Lr RI V q q = = x

GERAÇÃO DE CALOR UNIFORME EM SÓLIDOS
Conversão de uma forma de energia em energia térmica, ou seja,
estes meios sólidos têm geração de calor interna.
Se manifesta como um aumento da temperatura do meio.
Exemplos:
fios de resistência
- energia elétrica  energia térmica
reações químicas exotérmicas
- energia química  energia térmica
reações nucleares em pastilhas de combustível nuclear
- energia nuclear  energia térmica
Absorção de radiação
É expressa por unidade de volume, W/m3.
Exemplo: Calor gerado em um fio elétrico de raio r e comprimento L
q g 
qg
V fio

I 2R
r 2 L
1
q=qg
Geração
de calor
q g  q gV
Tmax ocorre distante da superfície (Ts): Parede plana no plano central
Cilindro longo no eixo
Esfera: no centro
 Distribuição de temperatura nos sólidos é simétrica em
relação ao eixo de simetria.
Temperatura na superfície, Ts, de um sólido com
geração – Balanço de energia na superfície
Taxa de
transferência
de calor no
sólido
=
q  hA( Ts  T )
Ts  T 
Taxa de
geração de
energia no
sólido
como
q g  q gV
q gV
hA
2
DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA NO SÓLIDO COM GERAÇÃO
DE CALOR
Taxa de
calor que
entra no
V.C.
-
Taxa de
calor que
sai do
V.C.
Taxa de
geração
de calor
no V.C.
+
=
Taxa de
variação de
quantidade de
energia n V.C.
Equação da condução de calor unidimensional em regime
permanente
A- Parede plana de espessura 2L
1 d  kdT( x ,t ) 
A
  q g  0
A dx 
dx 
Geração
de calor
-L
+L
2L
Para condutividade térmica constante:
d 2T
dx
2

q g
k
0
3
Se: x=-L
T(-L)=T1
x=+L
T(+L)=T2
Sendo T1T2
T( x ) 
T T
T T
( L2  x 2 )  2 1 x  1 2
2k
2L
2
q g
Sendo T1=T2=Ts - simetria
T( x ) 
q g
2k
( L2  x 2 )  Ts
4
Temperatura máxima
T ( 0 )  To 
q g 2
L  Ts
2k
No plano de simetria :
dT / dx x  0  0  q”=0 
SUPERFÍCIE
ADIABÁTICA
Exemplo: Distribuição de temperatura dentro de uma parede
plana com geração de energia térmica (k=1 W/mK, Tq=80ºC,
Tf=20ºC, L=1,0 cm
5
Cilindro longo (unidimensional) com geração
1 d  dT  q g
0
r

r dr  dr  k
T( r )  
q g
4k
r  C1 ln r  C2
Condições de contorno
1) simetria r=o
dT
0
dr r  0
2) r=re
q g re 2 
r2

T( r ) 
1
4k 
re 2

T(re)=Ts

  Ts


Geração térmica não uniforme: complexidade aumenta se k ou
qg dependem da posição ou temperatura. Resolver por
técnicas de soluções numéricas.
6
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE
A TC através de um meio sob condições de regime permanente e temperaturas
de superfície pode ser avaliada de uma forma mais simples sem envolver
qualquer equação diferencial pela introdução do conceito de resistências
térmicas.
d 2T
dx
q
2
0
dT
 C1
dx
T ( x ) = C1 x + C2
Condições de contorno: x=0 T(0)=T1
x=L T(L)=T2
Distribuição de temperatura
x
T ( x )  ( T2  T1 )   T2
L
Taxa de calor : q=-kAdT/dx
q=-kA C1 q=-kA(T2-T1)/L
Taxa e fluxo de calor são constantes, independentes de x
kA
q  ( T1  T2 )
L
k
q"  ( T1  T2 )
L
Analogia entre problemas com circuitos elétricos
7
q
kA
(T1  T2 )
L

