê. x → 0
0
f@xD ê. x → −1
f@xD ê. x → 1
Out[89]=
−2
Out[90]=
0
O ponto crítico x = 0 é um ponto de inflexão. A função tem máximo absoluto igual a 0 no extremo x = 1, e mínimo absoluto igual a 2 no extremo x = -1. A mesma função, considerada em toda a reta , não tem máximo nem mínimo, pois ela
tende a ± ¶ conforme x Ø ± ¶, respectivamente.
Exemplo 4.
Determinar os pontos de máximo e de mínimo da função
f HxL = x3 - x em [-1, 1].
In[91]:=
H∗ A função f HxL
Clear@x, fD
f@x_D := x3 − x
∗L
Rijo Cal 1 Capitulo 8.nb
In[95]:=
21
H∗ Gráfico da função f HxL
Plot@f@xD, 8x, −1, 1<D;
∗L
0.4
0.2
-1
-0.5
0.5
1
-0.2
-0.4
In[96]:=
Out[96]=
In[97]:=
Out[97]=
Out[98]=
H∗ Determonação dos pontos críticos ∗L
Solve@f '@xD 0, xD
1
1
99x → − è!!! =, 9x → è!!! ==
3
3
H∗ Segunda derivada nos pontos críticos ∗L
è!!!!
f ''@xD ê. x → −1 ë 3
è!!!!
f ''@xD ê. x → 1 ë 3
è!!!
−2 3
è!!!
2 3
è!!!
è!!!
Portanto, x = -1 ë 3 e x = 1 ë 3 são pontos de máximo e de mínimo, respectivamente. Eles são também pontos de
máximo e mínimo absolutos. A mesma função na reta não tem máximo nem mínimo absolutos, visto que ela tende a ± ¶,
conforme x tende a ± ¶, respectivamente. Veja o gráfico abaixo.
In[99]:=
H∗ Gráfico da função f HxL definda na reta
Plot@f@xD, 8x, −5, 5<D;
∗L
1.5
1
0.5
-4
-2
2
4
-0.5
-1
-1.5
Exemplo 5.
f HxL = x4
è!!!!!!!!!!!!
x + 1 em x ¥ -1.
Determinar os pontos de máximo e de mínimo da função
22
In[100]:=
In[102]:=
Rijo Cal 1 Capitulo 8.nb
H∗ A função f HxL ∗L
Clear@x, fD
è!!!!!!!!!!!!!
f@x_D := x4 x + 1
H∗ Gráfico da função f HxL
Plot@f@xD, 8x, −1, 1<D;
∗L
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
-1
In[103]:=
Out[103]=
In[104]:=
-0.5
0.5
1
H∗ Determonação dos pontos críticos ∗L
Solve@f '@xD 0, xD
99x → −
8
=, 8x → 0<, 8x → 0<, 8x → 0<=
9
H∗ Segunda derivada nos pontos críticos ∗L
f ''@xD ê. x → 0
f ''@xD ê. x → −8 ê 9
Out[104]=
0
Out[105]=
−
256
27
O teste da segunda derivada não garante que o ponto cítico x = 0 seja de máximo ou de mínimo. Entretanto o ponto x = 0 ,e
um ponto de mínimo como mostra a figura. O outro ponto crítico igual a -8/9 é um ponto de máximo, visto que o valor da
segunda derivada é menor que zero.
Exercícios
Em cada um os Exercícios 13 a 37, determine os pontos críticos da função dada, indicando os que são de máximo e os
que são de mínimo. Determine os intervalos onde a função é crescente e onde é decrescente..
13. y = x2 - 2
In[107]:=
H∗ Definição da função dada ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x2 − 2
Rijo Cal 1 Capitulo 8.nb
In[114]:=
23
H∗ Gráfico da função f HxL ∗L
Plot@f@xD, 8x, −3, 3<, PlotRange → 8−3, 2<D;
2
1
-3
-2
-1
1
2
3
-1
-2
-3
In[115]:=
Out[115]=
In[116]:=
Out[116]=
H∗ Determinação dos pontos críticos
Solve@D@f@xD, xD 0, xD
∗L
88x → 0<<
H∗ Segunda derivada no ponto crítico x = 0 ∗L
f ''@xD ê. x → 0
2
O ponto x = 0 é um ponto de mínimo. A função é decescente no intervalo x < 0 e é crescente no intervalo x > 0.
14. y = x3
In[117]:=
In[120]:=
H∗ Definição da função dada ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x3
H∗ Gráfico da função f HxL ∗L
Plot@f@xD, 8x, −3, 3<, PlotRange → 8−3, 3<D;
3
2
1
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
2
3
24
In[121]:=
Out[121]=
In[122]:=
Out[122]=
Rijo Cal 1 Capitulo 8.nb
H∗ Determinação dos pontos críticos
Solve@D@f@xD, xD 0, xD
∗L
88x → 0<, 8x → 0<<
H∗ Segunda derivada no ponto crítico x = 0 ∗L
f ''@xD ê. x → 0
0
A função não tem máximo nem mínimo na reta. A função é sempre crescente.
15. y = -2 x2 + 3 x + 2
In[123]:=
In[128]:=
H∗ Definição da função dada ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := −2 x2 + 3 x + 2
H∗ Gráfico da função f HxL ∗L
Plot@f@xD, 8x, −1, 3<, PlotRange → 8−1, 4<D;
4
3
2
1
-1
1
2
3
-1
In[129]:=
Out[129]=
In[130]:=
Out[130]=
H∗ Determinação dos pontos críticos
Solve@D@f@xD, xD 0, xD
99x →
∗L
3
==
4
H∗ Segunda derivada no ponto crítico x = 0 ∗L
f ''@xD ê. x → 3 ê 4
−4
O ponto x = 3/4 é um ponto de máximo absoluto. A função é crescente no intervalo x < 3/4 e é decrescente no intervalo x
> 3/4.
16. y = x4
In[131]:=
H∗ Definição da função dada ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x4
Rijo Cal 1 Capitulo 8.nb
In[135]:=
25
H∗ Gráfico da função f HxL ∗L
Plot@f@xD, 8x, −2, 2<, PlotRange → 8−1, 2<D;
2
1.5
1
0.5
-2
-1
1
2
-0.5
-1
In[136]:=
Out[136]=
In[137]:=
Out[137]=
H∗ Determinação dos pontos críticos
Solve@D@f@xD, xD 0, xD
∗L
88x → 0<, 8x → 0<, 8x → 0<<
H∗ Segunda derivada no ponto crítico x = 0 ∗L
f ''@xD ê. x → 0
0
O ponto x = 0 é um ponto de mínimo absoluto, visto que a função é decescente no intervalo x < 0 e é crescente no intervalo x < 0.
17. y = x3 - 3 x2 + 3 x - 1
In[138]:=
In[145]:=
H∗ Definição da função dada ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x3 − 3 x2 + 3 x − 1
H∗ Gráfico da função f HxL ∗L
Plot@f@xD, 8x, −1, 3<, PlotRange → 8−3, 2<D;
2
1
-1
1
2
3
-1
-2
-3
In[146]:=
Out[146]=
H∗ Determinação dos pontos críticos
Solve@D@f@xD, xD 0, xD
88x → 1<, 8x → 1<<
∗L
26
In[147]:=
Out[147]=
Rijo Cal 1 Capitulo 8.nb
H∗ Segunda derivada no ponto crítico x = 1 ∗L
f ''@xD ê. x → 1
0
O ponto x = 0 é um ponto de inflexão. A função é crescente em toda reta.
18. y = x3 - 3 x2 + 3 x - 1
In[148]:=
In[156]:=
H∗ Definição da função dada ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x3 + 6 x2 + 12 x + 7
H∗ Gráfico da função f HxL
Plot@f@xD, 8x, −5, 1<D;
∗L
-0.4
-0.6
-0.8
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1.2
-1.4
-1.6
In[157]:=
Out[157]=
In[158]:=
Out[158]=
H∗ Determinação dos pontos críticos
Solve@D@f@xD, xD 0, xD
∗L
88x → −2<, 8x → −2<<
H∗ Segunda derivada no ponto crítico x = 1 ∗L
f ''@xD ê. x → −2
0
O ponto x = 0 é um ponto de inflexão. A função é crescente em toda reta.
19. y = 2 x3 + 3 x2 - 36 x
In[165]:=
H∗ Definição da função dada ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := 2 x3 + 3 x2 − 36 x
Rijo Cal 1 Capitulo 8.nb
In[168]:=
27
H∗ Gráfico da função f HxL
Plot@f@xD, 8x, −6, 6<D;
∗L
300
200
100
-6
-4
-2
2
4
6
-100
In[169]:=
Out[169]=
In[170]:=
H∗ Determinação dos pontos críticos
Solve@D@f@xD, xD 0, xD
∗L
88x → −3<, 8x → 2<<
H∗ Segunda derivada nos pontos críticos x = −3
f ''@xD ê. x → −3
f ''@xD ê. x → 2
Out[170]=
−30
Out[171]=
30
x = 2∗L
O ponto x = -3 é um ponto de máximo relativo e x = 30 é um ponto de mínimo relativo. A função não tem nem máximo
nem mínimo absolutos.
20. y = 7 - 15 x + 6 x2 - x3
In[172]:=
In[177]:=
H∗ Definição da função dada ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := 7 − 15 x + 6 x2 − x3
H∗ Gráfico da função f HxL
Plot@f@xD, 8x, −4, 8<D;
∗L
200
100
-4
-2
2
-100
-200
4
6
8
28
In[178]:=
Out[178]=
Rijo Cal 1 Capitulo 8.nb
H∗ Determinação dos pontos críticos
Solve@D@f@xD, xD 0, xD
∗L
88x → 2 − <, 8x → 2 + <<
A função dada não tem máximo nem mínimo. Ela é sempre decrescemte passando de +¶ em x = - ¶ para -¶ em x = ¶.
21. y = x Hx - 2L2
In[179]:=
In[182]:=
H∗ Definição da função dada ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x Hx − 2L2
H∗ Gráfico da função f HxL
Plot@f@xD, 8x, −2, 4<D;
∗L
3
2
1
-2
-1
1
2
3
4
-1
In[183]:=
Out[183]=
In[184]:=
H∗ Determinação dos pontos críticos
Solve@D@f@xD, xD 0, xD
99x →
∗L
2
=, 8x → 2<=
3
H∗ Segunda derivada nos pontos críticos x = −3
f ''@xD ê. x → 2 ê 3
f ''@xD ê. x → 2
Out[184]=
−4
Out[185]=
4
x = 2∗L
O ponto x = 2/3 é um ponto de máximo relativo e x = 2 é um ponto de mínimo relativo. A função não tem máximo nem
mínimo absolutos.
22. y = cos 5 x
In[246]:=
H∗ Definição da função dada ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Cos@5 xD
Rijo Cal 1 Capitulo 8.nb
In[190]:=
29
H∗ Gráfico da função f HxL
Plot@f@xD, 8x, −π, π<D;
∗L
1
0.5
-3
-2
-1
1
2
3
-0.5
-1
In[248]:=
H∗ Gráfico da derivada da função f HxL
Plot@f '@xD, 8x, −π, π<D;
∗L
4
2
-3
-2
-1
1
2
3
-2
-4
Os ponto x = (2k - 1)p/5 são pontos de mínimo absoluto e x = 2kp/5 são pontos de máximo absoluto.
23. y = sen 3 x
In[242]:=
In[244]:=
H∗ Definição da função dada ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Sin@3 xD
H∗ Gráfico da função f HxL
Plot@f@xD, 8x, −π, π<D;
∗L
1
0.5
-3
-2
-1
1
-0.5
-1
2
3
30
In[245]:=
Rijo Cal 1 Capitulo 8.nb
H∗ Gráfico da derivada da função f HxL
Plot@f '@xD, 8x, −π, π<D;
∗L
3
2
1
-3
-2
-1
1
2
3
-1
-2
-3
Os ponto x = (2k - 1)p/3 são pontos de mínimo absoluto e x = 2kp/3 são pontos de máximo absoluto.
24. y = x + 1 ê x
In[196]:=
In[202]:=
H∗ Definição da função dada ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x + 1 ê x
H∗ Gráfico da função f HxL
Plot@f@xD, 8x, −7, 14<D;
∗L
15
10
5
-4
-2
2
4
-5
-10
-15
In[203]:=
Out[203]=
In[204]:=
H∗ Determinação dos pontos críticos
Solve@D@f@xD, xD 0, xD
∗L
88x → −1<, 8x → 1<<
H∗ Segunda derivada no ponto crítico x = 1 ∗L
f ''@xD ê. x → −1
f ''@xD ê. x → 1
Out[204]=
−2
Out[205]=
2
O ponto x = -1 é um ponto de máximo relativo e o ponto x = 1 é um ponto de mínimo relativo. A função não tem máximo
nem mínimo absolutos.
25. y = x ê Hx2 + 1L
Rijo Cal 1 Capitulo 8.nb
In[215]:=
In[213]:=
31
H∗ Definição da função dada ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x ê Hx2 + 1L
H∗ Gráfico da função f HxL
Plot@f@xD, 8x, −6, 6<D;
∗L
0.4
0.2
-6
-4
-2
2
4
6
-0.2
-0.4
In[214]:=
Out[214]=
In[217]:=
Out[217]=
Out[218]=
H∗ Determinação dos pontos críticos
Solve@D@f@xD, xD 0, xD
∗L
88x → −1<, 8x → 1<<
H∗ Segunda derivada no ponto crítico x = 1 ∗L
f ''@xD ê. x → −1
f ''@xD ê. x → 1
1
2
−
1
2
O ponto x = -1 é um ponto de máximo absoluto e o ponto x = 1 é um ponto de mínimo absoluto.
