aula 12 - Unicamp

F-315 B - Mecânica Geral I
1º semestre de 2017 (diurno)
Aulas às 3ªs e 5ªs das 8:00 às 10:00 na sala CB 06
Prof. Mário Noboru Tamashiro
Departamento de Física Aplicada, prédio A-5, sala 7
ramal 3521-5339
e-mail: [email protected]
http://www.ifi.unicamp.br/~mtamash/f315_mecgeral_i
Slides do prof. Antonio Vidiella Barranco:
http://www.ifi.unicamp.br/~vidiella/aulas.html
Momento linear, momento angular e
energia mecânica do sistema de partículas
Momento linear


dP

 M R   Fi
dt
i
z

 

dL
  ri  Fi   i
dt
i
i

ri

Energia mecânica
 
d T  Vint
  ri  Fi
dt
i

C.M.

ri
Momento angular


R

y
x
Dinâmica de um sistema de
partículas
Notar que para o momento linear temos


P  MR
Entretanto para o momento angular
e a energia cinética,
 

L  R  MR
1  
T  MR  R
2
Problema
S seção 4.5, pg. 200
1) Uma esteira de massa M se encontra em movimento
a uma velocidade constante v. A partir de um
reservatório fixo é despejada areia a uma taxa
λ  dm/dt. Calcular a) A força necessária para
manter a esteira em movimento com velocidade v; b)
A potência suprida pela força em comparação com a
taxa de variação da energia cinética; o que acontece
com a diferença de energia?
S seção 4.5, pg. 200
Momento total = momento do CM: P = (m + M ) v
.
.
2a¯ lei de Newton: F = P = mv = λv
.
Potência dissipada: dW = Fdx → W = Fv = λv2
.
d
Taxa de variação: T = 21 dt
[(m + M ) v2 ]
.
.
.
= 12 mv2 = 12 λv2 = 12 W
A outra metade 21 W deve ser convertida em outras
formas de energia (p.ex. sonora, térmica etc.)
Veja breve discussão em http://www.if.ufrgs.br/cref
/?area=questions&id=639
M. N. Tamashiro
Mecânica Geral I
aula 12
Problema
TM seção 9.11, pgs. 371/376
S seção 4.5, pg. 201
2) Um foguete ejeta gases a uma velocidade constante
u (em relação ao foguete), a uma taxa   dm/dt
constante. Calcular a velocidade do foguete em
função do tempo a) no espaço livre; b) subindo num
campo gravitacional uniforme.

v
v
1000

t 

v(t )   gt  u ln 1 
 M0 
800
600
400

u
200
20
40
60
80
100
t
M0 = 2  106 kg
u = 3000 m/s
 = 9800 kg/s
TM seção 9.11, pgs. 371–376; S seção 4.5, pg. 201
.
Massa de gás ejetada: α = m (constante) → m(t) = αt
Massa instantânea do foguete: M (t) = M0 −m(t) = M0 −αt
.
.
M0 ≡ M (t = 0), M = −m → dM = −dm
Sem forças atuando, há conservação do momento linear:
P(t) = P(t + dt)
Mv = (M − dm)(v + dv) + dm(v − u)
Mv = (M + dM )(v + dv) + dM (u − v)
Mdv + udM = 0 → dv = −u dM
M
TM eq. (9.152); S eq. (4.56)
v(t) = v0 − u ln
M. N. Tamashiro
h
M (t)
M0
i
¡
¢
αt
= v0 − u ln 1 − M
, v0 ≡ v(t = 0)
0
Mecânica Geral I
aula 12
TM seção 9.11, pgs. 371–376; S seção 4.5, pg. 201
.
Massa de gás ejetada: α = m (constante) → m(t) = αt
Massa instantânea do foguete: M (t) = M0 −m(t) = M0 −αt
.
.
M0 ≡ M (t = 0), M = −m → dM = −dm
Sem forças atuando, há conservação do momento linear:
Rt
.
P(t) = P(t + dt) = M0 v0 = M (t)v(t) + 0 [v(t0 ) −u] m(t0 ) dt0
Mv = (M − dm)(v + dv) + dm(v − u)
Mv = (M + dM )(v + dv) + dM (u − v)
Mdv + udM = 0 → dv = −u dM
M
TM eq. (9.152); S eq. (4.56)
v(t) = v0 − u ln
M. N. Tamashiro
h
M (t)
M0
i
¡
¢
αt
= v0 − u ln 1 − M
, v0 ≡ v(t = 0)
0
Mecânica Geral I
aula 12
TM seção 9.11, pgs. 371–376; S seção 4.5, pg. 201
h¡
¡
¢ i
M0 ¢
αt
xfree (t) = x0 + 0 v(t ) dt = x0 + v0 t − u t − α ln 1 − M − t
Rt
0
0
0
Agora com a força gravitacional Fg = −Mg atuando:
P(t + dt) − P(t) = Fg dt = −Mgdt
.
.
.
Mdv + udM = −Mgdt → M v + uM = M v − αu = −Mg
h
i
.
.
M (t)
αu
v = M (t) − g → v(t) = v0 − gt − u ln M , pois M = −α
0
TM eq. (9.165)
¡
¢
αt
v(t) = v0 − gt − u ln 1 − M
, xg (t) = xfree (t) − 12 gt2
0
M. N. Tamashiro
Mecânica Geral I
aula 12
Problema
TM problema 9.6 (modificado), pg. 378
massa, m. As forças
3) Considere duas partículas
 de mesma

sobre as partículas são F1  0, e F2  F0 xˆ . Ambas partículas
se encontram inicialmente na origem, enquantov1 (0)  v0 (ao
longo de x) e v2 (0)  0 .
Calcular:
a) A posição, velocidade e aceleração do centro de massa
do sistema.
b) O momento linear e a energia cinética do sistema e do
centro de massa.
TM problema 9.6 (modificado), pg. 378
.
F
.
F
x1 (t) = v0 t, x1 (t) = v0 , x2 (t) = 2m0 t2 , x2 (t) = m0 t
X
X
F
1
M ≡ mi = 2m, R ≡ M
mi xi (t) = 21 v0 t + 4m0 t2
i
i
X .
X ..
.
..
F
F0
1
1
1
R = M mi xi (t) = 2 v0 + 2m t, R = M
mi xi (t) = 2m0
i
i
X
.
.
Psist = mi xi (t) = P = M R = mv0 + F0 t
i
X .
¡
F2 ¢
1
Tsist = 2 mi x2i (t) = 12 m v20 + m02 t2
i
¡
¡
.
F2
F ¢2
2v0 F0 ¢
1
t
TCM = 2 M R2 = 14 m v0 + m0 t = 14 m v20 + m02 t2 + m
TM eqs. (9.12) e (9.39)
Note que
M. N. Tamashiro
Psist = P = PCM , mas Tsist 6= TCM
Mecânica Geral I
aula 12