I
( V1  V2 )
Re
Fluxo da I
Fluxo de q
q
(T1  T2 )
(W)
R parede
R parede 
L
kA
(K/W)
Perda de calor em cilindros longos
1 d  dT 
r
0
r dr  dr 
Resistência térmica de parede cilíndrica
R parede 
ln( r2 / r1 )
(K/W)
2kL
Esfera
8
1 d  2 dT 
r
0
r 2 dr  dr 
C
T ( r ) =- r1 + C2
T( r ) =
r1 - r2
r T - rT
( T1 - T2 ) + 2 2 1 1
r( r2 - r1 )
r2 - r1
Resistência térmica de parede esférica
r2 _ r1
R parede 
4r1r2 k
(K/W)
PROCESSOS NA SUPERFÍCIE
Convecção:
q  hA(Ts  T )
R conv 
1
(K/W)
hA
Radiação:
q = A(Ts 4 _ Tviz 4 )
q = h r A(Ts _ Tviz )
circuito2 de resistências
h r Resolvendo
= A(Ts +por
Tviz
)(Ts + Tviz 2 ) (W/m2térmicas
R rad =
K)
1
hr A
(K/W)
9
parede
q
Rconv,i T1
T,i
Se
T,i 
Rpared
T2
Rconv,e
T,e
e
T,e
Como a taxa de calor é constante ao longo da rede :
Taxa de calor
convecção:
=
fluido interno superfície 1
Taxa de calor
condução
=
através parede
Taxa de calor
convecção:
superfície 2 –
fluido externo
Ou
q  hA( T ,i _T1 ) 
kA
( T1 _T2 )  hA( T2 _T ,e )
L
Em termos de diferença de temperatura global
e resistência térmica total, RT:
T ,i _T ,e ,
( T ,i _T ,e )
( T ,i _T ,e )
q

RT
Rconv ,i  Rconduc  Rconv ,e
Aplicada a tubos:
Resistências
em
radiação e convecção
paralelo:
10
qconv
T
q
Ts
1
1
1


Req Rconv Rrad
Rconv
qrad
Tviz
Rrad
Genericamente:
Req 
R1R2
R1  R2
( T1 _ T∞ )
q
RT
RR
RT = R12 + R 3 + Rconv = 1 2 + R3 + Rconv
R1 + R2
q1
q
q
q2
11
1.Considere uma janela de vidro duplo de 1,2 m de altura e de 2 m de largura composta
de duas lâminas de vidro de 3 mm de espessura separadas por um espaço de ar
estagnado de 12 mm de largura.
a) Determinar a taxa de transferência de calor através da janela e a temperatura de sua
superfície interna em um dia em que o quarto é mantido a 24ºC, enquanto a temperatura
externa -5ºC. Considere os coeficientes de transferência de calor convectivos sobre as
superfícies interna e externa da janela iguais a 10 e 25 W/m²K, respectivamente.
b) Repetir assumindo que o espaço entre os dois vidros é evacuado.
c) Traçar a taxa de transferência de calor através da janela em função da largura do espaço
de ar na faixa de 2 a 20 mm, assumindo condução pura através do ar.
2.Uma parede de 3m de altura e de 5 m de largura consiste de tijolos (k=0,72 W/mK)
horizontais de 16 cm x 22 cm de seção transversal, separados por camadas de gesso
(k=0,22 W/mK) de 3 cm de espessura. Existem ainda gessos de 2 cm de espessura de
cada lado do tijolo e uma camada de 3 cm de espessura de espuma rígida (k=0,026
W/mK) na face interna da parede. As temperaturas interna e externa são 20ºC e -10ºC,
respectivamente, e os coeficientes de transferência de calor convectivos no lado interno
e externo, 10 e 25 W/m²K, respectivamente. Assumindo uma transferência de calor
unidimensional e ignorando radiação, determinar a taxa de transferência de calor
através da parede.
espuma
gesso
tijolo
3. Um tanque esférico de 3 m de diâmetro interno e de 2 cm de espessura de aço
inoxidável é usado para armazenar água gelada (com gelo) a 0ºC. O tanque está situado
em uma sala cuja temperatura é 22 ºC. As paredes da sala estão também a 22ºC. A
superfície externa do tanque é preta e a transferência de calor entre essa superfície
externa e os arredores é por convecção natural e radiação. Os coeficientes de
transferência de calor interno e externo são 80 e 10 W/m²K, respectivamente.
Determine a taxa de transferência de calor para a água gelada no tanque e a quantidade
de gelo a 0ºC que se transforma em água durante um período de 24 horas.
12
Resistência térmica de contato
Também é conveniente expressar a transferência de calor através
de um meio de pela lei de resfriamento de Newton:
q  UAT
(W)
Onde U é o coeficiente global de transferência de calor:
UA 
1
RT
13
U
1
( 1 / A )[( 1 / h1 )  ( L1 / k1 )  ( L2 / k 2 )  ( 1 / h2 )]
14