26. y = Hx2 - 1L ê Hx2 + 1L
In[219]:=
H∗ Definição da função dada ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Hx2 − 1L ê Hx2 + 1L
32
In[222]:=
Rijo Cal 1 Capitulo 8.nb
H∗ Gráfico da função f HxL
Plot@f@xD, 8x, −10, 10<D;
∗L
1
0.5
-10
-5
5
10
-0.5
-1
In[223]:=
Out[223]=
In[224]:=
Out[224]=
In[226]:=
H∗ Determinação dos pontos críticos
Solve@D@f@xD, xD 0, xD
∗L
88x → 0<<
H∗ Segunda derivada no ponto crítico x = 1 ∗L
f ''@xD ê. x → 0
4
Limit@f@xD, x → −∞D
Limit@f@xD, x → ∞D
Out[226]=
1
Out[227]=
1
O ponto x = 0 é um ponto de mínimo absoluto. A função não tem máximo.
27. y = x2 Hx2 - 1L
In[228]:=
In[231]:=
H∗ Definição da função dada ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x2 Hx2 − 1L
H∗ Gráfico da função f HxL
Plot@f@xD, 8x, −2, 2<D;
∗L
0.3
0.2
0.1
-2
-1
1
-0.1
-0.2
2
Rijo Cal 1 Capitulo 8.nb
In[232]:=
Out[232]=
In[233]:=
33
H∗ Determinação dos pontos críticos
Solve@D@f@xD, xD 0, xD
∗L
1
1
98x → 0<, 9x → − è!!! =, 9x → è!!! ==
2
2
H∗ Segunda derivada no ponto crítico x = 1 ∗L
f ''@xD ê. x → 0
è!!!!
f ''@xD ê. x → −1 ë 2
è!!!!
f ''@xD ê. x → 1 ë 2
Out[233]=
−2
Out[234]=
4
Out[235]=
4
O ponto crítico x = 0 é um ponto de máximo relativo e os pontos críticos x = -1 ë
absoluto.. A função não tem máximo absoluto.
28. y = sen x + cos x
In[238]:=
In[240]:=
H∗ Definição da função dada ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Sin@xD + Cos@xD
H∗ Gráfico da função f HxL
Plot@f@xD, 8x, −2 π, 2 π<D;
∗L
1
0.5
-6
-4
-2
-0.5
-1
2
4
6
è!!!
è!!!
2 e x = 1 ë 2 são pontos de mínimos
34
Rijo Cal 1 Capitulo 8.nb
In[241]:=
H∗ Gráfico da derivada da função f HxL
Plot@f '@xD, 8x, −2 π, 2 π<D;
∗L
1
0.5
-6
-4
-2
-0.5
2
4
6
-1
Os ponto críticos x = 2kp + p/4 são de maxímo absolutos e os pontos críticoa kp + p/4 são pontos de mínimo absoluto.
29. y = x2 - ln x
In[270]:=
In[268]:=
H∗ Definição da função dada ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x2 − Log@xD
H∗ Gráfico da função f HxL
Plot@f@xD, 8x, 0, 5<D;
∗L
20
15
10
5
1
In[272]:=
Out[272]=
In[273]:=
Out[273]=
3
4
5
H∗ Determinação dos pontos críticos
Solve@D@f@xD, xD 0, xD
∗L
1
1
99x → − è!!! =, 9x → è!!! ==
2
2
H∗ Segunda derivada no ponto crítico x = 1 ∗L
è!!!!
f ''@xD ê. x → 1 ë 2
4
O ponto crítico x = 1 ë
30. y =
2
è!!!
è!!!
x + 1ë x
è!!!
2 é um ponto de mínimo absoluto. A função não tem máximo.
Rijo Cal 1 Capitulo 8.nb
In[276]:=
In[279]:=
35
H∗ Definição da função dada ∗L
Clear@x, fD;
è!!!!
è!!!!
f@x_D :=
x +1ë x
H∗ Gráfico da função f HxL
Plot@f@xD, 8x, 0, 5<D;
∗L
5
4.5
4
3.5
3
2.5
1
In[280]:=
Out[280]=
In[281]:=
Out[281]=
2
3
4
5
H∗ Determinação dos pontos críticos
Solve@D@f@xD, xD 0, xD
∗L
88x → 1<<
H∗ Segunda derivada no ponto crítico x = 1 ∗L
f ''@xD ê. x → 1
1
2
O ponto crítico x = 1 é um ponto de mínimo absoluto. A função não tem máximo.
31. y = x ‰x
In[287]:=
In[291]:=
H∗ Definição da função dada ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x x
H∗ Gráfico da função f HxL
Plot@f@xD, 8x, −3, 2<D;
∗L
0.8
0.6
0.4
0.2
-3
-2
-1
1
-0.2
-0.4
2
36
In[292]:=
Out[292]=
In[293]:=
Out[293]=
Rijo Cal 1 Capitulo 8.nb
H∗ Determinação dos pontos críticos
Solve@D@f@xD, xD 0, xD
∗L
88x → −1<<
H∗ Segunda derivada no ponto crítico x = −1 ∗L
f ''@xD ê. x → −1
1
O ponto crítico x = 1 é um ponto de mínimo absoluto. A função não tem máximo.
32. y = x ‰-x
In[294]:=
In[297]:=
H∗ Definição da função dada ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x −x
H∗ Gráfico da função f HxL
Plot@f@xD, 8x, −2, 3<D;
∗L
0.25
-2
-1
1
2
3
-0.25
-0.5
-0.75
-1
-1.25
In[298]:=
Out[298]=
In[299]:=
Out[299]=
H∗ Determinação dos pontos críticos
Solve@D@f@xD, xD 0, xD
∗L
88x → 1<<
H∗ Segunda derivada no ponto crítico x = 1 ∗L
f ''@xD ê. x → 1
−
1
O ponto crítico x = 1 é um ponto de máximo absoluto. A função não tem mínimo.
33. y = x2 ‰-x
In[300]:=
H∗ Definição da função dada ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x2 −x
Rijo Cal 1 Capitulo 8.nb
In[306]:=
37
H∗ Gráfico da função f HxL
Plot@f@xD, 8x, −2, 6<D;
∗L
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-2
In[307]:=
Out[307]=
In[310]:=
2
4
6
H∗ Determinação dos pontos críticos
Solve@D@f@xD, xD 0, xD
∗L
88x → 0<, 8x → 2<<
H∗ Segunda derivada nos pontos críticos x = 0 e x = 2 ∗L
f ''@xD ê. x → 0
f ''@xD ê. x → 2
Out[310]=
2
Out[311]=
−
2
2
O ponto crítico x = 0 é um ponto de mínimo relativo e o ponto crítico x = 2 é um ponto de máximo relativo.. A função não
tem máximo nem mínimo absolutos.
34. y = Hx + 1L ê Hx - 1L
In[312]:=
In[314]:=
H∗ Definição da função dada ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Hx + 1L ê Hx − 1L
H∗ Gráfico da função f HxL
Plot@f@xD, 8x, −2, 4<D;
∗L
60
40
20
-2
-1
1
-20
-40
-60
2
3
4
38
In[315]:=
Out[315]=
Rijo Cal 1 Capitulo 8.nb
H∗ Determinação dos pontos críticos
Solve@D@f@xD, xD 0, xD
∗L
8<
A função não tem máximo e nem mínimo relativos ou absolutos.
35. y = Hx - 1L ê Hx + 1L
In[316]:=
In[319]:=
H∗ Definição da função dada ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Hx − 1L ê Hx + 1L
H∗ Gráfico da função f HxL
Plot@f@xD, 8x, −4, 2<D;
∗L
60
40
20
-4
-3
-2
-1
1
2
-20
-40
-60
In[320]:=
Out[320]=
H∗ Determinação dos pontos críticos
Solve@D@f@xD, xD 0, xD
∗L
8<
A função não tem máximo e nem mínimo relativos ou absolutos.
36. y = ln x ê x
In[334]:=
In[349]:=
H∗ Definição da função dada ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Log@xD ê x
H∗ Gráfico da função f HxL ∗L
Plot@f@xD, 8x, 0, 5<, PlotRange → 8−1, 1<D;
1
0.75
0.5
0.25
-0.25
-0.5
-0.75
-1
1
2
3
4
5
Rijo Cal 1 Capitulo 8.nb
In[339]:=
Out[339]=
In[340]:=
Out[340]=
39
H∗ Determinação dos pontos críticos
Solve@f '@xD 0, xD
∗L
88x → <<
H∗ Segunda derivada nos pontos críticos x = 0 e x = 2 ∗L
f ''@xD ê. x →
−
1
3
3
è!!!!!
x2 em x > 0.
O ponto crítico x = ‰ é um ponto de máximo absoluto. A função não tem mínimo.
37. y = Hx - 1L
In[350]:=
In[352]:=
H∗ Definição da função dada ∗L
Clear@x, fD;
3
!
è!!!!!
f@x_D := Hx − 1L x2
H∗ Gráfico da função f HxL
Plot@f@xD, 8x, 0, 2<D;
∗L
1.5
1
0.5
0.5
In[353]:=
Out[353]=
In[355]:=
Out[355]=
1
1.5
2
H∗ Determinação dos pontos críticos
Solve@f '@xD 0, xD
99x →
∗L
2
==
5
H∗ Segunda derivada nos pontos críticos x = 0 e x = 2 ∗L
f ''@xD ê. x → 2 ê 5 êê Simplify
5 5 1ê3
J N
3 2
O ponto crítico x = 2 ê 5 é um ponto de m,inimo absoluto. A função não tem máximo..
CAPÍTULO 9
Comportamento das funções
Iniciar o Mathematica (MathKernel)
In[1]:=
Out[1]=
H∗ Inicia o Mathematica HMathKernelL ∗L
2+2
4
9.1 Regra de L'Hôpital
Teorema (do Valor Médio Generalizado). Sejam f e g funções contínuas num intervalo [a, b] e deriváveis no
intervalo (a, b). Suponhamos que g '(x) ∫ 0 e que g(b) - g(a) ∫ 0. Então existe um ponto c em (a, b), tal que
f HbL - f HaL
f ' HcL
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ .
gHbL - gHaL
g ' HcL
Regra de L'Hôpital no caso 0/0. Sejam f e g funções contínuas num ponto x = a, g '(x) ∫ 0 num intervalo contendo
a internamente ou como um dos seus extremos, e f(a) = g(a) = 0 Suponhamos ainda existe o limite do quociente f
'(x)/g '(x) com x Ø a. Então existe também o limite de f/g e
f ' HxL
f HxL
limx Ø a ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅ = limx Ø a ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ .
gHbL
g ' HxL
Interpretação geométrica
Varios exemplos
Exemplo 1.
In[2]:=
Vamos aplicar a regra de L' Hôpital ao cálculo do limite de H11 x - 5 sen xL ê 2 x com x Ø 0.
H∗ As função f HxL e g HxL
Clear@x, f, gD
f@x_D := 11 x − 5 Sin@xD
g@x_D := 2 x
∗L
2
Rijo Cal 1 Capitulo 9.nb
In[5]:=
Out[5]=
H∗ Regra de H' Lôpital ∗L
Limit@f '@xD ê g '@xD, x → 0D
3
Exemplo 2.
In[34]:=
In[37]:=
H∗ As função f HxL, g HxL e h HxL
Clear@x, f, g, hD
f@x_D := Exp@xD − Sin@xD − Cos@xD
g@x_D := Sin@xD ^ 2
0
Out[38]=
0
Out[39]=
In[40]:=
H∗ O quociente das primeiras derivadas de f HxL e g HxL ∗L
f '@xD ê g '@xD
1
Csc@xD Sec@xD H
2
0
Out[41]=
0
In[43]:=
Out[43]=
In[44]:=
Out[44]=
− Cos@xD + Sin@xDL
H∗ O quociente das segundas derivadas de f HxL e g HxL ∗L
h@x_D := f ''@xD ê g ''@xD êê Simplify
H∗ Limites de f'' HxLêg'' HxL com x → 0 ∗L
Limit@h@xD, x → 0D
1
H∗ Limites de h HxL com x → 0 ∗L
Limit@f@xD ê g@xD, x → 0D
1
Exemplo 3.
In[49]:=
x
H∗ Limites de f' HxL e g' HxL com x → 0 ∗L
Limit@f '@xD, x → 0D
Limit@g '@xD, x → 0D
Out[40]=
In[42]:=
∗L
H∗ Limites de f HxL e g HxL com x → 0 ∗L
Limit@f@xD, x → 0D
Limit@g@xD, x → 0D
Out[37]=
In[39]:=
Vamos aplicar a regra de L' Hôpital ao cálculo do limite de H ‰x - sen x - cosxL ê sen2 x com x Ø 0.
Vamos aplicar a regra de L' Hôpital ao cálculo do limite de x2 senH1 ê xL ê sen x com x Ø 0.
H∗ As função f HxL, g HxL
Clear@x, f, g, hD
f@x_D := x2 Sin@1 ê xD
g@x_D := Sin@xD
∗L
Rijo Cal 1 Capitulo 9.nb
In[52]:=
H∗ Limites de f HxL e g HxL com x → 0 ∗L
Limit@f@xD, x → 0D
Limit@g@xD, x → 0D
Out[52]=
0
Out[53]=
0
In[54]:=
Out[54]=
In[55]:=
3
H∗ O quociente das primeiras derivadas de f HxL e g HxL ∗L
f '@xD ê g '@xD
Sec@xD J−CosA
1
1
E + 2 x SinA EN
x
x
H∗ Limites de f' HxL e g' HxL com x → 0 ∗L
Limit@f '@xD, x → 0D
Limit@g '@xD, x → 0D
Out[55]=
Interval@8−1, 1<D
Out[56]=
1
In[57]:=
Out[57]=
H∗ Limites de h HxL com x → 0 ∗L
Limit@f@xD ê g@xD, x → 0D
0
A mesma regra se aplica quando a = +¶ ou quando a = -¶.
Exemplo 4. Eis um exemplo muito simples de ¶/¶. Vamos aplicar a regra de L' Hôpital ao cálculo do limite de
H10 x2 - 7 x + 3L ê H2 x2 + 9 x - 5L com x Ø ¶.
In[3]:=
In[6]:=
H∗ As função f HxL, g HxL
Clear@x, f, g, hD
f@x_D := 10 x2 − 7 x + 3
g@x_D := 2 x2 + 9 x − 5
H∗ Limites de f HxL e g HxL com x → ∞ ∗L
Limit@f@xD, x → ∞D
Limit@g@xD, x → ∞D
Out[6]=
∞
Out[7]=
∞
In[8]:=
Out[8]=
∗L
H∗ O quociente das primeiras derivadas de f HxL e g HxL ∗L
f '@xD ê g '@xD
−7 + 20 x
9+4x
4
Rijo Cal 1 Capitulo 9.nb
In[13]:=
H∗ Limites de f' HxL e g' HxL com x → ∞ ∗L
Limit@f '@xD, x → ∞D
Limit@g '@xD, x → ∞D
Out[13]=
∞
Out[14]=
∞
In[15]:=
Out[15]=
In[12]:=
Out[12]=
H∗ O quociente das segundas derivadas de f HxL e g HxL ∗L
f ''@xD ê g ''@xD
5
H∗ Limites de h HxL com x → ∞ ∗L
Limit@f@xD ê g@xD, x → ∞D
5
Indeterminação do tipo ¶ - ¶ geralmente se reduzem ao tipo 0/0.. Vamos aplicar a regra de L'
Hôpital ao cálculo do limite de 1 ê x - 1 ê HlnHx + 1LL com x Ø 0..
Exemplo 5.
In[17]:=
In[21]:=
Out[21]=
H∗ As função f HxL, g HxL
Clear@x, f, g, hD
f@x_D := 1 ê x
g@x_D := 1 ê HLog@x + 1DL
∗L
H∗ Limites de h HxL com x → ∞ ∗L
Limit@f@xD − g@xD, x → 0D
−
1
2
A lentidão do logaritmo
Exemplo 6. Limite de ln x ê x com x Ø ¶.
In[7]:=
In[25]:=
Out[25]=
H∗ As função f HxL, g HxL
Clear@x, f, g, hD
f@x_D := Log@xD
g@x_D := x
∗L
H∗ Limites de h HxL com x → ∞ ∗L
Limit@f@xD ê g@xD, x → ∞D
0
Rijo Cal 1 Capitulo 9.nb
In[35]:=
5
[email protected] , x.5 , x, Log@xD<, 8x, 0.01, 10<D;
6
4
2
2
4
6
-2
-4
Exemplo 7. Limite de xr ln x com x Ø 0.
In[37]:=
In[39]:=
Out[39]=
H∗ As função f HxL, g HxL
Clear@x, f, g, hD
f@x_D := xr Log@xD
∗L
H∗ Limites de h HxL com x → ∞ ∗L
Limit@f@xD, x → 0D
Indeterminate
Exemplo 8. Limite de ‰x ê xn com x Ø 0.
In[40]:=
In[45]:=
Out[46]=
H∗ As função f HxL, g HxL
Clear@x, fD
f@x_D := x ê xn
H∗ Limites de h HxL com x → ∞ ∗L
n = 100;
Limit@f@xD, x → ∞D
∞
Exemplo 9. Limite de Hcos 3 xL1êx
In[53]:=
∗L
2
com x Ø 0.
H∗ As função f HxL, g HxL
Clear@x, fD
f@x_D := HCos@3 xDL1êx
∗L
2
In[55]:=
Out[55]=
H∗ Limites de h HxL com x → ∞ ∗L
Limit@f@xD, x → 0D
1
9ê2
8
10
6
Rijo Cal 1 Capitulo 9.nb
Exemplo 10. Limite de xx com x Ø 0.
In[57]:=
In[59]:=
Out[59]=
H∗ As função f HxL, g HxL
Clear@x, fD
f@x_D := xx
∗L
H∗ Limites de h HxL com x → ∞ ∗L
Limit@f@xD, x → 0D
1
Exemplo 11. Limite de Htan xLcot x com x Ø p ê 2.
In[60]:=
In[62]:=
Out[62]=
H∗ As função f HxL, g HxL
Clear@x, fD
f@x_D := HTan@xDLCot@xD
∗L
H∗ Limites de f HxL com x → ∞ ∗L
Limit@f@xD, x → π ê 2D
1
O numero e
In[63]:=
In[65]:=
Out[65]=
In[66]:=
In[68]:=
Out[68]=
In[69]:=
Out[69]=
H∗ A função H1 + xL1êx ∗L
Clear@x, fD
f@x_D := H1 + xL1êx
H∗ Limites de f HxL com x → 0 ∗L
Limit@f@xD, x → 0D
H∗ A função H1 + 1êxLx ∗L
Clear@x, fD
f@x_D := H1 + 1 ê xLx
H∗ Limites de f HxL com x → +∞ ∗L
Limit@f@xD, x → ∞D
H∗ Limites de f HxL com x → −∞ ∗L
Limit@f@xD, x → −∞D
CAPÍTULO 10
O Cálculo Integral
Iniciar o Mathematica (MathKernel)
In[1]:=
Out[1]=
H∗ Inicia o Mathematica HMathKernelL ∗L
2+2
4
10.1 Primitivas
Dizemos que uma função F é a primitiva de uma outra função f se esta é a derivada daquela: F ' = f . Por exemplos:
x3 é a primitiva de 3
è!!!
è!!!
x é a primitiva de 1/ (2 x )
sen x é a primitiva de cos x
arcsen x é a primitiva de 1 ë
è!!!!!!!!!!!!!!2!
1- x
Como a derivada de uma constante C é sempre zero, se F é aprimitiva de f, então F + C tam,bém é. De fato
(F (x) + C ) ' = F ' (x) = f (x)
Para achar a primitiva genérica de uma função f, basta achar uma primitiva particular F. A primitiva mais geral é da
forma G(x) = F(x) + C, onde C é uma constante.
Integrate[f, x] determina a primitiva de f com respeito a x.
Exercícios
Determine as primitivas das funções nos Exercícios 1 a 33.
2
Rijo Cal 1 Capitulo 10.nb
1. 4x3 - 3 x2 + 1.
In[65]:=
Out[65]=
H∗ A primitiva da funçào dada ∗L
Integrate@4 x3 − 3 x2 + 1, xD + c
c + x − x3 + x4
A primitiva de 4 x3 - 3 x2 + 1 é x4 - x3 + x + c.
è!!!
2. 1 ë x .
In[66]:=
Out[66]=
H∗ A primitiva da funçào dada ∗L
è!!!!
IntegrateA1 ë x , xE + c
c+2
è!!!
x
A primitiva de 1 ë
3.
è!!!
x.
In[67]:=
Out[67]=
H∗ A primitiva da funçào dada ∗L
è!!!!
IntegrateA x , xE + c
c+
A primitiva de
4. x2ê3 .
In[68]:=
Out[68]=
è!!!
è!!!
x é 2 x + c.
2 x3ê2
3
è!!!
x é 2 ê 3 x3ê2 + c.
H∗ A primitiva da funçào dada ∗L
Integrate@x2ê3 , xD + c
c+
3 x5ê3
5
A primitiva de x2ê3 é 3 ê 5 x5ê3 + c.
5. x5ê3 .
In[69]:=
Out[69]=
H∗ A primitiva da funçào dada ∗L
Integrate@x5ê3 , xD + c
c+
3 x8ê3
8
A primitiva de x5ê3 é 3 ê 8 x8ê3 + c.
6. x-1ê3 .
In[70]:=
Out[70]=
H∗ A primitiva da funçào dada ∗L
Integrate@x−1ê3 , xD + c
c+
3 x2ê3
2
A primitiva de x-1ê3 é 3 ê 2 x2ê3 + c.
Rijo Cal 1 Capitulo 10.nb
7. 1 ê x.
In[71]:=
Out[71]=
H∗ A primitiva da funçào dada ∗L
Integrate@1 ê x, xD + c
c + Log@xD
A primitiva de 1 ê x é ln » x » + c.
è!!!
8. 1 ê x x .
In[72]:=
Out[72]=
H∗ A primitiva da funçào dada ∗L
è!!!!
IntegrateA1 ë Ix x M, xE + c
2
c − è!!!
x
A primitiva de 1 ë Ix
9. x
è!!!
x.
In[73]:=
Out[73]=
H∗ A primitiva da funçào dada ∗L
è!!!!
IntegrateAx x , xE + c
c+
2 x5ê2
5
A primitiva de x
10. 1 Hx - 1L.
In[74]:=
Out[74]=
è!!!
è!!!
x M é c - 2ë x
è!!!
x é 2 ê 5 x5ê2 + c.
H∗ A primitiva da funçào dada ∗L
Integrate@1 ê Hx − 1L, xD + c
c + Log@−1 + xD
A primitiva de 1 ê Hx - 1L é ln » x - 1 » + c.
11. 1 Hx + 3L.
In[75]:=
Out[75]=
H∗ A primitiva da funçào dada ∗L
Integrate@1 ê Hx + 3L, xD + c
c + Log@3 + xD
A primitiva de 1 ê Hx + 3L é ln » x + 3 » + c.
12. 3 ê H2 x - 1L.
In[76]:=
Out[76]=
H∗ A primitiva da funçào dada ∗L
Integrate@3 ê H2 x − 1L, xD + c
c+
3
Log@−1 + 2 xD
2
A primitiva de 3 ê H2 x - 1L é 3 ê 2 ln » 2 x - 1 » + c.
13. 1 ê Hx - aL2 .
3
4
Rijo Cal 1 Capitulo 10.nb
In[77]:=
Out[77]=
H∗ A primitiva da funçào dada ∗L
Integrate@1 ê Hx − aL2 , xD + c
c+
1
a−x
A primitiva de 1 ê Hx - aL2 é -1 H x - aL + c.
14. 1 ê Hx + aL2 .
In[79]:=
Out[79]=
H∗ A primitiva da funçào dada ∗L
Integrate@1 ê Hx + aL2 , xD + c
c−
1
a+x
Portanto, a primitiva de 1 ê Hx + aL2 é -1 H x + aL + c.
15. 1 ê H2 x + 1L2 .
In[80]:=
Out[80]=
H∗ A primitiva da funçào dada ∗L
Integrate@1 ê H2 x + 1L2 , xD + c
c+
1
−2 − 4 x
A primitiva de 1 ê H2 x + 1L3 é - 1 ê H4 x + 2L + c.
Portanto, a primitiva de 1 ê Hx + aL2 é -1 H x + aL + c.
16. 1 ê H3 x + aL4 .
In[81]:=
Out[81]=
H∗ A primitiva da funçào dada ∗L
Integrate@1 ê H3 x + aL4 , xD + c
c−
1
9 Ha + 3 xL3
A primitiva de 1 ê H2 x + 1L3 é 1 ê H9 H3 x + aL3 L + c.
17. 1 ê Ha x + bLr .
In[84]:=
Out[84]=
H∗ A primitiva da funçào dada ∗L
Integrate@1 ê Ha x + bLr , xD + c
c+
Hb + a xL1−r
a−ar
A primitiva de 1 ê Hax + bLr é 1 Ha x + bL1 - r ê Ha - a rL + c.
18. xr .
In[85]:=
Out[85]=
H∗ A primitiva da funçào dada ∗L
Integrate@xr , xD + c
c+
x1+r
1+r
A primitiva de xr é xr + 1 ê Hr + 1L + c.
Rijo Cal 1 Capitulo 10.nb
19. Ha x + bLr .
In[82]:=
Out[82]=
H∗ A primitiva da funçào dada ∗L
Integrate@Ha x + bLr , xD + c
c+
Hb + a xL1+r
a+ar
A primitiva de Hax + bLr é H a x + bLr + 1 ê Ha r + aL + c.
è!!!!!!!!!!!!!
x+ 1.
20.
In[86]:=
Out[86]=
H∗ A primitiva da funçào dada ∗L
è!!!!!!!!!!!!!
IntegrateA x + 1 , xE + c
c+
A primitiva de
2
H1 + xL3ê2
3
è!!!!!!!!!!!!!
x + 1 é H2 ê 3L H 1 + xL3ê2 + c.
21. sen k x .
In[83]:=
Out[83]=
H∗ A primitiva da funçào dada ∗L
Integrate@Sin@k xD, xD + c
c−
Cos@k xD
k
A primitiva de sen kx é - (1/k) cos k x + c.
22. cos k x .
In[87]:=
Out[87]=
H∗ A primitiva da funçào dada ∗L
Integrate@Cos@k xD, xD + c
c+
Sin@k xD
k
A primitiva de cos kx é (1/k) sen k x + c.
23. sec2 3 x.
In[88]:=
Out[88]=
H∗ A primitiva da funçào dada ∗L
Integrate@Sec@3 xD2 , xD + c
c+
1
Tan@3 xD
3
A primitiva de sec2 kx é (1/3) tan 3 x + c.
24. cosec2 Ha x + bL.
In[93]:=
Out[93]=
H∗ A primitiva da funçào dada ∗L
Integrate@Csc@a x + bD2 , xD + c
c−
Cot@b + a xD
a
A primitiva de cosec2 Ha x + bL é (1/3) - cot(a x + b)/a + c.
5
6
Rijo Cal 1 Capitulo 10.nb
25. senHw t - fL .
In[94]:=
Out[94]=
H∗ A primitiva da funçào dada ∗L
Integrate@Sin@ω t − φD, tD + c
c−
Cos@φ − t ωD
ω
A primitiva de senHw t - f L é cos(w t - f)/w + c.
è!!!!!!!!!!!!!!!
26. 1 ë 1 - x2 .
In[95]:=
Out[95]=
H∗ A primitiva da funçào dada ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!
IntegrateA1 ë 1 − x2 , xE + c
c + ArcSin@xD
A primitiva de 1 ë
27. 1 ë
è!!!!!!!!!!!!!!!!!
1 - 4 x2 .
In[96]:=
Out[96]=
H∗ A primitiva da funçào dada ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!!!
IntegrateA1 ë 1 − 4 x2 , xE + c
c+
1
ArcSin@2 xD
2
A primitiva de 1 ë
28. 1 ë
è!!!!!!!!!!!!!!!
1 - x2 é arcsen(x) + c.
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!
1 - 4 x2 é (1/2) arcsen(2 x) + c.
è!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!
1 - w2 t2 .
In[97]:=
Out[97]=
H∗ A primitiva da funçào dada ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
IntegrateA1 ë 1 − ω2 t2 , tE + c
c+
ArcSin@t ωD
ω
A primitiva de 1 ë
29. 1 ê H1 + x2 L.
In[98]:=
Out[98]=
è!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!
1 - w2 t2 é arcsen(w t) ê w + c.
H∗ A primitiva da funçào dada ∗L
Integrate@1 ê H1 + x2 L, xD + c
c + ArcTan@xD
A primitiva de 1 ë
è!!!!!!!!!!!!!!!
1 + x2 é arctan(x) + c.
30. 1 ê H1 + k x2 L.
In[99]:=
Out[99]=
H∗ A primitiva da funçào dada ∗L
Integrate@1 ê H1 + k xL2 , xD + c
c−
1
k H1 + k xL
A primitiva 1 ê H1 + k x2 L é 1/(k(1 + k x)) + c.
Rijo Cal 1 Capitulo 10.nb
31. 1 ë I … x …
In[103]:=
Out[103]=
è!!!!!!!!
!!!!!!
x2 - 1 M .
H∗ A primitiva da funçào dada ∗L
è!!!!!! è!!!!!!!!
!!!!!!
IntegrateA1 ë I x2
x2 − 1 M, xE + c
c−
1
x ArcTanA è!!!!!!!!
!!!!!! E
−1+x2
è!!!!!
!
x2
A primitiva de 1 ê … x …
32. 1 ë I … x …
In[104]:=
Out[104]=
è!!!!!!!!
!!!!!!!!!
k x2 - 1 M .
H∗ A primitiva da funçào dada ∗L
è!!!!!! è!!!!!!!!
!!!!!!!!!
IntegrateA1 ë I x2
k x2 − 1 M, xE + c
c−
1
x ArcTanA è!!!!!!!!
!!!!!!!!!! E
−1+k x2
è!!!!!
!
x2
A primitiva de 1 ê … x …
33. ln x.
In[105]:=
Out[105]=
è!!!!!!!!
!!!!!!!
è!!!!!!!!!!!!!!!
x2 - 1 é arctan I1 ë x2 - 1 M + c.
è!!!!!!!!
!!!!!!!
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!
x2 - 1 é arctan I1 ë k x2 - 1 M + c.
H∗ A primitiva da funçào dada ∗L
Integrate@Log@xD, xD + c
c − x + x Log@xD
A primitiva de ln x é ln x - x + c.
Determine as primitivas F das funções dadas nos Exercícios 34 a 37, satisfazendo as condições especificadas.
34. FHxL = x2 + 1 ê x2 tal que F (1) = 0..
In[106]:=
Out[106]=
In[107]:=
Out[107]=
H∗ A primitiva da funçào dada ∗L
Integrate@x2 + 1 ê x2 , xD + c
c−
1
x3
+
x
3
% ê. x → 1
−
2
+c
3
A primitiva de FHxL é x3 ê 3 - 1 ê x + 2 ê 3.
35. FHxL = cos 3 x - sen 3 x tal que F (0) = 0..
In[110]:=
Out[110]=
H∗ A primitiva da funçào dada ∗L
Integrate@Cos@3 xD − Sin@3 xD, xD + c
c+
1
1
Cos@3 xD +
Sin@3 xD
3
3
7
8
Rijo Cal 1 Capitulo 10.nb
In[111]:=
Out[111]=
% ê. x → 0
1
+c
3
A primitiva de FHxL é H1 ê 3L Hcos 3 x + sen 3 x - 1L.
è!!!!!!!!!!!!!!
è!!!!!!!!!!!!!
è!!!
36. FHxL = x + 1 + 1 ë x + 2 tal que F (0) = 2 .
In[118]:=
Out[118]=
In[119]:=
Out[119]=
In[120]:=
Out[120]=
H∗ A primitiva da funçào dada ∗L
è!!!!!!!!!!!!!
è!!!!!!!!!!!!!
IntegrateA x + 1 + 1 ë x + 2 , xE + c
c+
2
è!!!!!!!!!!
H1 + xL3ê2 + 2 2 + x
3
H∗ Determinação de F H0L ∗L
% ê. x → 0
2
è!!!
+2 2 +c
3
H∗ Determinação da constante c ∗L
è!!!!
SolveA%
2 , cE
99c →
1
è!!!
I−2 − 3 2 M==
3
A primitiva de FHxL é H2 ê 3L H1 + xL3ê2 + 2
è!!!!!!!!!!!!
è!!!
2 + x - H1 ê 3L I2 + 3 2 M
37. FHxL = 1 ê H1 + x2 L + x2 + 1 tal que F (0) = 1.
In[126]:=
Out[126]=
In[127]:=
Out[127]=
In[128]:=
Out[128]=
H∗ A primitiva da funçào dada ∗L
Integrate@1 ê H1 + x2 L + x2 + 1, xD + c
c+x+
x3
+ ArcTan@xD
3
H∗ Determinação de F H0L ∗L
% ê. x → 0
c
H∗ Determinação da constante c ∗L
Solve@%
1, cD
88c → 1<<
A primitiva de FHxL é arctan x + x3 ê 3 + x + 1
Rijo Cal 1 Capitulo 10.nb
10.2 O conceito de integral
A integral está ligada ao problema de determinar a área de uma figura plana delineada por uma curva qualquer.
In[173]:=
In[180]:=
h@x_D := −10 Hx − 1L ^ 2 + 4;
p1 =
Show@Plot@h@xD, 8x, 0.4, 1.6<, Axes → False, PlotStyle → [email protected]<,
Epilog → 8Text@"a", 8.45, 0<D, Text@"b", 81.525, 0<D<,
DisplayFunction → IdentityD,
[email protected], 0.15<, 81.7, 0.15<<, PlotStyle → [email protected]<,
PlotJoined → True, DisplayFunction → IdentityD,
[email protected], 0.15<, 8.45, [email protected]<<, PlotStyle → [email protected]<,
PlotJoined → True, DisplayFunction → IdentityD,
[email protected], 0.15<, 81.525, [email protected]<<,
PlotStyle → [email protected]<, PlotJoined → True,
DisplayFunction → IdentityDD;
h@x_D := −10 Hx − 1L ^ 2 + 4;
p2 = Show@Show@Graphics@[email protected], Table@Polygon@88a, 0.15<,
8a + .025, .15<, 8a + .025, h@a + .025D<, 8a, h@a + .025D<<D,
8a, .45, 1.5, .025<D<, DisplayFunction → IdentityD,
Table@ListPlot@88a, 0.15<, 8a + .025, 0.15<, 8a + .025, h@a + .025D<,
8a, h@a + .025D<, 8a, 0.15<<, PlotJoined → True,
DisplayFunction → IdentityD, 8a, .45, 1.5, .025<D,
Table@ListPlot@88n, .15<, 8n, h@nD<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
8n, .5, 1.5, .05<D, Plot@h@xD, 8x, 0.4, 1.6<,
PlotStyle → [email protected]<, DisplayFunction → IdentityD,
[email protected], 0.15<, 81.7, 0.15<<, PlotStyle → [email protected]<,
PlotJoined → True, DisplayFunction → IdentityD,
Epilog → 8Text@"a", 8.45, 0<D, Text@"b", 81.525, 0<D<DD;
9
10
Rijo Cal 1 Capitulo 10.nb
In[181]:=
Show@GraphicsArray@8p1, p2<D, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
a
b
a
b
Área = Ÿ f HxL d x
b
a
Integrate[f, {x, xmin, xmax}] determina a integral de f com respeito a x de xmin a xmax.
Propriedades da integral
Vamos estabelecer algumas propriedades das integrais
Aditividade. Sendo f e g funções integráveis no intervalo [a, b], então o mesmo é verdade de f + g e
Ÿ @ f HxL + gHxL D d x = Ÿ f HxL d x + Ÿ gHxL d x
b
b
b
a
a
a
Multiplicação por escalar. Sendo f uma funções integrável no intervalo [a, b] e c uma costante, então o mesmo é
verdade de c f e
Ÿ c f HxL d x = cŸ f HxL d x
b
b
a
a
Aditividade por intevalos. Sendo f uma funções integrável nos intervalos [a, c] e [c, c], então ela é integrável em [a,
b] e
Ÿ f HxL d x = Ÿ f HxL d x + Ÿ f HxL d x
b
c
b
a
a
c
Teorema fundamental do cálculo
Teorema (Fundamental do Cálculo). Se f é uma função contínua num intervalo [a, b], então a função
F(x) = Ÿ f HxL d x
b
a
Rijo Cal 1 Capitulo 10.nb
11
é derivável em todos os pontos x interno a esse intervalo e
d FHxL
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ = f HxL
dx
Integral definida e integral indefinida
O Teorema Fundamental do Cálculo nos diz que
F(x) = Ÿ f HxL d x
x
a
é uma primitiva de f. A primitiva mais geral de f é, então, dada por
G(x) = Ÿ f HxL d x + C
x
a
onde C é uma constante arbitrária. G(x) é também chamada integral indefinida e é comumente simbolizada por
G(x) = Ÿ f HxL d x
Em contraposição, a integral num intervalo [a, b] ou [a, x],
Ÿ f HxL d x
b
ou Ÿ f HxL d x
x
a
a
é chamada integral definida.
O Teorema fundamental do Cálculo também pode ser formulado em termo da integral definida. Nesse caso, teríamos
Teorema (Fundamental do Cálculo). A integral de f, de a até b, é igual à diferença F(b) - F(a) entre os valores de
uma primitiva qualquer de f, nos pontos b e a respectivamente,
Ÿ f HxL d x = FHbL - FHaL
b
A diferença F(b) - F(a) costuma ser escrita nas formas @GHxLDba e GHxL »a
a
b
Exemplo 1.
Calcular a integral Ÿ 1 ê x d x
-1
-5
In[25]:=
<< Graphics`FilledPlot`
12
Rijo Cal 1 Capitulo 10.nb
In[35]:=
H∗ Gráfico da função 1êx no intervalo −5 ≤ x ≤ −1 ∗L
Show@
Plot@1 ê x, 8x, −6, −0.01<, PlotRange → 8−3, 0<, DisplayFunction → IdentityD,
FilledPlot@81 ê x, 0<, 8x, −5, −1<, Fills → [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
In[182]:=
Out[183]=
H∗ Calcular da integral dada ∗L
Clear@xD
Integrate@1 ê x, 8x, −5, −1<D
−Log@5D
Exemplo 2.
In[36]:=
Calcular a área da figura compreendida entre a parábola y = x2 e a reta y = 3 - 2 x .
H∗ A figura compreendida entre a parábola y = x2 e a reta y = 3 − 2 x ∗L
Show@Plot@x ^ 2, 8x, −3.3, 2.5<, DisplayFunction → IdentityD,
Plot@3 − 2 x, 8x, −3.5, 2.5<, DisplayFunction → IdentityD,
FilledPlot@8x ^ 2, 3 − 2 x<, 8x, −3, 1<, Fills → [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
10
8
6
4
2
-3
-2
-1
1
2
-2
In[308]:=
Out[309]=
H∗ O cálculo da área em questão ∗L
Clear@xD
Integrate@3 − 2 x − x ^ 2, 8x, −3, 1<D
32
3
Exemplo 3.
Calcular a área da figura compreendida entre as retas y = -2 x ê 3, y = x - 5 e eixo 0y.
Rijo Cal 1 Capitulo 10.nb
In[37]:=
13
H∗ A figura compreendida entre as retas y = −2 xê3,
y = x − 5 e o eixo 0 y ∗L
Show@Plot@x − 5, 8x, −1, 6<, DisplayFunction → IdentityD,
Plot@−2 x ê 3, 8x, −2, 5<, DisplayFunction → IdentityD,
FilledPlot@8x − 5, −2 x ê 3<, 8x, 0, 3<, Fills → [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
1
-2
2
4
6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
In[184]:=
Out[185]=
H∗ O cálculo da área em questão ∗L
Clear@xD
Integrate@−2 x ê 3 − x + 5, 8x, 0, 3<D
15
2
Exemplo 4.
In[40]:=
Calcular a área da figura determinada pela retas y = sen x, y = cos x no intervalo [0, p].
H∗ A figura compreendida entre a parábola y = x2 e a reta y = 3 − 2 x ∗L
Show@Plot@Sin@xD, 8x, 0, π + π ê 8<, DisplayFunction → IdentityD,
Plot@Cos@xD, 8x, 0, π + π ê 8<, DisplayFunction → IdentityD,
FilledPlot@8Sin@xD, Cos@xD<, 8x, 0, π<, Fills → [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
1
0.5
0.5
-0.5
-1
1
1.5
2
2.5
3
3.5
14
Rijo Cal 1 Capitulo 10.nb
In[10]:=
Out[11]=
H∗ O cálculo da área em questão ∗L
Clear@xD
#############
"################################
IntegrateA HSin@xD − Cos@xDL2 , 8x, 0, π<E
2
è!!!
2
Exercícios
Calcule as integrais indicadas nos Exercícios 1 a 17.
1. Ÿ Hx3 - 3 x2 + 1L d x.
2
0
In[41]:=
Out[41]=
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
Integrate@x3 − 3 x2 + 1, 8x, 0, 2<D
−2
2. Ÿ d x ê x.
2
1
In[42]:=
Out[42]=
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
Integrate@1 ê x, 8x, 1, 2<D
Log@2D
3. Ÿ d x ê x.
-1
-2
In[43]:=
Out[43]=
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
Integrate@1 ê x, 8x, −2, −1<D
−Log@2D
4. Ÿ d x ê Hx + 1L.
5
0
In[44]:=
Out[44]=
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
Integrate@1 ê Hx + 1L, 8x, 0, 5<D
Log@6D
5. Ÿ d x ê Hx - 2L.
0
-2
In[45]:=
Out[45]=
−Log@2D
Ÿ cos 3 x d x .
pê2
6.
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
Integrate@1 ê Hx − 2L, 8x, −2, 0<D
0
Rijo Cal 1 Capitulo 10.nb
In[46]:=
Out[46]=
15
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
Integrate@Cos@3 xD, 8x, 0, π ê 2<D
−
1
3
7. Ÿ sen t ê 2 d t .
x
0
In[47]:=
Out[47]=
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
Integrate@Sin@t ê 2D, 8t, 0, x<D
4 SinA
x 2
E
4
8. Ÿ d t ê H1 + t2 L.
1
0
In[49]:=
Out[49]=
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
Integrate@1 ê H1 + t2 L, 8t, 0, 1<D
π
4
9. Ÿ d t ê H1 - tL.
x
0
In[50]:=
Out[50]=
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
Integrate@1 ê H1 − tL, 8t, 0, x<D
IfARe@xD < 1 »» Im@xD ≠ 0, −Log@1 − xD,
1
IntegrateA
, 8t, 0, x<, Assumptions → Im@xD
1−t
10. Ÿ 3 ‰t d t .
x
1
In[52]:=
Out[52]=
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
Integrate@3 Exp@tD, 8t, 1, x<D
3 H− +
x
L
11. Ÿ ‰2 x d x.
1
0
In[53]:=
Out[53]=
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
Integrate@Exp@2 xD, 8x, 0, 1<D
1
H−1 +
2
12. Ÿ ‰k t ê k d t .
x
0
2
L
0 && Re@xD ≥ 1EE
16
Rijo Cal 1 Capitulo 10.nb
In[54]:=
Out[54]=
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
Integrate@Exp@k tD ê k, 8t, 0, x<D
−1 +
k2
kx
Ÿ d x ê cos2 x.
pê4
13.
1
In[55]:=
Out[55]=
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
Integrate@1 ê Cos@xD2 , 8x, 0, π ê 4<D
1
Ÿ d t ê sen2 t .
pê4
14.
pê2
In[56]:=
Out[56]=
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
Integrate@1 ê Sin@tD2 , 8t, π ê 2, π ê 4<D
−1
15. Ÿ d t ê t .
x
1
In[57]:=
Out[57]=
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
Integrate@1 ê t, 8t, 1, x<D
IfAx
0, Log@xD, IntegrateA
1
, 8t, 1, x<, Assumptions → x ≠ 0EE
t
13. Ÿ 3 d x ê H4 x + 5L.
0
5
In[58]:=
Out[58]=
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
Integrate@3 ê H4 x + 5L, 8x, 5, 0<D
−
3 Log@5D
4
17. Ÿ ‰-3 t d t .
x
0
In[62]:=
Out[62]=
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
Integrate@ −3 t , 8t, 0, x<D
1
−
3
−3 x
3
18. Mostre que Ÿ sen k t d t = 0.
2p
0
Rijo Cal 1 Capitulo 10.nb
In[135]:=
Out[135]=
17
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
Integrate@Sin@k tD, 8t, 0, 2 π<D
2 Sin@k πD2
k
Como k é inteiro diferente de zero, segue que a integral dada é zero.
19. Mostre que Ÿ cos k t d t = 0.
2p
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
Integrate@Cos@k tD, 8t, 0, 2 π<D
0
In[136]:=
Out[136]=
Sin@2 k πD
k
Como k é inteiro diferente de zero, segue que a integral dada é zero.
Calcule as integrais dos Exercícios 20 a 27. Em cada caso faça os gráficos dois integrando e interprete o resultado geometricamente.
20. Ÿ x d t .
2
-2
In[139]:=
H∗ A figura compreendida entre as retas y = −2 xê3,
y = x − 5 e o eixo 0 y ∗L
Show@Plot@x , 8x, −2, 2<, DisplayFunction → IdentityD,
FilledPlot@80, x<, 8x, −2, 2<, Fills → [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
2
1
-2
-1
1
-1
-2
In[140]:=
Out[140]=
21. Ÿ
p
-p
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
Integrate@x, 8x, −2, 2 <D
0
» sen x » d x .
2
18
Rijo Cal 1 Capitulo 10.nb
In[143]:=
H∗ A figura compreendida entre as retas y = −2 xê3,
y = x − 5 e o eixo 0 y ∗L
Show@Plot@Abs@Sin@xDD , 8x, −π, π<, DisplayFunction → IdentityD,
FilledPlot@80, Abs@Sin@xDD<, 8x, −π, π<, Fills → [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-3
In[144]:=
Out[144]=
-2
-1
1
2
3
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
"##################
IntegrateA Sin@xD2 , 8x, −π, π <E
4
A área do lado negativo e a do lado positivo se somam.
21. Ÿ
p
0
In[145]:=
» cos x » d x .
H∗ A figura compreendida entre as retas y = −2 xê3,
y = x − 5 e o eixo 0 y ∗L
Show@Plot@Abs@Cos@xDD , 8x, 0, π<, DisplayFunction → IdentityD,
FilledPlot@80, Abs@Cos@xDD<, 8x, 0, π<, Fills → [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.5
In[146]:=
Out[146]=
1
1.5
2
2.5
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
"##################
IntegrateA Cos@xD2 , 8x, 0, π <E
2
3
Rijo Cal 1 Capitulo 10.nb
19
23. Ÿ d x ê Hx - 1L.
3
2
In[147]:=
H∗ A figura compreendida entre as retas y = −2 xê3,
y = x − 5 e o eixo 0 y ∗L
Show@Plot@1 ê Hx − 1L, 8x, 2, 3<, DisplayFunction → IdentityD,
FilledPlot@80, 1 ê Hx − 1L<, 8x, 2, 3<, Fills → [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
1
0.8
0.6
0.4
0.2
2.2
In[148]:=
Out[148]=
2.4
2.6
2.8
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
Integrate@1 ê Hx − 1L, 8x, 2, 3 <D
3
Log@2D
24. Ÿ d x ê Hx + 5L.
0
-4
In[149]:=
H∗ A figura compreendida entre as retas y = −2 xê3,
y = x − 5 e o eixo 0 y ∗L
Show@Plot@1 ê Hx + 5L, 8x, −4, 0<, DisplayFunction → IdentityD,
FilledPlot@80, 1 ê Hx + 5L<, 8x, −4, 0<, Fills → [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-4
In[150]:=
Out[150]=
-3
-2
-1
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
Integrate@1 ê Hx + 5L, 8x, −4, 0 <D
Log@5D
20
Rijo Cal 1 Capitulo 10.nb
25. Ÿ sen H2 p xL d x.
1
0
In[151]:=
H∗ A figura compreendida entre as retas y = −2 xê3,
y = x − 5 e o eixo 0 y ∗L
Show@Plot@Sin@2 π xD, 8x, 0, 1<, DisplayFunction → IdentityD,
FilledPlot@80, Sin@2 π xD<, 8x, 0, 1<, Fills → [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
1
0.5
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-0.5
-1
In[152]:=
Out[152]=
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
Integrate@Sin@2 π xD, 8x, 0, 1 <D
0
A área do lado negativo cancela a do lado positivo.
26. Ÿ cos Hp xL d x.
1
0
In[153]:=
H∗ A figura compreendida entre as retas y = −2 xê3,
y = x − 5 e o eixo 0 y ∗L
Show@Plot@Cos@π xD, 8x, 0, 1<, DisplayFunction → IdentityD,
FilledPlot@80, Cos@π xD<, 8x, 0, 1<, Fills → [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
1
0.5
0.2
-0.5
-1
0.4
0.6
0.8
1
Rijo Cal 1 Capitulo 10.nb
In[154]:=
Out[154]=
21
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
Integrate@Cos@π xD, 8x, 0, 1 <D
0
A área do lado negativo cancela a do lado positivo.
27. Ÿ sen x d x .
a
-a
In[156]:=
H∗ A figura compreendida entre as retas y = −2 xê3,
y = x − 5 e o eixo 0 y ∗L
Show@Plot@Sin@xD, 8x, −2, 2<, DisplayFunction → IdentityD,
FilledPlot@80, Sin@xD<, 8x, −2, 2<, Fills → [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
1
0.5
-2
-1
1
2
-0.5
-1
In[157]:=
Out[157]=
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
Integrate@Sin@2 π xD, 8x, −a, a <D
0
A área do lado negativo cancela a do lado positivo.
Calcule as áreas das figuras determinadas pelas curvas dadas nos Exercícios 28 a 34. Faça os gráficos e dê a interpretaçãio
geométrica em cada caso.
è!!!
28. y = x2 e y = x .
22
Rijo Cal 1 Capitulo 10.nb
In[161]:=
H∗ A figura compreendida entre a parábola y = x2 e a reta y = 3 − 2 x ∗L
ShowAPlot@x2 , 8x, 0, 1<, DisplayFunction → IdentityD,
è!!!!
PlotA x , 8x, 0, 1<, DisplayFunction → IdentityE,
è!!!!
FilledPlotA9x2 , x =, 8x, 0, 1<, Fills → [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityE, DisplayFunction → $DisplayFunctionE;
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
In[162]:=
Out[163]=
29.
0.4
0.8
H∗ O cálculo da área em questão ∗L
Clear@xD
è!!!!!
IntegrateA x − x2 , 8x, 0, 1<E
1
3
y = cos x e y = sen x ,
In[164]:=
0.6
1
x = -p ê 4 e x = p ê 4
H∗ A figura compreendida entre a parábola y = x2 e a reta y = 3 − 2 x ∗L
Show@Plot@Cos @xD, 8x, −π ê 4, π ê 4<, DisplayFunction → IdentityD,
Plot@Sin@xD, 8x, −π ê 4, π ê 4<, DisplayFunction → IdentityD,
FilledPlot@8Cos@xD, Sin@xD<, 8x, −π ê 4, π ê 4<, Fills → [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
1
0.75
0.5
0.25
-0.75 -0.5 -0.25
-0.25
0.25
0.5
0.75
-0.5
In[165]:=
Out[166]=
H∗ O cálculo da área em questão ∗L
Clear@xD
Integrate@Cos@xD − Sin@xD, 8x, −π ê 4, π ê 4<D
è!!!
2
Rijo Cal 1 Capitulo 10.nb
30.
23
y = 1 ê x , y = 0, x = 1 e x = a > 1.
In[167]:=
H∗ A figura compreendida entre a parábola y = x2 e a reta y = 3 − 2 x ∗L
Show@Plot@1 ê x, 8x, 1, 2<, DisplayFunction → IdentityD,
Plot@0, 8x, 1, 2<, DisplayFunction → IdentityD,
FilledPlot@80, 1 ê x<, 8x, 1, 2<, Fills → [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1.2
In[168]:=
Out[169]=
31.
1.4
1.6
H∗ O cálculo da área em questão ∗L
Clear@xD
Integrate@1 ê x , 8x, 1, a<D
IfAa
0, Log@aD, IntegrateA
y = 1 ê x2 , y = 0, x = 1 e x = a > 1.
In[170]:=
1.8
2
1
, 8x, 1, a<, Assumptions → a ≠ 0EE
x
H∗ A figura compreendida entre a parábola y = x2 e a reta y = 3 − 2 x ∗L
Show@Plot@1 ê x2 , 8x, 1, 2<, DisplayFunction → IdentityD,
Plot@0, 8x, 1, 2<, DisplayFunction → IdentityD,
FilledPlot@80, 1 ê x2 <, 8x, 1, 2<, Fills → [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1.2
1.4
1.6
1.8
2
24
Rijo Cal 1 Capitulo 10.nb
In[171]:=
Out[172]=
H∗ O cálculo da área em questão ∗L
Clear@xD
Integrate@1 ê x2 , 8x, 1, a<D
H−1 + aL IfAa
0 »» Re@aD > 0 »» Im@aD ≠ 0,
8x, 0, 1<, Assumptions → ! Ha
1
1
, IntegrateA
,
a
H1 + H−1 + aL xL2
0 »» Re@aD > 0 »» Im@aD ≠ 0LEE
10.3 Funções com saltos e desigualdades
Um valor x0 é uma descontinuidade tipo salto de uma função se essa função tem limites laterais finitos e distintos no
ponto x0 .
Exemplo.
Um exemplo sisso é a função f HxL = sen HxL ê » x » para x ∫ 0
In[177]:=
H∗ Gráfico da função 1êx no intervalo −5 ≤ x ≤ −1 ∗L
Plot@Sin@xD ê Abs@xD, 8x, −6 π, 6 π<, PlotRange → 8−1, 1<D;
1
0.75
0.5
0.25
-15
-10
-5
-0.25
5
10
15
-0.5
-0.75
-1
Seja, agora, uma função f, definida e contínua num intervalo @a, bD , exceto em um número finito de pontos x1 , x2 , . . .
, xn ,que supomos sejam descontinuidade tipo salto da função f. Dizemos, então, que f é contínua por partes no intervalo @a, bD.
A integral de uma função contínua por partes num intervalo @a, bD é dada por
Ÿ f HxL d x = Ÿ f HxL d x + Ÿ f HxL d x + . . . + Ÿ f HxL d x
b
x1
x2
b
a
a
x1
xr
Rijo Cal 1 Capitulo 10.nb
25
Exercícios
Nos Exercícios 2 a 8, calcule as integrais das funções dadas nos intervalos indicados.
2.
f em @-1, 1D : f HxL = x se x < 0, f HxL = 2 + x se x > 0 .
In[179]:=
Out[179]=
3.
2
f em @-2, 1D : f HxL = x3 se x < 0, f HxL = x2 + 1 se x > 0 .
In[181]:=
Out[181]=
4.
H∗ Cálculo da integral dada ∗L
Integrate@x, 8x, −1, 0<D + Integrate@2 + x, 8x, 0, 1<D
H∗ Cálculo da integral dada ∗L
Integrate@x3 , 8x, −2, 0<D + Integrate@x2 + 1, 8x, 0, 1<D
−
8
3
f HxL = @xD em - 3 § x § 5. O símbolo [x] significa "maior inteiro contido em x".
In[183]:=
H∗ Gráfico da função f Hx0 = @xD ∗L
Plot@Floor@xD, 8x, −3, 5<D;
4
3
2
1
-2
2
4
-1
-2
-3
In[184]:=
Out[184]=
5.
H∗ Cálculo da integral da função dada ∗L
Integrate@−3, 8x, −3, −2<D + Integrate@−2, 8x, −2, −1<D +
Integrate@−1, 8x, −1, 0<D + Integrate@0, 8x, 0, 1<D + Integrate@1, 8x, 1, 2<D +
Integrate@2, 8x, 2, 3<D + Integrate@3, 8x, 3, 4<D + Integrate@4, 8x, 4, 5<D
4
f em @-p, 4D : f HxL = sen x se x < 0, f HxL = 3 - x2 se x > 0 .
26
Rijo Cal 1 Capitulo 10.nb
In[187]:=
H∗ Gráfico da função dadaD ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Sin@xD ê; x < 0
f@x_D := 3 − x ^ 2 ê; x > 0
Plot@f@xD, 8x, −π, 4<, PlotRange → 8−10, 3<D;
2
-3
-2
-1
1
2
3
4
-2
-4
-6
-8
-10
In[185]:=
Out[185]=
6.
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
Integrate@Sin@xD, 8x, −π, 0<D + Integrate@3 − x2 , 8x, 0, 4<D
−
34
3
f HxL = @xD + » sen x » em @-p, pD.
In[191]:=
H∗ Gráfico da função f Hx0 = @xD ∗L
Plot@Floor@xD + Abs@Sin@xDD, 8x, −π, π<D;
3
2
1
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
2
3
Rijo Cal 1 Capitulo 10.nb
In[93]:=
27
Plot@Floor@xD, 8x, −Pi, Pi<D;
3
2
1
-3
-2
-1
1
2
3
-1
-2
-3
-4
In[192]:=
Out[192]=
7.
Integrate@−4, 8x, −π, −3<D + Integrate@−3, 8x, −3, −2<D +
Integrate@−2, 8x, −2, −1<D + Integrate@−1, 8x, −1, 0<D +
Integrate@0, 8x, 0, 1<D + Integrate@1, 8x, 1, 2<D + Integrate@2, 8x, 2, 3<D +
Integrate@3, 8x, 3, π<D − Integrate@Abs@Sin@xDD, 8x, −π, π<D
−4 − π
f HxL = » cos 2 x » - @2 xD em @-p, pD.
In[193]:=
H∗ Gráfico da função dada ∗L
Plot@Abs@Cos@xDD − Floor@2 xD, 8x, −π, π<D;
8
6
4
2
-3
-2
-1
1
-2
-4
2
3
28
Rijo Cal 1 Capitulo 10.nb
In[195]:=
H∗ Gráfico da função f HxL = @2 xD ∗L
Plot@−Floor@2 xD, 8x, −π, π<D;
6
4
2
-3
-2
-1
1
2
3
-2
-4
-6
In[198]:=
Out[198]=
8.
Integrate@Abs@Cos@xDD, 8x, −π, π<D −
Integrate@7, 8x, −π, −3<D + Integrate@6, 8x, −3, −5 ê 2<D +
Integrate@5, 8x, −5 ê 2, −2<D + Integrate@4, 8x, −2, 3 ê 2<D +
Integrate@3, 8x, −3 ê 2, −1<D + Integrate@2, 8x, −1, −1 ê 2<D +
Integrate@1, 8x, −1 ê 2, 0<D + Integrate@0, 8x, 0, 1 ê 2<D +
Integrate@−1, 8x, 1 ê 2, 1<D + Integrate@−2, 8x, 1, 3 ê 2<D +
Integrate@−3, 8x, 3 ê 2, 2<D + Integrate@−4, 8x, 2, 5 ê 2<D +
Integrate@−5, 8x, 5 ê 2, 3<D + Integrate@−8, 8x, 3, π<D êê Simplify
64 − 15 π
f HxL = @4 xD + » sen x » em @0, 2 pD.
In[202]:=
H∗ Gráfico da função dada ∗L
Plot@Floor@4 xD + Abs@Sin@xDD, 8x, 0, 2 π<D;
25
20
15
10
5
1
2
3
4
5
6
Rijo Cal 1 Capitulo 10.nb
In[203]:=
29
H∗ Gráfico da função f HxL = @4 xD ∗L
Plot@Floor@4 xD, 8x, 0, 2 π<D;
25
20
15
10
5
1
In[215]:=
2
3
4
5
6
H∗ Gráfico da função f HxL = @4 xD ∗L
Plot@Floor@4 xD + Abs@Sin@xDD, 8x, 0, 6<D ;
20
15
10
5
1
2
3
4
5
6
10.4 Integrais impróprias
Toda função contínua num intervalo fechado é integrável nesse intervalo. Mas uma função contínua num intervalo
aberto pode ter limites infinitos num ou nos dois extremos do intervalo ou pode nem ter limite. Tais pontos são chamados de singularidades da função. Às vezes é possível (mas nem sempre) estender o conceito de integral a intervalos
que tenham singularidades em um dos seus dois extremos.
Exemplo 1.
Consideremos a função f HxL = 1 ë
è!!!
x , que desejamos integrar no intervalo [0, 1].
30
In[220]:=
Out[221]=
Rijo Cal 1 Capitulo 10.nb
H∗ Integral imprópria da função f ∗L
Clear@xD
Integrate@1 ê Sqrt@xD, 8x, 0, 1<D
2
Exemplo 2.
Consideremos a função f HxL = 1 ë
In[222]:=
Out[223]=
è!!!!!!!!
» x » , que desejamos integrar no intervalo [-2, 5].
H∗ Integral imprópria da função f ∗L
Clear@xD
Integrate@1 ê Sqrt@Sqrt@x2 DD, 8x, −2, 5<D
è!!! è!!!
2 I 2 + 5M
Exemplo 3.
Consideremos a função f HxL = 1 ê H1 - xL2 , que desejamos integrar no intervalo [-¶, 0].
In[248]:=
Out[249]=
H∗ Integral imprópria da função f ∗L
Clear@xD;
Integrate@1 ê H1 − xL2 , 8x, −∞, 0<D
1
Exemplo 4.
Consideremos a função f HxL = cos x, que desejamos integrar no intervalo [0, ¶].
In[250]:=
H∗ Integral imprópria da função f ∗L
Clear@xD;
Integrate@Cos@xD, 8x, 0, ∞<D
Integrate::idiv : Integral of Cos@xD does not converge on 80, ∞<. More…
‡ Cos@xD x
∞
Out[251]=
0
Exemplo 5.
Consideremos a função f HxL = 1 ê H1 - xL2 , que desejamos integrar no intervalo [0, 1].
In[254]:=
H∗ Integral imprópria da função f ∗L
Clear@xD;
Integrate@1 ê H1 − xL2 , 8x, 0, 1<D
Integrate::idiv : Integral of
Out[255]=
‡
1
0
1
H1 − xL2
x
1
does not converge on 80, 1<. More…
H−1 + xL2
Rijo Cal 1 Capitulo 10.nb
In[257]:=
31
Plot@1 ê H1 − xL2 , 8x, 0, 1<D;
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0.2
Exemplo 6.
0.4
Consideremos a função f HxL = 1 ë
In[258]:=
0.6
0.8
è!!!
x , que desejamos integrar no intervalo [0, ¶].
H∗ Integral imprópria da função f ∗L
Clear@xD;
è!!!!
IntegrateA1 ë x , 8x, 0, ∞<E
1
Integrate::idiv : Integral of è!!!
x
Out[259]=
1
‡
∞
0
1
è!!!
x
does not converge on 80, ∞<. More…
x
Exercícios
Nos Exercícios 1 a 24 verifique se a integral dada é convergente ou divergente; calcule as integrais convergentes e interprete os resultados geometricamente.
1. Ÿ d x ê x2ê3 .
1
0
In[261]:=
Out[261]=
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
Integrate@x2ê3 , 8x, 0, 1<D
3
5
2. Ÿ d x ë
5
0
In[263]:=
Out[263]=
3
è!!!
x.
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
3
è!!!
!
IntegrateA x , 8x, 0, 5<E
15 51ê3
4
32
Rijo Cal 1 Capitulo 10.nb
3. Ÿ d x ë
19
10
In[264]:=
Out[264]=
è!!!!!!!!!!!!!!
x - 10 .
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!
IntegrateA1 ë x − 10 , 8x, 10, 19<E
6
4. Ÿ d x ê Hx + 1L.
0
-1
In[265]:=
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
Integrate@1 ê Hx + 1L, 8x, −1, 0<D
Integrate::idiv : Integral of
Out[265]=
‡
0
−1
1
1+x
1
does not converge on 8−1, 0<. More…
1+x
x
A integral dada é divergente
5. Ÿ d x ë Ix
2
0
In[266]:=
è!!!
x M.
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
è!!!!
IntegrateA1 ë Ix x M, 8x, 0, 2<E
Integrate::idiv : Integral of
Out[266]=
‡
2
0
1
x3ê2
1
does not converge on 80, 2<. More…
x3ê2
x
A integral dada é divergente
6. Ÿ d x ê H5 - xL2 .
5
1
In[267]:=
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
Integrate@1 ê H5 − xL2 , 8x, 1, 5<D
Integrate::idiv : Integral of
Out[267]=
‡
5
1
1
H5 − xL2
x
A integral dada é divergente
7. Ÿ d x ë Ix
¶
1
è!!!
x M.
1
does not converge on 81, 5<. More…
H−5 + xL2
Rijo Cal 1 Capitulo 10.nb
In[269]:=
Out[269]=
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
è!!!!
IntegrateA1 ë Ix x M, 8x, 1, ∞<E
2
8. Ÿ d x ë Ix
¶
0
In[270]:=
33
è!!!
x M.
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
è!!!!
IntegrateA1 ë Ix x M, 8x, 0, ∞<E
Integrate::idiv : Integral of
Out[270]=
‡
∞
0
1
x3ê2
1
does not converge on 80, ∞<. More…
x3ê2
x
A integral dada é divergente na origem
9. Ÿ d x ê Hx + 1L3 .
¶
0
In[271]:=
Out[271]=
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
Integrate@1 ê Hx + 1L3 , 8x, 0, ∞<D
1
2
10. Ÿ d x ë
1
-1
In[272]:=
Out[272]=
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
IntegrateA1 ì
0
In[273]:=
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!
»x + 1» .
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
IntegrateA1 ì
Out[273]=
"########
#!#
è!!!!!
x2 , 8x, −1, 1<E
4
11. Ÿ d x ë
-3
è!!!!!!!!
»x» .
2 I1 +
12. Ÿ ‰-x d x.
è!!!
2M
####%
"################
$%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%
Hx + 1L2 , 8x, −3, 0<E
¶
0
In[274]:=
Out[274]=
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
Integrate@Exp@−xD, 8x, 0, ∞<D
1
34
Rijo Cal 1 Capitulo 10.nb
Ÿ ‰x d x .
0
13.
-¶
In[275]:=
Out[275]=
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
Integrate@Exp@xD, 8x, −∞, 0<D
1
Ÿ ‰-» x» d x.
¶
14.
-¶
In[276]:=
Out[276]=
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
è!!!!!!
IntegrateAExpA− x2 E, 8x, −∞, ∞<E
2
15. Ÿ x‰-x d x.
¶
0
In[277]:=
Out[277]=
2
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
Integrate@x Exp@−x2 D, 8x, 0, ∞<D
1
2
16. Ÿ ‰-3 x d x.
¶
0
In[278]:=
Out[278]=
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
Integrate@Exp@−3 xD, 8x, 0, ∞<D
1
3
17. Ÿ d x ê Hx - 1L.
¶
0
In[279]:=
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
Integrate@1 ê Hx − 1L, 8x, 0, ∞<D
Integrate::idiv : Integral of
Out[279]=
‡
∞
0
1
−1 + x
1
does not converge on 80, ∞<. More…
−1 + x
x
A integral dada é divergente na origem
18. Ÿ d x ê Hx - 1L3ê5 .
1
0
In[280]:=
Out[280]=
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
Integrate@1 ê Hx − 1L3ê5 , 8x, 0, 1<D
−
5
H−1L2ê5
2
Rijo Cal 1 Capitulo 10.nb
19. Ÿ ‰¶
0
In[281]:=
Out[281]=
-¶
In[282]:=
ë
è!!!
x d x.
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
è!!!!
è!!!!
IntegrateAExpA− x E ë x , 8x, 0, ∞<E
2
Ÿ ‰¶
20.
è!!!!
x
35
è!!!!!!
» x»
ë
è!!!!!!!!
» x » d x.
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
IntegrateAExpA−
Out[282]=
4
Ÿ x ‰-x d x.
¶
21.
-¶
In[284]:=
Out[284]=
2
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
Integrate@x Exp@−x2 D, 8x, −∞, ∞<D
0
Ÿ x2 ‰x d x.
0
22.
#!#
"########
#!#
"########
è!!!!!
è!!!!!
x2 E ì
x2 , 8x, −∞, ∞<E
-¶
In[285]:=
Out[285]=
3
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
Integrate@x2 Exp@x3 D, 8x, −∞, 0<D
1
3
23. Ÿ x3 ‰-x d x.
¶
0
In[286]:=
Out[286]=
4
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
Integrate@x3 Exp@−x4 D, 8x, 0, ∞<D
1
4
24. Ÿ xn - 1 ‰-x d x.
¶
0
In[287]:=
Out[287]=
n
H∗ O cálculo da integral dada ∗L
Integrate@xn − 1 Exp@−xn D, 8x, 0, ∞<D
IfARe@nD > 0,
1
, Integrate@
n
−xn
x−1+n , 8x, 0, ∞<, Assumptions → Re@nD ≤ 0DE
36
Rijo Cal 1 Capitulo 10.nb
10.5 A integral de Riemann
In[91]:=
In[92]:=
h@x_D := −10 Hx − 1L ^ 2 + 4;
p2 = Show@Show@Graphics@[email protected], Table@Polygon@88a, 0.15<,
8a + .1, .15<, 8a + .1, h@a + .05D<, 8a, h@a + .05D<<D,
8a, .45, 1.5, .1<D<, DisplayFunction → IdentityD,
Table@ListPlot@88a, 0.15<, 8a + .1, 0.15<, 8a + .1, h@a + .05D<,
8a, h@a + .05D<, 8a, 0.15<<, PlotJoined → True,
DisplayFunction → IdentityD, 8a, .45, 1.5, .1<D,
Table@ListPlot@88n, .15<, 8n, h@nD<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
8n, .5, 1.5, .1<D, Plot@h@xD, 8x, 0.4, 1.6<,
PlotStyle → [email protected]<, DisplayFunction → IdentityD,
[email protected], 0.15<, 81.7, 0.15<<, PlotStyle → [email protected]<,
PlotJoined → True, DisplayFunction → IdentityD,
Epilog → 8Text@"ξ1 ", 8.52, 0<D, Text@"ξ2 ", 8.62, 0<D, Text@"ξ3 ", 8.72, 0<D,
Text@"ξ4 ", 8.82, 0<D, Text@"ξ5 ", 8.92, 0<D, Text@"ξ6 ", 81.02, 0<D,
Text@"ξ7 ", 81.12, 0<D, Text@"ξ8 ", 81.22, 0<D, Text@"ξ9 ", 81.32, 0<D,
Text@"ξ10 ", 81.42, 0<D, Text@"ξ11 ", 81.52, 0<D<DD;
h@x_D := −10 Hx − 1L ^ 2 + 4
p1 = Show@Show@Graphics@[email protected], Table@
Polygon@88a, 0.15<, 8a + .2, 0.15<, 8a + .2, h@a + .1D<, 8a, h@a + .1D<<D,
8a, .45, 1.5, .2<D<, DisplayFunction → IdentityD,
Table@ListPlot@88a, 0.15<, 8a + .2, 0.15<, 8a + .2, h@a + .1D<,
8a, h@a + .1D<, 8a, 0.15<<, PlotJoined → True,
DisplayFunction → IdentityD, 8a, .45, 1.5, .2<D,
Table@ListPlot@88n, 0.15<, 8n, h@nD<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
8n, .55, 1.55, .2<D, Plot@h@xD, 8x, 0.4, 1.6<,
PlotStyle → [email protected]<, DisplayFunction → IdentityD,
[email protected], 0.15<, 81.8, 0.15<<, PlotStyle → [email protected]<,
PlotJoined → True, DisplayFunction → IdentityD,
Epilog → 8Text@"ξ1 ", 8.55, 0<D, Text@"ξ2 ", 8.75, 0<D, Text@"ξ3 ", 8.95, 0<D,
Text@"ξ4 ", 81.15, 0<D, Text@"ξ5 ", 81.35, 0<D, Text@"ξ6 ", 81.55, 0<D<DD;
Rijo Cal 1 Capitulo 10.nb
In[94]:=
37
Show@GraphicsArray@8p1, p2<D, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
ξ1 ξ2 ξ3 ξ4 ξ5 ξ6
ξ1 ξ2 ξ3 ξ4 ξ5 ξ6 ξ7 ξ8 ξ9ξ10ξ11
A definição da integral de Riemann se baseia na soma das áreas dos retângulos ilustrados nas figuras acima, representada pelos números Sn dada por
Sn = f Hx1 L D x + f Hx2 L D x + . . . + f Hxn L D x ,
podendo ser escrita, abreviadamente, com a notação somatório:
Sn = ⁄ni = 1 f Hxi L D x.
À medida que o numero n de partição do intervalo cresce acima de qualquer número dado, este somatório se aproxima
de um valor limite chamado de integral de f no intervalo [a, b], a qual é indicada com o símbolo
Ÿ f HxL d x
b
a
Portanto, por definição
n
Ÿ f HxL d x = limn Ø 0 ⁄i = 1 f Hxi L D xi
b
a
Note que, para definir a integral, o limite que ai aparece deve existir independentemente da escolha dos ponto x1 , x2 , . .
. , xn nos subintervalos de divisão de [a, b] e do comprimento de cada subintervalo.
CAPÍTULO 11
Métodos de integração
Iniciar o Mathematica (MathKernel)
In[1]:=
Out[1]=
H∗ Inicia o Mathematica HMathKernelL ∗L
2+2
4
11.1 Integração por substituição
Fazendo-se a substituição y = gHxL na integral
Ÿ f HyL d y
obtém-se
Ÿ f HgHxLL g ' HxL d x = Ÿ f HyL d y
Exemplo 1.
f HxL = 2 x ê H1 + x2 L
In[288]:=
Out[288]=
H∗ Primitiva da função dada ∗L
Integrate@2 x ê H1 + x2 L, xD + c
c + Log@1 + x2 D
Exemplo 2.
f HxL = x ë H1 + x2 L
3
2
Rijo Cal 1 Capitulo 11.nb
In[289]:=
H∗ Primitiva da função dada ∗L
IntegrateAx ë H1 + x2 L , xE + c
3
Out[289]=
c−
1
4 H1 + x2 L2
Exemplo 3.
f HxL = x sen 3 x2
In[290]:=
Out[290]=
H∗ Primitiva da função dada ∗L
Integrate@x Sin@3 x2 D, xD + c
c−
1
Cos@3 x2 D
6
Exemplo 4.
f HxL = 1 ê H1 + 5 x2 L
In[294]:=
Out[294]=
H∗ Primitiva da função dada ∗L
Integrate@1 ê H1 + 5 x2 L, xD + c
è!!!
è!!!
ILogA 5 − 5 xE − LogA 5 + 5
c+
è!!!
2 5
Exemplo 5.
f HxL = 1 ê H9 - x2 L
In[307]:=
Out[307]=
H∗ Primitiva da função dada ∗L
Integrate@1 ê H9 − x2 L, xD
−
1
1
Log@−3 + xD +
Log@3 + xD
6
6
Exemplo 6.
f HxL = 1 ë I … x …
In[310]:=
Out[310]=
è!!!!!!!!
!!!!!!!!!
x2 - 16 M
H∗ Primitiva da função dada ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!!!
IntegrateA1 ë Ix x2 − 16 M, xE
−
1
4
ArcTanA è!!!!!!!!!!!!!!!!!! E
4
−16 + x2
Exemplo 7.
f HxL = x2
In[312]:=
Out[312]=
è!!!!!!!!
!!!!!!!
x3 + 1
H∗ Primitiva da função dada ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!
IntegrateAx2 x3 + 1 , 8x, −1, 2<E
6
xEM
Rijo Cal 1 Capitulo 11.nb
Exemplo 8.
f HxL = H1 - xL3
"#########################4#
1 + H1 - xL
H∗ Primitiva da função dada ∗L
"#############################
IntegrateAH1 − xL3 1 + H1 − xL4 , 8x, 0, 1<E
In[315]:=
Out[315]=
1
è!!!
I−1 + 2 2 M
6
Exemplo 9.
f HxL = Hcos xL3 sen x
H∗ Primitiva da função dada ∗L
Integrate@Cos@xD3 Sin@xD, 8x, 0, π<D
In[314]:=
Out[314]=
0
Exemplo 10.
f HxL = arctan x ê H 1 + x2 L
H∗ Primitiva da função dada ∗L
Integrate@ArcTan@xD ê H1 + x2 L, 8x, 0, 1<D
In[316]:=
Out[316]=
π2
32
Exemplo 11.
f HxL = H‰-x + 1L2 ‰-x
H∗ Primitiva da função dada ∗L
Integrate@HExp@−xD + 1L2 Exp@−xD, 8x, 0, ∞<D
In[319]:=
Out[319]=
7
3
Exercícios
Determine as primitivas das funções nos Exercícios 1 a 33.
1. Ÿ x
1
è!!!!!!!!
!!!!!!!
x2 + 1 d x.
0
In[320]:=
Out[320]=
H∗ Calcula a integral da funçào dada ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!
IntegrateAx x2 + 1 , 8x, 0, 1<E
1
è!!!
I−1 + 2 2 M
3
2. Ÿ sen2 x cos x d x .
3
4
Rijo Cal 1 Capitulo 11.nb
In[321]:=
Out[321]=
H∗ Calcula a integral da funçào dada ∗L
Integrate@Sin@xD2 Cos@xD, xD + c
c+
Sin@xD3
3
3. Ÿ x ‰x d x .
2
In[322]:=
Out[322]=
H∗ Calcula a integral da funçào dada ∗L
Integrate@x Exp@x2 D, xD + c
c+
x2
2
4. Ÿ x ‰-x d x.
¶
2
0
In[324]:=
Out[324]=
5. Ÿ
H∗ Calcula a integral da funçào dada ∗L
Integrate@x Exp@−x2 D, 8x, 0, ∞<D
1
2
pê2
sen x cos x d x.
0
In[325]:=
Out[325]=
H∗ Calcula a integral da funçào dada ∗L
Integrate@Sin@xD Cos@xD, 8x, 0, π ê 2<D
1
2
6. Ÿ d x ê Hx + 5L.
In[326]:=
Out[326]=
H∗ Calcula a integral da funçào dada ∗L
Integrate@1 ê Hx + 5L, xD
Log@5 + xD
7. Ÿ d x ê Hx - 2L2 .
In[327]:=
Out[327]=
H∗ Calcula a integral da funçào dada ∗L
Integrate@1 ê Hx − 2L4 , xD
−
1
3 H−2 + xL3
8. Ÿ d x ê H3 x + 1L.
In[328]:=
Out[328]=
H∗ Calcula a integral da funçào dada ∗L
Integrate@1 ê H3 x + 1L, xD
1
Log@1 + 3 xD
3
9. Ÿ d x ê H3 x - 5L7 .
Rijo Cal 1 Capitulo 11.nb
In[329]:=
Out[329]=
5
H∗ Calcula a integral da funçào dada ∗L
Integrate@1 ê H3 x − 5L7 , xD
−
1
18 H−5 + 3 xL6
10. Ÿ ‰-k x d x .
¶
0
In[330]:=
Out[330]=
11. Ÿ
In[331]:=
Out[331]=
H∗ Calcula a integral da funçào dada ∗L
Integrate@Exp@−k xD, 8x, 0, ∞<D
IfARe@kD > 0,
è!!!!!!!!!!!!!!!!
3 x + 5 d x.
1
, Integrate@
k
−k x
, 8x, 0, ∞<, Assumptions → Re@kD ≤ 0DE
H∗ Calcula a integral da funçào dada ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!!!
IntegrateA 3 x + 5 , xE
2
H5 + 3 xL3ê2
9
12. Ÿ ‰x sen H‰x L d x.
In[332]:=
Out[332]=
H∗ Calcula a integral da funçào dada ∗L
Integrate@Exp@xD Sin@Exp@xDD, xD
−Cos@
x
D
13. Ÿ cosH2 x + 1L d x .
In[333]:=
Out[333]=
H∗ Calcula a integral da funçào dada ∗L
Integrate@Cos@2 x + 1D, xD
1
Sin@1 + 2 xD
2
14. Ÿ Hln xL ê x d x .
In[334]:=
Out[334]=
H∗ Calcula a integral da funçào dada ∗L
Integrate@Log@xD ê x, xD
Log@xD2
2
15. Ÿ Harctan xL3 ê H1 + x2 L d x.
In[335]:=
Out[335]=
H∗ Calcula a integral da funçào dada ∗L
Integrate@ArcTan @xD3 ê H1 + x2 L, xD
ArcTan@xD4
4
6
Rijo Cal 1 Capitulo 11.nb
11.2 Integração por partes
Partindo de Hu vL ' = u ' v + u v ' temos
uHxL vHxL = Ÿ u' HxL vHxL d x + Ÿ uHxL v ' HxL d x
ou ainda
Ÿ u v ' d x = u v - Ÿ u' v d x
Esta é a fórmula da integração por partes, que permite transformar a integração do produto u v ' na integração do
produto u ' v .
Em se tratando de integral definida, a fórmula de integração por partes é
x=b
b
b
ƒƒƒ
ƒ
Ÿ u v ' d x = u v ƒƒƒƒ - Ÿ u ' v d x
ƒƒ
a
a
x=a
Exemplo 1.
f HxL = x ‰x
In[336]:=
Out[336]=
In[337]:=
Out[337]=
H∗ Primitiva da função dada ∗L
Integrate@x Exp@xD, xD + c
c+
x
c+
x
H−1 + xL
H∗ Primitiva da função dada ∗L
Integrate@x2 Exp@xD, xD + c
H2 − 2 x + x2 L
Exemplo 2.
f HxL = x cos x
In[338]:=
Out[338]=
In[339]:=
Out[339]=
H∗ Primitiva da função dada ∗L
Integrate@x Cos@xD, xD + c
c + Cos@xD + x Sin@xD
H∗ Primitiva da função dada ∗L
Integrate@x2 Cos@xD, xD + c
c + 2 x Cos@xD + H−2 + x2 L Sin@xD
Rijo Cal 1 Capitulo 11.nb
7
Exemplo 3.
f HxL = sen2 x
In[340]:=
Out[340]=
H∗ Primitiva da função dada ∗L
Integrate@Sin@xD2 , xD + c
c+
x
1
−
Sin@2 xD
2
4
Exemplo 4.
f HxL = ‰x cos x
In[341]:=
Out[341]=
H∗ Primitiva da função dada ∗L
Integrate@Exp@xD Cos@xD, xD + c
c+
1
2
x
HCos@xD + Sin@xDL
Exemplo 5.
f HxL = tan2 x
In[343]:=
Out[343]=
H∗ Primitiva da função dada ∗L
Integrate@Tan@xD2 , xD + c
c − x + Tan@xD
Exemplo 6.
f HxL = ln x
In[342]:=
Out[342]=
H∗ Primitiva da função dada ∗L
Integrate@Log@xD, xD + c
c − x + x Log@xD
Exemplo 7.
f HxL = arctan x
In[344]:=
Out[344]=
H∗ Primitiva da função dada ∗L
Integrate@ArcTan@xD, xD + c
c + x ArcTan@xD −
Exemplo 8.
f HxL = x
è!!!!!!!!!!!!
x +1
1
Log@1 + x2 D
2
8
Rijo Cal 1 Capitulo 11.nb
In[345]:=
Out[345]=
H∗ Primitiva da função dada ∗L
è!!!!!!!!!!!!!
IntegrateAx x + 1 , xE + c
c+
2
H1 + xL3ê2 H−2 + 3 xL
15
Exemplo 9.
f HxL = senn x
In[346]:=
Out[346]=
In[349]:=
Out[349]=
In[350]:=
Out[350]=
H∗ Primitiva da função dada ∗L
Integrate@Sin@xDn , xD + c
c − Cos@xD Hypergeometric2F1A
1
1
1−n
3
,
,
, Cos@xD2 E Sin@xD1+n HSin@xD2 L 2
2
2
2
Integrate@Sin@xD ^ 7, xD
−1225 Cos@xD + 245 Cos@3 xD − 49 Cos@5 xD + 5 Cos@7 xD
2240
Integrate@Sin@xD ^ 25, xD
1
283551308185600
H−87890140292500 Cos@xD + 25111468655000 Cos@3 xD − 11049046208200 Cos@5 xD +
4932609914375 Cos@7 xD − 2031074670625 Cos@9 xD + 738572607500 Cos@11 xD −
230243282500 Cos@13 xD + 59863253450 Cos@15 xD −
12576313750 Cos@17 xD + 2045907500 Cos@19 xD −
241442500 Cos@21 xD + 18370625 Cos@23 xD − 676039 Cos@25 xDL
Exercícios
Calcule as integrais propostas nos Exercícios 1 a 24.
1. Ÿ x3 ‰x d x.
In[351]:=
Out[351]=
H∗ Primitiva da função dada ∗L
Integrate@x3 Exp@xD, xD + c
c+
x
2. Ÿ x ‰3 x d x .
In[352]:=
Out[352]=
H−1−nL
H−6 + 6 x − 3 x2 + x3 L
H∗ Primitiva da função dada ∗L
Integrate@x Exp@3 xD, xD + c
c+
3x
3. Ÿ x sen x d x.
J−
1
x
+ N
9
3
Rijo Cal 1 Capitulo 11.nb
In[353]:=
Out[353]=
H∗ Primitiva da função dada ∗L
Integrate@x Sin@xD, xD + c
c − x Cos@xD + Sin@xD
4. Ÿ x2 sen x d x.
In[354]:=
Out[354]=
H∗ Primitiva da função dada ∗L
Integrate@x2 Sin@xD, xD + c
c − H−2 + x2 L Cos@xD + 2 x Sin@xD
5. Ÿ x3 sen 5 x d x.
In[355]:=
Out[355]=
H∗ Primitiva da função dada ∗L
Integrate@x3 Sin@5 xD, xD + c
c−
1
3
x H−6 + 25 x2 L Cos@5 xD +
H−2 + 25 x2 L Sin@5 xD
125
625
6. Ÿ cos2 x d x .
In[356]:=
Out[356]=
H∗ Primitiva da função dada ∗L
Integrate@Cos@xD2 , xD + c
c+
1
Hx + Cos@xD Sin@xDL
2
7. Ÿ ‰x sen x d x.
In[357]:=
Out[357]=
8. Ÿ x
In[358]:=
Out[358]=
H∗ Primitiva da função dada ∗L
Integrate@Exp@xD Sin@xD, xD + c
c+
1
2
x
è!!!!!!!!!!!!
x + 2 d x.
H−Cos@xD + Sin@xDL
H∗ Primitiva da função dada ∗L
è!!!!!!!!!!!!!
IntegrateAx x + 2 , xE + c
c+
2
H2 + xL3ê2 H−4 + 3 xL
15
9. Ÿ x ln x d x.
In[359]:=
Out[359]=
H∗ Primitiva da função dada ∗L
Integrate@x Log@xD, xD + c
c+
1 2
x H−1 + 2 Log@xDL
4
10. Ÿ ln Hx L ê x d x.
9
10
Rijo Cal 1 Capitulo 11.nb
In[360]:=
Out[360]=
H∗ Primitiva da função dada ∗L
Integrate@Log@xD ê x, xD + c
c+
Log@xD2
2
11.3 Funções definidas por integrais
As funções costumam ser classificadas em algébricas e transcendentes. Chamam-se algébricas as funções polinomiais
como
3 x4 - 3 x + 1,
-x7 + 2 x3 - 3 x2 + 5;
as funções racionais, que são quociente de polinômios, como
3 x - 2 x - 10
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ,
x5 + x2 + 1
4
3
x- 1
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ;
x2 + 3
1
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ,
3x - 1
e as que delas se obtêm pelas operações algébricas de adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação r radiciação, como a operação de composição de funções.
As demais funções são chamadas transcendentes. Em particular. chamam-se transcendentes elementares as funções
trigonométricas e suas inversas, a função logaritmica e sua inversa (a exponencial), e todas as que delas se obtêm pelas
oprações algebricas já mencionadas e pela operação de composição de funções. Todas as demais funções, que não
estejam na classe das funções algébricas e funções transcendentes elementares, são chamadas de funções transcendentes mais altas.
Uma maneira eficaz de definir funções transcendentes é através da integral
O logaritmo
Uma maneira eficaz de construir funções transcendentes é através de integrais de outras funções. A função logaritmica
é um bom exemplo. De fato,
ln x = Ÿ ÅÅÅÅ1x d x
x
1
Esta definição justifica a definição do logaritmo dada no Capítulo 7, como a área limitada pela função 1/x no intervalo
entre 1 e x.
A função de distribuição normal.
Outro exemplo importante de função transcendente é a função distribuição normal ou distribuição gaussiana
1
-Ht - mL ê2 s d t
FHxL = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
è!!!!Å!ÅÅÅ
!!ÅÅÅÅÅÅ Ÿ ‰
2p s
x
-¶
2
2
Rijo Cal 1 Capitulo 11.nb
11
O integrando ‰-Ht - mL ê2 s é chamado de densidade de distribuição normal ou densidade de distribuição gaussiana.
Os parâmetros m e s são chamados, respectivamente, média e desvio padrão da distribuição gaussiana.
2
2
Gráfico da densidade de distribuição normal de média m = 0 e desvio padrào s = 1.
In[26]:=
{µ,σ} = {0,1};
Plot[Exp@−Ht − µL2 ê H2 σ2 LD , {t, -3, 3}];
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-3
-2
-1
1
2
3
Distribuição normal de média m = 0 e desvio padrào s = 1.
In[8]:=
8α = 1, µ = 0<;
è!!!!!!!
φ@x_D := 1 ë I 2 π αM Integrate@Exp@−Ht − µL2 ê H2 α2 LD, 8t, −∞, x<D
Gráfico da distribuição normal
In[31]:=
Plot@φ@xD, 8x, −3, 3<D;
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-3
-2
-1
1
2
3
A função erro.
Outro exemplo importante de função transcendente é a função erro
2
erf HxL = ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ!ÅÅ Ÿ ‰-t d t
è!!!
p
x
A função erro complementar é definida por erfc HxL = 1 - erf HxL.
0
2
12
Rijo Cal 1 Capitulo 11.nb
Erf[x] expressa a função erro erf(x).
Gráfico da função erro.
In[34]:=
Plot@Erf@xD, 8x, −3, 3<D;
1
0.5
-3
-2
-1
1
2
3
-0.5
-1
In[15]:=
<< Statistics`ContinuousDistributions`
In[17]:=
ndist = NormalDistribution[0, 1]
Out[17]=
In[19]:=
NormalDistribution@0, 1D
pdf = PDF[ndist, x]
è!!!!!!!
2π
2
− x2
Out[19]=
In[21]:=
Plot[pdf,{x, -3, 3}];
0.4
0.3
0.2
0.1
-3
In[29]:=
Out[29]=
-2
-1
1 i
x y
j
j1 + ErfA è!!! Ez
z
2 k
2 {
cdf = CDF[ndist, x]
1
2
3
Rijo Cal 1 Capitulo 11.nb
In[30]:=
13
Plot[cdf,{x, -3, 3}];
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-3
-2
-1
1
2
3
Funções de Bessel de primeira espécie.
Uma das classes de funções transcendentes mais importante é a das funções de Bessel de primeira espécie de ordem n
Jn HxL = ÅÅÅÅp1 Ÿ cos Hn q - x sen qL d q
x
0
BesselJ[n, x] expressa a função de Bessel Jn HxL de primeira espécie de ordem n.
In[366]:=
Plot@8BesselJ@0, xD, BesselJ@1, xD, BesselJ@2, xD<, 8x, 0, 20<D;
1
0.8
0.6
0.4
0.2
5
10
15
20
-0.2
-0.4
Função Gama.
A função gama é definida por
GHxL = Ÿ ‰t t x - 1 d t, x > 0
¶
0
A função gama é uma gemeralização da função fatorial, em particular GHn + 1L = n!
Gamma[x] expressa a função de gama GHxL.
14
Rijo Cal 1 Capitulo 11.nb
Gráfico da função gama
In[44]:=
Plot@Gamma@xD, 8x, 0, 5<D;
30
25
20
15
10
5
1
2
3
4
5
A função gama é ilimitada na origem, em x Ø 0, e em x Ø ¶.
In[46]:=
Out[46]=
In[45]:=
Out[45]=
Limit@Gamma@xD, x → 0D
∞
Limit@Gamma@xD, x → ∞D
∞
O fatorial de 12 e igual a G(13)
In[52]:=
12 !
Out[52]=
479001600
In[53]:=
Gamma@13D
Out[53]=
479001600
p é igual a G2 H1 ê 2L
In[55]:=
Out[55]=
Gamma@1 ê 2D2
π